Monofásica: Apuntes de Electrotecnia para Grados de Ingeniería
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Monofásica: Apuntes de Electrotecnia para Grados de Ingeniería
Autor: Ovidio Rabaza Castillo
INDICE Tema1: Campos variables con el tiempo. Inducción electromagnética
- Definición de Campo Magnético - Generación de Fuerza Electromotriz - Ley de Inducción de Faraday - Variables en Corriente Alterna - Aparatos de Medida Eléctricos
Tema 2: Análisis de circuitos de corriente alterna
- Circuito eléctrico - Tipos de circuitos - Elementos pasivos - Elementos activos - Onda senoidal y valores asociados - Representación fasorial - Impedancia - Análisis de redes - Leyes de Kirchhoff - Asociación de elementos - Transformación de fuentes
Tema 3: Circuitos monofásicos
- Método de las mallas - Método de los nudos - Método de superposición
Tema 4: Potencia de circuitos monofásicos - Potencia - Triángulo de potencias - Teorema de Boucherot - Factor de potencia - Mejora del factor de potencia
Apéndice
- Repaso de números complejos Bibliografía
Tema 1: Campos variables con el tiempo. Inducción electromagnética.
Índice
Definición de campo magnético Generación de Fuerza Electromotriz Ley de inducción de Faraday Variables de Corriente Alterna Aparatos de Medidas Eléctricos
Definición de Campo Magnético Campo magnético creado por una carga en movimiento
( )3
02
0
4)(
4q
q
rr
rrvqrB
dSenvqB
−
−×⋅⋅=⇒
⋅⋅⋅=
πµθ
πµ
Inducción magnética o Densidad de flujo magnético
Definición de Campo Magnético Campo magnético creado por una corriente eléctrica
Regla del sacacorchos o de la mano derecha.
Generación de F.E.M.
( ) SBSBSB⋅≡⋅⋅= , cosφ
0=φ
SB ⋅=maxφ
Ley de Inducción de Faraday
dtdte φ
−=)(
tsente )( max ωφω ⋅⋅=
maxmax
max )(φωω
⋅⋅=⋅=
Netsenete
0=φ
SB ⋅=maxφ
tSBt ωφ cos)( ⋅⋅= para N espiras:
( ) SBSBSB⋅≡⋅⋅= , cosφ
Variables de Corriente Alterna
Intensidad de corriente eléctrica
Tensión, diferencia de potencial o caída
de potencial
dtdqti =)(
dqdEtu =)(
=
)( )( )(
ssegundoCCulombioAAmperio
=
)( )( )( CCulombio
JJulioVVoltio
Variables de Corriente Alterna
Potencia eléctrica (suministrada o consumida)
Energía eléctrica (suministrada o
consumida)
dtdEtp =)( )()()( titu
dtdq
dqdE
dtdEtp ⋅=⋅==⇒ ( ))( WVatio
dttitudttpdE ⋅⋅=⋅= )()()( ( )sWJ ⋅=
Aparatos de Medida
Tema 2: Análisis de circuitos de corriente alterna
Índice
Circuito eléctrico Tipos de circuitos Elementos pasivos Elementos activos Onda senoidal y valores asociados Representación fasorial Impedancia
Circuito eléctrico
Activos: fuentes o generadores que suministran energía eléctrica al sistema.
Pasivos: disipan o almacenan energía eléctrica. Aproximaciones en el estudio analítico:
Parámetros concentrados (Simplificación) Parámetros distribuidos (Real)
Definición: un circuito eléctrico o una red eléctrica, es un conjunto de elementos combinados de tal forma que con ellos se pueda originar una corriente eléctrica. Los elementos pueden ser:
Tipos de Circuitos: clasificación
Por su excitación De tipo continuo
De tipo alterno
Tipos de Circuitos
Por su régimen de funcionamiento Transitorio
Estacionario o Permanente
Elementos pasivos
Definición: aquellos componentes que disipan o almacenan energía
Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)
Resistencia:
Variación de la resistencia con el material y dimensiones
Resistencia fija Resistencia variable
)()( tiRtu ⋅=
scl
slR
⋅== ρ
)( )(
)/( )/(
)(
2
2
2
mmsml
mmmcmmm
R
⋅Ω
⋅Ω
Ω
ρ resistividad Conductividad (Cu = 58; Al = 36 a 20 ºC) longitud
sección
resistencia
disipa energía en forma de calor
)( ΩR Resistencia (Ohmio)
Nombre genérico: Impedancia
Elementos pasivos Variación de la resistencia con la temperatura:
Potencia y energía
)](1)[()( 1212 TTTRTR −+= α
)](1)[()( 1212 TTTT −+= αρρ
0039.0=Cuα
RtutiRtitutp )()()()()(
22 =⋅=⋅=
∫ ⋅⋅=⇒=t
dttiREdttpdE0
2 )()(
en cc:
tIRE ⋅⋅= 2
Elementos pasivos
Cortocircuito: incremento brusco de la intensidad eléctrica a valores muy por encima de lo soportado por el elemento que lo provoca y d.d.p. entre bornes muy próximo a cero.
Circuito abierto: se produce cuando la intensidad por el
elemento es cero. El hueco vacío entre dos puntos de un circuito es igual a una resistencia de valor infinito.
∞
)()( tiRtu=
Elementos pasivos
Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)
Bobina: Si la intensidad i(t) que circula por la bobina es constante, la
tensión entre sus bornes es cero. Esto implica que la bobina se comporte como un cortocircuito (controlado).
No admite cambios bruscos de intensidad. Derivada infinita.
Bobina fija Bobina variable
dttdiLtu )()( ⋅=
)( HL Inducción (Henrio)
almacenan energía magnética
)(21)()()( 2
0tiLdt
dttditiLEdttpdE
t⋅=⋅⋅=⇒= ∫
Elementos pasivos
Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)
Condensador: Si la tensión u(t) entre los bornes es constante el
condensador actúa como un circuito abierto.
Cambios bruscos de tensión equivale a un cortocircuito.
Condensador fijo Condensador variable
dttduCti )()( ⋅=
)( FC Capacidad (Faradio)
almacenan energía eléctrica
)(21)()()( 2
0 tuCdtdt
tdutuCEdttpdE t ⋅=∫ ⋅⋅=⇒=
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica
Fuentes o generadores de tensión ideal Suministra tensión al circuito independientemente de la intensidad eléctrica.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica
Fuentes o generadores de tensión real Suministra tensión al circuito dependientemente de la intensidad eléctrica.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica
Fuentes o generadores de corriente ideal Suministra corriente al circuito independientemente de la tensión en los bornes.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica
Fuentes o generadores de corriente real Suministra corriente al circuito dependientemente de la tensión en los bornes.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica
Fuentes o generadores dependientes
Onda senoidal y valores asociados
Generación y valores asociados
⇒−== )2
( cos )( maxmaxπωω tetsenete )( cos)( max ϕω += tete
)( )(
)(
)()(
1max
radst
sradVe
te
ϕ
ω −⋅
Valor máximo de f.e.m. Pulsación o frecuencia angular Tiempo
Ángulo de desfase
Valor instantáneo de f.e.m. (Voltio)
fT
srad
HzT
f
sT
⋅==⋅
=
− ππω 22)(
)( 1)(
1
Periodo
Frecuencia
Onda senoidal y valores asociados
Desfase entre ondas Angulo de fase o desfase, el que existe entre el origen y un punto cualquiera de la onda.
21 ϕϕϕ −=
Angulo de desfase entre dos ondas:
)cos()( 2max ϕω −⋅= tete
)cos()( 1max ϕω +⋅= tete
Tomando la onda azul como referencia: tete ωcos)( max ⋅=
La onda verde está adelantada en fase:
La onda roja está retrasada en fase:
Onda senoidal y valores asociados
Ondas en fase Ondas en cuadratura Ondas en oposición
021 =−ϕϕ
221πϕϕ ±=−
πϕϕ ±=− 21
Onda senoidal y valores asociados
Valor medio
n x n1 x1 n2 x2 - - nm xm N
∑ ⋅= Nn
imedixx
∫ ⋅=∑ ⋅=⇒= ∆ TT
timed dtty
Ttyytyy 0 )(1)()(
Onda senoidal y valores asociados
Valor medio (Cont.)
Valor eficaz
( )
02
20cos1)(cos)(
max
max0 maxmax
=⋅
=
=
==−
⋅=∫ ⋅⋅=⇒⋅=
πω
πωωωω
ωω
senT
eT
senTsenT
edtteT
Tetete Tmed
0)( =⇒ Temed
∫ ⋅=T
ef dttyT
Y0
2 )(1Se define el “valor eficaz” de una función durante un tiempo T como:
∫ ⋅=⋅⇒∫ ⋅=⋅ Tef
Tef dttiTIdttyTY 0
220
22 )()(
TIREdttiRE ef
T⋅⋅=⇒⋅⋅= ∫ 2
0
2 )(
∫ ⋅=T
med dttyT
Y0
)(1El “valor medio” de una función durante un tiempo T es:
¿Para qué sirve?
Para simplificar
Onda senoidal y valores asociados
Valor eficaz (Cont.)
⇒==∗
=∫
+=⋅⇒+=∫ ⋅
∗=∫ ⋅=∫ ⋅=∫ ⋅=
22)(
242
2cos
42
2cos
)(coscos)(1
maxmax
00
22
02max
02
2max
02
ITT
I
Ttsentdtta
axsenxdxax
dttT
IdttT
IdttiT
I
TT
TTTef
ωωω
ωω
efII ⋅= 2maxπωπω 22
=⇒= TT
tItIti
tUtUtu
ef
ef
ωω
ωω
cos2cos)(
cos2cos)(
max
max
⋅⋅==
⋅⋅==
tIti cos)( max ω=
¿Cómo serían las magnitudes en Corriente Continua?
Corriente Continua
Magnitud Alterna
Magnitud Continua
tItIti
tUtUtu
ef
ef
ωω
ωω
cos2cos)(
cos2cos)(
max
max
⋅⋅==
⋅⋅==
ef
ef
ItIti
UtUtu
==
==
cos)(
cos)(
max
max
ω
ω
efYY == maxy 0ω
¿Podemos decir que la corriente continua es una particularidad de la alterna?
Representación fasorial
Fasor
Representación polar
El Fasor es un vector que gira con una velocidad angular constante. La representación se realiza en un determinado instante.
( )ϕϕϕϕ jsenYsenYjYY +⋅=⋅+⋅= coscos
( )º69.33º69.33cos61.3
º69.3332arctan
61.32323
22
jsen
zjz
+⋅=
=
=
=
=+==+=
ϕ
Ejemplo:
( ) ϕϕϕϕϕ ∠=+⋅=⋅+⋅= YjsenYsenYjYY coscos
º69.3361.323 ∠=+= jzEjemplo:
Representación fasorial Representación fasorial
)cos()( max ϕω +⋅= tete
)()cos()( maxmax ϕωϕω +++= tsenjeteteSupongamos el siguiente número complejo:
)(Re)( tete =
Representación fasorial Representación fasorial (Cont.)
( ) ( ) ( )tetetjsentete efefef ωϕϕωϕωϕω ∠⋅∠=+∠⋅=+++⋅⋅= 2)(2))cos(2)( (
( ))()cos(2)()cos()( maxmax ϕωϕωϕωϕω +++⋅⋅=+++= tjsentetsenjetete ef
tete ω∠⋅=⇒ 2)(
ϕϕω ∠=⇒+⋅⋅= efef eetete )cos2)( (
ϕ∠= efee
En resumen:
e
Impedancia
Resistencia
tItRUti
tiRtutUtu ωωω cos2cos2)(
)()(cos2)( ⋅⋅≡⋅=⇒
⋅=⋅⋅=
RRR
UU
IU
RUII
UU=∠=
∠
∠=⇒
∠=∠=
∠=º0
º0º0
º0º0
º0
Vamos a deducir las expresiones complejas (y polares) de los elementos pasivos
Impedancia Reactancia inductiva
)º90cos(2
)º90cos(2)º90cos(2
2cos2
)(1)()()(
cos2)(
−⋅⋅≡
≡−⋅=−⋅=
=⋅∫ =⋅⋅=
=∫ ⋅=⇒
=
⋅⋅=
tI
tL
UtL
U
tsenL
UdttLU
dttuL
ti
dttdiLtu
tUtu
ω
ωω
ωω
ωω
ω
ω
=∠=−∠
∠=⇒
−∠=−∠=
∠=º90
º90º0
º90º90
º0L
LU
UI
U
LUII
UUω
ωωLXLj =ω
Impedancia Reactancia capacitiva
)º90cos(2)º90cos(2
2)()()(
cos2)(
+⋅⋅≡+⋅⋅=
=⋅⋅−=⇒
=
⋅⋅=
tItCU
tsenCUti
dttduCti
tUtu
ωωω
ωωω
=−∠=∠∠
=⇒
∠=∠=
∠=º901
º90º0
º90º90º0
CCUU
IU
CUIIUU
ωωω CXCj=−
ω
Impedancia Impedancia
ϕ∠=+== ZjXRI
UZ
)(ΩZ Ohmio
Recordamos:
=−
=+=⋅+
=
C
L
XCj
XLjRjR
Z
ω
ω
0
00 Resistencia
Bobina
Condensador
Triángulo de impedancias
Impedancia Admitancia
ϕ−∠=+
−+
=+
==ZXR
XjXR
RjXRZ
Y 1112222 )( 1−ΩY Siemens o mho
Conductancia (G) Susceptancia (B)
jBGY +=
Análisis de redes
Definiciones Nudo: es un punto de unión entre tres o más elementos del
circuito.
Rama: elemento o grupo de elementos conectado entre dos
nudos.
Análisis de redes
Definiciones (Cont.) Lazo o bucle: conjunto de ramas que forman una línea
cerrada.
Malla: un lazo que no contiene ningún otro en su interior
7 Lazos o bucles
Leyes de Kirchhoff
1ª Ley de Kirchhoff “En todo nudo de una red (o circuito) la suma algebraica de las corrientes que concurren a él es cero” (Principio de Conservación de la Carga).
dtdqti =)(Recordamos:
42531 dqdqdqdqdq +=++
dtidtidtidtidti 42531 +=++
42531 iiiii +=++
Leyes de Kirchhoff
2ª Ley de Kirchhoff “En toda malla de una red (o circuito) la suma algebraica de las tensiones existentes entre sus terminales es cero” (Principio de Conservación de Energía).
dqdEtu =)(Recordamos:
43152 dEdEdEdEdE ++=+−
dqudqudqudqudqu 43152 ++=+−
43152 uuuuu ++=+−
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Datos: tensiones de los generadores y las impedancias (resistencias)
Se trabajará con Fasores:
I
U
II
UU
ϕ
ϕ
∠=
∠=
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Señalar todas las corrientes en cada rama. El sentido de las corrientes será arbitrario.
