DINMICA MOMENTO DE INERCIA ,PRODUCTO DE INERCIA Y TEOREMA DE ESTEINER

2012DOC: ING. IRMA RODRIGUEZ LLONTOP

MOMENTO DE INERCIA

GRUPO N 7CURSO: DINMICADOCENTE: ING. IRMA RODRIGUEZ LLONTOP INTEGRANTES:MORI BETTA (7-1)IZQUIERDO VARGAS ROSARIO (7-2)ZULUETA CALDERON ROBERT (7-3) FUENTES ACUA FRANZ ( 7-4 ) LAMBAYEQUE, FEBRERO DEL 2012MOMENTO DE INERCIA

FUNDAMENTO TERICO

INERCIA Es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de movimiento, mientras no se aplique sobre ellos alguna fuerza. Como consecuencia, un cuerpo conserva su estado de reposo o movimiento uniforme en lnea recta si no hay una fuerza actuando sobre l.En resumen, la inercia es la resistencia que opone la materia al modificar su estado de reposo o movimiento. En fsica se dice que un sistema tiene ms inercia cuando resulta ms difcil lograr un cambio en el estado fsico del mismo

MOMENTO: El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qu medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotacin del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud caracterstica en elementos que trabajan sometidos a torsin (como los ejes de maquinaria) o a flexin (como las vigas).Se define como:

MOMENTO DE INERCIAEl momento de inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a aceleraciones angulares. DEMOSTRACION DE LA FORMULA:

Definicin del Momento de InerciaSe define momento de inercia como el producto de la masa del elemento por el cuadrado de la distancia ms corta del eje al elemento. Por ejemplo como se indica en la figura por lo que el momento de inercia de masa del elemento con respecto al eje x es:

El momento de inercia Ix del cuerpo se calcula integrando esta ecuacin sobre la masa total del cuerpo. Por lo tanto, para cada uno de los ejes podemos escribir,

Donde r es el brazo de momento, o distancia perpendicular del eje que se tome al elemento arbitrario dm. Como la formulacin involucra a r, el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se formula. El eje que generalmente se elige para el anlisis pasa por el centro de masa G del cuerpo y es siempre perpendicular al plano de movimiento. El momento de inercia calculado con respecto a este eje es denotado por IG.Si el cuerpo est constituido de material con densidad variable , su masa elemental dm puede ser expresada en trminos de su densidad y volumen como . Sustituyendo dm en la ecuacin entonces el momento de inercia del cuerpo es calculado usando elementos de volumen en la integracin, es decir: SEEEje de Rotacin:El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

Radio de giro:Es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto, sin cambiar su momento de inercia.Es siempre medido desde el centro de gravedad (CG).

Momento de Inercia de una distribucin continua de masa (Cuerpo Rgido) La frmula que tenemos que aplicar es

dmes un elemento de masa situado a una distanciaxdel eje de rotacinMomento de inercia de una varilla Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masaMy longitudLrespecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masadmdel elemento de longitud de la varilla comprendido entrexyx+dxes

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando elteorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un discoVamos a calcular el momento de inercia de un disco de masaMy radioRrespecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es un anillo de radioxy de anchuradx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectngulo de longitud 2xyanchuradx, cuya masa es

El momento de inercia del disco esMomento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masaM, radioRy longitudLrespecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es una capa cilndrica cuyo radio interior esx, exteriorx+dx, y de longitudL, tal como se muestra en la figura. La masadmque contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masaMde ladosaybrespecto del eje que pasa por la placa.Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitudade anchuradx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de un discoVamos a calcular el momento de inercia de un disco de masaMy radioR, respecto de uno de sus dimetros.Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitud 2yde anchuradx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variablex=Rcosy=Rsen

Llegamos a la integral

Momento de inercia de una esferaVamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masaMy radio R respecto de uno de sus dimetros

Dividimos la esfera en discos de radioxy de espesordz. El momento deinercia de cada uno de los discoselementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variablexcon laz. Como vemos en la figurax2+z2=R2

Momento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masaM, radioRy longitudL, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radioRy espesordx. Elmomento de inercia de cada uno de los discosrespecto de uno de sus dimetros es

Aplicando elteorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distanciax.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de un paraleppedoVamos a calcular el momento de inercia de un paraleppedo de masaMy de ladosa,bycrespecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paraleppedo en placas rectangulares de ladosayby de espesordx.Elmomento de inercia de cada una de las placasrespecto de su eje de simetra es

