MOMENTO DE INERCIA

MOMENTO DE INERCIA En este captulo se analizaron varios sistemas de fuerzas que estaban distribuidas sobre un rea o volumen. Los tres tipos principales de fuerzas que se consideraron fueron:1.- Los pesos de placas homogneas de espesor uniforme2.-Las cargas distribuidas que actan sobre vigas y las fuerzas hidrostticas3.-Los pesos de cuerpos tridimensionales homogneos.

INTRODUCCION

En la primera parte del presente captulo se estudian fuerzas distribuidas.Adems, en este captulo se introduce el momento polar de inercia de un rea, donde r es la distancia desde el elemento de rea dA hasta el punto O. Tambin se estudiara la transformacin de los momentos de inercia de varias masas con respecto a un eje dado. El momento de inercia de una masa dada con respecto a un eje AA se define como , donde r es la distancia desde el eje AA hasta el elemento de masa dm.Por ltimo, se aprender a analizar la transformacin de momentos de inercia de masas cuando se rotan los ejes coordenados.

MOMENTO DE INERCIA

1. Momento de Inercia de reas:1.1.- Momento de Segundo Orden: En esta parte se estudia fuerzas distribuidas cuyas unidades son proporcionales a los elementos de rea sobre los cuales actan dichas fuerzas y, que al mismo tiempo, varan linealmente con la distancia que hay desde hasta un eje dado.

La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales que actan sobre toda la seccin es

La ltima integral obtenida se conoce como el primer momento Qx.La magnitud M de dicho par (momento flector) debe ser igual a la suma de los momentos de las fuerzas elementales.

Al integrar sobre toda la seccin se obtiene

La integral se conoce como el segundo momento, o momento de inercia de la seccin de la viga con respecto al eje x y se representa con IA. Ejemplo:

Representando con la Y la profundidad de un elemento de rea y con Y el peso especifico del agua.La presin en el elemento es:

la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre

la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales es:

Calculando el primer momento:

del rea de la compuerta con respecto al eje x. el momento MX de la resultante debe ser igual a la suma de los momentosAl integrar sobre el rea de la compuerta, se tiene que:

aqu la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia IX del rea con respecto al eje x.

Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia, de un rea lo proporciona el siguiente problema de hidrosttica; una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un deposito grande est sumergida bajo el agua, como se muestra en la figura. cul es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cul es el momento de la resultante con respecto a la lnea de interseccin del plano de la compuerta y la superficie del agua(eje x)?

Una integral muy importante en los problemas relacionados con la torsin de flechas cilndricas y en los problemas relacionados con la rotacin de placas es la siguiente:

1.2.- Momento Polar de Inercia:

Donde r es la distancia desde O hasta el rea elemental .

Esta integral es el momento polar de inercia del rea A con respecto al polo O.El momento polar de inercia de un rea dada puede calcularse a partir de los momentos rectangulares de inercia IX e Iy del rea, si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, si se observa que r2 = x2+y2, se puede escribir:

Esto es

Determine el momento polar centroidal de inercia de un rea circular por integracin directaUtilice el resultado del incisoY determine el momento de inercia de un rea circular con respecto a uno de sus dimetros.

Momento polar de inercia. Se selecciona dA como un elemento anular diferencial de rea. Como todas las porciones del rea diferencial estn a la misma distancia desde el origen, se escribe:

Momento de inercia con respecto a un dimetro. Debido a la simetra del rea circular, se tiene que IX = IY. entonces, se escribe.

1.3.- Radio de Giro de un rea:

Considere un rea A que tiene un momento de inercia IX con respecto al eje x. Imagine que se concentrados esta rea en una tira delgada paralela al eje x. Si el rea A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx desde el eje x, donde Kx est definida por la relacin

Al resolver para kx se escribe:

Se hace referencia a la distancia kx como el radio de giro del rea con respecto al eje x. En forma similar, se pueden definir los radios de giro ky y ko as se escribe:

Si se reescribe la ecuacin en trminos de los radios de giro, se encuentra que

Determine el momento de inercia con respecto a cada uno de los ejes coordenados coordenados correspondientes al rea sombreada que se muestra en la figura.Utilice los resultados del inciso.Y determine el radio de giro del rea sombreada con respecto de cada uno de los ejes coordenados.Solucin:Se obtiene las expresiones para la ecuacin de la curva y para el rea total:

Momento de inercia IX. se selecciona Da como un elemento diferencial vertical de rea.

