UNIVERSIDAD DE CIENCIAS COMERCIALES. DIRECCIN METODOLGICA CURRICULAR. GUA DE ESTUDIO. Carrera: ________________________________________________________. Hora: __________ Aula: __________ Fecha: __________ Turno: __________. Nombre de la Unidad: Unidad Primera. Cnicas. Tema: Geometra Analtica. Sumario: 1) Parbolas. 2) Elipses. 3) Hiprbolas. Objetivos del Tema: 1) Comprenda con facilidad los conceptos de Geometra Analtica, presentendo solidez y coherencia para el xito educativo. 2) Contine desarrollando habilidades en la solucin de ejercicios de Geometra Analtica y sobre todo aplicar sudestrezanumricaenlaresolucindeproblemasprcticosenelreaeconmica,contable,estadstica, comercio, administracin, entre otros. Objetivos de los subtemas: 1) Diferenciar las frmulas para graficar parbolas, elipses e hiprbolas. 2)deducelasecuacionesdelasseccionescnicasyreconocesuselementosconcentroenelorigendel plano cartesiano. 3) Resuelve problemas utilizando las cnicas. Materiales a utilizar: 1) Mdulos. 2) Textos de Consulta. 3) Papelgrafos. 4) Materiales didcticos. Actividades en Clases: 1) Repaso del tema anterior para consolidar los conocimientos de loscontenidos que no se encuentran solidificados o se encuentran con un conocimiento dbil. 2) Lectura y anlisis del mdulo a estudiar. 3) Resolucin de ejercicios. Actividades Extra Clases: 1) Lectura y anlisis del mdulo a estudiar en el prximo encuentro (o clase). 2) Una vez ledo y analizado el mdulo. Investigar ciertas frases de lenguaje tcnico que encuentren un poco confuso su significado, o bien, subrayarlo para aclarar su significado en el desarrollo de la prxima clase. 3) Asignacin de Tareas. Resolucin de ejercicios de mdulo estudiado.

Desarrollo: Introduccin. Una seccin cnica (o cnica) es una curva de interseccin de un plano con un cono circular recto. Hay tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parbola, la elipse (incluyendo a lacircunferencia como caso especial) y la hiprbola. La curva resultante depende de la inclinacin del eje del cono relativa al plano que lo corta. Una Parbola es el conjunto de todos los puntos en un plano, equidistantes de un punto fijo y una recta fija. El punto fijo se llama Foco y la recta fija se llama Directriz. ( figura 1). Paraqueestaecuacinsealomssimpleposible,escogemoselejexperpendicularaladirectrizyque contiene el foco. El origen se toma como el punto medio en el eje x entre el foco y la directriz. La ecuacin de la parbola que tiene su foco en ( p, 0 ) y como su directriz a la recta x = -- p es: y 2 = 4 p x. Donde x =

. Forma: X = a y 2.Laparbolaseabrehacialaderechasip>0yalaizquierdasip 0 la parbola se abre hacia arriba, el eje y esel eje de la parbola, cuando trazamos la grfica de la parbola conviene dibujar la cuerda a travs del foco, perpendicular al eje de la parbola. Esta cuerda se llama lado recto de la parbola, la longitud del lado recto es: 4 p. Ejemplo: 1) Encontrar una ecuacin de la parbola que tenga su foco en ( 0, 3 )y como su directriz a la recta y = 3. Trazar la grfica. Sol. Como el foco est en el eje Y y est debajo de la directriz, la parbola se abre hacia abajo y p = 3. Por tanto la ecuacin de la parbola es: x2 = 4 p y.Sustituyendo en la ecuacin: X 2 = 4 ( 3) Y entonces, la ecuacin de la parbola del ejercicio es: x 2 = 1 2 y.La longitud del lado recto es: 4 ( 3 ) = 1 2. 