Aplicando elteorema de Steiner,calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distanciaxes

El momento de inercia del slido en forma de paraleleppedo es

CUADRO DE RESUMEN DE MOMENTO DE INERCIA DE CUERPO RIGIDOESFERA

Hemisferio

Cilindro

Bloque rectangular

Placa rectangular delgada

Barra delgada

Disco circular delgado

Anillo delgado

Cono

PRODUCTO DE INERCIAConcepto:En el estudio del movimiento de los cuerpos rgidos, se encuentran a veces expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeo elemento por las distancias a un par de planos de coordenadas ortogonales. Este producto, se denomina Producto de Inercia del elemento. Por ejemplo el Producto de inercia del elemento representado de la figura respecto a los planos xz e yz, es por definicin:

La suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los planos ortogonales mencionados es, por definicin, el producto de inercia del cuerpo. Los tres productos de inercia representados en la figura son:

Los Productos de Inercia, como los Momentos de Inercia, tienen las dimensiones de masa multiplicada por el cuadrado de una longitud . La unidad de medida de los productos de inercia en el sistema S.I. es el . En el U.S. Customary System es el El producto de inercia de un cuerpo puede ser positivo, negativo o nulo, ya que las dos distancias coordenadas tienen signos independientes. El producto de inercia ser positivo cuando las coordenadas sean de igual signo. El producto de inercia ser negativo cuando sean de signos contrarios. El producto de inercia ser nulo cuando uno de los dos planos sea un plano de simetra, ya que los elementos a uno y a otro lado de ste se podrn emparejar de manera que sus productos de inercia respectivos sean uno positivo y otro negativo, siendo nula su suma.Los mtodos de integracin que se utiliza para determinar momentos de inercia son igualmente aplicables a la determinacin de productos de inercia. Segn como se hayan tomado los elementos, podr ser necesario calcular una integral simple, doble o triple.Los momentos de inercia de placas delgadas estaban relacionados con los momentos segundos de las placas. Anlogamente los productos de inercia se pueden relacionar con los momentos segundos mixtos de las placas.

Si la placa tiene una densidad uniforme , un grosor uniforme y un rea de la seccin recta , los productos de inercia sern por definicin:

Donde el subndice corresponde a productos de inercia msicos y el subndice A corresponde a momentos segundos mixtos de superficie. Los productos de inercia e de una placa delgada son nulos ya que se supone que los ejes e se hallan en el plano medio de la placa (plano de simetra)

El TEOREMA DE ESTEINER

Teorema de Steiner o Teorema de los Ejes Paralelos:En fsica, el teorema de Steiner es un teorema usado en la determinacin del Momento de Inercia de un Solido Rgido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a travs del Centro de Masa y de la distancia perpendicular (h) entre ejes. El Teorema de Steiner (denominado as en honor a Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

Donde: Es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa. Es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa. M: Masa Total. h: Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.Demostracin:La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masas: inmediata:En efecto consideremos el sistema de ejes coordenados que pasa por el centro de masa de un cuerpo de masa m, (el centro de masa lo supondremos localizado en O), y sea otro sistema coordenado cuyos ejes son paralelos al primero como se muestra en la fig.

Y

Entonces se tiene que el vector posicin de elemento de masa con respecto al centro de masa es:

Y el vector de posicin del centro de masa del cuerpo con respecto al punto O es:

De tal manera que la posicin del elemento de masa con respecto a O es:

Entonces: El momento de inercia al eje X es:

La que despus de desarrollarla tenemos:

Por otro lado puesto que el centro de masa existe y solamente existe un centro de masa para cualquier cuerpo se sigue que:

Entonces, tenemos:

Pero podemos escribir ahora:

Es el cuadrado de la distancia entre los ejes X y X respecto a los cuales se est calculando el momento de inercia.

Es el momento de inercia con respecto del eje X que pasa por el centro de masa del cuerpo.De manera que es definitivamente:

El momento de inercia con respecto al eje Y es:

Donde:

El momento de inercia con respecto al eje Y es:

Donde:

EJERCICIOS DE APLICACIN

EJERCICIO N01 (Libro: Mecnica, Autor: Ausberto R. Rojas Saldaa; problema 1, pgina 672):Determinar el momento de inercia de una barra homognea de longitud L con respecto a un eje perpendicular a la barra y que pasaa) travs de un extremo izquierdob) a travs de su centro.

