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SEP SEIT DOTI

Centro Nacional de investigacih y Desarrollo Tecnolgico

SUPERFICIES RECORTADA; EN CAD

T E S T s QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

PRESENTA :

FELIPE MORALES LOPEZ

Cuernavaca Mor. Agosto de 1991

CENTRO DE INFORMACION

. *% C E N I D E T C

DIRECCION GENEML DE INSTITUlOS.?CN CEWTAO NACIONAL DE I#VEBIIBACtOll Y NMAROLUJTEC#

ACADEMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION

CtCRRCPiA DE

PDIJCACiON RIRLiCA Cuernavaca,Mor., 19 de agosto de 1991.

D r . Juan Manuel Ricaiio C a s t i l l o D i r e c t o r d e l CENIDET P r e s e n t e

At 'n . : Ing. Reir Santaolaya S . Coord. de Computacin

Por e s t e conducto, hacemos de S ~ I conocimiento que , despus d e haber sometido a r e v i s i n e l t r a b a j o de t e s i s ~ t i t u l a d o : .

"SUPERFICIES RECORTADAS EN CAE" i

. i

. . . . . 'Desarroll.ado por e l I n g ; F e l i p e Mora1.e~ L.pezi y habiendo cuinplid!:. con todas l a s corre.cciones en qiie s e l e conceda l a a u t o r i z a c i n de impresin de l a tesieijy i a f fecha de exmen de grado. $ ' : '

que se l e in

DlRECClON GENERAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS CENTRO NACDNAL DE iNVE8TIAQON YDEIlARROLLOTECNOLOICO

Ues,u;s Ce h d x r coni f t ido I r - v i s i n su t r a b a j o 6e t c i s t i t u i a c ! o :

rlmlra S/N CoLpBlmlm.CwrMlroca Mor. 'doPoria! 4-224 CdlgO Po8lO162490 !-76-13 y 14-06-37

A la memoria de mi padre.

A mi madre, a su entereza y entrega.

Tambin es vicio el saber; que si no ee va atajando, cuanto menos se conoce es ms nocivo el estrago.

Y si el vuelo no le abaten en sutilezas cebado, por cuidar de lo curioso olvida lo necesario.

Si culta mano no impide crecer al rbol copado. quitan la sustancia al fruto la locura de los ramos.

Si andar a nave ligera no estorba lastre pesado sirve el vuelo de que sea el precipicio ms alto.

En amenidad iiiutil qu importa al florida campo si no halla fruto i.1 otoo que ostente flores el mayo?

Sor Juana ins de la Cruz

XADECIMIENTO

...

. Entre l o s p e c a d o s mayores q u e los hombres cometen, aunque a l g u n o s d i c e n q u e es l a s o b e r b i a , yo d i g o que es el d e s a g r a d e c i m i e n t o , a t e n d i n d o m e a l o que s u e l e d e c i r s e : q u e de los d e s a g r a d e c i d o s e s t l l eno e l in f i e rno . Es te p e c a d o . en c u a n t o me ha s i d o p o s i b l e , he p r o c u r a d o yo h u i r d e s d e . e l i n s t a n t e q u e t u v e uso d e r a z n ; y s i no p u e d o p a g a r l a s b u e n a s o b r a s q u e me h a c e n con o t r a s o b r a s . Pongo en s u l u g a r lo s deseos d e h a c e r l a s , y cuando stos no b a s t a n , l a s p u b l i c o : p o r q u e q u i n d i c e y p u b l i c a l a b u e n a s o b r a s q u e recibe, tambin l a s recompensara con o t r a s , si p u d i e r a ; p o r q u e , p o r l a ' n i a y o r p a r t e . l o s q u e reciben son i n f e r i o r e s a l o s q u e d a n , y a s , es Dios sobre. todos, p o r q u e es dador sobre t o d o s , y no p u e d e n c o r r e s p o n d e r l a 6 d d i v a s d e l hombre a l a s d e Dios con i g u a l d a d , p o r i n f i n i t a d i s t a n c i a : y e s t a e s t r e c h e z a y c o r t e d a d , en cierto modo, l a s u p l e e l a g r a d e c i m i e n t o . . . .