2) dada la parbola que tiene la ecuacin: Y2 = 7 x. Hallar las coordenadas del foco, una ecuacin de la directriz y la longitud del lado recto. Trazar la grfica. Sol. La ecuacin dada es de la forma de la ecuacin (1); As:4 p = 7 Entonces: p = 7 / 4Cuando p > 0, la parbola se abre hacia la derecha. El foco est en el punto f ( 7 / 4, 0 ). Una ecuacin de la directriz es x = 7 / 4. La longitud del lado recto es 7.La grfica la podemos ver en la figura 3. Grfica de problema 1.Grfica de Problema 2. Con el objetivo de ampliar la explicacin de la parbola al caso en el cual el vrtice no est en el origen, se recurreaunatraslacindeejes.Enlacuallosejesx,ysedesplazanaposicionesindicadasporx,y,y quedan paralelos a sus posiciones originales. ( x h ) 2 = 4 p ( y k ) Es una ecuacin de la misma parbola en el plano x y , con vrtice V ( h, k ), el foco es F ( h, k + p ), y la directriz es y = k p. Su ecuacin es: y = a x 2 + b x + c. en la cual a, b y c son nmeros reales. Recprocamente, si a 0, entonces la grfica de y = a x + b x + c es una parbola con eje vertical. Como en el caso de y = a x , se puede demostrar que a = 1 / (4p), o bien, p = 1 / (4a). De igual manera: ( y k ) = 4 p ( x h ) es la ecuacin de una parbola en el plano x y, cuyo vrtice es V ( h, k ) y que abre ala derecha si p > 0, o hacia la izquierda si p < 0. La ecuacin es de la forma: x = a y + b y + c, dondea = 1 / (4p), o bien, p =1/(4a). Ecuacin: ( x h ) = 4 p ( y k ), o bien, Y = a x + b x + c, siendo, p = 1 / 4a.

Grfica para p > 0. V (h, k) Grfica para p < 0. V (h, k) Ecuacin: (y k ) = 4 p ( y k ) o bien y = a y + b y + c, siendo: p = 1/ 4 a. Ejemplo: 1) Analizar y trazar la grfica de: 2 x = y + 8 y + 22 Sol. Como la ecuacin se puede escribir en la formax = a y + b y + c, si se despeja x, se ve, de la tabla anterior, que la grfica es una parbola con eje horizontal. Primero se escribe la ecuacindada en la forma: y + 8 y = 2 x --2 2 yacontinuacinsecompletaelcuadradodelaizquierda, sumando 16 a ambos miembros. y + 8 y + 1 6 = 2 x 2 2 + 1 6Resolviendo tenemos: y + 8 y + 1 6 = 2 x 6 Factorizando tenemos: ( y + 4 ) = 2 ( x 3 ) Al consultar las formas anteriores se observa que h = 3, k = 4 y 4p = 2, o sea, p = 1 / 2. Con lo anterior se tienen los siguientes resultados: El vrtice V (h, k) es V (3, 4), El foco es F (h + p, k) = F (3 + , 4), o sea, F = ( 7/2, 4 ), la directriz es x = h p = 3 , o sea, x = 5/2. Esta parbola la vemos en la grfica siguiente: 2) Una parbola tiene vrtice V ( 4, 2) y directriz Y = 5. Exprese su ecuacin en la forma y = a x + b x + c. Sol. En la grfica estn el vrtice y la directriz. La lnea discontinuaindicaunaposicinposibledelaparbola. Delasdefinicionesanterioressevequeunaecuacin de esa parbola es: ( x h ) = 4p ( y k ). Con h = 4, k = 2, y con p igual a 3 negativo, ya queV est 3 unidades debajo de la directriz. Con lo anterior se tiene:( x 4 ) = 12 ( y 2 ) La ltima ecuacin se puede expresar en la forma.Y = a x + b x + c, como sigue: X + 8 x + 16 = 12 y + 24 12 y = x 8x + 8 Y = 1 / 1 2 x + 2 / 3 x + 2 / 3 Grfica para p > 0. Grfica para p < 0. V (h, k) V (h, k) 3) El interior de una antena satelital de TV es un plato con forma deparaboloidefinito,cuyodimetroes12piesytiene2piesdeprofundidad, como se ve en la figura. Calcular la distancia del centro del plato al foco. Sol.Laparbolageneratrizsemuestraenunplanoxyenlacualseha colocadoelvrticeenelorigenyelejedelaparbolaenelejex.Una ecuacin de esta parbola es y = 4 o x, donde p es la distancia requerida, del centro del plato al foco. Como (2, 6) est en la parbola, entonces:6 = 4 p ( 2 ), o bien, 36 = 8 p P= 36/8 P= 4. 