Nmeros adimensionales

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIASESCUELA DE INGENIERA AGROINDUSTRIAL

PRESENTACINLos alumnos del V ciclo de Ingeniera Agroindustrial, tenemos el agrado de desarrollar los temas Teorema de Buckingham, Nmeros adimensionales, Ecuacin del momentum lineal, Cantidad de movimiento.El objetivo principal es dar a conocer los conceptos generales del Teorema de Buckingham y los nmeros adimensionales y sus ecuaciones y aplicaciones. Tambin se explica la ecuacin del momentum lineal y se hace una interpretacin de la cantidad de movimiento.Este trabajo contiene, bsicamente, la informacin recopilada de diferentes fuentes bibliogrficas como libros, manuales y pginas de internet. Presentando el contenido de manera organizada y sintetizada para una fcil compresin. Esto se logr despus de una exhaustiva investigacin y contando con la asesora del Mg. Snchez Gonzlez, Jess A. Gracias a su orientacin se pudo realizar este trabajo de manera exitosa.Mediante este informe, queremos contribuir con la formacin acadmica del lector y la nuestra. Esperando sea de gran utilidad en su vida profesional.Los autores

INDICECAPTULO 1:TEOREMA DE BUCKINGHAMEL TEOREMA CAPTULO 2: NMEROS ADIMENCIONALESI.NMERO DE EULERIII.NMERO DE REYNOLDIV.NMERO DE WEBERV.NMERO DE MACHCAPTULO 3: ECUACIN DEL MOMENTUM LINEAL, CANTIDAD DE MOVIMIENTOEcuaciones de movimientoConservacin de masaConservacin de cantidad de movimientoMomentum linealEmpleo de la ecuacin de momentum lineal en un volumen de controlInterpretacin:Referencias Bibliogrficas

INTRODUCCINEl teorema de de Buckingham encierra un cambio de perspectiva en la observacin de un fenmeno fsico, permitiendo su simplificacin al reducir el nmero de variables implicadas en l (smbolo: R!, de reduccin). Se llega por el anlisis dimensional a un nmero de monomios sin dimensiones que describen el fenmeno fsico de partida con la misma precisin que el planteamiento inicial, solo que con menos variables. Con F y funciones, a, b, c, d variables dimensionales y variables adimensionales.Se trata de un procedimiento preciso y estricto a la hora de cambiar de perspectiva: cada monomio () se obtiene a partir del producto de unas variables de referencia elevadas a unos exponentes que hagan al monomio adimensional. El procedimiento resulta plenamente satisfactorio pero puede parecer innecesariamente estricto, al ser funcin F una funcin genrica y desconocida. Dicho de otra manera: cabe concebir otros cambios de perspectiva diferentes sin necesidad de acudir al procedimiento rgido de los monomios adimensionales que propone el teorema. Nmero adimensional es un nmero que no tiene unidades fsicas que lo definan y por lo tanto es un nmero puro. Los nmeros adimensionales se definen como productos o cocientes de cantidades que s tienen unidades de tal forma que todas stas se simplifican. Dependiendo de su valor estos nmeros tienen un significado fsico que caracteriza unas determinadas propiedades para algunos sistemas.Para resolver problemas prcticos de ingeniera, usualmente se requiere tanto de desarrollos tericos como de resultados experimentales. Al agrupar las cantidades importantes en parmetros adimensionales, es posible reducir el nmero de variables y hacer que este resultado compacto (ecuaciones o grficas de datos) sea aplicable a otras situaciones similares.La masa no se crea ni se destruye, sino que se conserva. Este principio es uno de los bsicos en el estudio del movimiento de los fluidos. Se desarrollar este concepto en forma de ecuaciones diferenciales e integrales.Considrese un volumen de control de forma arbitraria en el flujo. Por el principio de conservacin de masa, la suma de la rapidez de variacin de la masa dentro del volumen y la salida neta de masa a travs de la superficie del volumen es cero.