Don Q u i j o t e d e l a Mancha.

radezco a:

- La Unidad de Cmputo del Instituto Tecnolgico de Morelia, por la coiif iaiiza depositada en mi.

- El Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico (CENIDET), por el conocimiento que me permiti descubrir y, en su momento, el apoyo econmico.

- El Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologa (CONACYT), por el apoyo econmico, gracias al cual fue posible llevar a feliz trmino esta empresa.

- La Unidad de Cmputo del Instituto de Investigaciones Elctricas (IIE), por las facilidades otorgadas para la realizacin de este trabajo.

A todos y cada uno de los que de manera directa o indirecta liaii colaborado en la realizacin de esta tesis.

CONTENIDO

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 .. Modelado geomtrico de slidos ..................... 5

. Modelos de Sl idos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

. Problemas d e l modelado de s l i d o s ..................... 8

. Sistemas d e modelado de s l i d o s ....................... 9

. Modelos de descomposicin ............................... 1 0

. Modelos cons t ruc t ivos ................................... 11

. Modelos de represen tac in por f r o n t e r a s de pol iedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

. Modeladores h b r idos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.- Modelos de representacin por fronteras (B - reg) . 2 0

. Geometra y topologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0

. C l a s i f i c a c i n de los modelos de B - rep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

. D e s c r i p c i i i d e l o s B r ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 f r o n t e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 por f r o n t e r a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

. Propiedades de los modelos por f r o n t e r a . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.- B-reg para modelos basados en no-variedades . . . . . 33

. Pseudografo regin y r b o l -p r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

. Hipergrafo-3Dy r b o l - c r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.- Superficies y slidos por barrido de un

pseudograf o . regin , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . Def in ic in formal d e l problema . Construccin d e l r b o l -c r a pa r t i r d e l

. Construccin de una c a r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

. Construccin de c a r a s b a j o una represen tac in

. Construccin de l a s t apas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 Bibliograf ia y referencias . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

. Algoritmos de evaluacin de l o s modelos por

. Representacin paramtr ica pa ra e i modelado

.......................... 53 r b o l -p r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

geomtrica nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

INTRODUCCION

En un mundo incrementalmente competitivo, el tiempo que u11

producto toma en salir al mercado es posiblemente el factor que ms

contribuye al xito de un negocio. E1,camino que recorre una idea hasta su realizacin es largo y complejo, este incluye pasos como: def inicin conceptual, diseo, fabricacin, manejo de mercado y

publicidad. Uno de los aspectos que ms tiempo consume es sin duda el diseo. El problema de llevar una idea a una forma "visible",

puede tomar semanas, meses y algunas veces aos dependiendo de la

complejidad de los conceptos que se estn manejando.

Cuando un diseador maneja imgenes en lugar de objetos reales

el proceso de diseo y la elaboracin de prototipos es menos caro

en trminos de tiempo. La generacin de objetos tridimensionales y

ms propiamente el modelado de slidos es parte esencial del diseo asistido por computadora (CAD) y la ingeniera asistida.por compu-

tadora (CAE). Estas herramientas de diseo permiten retener la

fabricacin de un artefacto hasta que el diseo conceptual se

completa y, en algunos casos, hasta que no se prueba la funcio-

nalidad de dicho concepto.

An cuando se cuenta con una amplia variedad de software para el desarrollo de prototipos, el diseo final en nuestros das depende en gran medida de la capacidad del diseador. La revolucin

CAD propuso las computadoras como un medio de disello ms efectivo que el papel, por dos dcadas esta propuesta slo ha sido parcial- mente satisfecha; aun cuando los sistemas CAD han sido un medio superior de dibujo y han servido como un medio de comunicacin para compartir informacin, la def iiiicin de conceptos ms precisos y

complejos es normalmente en papel.

La idea actual es que las computadoras deben de probar los

2

conceptos que permiten la implementacin de un diseo y proponer

cambios para mejorar el funcionamiento de un artefacto. El sistema

CAD ideal debe ser un medio capaz de representar cualquier forma,

para permitir al diseador mejorar todos los detalles del objeto que est construyendo.