5 pies. Culminacin: I Determine la ecuacin de la parbola que satisface las condiciones dadas. 1) Foco F (2, 0) Directrizx = 2. 2) Foco F (6, 4)Directrizy = 2. 3) Vrtices V (3, 5)Directrizx = 2. 4) Vrtices V ( 1, 0)FocoF ( 4, 0). 5) Vrtices en el origen, simetra respecto del eje Y,y que pase por el punto (2, 3). 6) Vrtices V ( 3, 5), eje paralelo al eje X, y que pase por el punto (5, 9). II encuentre la ecuacin del conjunto de puntos en el plano x y que equidisten del punto P y de la recta l. 7) P ( 0, 5 ); l : y = 3. 8) P ( 6, 3 ); l : x = 2. III Resuelva. 9) El espejo de un telescopio reflector tiene la forma de un paraboloide finito de 8 pulg. de dimetro; su profundidad es 1 pulg. a qu distancia del centro del espejo converger la luz procedente de una estrella lejana? 10) un reflector de un faro tiene forma de paraboloide, y la fuente luminosa est en su foco. Si tal reflector tiene 3 pies de dimetro y 1 pie de profundidad, Dnde est el foco? 11) Un reflector sonoro se usa en eventos deportivos al exterior y tiene la forma de un paraboloide con el foco a 5 pulg. De su vrtice. Calcule el dimetro que debe tener si su profundidad debe ser de 2 pies. Asignacin de tarea: 12) a) La distancia focal del paraboloide finito de la figuraes la distancia P de su vrtice a su foco. Exprese P enfuncin de h y r. b) Se desea construir un reflector de 10 pies dedistancia focal, con profundidad de 5 pies. Calcule su radio. 13) Un radio telescopiotiene la forma de paraboloide de revolucin con distancia focal P y dimetro 2a.segn el clculo, el rea superficial S disponible para reunir ondas de radio es: 32 2228 p as 1 13 4 p (| |t(= + | (|\ . ( Uno de los mayores telescopios est en Inglaterra, tiene 250 pies dedimetro y 50 pies de distancia focal . Calcule S aproximando al piecuadrado ms cercano. La Elipse. Def.UnaElipseeselconjuntodepuntosenelplanotalesquelas sumas de sus distancias a dos puntos fijos. Llamados focos, tambin en el plano, es igual a una constante positiva. Ecuaciones normales de la Elipse con centro en el origen. x2 / a2 + y2 / b2 = 1o bien, x2 / b2 + y2 / a2 = 1. En las cuales a > b > 0, es una elipse con centro enelorigen.Lalongituddelejemayores2a,yladelejemenor2b. Los Focos se encuentran a la distancia c del origen, yc2 = a2 b2.Se ha demostrado que siempre se puede escribir la ecuacin de una elipse con centro en el origen, y focos en un eje coordenado, en la forma. x2 / p + y2 / q = 1.o qx2+py2=pq, Donde son positivos p y q, y p q. Si p > q, el eje mayor est en elejex;sip las ecuaciones de las semielipses superior e inferior deben ser:21y 25 9 x2= y 21y 25 9 x2= respectivamente. Paradeducirlasecuacionesdelassemielipsesizquierdayderecha,seaplicaunmtodosemejanteal anterior, y se despeja x en funcin de y. 22 21 25 4 y 1x 25 4 y2 9 3= = La mitad