Modulo actualizado Métodos probabilísticos-2012

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 104561 –MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

104561 – MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

VLADIMIR DE JESÚS VANEGAS ANGULO

(Director Nacional)

WILLIAM MOSQUERA

(Acreditador)

Santa Marta 13 de enero de 2012

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por William Ortegón

docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de Ibagué el Autor es Ingeniero

industrial especialista en logística de producción y distribución. Se ha

desempeñado como tutor de la UNAD desde Enero de 2008 hasta la fecha y ha

sido catedrático de Universidades de Ibagué. El presente módulo ha tenido 2

actualizaciones la primera realizada por la doctora Gloria Guzmán y la segunda

por el ingeniero William Ortegón

El material ha sido revisado por el ingeniero William Mosquera y aportado

para la calidad del mismo.

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INTRODUCCIÓN

LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS

Un poco de Historia

Se inicia desde la revolución industrial, en los libros se dice que fue a partir de la segunda

Guerra Mundial. La investigación de operaciones se aplica a casi todos los problemas. En

1947, en E.U., George Datzing encuentra el método SIMPLEX para el problema de

programación lineal. En la investigación de operaciones, las computadoras son la

herramienta fundamental en la investigación de operaciones.

Definición

Investigación de operaciones, es la aplicación del método científico por un grupo

multidisciplinario de personas a un problema, principalmente relacionado con la

distribución eficaz de recursos limitados (dinero, materia prima, mano de obra, energía ),

que apoyados con el enfoque de sistemas (este enfoque, es aquel en el que un grupo de

personas con distintas áreas de conocimiento, discuten sobre la manera de resolver un

problema en grupo.). Puede considerarse tanto un arte como una ciencia. Como arte refleja

los conceptos eficiente y limitado de un modelo matemático definido para una situación

dada. Como ciencia comprende la deducción de métodos de cálculo para resolver los

modelos.

Pasos del Método científico en IO

1. Delimitación del problema

2. Modelación del problema

3. Resolución del modelo

4. Verificación con la realidad

5. Implantación

6. Conclusiones

TIPOS DE MODELOS Y SU SIGNIFICADO

Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El

objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento

futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal

manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las

porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar

modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar

modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables,

magnitudes y sus relaciones.

http://www.investigacion-operaciones.com/IO_1_files/Historia%20.htm

http://www.investigacion-operaciones.com/IO_1_files/dantzig.htm

http://www.investigacion-operaciones.com/IO_1_files/definici.htm

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Modelos Matemáticos

Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las

complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se

obtiene una representación simbólica del mismo.

Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:

1. Variables de decisión y parámetros

Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la

solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema

o bien que se pueden controlar.

2. Restricciones

Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que

dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo

si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller,

es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa.

3. Función Objetivo

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros

y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo

del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la

relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando

el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es

decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1,

x2,..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) b. Donde x1, x2,..., xn son

las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.

http://www.investigacion-operaciones.com/IO_1_files/modela.htm

5


Clasificación de Modelos

Muchos problemas de decisión implican un gran número de factores o variables

importantes o pueden tener muchas opciones a considerar por lo que se hace necesario la

utilización de computadoras para su solución. Por ejemplo una empresa puede contar con

varias fábricas donde produce bienes para enviar a cientos de clientes. Decidir la

programación de las fábricas y determinar cuáles de ellas deben atender a cuales clientes,

para minimizar costos, implica cientos de variables y restricciones que pueden tener

millones de posibles soluciones. Los modelos de programación lineal y programación

entera son las técnicas más utilizadas para resolver problemas grandes y complejos de

negocios de este tipo. En ellos se aplican técnicas matemáticas para hallar el valor máximo

(o el mínimo) de un objetivo sujeto a un conjunto de restricciones.

La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas grandes y complejos que

incluyen incertidumbre. Se diseña un modelo para repetir el comportamiento del sistema.

Este tipo de modelo se basa en la división del sistema en módulos básicos o elementales

que se enlazan entre sí mediante relaciones lógicas bien definidas. El desarrollo de un

modelo de simulación es muy costoso en tiempo y recursos.

Problemas dinámicos los problemas dinámicos de decisión implican un tipo particular de

complejidad cuando hay una secuencia de decisiones interrelacionadas a través de varios

períodos. Por ejemplo modelos de inventario, para determinar cuándo pedir mercadería y

cuanto debe mantenerse en existencia; los modelos PERT o de ruta Critica para la

programación de proyectos y los modelos de colas para problemas que involucran

congestión.

En los problemas complejos pueden aparecer variables exógenas o variables externas,

importantes para el problema de decisión, pero que están condicionadas por factores que

están fuera del control de la persona que decide, tales como condiciones económicas,

acciones de los competidores, precios de las materias primas y otros factores similares. Las

restricciones pueden considerar ciertas políticas definidas por la empresa tales como que los

materiales tienen que adquirirse a determinados proveedores o que deben mantenerse

ciertos niveles de calidad.

http://www.investigacion-operaciones.com/IO_1_files/proglin.htm

6


La investigación de operaciones, tiene métodos de optimización aplicables a los siguientes

tipos de problemas:

1. METODOS DETERMINISTICOS: Ej., Programación lineal, programación entera,

probabilidad de transporte, programación no lineal, teoría de localización o redes,

probabilidad de asignación, programación por metas, teoría de inventarios, etc.

2. METODOS PROBABILISTICOS: Ej. Cadenas de Markov, teoría de juegos, líneas

de espera, teoría de inventarios, etc.

3. METODOS HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos deterministicos y

probabilísticos como la teoría de inventarios.

4. METODOS HEURISTICOS: Son las soluciones basadas en la experiencia, como la

programación heurística.

Un Analista de investigación de Operaciones debe elegir el plan de acción más efectivo

para lograr las metas de la organización, debe seleccionar un conjunto de medidas de

desempeño, utilizar una unidad monetaria y tomar decisiones, debe seguir un proceso

general de solución, en cualquier situación, durante la toma de decisiones. Deben

establecerse los criterios de tomas de decisiones (Costos, Cantidades, Máximos, Mínimos

etc.), seleccionar las alternativas, determinar un modelo y evaluarlo, integrar la información

cuantitativa obtenida para luego decidir. Muchas veces hay que incorporar factores

cualitativos tales como el ánimo y el liderazgo en la organización, problemas de empleo,

contaminación u otras de responsabilidad social.

http://www.investigacion-operaciones.com/IO_1_files/Analista.htm

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Nota: el proceso de abstracción (idealización restricción y simplificación) siempre

introduce algún grado de error en las soluciones obtenidas, por lo que el ejecutivo no debe

volverse incondicional de un modelo cuantitativo y adoptar automáticamente sus

conclusiones como la decisión correcta. La cuantificación es una ayuda para el juicio

empresarial y no un sustituto de este.

Los modelos planteados se conocen como modelos deterministicos. En contraste, en

algunos casos, quizá no se conozcan con certeza los datos, más bien se determinan a través

de distribuciones de probabilidad, se da cabida a la naturaleza probabilística de los

fenómenos naturales. Esto da origen a los así llamados modelos probabilísticos o

estocásticos.

Las dificultades evidentes en los cálculos de los modelos matemáticos han obligado a los

analistas a buscar otros métodos de cálculo que aunque no garantizan la optimalidad de la

solución final, buscan una buena solución al problema. Tales métodos se denominan

heurísticos. Suelen emplearse con dos fines: En el contexto de un algoritmo de

optimización exacto, con el fin de aumentar la velocidad del proceso. En segundo lugar

para obtener una solución al problema aunque no óptima, la que puede ser muy difícil

encontrar.

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INDICE DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................

UNIDAD UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO, TEORÍA DE INVENTARIOS ............................................ 8

CAPITULO 1: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO ..................................................................................12

Lección 1: Conceptos generales................................................................................................ 13

Lección 2: Modelo de regresión lineal ..............................................................................................14

Lección 3: Modelo de promedio móvil..............................................................................................18

Lección 4: suavización exponencial………………………………………………………………………………………………20

Lección 5: error del pronóstico……………………………………………………………………………………………………..22

Practica 1: Regresión lineal…………………………………………………………………………………………………………..26

CAPITULO 2: TEORÍA DE INVENTARIOS………………………………………………………………………… 33

Lección 6: conceptos generales…………………………………………………………………………………………………… 33

Lección 7: Modelo de inventarios EOQ………………………………………………………………………………………..36

Lección 8: Modelo de inventario EOQ con descuento………………………………………………………………….41

Lección 9: Modelos de lote de producción y el sistema de clasificación ABC…………………………….. 46

Lección 10: Modelo estocástico de Inventarios………………………………………………………………………….. 52

Fuentes documentales unidad I

UNIDAD DOS: CADENAS DE MARKOV,TEORÍA DE COLAS Y PROGRAMACIÓN NO LINEAL .............60

CAPITULO 3: CADENAS DE MARKOV .........................................................................................62

Lección 11: Conceptos generales .............................................................................................. 62

Lección 12: descripción de una cadena de Markov ..........................................................................63

Lección 13: Cálculo de las probabilidades de transición ...................................................................64

Lección 14: Probabilidades de estados estable……….…………………………………………………………………… 68

Lección 15: aplicaciones……………………………………………………………………………………………………………….70

Practica 2: Cadenas de Markov………………………………………………………………………………………………….. 74

CAPITULO 4: TEORÍA DE COLAS …………………………………………………………………………………........80

Lección 16: conceptos generales………………………………………………………………………………………………… 81

Lección 17: Antecedentes.……………………………………………………………………………………………………………83

9


Lección 18: Características de un sistema de colas……………………………………………………………………….84

Lección 19: Medidas de rendimiento …………………………………………………………………………………………..87

Lección 20: Análisis de costos……………………….……………………………………………………………………………..90

CAPITULO 5: PROGRAMACIÓN NO INEAL……………………………………………………………………......... 95

Lección 21: conceptos generales..……………………………………………………………………………………………… 95

Lección 22: Programación cuadrática..…………………………………………………………………………………………96

Lección 23: Multiplicadores de LaGrange-Condiciones Kunh-Tucker……..…………………………………….96

Lección 24: Técnica del gradiente…… ………………………………………………………………………………………….98

Lección 25: Método de Newton-Raphson…….……………………………………………………………………………..99

Fuentes documentales unidad II………………………………………………………………………………………………..101

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UNIDAD 1

Nombre de la Unidad TÉCNICAS DE PRONÓSTICO, TEORÍA DE INVENTARIOS

Introducción

En la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes

futuros. De esta forma los datos que describen la situación de

decisión deben ser representativos de lo que ocurra en el futuro.

Por ejemplo, en control de inventarios basamos nuestras

decisiones en la naturaleza de la demanda del artículo controlado

durante un horizonte de planeación específico. Asimismo, en

planeación financiera, necesitamos predecir el patrón del flujo

de efectivo en el tiempo.

Este capítulo presenta tres técnicas para pronosticar cambios

futuros en el nivel de una variable deseada como función del

tiempo:

1. Regresión lineal

2. Promedio móvil

3. Suavización exponencial

La necesidad de proyecciones de la demanda es un

requerimiento general a lo largo del proceso de planeación y

control. Sin embargo, también podrían necesitarse ciertos tipos

de problemas de planeación, como control de inventarios,

compras económicas y control de costos, pronósticos de los

tiempos de espera, precios y costos. Las técnicas de pronósticos

son igualmente aplicables.

El pronóstico de los niveles de demanda es vital para la firma

como un todo, ya que proporciona los datos de entrada para la

planeación y control de todas las áreas funcionales, incluyendo

logística, marketing, producción y finanzas. Los niveles de

demanda y su programación afectan en gran medida los niveles

de capacidad, las necesidades financieras y la estructura general

del negocio. Cada área funcional tiene sus propios problemas

especiales de pronóstico.

El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para

pronosticar, es decir hacer predicciones sobre el futuro. Estas

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predicciones se usan para tomar dos amplios tipos de decisiones:

decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo

plazo.

• Las decisiones operativas en curso, son la asignación de pocos

recursos, la compra de materias primas, la determinación de

horarios de trabajo, etc.,

• Las predicciones estratégicas a largo plazo también dependen

de predicciones exactas. De esta forma el pronóstico es la

estimación de las actividades futuras; se basa en el uso de datos

anteriores de una variable para producir su desempeño futuro,

solo son aplicables para predecir la demanda de artículos para

los que se dispone de una cantidad sustancial de información

anterior y no para productos nuevos.

Justificación

Las técnicas de pronósticos disminuyen la incertidumbre sobre

el futuro, permitiendo estructurar planes y acciones congruentes

con los objetivos de la organización y permiten también tomar

acciones correctivas apropiadas y a tiempo cuando ocurren

situaciones fuera de lo pronosticado.

Pronosticar vs. Planear

Pronóstico. Estimación anticipada del valor de una variable, por

ejemplo: la demanda de un producto.

Presupuesto. Valor anticipado de la variable que una compañía

está en posibilidad de concretizar, por ejemplo: la cantidad de

producto que la compañía decide fabricar en función de la

demanda y de la capacidad instalada.

El conocimiento de las técnicas de pronósticos es de poco valor

a menos que puedan aplicarse efectivamente en el proceso de

planeación de la organización.

Características de los Pronósticos

Primera. Todas las situaciones en que se requiere un pronóstico,

tratan con el futuro y el tiempo está directamente involucrado.

Así, debe pronosticarse para un punto específico en el tiempo y

el cambio de ese punto generalmente altera el pronóstico.

Segunda. Otro elemento siempre presente en situaciones de

pronósticos es la incertidumbre. Si el administrador tuviera

certeza sobre las circunstancias que existirán en un tiempo dado,

la preparación de un pronóstico seria trivial.