Los modeladores de slidos, basados en elementos geomtricos simples (cilindros, cubos, esferas) o una combinacibn de ellos, han sido una herramienta para la construccin de modelos de artefactos.

Pero, la necesidad de construir modelos ms complejos ha hecho que

estos modeladores se vean rgidos en cuanto a los conceptos y las formas que pueden manejar. En estos modeladores cuando se requiere representar un objeto que no puede ser coiistruido con elementos geomtricos simples, lo tratan como un caso especial o simplemente

fallan al realizar esta operacin [CROCXER].

En este trabajo se presenta una representacin por fronteras

con una topologa basada en no-variedades que supera las limita- ciones asociadas con la representacin topolgica basada en

elementos geomtricos simples, en ella se pueden representar casos

de interseccin y coincidencia geomtrica de una manera uniforme y

transparente, sin casos especiales. En particular se presenta la

implementacin de la tcnica para la generacin de superficies y

slidos a partir del barrido de una representacin bidimensional.

Los modelos geomtricos creados tienen la cualidad de poder ser usados en algoritmos de elemento finito y evaluacin de frontera, lo que permite crear sistemas de' software que sean capaces de evaluar un modelo antes de construir un prototipo.

La forma en que se presenta e l material de este trabajo es el siguiente: en el captulo 1 se exponen los conceptos bsicos del modelado de slidos y se describe las tres tcnicas ms comunes para la representacin de slidos en la computadora; en el captulo 2 se describe de manera especial la representacin de slidos por

fronteras. En el captulo 3 se describen los esquemas desarroliddos en la unidad de cmputo del Instituto de Investigaciones Elctricas

3

(IIE) para modelos de representacin por fronteras basados en no-

variedades: el pseudografo-regin .y el rbol-pr para dos

dimensiones; el hipergrafo-3D y el rbol -cr para tres dimensiones.

En el captulo 4 se describe la forma de construir la represeii- tacin de superficies y slidos (hipergrafo-3D) por barrido de uiia

representacin bidimensional pseudografo-regin) . Finalmente se presentan las conclusiones y las lneas de investigacin para

trabajos futuros.

4

Captulo 1

MODELADO GEOMETRIC0 DE SOLIDOS

El trmino modelado geomtrico aparece en los aos 70's junto

con los desarrollos de la computacin grfica y se relaciona con el conjunto de mtodos usados para definir la forma y otras caracte-

rsticas geomtricas de un objeto.

El modelado geomtrico se usa para representar una descripcin

matemtica precisa de la forma de un objeto real. Los datos almacenados para un modelo en particular dependen del alcance de

las preguntas que se desea poder contestar y, por tanto, no es

posible limitar la cantidad de datos de inters potencial. Debido a que las tcnicas para almacenar y procesar datos son indepen- dientes de las aplicaciones, se separa la informacin de la geome- tra del objeto de los dems datos no geomtricos. De esta manera todos los datos se denominan modelo del ob je to , mientras que la parte puramente geomtrica constituye un modelo geomtrico. Un modelo geomtrico es pues una parte del modelo del objeto.

El modelo geomtrico de un slido es una representacin

matemtica no ambigua y completa de la forma de un objeto fsico en una forma tal que uiia computadora puede procesar [MORTENSONI .

El modelado de s61idos es una rama del modelado geomtrico que enfatiza la aplicacin general de los modelos, y la creacin de slo representaciones "completas" de los objetos slidos reales.

El modelado de slidos debe de representar en forma eficiente

y robusta la informacin geointrica de un producto a ser manufactu- rado. Esta representacin debe de poder soportar fcilmente mtodos

de aiilisis tales como pruebas de esfuerzos, transf ereiicia de

5

c a l o r , c l c u l o d e l volumen, maiiuf a c t u r a cont ro lada por computadora y con t ro l de c a l i d a d .

1.1 MODELOS DE SOLIDOS Antes de d e s c r i b i r l o s modeladores de s l i d o s definiremos

cu les c a r a c t e r s t i c a s y propiedades deben de t ene r los s l idos que s e representan en e l l o s .