CAPTULO 1:TEOREMA DE BUCKINGHAM

EL TEOREMA

Por lo general, se acostumbra describir los resultados de un experimento con un flujo mediante la determinacin de como una variable dependiente, por ejemplo, depende de las variables independientes , , , . stas son aquellas cantidades fsicas que se encuentran bajo el control del experimentador y pueden variarse en un tiempo dado para ver el efecto que tendrn en la variable dependiente. En el caso de un experimento en tnel aerodinmico, por ejemplo, la variable dependiente puede ser la fuerza de resistencia al avance en el modelo de un avin, en tanto que las variables independientes podran sr la velocidad del flujo, la densidad del aire y su temperatura dentro del tnel. E objeto del experimento consisten en encontrar la relacin:={}El principio de homogeneidad dimensional garantiza que esta relacin puede expresarse en forma adimensional, pero con nmero menor de variables independientes (adimensionales). Sin embargo, cuntos variables adimensionales menos habr? El teorema determina ese nmero.Un relacin entre n variables fsicas puede reducirse a una relacin adimensional entre n-r variables adimensionales, denotadas porb.g.

La cantidad r de reduccin del nmero de variables es, en general, igual al nmero de dimensiones fundamentales que se requiere para las dimensiones de las n variables fsicas. Las n-r estan formadas por productos de las varibles de pero su determinacin no es nica. Sin embargo, esas variables adimensionales son independientes. El teorema no establece el procedimento que se sigue en la determinacin de un conjunto de variables en un caso particular de flujo de un fluido para el cual hay n variables dimensionales ,. Sin embargo, los siguientes pasos son la forma ms sencilla de llegar al resultado deseado: 1. Prepare una lista de las dimensiones de las n variables fsicas utilizando la tabla 10.1. determine el nmero d de dimensiones fundamentales ( M,L,T )que aparecen en esta lista2. Suponiendo que la reduccin r es igual a d, seleccione, entre las variables independientes, un nmero r que contenga todas las d dimensiones fundamentales, pero que por s misma no puedan formar una adimensional. Llame a estas variables seleccionadas , , 3. Para cada uno de las n-r variables restantes no seleccionadas formen una encontrando un producto de esa variables y las variables seleccionadas que sea adimensional. A fin de hacer esto, seleccione la forma :

Donde los exponentes , se eligen de forma que el producto sea adimensional:(=1

Algunas veces, es posible determinar los exponentes por inspeccin. De lo contrario, stos se determinan a partir del conjunto formado por las r ecuaciones algebraicas.

Teorema de BuckinghamEn un problema fsico dad la variable dependiente x1 es expresada en funcin de las variables independientes como

X1=f(X2, X3, X4,, Xn)

Donde n representa en nmero total de variables. En la ecuacin, p es la variable dependiente y V,, , d y h son las variables independientes .El teorema de Buckingham, nombrado en honor de Edgar Buckingham (1867-1940). Estipula que (n-m) grupos de variables sin dimensiones, llamados trminos , donde m es el nmero de dimensiones bsicas incluidas en los variables pueden ser relacionados por

1=f1(2, 3,,n -m)

Donde 1 incluye la variable dependiente y los trminos restantes incluyen en los variables independientes.Adems, se observa que en un requerimiento para la aplicacin exitosa del anlisis dimensional es que una dimensin debe ocurrir por lo menos dos veces o ninguno. Por ejemplo, la ecuacin p = f(V,l,d) est sobe planteada puesto que la presin implica las dimensiones de fuerza y V, l y d n contienen dicha dimensin.El procedimiento utilizado aplicar al teorema se resume como sigue:1. Escribir la forma funcional dependiente de acuerdo con las (n-1) variables independientes. Este proceso requiere conocer los fenmenos siendo estudiados. Todas las variables que afectan la variable dependiente deben ser incluidas. Estas incluye variables geomtricas, propiedades de fluido y efectos externos que afectan la variable estudiada- Las cantidades que no influyen en la variable dependiente no deben ser incluidas. Adems, no se incluyen las variables que depende una de otra; por ejemplo, no se incluir tanto el radio como el rea. Las variables del lado derecho de la ecuacin anterior debern ser independientes.

2. Identificar las variables repetidas m, variables que se combinarn con cada variable restante para formar los trminos . Las variables repetida seleccionadas de las variables independientes contienen todas las dimensiones bsicas, sin embargo no deben formar un termino por s mismo. Un ngulo no es una variable repetida puesto que no tiene dimensiones y forma un termino por s mismo.

3. Formar los trminos combinando las variables repetidas con cada una de las variables restantes.

4. Escribir la forma funcional de los (n-m) trminos sin dimensiones

El paso 3 se lleva cabo mediante un procedimiento algebraico relativamente simple; tambin se ilustrar un procedimiento en los ejemplos que consiste en observacin simple.A continuacin se ilustra el procedimiento algebraico con un ejemplo. Suponga que desea combinar las variables tensin superficial , velocidad V, densidad y longitud L en un termino ; esto puede escribirse como

El objetivo es determinar a, b, c, y d de modo que el agrupamiento quede sin dimensiones. En funcin de dimensiones, la ecuacin anterior es

Igualando los exponentes en cada una de las dimensiones bsicas: M: 0 = a + cL: 0 = b - 3c + dT: 0 = -2a bLas tres ecuaciones algebraicas se resuelven simultneamente y de ese modo se obtienea = -cb = 2cd = c De modo que el trmino es = (Un parmetro sin dimensiones elevado a cualquier potencia permanece sin dimensiones; por consiguiente, se puede escoger que c sea cualquier nmero diferente a 0. Por regla general se elige c=1, segn la relacin deseada. Con c =1, el trmino es = En realidad, se pudo haber seleccionado c=1 en la primera ecuacin y procedido con slo tres incgnitas. O si se hubiera deseado tener en el numerador elevado a la primera potencia, se habra hecho a=1y b, c y d como incgnitas.Una nota final: Si resulta solo un trmino , la forma funcional estipula que el trmino debe ser una constante puesto que el lado derecho de la ecuacin mencionada no contiene trminos adicionales. Esto da por resultado una expresin que incluye una contante arbitraria que es determinada mediante anlisis o experimentacin.

CAPTULO 2: NMEROS ADIMENCIONALES

Considere una relacin relativamente general entre la cada de presin p, una longitud caracterstica l, una velocidad caracterstica V, la densidad , la viscosidad , la gravedad g, la tensin superficial , la velocidad del sonido c, una frecuencia angular , escrita como:

El teorema aplicado a este problema, con l, V, como variables que se repiten, da por resultado Cada uno de los trminos en esta expresin es un parmetro comn sin dimensiones que aparecen numerosas situaciones de flujo de fluido. Se identifican comoNmero de Euler, Eu = Nmero de Reynolds, Re =Nmero de Froude, Fr = Nmero de mach, M = Nmero de Strouhal2, St = Nmero de Weber2, We =

El significado fsico de cada parmetro se determina observando que cada nmero sin dimensiones se escribe como una relacin de dos fuerzas. Se observa que las fuerzas son

FP = Fuerza de presin= pA pl2FI= Fuerza inercial = mV pl3VF= Fuerza viscosa = A = A l2 = lVFg = Fuerza de gravedad = mg l3gFB = Fuerza de compresibilidad = BA l2 = F= Fuerza centrfuga = mr = F = Fuerza de tensin superficial=

Por lo tanto se ve que

ParmetroExpresinSituaciones de flujo en el que el parmetro es importante

Nmero de EulerFlujos en los que la cada de presin es significativa: la mayora de las situaciones de flujo

Nmero de ReynoldsFlujos que son influenciados por los efectos viscosos: flujos internos, flujos de capa lmite

Nmero de FroudeFlujos influidos por la gravedad: principalmente flujos de superficie libre

Nmero de machLa compresibilidad es importante en estos flujos, por regla general si V>0.3c

Nmero de StrouhalFlujo con una componente discontinua que se repite peridicamente

Nmero de WeberLa tensin superficial influye en el flujo; un flujo con interfaz puede ser un flujo como ese.

El considerar a los parmetros sin dimensiones en funcin de las relaciones de fuerzas permite anticipar parmetros significativos en un flujo de inters particular.

I. NMERO DE EULER

Leonhard Euler, naci en Basilea, Suiza, en 1707 y muri en San Petersburgo, 1783 Matemtico suizo. Las facultades que desde temprana edad demostr para las matemticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los ms eminentes matemticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea. Tras graduarse en dicha institucin en 1723, cuatro aos ms tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidi con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relev en la ctedra de matemticas. A causa de su extrema dedicacin al trabajo, dos aos ms tarde perdi la visin del ojo derecho, hecho que no afect ni a la calidad ni al nmero de sus hallazgos. Hasta 1741, ao en que por invitacin de Federico el Grande se traslad a la Academia de Berln, refin los mtodos y las formas del clculo integral (no slo gracias a resultados novedosos, sino tambin a un cambio en los habituales mtodos de demostracin geomtricos, que sustituy por mtodos algebraicos), que convirti en una herramienta de fcil aplicacin a problemas de fsica. Con ello configur en buena parte las matemticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuira luego con otros resultados destacados en el campo de la teora de las ecuaciones diferenciales lineales), adems de desarrollar la teora de las funciones trigonomtricas y logartmicas (introduciendo de paso la notacin e para definir la base delos logaritmos naturales). En 1748 public la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de funcin en el marco del anlisis matemtico, campo en el que as mismo contribuy de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogneas y la teora de la convergencia. En el mbito de la geometra desarroll conceptos bsicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un tringulo, y revolucion el tratamiento de las funciones trigonomtricas al adoptar ratios numricos y relacionarlos con los nmeros complejos mediante la denominada identidad de Euler; a l se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemticas y fsicas en trminos aritmticos.Productos adimensionales estndar en la teora de calor.Se define el nmero de Euler como:

V es la velocidad caracterstica, la densidad del fluido, p es la presin. ( Langhaar, 1951) Semejanza y simulacin en ansmisin de calor por conveccin. Parmetros y ecuaciones adimensionales de semejanza.El parmetro adimensional se llama nmero de Euler, y representa la relacin entre las fuerzas depresin y las de inercia. Este parmetro slo aparecen la ecuacin de transmisin de calor por conveccin bajo signo de derivacin, lo que significa, que cuando se considera un fluido incompresible con propiedades fsicas constantes, no es necesaria la presin absoluta, si no la variacin de presin. Por tanto, el nmero de Euler se escribe generalmente as:

Donde po es cualquier valor fijo, como la presin a la entrada del canal, que puede ser una incgnita, es la densidad del fluido, w0 es la velocidad de referencia (V. Isachenko, 1973)

II. NMERO DE FROUDE William Froude naci el 28 de noviembre de 1810 en Dartington, Devon, Inglaterra y falleci el 4 de mayo, 1879, en Simonstown, frica del Sur. Ingeniero hidrulico y arquitecto naval. Era hermano de James Anthony Froude, famoso historiador. Froude fue el primero a establecer leyes confiables respecto a la resistencia que el agua ejerce al avance de los navos, y a calcular su estabilidad. En la mecnica de fluidos un parmetro adimensional lleva su nombre: el nmero de Froude. Conjunto completo de nmeros adimensionales. Se define el nmero de Froude como:

V es la velocidad caracterstica, L la longitud caracterstica, g la constante gravitacional.(Langhaar,1951)

Anlisis de conduccin de calor. Anlisis dimensional. Al grupo V2/gh se llama, nmero de Fraude. Compara las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitatorias. V es la velocidad caracterstica, g la aceleracin gravitacional, h la altura.(Lienhard,1981)

Propiedades y movimiento del fluido. Semejanza dinmica y el uso de las relaciones adimensionales.

Podemos tomar pgD3 como representacin de las fuerzas gravitacionales y U2D2 es una medida de las fuerzas de inercia, as podemos obtener el Nmero de Froude.

Otra forma de expresarel nmero de Froude es:

Estamos estudiando el caso de una esfera que se sumerge en un fluido que tiene velocidad U en la corriente libre sin perturbar, aguas arriba, D es el dimetro de la esfera, y g la constante gravitacional.(J.M Kay,1990).

Condensacin en el interior de tubos.El nmero de Froude es:

a: componente de la gravedad a lo largo del tubo axial.W: masa total del flujo,razn de lquido y vapor.D: dimetro del tubol: densidad del fluido.v: densidad de vapor.(Louis,1995)

III. NMERO DE REYNOLD

Osborne Reynolds. Naci en Belfast en 1842 y muri en Watchet, 1912 Ingeniero britnico. Profesor en la Universidad de Manchester, estudi las turbinas hidrulicas y la propulsin por hlices y perfeccion los frenos hidrulicos. Se especializ en el estudio del movimiento de los fluidos, en particular de los fluidos viscosos, en los que destac la importancia de un coeficiente adimensional, conocido como nmero de Reynolds, que relaciona las fuerzas de inercia y de viscosidad de un fluido.

Se define el nmero de Reynolds como:

V es la velocidad caracterstica, L la longitud caracterstica la densidad, la viscosidad del fluido y v la viscosidad cinemtica.

Movimiento de fluidos y transporte de energa.Corriente laminar y turbulenta; ley de semejanza de Reynolds.Observamos el proceso mostrado en la figura.

Figura 1 nmero de Reynolds: deduccin de la ley de semejanza de Reynolds.