Tercera. El tercer elemento, presente en grado variable en todas

las situaciones descritas es la confianza de la persona que hace el

http://www.monografias.com/trabajos6/juti/juti.shtml

http://www.monografias.com/trabajos4/acciones/acciones.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/napro/napro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/prono/prono.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE

http://www.monografias.com/trabajos7/plane/plane.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/napro/napro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/habi/habi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/perde/perde.shtml

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pronóstico sobre la información contenida en datos históricos.

La administración de inventario es primordial dentro de un

proceso de producción ya que existen diversos procedimientos

que nos va a garantizar como empresa, lograr la satisfacción

para llegar a obtener un nivel óptimo de producción. Dicha

política consiste en el conjunto de reglas y procedimientos que

aseguran la continuidad de la producción de una empresa,

permitiendo una seguridad razonable en cuanto a la escasez de

materia prima e impidiendo el acceso de inventario, con el

objeto de mejorar la tasa de rendimiento. Su éxito va estar

enmarcado dentro de la política de la administración de

inventario:

1. Establecer relaciones exactas entre las necesidades

probables y los abastecimientos de los diferentes productos.

2. Definir categorías para los inventarios y clasificar cada

mercancía en la categoría adecuada.

3. Mantener los costos de abastecimiento al más bajo nivel

posible.

4. Mantener un nivel adecuado de inventario.

5. Satisfacer rápidamente la demanda.

6. Recurrir a la informática.

Algunas empresas consideran que no deberían mantener ningún

tipo de inventario porque mientras los productos se encuentran

en almacenamiento no generan rendimiento y deben ser

financiados. Sin embargo es necesario mantener algún tipo de

inventario porque:

1. La demanda no se puede pronosticar con certeza.

2. Se requiere de un cierto tiempo para convertir un producto

de tal manera que se pueda vender.

Además de que los inventarios excesivos son costosos también

son los inventarios insuficientes, por que los clientes podrían

dirigirse a los competidores si los productos no están disponibles

cuando los demandan y de esta manera se pierde el negocio. La

administración de inventario requiere de una coordinación entre

los departamentos de ventas, compras, producción y finanzas;

una falta de coordinación nos podría llevar al fracaso financiero.

En conclusión la meta de la administración de inventario es

proporcionar los inventarios necesarios para sostener las

operaciones en el más bajo costo posible. En tal sentido el

primer paso que debe seguirse para determinar el nivel óptimo

http://www.monografias.com/trabajos7/sisinf/sisinf.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

http://www.monografias.com/Politica/index.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/seguinfo/seguinfo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/costosbanc/costosbanc.shtml#MATER

http://www.monografias.com/trabajos15/llave-exito/llave-exito.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/curinfa/curinfa.shtml

http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.8687155518733904&pb=b8f3a601152a09c9&fi=88abd1df2140747e&kw=costosos

http://www.monografias.com/trabajos/hipoteorg/hipoteorg.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/plane/plane.shtml

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De inventario son, los costos que intervienen en su compra y su

mantenimiento, y que posteriormente, en qué punto se podrían

minimizar estos costos.

intencionalidades Formativas

Desarrollar una técnica de decisión que comprenda teoría

matemática, si es necesario, y que conduzca a un valor óptimo

basado en los objetivos del tomador de decisiones.

Permitir que los estudiantes resuelvan problemas del campo

de la ciencia, la tecnología e ingeniería, con los conocimientos

interiorizados del curso académico en mención.

Fomentar en el estudiante características que deben

identificarlo en su desempeño y actuación profesional de la

Ingeniería.

Denominación de capítulos

Capitulo 1 Técnicas de pronóstico

Capitulo 2 Teoría de inventarios

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CAPITULO UNO: TÉCNICAS DE PRONÓSTICO

Introducción

En la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes futuros. De esta forma los datos

que describen la situación de decisión deben ser representativos de lo que ocurra en el

futuro. Por ejemplo, en control de inventarios basamos nuestras decisiones en la naturaleza

de la demanda del artículo controlado durante un horizonte de planeación específico.

Asimismo, en planeación financiera, necesitamos predecir el patrón del flujo de efectivo en

el tiempo.

Este capítulo presenta tres técnicas para pronosticar cambios futuros en el nivel de una

variable deseada como función del tiempo:

1. Regresión lineal

2. Promedio móvil

3. Suavización exponencial

La necesidad de proyecciones de la demanda es un requerimiento general a lo largo del

proceso de planeación y control. Sin embargo, también podrían necesitarse ciertos tipos de

problemas de planeación, como control de inventarios, compras económicas y control de

costos, pronósticos de los tiempos de espera, precios y costos. Las técnicas de pronósticos

son igualmente aplicables.

El pronóstico de los niveles de demanda es vital para la firma como un todo, ya que

proporciona los datos de entrada para la planeación y control de todas las áreas funcionales,

incluyendo logística, marketing, producción y finanzas. Los niveles de demanda y su

programación afectan en gran medida los niveles de capacidad, las necesidades financieras

y la estructura general del negocio. Cada área funcional tiene sus propios problemas

especiales de pronóstico.

El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, es decir hacer

predicciones sobre el futuro. Estas predicciones se usan para tomar dos amplios tipos de

decisiones: decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo plazo.

• Las decisiones operativas en curso, son la asignación de pocos recursos, la compra de

materias primas, la determinación de horarios de trabajo, etc.,

• Las predicciones estratégicas a largo plazo también dependen de predicciones exactas. De

esta forma el pronóstico es la estimación de las actividades futuras; se basa en el uso de

datos anteriores de una variable para producir su desempeño futuro, solo son aplicables

para predecir la demanda de artículos para los que se dispone de una cantidad sustancial de

información anterior y no para productos nuevos.

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Lección 1: PRONÓSTICOS

La definición de pronóstico es simple, sin embargo encierra muchas

situaciones que intervienen en su resultado o bien en la consecución del mismo.

"Un pronóstico es un inicio o una señal por donde se puede saber

una cosa futura mediante indicios"1

El pronóstico desempeña un papel muy significativo en la planeación de

materiales, se pueden encontrar pronósticos de abastecimiento, de condiciones, comerciales, de tecnología, precios, etc. Y en cualquiera de

estos rótulos el pronóstico es necesario para la toma de decisiones.

Aunque es muy cotidiano que hoy en día el manejo de pronósticos en

las pequeñas y medianas empresas, existen situaciones que tienen que ver con la planeación de las necesidades futuras. La problemática

primordial es la poca confianza del uso de la técnica pronóstico.

En el sector automotriz las insuficiencias de compra de materiales y producción provienen de pronósticos ventas, ya que es responsabilidad

la misma área de ventas o mercadeo de los productos, sin embargo cuando los ordenadores de compra de materiales tienden en compras

excesivas o deficientes siempre son acusados, cuando verdaderamente el generador de esos pronósticos es ventas.

Autores experimentados manifiestan que: "Si la demanda es inferior al pronóstico, el proveedor puede sospechar que el pronóstico

original era un intento por obtener un precio favorable o alguna otra concesión. Si la demanda excede el pronóstico, los costos

del proveedor pueden aumentar debido a la urgencia, las compras de emergencia, y cambios en los programas de

producción."2

De tal manera los proveedores hacen parte de ese conjunto de

incertidumbre que presenta el pronóstico, por ello es prescindible que los ordenadores de los materiales ayuden a estrechar los contactos con

los diferentes proveedores y que generen un ambiente empresarial fomentando flexibilidad y cooperación al momento de sus 1 Enciclopedia Sopena, Editorial Ramon Sopena, S.A. Provenza 95, Barcelona pág. 952

2 Arbones Malisani, Logistica Empresarial. Editorial Alfaomega

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requerimientos También es cierto que no se deben descartar que de

manera regular las actualizaciones y se ajusten a los pronósticos.

En el día a día se encuentran una diversidad de técnicas para el planteamiento de pronósticos y se estas se van desarrollando de manera

exponencial, estas técnicas pueden ser cuantitativas y cualitativas y se pueden emplear separadas o en conjunto.

El sector automotriz la técnica más usada de pronósticos es la cuantitativa ya que esta se sustenta en la toma de datos del pasado

para hacer las proyecciones o predicciones del futuro, algunas técnicas cuantitativas hacen hincapié en identificar indicadores que sean

sobresalientes mediante los cuales se puedan crear modelos lineales o de regresión múltiple.

Algunas de las técnicas de pronóstico cuantitativas que en la actualidad

se utilizan, se desarrollaron durante el siglo XIX; un ejemplo de ello el análisis de regresión y las técnicas de series de tiempo. Con la

implementación de técnicas de pronóstico más complejas, junto con la

generalización del uso de las computadoras, los pronósticos acentuaron la atención durante los últimos años, y cualquier persona es capaz de

operar datos a partir de un software en una computadora de bolsillo y obtener pronósticos.

Quienes han desarrollado los modelos cuantitativos clasifican a algunos

de los pronósticos cuantitativos como repetitivos, es decir, que los valores que se pronostican continúan un proceder repetitivo a través del

tiempo, la labor de los quienes analizan este tipo de pronósticos es el identificar ese comportamiento y desarrollar el pronóstico, por

consiguiente el desarrollar dicho pronóstico hace necesario tener en

cuenta algunos factores como el valor constante, tendencia, variaciones estaciónales, variaciones cíclicas, variaciones aleatorias y puntos de

modulación.

Referente a los pronósticos cualitativos, se consideran más comunes en las empresas de servicios ya que se basan en la repuesta de opiniones

de diversas personas, valorizando con juicio dichas opiniones para utilizarlas al generar el pronóstico. Estas técnicas cualitativas son más

flexibles que las cuantitativas, sin embargo son tan precisas y exactas como estas.

Al momento de elaborar un pronóstico y este resulta mal proyectado conlleva a que la planeación no funciona y todas las áreas de la empresa

se vuelven ineficientes, repercutiendo en las finanzas y reflejando las

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pocas ventas obtenidas, abundancias en los inventarios de productos

que no requieren los clientes, reducción de márgenes, costos más altos, entre otros problemas.

En términos de pronosticar variables importantes para una compañía o

para una parte de ella como son las ventas de la empresa, las horas de ausencia por empleado, los costos operativos, las tasa de interés y tipos

de cambio del mercado, entre otros, más sin embargo, las variables macroeconómicas median en las decisiones que tome la empresa para

su futuro.

¿QUÉ TÉCNICA UTILIZAR?

Para determinar que técnica de pronóstico, se deben considerar los

siguientes puntos:

1. Definir la naturaleza del problema de pronóstico.

2. Explicar la naturaleza de los datos bajo investigación.

3. Describir las capacidades y limitaciones de las técnicas de pronóstico

potencialmente útiles.

4. Desarrollar algunos criterios predeterminados sobre los cuales se

pueda tomar la decisión de la selección, como son algunas medidas

de error.

BASES DE PRONÓSTICO.

• Ingreso por venta.

• Costo de productos manufacturados.

• Horas de mano de obra directa

• Horas de maquinaria.

• Costos de los insumos.

FUENTES DE PRONÓSTICO.

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• Externas: Actividades generales de la economía o factores

geopolíticos, que después se relacionan con las actividades empresariales.

• Internas: Estima cada producto de una empresa, para después hacer

un pronóstico agregado de todas sus actividades.

CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS.SEGÚN EL

TIEMPO:

A Corto Plazo: alcance de un día a un año, sirve para funciones de control, como ajuste de la Tasa de producción, del empleo, del

pronóstico de venta, etc.

A Mediano Plazo: con alcance de una estación a uno o dos años. Son

usados para la planeación operativa, el flujo de caja, el programa de producción y las ventas.

A Largo Plazo: con un alcance de dos a cinco años, esto se usa para

ampliar plantas, producir nuevos productos, cambiar políticas, adoptar nuevas tecnologías.

Lección 2: MODELO DE REGRESIÓN LINEAL

El análisis de regresión es una de las técnicas estadísticas la cual se utiliza en la investigación al relacionar entre dos o más variables, una de

sus utilizaciones está en la construcción de modelos que permitan

predecir el comportamiento de una variable Y (dependiente, respuesta) en función de una o más variables (independientes, predictivas) X.

El comportamiento de estas variables suelen definirse de manera previa

lo que nos remite a un modelo teórico, o bien, se tiene el caso de que no exista una relación establecida entre estas y sea necesario establecer

una primera aproximación del comportamiento de las mismas.

Lo anterior se puede lograr usando una herramienta gráfica denominada

diagrama de dispersión lo que nos conduciría a desarrollar un modelo empírico de la relación que mantienen las variables en estudio.

Establece la relación temporal para la variable de pronóstico, implica

una relación causa-efecto.

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La ecuación general es: Y=α + βx

Y = Variable dependiente = La altura de la recta.

β = La pendiente de la recta. x = Variable independiente.

METODOS DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS.

Para calcular α y β:

α = altura de la línea recta.

β = pendiente de la recta.

Y = variable dependiente.

X = variable independiente.

x = promedio de los valores X.

y = promedio de los valores Y.

n = número de observaciones.

Ejemplo

Encontrar la línea recta del mínimo cuadrado.

20


EJEMPLO:

21


La demanda de un artículo en los últimos 4 años se muestra a continuación:

Demanda(unidades) 2006 2007 2008 2009

Años 6 8 7 9

Con esta información se pide pronosticar la demanda para el año 2010 y 2011 utilizando

regresión lineal.

Solución:

Es necesario hallar la ecuación de regresión , donde x representa el tiempo y Y

la demanda en unidades del artículo.

Procedemos a hallar teniendo en cuenta las ecuaciones planteadas anteriormente.

Años X Demanda(y) X.Y X2

2006 1 6 6 1

2007 2 8 16 4

2008 3 7 21 9

2009 4 9 36 16

TOTALES 10 30 79 30

=

=2,5; =

=7,5

=

=0,8

=5,5

; Esta sería la ecuación de regresión, ahora para hallar la demanda del año 2010 reemplazamos a x por 5, ya que sería el valor que le correspondería en la tabla, pues el 2009 es 4, así el 2011 seria 6.