6 incógnitas, entonces serán necesarias 6 ecuaciones
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Identificamos los nudos y aplicamos la primera ley de Kirchhoff:
A
B C D
653
164
542
321
:
:
:
:
IIID
IIIC
IIIB
IIIA
=+
=+
+=
+=
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Identificamos los nudos y aplicamos la primera ley de Kirchhoff:
A
B C D
Cada ecuación es combinación lineal del resto, por ejemplo D=A+B+C
653
164
542
321
:
:
:
:
IIID
IIIC
IIIB
IIIA
=+
=+
+=
+=
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Identificamos los nudos y aplicamos la primera ley de Kirchhoff:
A
B C D
0:
0:
0:
641
542
321
=++−
=−−
=−−
IIIC
IIIB
IIIA
3 ecuaciones, nos faltan otras 3
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Identificamos bucles y mallas
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Identificamos bucles y mallas y aplicamos la segunda ley de Kirchhoff:
4422111 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅=
5533222 IRIRIRU ⋅−⋅+⋅−=−
4455331121 IRIRIRIRUU ⋅+⋅−⋅+⋅=−
6655443 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅−=
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
La tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras
4422111 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅=
5533222 IRIRIRU ⋅−⋅+⋅−=−
4455331121 IRIRIRIRUU ⋅+⋅−⋅+⋅=−
6655443 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅−=
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
Nos quedamos entonces con las ecuaciones de cada malla
4422111 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅=
5533222 IRIRIRU ⋅−⋅+⋅−=−
6655443 IRIRIRU ⋅+⋅+⋅−=
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
en los nudos (todos menos uno) A
B C
6655443
5533222
4422111
IRIRIRU
IRIRIRUIRIRIRU
⋅+⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=−
⋅+⋅+⋅=
0
0
0
641
542
321
=++
=−−
=−−
III
III
III
en las mallas (todas)
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
en los nudos (todos menos uno)
6655443
5533222
4422111
IRIRIRU
IRIRIRUIRIRIRU
⋅+⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=−
⋅+⋅+⋅=
0
0
0
641
542
321
=++
=−−
=−−
III
III
III
en las mallas (todas)
×
−−−
−−−−
=
−
6
5
4
3
2
1
654
532
421
3
2
1
000000000101001011010000111
000
IIIIII
RRRRRR
RRR
UU
U
Leyes de Kirchhoff
Ejemplo:
en los nudos (todos menos uno)
6655443
5533222
4422111
IRIRIRU
IRIRIRUIRIRIRU
⋅+⋅+⋅−=
⋅−⋅+⋅−=−
⋅+⋅+⋅=
0
0
0
641
542
321
=++
=−−
=−−
III
III
III
en las mallas (todas)
=
−
×
−−−
−−−− −
6
5
4
3
2
1
3
2
1
1
654
532
421
000
000000000101001011010000111
IIIIII
UU
U
RRRRRR
RRR
Asociación de elementos
Elementos pasivos en serie
“Varios elementos están conectados en serie cuando por ellos circula la misma intensidad”
∑= iT ZZ
∑⋅=⋅++⋅+⋅= iN ZIZIZIZIU ...21 TZIU ⋅=
Asociación de elementos
- Resistencias
- Bobinas
- Condensadores
)( RZ =
)( LjZ ω=
∑≡ iT LL
∑≡ iT RR
)(CjZ
ω−=
∑≡iT CC
11
Asociación de elementos
Elementos pasivos en paralelo
“Varios elementos están conectados en paralelo cuando están sometidos a la misma tensión”
∑=iT ZZ
11
∑⋅=+++=+++=iN
N ZU
ZU
ZU
ZUIIII 1......
2121
TZUI =
Asociación de elementos
- Resistencias
- Bobinas
- Condensadores
)( RZ =
)( LjZ ω=
∑≡iT RR
11
)(CjZ
ω−=
∑≡ iT CC
∑≡iT LL
11
Asociación de elementos
Elementos pasivos Conexión estrella - triángulo
)( \\2112 CAB ZZZZZZ +=+=
CBA
CAB
CAB
B
CAB
CA
CABCAB ZZZ
ZZZZZZ
ZZZZ
ZZZZZ
ZZZZ+++
=
+
++
+=
+
+=+=−−
)()()(
11)( \\11
12
Asociación de elementos
Elementos pasivos Conexión estrella - triángulo
CBA
CABCAB ZZZ
ZZZZZZZZZ+++
=+=+=)()( \\2112
CBA
CBACBA ZZZ
ZZZZZZZZZ+++
=+=+=)()( \\3223
CBA
BACBAC ZZZ
ZZZZZZZZZ+++
=+=+=)()( \\1331
Asociación de elementos
Elementos pasivos Conexión estrella - triángulo
CBA
CABCAB ZZZ
ZZZZZZZZZ+++
=+=+=)()( \\2112
CBA
CBACBA ZZZ
ZZZZZZZZZ+++
=+=+=)()( \\3223
CBA
BACBAC ZZZ
ZZZZZZZZZ+++
=+=+=)()( \\1331
CBA
CB
ZZZZZ++⋅⋅2
12 Z⋅ =
CBA
CB
ZZZZZZ++
⋅=1
−+
Asociación de elementos
Elementos pasivos Conexión estrella - triángulo
CBA
CB
ZZZZZZ++
⋅=1
CBA
BA
ZZZZZZ++
⋅=2
CBA
AC
ZZZZZZ++
⋅=3
Asociación de elementos
Elementos pasivos Conexión estrella - triángulo
1
133221
ZZZZZZZZ A⋅+⋅+⋅
=3
133221
ZZZZZZZZ B⋅+⋅+⋅
=2
133221
ZZZZZZZZC⋅+⋅+⋅
=
Asociación de elementos
Ejercicio: calcular la resistencia equivalente entre los terminales A y B, así como i(t)
Ω 1
Ω 2
H 01.0
H 02.0
H 01.0
F 01.0
F 05.0
)(ti
ttu ⋅⋅⋅= 100cos2100)(
Asociación de elementos
Ejercicio: transformamos las impedancias y la tensión del generador a Fasores
Ω 1
Ω 2
H 01.0
H 02.0
H 01.0
F 01.0
F 05.0
)(ti
ttu ⋅⋅⋅= 100cos2100)(
Asociación de elementos
Ejercicio: simplificamos a una impedancia las que estén en serie
º01∠
º02∠
º901∠
º902∠
º901∠
º901 −∠
º902.0 −∠
I
º0100∠=U
Asociación de elementos
Ejercicio: transformamos de triángulo a estrella
º452∠
º902∠
º901∠
º57.265 −∠
º902.0 −∠
I
º0100∠=U
Asociación de elementos
Ejercicio: volvemos a simplificar a una impedancia las que están en serie
º04.58343.0 ∠
º04.59686.0 ∠ º04.103485.0 ∠
º57.265 −∠
º902.0 −∠
I
º0100∠=U
Asociación de elementos
Ejercicio: transformamos las impedancias en paralelo a una
º565.26203.0 ∠
º04.59686.0 ∠
º6.15963.1 −∠
I
º0100∠=U
Asociación de elementos
Ejercicio: simplificamos a una sola impedancia
º04.59686.0 ∠ º865.22188.0 ∠
I
º0100∠=U
Asociación de elementos
Ejercicio: deducimos la intensidad y la convertimos de Fasor al dominio temporal
Ω∠ º54.51884.0
I
V º0100∠=U
AttiZUI )º54.51100cos(5.1182)(º54.515.118
º54.51844.0º0100
−⋅⋅⋅=⇒−∠=∠∠
==
Asociación de elementos
Elementos activos (fuentes o generadores) Fuentes de tensión ideal en serie
Fuentes de tensión ideal en paralelo
∑= iT UU
Sólo es posible si son iguales y están conectadas con la misma polaridad.