Par t iendo de l o ms e s e n c i a l , podemos cons iderar e l espac io Euclidean0 E ' como una i d e a l i z a c i n d e l espac io r e a l donde se encuentran inmersos nues t ros o b j e t o s . E n consecuencia, l a a b s t r a c - cin matemtica ms genera l de un o b j e t o s l i d o es un subconjunto de puntos de E ' . Podemos entonces hacer l a s i g u i e n t e d e f i n i c i n :

Definicin 1.1: Un s 6 l i d o es un subconjunto acotado y cerrado de E ' .

Esta d e f i n i c i n 1.1 captura c i e r t o s aspec tos de nues t r a nocin de un s l i d o f s i c o , pero l a c l a s e de ob je tos permit idos por e l l a e s t muy l e j o s de t e n e r un s e n t i d o t i l para nues t ros p rops i tos .

Rigidez: E s n a t u r a l e spe ra r que un s l i d o debe de permanecer igua l s i s e . l e mueve de un luga r a o t r o . Esto puede se r ' expresado ms r igurosamente por e l hecho de que el s l i d o debe de permanecer i i ivar ian te ba jo transformaciones r g i d a s ( t r a s l a c i n y ro tac in) . La s i g u i e n t e d e f i n i c i n captura l a esenc ia de e s t a c a r a c t e r i s t i c a :

Definicin 1.2: Un o b j e t o r g i d o e s una c l a s e equ iva len te de conjuntos de puntos de E determinado po r l a s i g u i e n t e r e l a c i n O: sean A y B subconjuntos de E ' . Entonces A O B e x i s t e si y s610 s A puede s e r mapeado a B coil una t r a n s - formacin r g i d a .

3

It

Regularidad. - Esperamos que un s l i d o sea "todo m a t e r i a l " ; nc e s pos ib le que un simple punto, una l n e a o una rea bidimensional

pueda ser considerado como tal. De la misma manera un conjuiito slido no debe de contener puntos, lneas o caras aisladas. Los

requerimientos pueden ser descritos .en una forma compacta en el lenguaje de la topologa de conjuntos de puntos:

Definicin 1.3: La regularizacin de un conjunto de puntos A , r ( A ) , est definida por r (Al - c (i (A) I donde c(A) e i(A) denotan la cerradura y el interior de A. LOS

conjuntos que satisfacen r(A) = A se dice que son regulares.

Inf ormalmeiite hablando, la regularizacin elimina todas las

partes del conjuiito de Fjuntos que se encuentran aisladas, lo cubre con una delgada piel, y al resultado lo llena con material.

La regularidad es ampliamente usada como una caracterstica de

slidos razonables, por.10 que, se adopta la siguiente definicin

[ REQUICHA] :

Definicin 1.4 : UIJ conjunto regular acotado es denominado un r - con j un to.

Variedades de dimensin dos: La caracterizacin de slidos mediante superficies se basa en la observacin de la frontera del

slido. La frontera se considera como una coleccin de caras que se

pegan juntas, de tal forma que ellas forman una superficie completa y cerrada alrededor del objeto. Intuitivamente una superficie puede ser clasificada como un subconjunto de E ' el cual es en esencia bidimensional : todos los puntos de una superficie (excepto los de

las aristas de una superficie abierta) estn rodeados por una regin bidimensional que pertenece a la superficie.

Las esencia bidimensional de la frontera de un slido nos permite construir un modelo plano para ella y estudiar las

propiedades del slido a travs de modelos bidimensionales de su

frontera. La contraparte ms abstracta de una superficie cerrada se

'I

I 7

define como sigue:

Definicin 1.5: Una variedad de dimensin dos es un espacio

topolgico donde cada punto tiene una vecindad topolgicamente

equivalente a un disco abierto de E'.

1.2 PROBLEMAS DEL MODELADO DE SOLIDOS Completes. - El modelo debe tener informacin suf icieiite para

dar respuesta a preguntas geomtricas arbitrarias.