Reemplazando obtendríamos:

Entonces la demanda proyectada para el 2010 sería de 9 unidades y de 10 unidades para el 2011.

TALLER DE APLICACIÓN

Solucione los siguientes ejercicios:

1. La demanda de un artículo en unidades en los últimos 5 años se describe a continuación:

22


Utilice la técnica de regresión lineal para estimar el número de unidades que se proyectan

de demanda para el año 2010.

2. El número de estudiantes matriculados en los últimos 4 años en una institución de

educación básica secundaria se describe a continuación:

Mediante regresión lineal pronostique el número de estudiantes que se matricularan en el

año 2010.

Lección 3: MODELO DE PROMEDIO MÓVIL

La suposición fundamental para esta técnica es que la serie de tiempo es estable, en el

sentido de que sus datos se generan mediante el siguiente proceso constante:

yt= b+et donde b es un parámetro constante desconocido estimado a partir de los datos

históricos. Se supone que el error aleatorio et tiene un valor esperado cero y una varianza

constante. Además, los datos para los diferentes periodos no están correlacionados.

La técnica del promedio móvil supone que las n observaciones más recientes son

igualmente importantes en la estimación del parámetro b. Así, en un periodo actual t, si los

datos para los n periodos más recientes son yt-n+1, yt-n+2,...e yt, entonces el valor estimado

para el periodo t+1 se calcula como

yt+1 = (yt-n+1+ yt-n+2 +...+yt)/n

No hay una regla exacta para seleccionar la base del promedio móvil, n. Si las variaciones

en la variable permanecen razonablemente constantes en el tiempo, se recomienda una n

grande. De otra forma, se aconseja un valor de n pequeño si la variable muestra patrones

cambiantes. En la práctica, el valor de n fluctúa entre 2 y 10.

Ejemplo.

23


La demanda (en número de unidades) de un artículo de inventario durante los pasados 24

meses se resume en la tabla. Utilice la técnica del promedio móvil para pronosticar la

demanda del siguiente mes (t= 25)

TABLA

Mes, t Demanda, yt Mes, t Demanda, yt

1 46 13 54

2 56 14 42

3 54 15 64

4 43 16 60

5 57 17 70

6 56 18 66

7 67 19 57

8 62 20 55

9 50 21 52

10 56 22 62

11 47 23 70

12 56 24 72

Si utilizamos n = 3, la demanda estimada para el siguiente mes (t = 25) será igual al

promedio de las demandas para los meses 22 al 24, es decir,

=68.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Solucione los siguientes ejercicios:

1. La demanda de un artículo en unidades en los últimos 5 años se describe a continuación:

Utilice la técnica del promedio móvil con k= 3 para estimar el número de unidades que se

proyectan de demanda para el año 2009 y 2010.

2. El número de estudiantes matriculados en los últimos 4 años en una institución de

educación básica secundaria se describe a continuación:

24


Mediante promedio móvil con k= 4, pronostique el número de estudiantes que se

matricularan en el año 2010 y 2011.

Lección 4: SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL

El método de suavización exponencial es un método de promedio móvil ponderado muy

refinado que permite calcular el promedio de una serie de tiempo, asignando a las

demandas recientes mayor ponderación que a las demandas anteriores. Es el método de

pronóstico formal que se usa más a menudo, por su simplicidad y por la reducida cantidad

de datos que requiere. A diferencia del método de promedio móvil ponderado, que requiere

n periodos de demanda pretérita y n ponderaciones, la suavización exponencial requiere

solamente tres tipos de datos: el pronóstico del último periodo, la demanda de ese periodo y

un parámetro suavizador, alfa , cuyo valor fluctúa entre 0 y 1.0. Para elaborar un

pronóstico con suavización exponencial, será suficiente que calculemos un promedio

ponderado de la demanda más reciente y el pronóstico calculado para el último periodo. La

ecuación correspondiente a este pronóstico es:

Ft+1= (demanda para este periodo) + (1- ) (pronóstico calculado para el último periodo)

Ft+1= Dt + (1- )Ft

La siguiente ecuación es equivalente:

Ft+1= Ft + (Dt-Ft)

Esta forma de la ecuación muestra que el pronóstico para el periodo siguiente es igual al

pronóstico del periodo actual más una proporción del error del pronóstico correspondiente

al mismo periodo actual.

Para poner en marcha la suavización exponencial se requiere un pronóstico inicial. Hay

dos formas de realizar este pronóstico inicial: Usar la demanda del último periodo, o bien,

se dispone de datos históricos, calcular el promedio de varios periodos recientes de

demanda. El efecto de la estimación inicial del promedio sobre las estimaciones sucesivas

del mismo disminuye a lo largo del tiempo porque, con la suavización exponencial, las

ponderaciones asignadas a las demandas históricas sucesivas, que se utilizan para calcular

el promedio, disminuyen exponencialmente.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

25


1. Karl´s Copiers vende y repara máquinas de fotocopiado. El gerente necesita pronósticos

semanales de las solicitudes de servicios, a fin de poder programar las actividades de su

personal de servicio. El pronóstico correspondiente a la semana del 3 de julio fue de 23

llamadas para servicio. El gerente aplica la suavización exponencial con = 0.25.

Pronostique usted el número de llamadas para servicio correspondientes a la semana del 7

de agosto, suponiendo que ésta sea la semana próxima.

2. Los siguientes datos corresponden a las calculadoras vendidas (expresadas en unidades)

en una tienda de electrónica durante las últimas 5 semanas.

Aplique la suavización exponencial con = 0.2, para pronosticar las ventas

correspondientes a las semanas 3 a 6.

Lección 5: ERROR DEL PRONÓSTICO

MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DE

PRONÓSTICO.

Error Pronóstico:

La cantidad por la cual la demanda real difiere de la demanda pronosticada. Existen tres

mediciones de funcionamiento para evaluar un modelo de pronóstico en el que Dt es la

demanda real en el periodo t y Ft, es la demanda pronosticada en el periodo t, encontramos:

RMSE: Error medio cuadrado

MAE: Error medio absoluto

MAPE: Error medio porcentual

26


EJEMPLO.

Se ha desarrollado un modelo de pronóstico para predecir las ventas mensuales de un

modelo particular de carro basándose en los siguientes datos de los 6 meses anteriores,

donde hallaremos error de pronóstico, error medio cuadrado (RMSE), error medio absoluto

(MAE), error medio porcentual(MAPE).

Como las ventas pronosticadas no son iguales que las ventas reales como podemos calcular

el error de pronóstico:

Los errores de pronostico (+) indican que la demanda real excede el pronóstico y los errores

(-) significan que la demanda está por debajo del pronóstico.

Ahora hallaremos RMSE y tenemos:

27


RMSE = √72/6 = 3,46

MAE = 18/6 = 3

MAPE = 28/6 = 4,66

Autoevaluación

TALLER.

1. En la Universidad de Tunja se escogieron 10 muestras de hombres al azar y se les

pregunto la estatura (x) y el número de calzado (y), arrojando los siguientes datos:

Halle la ecuación de la línea de regresión lineal (y). Cuando x: 1,75

2. Pronosticar las ventas diarias del almacén de zapatos Bucaramanga basándose en los 11

meses anteriores donde deberá hallar:

a. Error pronostico

b. Error medio cuadrado (RMSE)

c. Error medio absoluto (MAE)

d. Error medio porcentual (MAPE)

28


29


AREA:

ESTADÍSTICA

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e

Ingeniería

CIENCIAS BÁSICAS

CURSO:

Métodos

probabilísticos

UNIDAD: Técnicas de pronóstico y teoría de inventarios

CAPÍTULO: Técnicas de pronóstico

LECCIÓN: modelo de regresión lineal

NUMERO DE LA PRÁCTICA 1

NOMBRE DE LA PRÁCTICA Regresión lineal

NOMBRE DEL SOFTWARE WinQsb

Libre: ______x_____ Licenciado: _____________

Aspectos Teóricos:

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas:

al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una

estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos

padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir,

"regresaban" al promedio.4 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada

más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que

emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales

son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con un soporte teórico

por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso

La idea es proyectar una variable a través del tiempo, teniendo como referencia los datos

históricos de una variable, por ejemplo la demanda de un artículo en los últimos años y a

partir de estos datos pronosticar mediante una línea de regresión el valor aproximado de la

demanda en el futuro, generalmente es válido para unos cuantos períodos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Variables

http://es.wikipedia.org/wiki/Antropometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Valor_medio&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Promedio

http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal#cite_note-etim-3

http://es.wikipedia.org/wiki/Empirismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica

30


Ejemplo 1:

Teniendo en cuenta los datos históricos de la demanda de un artículo en los últimos 5 años,

realice el pronóstico de la demanda para el año 2011.Utilice el winqsb.

AÑOS 2005 2006 2007 2008 2009

DEMANDA(MILES

DE UNIDADES)

8 6 7 10 11

Solución:

Utilice el modulo del winqsb titulado: forecasting and linear regression.

Luego seleccione file:

31


Nos dara la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio

luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un titulo al problema y

en problema type marcamos time series forecasting, en time unit colñocamos días, meses o

años según los datos del problema, para nuestro caso serán años. En number of time units

colocamos el número de periodos de tiempo que tenemos, esto corresponde a los datos

históricos que se tienen para hacer el pronóstico(5 en nuestro caso).

32


Le damos ok y obtenemos el siguiente cuadro, en donde se deben registrar los datos del

ejercicio:

Luego seleccionamos solve and analyze, y obtenemos el siguiente cuadro:

Seleccionamos como indica la figura y se obtiene el siguiente cuadro de resultados:

33


Los valores que aparecen en los años 6 y 7 son los valores proyectados para la demanda,

que en este caso sería de 8,4 es decir 8400 unidades para el año 2010 y 2011.La demás

información corresponde a datos estadísticos de los cálculos efectuados.

Podemos también realizar la grafica correspondiente a datos reales y proyectados, para

nuestro ejercicio nos quedaría así:( utilizando la ventana indicada con la flecha.)

EJERCICIO

1. Halle el pronóstico de la demanda para el mes de febrero y marzo de un artículo que en

los últimos meses registro las siguientes ventas en millones de pesos:

Meses agosto septiembre octubre noviembre diciembre enero

34


Ventas(millones

de pesos)

3 4 5 4 6 3

Utilice el Winqsb como se mostro en el ejemplo, grafique los datos originales y los de

tendencia.

2. El número de estudiantes que se matricularon en una institución educativa de bachillerato

en los últimos cuatro años se relacionan a continuación:

años 2007 2008 2009 2010

Estudiantes

matriculados

425 450 465 486

Con estos datos halle el pronóstico de estudiantes que se matricularían para el año 2011.

CAPITULO 2: TEORÍA DE INVENTARIOS

INTRODUCCIÓN

Los modelos de inventarios tienen mucha importancia en el ámbito laboral de cualquier

empresa o negocio en el cual se necesite tener información completa sobre los diferentes

materiales o insumos que haya en existencia o que tengan que ser incluidos en la lista de

pedidos que deben ejecutarse temporalmente de acuerdo con las necesidades de producción

de la empresa o según el comportamiento de la demanda.

Existen diferentes modelos de inventarios, los cuales se aplican en relación con los

requerimientos del negocio en el cual van a ser empleados y se convierten en una base para

la toma de decisiones por parte de los gerentes o encargados de producción que son los que

están pendientes de que no haya faltantes o sobrantes en la producción, de modo que se

generen el denominado logro que no es otra cosa que poseer un stock de mercancías que no

se mueven o no producen ninguna ganancia.

OBJETIVOS

Conocer algunos de los más efectivos métodos para la toma de decisiones en cuanto

al manejo de inventarios y sus métodos de control.

Determinar cuál es el modelo de inventarios más adecuado de acuerdo con la

empresa en la cual se vaya a implementar, de modo que se tenga una certeza de

cuáles son los artículos que se van a necesitar y en qué medida debe realizarse el

pedido.

Lección 6: CONCEPTOS GENERALES

DEFINICION

35


Son los artículos a la mano que un cliente puede comprar en un ambiente de

fabricación, los inventarios son las materias primas para producir bienes terminados.

La madera, clavos, barniz y otros materiales necesarios para construir un librero son

los artículos de inventario, el medio de producción es el cliente.

ADMINISTRACION DE INVENTARIOS

Son técnicas usadas para ayudar a los gerentes a determinar cuándo deben

ordenarse.

Consideremos las ventajas de tener grandes inventarios:

Para evitar escasez. Cuando se conoce la demanda futura de un artículo y se puede confiar

en las entregas puntuales de un proveedor, siempre puede colocar pedidos de tal forma que

se satisfaga toda la demanda sin necesidad de un inventario. Para aprovechar las economías

de escala. Al solicitar grandes cantidades un negocio puede obtener su suministros a un

costo inferior, así mismo el negocio colocaría menos pedidos, lo que ahorraría esfuerzos y

costos administrativos. Mantener un flujo de trabajo continuo en un medio de producción

de múltiples etapas. Cada una de estas razones argumenta a favor de tener grandes

inventarios a la mano.

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

Son las técnicas utilizadas para determinar cual de estas características tiene su modelo para

poder aplicar el paquete para realizar el análisis correcto.

a. Demanda Dependiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo

determinado afecta la demanda de uno o más de los otros artículos.

b. Demanda Independiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo no

afecta la demanda cualquiera de otros artículos.

c. Demanda Determinística Contra Probabilística: Existen dos categorías:

Demanda Determinística: es la demanda de un artículo que se conoce con certeza.

Ejemplo: un proceso de elaboración de un libro, una máquina inserta las 100 hojas

por segundo aquí las hojas serían artículos o materias en inventario, la maquina es el

cliente y la demanda Determinística son las 100 hojas por segundo.