La proyeccin sobre el eje x de la fuerza de inercia de la unidad de volumen es:

Como queremos que las dos corrientes sean semejantes, las fuerzas de inercia deben ser proporcionales a las velocidad no perturbada U, mientras todas las longitudes y sus derivadas deben ser proporcionales a d.La proyeccin sobre el eje x, por ejemplo de la fuerza viscosa por unidad de volumen es:

Luego esta fuerza debe ser proporcional a Por tanto la relacin:

Debe ser constante en todos los puntos. Esta es, la magnitud sin dimensiones que describi Reynolds, denominada nmero de Reynolds y representada por NRe. Podemos decir que dos corrientes son semejantes si sus nmeros de Reynolds son iguales, cualesquiera que sean los valores de u, d o v. es la viscosidad del fluido, d el dimetro del cilindro, la densidad del fluido, v viscosidad cinemtica.

Semejanza y simulacin en la transmisin de calor por conveccin.Parmetros y ecuaciones adimensionales de semejanza.El parmetro adimensional:

wo es la velocidad de referencia.l0 es la longitud de referencia.v la viscosidad cinemtica.

Caracteriza la relacin entre fuerzas de inercia y las viscosas. Realmente, el nmero de Reynolds se obtiene dividiendo el trmino que contiene las fuerzas de inercia en la ecuacin del flujo por el trmino que contiene las fuerzas de viscosidad en la misma ecuacin.

El nmero d Reynolds es una propiedad importante, tanto del flujo isotrmico como del no isotrmico.IV. NMERO DE WEBER

Wilhelm Eduard Weber. Naci en Wittenberg en 1804, y muri en 1891. Fsico alemn. Profesor en las universidades de Halle y Gotinga, estudi el magnetismo terrestre, construy un telgrafo electromagntico y un electrodinammetro, e introdujo el sistema absoluto de unidades elctricas segn las directrices del sistema de unidades magnticas. Elabor una teora sobre el magnetismo, que posteriormente fue perfeccionada por Langevin.

Transferencia de calor en ebullicin y otras configuraciones de cambio de fase. Transicin en ebullicin y sistemas que influyen.Mximo apogeo de variacin continua de calor en flujos externos.Definimos el nmero de Weber como:

g es la densidad del gas, u la velocidad de la corriente libre, L la longitud caracterstica y la tensin superficial.Conveccin. Tabla de grupos adimensionales seleccionados de transferencia de calor y masa.Grupo: nmero de Webber (We)Definicin:Interpretacin: razn de las fuerzas de inercia a las de tensin superficialEbullicin por conveccin forzada externa.El nmero de Webber, WeD, es la razn de las fuerzas de inercia a la tensin superficial y tiene la forma para un lquido de velocidad V que se mueve en flujo cruzado sobre un cilindro de dimetro D

pv es la densidad del vapor y la tensin superficial.

V. NMERO DE MACH

Ernst Mach. Naci en 1838 y muri en 1916. Fsico y filsofo austriaco, nacido enTuras (Moravia) y fallecido en Haar, cercade Munich. Educado en Viena, ense matemticas en la Universidad de Graz (1864-67), fsica en la de Praga (1867-95) y filosofa en la de Viena (1895-1901).Realiz estudios experimentales de carcter fsico y sobre la fisiologa de los sentidos, yescribi, entre otras obras,Die Mechanik in ihrer Entwicklung historisch-kritischDargestellt(La mecnica en su desarrollo histrico, 1883) yBeitrge zur Analyse der Empfindungen(Contribucin al anlisis de las sensaciones, 1896). Ms tarde se dedic a los problemas generales de la metodologa cientfica. Hasta hace pocos aos no se han conocido sus investigaciones en el campo de la balstica, en las que estudi las propiedades de las ondas de choque producidas en las explosiones. El comportamiento de esas ondas se describe todava actualmente en trminos tales como reflexin Mach, efecto Mach, etc., conceptos de gran importancia en el estudio de los efectos de la bomba atmica, lo mismo que el del nmero de Mach en la aerodinmica.