Integridad: La integridad de un sistema consiste en no permitir la generacin de modelos incorrectos, por ejemplo, slidos

con lneas, puntos o caras aisladas. El problema es proveer suficientes pruebas de integridad sin castigar la facilidad de uso

y la flexibilidad del sistema de modelado.

complejidad y alcance geomtrico: El problema de la inte-

gridad est relacionado con otro problema, la complej,idad de generacin de un modelo. La dificultad de trabajar con modelado

geomtrico en una computadora crece coil la complejidad de la

formulacin matemtica .usada.

ll

Naturaleza de la computacin geomtrica: Buscando que los modelos generados sean de aplicacin general, esperamos que un

modelador de slidos sea capaz de proporcionar, de manera aigo-

rtmica, respuestas a preguntas geomtricas que dependen de su aplicacin ingenieril. Preguntas cuya respuesta puede ser una imagen, un simple nmero, una constante booleana e inclusive otro

modelo slido que represente el resultado de alguna operacin.

1.3 SISTEMAS DE MODELADO DE SOLIDOS Una de las ideas11 elementales del modelado geomtrico es que

tenga sentido separarlo de las aplicaciones, y buscar tcnicas de modelado que sean relativamente independientes de los objetos

8

1

'I I1

p a r t i c u l a r e s a modelar Ily d e l uso pensado p a r a los modelos.

In ic ia lmente l o s o b j e t o s son d e s c r i t o s en e l modelador en [MANTYLA]

I/

~

trminos de un lenguaje e descripcin basado en l o s conceptos de modelado d i spon ib l e s en l . E l u sua r io puede i n t r o d u c i r l a descr ipc in a t r a v s d e t 'extos o , de p r e f e r e n c i a , Por medio de interfaz grfica. 11

una vez proporcionada l a desc r ipc in d e l o b j e t o se transforma para crear l a represen tac in i n t e r n a manejada por e l modelador.

L a cons t rucc in de un modelador est basada en l a se l ecc in de primitivas de modeladoi y una co lecc in de procedimientos de modelao para su s e l ecc in , combinacin y manipulacin. Las p r imi t ivas de modelado '+pueden ser puntos , curvas , s u p e r f i c i e s y ob je tos s b l i d o s p rede f in idos .

II

E s c l a r o que l o (que se busca es una represen tac in que codi f ique un conjunto i n f i n i t o de puntos en una can t idad f i n i t a de almacenamiento en computadora en una forma g e n e r a l . Los esquemas de represen tac in comunes r ea l i zados de esta manera se d iv iden en las

1 tres c l a s e s s i g u i e n t e s :

I 1. Model06 de descomposicin, represen tan un conjunto de puntos

II como una coleccin de o b j e t o s simples (tomada de una colecciii f i j a de t i p o s de , ,obje tos p r i m i t i v o s ) unidos con una simple operacin de "pegado".

I1

2. Modelos constructivos, represen tan un conjunto de puntos como

una combinacin de conjuntos de puntos p r i m i t i v o s . Cada una de las p r i m i t i v a s es,, represen tada como una i n s t a n c i a de un t i p o s l i d o p r i m i t i v o . L o s modelos cons t ruc t ivos incluyen opera - c iones de construccin ms gene ra l e s que simplemente pegar ( i n t e r s e c c i n , unin, d i f e r e n c i a ) .

I

II

3. Modelos de representacin por fronteras, represen tan u n conjunto de punto's en trminos de sus f r o n t e r a s . La Erontera de un s l i d o t r i rpmens iona l es una s u p e r f i c i e bidimensional

I 1

9 II

que s e r ep resen ta gFneralmente como una colecciri de c a r a s . Las c a r a s , a s u vez, son representadas en trminos de SUS f r o n t e r a s que son a r i s t a s unidimensionales. Estos modelos por f r o n t e r a s pueden s e r v i s t o s como una j e r a r q u a de modelos ( f i g u r a 1.1).