Asociación de elementos
Elementos activos (fuentes o generadores) Fuentes de intensidad ideal en paralelo
Fuentes de intensidad ideal en serie
∑= iT II
Sólo es posible si son iguales y están conectadas con el mismo sentido.
Transformación de fuentes
Entre generadores de tensión e intensidad reales
ZU
ZU
IIZUU gg −=⇒⋅−=
111 Z
UIIIIIII ggg −=−=⇒+=
ZU
I
ZZ
gg =
= 1 Ambos son equivalentes si se cumple:
Transformación de fuentes
Ejemplo:
ZU
I
ZZ
gg =
= 1
)º35100cos(2202)( +⋅⋅= ttu
º13.535º35220
∠=
∠=
ZU
º13.1844º13.535º35220
−∠=∠
∠=gI
)º13.18100cos(442)( −⋅⋅= tti
Tema 3: Circuitos monofásicos
Índice
Método de las mallas Método de los nudos Método de superposición
Método de las mallas
“Consiste en escribir todas las ecuaciones correspondientes a las mallas”
Objetivo: determinar las corrientes en cada rama
Método de las mallas
Asignamos corrientes a cada malla. Todas han de ir orientadas hacia el mismo sentido.
Método de las mallas
( )( ) ( )
( ) 542
432
211
0
ZIZIIU
ZIIZIZII
ZIIZIU
CBCg
CBBAB
BAAg
⋅+⋅−=−
⇒⋅−+⋅+⋅−=
⋅−+⋅=
CBg
CBA
BAg
IZZIZU
IZIZZZIZ
IZIZZU
⋅++⋅−=−
⇒⋅−⋅+++⋅−=
⋅−⋅+=
)(
)(0
)(
5442
44322
2211
Método de las mallas
CBg
CBA
BAg
IZZIZU
IZIZZZIZ
IZIZZU
⋅++⋅−=−
⇒⋅−⋅+++⋅−=
⋅−⋅+=
)(
)(0
)(
5442
44322
2211
−=
⋅
+−−++−
−+
2
1
544
44322
221
00
0
g
g
C
B
A
U
U
III
zzzzzzzz
zzz
Método de las mallas
∑∑∑
=
⋅
−−−−−−
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
UUU
III
zzzzzzzzz
=ijZSuma de impedancias en la malla i para i = j Suma de impedancias comunes entre las mallas i y j para i j ≠
Método de las mallas
Restricciones del método El método de las mallas se aplica directamente cuando todos los generadores son de tensión. Cuando hay algunos generadores de corriente, si éstos son reales se transforma a generadores reales de tensión, sin embargo, si éstos son ideales se realiza el siguiente cambio:
Método de las mallas
Ejemplo: calcular la intensidad que circula por el condensador.
º901 0º 1 901
901 º01
5
43
21
∠==
∠=−∠≡−=
∠≡=∠=
jZZjZ
jZZ
º0109010
∠=
−∠=
UI
) 100cos(210)(
) 100( 210)(
ttu
tsenti
b
a
⋅=
⋅=
Método de las mallas
Transformamos fuentes de corriente a fuentes de tensión y simplificamos las impedancias.