Demanda Probabilística: es la demanda de un artículo que está sujeta a la cantidad

significativa de incertidumbre y variabilidad. Ejemplo: en un hospital usted no sabe

cuántos y que tipos de pacientes tenga la semana entrante, lo que ocasiona una

demanda incierta de suministros médicos.

36


d. Déficit o Faltantes: una circunstancia en la que el inventario disponible es insuficiente

para satisfacer la demanda.

e. Tiempos Líderes: el tiempo entre la colocación de periodo de bienes y la llegada de estos

bienes enviados por el proveedor.

f. Descuentos Cuantitativos: cuando los inventarios son reabastecidos por proveedores

Externos, la cantidad pagada por artículo puede depender del tamaño de ese pedido.

g. Políticas de Pedidos: es un enfoque para determinar cómo y cuándo reabastecer los

inventarios.

CARACTERÍSTICAS CLAVES:

Pedido de artículos en intervalos de tiempo fijos: La cantidad a ordenar está determinada

por el nivel del inventario en el momento en el que se coloca el pedido. La cantidad pedida

cada vez varía. Ejemplo: considere el reabastecimiento de leche en una tienda de abarrotes.

Cada martes el gerente de lácteos pide la cantidad, y la cantidad depende de cuantos

galones hay en el estante cuando coloca el pedido. Esta política también se denomina

revisión periódica pues requiere revisara el nivel de inventario en puntos fijos de tiempo

para determinar cuánto ordenar.

Pedido de un número fijo de artículos cuando el inventario a la mano llega a un cierto nivel

previamente especificado, llamado el punto de nuevos pedidos: En este caso, la cantidad

pedida siempre es la misma, pero el tiempo entre los pedidos puede variar. Ejemplo: Un

gerente de bar puede reordenar cerveza cuando el suministro actual cae por menos de tres

cajas. Este nivel puede alcanzarse en 4 semanas cuando el negocio va lento o en una

semana cuando el negocio está activo, digamos durante la semana del súper tazón. Esta

política también se denomina revisión continua, pues requiere una comprobación continua

del inventario para determinar cuándo se alcanza el punto de nuevos pedidos.

i. Revisión Periódica: es la política de ordenamiento que requiere revisar el nivel de

inventarios en puntos fijos de tiempo para determinar cuándo ordenar sobre la base de

inventarios a la mano en ese momento.

ii. Revisión Continua: es la política de ordenamiento que requiere revisar el inventario

continuamente para determinar cuándo se alcanza el punto de nuevos pedidos.

iii. Punto de Nuevos Pedidos: nivel de inventarios en el cual debe colocarse el nuevo

pedido.

Lección 7: MODELO DE INVENTARIOS EOQ

MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q.

¿A qué se debe que las empresas almacenan inventario?. Son muchas las razones para

que una empresa conserve productos terminados o insumos como inventario. El inventario

37


permite enfrentar variaciones de la demanda, evitar quiebres de stock, obtener economías

de escala, permite una mayor flexibilidad productiva, se puede usar como un arma

competitiva, etc.

Por consiguiente, mantener los inventarios proporciona importantes beneficios asociados

¿Por qué no llenamos nuestras bodegas de inventario?. Las respuestas son múltiples, pero

todas mantienen una base común: Costos. Se afirma que mantener inventarios es un "mal

necesario" dado los costos asociados a la gestión de inventarios. En este sentido podemos

clasificar los costos de inventario en:

1. Costo de Órdenes: costo que se incurre cada vez que se emite una orden.

2. Costo de mantener Inventario: arriendo de bodegas, depreciación, costo de

oportunidad, pérdidas, seguros, etc.

3. Costo de quiebre de stock: es más difícil de estimar y está asociado al costo de la venta

pérdida (perder un cliente, deterioro de imagen, multas, etc).

La Gestión de Operaciones provee de modelos matemáticos que permite enfrentar de una

forma sistemática la problemática de la gestión de inventarios. Estos modelos matemáticos

básicamente se clasifican en 2 categorías y depende del comportamiento (basado en

supuestos) respecto al comportamiento de la demanda. Están los modelos asociados a

demanda constante (EOQ, POQ, EOQ con descuentos por volumen, etc) y los

relacionados con demanda aleatoria (asociada a una función de probabilidad). En este

sentido EOQ resulta ser el modelo matemático más sencillo y sus características principales

se resumen a continuación.

De tal manera Inventarios EOQ, Es el modelo matemático usado como la base para la

administración de inventarios en el que la demanda y el tiempo líder son determinísticos.

No se permiten los déficits y el inventario se reemplaza por lotes al mismo tiempo.

Características:

El inventario pertenece a uno y solo un artículo.

El inventario se abastece por lotes.

La demanda es Determinística, es decir se conocen cuantas se venden en un tiempo

determinado.

El tiempo guía L es determinístico y se conoce.

Los déficit no están permitidos.

Componentes de Costos de un Sistema de Inventarios.

38


El costo de pedidos u organización: (K) este es un costo fijo, independiente del

número de unidades pedidas o producidas. se incurre es este costo cada vez que se

coloca un pedido o que se echa a andar una máquina para una corrida de

producción.

El costo de compra: (C) cada unidad pedida incurre en un costo de compra, que es

un costo directo por unidad.

El costo de conservación: (H) este es un costo obtenido por cada artículo en

inventario, un costo de conservación puede incluir lo siguiente:

Costos de almacenamiento: compuestos por los gastos generales del almacén, seguro,

requerimientos de manejo especial, robo, objetos rotos,etc.

Costos de oportunidad del dinero: comprometido en inventario que de otra manera podría

haberse usado o invertido.

Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen los costos de

conservación se calculan como una fracción (i) del costo unitario C.

H= (Tasa de transferencia)*(Costo de la unidad)

H = i * C

Ejemplo:

Para el Mouse valuado en $20000 con tasa de transferencia de 0.11, el costo de

conservación por año por cada unidad es:

H = i * C

H = 0.11 * 20000

H = $2200

Tasa de Transferencia: (i) es la suma de las fracciones usadas en el cálculo de los costos de

almacenamiento y oportunidad.

El costo de Déficit: (B) es el costo de no satisfacer la demanda. es decir el costo de que se

acabe un artículo. Recuerde que cuando no se puede satisfacer la demanda la venta se

pierde.

TABLA DE RESUMEN

D = demanda por pedido L= El tiempo para recibir un pedido

I= Tasa de transferencia por periodo, está dada siempre en %

K= El costo fijo de colocar un pedido.

C= El costo de compra de pedir cada unidad.

H = (I * C) El costo de conservación por unidad por periodo.

39


Formulas del Modelo E.O.Q.

D - demanda por período.

L - el tiempo guía para recibir un pedido. L = Q*/D

i - tasa de transferencia por pedido.

K - costo fijo de un pedido.

C - costo de compra (costo por unidad).

H - costo de conservación (H = I x C).

Q - número de unidades.

Q* - cantidad optima de pedido.

Q/2- inventario promedio.

CPA. Costo de pedido anual Cp = K x (D/Q).

Cc. Costo por compra anual Cc = C x D.

Costo de conservación anual Ch= (Q/2) x (H).

Ct .Costo anual total Cta = (Cp) + (Cc) + (CH).

Número de pedidos NP = D/Q*.

Punto de nuevos pedidos (R) R = D x L.

EJEMPLOS

1. El hospital de Neiva da servicio a una pequeña comunidad. Un suministro usado con

frecuencia es la película de rayos x, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad. Como

gerente de suministros, debe determinar cómo y cuándo hacer pedidos para asegurar que al

hospital nunca se le termine este artículo critico, y al mismo tiempo, mantener el costo total

tan bajo como sea posible.

Para comprender como la cantidad de pedido (Q) impacta al nivel del inventario con el

tiempo, supongamos que ordenamos lotes de:

Q = 4500 películas en existencia.

Y el proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana (es decir el tiempo

guía es L = 1 semana). El departamento de contabilidad del hospital ha proporcionado los

siguientes valores:

Un costo de pedidos fijo de $10000 para cubrir los costos de colocar cada pedido, pagar los

cargos de entrega, etc. Un costo de compra de $5000 por cada película sin descuento de

cantidad. Una tasa de transferencia de 30% por año (es decir, i=0.0) para reflejar el costo de

almacenar la película en un área especial, así como el costo de oportunidad del dinero

invertido en el inventario ocioso.

Solución Demanda anual D= (1500 películas*12 meses)= 18000 películas

Tiempo guía L= 1 semana= 1/52 de un año

40


Tasa de transferencia anual de i= 0.30%

Costo de pedidos K= $10000 por pedido

Costo de pedidos C= $5000 por película

Costo de conservación anual H= i*C= 0.30*5000= $1500 por película al año.

CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A.

COSTO DE PEDIDOS ANUAL:

K * D / Q = 10000*(18000/4500)= 40000

COSTO DE COMPRA ANUAL: C * D = 5000*18000= 90.000.000

COSTO DE CONSERVACION ANUAL: (Q/2)*H o (Q/2)*(I * C) =(Q/2)*(I *

C)=2250*(0.30*5000)= 3.375.00

Ahora remplazamos en la formula general:

CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A.

CTA = 40000+90.000.000+3.375.000

CTA = 93.415.000

Ahora hallamos Q*

Q*=√2D*K/H = √2D*K/I*C

Q*= √2D*K/(i * C)

Q*= √2*18000*10000/(0.30*5000)

Q*=489,89≈ 490

NUMERO DE PEDIDOS:

D/Q*=18000*490 = 36,7≈ 37 pedidos

TIEMPO:

L = Q*/D = 490/18000 = 0.027

NIVEL DE PEDIDOS:

R = D * L =18000*0.027 = 486

2. Almacenes Olímpica compra aproximadamente 10.000 televisores en el curso del año a

un costo de 30 cada uno. Cada pedido incurre en un costo fijo de 85 y llega una semana

después de haber hecho el pedido. Suponiendo una tasa de transferencia anual de o.15,

calcule: La cantidad de pedidos óptimos, el punto de nuevos pedidos y el costo anual.

Solución.

Lo que se tiene:

D = 10.000

H = I x C = 0,15(30) K = 85 i = 0,15 C = 30= 4.5

=614,6362

R = D x L Q = (D/2 x H)

R= 10.000(1/52) Q = 10.000/2(4.5)

R = 192,3076 Q = 22.500

41


CTA = costo de pedido anual + costo compra anual + costo conservación anual

K(D/Q) + C x D + (Q/2) x H

85(10.000/22.500) + 30(10.000) + 614,6363/2) x 4,5

CTA = 315208,35

3. Un almacén de venta de ropa para un suministro frecuente de jeans pide a un proveedor

fuera de la ciudad, el gerente debe asegurar que estas nunca se terminen y que además se

mantenga el costo mínimo posible. Teniendo en cuenta:

La demanda es de 200 jeans por mes

El proveedor tarda una semana en entregar la mercancía

El costo de pedido fijo es de $50.000

Un costo de compra de $30.000

Una tasa de transferencia del 20% por año donde Q=1000

D = 200 I = 1 K = 50.000 C = 30.000 L = 0.20 Q = 1000

CPA = Kx(D/Q)=50.000(200/1000)=50.000 x 0,2=10.000

Costo de compra anual= C x D = 30.000 x 200 = 6.000.000

Costo de conservación=Q/2(I x C)=1000/2(0,2 x 30.000)=3.000.000

Número promedio de pedidos=D/Q=200/1000=0.2

SOLUCIONE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. Una compañía comercializadora está interesada en reducir el costo de su inventario

determinando el número óptimo de su producto que debe solicitar en cada orden. Su

demanda anual es de 500 unidades, el costo de ordenar o preparar es de $12 por orden y el

costo de mantener por unidad por año es de $2. La compañía trabaja 280 días al año.

Halle: a. Número óptimo de unidades por orden.

b. Número de órdenes por año.

c. Tiempo esperado entre órdenes.

d. Costo total anual del inventario. (costo por unidad $80).

2. En cada uno de los siguientes casos, determine la cantidad óptima de pedido y el costo

diario correspondiente.

a. k= $100, h= $0.05, D= 30 unidades diarias.

b. k= $50, h= $0.05, D= 30 unidades diarias.

c. k= $100, h= $0.01, D= 40 unidades diarias.

d. k= $100, h= $0.04 D= 20unidades diarias.

42


3. Mcburguer pide carne molida al comenzar cada semana para cubrir la demanda semanal

de 300lb. El costo fijo por pedido es de $20, cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar

y almacenar la carne. Determine la cantidad óptima de pedido y el costo semanal del

inventario.

Lección 8: MODELOS DE INVENTARIOS EOQ CON DESCUENTOS

DESCUENTO POR CANTIDAD

Los descuentos por cantidad, que son incentivos de precio para que el cliente compre

mayores cantidades del producto, crean presión para mantener un inventario abundante. Por

ejemplo, un proveedor puede ofrecer un precio de $4 por unidad, para los pedidos en que

soliciten entre 1 y 99 unidades; un precio de $3.50 por unidad, para pedidos entre 100 y 199

unidades; y un precio de $3.000 por unidad, para los pedidos de más de 200 unidades. El

precio del artículo ya no se considera fijo, como se suponía en la derivación de la EQQ; en

lugar de eso, si la cantidad del pedido aumenta lo suficiente, se obtiene un descuento en el

precio. Por lo tanto, en este caso se requiere un nuevo enfoque para encontrar el mejor

tamaño del lote, es decir, un método que sopese las ventajas de comprar materiales a

precios más bajos y tener que hacer menos pedidos(es decir, los beneficios de hacer

pedidos por grandes cantidades), frente a la desventaja que implica el incremento del costo

por el manejo de un inventario mayor.

El costo anual total incluye ahora no solamente el costo de manejo de inventario, (Q/2) (H)

y el costo de hacer pedidos, (D/Q) (S), sino también el costo de los materiales comprados.

