MOMENTOS DE INERCIA DE UN AREA CON RESPECTO A EJES INCLINADOS

El diseño de un elemento estructural y mecánico, como una viga o una columna, requiere el cálculo del momento de inercia de su sección transversal , a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados FUTURO ING. MARTIN FRANCISCO ANDRADE PAHECO

Para hallar los momentos de inercia con respecto a los ejes inclinados , , es necesario conocer o calcular los momentos de inercia con respecto a los ejes x e y ( , ) y conocer el ángulo del eje inclinado .Para comenzar debemos usar ecuaciones que relacionen las coordenadas y . A partir de la figura de la izquierda ,estas ecuaciones son:

Usando la definición de momento de inercia y reemplazando las ecuaciones anteriores , los momentos y el producto de inercia de con respecto a los ejes se convierten:

Al desarrollar cada expresión tenemos:

Integrando ,

Reemplazando , e , obtenemos:

Las ecuaciones pueden reducirse usando identidades trigonométricas, , y .i)

𝐼𝑢=𝐼 𝑥+𝐼 𝑦2

+𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2

cos2 𝜃− 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

ii)

𝐼 𝑣=𝐼 𝑥+𝐼 𝑦2

−𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2

cos2𝜃+ 𝐼 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃

iii)

Por lo tanto las ecuaciones de los momentos y el producto de inercia quedan:𝐼𝑢𝑣=𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2

𝑠𝑒𝑛2𝜃+ 𝐼 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃

….(1)

Si se suman las dos primeras ecuaciones, se observa que elmomento polar con respecto al eje z que pasa a través del punto O es independiente de la orientación de los ejes y ;es decir: También sabemos que el momento polar se define como :

Momentos de inercia principalesLas ecuaciones (1) muestran que dependen del ángulo de inclinación de los ejes , . Ahora determinaremos la orientación de esos ejes con respecto a los cuales son máximo y mínimo. Este sistema particular de ejes se llama ejes principales del área , y los momentos de inercia correspondientes con respecto a esos ejes se llaman momentos de inercia principales . En general, hay un conjunto de ejes principales para cada origen O elegido. Sin embargo, para el diseño estructural y mecánico, el origen O se ubica en el centroide del área .

Por lo tanto, si

El ángulo para el que o es máximo o mínimo puede de terminarse anulando la primera derivada de o , respecto a , es decir:

tan 2𝜃𝑝=− 𝐼 𝑥𝑦

( 𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2 ) …..(2)

Las dos raíces, y de esta ecuación están separadas 90° y especifican la inclinación de los ejes principal . Esto puede hacerse mediante los triángulos de la figura inferior, que se basan en la ecuación (2). Si sustituimos cada una de las relaciones de seno y coseno en la primera o segunda de las ecuaciones (1), y simplificamos obtenemos:

Si sustituimos los valores de la otra raíz , obtenemos:𝐼𝑚𝑎𝑥=𝐼 𝑥+ 𝐼 𝑦2

+√( 𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2 )2

+𝐼❑2𝑥𝑦❑

𝐼𝑚𝑖𝑛=𝐼 𝑥+𝐼 𝑦2

−√( 𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2 )2

+ 𝐼❑2𝑥𝑦❑

…..(3)

…..(4)

Según el signo que se elija, este resultado proporciona el momento de inercia máximo o mínimo para el área. Además, si las relaciones trigonométricas anteriores para y se sustituyen en la tercera de las ecuaciones (1), se puede ver que ; es decir, el producto de inercia con respecto a los ejes principales es cero. Como se indico en la sección de productos de inercia , es cero con respecto a cualquier eje simétrico , se infiere que cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área .

𝐼𝑚𝑎𝑥𝑚𝑖𝑛

=𝐼 𝑥+ 𝐼 𝑦2

±√( 𝐼 𝑥− 𝐼 𝑦2 )2

+ 𝐼❑2𝑥𝑦❑

Ejemplo 1 .- Determine los momentos de inercia y el producto de inercia del área de la sección transversal con respecto a los ejes u y v.

Desarrollo.- La figura mostrada es un área compuesta , por lo que la sección transversal puede subdividirse en 2 áreas rectangulares A y B se muestran en la figura.Teorema de los ejes paralelos.- Sabemos que el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su eje centroidal es , por lo tanto:Rectángulo A:Rectángulo B: +(4)(1)(0) +(4)(1)

Suma.- Entonces los momentos de inercia para toda la sección transversal son:

Producto de inercia .– Debido a la simetría, el producto de cada rectángulo es cero respecto a cada conjunto de ejes x´ , y ´ que pasan a través del centroide de cada rectángulo. Si usamos el teorema de los ejes paralelos, tenemos.Rectángulo A :Rectángulo B :Por lo tanto , el producto de inercia de toda la sección transversal es cero:

Ahora que ya se han determinado los momentos y el producto de inercia de la sección transversal respecto a los ejes x e y : , , Procederemos a calcular los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes inclinados u , v:

Como se puede observar el producto de inercia puede ser negativo o positivo.

Ejemplo 2 .- Determinar la dirección de los ejes principales con origen en el punto O. y los momentos de inercia principales. Resolución .- Hallamos el momento polar con respecto al punto o :

Por simetría y son iguales, si :

Integrando; 𝑟2=𝑥2+𝑦2

(~𝑥 ,~𝑦 )

Hallamos el producto de inercia, para ello usaremos un elemento diferencial que tiene un espesor , como se muestra, y tiene un . El centroide se localiza en el punto y

Reemplazando el valor del radio obtenemos los valores de los momentos y el producto de inercia con respecto al eje x , y :

Con la ecuación (2), se hallan los ángulos de inclinación de los ejes principales :Pero como :

Entonces:

o

Por lo tanto las raíces , son:

𝜃𝑝1=45 ° 𝜃𝑝 2=−45 °

Los momentos de inercia principales con respecto a estos ejes se determinan por la siguiente ecuación :Pero como :

𝐼𝑚𝑎𝑥=26.03 ¿4

𝐼𝑚𝑖𝑛=5.78 ¿4

Por lo tanto :

Pero reemplazando las raíces de los ángulos en las formulas (1). Obtenemos que los momentos de inercia principales máximo y mínimo son iguales :

𝐼𝑚𝑖𝑛=5.78¿4

=