Solucin:a)

Pero la masa de la barra es:

Entonces:

b)

EJERCICIO N02 (Libro: Esttica, Autor: R.C. Hibbeler; pgina 552):El pndulo que se muestra en la figura consiste en dos barras delgadas cada una con un peso de 10lb. Determine el momento de inercia de masa del pndulo con respecto a un eje que pase por a) el pasador en O, y b) el centro de masa G del pndulo.

Solucin:a) El momento de inercia de la barra OA con respecto a un eje perpendicular a la pg. Y que pasa por el punto O de la barra, es . Por consiguiente:

Observe que este mismo valor puede calcularse con y el teorema de Steiner, es decir,

Para la barra BC tenemos

El momento de inercia del pndulo con respecto a O es, por tanto

b) El centro de masa G se localizar con respecto al pasador situado en O. Si suponemos que esta distancia es , usamos la frmula para determinar el centro de masa tenemos:

El momento de inercia puede calcularse de la misma manera que , lo cual requiere aplicaciones sucesivas del teorema de Steiner para transferir los momentos de inercia de la barras OA y BC. Sin embargo, una solucin ms directa significa aplicar el teorema de Steiner con el resultado de determinado anteriormente, es decir:

EJERCICIO N03 (Libro: Mecnica Vectorial para Ingenieros - Esttica, Autor: Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Elliot R. Eisenber; problema 9.11, pgina 521):Determine el Momento de Inercia de un cono circular recto con respecto a:a) Su eje longitudinalb) Un eje que pasa a travs del pice del cono y que es perpendicular a su eje longitudinalc) Un eje que pasa a travs del centroide del cono y que es perpendicular a su eje perpendicular.

Solucin:Se selecciona el elemento diferencial de masa mostrado en la figura:

a) Momento de inercia : calculamos el momento de inercia de masa del elemento diferencial con respecto al eje x.

Integrando desde x = 0 hasta x = h, se obtiene

Como la masa total del cono es , se puede escribir

b) Momento de inercia : utilizando el mismo elemento diferencial, aplicando el teorema de Steiner y usando la expresin para un disco delgado:

Si se sustituyen las expresiones para r y para dm en la ecuacin anterior, se obtiene

Con la introduccin de la expresin para la masa total del cono m, se reescribe de la forma siguiente:

c) Momento de inercia se aplica el teorema de Steiner y se escribe

Resolviendo para

EJERCICIO N04 (Libro: Mecnica Vectorial para Ingenieros - Esttica, Autor: Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Elliot R. Eisenber; problema 9.12,pgina 522):Una pieza de acero consta de un prisma rectangular de 6 x 2 x 2 in y dos cilindros de 2 in de dimetro y 3 in de longitud, como se muestra en la figura. Si se sabe que el peso especfico del acero es de 490 lb/ft3. Determine los momentos de inercia de la pieza con respecto a los ejes coordenados.

Solucin:Calculo de las masas:Prisma

Cada uno de los cilindros

Momentos de inercia: se obtendrn basndonos en las tablas de momento y producto de inercia de casa pieza de la figura. Observe que todas unidades deben estar expresadas en pies.Prisma

Cada uno de los cilindros

Pieza completa, con la suma de los valores obtenidos, (respuestas):

EJERCICIO N05 (Libro: Mecnica Vectorial para Ingenieros - Esttica, Autor: Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Elliot R. Eisenber; problema 9.14, pgina 538):Considere un prisma rectangular de masa m y lados a, b y c. determine:Los momentos y productos de inercia del prisma con respecto a los ejes coordenados mostrados.

Solucin:

Momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados: al introducir los ejes centroidales x, y y z, respecto a los cuales estn dados los momentos de inercia en las tablas dadas, se aplica el teorema de los ejes paralelos.

En forma similar para

Productos de inercia con respecto a los ejes coordenados: debido a la simetra, los productos de inercia con respecto a los ejes centroidales x, y y z, son iguales a cero y dichos ejes son ejes principales de inercia.

En forma similar para

BIBLIOGRAFA

MECNICA, Autor: Ausberto R. Rojas Saldaa; Editorial Publicaciones Moshera S. R. L Lima Per

ingeniera Mecnica - Dinamica, decimosegunda Edicin, Autor: R.C. Hibbeler;

ingeniera Mecnica - Estatica, decimosegunda Edicin, Autor: R.C. Hibbeler;

Mecnica Vectorial para Ingenieros - Esttica, octava Edicin; Autor: Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Elliot R. Eisenber

Web:

http://es.wikipedia.org/htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/htm

UNPRG. CICLO VERANO Pgina 9