Cualquiera que sea el nivel de precios por unidad, P, el costo total es:

Costo = Costo anual de + Costo anual de + Costo anual de

Total manejo de inventario hacer pedidos de materiales

El costo unitario de manejo de inventario H se expresa habitualmente como un porcentaje

del precio unitario, porque cuanto más valioso sea el artículo que se tiene en inventario,

tanto más alto será el costo de su manejo. Por consiguiente, cuanto más bajo sea el precio

unitario, P, tanto más bajo será H. Inversamente, cuanto más alto sea P, tanto más alto será

H. Igual que cuando calculamos anteriormente el costo total. La ecuación del costo total

genera curvas de costo total en forma de U. Si el costo anual de materiales se agrega a la

ecuación del costo total, cada curva de costo total se eleva en una magnitud fija.

43


PROCESO PARA HALLAR EL MEJOR TAMAÑO DE LOTE

1. A partir del precio más bajo de todos, calcule la EOQ para cada nivel de precios, hasta

que encuentre una EOQ factible. Sabrá usted que ésta es factible si se encuentra en el rango

correspondiente a un precio. Cada EOQ subsiguiente es más pequeña que la anterior porque

p, y por lo tanto H, se vuelve cada vez más grande y porque esa H más grande está en el

denominador de la fórmula de la EOQ.

2. Si la primera EOQ factible que encuentre corresponde al nivel de precios más bajo, esta

cantidad representará el mejor tamaño del lote. Si no es así, calcule el costo total

correspondiente a la primera EOQ factible y a la mayor magnitud del cambio de precio, en

cada nivel de precios más bajo. La cantidad a la cuál corresponde el costo total más bajo de

todos será la óptima.

EJEMPLO PRÁCTICO

Uno de los proveedores del sistema de salud de Lower Florida Keys ha presentado su plan

de precios de descuento por cantidad para alentar a sus clientes a que compren mayores

cantidades de un catéter de tipo especial. El plan de precios propuesto es el siguiente:

Lower Florida ha estimado que la demanda anual para este artículo es de 936 unidades, el

costo que implica hacer esos pedidos es de $45 por pedido y su costo anual de manejo de

inventario representa el 25% del precio unitario del catéter. ¿Qué cantidad de dicho catéter

tendrá que pedir el hospital para minimizar su total de costos?

SOLUCION

Paso 1. Encuentre la primera EOQ factible, comenzando con el nivel de precios más bajo:

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Un pedido de 77 unidades cuesta realmente $60 por unidad, en lugar del costo de $57 por

unidad que se uso en el cálculo de la EQQ; por lo tanto, esta EQQ no es factible.

Intentemos ahora con el nivel de $58.80:

Esta cantidad tampoco resulta factible, porque un pedido de 76 unidades es demasiado

pequeño para que se le aplique el precio $58.80. Intente ahora con el nivel de precios más

alto:

Esta cantidad es factible, porque se encuentra dentro del rango correspondiente a su precio,

P = $60.00.

Paso 2. La primera EQQ factible, de 75, no constituye el nivel de precios más bajo de

todos. Por lo tanto, tendremos que comparar su costo total con las cantidades

correspondientes al cambio de precio (300 unidades y 500 unidades), en los niveles de

precio más bajos ($58.80 y $57.00):

45


La mejor cantidad de compra es de 500 unidades, con la cual se obtiene el mayor

descuento. Sin embargo, la solución no siempre funciona así. Cuando los descuentos son

pequeños, el costo de manejo de inventario H es considerable, la demanda D es pequeña y

los tamaños del lote más reducidos funcionan mejor, aunque se renuncie a descuentos en el

precio.

TALLER DE APLICACIÓN

1. El equipo Bucks de la liga mayor de béisbol rompe cuatro bates por semana, en

promedio. El equipo compra sus bates de béisbol a Corkys, un fabricante que se distingue

porque tiene acceso a la mejor madera maciza. El costo de hacer el pedido es de $70 y el

costo anual del manejo de inventario por bat y por año representa el 38% del precio de

compra. La estructura de precios de Corkys es la siguiente:

a. ¿Cuántos bates debería comprar el equipo en cada pedido?

b. ¿Cuál es el total de los costos anuales asociados a la mejor cantidad de pedido?

2. La librería universitaria de una gran institución estatal compra lapiceros mecánicos a un

mayorista. Éste le ofrece descuentos cuando los pedidos son grandes, de acuerdo con el

siguiente plan de precios:

La librería ha supuesto que la demanda anual será de 500 unidades. Hacer un pedido le

cuesta $10 y el costo anual por manejo de inventario de una unidad es equivalente al 10%

del precio de la misma. Determine cuál es la mejor cantidad del pedido.

Lección 9: MODELOS DE LOTE DE PRODUCCIÓN Y EL SISTEMA DE

CLASIFICACIÓN ABC

MODELO DE LOTE DE PRODUCCIÓN

Hasta ahora habíamos supuesto que el pedido llegaba instantáneamente o que la producción

se reabastecía de inmediato. Sin embargo en la práctica una empresa manufacturera va

produciendo paulatinamente y a través del tiempo va vendiendo los artículos que le son

46


demandados. A continuación se explicara un modelo con el supuesto que la producción se

da paulatinamente a una tasa b, que es mayor que la demanda a.

Los costos que se considerarán son:

K : Costo de preparación para producir u ordenar un lote.

c : El costo de producir o comprar cada unidad.

h : El costo de mantenimiento de una unidad de inventario por unidad de tiempo.

Recordemos además:

b : Tasa de producción de los artículos

a : Tasa de demanda de los artículos.

b>a

Debemos hallar el costo total por unidad de tiempo ($/tiempo). Primero hallaremos los

costos únicamente para un ciclo, por lo que los costos estarán en ($).

Costo por ciclo de producción u ordenar = K + c Q

[$] + [$/ artículo ] * [artículo ] =[$]

47


48


Ejemplo:

Manufactura de bocinas para televisores.

1. Cada vez que se produce un lote, se incurre en un costo de preparación de $12000.

2. El costo unitario de producción de una sola bocina (excluyendo el costo de preparación)

es $10.

3. El costo de mantenimiento de una bocina en almacén es de $0.3 por mes.

4. La demanda es de 8000 bocinas mensuales.

5. La tasa de producción es de 14000 bocinas mensuales

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Manufactura de bocinas para televisores debe producir 38643 bocinas cada 4.83 meses para

minimizar los costos de manejo de los inventarios.

EL sistema de clasificación ABC

Es una necesidad en casi todas las compañías saber la composición de sus inventarios. Es

por ello que existen formas de clasificarlos según su importancia.

El sistema de clasificación ABC nos ayuda a clasificar los inventarios en tres categorías:

A: Muy importantes.

B: Medianamente importantes.

C: Poco o nada importantes

Al aplicar el sistema de clasificación ABC es importante recordar lo expuesto por el

economista italiano Pareto referente a que el 20% más importante de la causa es la

responsable del 80% del efecto.

Aplicándolo a los inventarios se vería:

50


Un criterio de clasificación para determinar la importancia de los artículos dentro del

inventario es la cantidad promedio en dinero del artículo

(Cantidad en artículos promedio * Costo unitario).

Ejemplo:

Suponga que un almacén de cadena maneja 4 tipos de artículos: Electrodomésticos,

vestidos para hombres y mujeres, artículos comestibles, artículos de papelería.

En la siguiente tabla se resume la clasificación de los artículos:

51


Lección 10: MODELO ESTOCASTICO DE INVENTARIOS

Hasta el momento hemos venido suponiendo que la demanda es conocida y cierta. Modelo

de un período sin costo fijo sin embargo la mayoría de los casos nos muestran demandas

inciertas y desconocidas. Suponiendo que la demanda para un período es una variable

aleatoria, es posible conocer su distribución de probabilidad.

Ejemplo - Distribuidor de bicicletas

Un distribuidor mayorista de bicicletas compra bicicletas al fabricante para surtir las

diferentes tiendas en el oeste de los E.E.U.U existe incertidumbre sobre cuál será la

demanda de bicicletas por parte de las tiendas en cualquier mes, por lo que el distribuidor

se enfrenta a ¿Cuántas bicicletas debe ordenar al fabricante en un mes determinado?

El distribuidor ha analizado sus costos y ha determinado que los siguientes factores son

importantes:

1. Costo de ordenar:

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2. Costo de mantenimiento: Costo de tener un inventario. Se ha estimado en $1 por

bicicleta-mes. Sin embargo las bicicletas tienen un valor de salvamento de $10 c/u. - $9 por

bicicleta que queda al final del mes.

3. Costo por faltantes: Costo por no tener una bicicleta disponible cuando se necesita se

considera despreciable en este ejemplo.

Según la terminología que hemos venido empleando:

K : 0 Costo de preparación

c : $ 20 / bicicleta Costo de adquisición

h : - $9 / bicicleta - mes Costo de mantenimiento

p : $ 45 / bicicleta Precio de venta

Vamos a adoptar el criterio de maximización del ingreso neto para la formulación del

modelo

Definamos

y : Cantidad comprada por el distribuidor al fabricante

D : Cantidad demandada por las tiendas al distribuidor

Ingreso neto = p * cantidad vendida por el distribuidor

- c * cantidad comprada por el distribuidor

- h * cantidad no vendida y liquidada al valor de recuperación

53


54


55


56


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD

1. Escriba dentro del paréntesis la letra a la cual corresponde la definición.

2. Mac-in-the-Box, Inc., vende equipo de computadoras mediante pedidos que los clientes

hacen por teléfono y por correo. Mac vende 1200 escáneres de cama plana cada año. El

costo del pedido es de $300 y el costo anual del manejo de inventario representa el 16% del

precio del artículo. El fabricante del escáner le ha propuesto la siguiente estructura de

precios a Mac-in-the-Box.

¿Con qué cantidad del pedido se logra minimizar el total de los costos anuales?

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3. enuncie cuatro características de los Modelos E.O.Q.

4. Indique el significado de los siguientes símbolos.

K

C

H

B

Q*

I

D

58


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1

Bernstein, Peter L. (1998). Against the Gods, the remarkable story of risk. USA, John

Wiley.

Hanke, John E.; Wichern, Dean W. & Reitsch, Arthur G. (2001). Business Forecasting.

Seventh Edition. USA, New Jersey: Prentice Hall

Makridakis, Spyros. (1993). Pronósticos. Estrategia y Planificación para el siglo XXI.

Madrid, España: Ediciones Díaz de Santos, S.A.

Sanjay K. Bose. An Introduction to queueing systems, Kluwer Academic/Plenum

Publishers, 2002.

Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman Introduction to operations research,

McGraw-Hill, 1995.

Hisashi Kobayashi Modeling and analysis : an introduction to system

performance evaluation methodology, Addison-Wesley, 1978.

Stephen S. Lavenberg, [editors] Computer performance modeling handbook,

Academic Press, 1983.

Wayne L. Winston Operations research : applications and algorithms,

Brooks/Cole - Thomson Learning, 2004.

59


UNIDAD 2

Nombre de la Unidad Cadenas de Markov, teoría de colas y programación no lineal

Introducción

El análisis de Markov tuvo su origen en los estudios de A.A.Markov(1906-1907) sobre la secuencia de los experimentos conectados en cadena y los intentos de descubrir matemáticamente los fenómenos físicos conocidos como movimiento browiano. La teoría general de los procesos de Markov se desarrollo en las décadas de 1930 y 1940 por A.N.Kolmagoron, W.Feller, W.Doeblin, P.Levy, J.L.Doob y otros.

El análisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de alguna variable, a fin de pronosticar un movimiento futuro de la misma.

Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes.

En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Justificación El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes.

Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas.

http://www.monografias.com/trabajos11/bancs/bancs.shtml

http://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/verific-servicios/verific-servicios.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/sercli/sercli.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtml

http://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml

60


Intencionalidades Formativas

Valorará la importancia que tiene los métodos estudiados en situaciones organizacionales para las empresas en el mundo moderno.

Planteará y resolverá problemas en diferentes campos del saber, haciendo un proceso de abstracción de escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las temáticas estudiadas.

Denominación de capítulos

Capitulo 3 Cadenas de Markov Capitulo 4 Modelos de líneas de espera Capitulo 5 Programación no lineal

61


CAPITULO 3: CADENAS DE MARKOV

Lección 11: CADENAS DE EVENTOS

ANALISIS DE MARKOV

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un

evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen

memoria. “Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos

futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las

series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.

En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de

compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos, para

planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Aunque no es

una herramienta que se use mucho, el análisis de Markov puede proporcionar información

importante cuando es aplicable.

El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el

método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un

estado en particular en un momento dado. Más importante aún, permite encontrar el

promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta

información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo.

Un tipo especial de procesos estocásticos de tiempo discreto se llama cadena de Markov.

Para simplificar nuestra presentación supondremos que en cualquier tiempo, el proceso

estocástico de tiempo discreto puede estar en uno de un número finito de estados

identificados por 1.2,..., s.

DEFINICIÓN Un proceso estocástico de tiempo discreto es una cadena de Markov si, para

t = 0,1,2,... y todos los estados,

(1) P(Xt+1 = i t+1 \ X t = i t,. Xt-1= it-1, …, X1 = i1, X 0= i0) = P(Xt+1 = i t+1 \ X t = i)

En esencia, la ecuación (1) dice que la distribución de probabilidad del estado en el tiempo

t + 1 depende del estado en el tiempo t(i) y no depende de los estados por los cuales pasó la

cadena para llegar a i, en el tiempo t.

En el estudio de las cadenas de Markov haremos la hipótesis adicional que para lodos los

estados i y j, y toda t, P(Xt+1 = i \ X t = j ) es independiente de t. Esta hipótesis permite

escribir

62


(2) P(Xt+1 = i \ X t = j ) = pij

donde pij es la probabilidad de que dado que el sistema está en el estado i en el tiempo t, el

sistema estará en el estado j en el tiempo t + 1. Si el sistema pasa del estado i durante un

periodo al estado j durante el siguiente, se dice que ha ocurrido una transición de i a j. Con

frecuencia se llaman probabilidades de transición a las pij en una cadena de Markov.