Se define el nmero de Mach como:

V es la velocidad caracterstica del fluido, c es la velocidad del sonido, que se puede expresar de la forma: , en un gas p es la presin, es una constante adimensional.(Langhaar,1951)El nmero de Mach se define como y es un parmetro adimensional. U es la velocidad del fluido, y c es la velocidad del sonido en el gas considerado.(Grober,1967)

Problemas especiales de transmisin de calor por conveccin en medios de una sola fase. Transmisin del calor en gases a altas velocidades.El parmetro es la relacin entre la velocidad del flujo y la velocidad del sonido en el mismo punto. Esta relacin se simboliza por M y se llama nmero de Mach. El nmero de Mach caracteriza la relacin entre la energa cintica del flujo y su entalpa. (V.Isachenko,1973)

Capa lmite laminar y turbulenta. Coeficiente de transferencia de calor, para flujo laminar, incomprensible sobre una superficie plana.La prediccin de los resultados, estn restringidos a la capa lmite laminar en fluidos incompresible y bidimensional, en una superficie plana isotrmica, donde las velocidades no son demasiado elevadas. El nmero de Mach del flujo es menor que . Una condicin relacionada es que la energa cintica sea substancialmente menor que la unidad. (Lienhard,1981 )Propiedades y movimiento del fluido.Semejanza dinmica y el uso de las relaciones adimensionales.El nmero de Mach es la relacin de la velocidad de corriente no perturbada U y el valor local de la velocidad del sonido, de las ondas del gas, para un gas perfecto la velocidad del sonido, est relacionada con la temperatura T por donde es la relacin de los calores especficos, y R es la constante de los gases especfica. Por lo tanto el nmero de Mach es:

Los efectos de la compresibilidad.Estudiamos el caso de las perturbaciones que surgen cuando la fuente se mueve a velocidad subsnica y supersnica. Es el caso representado en la figura: la perturbacin de un movimiento a una velocidad constante U y un gas uniforme esttico.Figura 1 nmero de Mach: Efectos de la perturbacin de un movimientoPara el caso de fuente en movimiento a velocidad supersnica U > a ( a velocidad del sonido de las ondas del gas).

Figura 2 nmero de Mach. Lneas de Mach en flujo supersnico.

CAPTULO 3: ECUACIN DEL MOMENTUM LINEAL, CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ecuaciones de movimientoConservacin de masaLa masa no se crea ni se destruye, sino que se conserva. Este principio es uno de los bsicos en el estudio del movimiento de los uidos. Se desarrollara este concepto en forma de ecuaciones diferenciales e integrales. Considrese un volumen de control de forma arbitraria en el ujo. Por el principio de conservacin de masa, la suma de la rapidez de variacin de la masa dentro del volumen y la salida neta de masa a travs de la supercie del volumen es cero.

Por lo tanto la forma integral es:

Transformando la segunda integral con el teorema de la divergencia de Gauss , e introduciendo la derivada dentro de la primera integral (el volumen V es independiente del tiempo)

Como el volumen V es arbitrario esta ecuacin es vlida para cualquier volumen. Esto implica que el integrando es cero.

Esta es la forma diferencial de la conservacin de masa. A estas ecuaciones se les llama ecuaciones de continuidad.Desarrollando y utilizando la derivada material de la ecuacion de continuidad se puede escribir:

Para un flujo incomprensible ( = constante) la ecuacion de continuidad se simplifica a

Conservacin de cantidad de movimientoLa aplicacin del principio del momentum lineal permite establecer la fuerza dinmica que realiza el flujo sobre una estructura. Igualmente el principio de momentum angular permite obtener, por ejemplo, el efecto que causan las maquinas hidraulicas ( bombas o turbinas) sobre el flujo. Para ello se hace necesario la utilizacion del concepto de volumen de control pero con una condicion adicional: que al volumen en analisis se le conside re un sistema inercial ( en reposo o moviendose con una velocidad constante) El principio de conservacion de la cantidad de movimiento se utiliza para determinar la magnitud y punto de aplicacin de fuerzas dinmicas que ejercen los fluidos en movimiento sobre estructuras rigidas o estructuras en movimiento. La ecuacin que permite determinar estas fuerzas se obtiene del teorema de transporte de Reynolds cuando se estudia la propiedad extensiva Cantidad de Movimiento, as en las ecuaciones que se presentarn se considera muchas propiedades en relacion a parmetros fsicos ya mencionadas anteriormente.