izquierda de la elipse tiene la ecuacin: 21x 25 4 y3= y la mitad derecha 21x 25 4 y3= Seempleanlasfrmulasdetraslacindeejesdelaseccin anteriorparaampliarlasposibilidadesaunaelipseconcentroen cualquierpuntoC(h,k)delplanoxy.Porejemplo,comola grfica de: ( x h ) 2 / a 2 + ( y k ) 2 / b 2 = 1. Su grfica es: Elevando al cuadrado los trminos de la ecuacin y simplificando, se tiene una ecuacin de la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. En la cual los coeficientes son nmeros reales, y tanto A como C son positivos,sisepartedeunaecuacincomosta,entonces, completando los cuadrados, se obtiene una forma que presente el centro de la elipse y las longitudes de los ejes mayor y menor. Esta tcnica se aplica en el siguiente ejemplo: Ejemplo 5. Trazar una elipse con centro en (h, k). Analizar y trazar la grfica de la ecuacin:16 x2 + 9 y2 + 64 x 18 y 71 = 0. Solucin: Secomienzaagrupandolostrminosquecontienenxylosque contienen y: ( 16 x2 + 64 x ) + ( 9 y2 18 y ) = 7 1 Acontinuacin,sefactorizanloscoeficientesdex 2yy 2como sigue: 16 ( x 2 + 4x ) + 9 ( y 2 2y ) = 71. Luegosecompletanloscuadradosdelasexpresionesqueestn entre parntesis:16 ( x 2 + 4 x + 4 ) + 9 ( y 2 2 y + 1 ) = 7 1 + 6 4 + 9. Al sumar 4 a las expresiones dentro de los primeros parntesis, se hasumado64alprimermiembrodelaecuaciny,por consiguiente,sedebecompensarsumando64alsegundo miembro.Igualmente,alagregar1alaexpresindentrodel segundoparntesis,sehasumado9alladoizquierdoypor consiguiente, tambin se debe sumar 9 al lado derecho. La ltima ecuacin se puede escribir del siguiente modo: 16 ( x + 2 ) 2 + 9 ( y 1 ) 2 = 144 Dividiendo entre 144, para obtener 1 en el segundo miembro se tiene: ( x 2 ) 2 / 9 + ( y 1 ) 2 / 16 = 1.que tiene la forma:( x h ) 2 / a 2 + ( y k ) 2 / b 2 = 1 En la cual x= x + 2,Yy= y 1, h = 2, y k = 1. Esunaelipseconcentroenelorigen(y)enelplanoxy,consuejemayorenelejey,Porlotanto,la grfica de la ecuacin dada es una elipse con centro C (--2, 1 ) en el plano xy,y su eje mayor en la recta vertical x = -- 2. Si a = 4 y b = 3, se tiene la elipse de la figura. Para localizar los focos, se sustituye primero: c 2 = a 2 b 2 = 4 2 3 2 = 7. Donde c 2 = 7. La distancia del centro de la elipse a los focos esc 7 = Como el centro est en ( 2, 1 ),los focos estn en( 2 , 7 ) La excentricidad e de una elipse es: e = c / a= 2 2a ba Ejemplo 6. Distancias en una rbita elptica. El cometa de Halley tiene una rbita elptica de excentricidad e = 0. 967. La distancia mnima de esecometa al sol es 0. 587 UA. Calcular la distancia mxima del cometa al astro central, aproximando al dcimo de UA ms cercano. Solucin: En la figura se muestra la rbita del cometa: c es la distancia del centro de la elipse a un foco( el sol ), y 2a es la longitud del eje mayor. Como a c es la distancia mnima del sol al cometa, en UA ( Unidades Astronmicas ) se tiene: A c = 0. 587 o bien, a = c + 0. 587 Como e = c / a = 0. 967, se tiene lo siguiente: c = 0. 967ase multiplica por a. c = 0. 967 ( c + 0. 587 )se sustituye a. c = 0. 967 c + 0. 568por multiplicacin. C 0. 967 c 0. 568se resta 0. 967 c. 0. 033 c 0. 568Donde c = 9. 568 / 0. 033 17. 2Comoa c + 0. 587, entonces: a 17. 2 + 0. 587 17. 8 Y la distancia mxima desde el sol al cometa es: a + c = 17. 8 + 17. 2 = 35. 0UA. Culminacin: Localice los vrtices y los focos de la elipse. Trace la grfica y muestre los focos. 1)