La ecuación (2) indica que la ley de probabilidad que relaciona el estado del siguiente

periodo con el estado actual no cambia. o que permanece estacionaria, en el tiempo. Por

este motivo, a menudo se llama Hipótesis de estabilidad a la ecuación (2). Toda cadena de

Markov que cumple con la ecuación (2) se llama cadena estacionionaria de Markov

El estudio de las cadenas de Markov también necesita que definamos qi como la

probabilidad de que la cadena se encuentre en el estado i en el tiempo 0; en otras palabras,

P(X0 = i) •= qi,. Al vector q = [q1, q2, ..., qs] se le llama distribución inicial de

probabilidad de la cadena de Markov. En la mayoría de las aplicaciones, las probabilidades

de transición se presentan como una matriz P de probabilidad de transición s x s. La matriz

de probabilidad de transición P se puede escribir como

Dado que el estado es i en el tiempo t, el proceso debe estar en algún lugar en el

tiempo t + 1. Esto significa que para cada i.

También sabemos que cada elemento de la matriz P debe ser no negativo. Por lo tanto,

todos los elementos de la matriz de probabilidad de transición son no negativos; los

elementos de cada renglón deben sumar 1.

63


Lección 12: DESCRIPCIÓN DE UNA CADENA DE MARKOV

La probabilidad de pasar de un evento a otro se llama probabilidad de transición, para

describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas

las probabilidades de transición.

Hay dos formas fáciles de exponer las probabilidades de transición:

1. DIAGRAMA DE ESTADOS: como el que muestra la figura, en ésta se ilustra un sistema de

Markov con dos estados posibles: s1 y s2. La probabilidad condicional o de transición de

moverse de un estado a otro se indica en el diagrama, por ejemplo la probabilidad de pasar

del estado s1 al estado s2 se señala como p12. Las flechas muestran las trayectorias de

transición que son posibles. La ausencia de algunas trayectorias significa que esas

trayectorias tienen probabilidad igual a cero.

2. MATRIZ DE TRANSICIÓN: Para el ejemplo anterior la matriz se muestra a continuación,

nótese que, como existen dos estados posibles, se necesitan 2x2 = 4 probabilidades.

También nótese que cada renglón de la matriz suma 1.esto se debe a que el sistema debe

hacer una transición.

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EJERCICIOS PRACTICOS

1. Teniendo en cuenta el siguiente diagrama de estados, describa la matriz de transición

correspondiente.

2. teniendo en cuenta la siguiente matriz de transición describa el diagrama de estados

correspondiente.

3. Escriba las observaciones que puede hacer a partir del diagrama de estados o de la matriz

de transición en cada caso.

Lección 13: CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN

Ahora que se sabe cómo presentar los datos, ¿ qué puede hacerse? Un análisis útil es

pronosticar el estado del sistema después de 1, 2, 3, o más periodos. Esto se llama análisis

de transición, debido a que es a corto plazo y está enfocado a periodos cortos.

EJEMPLO:

Considérese la siguiente cadena de Markov: una copiadora de oficina, poco segura. Si está

funcionando un día, existe un 75% de posibilidades de que al día siguiente funcione y un

65


25% de posibilidades de que no funcione. Pero si no está funcionando, hay 75% de

posibilidades de que tampoco funcione al día siguiente y sólo un 25% de que si lo haga (se

lleva mucho tiempo la reparación)

Para comenzar un análisis de transición, se deben conocer el estado actual.

Supóngase que se está comenzando y que hay 75% de posibilidades de estar en el estado 1

y 25% de estar en el estado 2. Esto define el estado actual en forma probabilística. ¿Cuál es

la probabilidad de que la copiadora al 4 día este funcionando?

SOLUCION:

ESTADOS: S1= La copiadora funcionando

S2= La copiadora no funcionando

X0= Representa la proporción de objetos en cada estado al inicio del proceso (vector inicial

de distribución probabilística)

ESTADO ACTUAL

X0= [X1, X2]= [0.75, 0.25]

Para hallar la probabilidad de que la copiadora este funcionando al 4 día es necesario

determinar las 3 probabilidades anteriores, ya que:

X4= x

3.p

X3= x

2.p

X2= x

1.p

X1= x

0.p

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Xn= x

0.p

n esta ecuación representa la proporción de objetos en el estado i que realizan la

transición al estado j durante un período.

Entonces las probabilidades para el primer ciclo se calcularían así:

De esta forma se hallan las otras probabilidades de transición, el resultado final es:

Esto se puede interpretar asi: al cuarto día la probabilidad de funcionamiento de la

copiadora es de 51.56% si ella estaba funcionando. asi mismo 48.43% de probabilidades de

no funcionamiento.

TALLER

1. Dada la cadena de Markov siguiente:

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Encuentre las probabilidades de transición para los 5 ciclos siguientes, teniendo en cuenta

que el sistema se encuentra en el estado 1.

2. Dada la siguiente matriz de tres estados.

a. dibuje el diagrama de estados.

b. Encuentre las probabilidades de transición para los siguientes tres ciclos suponiendo el

inicio en el estado B.

3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un

mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la

mitad pagara a tiempo la próxima vez.

a. Si una persona paga a tiempo. ¿ Cuál es la probabilidad de que pagara a tiempo durante 6

meses desde ahora?

Lección 14: PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE

APLICACIÓN A LA ADMINISTRACIÓN E INGENIERIA

Las compras de los consumidores están influidas por la publicidad, el precio y muchos

otros factores. Con frecuencia un factor clave es la última compra del consumidor. Si por

ejemplo, alguien compra un refrigerador maraca Y y le da un buen servicio, quedará

predispuesto a comprar otro refrigerador marca Y.

De hecho, una investigación de mercado puede determinar el grado de lealtad a la marca

encuestando a los consumidores. En términos de una cadena de Markov, los resultados de

la investigación son las probabilidades de transición de seguir con la marca o de cambiar.

Ejemplo, cambio de marca, la marca A es la marca de interés y la marca B representa todas

las demás marcas. Los clientes son bastante leales, el 80% de ellos son clientes que repiten.

La oposición conserva el 70% de sus clientes.

68


¿ Qué información puede obtenerse con el análisis de Markov? Con el análisis de transición

puede descubrirse que tan probable es que un cliente cambie después de cierto número de

ciclos. Pero el análisis de estado estable es el más útil. ¿Qué interpretación daría usted del

promedio a largo plazo de estar en cualquiera de los estados? ¡La de porcentajes de

mercado! El promedio a la larga del estado A es el porcentaje de mercado que puede

esperar recibir la marca A. Así, conociendo el grado de lealtad a la marca entre los clientes

puede predecirse el porcentaje de mercado para el producto o servicio.

El desarrollo o cálculo de las probabilidades de estado estable para el ejemplo anterior se

realizan a continuación:

Matriz de transición (cambio de marca)

Marca A Marca B

Marca A 0.8 0.2

Marca B 0.3 0.7

Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de

objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de

periodos.

La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a

la unidad.

Se calculan utilizando la siguiente expresión:

[ x1,x2].P = [ x1,x2]

[ x1,x2]. 0.8 0.2 = [ x1,x2]

0.3 0.7

Resultan 2 ecuaciones:

0.8x1+0.3x2= x1

0.2x1+0.7x2= x2

Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es:

X1+x2=1

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De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para

trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de

ecuaciones, como reducción, igualación o sustitución.

La solución del sistema es:

X1= 0.6

X2= 0.4

Lo que significa que la marca A capturará a la larga el 60% del mercado y las otras marcas

tendrán el 40%.

Esta información puede ser útil en muchas formas. Una de ellas es al evaluar las diferentes

estrategias de publicidad. Esta publicidad puede estar dirigida a los clientes actuales en un

esfuerzo para incrementar la lealtad a la marca. De otra manera, puede dirigirse a los

compradores de otras marcas con el fin de persuadirlos para cambiar. ¿Cómo debe

asignarse un presupuesto de publicidad entre estas dos alternativas? El análisis de Markov

puede proporcionar una respuesta si se dispone de cierta información adicional.

TALLER

1. Dada la cadena de Markov siguiente:

Encuentre las probabilidades de estado estable.

2. Dada la siguiente matriz de tres estados.

Encuentre las probabilidades de estado estable.

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3. Un gerente de crédito estima que el 95% de aquellos que pagan sus cuentas a tiempo un

mes, también lo harán el siguiente mes, sin embargo, de aquellos que se tardan, solo la

mitad pagara a tiempo la próxima vez.

A la larga ¿Cuál es la proporción de cuentas pagadas a tiempo?

Lección 15: Aplicaciones

PROBLEMA RESUELTO

Formúlese como una cadena de Markov el siguiente proceso. El fabricante de dentífrico

Brillo controla actualmente 60% del mercado de una ciudad. Datos del año anterior

muestran que 88% de consumidores de brillo continúan usándola, mientras que 12% de los

usuarios de brillo cambiaron a otras marcas. Además, 85% de los usuarios de la

competencia permanecieron leales a estas otras marcas, mientras que 15% restante cambió

a brillo. Considerando que estas tendencias continúan, determínese la parte del mercado

que corresponde a brillo: a) en 3 años, y b) a largo plazo.

Se considera como estado 1 al consumo de brillo y al estado 2 como el consumo de una

marca de la competencia. Entonces, p11, probabilidad de que un consumidor de brillo

permanezca leal a brillo, es 0.88; p12, la probabilidad de que un consumidor de brillo

cambie a otra marca es de 0.12;p21, probabilidad de que el consumidor de otra marca

cambie a brillo, es 0.15; p22, probabilidad de que un consumidor de otra marca permanezca

leal a la competencia, es 0.85. La matriz estocástica definida por estas probabilidades de

transición es:

El vector inicial de distribución probabilística es X0 = ( 0.60, 0.40 ), donde los componentes

x10 = 0.60 y x2

0 = 0.40 representan las proporciones de personas inicialmente en los estados

1 y 2, respectivamente.

SOLUCIÓN:

Las probabilidades para los primeros ciclos se calculan así:

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según esto a brillo le corresponde en el primer año 58.8% del mercado, al segundo año

57.9% y al tercer año 57.26%.

A largo plazo el proceso sería:

Las distribuciones de estado límite o estable representan las proporciones aproximadas de

objetos en los diferentes estados de una cadena de Markov, después de un gran número de

periodos.

La matriz limite L tiene dos renglones idénticos, siendo la suma de sus componentes igual a

la unidad.

Se calculan utilizando la siguiente expresión:

[ x1,x2].P = [ x1,x2]

[ x1,x2]. 0.88 0.12 = [ x1,x2]

0.15 0.85

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Resultan 2 ecuaciones:

0.88x1+0.15x2= x1

0.12x1+0.85x2= x2

Y una tercera ecuación, clave para hallar la solución del sistema es:

X1+x2=1

De las dos primeras ecuaciones escogemos 1, pues las dos resultan ser la misma, para

trabajarla con la tercera. Utilizamos cualquier método de solución de sistemas de

ecuaciones, como reducción, igualación o sustitución.

La solución del sistema es:

X1= 0.55

X2= 0.45

Lo que significa que la marca brillo capturará a la larga el 55% del mercado y las otras

marcas tendrán el 45%.

Esta información puede ser utilizada para realizar campañas de publicidad encaminadas a

mantener o mejor subir la fidelidad de los clientes antiguos y a ganar clientes nuevos.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.Las uvas del valle de sonoma se clasifican como superiores, regulares o malas. Después

de una cosecha superior, las probabilidades de tener durante el siguiente año una cosecha

superior, regular o mala son de: 0, 0.8 y 0.2 respectivamente. Después de una cosecha

regular, las probabilidades de que la siguiente cosecha sea superior, regular y mala son de

0.2, 0.6 y 0.2. Después de una mala cosecha, las probabilidades de una cosecha superior,

regular y mala son de 0.1, 0.8 y 0.1. Determínense las probabilidades de una cosecha

superior para cada uno de los siguientes cinco años. si la cosecha más reciente fue regular.

2.Una línea aérea con un vuelo a las 7:15 p.m entre la ciudad de Nueva York y la ciudad de

washington,D.C; No desea que el vuelo salga retrasado dos días consecutivos. Si el vuelo

sale retrasado un día, la línea aérea realiza un esfuerzo especial al día siguiente para que el

vuelo salga a tiempo, y lo logra 90% de las veces. Si el vuelo no salió con retraso el día

anterior, la linea aérea no realiza arreglos especiales, y el vuelo parte de acuerdo con lo

programado el 60% de las veces. ¿ Que porcentaje de veces parte con retraso el vuelo?.

73


3. El departamento de comercialización de la marca X hizo una investigación y encontró

que, si un cliente compro su marca, existe un 70% de posibilidades de que la compre de

nuevo la próxima vez. por otro lado, si la última compra fue de otra marca, entonces se

escoge la marca X solo el 20% del tiempo. ¿ Cuál es el porcentaje de mercado que puede

pronosticarse a la larga para la marca X?.

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AREA:

ESTADÍSTICA

Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e

Ingeniería

CIENCIAS BÁSICAS

CURSO:

Métodos

probabilísticos

UNIDAD: Cadenas de Markov, teoría de colas y programación no lineal

CAPÍTULO: Cadenas de Markov

LECCIÓN: cálculo de las probabilidades de transición

NUMERO DE LA PRÁCTICA 2

NOMBRE DE LA PRÁCTICA Cadenas de Markov

NOMBRE DEL SOFTWARE WinQsb

Libre: ______x_____ Licenciado: _____________

Aspectos Teóricos:

Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocásticos.

Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se

definen como una colección de variables aleatorias {X(t,w), t I}, donde X (t,w) puede

representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El interés de los

procesos estocásticos es describir el comportamiento de un sistema e operación durante

algunos periodos.

Los procesos estocásticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de

estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los

valores del tiempo son discretos o continuos.

Las cadenas de Markov es un proceso estocástico en el que los valores del tiempo son

discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contienen valores discretos, es

decir, es una cadena estocástica de tiempo discreto.

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Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos estocásticos de

Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los

estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de

transición entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que

la variable adquiere dichos tiempos.

La idea es determinar las probabilidades de ocurrencia de eventos que dependen de las

probabilidades de ocurrencia del evento anterior y también más importante poder

determinar las probabilidades a largo plazo de los eventos.

Ejemplo 1:

Una copiadora que hoy se encuentra funcionando tiene una probabilidad de que el día de

mañana funcione correctamente de 65%. Pero si la copiadora hoy no está funcionando

existe un 40% de probabilidades de que mañana funcione. Nos interesa determinar en esta

cadena de Markov las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de 1 o

varios días, teniendo en cuenta que como estado inicial vamos a suponer que la copiadora

está funcionando hoy. También determinaremos las probabilidades de estado estable que

significan las probabilidades de encontrar la copiadora funcionando después de n ciclos que

en nuestro caso son días.

Solución:

Utilice el modulo del winqsb titulado: Markov process

Luego seleccione file:

Nos dará la opción de elegir new problem, para introducir los datos de un nuevo ejercicio.

Luego nos aparece el siguiente pantallazo, en donde vamos a darle un titulo al problema y

colocamos también el número de estados, para nuestro ejemplo serán 2(la copiadora

funcionando y la copiadora no funcionando) y le damos ok.

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Al darle ok nos dara la opción de introducir los datos del ejercicio, que corrersponden a la

matriz de transición. En este caso es:

S1: Estado 1, la copiadora funcionando

S2: Estado 2, la copiadora no funcionando

Matriz de transición

S1 S2

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S1 0,65 0,35

S2 0,40 0,60

Entonces

Hay que resaltar que se debe colocar las probabilidades iniciales, en nuestro caso las que

corresponden al estado 1, según el enunciado del ejercicio.

Luego procedemos a resolver utilizando solve and analyse que encontramos en la barra

superior y elegimos markov process step

Obtenemos la siguiente tabla:

En esta casilla se coloca el numero de periodos que se quieren proyectar, en este caso

colocamos 1. El resultado que obtenemos 0,5625 corresponde a la probabilidad de

encontrar funcionando la copiadora al dia siguiente y 0,4375 de no estar funcionando si

tenemos en cuenta que la copiadora inicio funcionando.

Bastaria con variar este número para calcular las probabilidades de 2,3, 0 más periodos.

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Asi mismo hallamos la probabilidad de estado estable asignando por ejemplo el valor de

100 o eligiendo la opción steady state, que para nuestro ejemplo nos daria los siguientes

resultados:

Los que indica la flecha, es decir que a la larga la probabilidad de encontrar la copiadora

funcionando es de 53,33% y de no estar funcionando de 46,66%. Es de anotar que para el

cálculo de estas probabilidades no se necesita de un estado inicial, sea el valor que fuera

nos daría a largo plazo el mismo resultado.

Ejercicios de aplicación

1. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días

nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo

como una cadena de Markov. Determinar la probabilidad de tener un día soleado al

tercer día si hoy tenemos un día nublado. A largo plazo ¿cuál es la probabilidad de

tener días soleados?

2. Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar

desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta,

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desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de

estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al

día Siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ir a A es 0,2. Si

el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir

trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C,

mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja

todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una

probabilidad 0,1, irá a B con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de

0,6.

a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que

trabajar en C al cabo de cuatro días?

b) ¿Cuales son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una

de las tres ciudades?

CAPITULO 4: MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA

TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA

Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se

ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de

espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:

1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de

servicio en secuencia?

2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que

pueden atender a una unidad?

3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma

aleatoria?

4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones

aleatorias de tiempo?

Lección 16: CONCEPTOS GENERALES

INTRODUCCIÓN

En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o

líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la

capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los

cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros

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automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de

electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico,

etc todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la

informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo,

los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son

atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse

con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos

recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil

está colapsada en ese momento, etc.

JUSTIFICACION

La teoría de las colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de

las líneas de espera o colas. Las colas se presentan con frecuencia cuando de solicita un

servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo

probabilístico. La teoría de las colas no pretenden en ningún momento resolver

directamente el problema de la espera en colas sino mas bien describe la situación que

presenta una cola a través del tiempo y extrae lo que bien se podría llamar las

características operacionales de la cola. Alguna de estas características son el número

promedio de clientes en la cola, su tiempo de espera en la cola, el porcentaje de tiempo que

el despachador esta ocupado, etc. Debido al carácter básico de estas teorías nos limitaremos

a hacer una exposición de los modelos mas elementales sin entrar estrictamente a

considerar la labor de optimización de los sistemas que representan.

OBJETIVOS

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global

del mismo.

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del

sistema tendrían en el coste total del mismo.

Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas

de costes y las cualitativas de servicio.

Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la

“paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso

puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.

LECTURA AUTOREGULADA

UNA VISITA A DISNEY

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¿Qué tan popular es Disney World en Orlando, Florida? Desde que abrió en 1971, 200

millones de personas han visitado Disney World, y esperan en filas Para tener acceso a sus

muchas atracciones.

Lo administración de Disney Pone mucha atención a la forma en que trata a sus clientes

mientras esperan en las colas.

En la ciencia de la administración. Las filas se conocen a menudo como colas, y la teoría de

colas se aplica a muchas estructuras diferentes- En Disney world, por ejemplo, los

visitantes forman una fila para tener acceso al paseo con el Capitán Nemo, mientras que los

mismos submarinos del Capitán Nomo hacen cola mientras bajan y suben, a los pasajeros -

Qué también atiende las filas y a las personas es algo crítico para el negocio de Disney,

Norm Doerges, directora de Epcot (que es parte de Disney World). analiza cómo Epcot fue

diseñada. Primero, los investigadores de Disney recolectaron datos acerca del modo en que

las personas pasan su tiempo en el parque. ¿Cuánto tiempo esperan en una fila? ¿Cuánto

tiempo realmente invierten en las atracciones? ¿Cuánto tiempo pasan comiendo? ¿Cuánto

tiempo les lleva decidirse sobre qué hacer a continuación? Segundo, Disney pide a sus

clientes su opinión acerca de cuánto tiempo estañan dispuestos a esperar para tener acceso a

las diferentes atracciones y servicios. Los diseñadores deo Epcot entonces construyeron un

modelo para simular sucesos y el flujo de tráfico en el parque. teniendo en mente la

eliminación de las esperas largas. Tomar en consideración las necesidades de los clientes en

la etapa de diseño, significa que Epcot podría evitar el hacer cambios caros a gran escala en

el parque después de que fuera construido.

PREGUNTAS SOBRE EL CASO

1. ¿Cuánto tiempo estaban dispuestos a esperar los clientes de Disney World para tener

acceso a las atracciones más populares? ¿Qué factores influyeron en sus decisiones?

2. Comente sobre la forma en que Disney revisa sus colas y con qué frecuencia lo hace.

3. ¿Qué tipos de datos objetivos y subjetivos recaba Disney para su modelo de simulación?

Más allá del caso

1. ¿Por qué los supermercados no utilizan el sistema de una sola fila que se ve en la

mayoría da los bancos?

2 ¿Qué ahorro en costos pueden resultar del uso de un modelo de colas para decidir cuántos

servidores controladores, cajeros, etcétera) tener trabajando?

Lección 17: ANTECEDENTES

ANTECEDENTES

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El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca,

1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de

cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus

investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de

espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran

número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas

que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas

y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un

restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los

problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de

clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del

servicio en la estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las

creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola

simplemente porque los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de

servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a

medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que

los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este

caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los

clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean

adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean

adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho

temporal. Estos dos últimos casos tipifican una situación equilibrada que tiende

constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable. En la teoría de la formación de

colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo

que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la

formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el

comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo

en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los

costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un

gran número de modelos matemáticos para describirlas. Se debe lograr un balance

económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La

teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma

de decisiones.

Lección 18: CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMAS DE COLAS

Población de Clientes:

Conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas

Proceso de llegada:

La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio

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Proceso de colas:

La forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio

Disciplina de colas:

La forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles un servicio.

Proceso de servicio:

Forma y rapidez con que son atendidos los clientes

Proceso de Salida:

Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas

Sistema de colas de un paso:

Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser

atendidos en un solo centro o estación de trabajo.

Red de colas:

Sistema en el que un producto puede proceder de una estación de trabajo y pasar a otra

antes de abandonar el sistema.

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ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS

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Para describir una cola se deben especificar un proceso de entrada y uno de salida. En la

siguiente tabla se presentan algunos ejemplos de procesos de entrada y salida.

CASO PROCESO DE ENTRADA PROCESO DE SALIDA

Banco Los clientes llegan al banco. Los cajeros despachan a los

clientes

Pizzería

Se reciben pedidos de

pizzas.

La pizzería manda una

motocicleta para entregar

pizzas.

Banco de sangre en hospital Llegan bolsas de sangre. Los pacientes usan bolsas de

sangre.

Astillero naval

Se descomponen los barcos

en el mar y se mandan al

astillero a reparación.

Se reparan los barcos y

regresan al mar.

Frigorífico Llegan las reses para ser

sacrificadas

Se despacha la carne para el

consumo humano.

EL PROCESO DE LLEGADA

El proceso de entrada se conoce, por lo general, por proceso de llegada. La llegada son los

clientes. En todos los modelos que estudiamos, suponemos que solo hay una llegada en un

instante dado. En el caso de un restaurante, es una suposición muy poco real. Si sucede que

hay más de una llegada en un instante dado, decimos que se permiten llegadas en masa.

En general, suponemos que el proceso de llegada no es afectado por el número de clientes

presentes en el sistema. En el contexto de un banco, esto significaría que el proceso que

gobierna las llegadas no cambia, haya 5 o 500 personas en la cola.

Hay dos casos comunes en los que el proceso de llegada puede depender del número

presente de clientes. El primero se da cuando las llegadas se toman de una población

pequeña. Suponga que solo hay cuatro barcos en un astillero naval. Si los cuatro están en

reparación, entonces ningún barco se puede descomponer en el futuro cercano. Por otro

lado, si los cuatro barcos están en el mar, en el futuro cercano hay una probabilidad

relativamente alta de que suceda una descompostura.

Los modelos en los que las llegadas se toman de una población pequeña se llaman modelos

de origen finito. Otro caso en el que el proceso de llegada depende del número de clientes

presentes, se tiene cuando la rapidez a la que llegan los clientes a la instalación disminuye

cuando está demasiado concurrida. Por ejemplo, si el lector ve que el estacionamiento del

banco está lleno, podría pasar e ir otro día al banco. Si un cliente llega, pero no puede entrar

al sistema, decimos que el cliente ha declinado. El fenómeno de declinación (denegar o no

aprovechar su turno) fue explicado por Yogi Berra cuando dijo: "Nadie va ya al restaurante;

está demasiado concurrido."

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Si al proceso de llegadas no lo afecta el número de clientes presentes, lo expresamos

normalmente especificando una distribución de probabilidad que gobierne el tiempo entre

llegadas sucesivas.

PROCESO DE SALIDA O DE SERVICIO

Para describir el proceso de salida, que con frecuencia se llama proceso de servicio, de un

sistema de cola, en general especificamos una distribución de probabilidad; la distribución

del tiempo de servicio, que gobierna el tiempo de servicio a un cliente. En la mayor parle

de los casos suponemos que la distribución de tiempo de servicio es independiente del

número de clientes presentes. Esto significa, por ejemplo, que el servidor no trabaja más

rápido cuando hay más clientes.

En este capítulo estudiaremos dos acomodos de servidores: servidores en paralelo y

servidores en serie. Los servidores están en paralelo si todos ellos dan el mismo tipo de

servicio y un cliente sólo necesita pasar por un servidor para completar su servicio. Por

ejemplo, los cajeros de un banco están organizados generalmente en paralelo; cualquier

cliente sólo necesita ser atendido por un cajero, y cualquier cajero puede llevar a cabo el

servicio deseado. Los servidores están en serie si un cliente debe pasar por varios de ellos

antes de completar el servicio.

Un ejemplo de un sistema de cola en serie es una línea de ensamble.

DISCIPLINA DE LA COLA

Para explicar por completo un sistema de cola, también debemos explicar la disciplina de la

cola y la manera en la que los clientes se unen a ella.

La disciplina de la cola es el método que se usa para determinar el orden en el que se sirve a

los clientes. La disciplina más común es la disciplina FIFO (el primero en llegar primero en

ser servido), en la que los clientes son servidos en el orden de su llegada. Bajo la disciplina

LIFO (último en llegar, primero en ser servido), las llegadas más recientes son las primeras

en recibir el servicio. Si pensamos que la salida de un elevador sea un servicio, entonces un

elevador muy lleno ilustra una disciplina LIFO. A veces, el orden en el que llegan los

clientes no tiene efecto alguno sobre el orden en que se les sirve. Este sería el caso si el

siguiente cliente en llegar se selecciona al azar de entre los que están esperando para ser

atendidos. A este caso se le llama disciplina SEOA (servicio en orden aleatorio). Cuando al

llamar a una aerolínea se les pide que esperemos, la suerte de la selección determina con

frecuencia al siguiente interlocutor que es atendido por un operador.