Momento de inercia Iy. se utiliza el mismo elemento diferencial vertical de rea.

Radios de giro kx y ky. por definicin, se tiene que

1.4.-Producto de Inercia:La integral que se obtiene al multiplicar a cada elemento de un rea A por sus coordenadas x y y, e integrando sobre toda el rea, es conocida como el producto de inercia del rea A respecto a los ejes x y y. A diferencia de los momentos de inercia Ix e Iy el producto de inercia Ixy puede ser positivo, negativo o cero.Cuando uno o ambos ejes x y y son ejes de simetra del rea A, el producto de inercia Ixy es igual a cero.

Considrese la seccin en forma de canal que muestra la figura.

Puesto que esta seccin es simtrica respecto al eje x, con cada elemento de coordenadas x y y. Desde luego, las contribuciones a Ixy de cualquier par de elementos seleccionados de esta forma se cancela y. por tanto, la integral se reduce a cero.Considere un rea A y un sistema de coordenadas rectangulares x y y

A travs del centroide C del rea, cuyas coordenadas son x y y, se dibujan dos ejes centroidales x y y que son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y.las coordenadas con respecto a los ejes centroidales, se escribe

expresin para el producto de inercia Ixy

La primera integral representa el producto de inercia del rea A con respecto a los ejes centroidales x y y. Las dos integrales siguientes representan a los ejes los primeros momentos del rea con respecto a los ejes centroidales; dichas integrales se reducen a cero puesto que el centroide C est localizado sobre ejes. La ltima integral es igual al rea total A. Por tanto, se tiene que:

2.-Teorema de los Ejes Paralelos o Teorema de Steiner:Considere el momento de inercia I de un rea A con respecto a un eje AA si se representa con y la distancia desde un elemento de rea dA hasta AA. Se escribe.I=y2 dAAhora, se dibuja a travs del centroide C del rea un eje BB que es paralelo a AA, dicho eje es llamado eje centroidal. Representando con:

Y la distancia desde el elemento dA hasta BB, se escribe y= y+d, donde d es la distancia entre los ejes AA Y BB, sustituyendo por y en la integral anterior, se escribe I=y2dA =(y +d2) dA =y2 dA+2dydA+d2dA

La primera integral representa el momento de inercia I del rea con respecto al eje centroidal BB. La segunda integral representa el primer momento del rea con respecto a BB, la ultima integral es igual al area total A. por tanto, se tiene: I = I +Ad2Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos o Teorema de Steiner. Sustituyendo k2 A por I y K2A por I, el teorema tambin se puede expresar de la siguiente forma: K2=k2 +d2Se puede utilizar un teorema similar para relacionar el momento polar de inercia JO de un rea, con respecto a un punto O, con el momento polar de inercia JC de la misma rea con respecto a su centroide de c. denotando con la distancia entre O y C, se escribe:JO= JC+Ad2 O K2o = Kc2+d2

Ejemplo 1:

Como una aplicacin del teorema de los ejes paralelos, se proceder a determinar el momento de inercia IT de un rea circular con respecto a una lnea tangente al crculo. En el problema se encontr que el momento de inercia de un rea circular con respecto a un eje centroidal es Por tanto se puede escribir:

Es necesario resaltar que el producto Ad2 fue restado del momento de inercia dado, con el fin de obtener el momento centroidal bh de inercia del triangulo. Observe que dicho producto se suma cuando se pasa de un eje centroidal a un eje paralelo, pero debe restarse cuando se pasa a un eje centroidal. En otras palabras, el momento de inercia de un rea siempre es menor en relacin a un eje centroidal que con respecto a cualquier otro eje paralelo.En la figura se observa que el momento de inercia del tringulo con respecto a la lnea DD ( la cual se ha dibujado a travs de un vrtice del tringulo) se puede obtener escribiendo. IDD=IBB+Ad2=1/36bh +1/2bh(2/3h)=1/4bhObserve que I DD no se habra podido obtener directamente a partir de IAA . el Teorema de los Ejes Paralelos slo se puede aplicar si uno de los ejes paralelos pasa a travs del centroide del rea.Ejemplo 2:El teorema de los ejes paralelos tambin se puede utilizar para determinar el momento centroidal de inercia de un rea cuando se conoce el momento de inercia del area con respecto a un eje paralelo. Por ejemplo, considere un rea triangular:

En el problema se encontr que el momento de inercia del tringulo con respecto a su base AA es igual a 1/12 bh. Con el teorema de los ejes paralelos, se escribe:

3.- Momento de Inercia con respecto a ejes inclinados:En el diseo estructural y mecnico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia Iu , Iv e Iuv para un rea con respecto a un conjunto de ejes inclinados u y v cuando se conocen los valores de , Iu , Iv e Iuv.. Para hacer esto se usa las ecuaciones de transformacin que relacionan las coordenadas x, y y u, v.

