Momento de inerciaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Momento de inercia (desambiguación).

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia puede ser representado como una magnitud escalar, una representación más avanzada por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Contenido[ocultar]

1 Ecuaciones del momento de inercia o 1.1 Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos o 1.2 Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

2 Tensor de inercia de un sólido rígido 3 Véase también

4 Referencias

[editar] Ecuaciones del momento de inercia

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

donde:

es el momento aplicado al cuerpo.

es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

[editar] Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

[editar] Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por . 3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con

respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de

masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima. 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando

el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:

y 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos

anteriores: e

[editar] Tensor de inercia de un sólido rígidoArtículo principal: Tensor de inercia

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

Donde:

son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.

, es la llamada delta de Kronecker definida como:

A los elementos se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia siguientes:

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

Donde y donde .

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Momento de inercia de una distribución de masas puntualesTenemos que calcular la cantidad

donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación.

Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de

Un extremo  De la segunda masa Del centro de masa

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es

IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula esIB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es

IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2 

 

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.

La fórmula que tenemos que aplicar es

I=IC+Md2

IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa

I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

 IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.

 

Momento de inercia de una distribución continua de masaPasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Aplicación directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido

 

Momento de inercia de una varilla  

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

 

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

 

 

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

 

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

 

Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variable

x=R·cosθy=R·senθ

Llegamos a la integral

 

Momento de inercia de una esfera

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2

 

 

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.

El momento de inercia del cilindro es

 

Momento de inercia de un paralepípedo

Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es

Buenas noches, me gustaría que me dijesen donde está el error de este ejercicio.  Graciasmasa = m   Radio = R

primero calculo el momento de inercia de un disco de radio=r

Entiendo que esta integral calcula el momento de inercia de cualquier disco de la esfera simplemente sustituyendo "r" por el valor del radio del disco a calcularAhora con la ayuda de una integral sumo todos los discos de diferentes radios

SaludosEl momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por:

De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discreto puede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:

Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo.

El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar la densidad de la integral:

dV es un elemento de volumen del sólido y, para calcular el momento de inercia de un sólido homogéneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo.

Cálculo de momentos de inercia

Como ejemplo, calcularemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas. El elemento de volumen en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica (representada en azul en la figura) de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:

Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:

Integrando:

Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es:

El momento de inercia de un cilindro hueco (con un radio interior R2, como se muestra en la siguiente figura), se calcula de la misma manera que el del cilindro macizo desarrollado en el ejemplo anterior, pero integrando entre R2 y R1).

El momento de inercia de un cilindro hueco viene dado por:

Por tanto, a igual masa, un cilindro hueco tiene mayor momento de inercia que uno macizo. Si pinchas en la sección "Sabías que..." de esta página verás una aplicación práctica de este hecho.

ResumenEste documento, nos muestrapaso a paso la práctica desarrollada sobre momentos de inercia en donde dispusimos de una cruceta, dos cilindros, un anillo y un disco. El objetivode esta práctica fue hallar los momentos de inercia (medida de la inercia rotacional de un cuerpo) de cada objeto, teniendo en cuenta la parte teórica y experimental para poder calcular el porcentaje de error

IntroducciónEl momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribuciónde masas de un cuerpo o un sistemade partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

OBJETIVOS

Medir el momento de inercia de un cuerpo.

Comprobar el teorema de los ejes paralelos.

Marco teóricoLa inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.

Una fórmula análoga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede rescribir para la rotación: F = M.a.

F = fuerza

M = masa

a = aceleración lineal

T = IA (T = torsión; I = momento de inercia; A = aceleración rotacional)

Consideremos un cuerpo físico rígido formado por N partículas, el cual gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular W, como se indica en la figura 1.

Donde:

I = Momento de inercia

M = masa del elemento

R = distancia de la masa puntual al eje de referencia.

Se denomina momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro. El momento de inercia expresa la forma como la masa del cuerpo está distribuida con respecto al eje de rotación y por tanto su valor depende del eje alrededor del cual gire el cuerpo. Un mismo cuerpo tiene diferentes momentos de inercia, uno por cada eje de rotación que se considere.

Montaje experimental, metodología y resultadosConsiderando el siguiente montaje, donde una cuerda en un cilindro (de radio

hallado bajo de la cruceta (integrada a ella), pasa por dos poleas y se tensiona por una masa (portapesas) a una altura Dicha tensión hace que se produzca un momento de fuerzaen el cilindro y de ésta manera lo hace girar, haciendo que caiga; se procedió a la realización de los siguientes tres ejercicios:

Fig. 2. Montaje realizado para la ejecución del experimento.

1. Teniendo el mismo montaje explicado con anterioridad, se deseó encontrar el momento inercial de la cruceta.

2. El mismo montaje se mantiene casi por completo, sólo se posicionó sobre la cruceta el objeto al cual se le deseó encontrar el momento de inercia un disco.

3. Teniendo como base el anterior montaje, sólo se posicionó sobre el disco (el cual se halló sobre la cruceta) un anillo, el instrumento al que se le quiso sacar el momento inercial

En cada uno de los tres casos fue necesario medir el radio de cada uno de los objetos a los cuales se les encontró su también se debió variar la masa en cada instancia y por supuesto tomar el tiempo que tardó en desplazar la altura

Posteriormente se procedió a la realización de los cálculos, así pues fue necesario saber que experimentalmente tales se realizaron sabiendo que:

Partes: 1, 2