MÉTODO UTILIZADO POR LAS LLEGADAS PARA UNIRSE A LA COLA

Otro factor que tiene un importante efecto sobre el comportamiento de un sistema de cola

es el método que usen los clientes para determinar a cuál cola unirse. Por ejemplo, en

algunos bancos los clientes deben hacer una sola cola, pero en otros, pueden escoger la cola

donde formarse. Cuando hay varias colas, con frecuencia los clientes se forman en la más

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corla. Desafortunadamente en muchos casos, como en un supermercado, por ejemplo, es

difícil definir la cola más corta. Si hay varias colas en una instalación, es importante

conocer si se permite a los clientes cambiar de cola o no. En la mayor parte de los sistemas

con colas múltiples se permite el cambio, pero no se recomienda el cambio en una casilla

para peaje.

Fuente de entrada o población potencial:

Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar

el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud

no es realista, sí permite (por extraño que parezca) Resolver de forma más sencilla muchas

situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha

suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población

potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están

solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población

potencial genera nuevas peticiones de servicio.

Cliente:

Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los

tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el

patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual

es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos:

consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de

probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la

distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre

llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio,

mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk

variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

Capacidad de la cola:

Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser

servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de

simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de

los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla

infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por

haberse llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola:

Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más

habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según

la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

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La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served)

o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a

los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio:

Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. para determinar

totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho

mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y

la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En

caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar

la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La cola:

Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el

servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El sistema de la cola:

Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la

cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al

mecanismo de servicio. Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de

probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para

los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución

degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang

(Gamma).

Lección 19: MEDIDAS DE RENDIMIENTO

MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS

Valor numérico que se utiliza para evaluar los meritos de un sistema de colas en estado

estable.

CONDICIONES:

1. Población de clientes infinita.

2. un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con

una disciplinas de colas de primero en entrar primero en salir. FIFO.

3. un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de

acuerdo con una distribución infinita.

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FORMULAS:

Taza de Llegada: número promedio de llegad por unidad de tiempo (λ).

Taza de Servicio: número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (μ).

Utilización: probabilidad de hallar el sistema ocupado.

U = p p = λ / μ

Probabilidad de que hayan clientes en el sistema o que el sistema este

ocioso.

Po = 1-p

Probabilidad de que hayan clientes en el sistema.

Pn = pn *po

Número Promedio en Filas: número promedio de clientes que se encuentran esperando en

la fila para su atención.

Lq = λ2 / μ (μ-λ)

Número Promedio en el Sistema: número promedio de clientes que se encuentran en el

sistema.

L = λ (μ-λ)

Tiempo Promedio en la Cola: tiempo promedio de un cliente que llega tiene que esperar en

la cola antes de ser atendidos.

Wq = λ / μ (μ-λ)

tiempo Promedio en el Sistema: tiempo promedio que un cliente invierte

desde su llegada hasta su salida.

Wq = 1 (μ-λ)

FÓRMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE RENDIMINTO DE UN

SISTEMAS DE COLAS M/M/1

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Lección 20: ANÁLISIS DE COSTOS

ANALISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS

Al analizar los méritos de contratar personal de reparación adicional en Bavaria , usted

debería identificar dos componentes importantes:

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Para seguir adelante, necesita ahora conocer el costo por hora de cada Miembro del

personal de reparación (denotado con C8) y el costo por hora de Una máquina fuera de

operación (denotado por CW), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga

que el departamento de contabilidad le informa que cada reparador le cuesta a la compañía

$50 por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción

perdida deberá incluir costos explícitos, como la contabilidad de ganancias no obtenidas, y

costos implícitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se cumple con la

fecha limite de la entrega. Estos costos implícitos son difíciles de estimar. Sin embargo

suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada

hora que una máquina esté fuera de operación. Ahora ya puede calcular un costo total para

cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de siete reparadores, el número

esperado de máquinas en el sistema es 12.0973, de modo que:

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Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene

como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la siguiente

tabla:

Costos por hora para diferentes tamaños de personal de reparación de la empresa

Bavaria

De los resultados, usted puede ver que la alternativa que tiene menor costo por hora, $

1128.63, es tener un total de nueve reparadores. En consecuencia, su recomendación a la

gerencia de producción de la empresa X, es contratar a dos reparadores adicionales. Estor

dos nuevos empleados tendrán un costo de $100 por hora, pero este costo adicional está

más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos máquinas fuera de operación.

La recomendación reducirá el costo por hora de $ 1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de

aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios.

CARACTERÍSTICAS CLAVES

En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que controla el número de servidores o

su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costos y medidas de

rendimiento:

El costo por servidor por unidad de tiempo (C8).

El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema (Cw).

El número promedio de clientes en el sistema (L).

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EJEMPLO DESARROLLADO

La Concesión Neiva – Bogotá, tiene unas estaciones para el pesado de camiones cerca de

sus peajes, para verificar que el peso de los vehículos cumpla con las regulaciones viales.

La administración de la Concesión está considerando mejorar la calidad del servicio en sus

estaciones de pesado y ha seleccionado una de sus estaciones como modelo a estudiar antes

de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del

sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de

camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este periodo, el

servicio en cualquier otro momento será aún mejor. Para estimar las tasas promedio de

llegada y de servicio en la estación, los datos disponibles que la gerencia determina para los

valores son:

λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60

μ = número de camiones que pueden ser pesados por hora = 66

El valor de μ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de

estado estable de este sistema.

Solución:

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La intensidad de tráfico es:

p = λ / μ = 60 / 66 = 0.9091

Mientras más cerca esté p de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultados

colas más larga y tiempos de espera más grandes. En términos de p, λ y μ las medidas de

rendimiento, para el problema de la concesión, se calculan de la siguiente manera:

1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema (Po):

Po = 1 – p= 1 – 0.9091= 0.0909

Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que

esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho

de otra manera aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar.

2. Número promedio en la fila (Lq):

Lq = p2/ 1 – p= (0.9091)

2 / 1 – 0.9091= 9.0909

En promedio la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones

esperando para obtener el servicio (sin incluir al que se está pesando)

Cuando ya se ha determinado un valor para Lq se pueden calcular los valores de Wq , W, y

L , así:

3. Tiempo promedio de espera en la cola (Wq )

Wq = Lq / μ= 9.0909 / 60= 0.1515

Este valor indica, que en promedio un camión tiene que esperar 0.1515 horas,

aproximadamente 9 minutos, en la fila, antes de que empiece el proceso de pesado.

4. Tiempo promedio de espera en el sistema (W)

W = Wq + 1 / λ= 0.1515 + 1 / 66= 0.1667

Este valor indica, que en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde que

llega hasta que sale.

5 Número promedio en el sistema ( L )

L = λ * W= 60 * 0.1667= 10

Este valor indica, que en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado,

ya sea en la báscula o esperando ser atendidos.

6 Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( Pw ) :

pw = 1 – Po = p= 0.9091

Este valor, como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91% del tiempo

un camión que llegue tiene que esperar.

7 Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( Pn ) :

Pn = p n * Po

Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades:

n pn

0 0.0909

1 0.0826

95


2 0.0759

3 0.0684

. .

. .

Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se

encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para

responder una pregunta como: ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan más de tres

camiones en el sistema?, en este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma

de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3.

8 Utilización ( U ) :

U = p= 0.9091

Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están

en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente, aproximadamente 9% del

tiempo la estación está sin funcionar, sin que haya camiones que se estén pesando.

96


CAPITULO 5 PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Lección 21: Conceptos generales

INTRODUCCIÓN

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones Función

objetivo y funciones de restricción son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se

cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos

economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción,

en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar

problemas de programación no lineal de una manera general, el problema de programación

no lineal consiste en encontrar x = ( x1,x2,....xn ) para maximizar f(x), sujeta a:

g(x) bi, para i= 1, 2,3....m

y x 0

en donde f(x) y las g(x) son funciones dadas de n variables de decisión.

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan

a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos

casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación

sigue muy activa.

En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la

forma:

Optimizar z = f(x)

Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-∞, ∞). Si la búsqueda se

circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimización no lineal

restringida y se transforma a optimizar z = f(x) con la condición a x b.

Optimización no lineal multivariable

Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de

una variable, es decir:

Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T

Si existen las restricciones

Gi(X) = 0

Es un problema no lineal multivariable restringido.

Ejemplo

Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A,

B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 km. al Este,400 Km. al

Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al norte) respecto de A. La

posición de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la

mínima. sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A.

Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias

97


No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no

negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste

del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal in restricciones.

Veamos ahora algunos casos de programación no lineal comunes de encontrar:

Lección 22: PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa Matemático en

el cual cada restricción gi es lineal pero el objetivo es cuadrático se Conoce como programa

cuadrático, es decir

f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi

Ejemplo

Minimizar z = x12+X22

Con las condiciones x1 - x2 = 3

X2 3

Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12 = c21 = 0; c22

= 1 y d1 = d2 = 0.

Lección 23: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE -CONDICIONES KUNH

TUCKER

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se

expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un

modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite

abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde

los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

Las condiciones que establecen las condiciones de optimalidad de KKT permiten resolver

modelos de PNL con restricciones mediante la activación progresivas de las restricciones

del modelo. Una restricción activa es aquella que se cumple en igualdad.

98


Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales

en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente:

max(o min) z= f(x1,x2,.....xn..)

s.a g1( x1,x2,.....xn..)= b1

g2( x1,x2,.....xn..)= b2

gm( x1,x2,.....xn..)= bm

para resolverlo, asociamos un multiplicador L1 con la i-esima restricción y fórmamos el

lagrangiano.

Ejemplo Karush Kuhn Tucker (KKT)

No existe una única forma de abordar la resolución de un problema de programación no

lineal utilizando el teorema de KKT. Consideraremos la aplicación de este teorema en este

caso para problemas sólo con restricciones "<=" (menor o igual). Si el problema tiene

restricciones ">=" éstas se pueden transformar por "<=" multiplicando por -1.

Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin

restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte

de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o

secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de

restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Notar que si

se han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el

problema es infactible.

Lección 24: TÉCNICA DEL GRADIENTE

En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos

veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto

inicial dado, en la dirección del aumento más rápido maximización) de la función. Está

técnica se conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto

es lo que indica la tasa más rápida de aumento.

Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se

expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un

99


modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite

abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde

los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

En este sentido el método del gradiente (conocido también como método de Cauchy o del

descenso más pronunciado) consiste en un algortimo específico para la resolución de

modelos de PNL sin restricciones, perteneciente a la categoría de algoritmos generales de

descenso, donde la búsqueda de un mínimo está asociado a la resolución secuencial de una

serie de problemas unidimensionales.

Los pasos asociados a la utilización del método del gradiente o descenso más pronunciado

consiste en:

Ejemplo del Método del Gradiente

Considere el siguiente modelo de programación no lineal sin restricciones. Aplique 2

iteraciones del método del gradiente a partir del punto inicial X0=(1,1).

100


Luego de realizar la segunda iteración se verifica que se cumplen las condiciones

necesarias de primer orden (d1=(0,0)). Adicionalmente se puede comprobar que la función

objetivo resulta ser convexa y en consecuencia las condiciones de primer orden resultan ser

suficientes para afirmar que la coordenada (X1,X2)=(-2,1) es el óptimo o mínimo global

del problema.

Lección 25: MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON.

Una desventaja de utilizar la condición necesaria f(x)= 0 para determinar puntos

estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas

resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver

ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se presenta en este contexto,

realmente es parte de los métodos conocidos como métodos de gradiente para optimizar

numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas.

fi (X) =0, i=1, 2, ..., m

se Xk un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor fi(X)= fi (X

k ) + fi(X

k) (X-X

k) , i=

1, 2, ...., m

Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por

fi (Xk) + fi (X

k) (X-X

k) = 0 , i= 1, 2, ...., m

Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como Ak + Bk (X - Xk) = 0

Bajo la hipótesis de que todas las fi(X) son independientes Bk necesariamente es

no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = Xk -Bk-1Ak

La idea del método es comenzar desde un punto inicial X0. Utilizando la ecuación anterior,

siempre puede determinarse un nuevo punto Xk+1

a partir de Xk.

El procedimiento finaliza con Xm

como la solución cuando Xm

= Xm-1

.

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD

TALLER

En los siguientes ejercicios identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de

colas:

a. Los clientes y los servidores

b. La población de clientes y su tamaño

101


c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados para la distribución de llegadas

d. El proceso y la disciplina de colas

e. Proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo - servicio

1. La división de mantenimiento de las Empresas Públicas de Neiva está tratando de decidir

cuántos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus

clientes. Las quejas llegan a un centro de servicios de acuerdo con una distribución

exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al día. El tiempo que tarda un técnico

reparador en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también

sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos.

2. El gerente del Supermercado La Sexta desea determinar el número mínimo de cajeros

que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo

promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo real entre llegadas

sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes

por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución

exponencial.

3. El portaaviones de Aires tiene un complemento de 80 aviones. Después de operaciones

de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, dos a

la vez. El recorrido en elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos y se necesitan diez

segundos para cargar y descargar una aeronave del elevador. Los elevadores llegan al

elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos.

102


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 2

BIBLIOGRAFÍA

● Álvarez A. Jorge Investigación de Operaciones. Programación Lineal. Editorial. U.N.I.Lima

1995.

● Prawda W. Juan Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones. Tomo I: Modelos

Deterministicos. Editorial Limusa. Quinta Edición. México 2001.

● Taha Hamdy A. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Editorial Prentice Hall.

Séptima Edición. México 2000.

● Instituto Tecnológico de “Introducción a la Investigación de Operaciones”.

Sonora, México. Abril 2007

● Programa Nacional de TIC, “Capítulo 8: Programación Lineal”.

Ministerio de Educación y Ciencia, España. Set. 2007

● Dr. Ing. Franco Bellini M, “Curso de Investigación de Operaciones”. Universidad Santa

Maria. Caracas – Venezuela. Ago.2005

Modulo actualizado Métodos probabilísticos-2012

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