A partir de la figura estas son las ecuaciones:U= x cos + y senV = y cos x sen

Usando estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de dA con respecto a los ejes u y v son:dIu = v2dA = (y cos x sen)2dAdIv = u2dA = (x cos y sen)2dAdIuv = uv2dA = (x cos + y sen) (y cos - x sen)dADesarrollando cada expresin e integrando, puede advertirse que Ix = y2 dA Iy = x2 dA, e Ixy dA = xy dA, obtenemosIu = Ix cos2+ Iy sen2- 2 Iy sen cosIv = Ix sen2+ Iy cos2+ 2 Ixy sen cosIuv = Ix sen cos- Iy sen cos+ Ixy(cos2- sen2) Si se suman la primera y la segunda ecuaciones, es posible mostrar que el momento de inercia polar con respecto al eje z que pasa a travs del punto O es independientemente de la orientacin de los ejes u y v, es decir:Jo = Iu + Iv = Ix + Iy

4.- Circulo de Mohr para momentos y Productos de Inercia:

Se demuestra que si se conocen los momentos y productos de inercia de un rea A respecto a dos ejes rectangulares x y y que pasan por un punto O, el crculo de Mohr se puede utilizar para determinar grficamente:

a)los ejes principales y los momentos principales de inercia del rea respecto a O.

b)los momentos y el producto de inercia del rea respecto a cualquier otro par de ejes rectangulares x y y que pasen por O.

Considrese un rea dada A y dos ejes coordenados rectangulares x y y.

Suponiendo que los momentos de inercia Ix e Iy y el producto de inercia Ixy son conocidos estarn representados en un diagrama al graficar un punto X de coordenadas Ix e Ixy y un punto Y de coordenadas Iy y - Ixy

Si Ixy es positivo, como se supuso en (a), el punto X estar localizado por encima del eje horizontal, y el punto Y se ubicar por debajo de dicho eje, como indica la figura (b).Si Ixy es negativo, X se localizar por debajo del eje horizontal y se traza un crculo cuyo centro sea C y su dimetro XY. Al advertir que la abscisa de C y el radio del crculo son iguales, respectivamente, a las cantidades Iprom y R definidas, se concluye que el crculo obtenido es el crculo de Mohr para el rea dada respecto al punto O. Por tanto, las abscisas de los puntos A y B donde el crculo corta al eje horizontal representan, respectivamente, los momentos principales de inercia Imx e Imm del rea.Se debe recalcar que el uso del crculo de Mohr no est limitado a las soluciones grficas, esto es, a las soluciones basadas en dibujar y medir los distintos parmetros involucrados. Simplemente, al hacer un bosquejo del crculo de Mohr y con la trigonometra se pueden derivar las distintas relaciones que se requieren para la solucin numrica de un problema dado.

Ejemplo:Para la seccin mostrada en la figura, se sabe que los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes x y y estn dados por:

Con el uso del circulo de Mohr, determine:Los ejes principales de la seccin con respecto a O.Los valores de los momentos principales de inercia de la seccin con respecto a OLos momentos y el producto de inercia de la seccin con respecto a los ejes x y y que forman un ngulo de 60 con los ejes x y y.

1ro se grafica el pto X de coordenadas y el pto Y de coordenadas IY= 2.61, IXY= +2.54. Uniendo los ptos X y Y con una lnea recta, se define el centro C del crculo Mohr.

La abscisa de C, y el radio R del crculo se pueden calcular:

a) Ejes principales: Los ejes principales de la seccin corresponden a los puntos A y B en el crculo de Mohr y el ngulo a travs del cual se debe rotar CX para llevarlo a CA define el ngulo . As se tiene que.