2)

3) 4 x2 + y2 = 164) 4 x2 + 25 y2 = 1 5)

6)

7) 4 x2 + 9 y2 32 x 36 y + 64 = 0 8) x2 + 2 y2 + 2 x 20 y + 43 = 0 Asignacin de tareas: Deduzca la ecuacin para la elipse que tenga su centro en el origeny satisfaga las condiciones dadas. 1) V ( 8, 0 ) ; F ( 5, 0 )2) V ( 0, 7 ) ; F ( 0, 2 ) 3) V ( 0, 5 ) ; eje menor de longitud 3.4) F ( 3, 0 ) ; eje menor de longitud 2. La Hiprbola. Def.UnaHiprbolaeselconjuntodetodoslospuntosenun planocuyadiferenciadedistanciasadospuntosfijos llamadosfocos,tambinenelplano,esunaconstante positiva. Para deducir una ecuacin sencilla de la hiprbola, se escoge un sistema de coordenadas tales que los focos seanF (c, 0 ) y F( -- c, 0 ), y se representa la distancia (constante) mediante 2a. El punto medio del segmento FF, que est en el origen, se llama centro de la hiprbola. En la fig. 1. Se observa que un punto P (x, y) est en la hiprbola ssi algunade las dos ecuaciones siguientes se cumple:d (P, F) d (P, F) = 2a.O si d (P, F) -- d(P, F ) = 2a. Si P no est en el eje x, entonces se ve en la fig. 1. Que:d ( P, F ) < d ( F, F ) + d ( P, F ), Porque la longitud de un lado deuntringulosiempreesmenorquelasumadelas longitudes de los otro dos, igualmente,d (P, F) < d ( F, F ) + d ( P, F ). Otras formas equivalentes de las dos desigualdades anteriores son:d (P, F ) d ( P, F) < d ( F, F )yd ( P, F ) d ( P, F ) < d ( F, F )Como las diferencias de los primeros miembros de esas desigualdades son ambas iguales a 2a, y como d ( F, F ) = 2c, de las dosltimas desigualdades, se tiene que 2a < 2c, o sea a < c. Recurdese que para las elipses se tena que a < c. A continuacin, las ecuaciones d ( P, F ) d ( P, F ) = 2a, y d ( P, F ) d ( P, F ) = 2a se pueden reemplazar por las ecuacin nica: d ( P, F ) d ( P, F ) = 2a. Con la frmula de la distancia se determina d ( P, F ) y d ( P, F ) y se llega a una ecuacin de la hiprbola: 2 2 2 2( x c ) ( y 0 ) ( x c ) ( y 0 ) 2 a + + + = Alempleareltipodesimplificacinquesirveparadeducirunadelasecuacionesdelaelipse,esposible reordenar la ecuacin anterior de la forma: x 2 / a 2 y 2 / (c 2 a 2 ) = 1. Por ltimo, si b 2 = c 2 a 2 con b > 0, en la ecuacin anterior, entonces: x2 / a2 y2 / b2 = 1. Sehademostradoquelascoordenadasdetodopunto(x,y)sobrelahiprboladelafig.Satisfacenla ecuacin(x2/a2)/(y2/b2)=1.Recprocamente,si(x,y)esunasolucindeestaecuacin,entonces, invirtiendo los pasos, se tiene que el punto ( x, y ) est en la hiprbola. Alaplicarlaspruebasdesimetra,seobservaquela hiprbolaessimtricaconrespectoaambosejesyal origen.Sepuedendeterminarlasinterseccionesdela hiprbolaconeleje x haciendoy=0enlaecuacin.Al hacerlo se obtiene x2 / a2 = 1, o sea, x2 = a2.Enconsecuencia,lasinterseccionesconelejex,o abcisasenelorigen,sonaya.Lospuntos correspondientesV(a,0)yV(--a,0)enlagrfica,se llama vrtices de la hiprbola, (vase la fig.). El segmento derectaVVsedenominaejetransverso.Lagrficano tiene ordenadas en el origen, porque la ecuacin y2 / b2 =1.Tienelassolucionescomplejasy=bi.Los puntosW(0,b)yW(0,b)sonlosextremosdeleje conjugado W W. Los puntos W y W no estn en la hiprbola, sin embargo, comoseexplicardespus,sontilesparatrazarla grfica.Al despejar