Monografia de ec. diferencial

7/25/2019 Monografia de ec. diferencial

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2015

ECUACINDIFERENCI

AL DE

SEGUNDOORDEN

aaaaa


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AUTOR: MARCELO POVIS, GEAN PIERTH- CLCULO IV 2

DEDICATORIALa presente monografa, se la dedico

ami madre, que es la razn y motioporla cual doy todo de m, todo miesfuerzoy dedicacin no tendra sentido sinella!

" una persona en especial, que me #aec#o sentir cosas muy $onitas, me #a

ec#o ser una me%or persona, le doy


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graciasa &ios por #a$erla conocido!


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INDICE


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INTRODUCCIN


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CAPTULO 1

CONTEXTUALIZACIN'osi$lemente el e%emplo m(s caracterstico de fenmeno fsico cuyomodelizacin conduce a una ecuacin lineal de segundo orden es elmoimiento amortiguado de una masa )m* unida mediante un muelle el(stico auna pared como la que se muestra en la figura!

"l aplicar a la masa unida al resorte una fuerza + t #acia la izquierda, deforma que el muelle se comprima, .este reacciona con una fuerza de igualmagnitud #acia la derec#a que produce un desplazamiento de la masa endic#o sentido #asta #acer tope con un pieza el(stica que amortigua dic#odesplazamiento #asta que la masa se para! /n ese instante el muelle seencontrar( e0tendido respecto de su posicin de reposo por lo que producir(un nueo desplazamiento de la masa #acia la izquierda, proocando una nuea

compresin del muelle, y as sucesiamente! La amortiguacin del moimiento


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del resorte se puede producir no slo por contacto con otra pieza el(stica sinotam$i1n por rozamiento con el medio, o cualquier otra causa!

2uponiendo que la fuerza de amortiguacin es proporcional a la elocidad3 $ 04t y que 5, una constante, mide la rigidez del muelle que depende del material

del que est1 #ec#o, la segunda Ley de 6e7ton conduce a la siguienteecuacin que sire de modelo para el estudio de este fenmeno fsico3

/sta ecuacin %unto a las condiciones iniciales3 0 8 9 08posicin de la masaen el momento inicial y 04 8 9 8 elocidad de la masa en el momentoinicial, que podran ser am$as cero si la masa est( en reposo en el momentoinicial, forman un 'ro$lema de Condiciones Iniciales que lo escri$iremos as3

/l o$%etio de este captulo es estudiar este tipo de ecuaciones diferenciales desegundo orden! /n particular es una ecuacin diferencial de segundo ordenlineal no #omog1nea y de coeficientes constantes! 'ero antes de llegar a estasecuaciones analizaremos otras ecuaciones de segundo orden que puedenreducirse, mediante simples cam$ios de aria$les, a ecuaciones de primerorden!


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CAPITULO 2ECUACIONES DE SEGUNDO ORDENVimos en la primera Leccin que las ecuaciones de orden n, escritas en formanormal son las del siguiente tipo3

2lo estudiaremos aqu ecuaciones de segundo orden3

:al y como #emos dic#o en la introduccin, entre todas ellas la m(s famosa, sinduda, es la segunda ley del moimiento de 6e7ton3

;ue rige el moimiento de una partcula de masa m que se muee por laaccin de una fuerza +! /n esta ecuacin la fuerza depende del tiempo t, de laposicin 0 t de la partcula y de la elocidad a la que se muee 04 t! 2i,


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adem(s, a la ecuacin se le imponen condiciones iniciales so$re 0 t de laforma

/ntonces tenemos un 'ro$lema de Condiciones iniciales

Las ecuaciones de segundo orden son muy difciles de resoler analticamente,salo en casos muy e0cepcionales! Claro que esto no de$era sorprendernos

despu1s de nuestra e0periencia con las ecuaciones de primer orden, dondeimos que slo unas poquitas son realmente mane%a$les! /n realidad nuestroestudio se referir( e0clusiamente a ecuaciones lineales! 'ero #ay unas pocasecuaciones de segundo orden, que no son lineales, y que se pueden reducir aecuaciones de primer orden3 las ecuaciones en las que no aparece una de lasdos aria$les!

2.1 Ecuaci!"# "! $a# %u" ! A&a'"c" $a Va'ia($"

D"&"!)i"!*"

Consideremos ecuaciones de segundo orden de la forma

&onde la aria$le dependiente 0 no aparece en la ecuacin! 'or e%emplo

/n este caso la sustitucin u 9 04 nos permite reducir la ecuacin original a otrade primer orden! /n efecto, si u 9 04 entonces u4 9 044 de modo que 044 9 f t, 04se reduce a u4 9 f t, u!


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Como t > 8 podemos escri$ir

/sta ecuacin tiene dos soluciones de equili$rio u t 9 ? y u t 9 @?! Una ezconsideradas, podemos separar las aria$les3

Integrando o$tenemos

"#ora des#acemos el cam$io u 9 04! 'ara la solucin general

A para las soluciones de equili$rio

2.2 Ecuaci!"# "! $a# %u" ! A&a'"c" $a Va'ia($"I!)"&"!)i"!*"

Consideremos a#ora ecuaciones de la forma3

/n las que no aparece la aria$le independiente t! 'or e%emplo


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'ara resoler estas ecuaciones #acemos uso de la misma sustitucin que en el

caso anterior3 u 9 04! Como no aparece la aria$le t en la ecuacin, de$emospensar en u como una funcin de 0B claro que, como 0 es funcin de t, utam$i1n es funcin de t! Viendo u como funcin de 0 podemos aplicar la reglade la cadena para calcular 0443

Como d0dt 9 04 9 u tenemos que

Con lo que la ecuacin 044 9 f 0, 04 se conierte en

;ue es de primer orden en la aria$le 0! 2e resuele como si 0 fuera la aria$leindependiente! /sto nos dar( todas las soluciones u 9 u0 de dic#a ecuacin!"#ora, tenemos que resoler otra nuea ecuacin diferencial 04 9 u0, que esen aria$les separa$les!

'ara la ecuacin #acemos el cam$io u 9 04! "s 044 9 u dud0 y u 9 043

/sta ecuacin es aria$les separa$les pero no tiene soluciones de equili$rio!2eparamos las aria$les3


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2.+ Ecuaci!"# $i!"a$"# )" #"u!) ')"!


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:/OD/E" ?


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&/+I6ICIO6 ?

:/OD/E" F


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:/OD/E" G

:/OD/E" H


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CAPITULO +

Ecuaci!"# Li!"a$"# )" S"u!) O')"!C! C"-ici"!*"# C!#*a!*"#

+.1 Ca# H/!"


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19/22

1919


20/22

2020

+.2 Ca# ! H/!"


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