\ I1

suiyf i c i e A r ' s t a

L- Vr t i ces 'Ic- A r ' s t a 11

L- Vr t i ces

Su e r f i c i e ''Y A r e a s I/ Vr t i ces

'I' c- A r ' s t a ' 11

'L

Vr t i ces L

F i g u r a , $ . l J e r a r q u a de los modelos de represe i i tac ibn por f r o n t e r a s

11

1.4 MODELOS DE DESCOMPOSICION Algunos de l o s modelos de descomposicin son lo s s i g u i e n t e s : Enumeracin exhauativa: Consis te en r ep resen ta r un s l i d o a

t r a v s d e l conjunto de cubos que e s t n contenidos completa o parcia lmente en 61 (ve r f i g u r a 1 . 2 ) . Los cubos s e asume que no s e encuentran t ras lapados y que t i enen un tamao y o r i e n t a c i n uniforme, por e s t o s e d i c e que forman una subdivis in r e g u l a r en e l

1)

'1

espac io . It

11 Lo i n t e r e s a n t e de los modelos de descomposicin es que s u s

representac iones s e pueden c o n v e r t i r a representac iones de l o s modelos cons t ruc t ivos y los modelos por f r o n t e r a . Esto permite que s e l e s use como una representac in a u x i l i a r para a c e l e r a r e l acceso y l a s operaciones en dichos modelos. Una v a r i a n t e en dos

'1

t

11

11

.. - . . . - . . 'I

iI

dimensiones de la enumeracin exhaustiva es la representacin de

imgenes binarias. 'I Esquemas de subdivisin de espacios.- El esquema de enumera-

cin exhaustiva tiene muchas virtudes: es simple, general y permite el use de una amplia variedad de algoritmos. Sin embargo, estos

puntos buenos se ven opacados por el enorme consumo de memoria y la mediocre exactitud posible. Para superar esto muchas representa- ciones reemplazan la subdivisin elemental de la enumeracin pura por una ms ef icieiite subdivisin adaptativa.

11

11

U

Figura 1.2 Representacin de un modelo '1 de descomposicin

Y Ejemplos de los esquemas de subdivisin son los octrees, la subdivisibn de espacios binarios, la subdivisin de espacios

linealizados y los octrees lineales [MANTYLA] [MORTENSONI . t 11

'I 1.5 MODELOS CONSTRUCTIVOS

U Modelos basados en semiespacios.- Estos modelos parten de la

definicin bsica de los slidos cemo un conjunto de puntos de E3. su idea es iniciar de' un conjunto de puntos lo suficientemente

simple que pueda ser Gepresentada directamente, y modelar nuevos conjuntos de puntos en trminos de combinaciones de estos conjuntos

'!

simples (figura 1.3). 'I . 11

Todo el conjunto de puntos A tiene una funcin caracterstica f ( X ) 3 e' - > C0,lI con l'ki cual decimos que un punto X es considerado

. . 'I 1

_.

iI 'I

satisfacer 'I 0 110 miembro de A . En I otras palabras, la funcin f debe de

f ( X ) = 1 X E A f \ X ) = O X #? A

11 Debido a que cualquier funcin continuamente diferenciable

g ( x , y , z ) = k divide el espacio total dentro de los subconjuntos de

semiespacios. Como los semiespacios son conjuntos de puntos, los procedimientos naturales de combinacin son las operaciones

11 booleanas de conjunto: unin (U), interseccibn (n) y el conjunto diferencia ( \ ) . '1

puntos definidos por g ( x , y , z ) 'I 2 k y g ( x , y , z J 5 k estos son llamados

h

'I Figura 1.3 Representacin basada en

I) semiespacios

II

'I Qeometrfa slida constructiva (CSQ): Los modelos de semiespa-

cios puros ofrecen una base matemtica rigurosa y fcil de entender

para modelar slidos. kin embargo, para los humanos, es ms fcil operar con primitivas acotadas que con semiespacios no acotados.

Para evitar la generacin de los conjuntos no acotados, la tcnica

utiliza como sus primiltivos slo conjuntos de puntos acotados.

11

llamada geometra slida 1 constructiva para el modelado de slidos

't

La CSG adopta la, 'I tcnica "construccin-bloque" en su forma 'I 12 I1

'I pura. El usuario de un modelador CSG opera slo en instancias

11 parametrizadas de primitivos slidos y operaciones de conjuilto 03 booleano sobre ellos. Cada primitiva est definida como una CV

't M combinacin de semiespacios; sin embargo, el usuario no tiene c-

cn acceso directo a los semtespacios individuales. P-

Y La forma ms natural de representar un modelo CCG es el

llamado rbol CSG, que duede ser definido como sigue:

11 : : = I

1 3 ;

Y Cada primitivo es seleccionado de tal manera que define un

coiljunto acotado de puntos de E3. Como las operaciones de conjuiltos disponibles no pueden destruir el acotamiento los modelos CSG garantizan conjuntos acotados.