y de la ecuacin ( x2 / a2 ) ( y2 / b2 ) = 1. Se tiene 2 2by x aa= . Si x 2 a 2 < 0,o lo que es lo mismo, a < x < a, no hay puntos (x, y) en la grfica. Hay puntos P (x, y) en la grfica si x a,o si x a. Se puede demostrar que las rectas y = ( b / a ) x son asntotas de la hiprbola. Tales asntotas son guas adecuadasparaeltrazodelasgrficas.Unamaneracmodadetrazarlasasntotasesubicarprimerolos vrtices V(a,0), V( a, 0), y los puntos W ( 0, b ), W( 0, b ) (Vase la fig.). Si se trazan las rectas verticales yhorizontalesporesospuntosextremosdelosejestransversoyconjugado,respectivamente,entonceslas diagonalesdelrectnguloqueseobtienetienependienteb/ayb/a.Porlotanto,prolongandoesas diagonales se obtienen las asntotas y = ( b/a ) x. A continuacin se traza la hiprbola en la fig. 1, usando las asntotas como guas. Las dos partes que forman una hiprbola se llamanrama derecha y rama izquierda, en este caso. Igualmente, si los focos estn en el eje y, se obtiene la ecuacin: y2 / a2 x2 / b2 = 1. En este caso, los vrtices de la hiprbola son ( 0, a ), y los extremos del eje conjugado estn en ( b, 0 ), como se ve en la fig. 2. Las asntotas son: y = (a / b) x [ no y = (b / a) x, como en el caso anterior ], y en este caso se tiene una rama superior y una rama inferior de la hiprbola. El anlisis anterior se puede resumir como sigue: Ecuacionesnormalesdelahiprbolaconcentroenel origen. La grfica de: x2 / a2 y2 / b2 = 1 bien y2 / a2 x2 / b2 = 1 es unahiprbolaconcentroenelorigen.Lalongituddeleje transverso es 2a, y la del eje conjugado es 2b. Los focos estn a una distancia c del origen y se tiene que: c2 = a2 + b2.Se ha demostrado que una ecuacin de la hiprbola con centro enelorigenyfocosenunodelosejescoordenadossepuede escribir siempre en la forma: x2 / p + y2 / q = 1, o bien q x2 + p y2 =pq,enlacualpyqtienensignosopuestos.Los vrtices estn en el eje x si p es positivo, o en el eje y si q es positivo. Ejemplo 1. Trazar la grfica de 4 x2 4 y2 = 3 6. Determinar4 los focos y las ecuaciones de las asntotas. Solucin: Segnlasindicacionesanterioresaesteejemplo,lagrficaesunahiprbolaconcentroenelorigen.Para expresar la ecuacin dada en forma normal, se dividen entre 36 ambos miembros y se simplifica, con lo cual se obtiene: x2 / 4 y2 / 9 = 1 Comparando ( x2 / 4 ) (y2 / 9 ) = 1, con (x2 / a2 ) ( y2 / b2 ) = 1, se observa que: a2 = 4 y b2 = 9, es decir:a = 2 y b = 3. La hiprbola tiene sus vrtices en el eje x, porque hay abcisas en el origen, y no ordenadas en el origen. Los vrtices V ( 2, 0 ) y los puntos extremos de los eje conjugados ( 0, 3 ) determinan un rectngulo cuyas diagonales, al prolongarse, forman las asntotas. Para localizar los focos, se calcula c: c2 = a2 + b2 = 4 + 9 = 13. Entonces, c = 13, y los focos estn en( 13, 0 ). Las ecuaciones de las asntotas son y = ( 3 / 2 ) x, y se pueden determinar examinando la grfica o las ecuaciones y = ( b / a ) x. (La grfica de este ejercicio est en la fig. 2. ). Nota: En el ejemplo 1. Indica que, para la hiprbola, no siempre se cumple que a > b, como en el caso de la elipse. De hecho, puede ser que: a < b, a > b, o bien a = b. Ejemplo 2. Trazar la grfica de 4 y2 2 x2 = 1, Localizar los focos y deducir las ecuaciones de las asntotas. Solucin: Para expresar la ecuacin