INTRODUCCION

La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier

cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se

describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico

Isaac Newton, que dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en

reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a

no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa. El momento de inercia o inercia

rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más

concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la

distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación,

respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del

cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas

que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel

análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es

el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A EJES INCLINADOS

En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y

el producto de inercia Iu, Iv e Iuv para un área con respecto a un conjunto de ejes

inclinados U y V cuando se conocen los valores de θ, Iu, Iv e Iuv. Para hacer esto

usaremos las ecuaciones de transformación que relacionan las coordenadas x, y,

u, v.

Respecto a un sistema de ejes inclinados u, v conocidos los valores de θ, Ix, Iy e Ixy

Usamos ecuaciones de transformación que relacionan los ejes x, y con los

u, v

u=xcos θ+y sin θ

v=y cosθ−x sin θ

dIu=v2 dA=( y cosθ−x sin θ )2dA

dI v=u2 dA=( x cosθ+y sin θ )2dA

dIuv=uvdA=( xcos θ+y sin θ )( y cos θ−xsin θ )dA

Integrando,

Iu=I x cos2θ+I y sin2θ−2Ixy sin θ cos θ

Iv=I x sin2θ+I y cos2θ+2Ixy sin θ cosθ

Iuv=I x sin θ cosθ−I y sin θ cosθ+2Ixy (cos2θ−sin2θ)

Simplificando mediante identidades trigonométricas,

sin2θ=2sin θ cosθ

cos2θ=cos2θ−sin2θ

Podemos simplificar en

Iu=Ix+I y + Ix − I y =cos2θ−Ixy sin2θ 2 2Iv= I x +I y − Ix − I y cos2θ+I xy sin2θ 2 2Iuv= Ix − I y sin2θ+2Ixy cos2θ

2

El momento polar de inercia respecto al eje z que pasa a través del punto O es,

J O=Iu+I v=I x+I y

Momentos principales de Inercia

Iu, Iv, Iuv dependen del Angulo de inclinación θ de los ejes u, v

El Angulo θ = θp define la orientación de los ejes

Principales del área

dIudθ

=¿−2 ( Ix−I y2

¿ sin2θ−2Ixy cos2θ=

θ=θptan2θp=−I xy (Ix−I y)/2

Momentos principales de Inercia

• Sustituyendo cada una de las razones para el seno y

El coseno, tenemos

Imin= (Ix+I y)/2√ ¿)2 +I2xy

Max

• Los resultados dan el momento de inercia max y min para el área

• Se puede demostrar que Iuv = 0, i.e. el producto de inercia respecto a los ejes

principales es cero

• Cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área

EJEMPLO:

Determine los momentos principales de inercia para la sección transversal de la

viga respecto a un eje que pasa por el centroide.

SOLUCION:

El momento y el producto de inercia de la sección resulta,

Ix=2. 90(109) mm4 I y=5. 60 (109) mm4 I z=−3. 00 (109) mm4

Usando los ángulos de inclinación de los ejes principales u, v

tan2θp=−I xy

( Ix−I y )/2=3.00 (109)

[2.90(109)−5 .60(109)] /2=-2.222θp1=−65 .8°, 2θp2=114 .2°

⇒θp1=−32 .9°, θp2=57.1°

Para los momentos principales de inercia a u, v:

Iminmax=

I x+ I y2

±√ ( I x−I y2

)2 +I xy2

2.90 (109)+5 .60(109)2

± √[ 2.90 (109 )−5.60 (109 )2 ]∧2+ [-3.00 (109)]2

Iminmax=4. 25 (109)±3. 29 (109)

⟹ Imax=7.54 (109 )mm4 , Imin=0.960(109)mm4