Momentum linealEsta es la consideracin de la segunda ley de Newton: la suma de las fuerzas sobre una partcula es igual a la rapidez de variacin de su momentum lineal. En el estudio de medios continuos este concepto lagrangiano se transforma a una forma euleriana para facilitar su manejo. Considerese un sistema con un campo de velocidad U, fuerzas de cuerpo por unidad de masaF y fuerzas superciales por unidad de area representadas por el vector P. Aplicando la segunda ley de Newton a este sistema.

seobserva que la componente total en la direccin 1, P1, es la suma de las fuerzas en la direccin 1 en las caras 1,2 y 3. Entonces P1 = 11n1 + 21n2 + 31n3 . Generalizando:

P = n (a)Pij = jinj (b)

Se puede simplicar la forma integral de la ecuacin (a), aplicando el teorema de Reynolds en el lado izquierdo y (b) en la primera integral del lado derecho

Aplicando el teorema de Gauss a la primera integral del lado derecho

Debido a que el volumen V es arbitrario:

O bien

El segundo y tercer termino es un multiplo de la ecuacion de continuidad. Entonces:

Esta es la forma diferencial de la conservacin de momentum. Usando la derivada material

Esta expresin muestra el balance entre la aceleracin por unidad de volumen del lado izquierdo y las fuerzas de supercie y las de cuerpo respectivamente del lado derecho

Empleo de la ecuacin de momentum lineal en un volumen de control

Hasta ahora se han deducido ecuaciones muy generales para la ley de conservacin de la masa y la ley de Newton aplicadas a volmenes de control. Utilizando la ecuacin general de continuidad se dedujeron ecuaciones especializadas ms simples, una de las cuales probablemente era bastante familiar. Para la mayor parte de los problemas, se recomienda ir directo a la ecuacin de continuidad apropiada, a menos que por motivos peda- ggicos se desee empezar con el caso general. Sin embargo, en el caso de momentum lineal no se ha desa- rrollado ninguna de las formas particulares ms comunes de esta ecuacin, como la ecuacin que da el empuje sobre una boquilla, porque se considera que teniendo en cuenta la complejidad de la ecuacin de momentum, el lector debe deducir por s solo ecuaciones ms sencillas que se necesiten para cada problema particular. Al ha- cerlo se tendr un mayor conocimiento de las limitaciones de los resultados impuestos por las simplificaciones e idealizaciones empleadas al deducir las ecuaciones de trabajo. La experiencia del autor indica que la excesiva confianza en ecuaciones especializadas en esta rea, unidas a especificaciones poco claras de volmenes de control, es usualmente una fuente de errores graves cometidos por ingenieros y por estudiantes universitarios.Debido a que la ecuacin de momentum lineal es primordialmente una relacin entre fuerzas y velocidades, debe escogerse un volumen de control que incluya las fuerzas y las velocidades que contribuyan a la solucin del problema en una forma conveniente. Por lo general, para la solucin de los problemas se considerar es- pecficamente la reaccin a la fuerza que se busca. Esto significa que si se desea la fuerza causadapor el agua sobre una tubera o un aspa, al utilizar la mecnica de fluidos en principio se obtendr la fuerza causada por la tubera o el aspa sobre el agua. En forma similar a lo que se hace en los cursos de esttica al seleccionar varios diagramas de cuerpo libre, puede hacerse necesario seleccionar varios volmenes de control con el fin de obtener suficientes ecuaciones independientes para resolver el problema. Es muy importante determinar en for- ma cuidadosa cada uno de los volmenes de control y denotar claramente el volumen de control particular para el cual se escribe cada ecuacin. Adems, lo primordial, como en el caso de un cuerpo libre, consiste en que se incluyan todos los sistemas de fuerzas que actan sobre los materiales dentro del volumen de control. No hacer esto es un error grave.Finalmente, debe recordarse que la ecuacin de momentum lineal (5.9) se dedujo a partir de F = ma, y por tanto tiene la limitacin de que el volumen de control, con respecto al cual se miden las velocidades, debe estarfijo en un espacio inercia1 (en la seccin siguiente se considerar el caso general de volmenes de control no inerciales).Ahora, se examinar el empleo de las ecuaciones de continuidad y de momentum lineal en los ejemplos siguien- tes, los cuales deben estudiarse en forma cuidadosa.En el ejemplo 5.2 se utilizarn presiones absolutas para calcular la fuerza causada por el flujo interno sobre el codo reductor del problema. Se resaltar que si se utilizan presiones manomtricas en lugar de presiones ab- solutas, se puede obtener la fuerza combinada causada por el flujo interno sobre el codo y por la at- 144 mosfra que acta sobre la superficie exterior del codo. Quienes acepten esta aproximacin intuitivamente no necesitan analizar el ejemplo 5.3 donde se justifica el procedimiento mencionado. Aquellos lectores que deseen esta justificacin y que estn en capacidad de resolver casos especiales donde este enfoque no es vlido, deben leer la seccin 3.8, marcada con asterisco, y estudiar el ejemplo 5.3. Ejemplo: Desea evaluarse la fuerza causada por el flujo interno permanente de un lquido sobre el codo reductor que se ilustra en la figura. Los valores medios de las caractersticas del flujo en la entrada y en la salida se conocen, as como la geometra del codo reductor.Un volumen de control constituido por el interior del codo reductor permitir relacionar las cantidades conocidas a la entrada y a la salida con la fuerza R causada por la pared del codo reductor sobre el fluido (la reaccin a esta ltima fuerza es la cantidad deseada). El volumen de control se muestra en la figura . Se han sealado todas las fuerzas que actan sobre el fluido en el volumen de control en cualquier instante t. Las fuerzas superficiales incluyen los efectos de las presiones absolutas p, y p, a la entrada y a la salida del reductor, as como las distribuciones de esfuerzos normales y cortantes pp y z, , cuya fuerza resultante es R y es ejercida por la pared del codo sobre el fluido. La fuerza de cuerpo essimplemente el peso del fluido en el volumen de control en el instante t y seindica en la figura como W.