Método de las mallas
−−
=
⋅
10
101
1
2
1 jII
jj
−=
=
100
2
1
II
º01021 ∠=−= III
A 100cos 210)( tti ⋅=
Método de los nudos
“Consiste en escribir las ecuaciones correspondientes a todos los nudos menos uno (consecuencia de la 1ª ley de Kirchhoff)”
Objetivo: determinar las tensiones en cada rama
Método de los nudos
Ponemos el nudo inferior a tierra
Método de los nudos
Representamos las corrientes en cada rama y aplicamos la 1ª ley de Kirchhoff
12223
11213
III
III
g
g
+=
=+ ⇒21223
11213
g
g
III
III
=−
=+ ⇒22123
11213
g
g
III
III
=+
=+
Método de los nudos
⇒22123
11213
g
g
III
III
=+
=+
22
21
3
23
12
12
1
13
g
g
IZ
U
Z
U
IZ
U
Z
U
=+
=+
⇒2
2
12
3
32
12
21
1
31
g
g
IZ
UU
Z
UU
IZ
UU
Z
UU
=−
+−
=−
+−
Método de los nudos
⇒2
2
12
3
32
12
21
1
31
g
g
IZ
UU
Z
UU
IZ
UU
Z
UU
=−
+−
=−
+−
22
12
3
2
12
21
1
1
g
g
IZ
UU
Z
U
IZ
UU
Z
U
=−
+
=−
+
⇒22
321
2
122
121
111
111
g
g
IUZZ
UZ
IUZ
UZZ
=⋅
++⋅−
=−⋅
+
Método de los nudos
⇒22
321
2
122
121
111
111
g
g
IUZZ
UZ
IUZ
UZZ
=⋅
++⋅−
=−⋅
+ ( )
( ) 223212
122121
g
g
IUYYUY
IUYUYY
=⋅++⋅−
=⋅−⋅+
Método de los nudos
⇒( )( ) 223212
122121
g
g
IUYYUY
IUYUYY
=⋅++⋅−
=⋅−⋅+
=
⋅
+−−+
2
1
2
1
322
221
g
g
II
UU
YYYYYY
Método de los nudos
∑∑∑
=
⋅
−−−−−−
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
g
g
g
III
UUU
YYYYYYYYY
=ijYSuma de admitancias conectadas al nudo i para i = j Suma de admitancias conectadas entre los nudos i y j para i j ≠
Método de los nudos
Restricciones del método El método de los nudos se aplica directamente cuando todos los generadores son de corriente. Cuando hay algunos generadores de tensión, si éstos son reales se transforman a generadores reales de corriente, sin embargo, si éstos son ideales se realiza el siguiente cambio:
Método de los nudos
Ejemplo: calcular la intensidad que circula por el condensador.
º901 0º 1 901
901 º01
5
43
21
∠==
∠=−∠≡−=
∠≡=∠=
jZZjZ
jZZ
º0109010
∠=
−∠=
UI
) 100cos(210)(
) 100( 210)(
ttu
tsenti
b
a
⋅=
⋅=
Método de los nudos
Transformamos fuentes de tensión a fuentes de corriente y simplificamos las impedancias.
Método de los nudos
−
−=
⋅
+
−)1(5
10)1/(1
1
2
1
j
j
U
U
jj
jj
−=−=
jU
jU
1010
2
1
)100(210)( tCosti ⋅=
º01010
3
2 ∠=−−
==jj
Z
UI
Método de superposición
“En una red formada por fuentes (de intensidad y tensión) e impedancias, la corriente en cada rama es la suma de las corrientes que se producirían si las fuentes actuasen una a una independientemente” Se aplica el Principio de Linealidad.
Objetivo: determinar la intensidad que circula por la impedancia Z2
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita.
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita. Paso 1º. Se abren las fuentes de intensidad:
3211 ZZZ
UI++
=
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita. Paso 2º. Se cortocircuita la fuente de tensión y se abre la fuente de intensidad
321
112 ZZZ
ZII g
++
⋅−=
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador de tensión se cortocircuita. Paso 3º. Se cortocircuita la fuente de tensión y se abre la otra fuente de intensidad.
321
323 ZZZ
ZII g
++
⋅−=
Método de superposición
3211 ZZZ
UI++
=
321
112 ZZZ
ZII g
++
⋅−=
321
323 ZZZ
ZII g
++
⋅−=
321 IIII ++=⇒Nota. El método de superposición es el único con el que se puede resolver circuitos con fuentes de frecuencias distintas, si es así: ¡Ojo! Se tiene que pasar primero de fasores al espacio temporal y hacer la SUMA .
Método de superposición
Ejemplo: Calcular la intensidad que circula por el condensador.
º901 0º 1 901
901 º01
5
43
21
∠==
∠=−∠≡−=
∠≡=∠=
jZZjZ
jZZ
º0109010
∠=
−∠=
UI
) 100cos(210)(
) 100( 210)(
ttu
tsenti
b
a
⋅=
⋅=
Método de superposición
Trabajamos con la fuente de tensión, entonces dejamos abierta la fuente de corriente.
jIIII
I
j
ja 55
100
11
212
1 +=−=⇒
−
=
⋅
Método de superposición
Trabajamos con la fuente de corriente, entonces cortocircuitamos la fuente de tensión.
jj
UI
j
U
U
jj
jjb 55
010
)1/(11 2
2
1 −=−
=⇒
−=
⋅
+
−
Método de superposición
jIa 55 +=
jIb 55 −=
⇒ )100( 210)(º010 tCostiIII ba ⋅=⇒∠=+=
Tema 4: Potencia de circuitos monofásicos
Índice
Potencia Triángulo de potencias Teorema de Boucherot Factor de potencia Mejora del factor de potencia
Potencia
Efecto Joule
(J) ∫∫∫∫ =====TTTT
TIRdttiRdttiRdttitudttpE0
22
0
2
00 )( )( )( )( )(
tUtu cos2)( ω⋅⋅= tItRU
Rtuti cos2 cos2)()( ωω ⋅⋅=⋅⋅==
TIRQ 2 24.0 ⋅=
“Es la disipación de energía en forma de calor al pasar una corriente eléctrica por un elemento pasivo”. Supongamos una resistencia R conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t);
(Cal) ∫= Tef dtty
TY 0
2 )(1
Potencia Potencia instantánea, fluctuante, aparente,
activa y reactiva.
[ ]=+−=−⋅== ϕϕωϕωω cos)2cos( ) cos( cos 2)( )()( tUIttUItitutp
º0 cos2)( ∠=⇒⋅⋅= UUtUtu ωϕϕ
ϕ−∠=−∠=
∠∠
== IZU
ZU
ZUI º0
Supongamos una impedancia Z conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t);
ϕ∠= ZZ
) ( cos2)( ϕω −⋅= tIti
[ ])cos()cos(21coscos bababa −++=
Potencia
[ ] PPUItUItUI f +=+−=+−= ϕϕωϕϕω cos)2cos(cos)2cos(
Potencia Fluctuante Potencia Activa PPtp f +=)(
Potencia Fluctuante Potencia Activa Potencia Instantánea =+Parte de la energía la rechaza la carga y es como si la devolviese
Potencia - Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre una resistencia R
PPUItUIUItUItp f +=+=+−=⇒ ωϕϕω 2coscos)2cos()(º0∠= RZ
No devuelve nada de energía (en cada segundo), la gasta entera en realizar un trabajo
Potencia - Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre una bobina L
( ) fPtUIUItUItp =−=+−=⇒ 902coscos)2cos()( ωϕϕωº90∠= LZ ω
Devuelve toda la energía (en cada segundo), por tanto “no” realiza ningún trabajo
Potencia - Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre un condensador C
( ) fPtUIUItUItp =+=+−=⇒ 902coscos)2cos()( ωϕϕωº901−∠=
CZ
ω
Devuelve toda la energía (en cada segundo), por tanto “no” realiza ningún trabajo
Potencia
PUIdtT
UIdttT
UIdttpT
pTTT
media ==+−== ∫∫∫ 000cos cos)2cos()(1 ϕϕϕω
CERO
[ ] =++=−+= tSenSenUItCosPtCosUICosUItp ωϕωϕωϕ 2 2 1 )2( )(
senbsenababa coscos)cos( +=−
[ ] [ ] tQtPtSenSenUItCosP ωωωϕω 2sen 2 cos1 2 2 1 ++=++=
Q (Potencia reactiva)
Ppmedia =
Potencia
[ ] tSenQtCosPPFCosUItCosUItp ωωϕϕω 2 2 1 )2( )( ++=+=+−=
(W) ϕCosUIP ⋅=
(VAr) ϕSenUIQ ⋅=
(VA) UIS =
(Potencia activa)
(Potencia reactiva)
(Potencia aparente)
La potencia activa (potencia media) es la que realmente realiza el trabajo, ésta es la razón por la que se le denomina activa.
La potencia aparente es la que aparentemente proporciona el generador, sin embargo, sólo una parte actúa activamente en producir el trabajo.
Triángulo de Potencias
ϕϕ ∠=∠⋅∠=⋅ UIIUIU º0*
jQPIUS +=⋅= *
º0 cos2)( ∠=⇒⋅⋅= UUtUtu ωϕϕ
ϕ−∠=−∠=
∠∠
== IZU
ZU
ZUI º0
ϕ∠= ZZ
ϕϕ * SenjUICosUIIU ⋅+⋅=⋅⇒
Teorema de Boucherot
22TTTiT QPSSS +=⇒=∑
La potencia activa absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica de las potencias activas absorbidas por cada uno de ellos. La potencia reactiva absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica de las potencias reactivas absorbidas por cada uno de ellos. La potencia aparente absorbida por un conjunto de receptores es la suma vectorial de las potencias aparentes absorbidas por cada uno de ellos.
∑= iT PP
∑= iT QQ
Teorema de Boucherot
Demostración: a) Circuito en serie
[ ]
( ) ( ) TTNN
NNN
NN
jQPQQQjPPPjQPjQPjQPSSS
IUIUIUIUUUIUS
+=+++++++==++++++=+++=
=⋅++⋅+⋅=⋅+++=⋅=
2121
221121
2121
*****
b) Circuito en paralelo
Demostración en el libro del área
Factor de Potencia
SPpotenciadeFactor =
¿Qué significado físico tiene?
Ejemplo: Efectuar un estudio comparativo para una instalación en la que se desea alimentar un motor de 20kW (inductivo), a 380 V, mediante una línea monofásica cuya resistencia total es de 0,003 Ω/m y una longitud total de 100 m, para; i) Cos φ = 1 ii) Cos φ = 0.5
ϕϕϕ ... cos CospdfCosUI
UISP
=⇒==
Factor de Potencia La intensidad que circula por el circuito cuando conectamos la carga (motor) es:
=⋅
=ϕCosU
PI
Nota: en los motores, en vez de dar el valor de su impedancia se proporciona el valor de la potencia eléctrica consumida (cuando se conecta a su tensión nominal) y el factor de potencia.