en la forma normal, se escribe:2 2y x11 14 2 = Por tanto: a2 = 1/4, b2 = 1/2, c2 = a2 + b2 = 3/4 y por consiguiente,a = 1/2, b = 1/ 2, c = 3 / 2. La hiprbola tiene sus vrtices en el eje y, porque hay ordenadas en el origen, y no abcisas en el origen. Los vrtices estn en ( 0, 1/2 ), los extremos del eje conjugado estn en: ( 1 / 2, 0 ), y los focos estn en:( 0, 3 / 2 ). En la figura 3.Sepresentalagrfica.Parallegaralasecuacionesdelas asntotas, se observa la figura o se Aplica:y = ( a / b ) x, Obtenindose as: y = ( 2 / 2 ) x. Ejemplo3.Obtenerunaecuacindelahiprbolaque satisfaga las condiciones establecidas. Unahiprbolatienesusvrticesen(3,0),ypasaporel punto P ( 5, 2 ).Hallar su ecuacin y determinar sus focos y asntotas. Solucin: se empieza haciendo el trazo de la hiprbola con vrtices en( 3, 0 ) y que pase por el punto P ( 5, 2 ), como en la fig. La ecuacin de la hiprbola tiene la forma:x2 / 32 y2 / b2 = 1. Como P ( 5, 2 ) est en la curva, su ordenada y su abcisa satisfacen la ecuacin, es decir: 52 / 32 22 / b2 = 1. Se despeja b2 y se obtiene b2 = 9 / 4. Por consiguiente, una ecuacin de la hiprbola es: x2 / 9 y2 / (9/4) = 1 o bien, equivalentemente, x2 4 y2 = 9 Para localizar los focos, primero se calcula c: c2 = a2 + b2 = 9 + 9/4 = 45 / 4. Por consiguiente, c = 45 / 4= 3 / 25= 3. 35,y los focos estn en ( 3 / 2 5, 0 ) Las ecuaciones generales de las asntotas son y = ( b / a ) x. Sustituyendo a = 3 y b = 3 / 2 se obtiene y = 1 / 2 x.Como en el caso de la elipse, es posible emplear las frmulas de traslacin de ejes para dar ms amplitud a los trabajos. Con el ejemplo que sigue se ilustra esa tcnica. Ejemplo 4. Trazo de una hiprbola con el centro ( h, k ). Analizar y trazar la grfica de la ecuacin:9x2 4y2 54x 16y + 29 = 0 Solucin: Se ordena el trabajo siguiendo un procedimiento semejante al que se aplica para la elipse. ( 9 x2 54 x ) + ( 4 y2 16 y ) = 29.Se agrupan trminos. 9 ( x2 6 x ) 4 ( y2 + 4 y ) = 29.Se sacan 9 y 4 como factores. 9 ( x2 6 x + 9 ) 4 ( y2 + 4 y + 4 ) = 29 + 81 16.Se completan los cuadrados. 9 ( x 3 ) 2 4 ( y + 2 ) 2 = 36Factorizacin. ( x 3 ) 2 / 4 ( y + 2 ) 2 / 9 = 1.Se divide entre 36. La ltima ecuacin tiene la forma: ( x ) 2 / 4 ( y ) 2 / 9 = 1, En la cual x = x 3 y y = y + 2. Se han trasladado los ejes x yyalnuevoorigen,C(3,2).Lagrficaesunahiprbola con sus vrtices en el eje x, que es la recta y = 2. Se observa que: a2 = 4, b2 = 9, c2 = a2 + b2 = 13. Por consiguiente: a = 2, b = 3, c =13. Como se ilustra en la fig. los vrtices estn en: ( 3 2, 2 ), es decir, en ( 5, 2 ) y ( 1, 2 ). Los extremos del eje conjugado sehallanen(3,23),osea,(3,1)y(3,5).Losfocos estn en:( 3 13 , 2 ) ,y las ecuaciones de las asntotas son:3y 2 ( x 3 )2+ = Losresultadosdelasseccionescnicasmuestranquela grfica de toda ecuacin que tenga la forma: A x2 + C y2 + D x + E y + F = 0. Es una cnica.

Culminacin:IDeterminelosvrticesylosfocos,ydeduzcalasecuacionesdelasasntotasdela hiprbola. Trace la grfica que muestre las asntotas y los focos. 1) ( x2 / 9 ) ( y2 / 4 ) = 12) ( y2 / 49 ) ( x2 / 16 ) = 1 3) ( y2 / 9 ) ( x2 / 4 ) = 14) ( x2 / 49 ) -- ( y2 / 16 ) = 1 5) ( y + 2 ) 2 / 9 ( x + 2 ) 2 / 4 = 16) ( x 3 ) 2 / 25 ( y 1 ) 2 / 4 = 1. 7) 144 x2 25 y2 + 864 x 100 y 2404 = 08) y2 4 x2 12 y 16 x + 16 = 0