Figura.Flujo a travs de un codo reductor.Las siguientes son las suposiciones para el flujo en este volumen de control:1. El flujo es permanente. 2. El flujo es incompresible. 3. El flujo es paralelo, unidimensional, entra en 1 y sale en 2.Primero se plantea la ecuacin de momentum lineal en su forma general:

Luego se simplifica esta ecuacin a la luz del modelo de flujo que se ha propuesto antes, incorporado en las suposicio- nes hechas. La ltima expresin es cero debido a las suposiciones 1 2. Ahora, se examinan las otras expresiones utilizando las componentes horizontal y vertical de la ecuacin en forma separada. Al hacer esto, se mantendr el volumen de control y su superficie bajo escrutinio estricto. Luego, considerando inicialmente las fuerzas, ntese que se ignora la variacin hidrosttica de la presin a la entrada y a la salida de la superficie de control y se tienen en cuenta presiones absolutas uniformes p, y p sobre estas secciones, respectivamente, de acuerdo con la suposicin 3.Las componentes x y y de las fuerzas resultantes sobre el fluido pueden expresarse como:

donde R, y R, son las componentes de la fuerza neta que la pared del reductor ejerce sobre el fluido. R, y R, son las incgnitas y se han escogido como positivas.Examnese el flujo de momentum lineal a travs de la superficie de control. La integral de superficie slo tiene que efectuarse en las superficies de entrada y de salida del volumen de control debido a que V dA es cero en las paredes (ipor qu?). Las componentes normales de la velocidad en la superficie de entrada y la de salida son iguales a V1 y V2, respectivamente. Debido a la suposicin 3 sobre unidimensionalidad, la tasa de flujo de salida de momentum lineal puede expresarse como:

Las componentes escalares de la ecuacin (b) en las direcciones x y y estn dadas por

La ecuacin de continuidad para este volumen de control, cuando se utilizan las suposiciones 1 y 3, puede plantearse en una forma simple. Luego,

Ahora, se sustituyen los resultados anteriores en las ecuaciones de momentum lineal en las direcciones x y y. Luego, se obtiene:

Pueden despejarse Rx y Ry. Al cambiar el signo de estos resultados se encontrarn las componentes de la fuerza causada por el fluido sobre el codo. Utilizando los smbolos Kx y Ky para estas componentes, se tiene:

Ahora, en aparatos de pared delgada como el codo de este ejemplo, al aplicar presiones manomtricas para p, y p2, se obtiene tanto la fuerza causada por el flujo interno sobre el codo como la fuerza sobre el codo causada por el aire exterior. En el ejemplo siguiente se justificar esta afirmacin.Interpretacin:La cantidad de movimiento en su relacin con la conservacin de la masa nos ayuda a describir y facilitar la manera en que los fluidos actuan en dichas bases y areas industriales de las diferentes volumenes de control en sectores de procesos, pues toda empresa requiere de estos conocimientos para poder saber que procesar, que manipular, etc

Los dispositivos que aumentan energa de una corriente de fluido, se denominan bombas cuando se trata de un lquido (o una maleza) y ventiladores, sopladores, o compresores cuando se trata de un gas o de un vapor, dependiendo del incremento de presin. Eso lo vimos en el desarrollo del tema como un anexo a los capitulos anteriores estudiados, debido que el momentum lineal nos habla de un equilibrio de masas y energia con respecto a sistemas de transporte unidireccional, el cual se especifica y deriva de la ecuacin de reynolds

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