∠=−∠
∠==⇒−∠=⇒=
×
∠=∠
∠==⇒∠=⇒=
×
º06 61.3º60 26.105
º0 380º60 26.105A 26.1055.0380
20000
º0 22.7º0 632.52
º0 380º0 632.52A 632.520.1380
20000
IUZI
IUZI
Por efecto Joule, la potencia disipada en forma de calor por la línea monofásica es:
=⋅= 2IRPL
=×=×
W9.332326.1053.0 W04.831632.523.0
2
2
Factor de Potencia La potencia proporcionada por el generador al sistema para que funcione el motor en su tensión nominal es:
=+= MLG PPP
=+=+
W90.23323200009.3323 W04.208312000004.831
El rendimiento de las dos instalaciones es:
==G
M
PPη
=
=
% 75.8590.23323
20000
% 96.0004.20831
20000
La potencia reactiva consumida por el motor es:
=⋅= ϕ tanPQ
=×=×
VAr 34641º60 tan 20000 VAr 0º0 tan 20000
Mejora del Factor de Potencia Medida del factor de potencia
222222 )()(
ArhkVkWhkWh
tQtPtP
QPP
SPCos
+=
⋅+⋅
⋅=
+==ϕ
Medida del factor de potencia a través de contadores de activa y reactiva:
a) Corrección de un f.d.p. inductivo
Corrección del factor de potencia
Mejora del Factor de Potencia
⇒+=−=∠
∠=
−∠
∠⋅∠=⋅=
⋅=⋅=
∗
CCCC
C jQPCjU
C
U
C
UUXUU
XUUIUS ω
ωω
22
º90 1º0
*)º901(
º0 º0 ***
[ ]⇒−⋅=−⇒−=⇒ 1222 tan tan ϕϕωω PCUCUQC
[ ]ω
ϕϕ2
21 tan tanU
PC −⋅=
[ ]121212 tan tan ϕϕ −⋅=⇒−=⇒+= PQQQQQQQ CCC
Mejora del Factor de Potencia
b) Corrección de un f.d.p. capacitivo
Mismo procedimiento que en el caso anterior, pero esta vez usando una bobina conectada en paralelo (las impedancias de corrección de f.d.p. no se conectan en serie porque entonces habría que generar más tensión para compensar la caída por la impedancia conectada en serie). Realizando el mismo procedimiento, el valor de la bobina es:
[ ]21
2
tan tan ϕϕω −⋅=
PUL
Problema Una obra alimentada por una red monofásica a 220 V y 50 Hz, tiene las siguientes cargas: 1) Grúa con una potencia total instalada de 10 kW, cosφ = 0,8 inductivo, rendimiento 90%. 2) Dos hormigoneras de 5 CV cada una, cosφ = 0,75 inductivo, η = 88%. 3) Un grupo de soldadura de 5 kW, η = 97%, f.d.p. unidad.
Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga. b) Corriente total y su f.d.p. c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω, calcular la potencia perdida por efecto Joule
en la misma. d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9
en retraso. e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y
potencia perdida en la línea por efecto Joule. f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de
condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2
Problema Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
ϕcosUIP =ϕcosU
PI =⇒ϕη cosU
PI mec
⋅=⇒
Problema Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
A 13.638.02209.0
10000cos
=⋅⋅
=⋅
=ϕη U
PI mec
Grúa:
inductivoser por positivo es ángulo el 87.368.0cos =⇒= ϕϕ
A º87.3613.63 −∠=I
Problema Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
A 34.2575.022088.0
7365cos
=⋅⋅
×=
⋅=
ϕη UPI mec
Hormigonera:
inductivoser por positivo es ángulo el 41.4175.0cos =⇒= ϕϕ
A º41.4134.25 −∠=I
Problema Calcular: a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
A 43.23122097.0
5000cos
=⋅⋅
=⋅
=ϕη U
PI mec
Grupo soldadura:
01cos =⇒= ϕϕ
A º043.23 ∠=I
Problema Calcular: b) Corriente total y su factor de potencia.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
=∠+−∠×+−∠=+⋅+= º043.23º41.4134.252º87.3613.632 GrupoaHormigonerGrúaT IIII
A º53.3276.132 −∠= inductivo 0.84º53.32cos =
Problema Calcular: c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω, calcular la potencia perdida por efecto Joule
en la misma.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
W52.176276.1321.0 22 =⋅=⋅= IRPcalor
Problema Calcular: d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9
en retraso.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
[ ] [ ] kVAr 78.3º84.25tanº58.32tan84.076.132220tantan =−⋅⋅⋅=−⋅= fiC PQ ϕϕ
0.84º58.32cos = 0.9cos =fϕ 25.84º=⇒ fϕ
220 V 50 Hz
Problema Calcular: e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y
potencia perdida en la línea por efecto Joule.
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
El condensador que ha mejorado el factor de potencia no modifica la potencia activa consumida por las cargas, por tanto conocemos la potencia activa:
º84.2534.124A 34.1249.0220kW 7.24 −∠=⇒=⇒⋅⋅== IIIP W13.154634.1241.0 22 =⋅=⋅= IRPcalor
Problema Calcular: f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de
condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2
Grúa 10kW
f.d.p. 0.8 inductivo rendimiento 90%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Hormigonera 5CV
f.d.p. 0.75 inductivo rendimiento 88%
Grupo soldadura 5kW
f.d.p. 1.0 rendimiento 97%
220 V 50 Hz
antes: 22 mm 25.44
A/mm 3A 76.132A 76.132 ==⇒= sIT
ahora: 22 mm 45.41
A/mm 3A 34.124A 34.124 ==⇒= sIT
Apéndice
Repaso de números complejos
Repaso de números complejos
Bibliografía
1. F. Aznar, A. Espín y F. Gil. “Electrotecnia básica para ingenieros”. 2ª Ed. Universidad de Granada, 2012.
2. J. Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos eléctricos”. 4ª Ed. McGraw-Hill, 2005. 3. A. Pastor Gutiérrez, J. Ortega Jiménez, V. M. Parra Prieto y A. Pérez Coyto.
“Circuitos Eléctricos” Vol. I. Editorial de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, 2005.
4. J. Fraile Mora. “Problemas de circuitos eléctricos”. Pearson, 2013. 5. M. R. Spiegel, L. Abellanas. “Fórmulas y tablas de matemática aplicada”. McGraw-
Hill, 1997.