Por tanto, el eje principal Oa correspondiente al valor mximo del momento de inercia se obtiene rotando el eje x a travs de 23.8en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj; el eje principal Ob correspondiente al valor mnimo del momento de inercia se puede obtener rotando el eje y a travs del mismo ngulo.

b.-Momentos Principales de Inercia: Los momentos principales de inercia estn representados por las abscisas de los puntos A y B. por tanto, se tiene que:

C.-Momentos y Producto de Inercia con respecto a los ejes x y y . En el crculo de Mohr, los puntos X y Y corresponden a los ejes x y y, aquellos se obtienen rotando CX y CY a travs de un ngulo en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj. Las coordenadas de Xy Y proporcionan los momentos y el producto de inercia buscados. Observe que el ngulo que CX forma con la horizontal es =120 - 47.6= 72.4, se escribe:

Considere una pequea masa que esta montada sobre una barra de masa insignificante, la cual puede rotar libremente alrededor de un eje . Si se aplica un par al sistema, la barra y la masa, las cuales se supone que estaban en reposo, comienzan a girar alrededor de Slo se desea indicar que el tiempo requerido para el sistema alcance una velocidad de rotacin dada es proporcional a la masa y al cuadrado de la distancia r. por tanto, el producto r2 proporciona una medida de la inercia del sistema , esto es, una medida de la resistencia que ofrece el sistema cuando se trata de ponerlo en movimiento, por esta razn, el producto r2 es llamado el momento de inercia de la masa con respecto al eje .

5.-Momento de Inercia De Una Masa:

Al incrementar el nmero de elementos se encuentra que, en el lmite, el momento de inercia es igual a la integral.

El radio de giro k del cuerpo con respecto al eje esta definido por la relacin.

El momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje coordenado puede expresarse en trminos de las coordenadas x, y y z del elemento de masa . * Por ejemplo , observe que el cuadrada de la distancia r desde el elemento dm hasta el eje y es igual a z2+x2, se expresa el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje y como

Se pueden obtener expresiones similares para los momentos de inercia respecto a los ejes x,y, z. as se escribe:

Ejemplo:Determine el momento de inercia de una barra delgada de longitud L y masa M con respecto a un eje que es perpendicular a la barra y que pasa a travs de uno de sus extremos.

Solucin: Si se selecciona el elemento diferencial de masa mostrado en la figura, se escribe

6.- Momento de Inercia de un cuerpo con respecto a un Eje Arbitrario que pasa por el Punto O. Productos de Inercia de Masa:

El momento de inercia de x, y, z de r respecto al eje OL es igual a dm, donde p representa la distancia perpendicular desde el elemento de masa dm hasta el eje OL. Si se representa mediante seccin del elemento dm, puede advertirse que la distancia perpendicular p es igual a r sen que es la magnitud del producto vectorial x r. por tanto , se escribe:

Expresando en trminos de la componentes rectangulares del producto vectorial, se tiene que:

Donde las componentes del vector unitario representan los cosenos directores del eje OL, y la componentes x,y,z de r representan las coordenadas del elemento de masa dm. Al expandir los presentan las coordenadas del elemento de masa dm. Al expandir los trminos elevados al cuadrado, y reordenando trminos, se escribe:

Donde x,y,z, son las coordenadas del centro de gravedad G del cuerpo e representan los productos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes centroidales x,y,z.

Ejemplo:

Considere un prisma rectangular de masa m y lados a, b y c. determine:

a.- Los momentos y productos de inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados. b.- El momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a la diagonal OB.

Solucin:a.- Momentos y productos de inercia con respecto a los ejes coordenados. Momentos de inercia. Al introducir los ejes centroidales x, y z , respecto a los cuales estn dados los momentos de inercia, se aplica el teorema de los ejes paralelos.

En forma similar:

Productos de Inercia. Debido a la simetra, los productos de inercia con respecto a los ejes centroidades x, y y z son iguales a cero y dichos ejes son ejes principales de inercia. Utilizando el teorema de los ejes paralelos, se tiene que

En forma similar.

b.- Momentos de Inercia con respecto a OB. Se tiene:

Donde los cosenos directores de OB son:

Si se sustituyen los valores obtenidos para los momentos y productos de inercia y para los cosenos directores en la ecuacin para IOB, se tiene que

**Solucin Alterna:

El momento de inercia IOB puede obtenerse directamente a partir de los momentos principales de inercia , puesto que la lnea OB pasa a travs del centroide 0 como los ejes x, y y z son ejes principales de inercia: