Modulo 10 Maximizacion de beneficios

Módulo 10

Maximización de B fi iBeneficios

Beneficio EconómicoUna empresa emplea los factores j = 1…,mUna empresa emplea los factores j 1…,m para producir los bienes i = 1,…nLos volúmenes de producción son y yLos volúmenes de producción son y1,…,yn

Los volúmenes de empleo de los factores son x xson x1,…,xm

Los precios de los bienes son p1,…,pn

Los precios de los factores son w1,…,wm

La empresa competitivap p

La empresa competitiva toma los precios de todos los bienes p1 p yprecios de todos los bienes p1,…,pn y los precios de todos los factores w w como precios dadosw1,…,wm como precios dados

Beneficio Económico

El beneficio económico generado por el plan de producciónel plan de producción (x1,…,xm,y1,…,yn) es

.1111 mmnn xwxwypyp LL −−++=Π

Beneficio EconómicoLos volúmenes de producción y de empleo de los factores, son flujosPor ejemplo, x1 debe ser el número de o eje p o, 1 debe se e ú e o deunidades de trabajo empleadas por horaY y3 debe ser el número de automóvilesY y3 debe ser el número de automóviles producidos por horaEn consecuencia el beneficio también esEn consecuencia, el beneficio también es un flujo; por ejemplo, el número de dólares de beneficio obtenidos por horadólares de beneficio obtenidos por hora

Beneficio Económico¿Cómo se valora una empresa?Supongamos que el flujo de beneficios periódicos de unabeneficios periódicos de una empresa es Π0, Π1, Π2, … y r es la tasa de interéstasa de interésEntonces el valor presente del beneficio es

ΠΠL+

+Π

++Π

+Π= 221

0 )1(1 rrVP

Beneficio Económico

La empresa competitiva busca maximizar su valor presentemaximizar su valor presente¿Cómo?

Beneficio EconómicoSuponga que la empresa está en el p g q pcorto plazo y entoncesSu función de producción de corto

.~22 xx ≡

Su función de producción de corto plazo es

).~,( 21 xxfy =

Beneficio EconómicoSuponga que la empresa está en el p g q pcorto plazo y entoncesSu función de producción de corto

.~22 xx ≡

Su función de producción de corto plazo es ).~,( 21 xxfy =

El costo fijo de la empresa es ~xwCF =El costo fijo de la empresa esy la función de beneficio es

22xwCF =

.~2211 xwxwpy −−=Π

Rectas de iso-beneficio de corto plazop

Una recta de iso-beneficio contiene todos los planes de producción quetodos los planes de producción que proporcionan el mismo nivel de beneficiobeneficioLa ecuación de la recta de iso-beneficio es

~Π .2211 xwxwpy −−≡Π

Rectas de iso-beneficio de corto plazo

Una recta de iso beneficio contiene

p

Una recta de iso-beneficio contiene todos los planes de producción que proporcionan el mismo nivel de beneficioLa ecuación de la recta de iso-beneficio es ~Πbeneficio esEs decir

.2211 xwxwpy −−≡Π~

221 xww +Π .221

1

pxwx

pwy +Π

+=

Las rectas de iso-beneficioxwxwy 22

11

~+Π+=

La pendiente es

ppy 1

La pendiente es,w1+

Y el intercepto vertical es

p

Y el intercepto vertical es,~

22 xw+Π .22

p

Rectas de iso-beneficio de corto plazo

y

p

Π Π≡ ′′′y

Π Π≡ ′Π Π≡ ′′

wpendiente 1+p

pendiente 1+=

x1

Maximización del beneficio en el corto plazop

El problema de la empresa es encontrar el plan de producción queencontrar el plan de producción que le permita alcanzar la recta de iso-beneficio más alta posible dadas lasbeneficio más alta posible, dadas las restriccciones de la empresa en sus planes de producciónPregunta: ¿Qué restricciones?Pregunta: ¿Qué restricciones?


El problema de la empresa es encontrar el plan de producción que le permita p p q palcanzar la recta de iso-beneficio más alta posible, dadas las restriccciones de la p ,empresa en sus planes de producciónPregunta: ¿Qué restricciones?Pregunta: ¿Qué restricciones?Respuesta: La función de producción

Maximización del beneficio en el corto plazo

y La función de producción de cortol

p

plazo para .~22 xx ≡

y f x x= ( , ~ )1 2

PlPlanestecnicamentei fi i t

x1

ineficientes

1


yΠ Π ′′′

p

Π Π′Π Π≡ ′′Π Π≡ ′′′

y f x x= ( , ~ )1 2Π Π≡ ′

wd 1

pwpendiente 1+=

x11


yΠ Π ′′′

p

Π Π′Π Π≡ ′′Π Π≡ ′′′

Π Π≡ ′

*y

pwpendiente 1+=p

x1x1*

1x1


yDados p, w1 y el plan de producción que maximiza el beneficio

p,~

22 xx ≡producción que maximiza el beneficio es Π Π≡ ′′).,~,( *

2*1 yxx

* wypwpendiente 1+=

x1x1*

1x1

Maximización del beneficio en el corto plazoDados p, w1 y el plan de producción que maximiza el beneficioy

p,~

22 xx ≡producción que maximiza el beneficio es Π Π≡ ′′).,~,( *

2*1 yxx

*y

pwpendiente 1+=p

x1x1*

1

Y el máximo beneficio posible es ′′Π .x1


yEn el plan de producción maximizador del beneficio en el corto plazo, la pendiente de la función de producción de

t l l di t d l t d i b fi i á

p

corto plazo y la pendiente de la recta de iso-beneficio más alta posible, son iguales Π Π≡ ′′

*ypwpendiente 1+=

x1x1*

1x1


yEn el plan de producción maximizador del beneficio en el corto plazo, la pendiente de la función de producción de

p

Π Π≡ ′′corto plazo y la pendiente de la recta de iso-beneficio más alta posible, son iguales

*ypwpendiente 1+=

)~( **

11 pwPMg =

x1x1*

),~,( *2

*1 yxxen

1x1


1 wPMgpwPMg =×⇔= 111 wPMgpp

PMg =×⇔=

es el ingreso del producto marginal1PMgp× g p gdel factor 1, la tasa a la cual el ingreso seincrementa cuando se incrementa el empleod l f t 1del factor 1Si entonces el beneficio se incrementa con x1Si entonces el beneficio disminuye con x

11 wPMgp >×

wPMgp <×Si entonces el beneficio disminuye con x111 wPMgp <×

Un ejemplo: Cobb Douglasj p g

S l f ió d d ióSuponga que la función de producciónde corto plazo es .~ 3/1

23/1

1 xxy =

El producto marginal del factor 1 es

.~31 3/1

23/2

11

1 xxxyPMg −==

∂∂

La condición de maximización del beneficio es

.~)(3 1

3/12

3/2*111 wxxpPMgpIPMg ==×= −

Un ejemplo: Cobb Douglas

R l i d

j p g

Resolviendo

para x da3/13/2* ~)( wxxp − para x1 da121 )(3

wxx =

.~3)( 3/1

13/2*1

wx =−3/1

2xp


Es decir3/1~

1

3/123/2*

1 3)(

wxpx =

1


Entonces

.~~2/1

2

2/32/33/12*

1 xpxpx

=

= .33 2

111 x

wwx

Un ejemplo: Cobb Douglas

Es la demanda de

j p g

2/3 Es la demanda de

corto plazo dela empresa por el factor 1

2/12

2/3

1

*1

~3

xwpx

=

la empresa por el factor 1

Cuando el nivel del factor 2 está

fijado en unidades. 2~x


Y el nivel de producción en el corto plazo es

~~)( 2/12/1

3/13/1** p

.3

)( /2

1

3/2

3/1 x

wpxxy

==

Estática Comparativap

¿Qué ocurre con el plan de producción que maximiza elproducción que maximiza el beneficio económico de la empresa en el corto plazo cuando el precio delen el corto plazo cuando el precio del bien cambia?


La ecuación de la recta de iso-beneficio esxww ~+Π

pxwx

pwy 22

11 +Π

+=

Así un incremento en p provoca-- la reducción de la pendiente, y-- la reducción del intercepto verticalp

Estática Comparativa

Π Π≡ ′′Π Π≡ ′′′

y

p

Π Π≡ ′Π Π

y f x x= ( , ~ )1 2*y

pwpendiente 1+=p

x1x1*

1x1

Estática Comparativay

p

y f x x= ( , ~ )1 2*y

pwpendiente 1+=p

x1x1*

1x1


p

y f x x= ( , ~ )1 2y*

pwpendiente 1+=

x1x1*

1x1

Estática ComparativaUn incremento en el precio del bien

p

provoca:–Un incremento en el volumen deUn incremento en el volumen de

producción (la pendiente de la curva de oferta es positiva) ycurva de oferta es positiva), y–Un incremento en el volumen de

empleo del factor variable (la curva de demanda de la empresa por elde demanda de la empresa por el factor variable se desplaza hacia afuera)afuera)


El j l C bb D l C d

p

El ejemplo Cobb-Douglas : CuandoEntonces:3/1

23/1

1~xxy = Entonces:

2/3

21 xxy

Y la oferta de corto plazo es2/12

1

*1

~3

xwpx

=

.~ 2/12

2/1* xpy

= .3 2

1

xw

y


Se incrementa cuando p se incrementa*1x p1


* se incrementa cuando p se incrementa*y


¿Qué ocurre con el plan de producción maximizador deproducción maximizador de beneficio de corto plazo de la empresa cuando el precio del factorempresa cuando el precio del factor variable w1 cambia?


xww ~+Πpxwx

pwy 22

11 +Π

+=

Así un incremento en w1 provoca-- un incremento en la pendiente, y-- no hay cambios en el intercepto verticaly p

Estática ComparativaΠ Π≡ ′′Π Π≡ ′′′

y

p

Π Π≡ ′Π Π

y f x x= ( , ~ )1 2*y

wpendiente 1+=p

pendiente +

x1x1*

1x1


Π Π′′Π Π≡ ′′′

p

Π Π≡ ′Π Π≡ ′′

y f x x= ( , ~ )1 2*y

pwpendiente 1+=p

x1x1*

1x1


Π Π′′Π Π≡ ′′′

p

Π Π≡ ′Π Π≡ ′′

y f x x= ( , ~ )1 2

y* pwpendiente 1+=

y p

x1x1*

1x1

Estática ComparativaUn incremento en w1 provoca:

p

1 p–Una disminución en el volumen de

producción de la empresa (la curvaproducción de la empresa (la curva de oferta de la empresa se d l h i d t )desplaza hacia adentro), y–Una disminución en el volumen de

empleo del factor variable (la curva de demanda de la empresa por elde demanda de la empresa por el factor variable tiene pendiente

ti )negativa)


El j l C bb D l C d

p

El ejemplo Cobb-Douglas : Cuando3/13/1 ~xxy =

2/3

21 xxy =

2/12

2/3*1

~3

xpx

=

Y la función de oferta es13w

2/12/1

* p Y la función de oferta es .~

32/1

21

* xwpy

=

1


disminuye cuando w1 se incrementa*x disminuye cuando w1 se incrementa1x


disminuye cuando w1 se incrementa*y y 1

Maximización del beneficio en el largo plazog p

Ahora vamos a permitir que la empresa varíe el empleo de todos losempresa varíe el empleo de todos los factoresC h f t fij hComo no hay factores fijos no hay costos fijos


x1 y x2 son variablesPensemos en la empresa comoPensemos en la empresa como decidiendo el plan de producción

i i l b fi i d d lque maximiza el beneficio dado el valor de x2, y entonces variamos x22 y 2para encontrar el nivel más alto posible del beneficioposible del beneficio


xwxwy 221

1 +Π+=

px

py 1 +

Así un incremento en x2 provoca-- ningún cambio en la pendiente, y-- un incremento en el intercepto verticalp

Maximización del beneficio en el largo plazo

y

g p

),( 21 xxfy ′=

x11


y

g p

y f x x= ′( , )1 23y f x x= ′( , )1 22

y f x x= ′( , )1 2

x1M i l d l d l f t 2 1Mayores niveles de empleo del factor 2Incrementan la productividad del factor 1


y

g p

y f x x= ′( , )1 23y f x x= ′( , )1 22

y f x x= ′( , )1 2

El producto marginaldel factor 2 disminuye

x1M i l d l d l f t 2 1Mayores niveles de empleo del factor 2incrementan la productividad del factor 1

Maximización del beneficio en el largo plazopara cada plan de

producción de corto plazoy

g p011 =−× wPMgp

producción de corto plazoy f x x= ′( , )1 23y f x x= ′( , )1 22

*y x*( )3 2′

y f x x= ′( , )1 2y x*( )2 2′

y x*( )′2

x1x x1 2*( )′ x x1 23*( )′ 1x x1 2( )

x x1 22*( )′x x1 23( )


prod cción de corto pla oy

g p011 =−× wPMgp

producción de corto plazoy f x x= ′( , )1 23y f x x= ′( , )1 22

*y x*( )3 2′

y f x x= ′( , )1 2y x*( )2 2′

El producto marginaldel factor 2 disminuye…y x*( )′2

x1

y

x x1 2*( )′ x x1 23*( )′ 1x x1 2( )

x x1 22*( )′x x1 23( )


producción de corto plazoy

g p011 =−× wPMgp

producción de corto plazo

y f x x= ′( , )1 23y f x x= ′( , )1 22

*y x*( )3 2′

y f x x= ′( , )1 2y x*( )2 2′

y x*( )′2El producto marginaldel factor 2 disminuye…

x1x x1 2*( )′ x x1 23*( )′

y

1x x1 2( )x x1 22*( )′

x x1 23( )


El beneficio se incrementará

g p

El beneficio se incrementará mientras el ingreso del producto marginal del factor 2 sea mayor a sumarginal del factor 2 sea mayor a su precio .022 >−× wMPpEn consecuencia, el nivel de empleo maximizador del beneficio del factormaximizador del beneficio del factor 2 debe satisfacer la condición

.022 =−× wMPp


Y es satisfecho en

g p

0>−× wMPpY es satisfecho en cualquier nivel de corto plazo, así ...

.022 >−× wMPp

.022 =−× wMPp011 =−× wMPp

.022 wMPp


El nivel de empleo de los factores en

g p

El nivel de empleo de los factores en el largo plazo que maximizan el b fi i lbeneficio cumplen:

0×MP0× wMPp

Es decir el ingreso marginal es

.022 =−× wMPp011 =−× wMPp

Es decir, el ingreso marginal es igual al costo marginal para todos l f tlos factores


El j l C bb D l d

g p

El ejemplo Cobb-Douglas: cuando3/13/1 ~xxy =

2/3

21 xxy =

2/12

1

*1

~3

xwpx

=

1

~ 2/12/1

* xpy

= .3 2

1

xw

y

=


Tenemos:Tenemos:

22*11

* ~xwxwpy −−=Π

222/1

2

2/3

12/1

2

2/1

~~3

~3

xwxpwxpp −

−

=

11 33 ww


Reordenando:Reordenando:

22*11

* ~xwxwpy −−=Π

222/1

2

2/3

12/1

2

2/1

~~3

~3

xwxwpwx

wpp −

−

=

2/12/1

2/1

11

~~

33

ppp

ww

2211

12/1

21

~33

~3

xwwp

wpwx

wpp −

−

=


2/32/122

*11

* ~xwxwpy

−−=Π

222/1

21

12/1

21

~~3

~3

xwxwpwx

wpp −

−

=

22

2/1

12/1

2

2/1

~33

~3

xwwp

wpwx

wpp −

−

=

2/12/1

111

~~2

333

pp

www

222/1

21

~~33

xwxwpp

−

=

Maximización del beneficio en el largo plazog p~

2/32/122

*11

* xwxwpy

−−=Π

~~3

~3 22

2/12

2/3

11

2/12

2/1

1

xwxwpwx

wpp −

−

=

~33

~3 22

2/1

12/1

2

2/1

xwppwxpp −

−

=

2

333

2/12/1

2211

121

pp

wwwp

~~33

2

2/1

222/1

21

xwxwpp

−

=

.~~274

222/1

2

2/1

1

3

xwxwp

−

=

1


~~4 2/12/13p

Π .~~27 22

2/12

1

xwxwp

−

=Π

¿Cuál es el nivel de empleo del factor 2que maximiza el beneficio? Resolvemos:que maximiza el beneficio? Resolvemos:

2/12/13~410 p

Π −∂

Y obtenemos2

2/12

12 272~0 wxwp

x−

==∂

Y obtenemos,.

27~

2

3*22 ww

pxx ==27 21ww


¿Y cuál es el nivel de empleo del factor 1

g p

¿ pque maximiza el beneficio? Sustituimos:

2/33

en 2/12

2/3

1

*1

~3

xwpx

=2

21

3*2 27 ww

px =

Para obtener

13w 2127 ww

Para obtener,


.2

32/1

2

32/3*1

pppx =

=27273 2

21

2211

1 wwwww


¿Y cuál es el nivel de producción que

g p

maximiza el beneficio? Sustituimos:3

2/1p

en221

3*2 27 ww

px =2/1

21

* ~3

xwpy

=

P bt

2127 ww

Para obtener,


.22/1

2

32/1* pppy =

=9273 21

2211 wwwww

y


Así, dados los precios p, w1 y w2, y la función

g p

Así, dados los precios p, w1 y w2, y la funciónde producción, 3/1

23/1

1 xxy=El plan de producción que maximizal b fi i

21y

el beneficio es,

.,,),,(

2

2

3

2

3**

2*1

=pppyxx .

9,

27,

27),,(

212212

21

21

wwwwww

yxx

Retornos a escala y maximización del b fi ibeneficio

Si una empresa competitiva presenta retornos decrecientes a escalaretornos decrecientes a escala, entonces tiene sólo un plan de producción que maximiza elproducción que maximiza el beneficio

Retornos a escala y maximización del b fi i

ybeneficio

y f x= ( )y*y

Retornosdecrecientes aescala

xx*

escala


Si una empresa competitiva presenta retornos crecientes a escalaretornos crecientes a escala, entonces no tiene una plan de producción que maximiza elproducción que maximiza el beneficio


ybeneficio

y f x= ( )

”y”

Retornos’ Retornoscrecientes a

l

y’

xx’escala

x”


En consecuencia, los retornos crecientes a escala soncrecientes a escala son inconsistentes con las empresas en una industria competitivauna industria competitiva


¿Y qué ocurre si la empresa competitiva presenta retornoscompetitiva presenta retornos constantes a escala?


ybeneficio

f( )y f x= ( )

y”R tRetornosConstantes ay’

xx’Escala

y

x”


Es decir, si para cualquier plan de producción la empresa obtiene unproducción la empresa obtiene un beneficio positivo, la empresa puede duplicar el empleo de los factores yduplicar el empleo de los factores y producir el doble y obtener el doble de beneficio


En consecuencia, una empresa que presenta retornos constantes a escala, p ,obteniendo beneficios económicos positivos es inconsistente con una pindustrisa competitiva Por lo tanto, los retornos constantes aPor lo tanto, los retornos constantes a escala requieren que las empresas obtengan un beneficio económico ceroobtengan un beneficio económico cero


ybeneficio

f( )y f x= ( )

Π 0y”

Retornos

Π = 0

RetornosConstantes ay’

xx’Escalay

x”

Modulo 10 Maximizacion de beneficios

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