11

11

11 La facilidad de uso de un modelador CSG depende en gran medida

de la coleccin de primitivas disponibles. Algunas combinaciones de

primitivas CSG (o semiespacios) no satisfacen completamente la nocin de regularidad, por lo que, este concepto se extiende a las

operaciones booleanas. 'I

11

!

Y Definicin 1.6: ml conjunto de operaciones regularizado unin *, interseccipn ', y conjunto diferencia , denotado U , n' y \ * se definen'coino:

11 11 . A u' B = c(i(~ U B I I

A 0 B = c(i(A n B ) ) AI\' B = c(i(A \ B))

11 doiide U, n, y \ denotan las operaciones usuales.

Aun as, no es ,posible asegurar el resultado se pueda

representar adecuadamente, como veremos en el captulo tres. La evaluaciii de propiedades integrales (tales como el volu-

men) de un modelo CSG est basado ordinariamente en algoritmos de conversin que implcitamente construyen un modelo de descompo-

sicin aproximada del slido. La evaluacin de la propiedad se reduce al clculo de! las contribuciones de cada celda de la descomposicin al resultado total.

I1

NI

11

I/

11 1.6 MODELOS DE ,, REPRESENTACION POR FRONTERAS DE POLIEDROS

Y Los modelos de descomposicin y los modelos constructivos ven los slidos como conjuiltos de puntos y buscan representaciones para ellos discretizando o construyendo conjuntos ms simples. Eii

'I 14

1 'I c o n t r a s t e l o s modelos por f r o n t e r a s representan un s l i d o de manera i n d i r e c t a a t r a v s de la,s s u p e r f i c i e s que l o acotan . LOS modelos

por fronteras representan un o b j e t o s l i d o d iv id iendo S U Superficie en ulla co lecc in de c a r a s , generalmente, l a d i v i s i n s e rea1iza de tal mallera que cada tira t i e n e una representac in matemtica compacta, t a l como pianos , s u p e r f i c i e s c u a d r t i c a s , Y en gelleral s u p e r f i c i e s paramt r icas .

11

11

I1

'I Las curvas frontera! s e representan por medio de l a d i v i s i b n de

a r i s t a s . Anlogamente, l a s a r i s t a s son representadas en forma conveniente , por ejemplo, a t r a v s de ecuaciones paramt r icas . E l segmento de curva que forma l a a r i s t a s e aco ta con dos v r t i c e s . I

11 Los t r e s t i p o s de o b j e t o s : c a r a , a r i s t a y v r t i c e , a s como l a

informacin geomtrica l igada a e l l o s forman l a base para c o n s t r u i r un modelo de representac ibn por f r o n t e r a s . En suma a l a informacin geometrica l o s modelos por f r o n t e r a deben r e p r e s e n t a r como s e encuentran re lacionadqs las a r i s t a s y los v r t i c e s . por l a importancia de l o s modelos de representac in por f r o n t e r a s para e s t e t r a b a j o , los analizaremos a d e t a l l e en e l s i g u i e n t e c a p t u l o .

I/

'I

t

II

1.7 MODELADORES' 'I HIBRIDOS Ninguna de l a s t r e s I1 t c n i c a s d e s c r i t a s e s supe r io r a o t r a en

todos los aspec tos . Obviamente, una combinacin de l a s t r e s deber a

de s e r supe r io r a cua lqu ie ra de e l l a s s o l a , e s t o motiva e l uso de representac iones m l t i p l e s s i i n u l tneas en los s i s temas de modelado product ivos . U n modelador h b r i d o debe s e r capaz de sopor t a r v a r i a s representac iones de s l i d o s coex i s t en te s y t r a t a r de r e s a l t a r l a s mejores c a r a c t e r s t i c a ' k de e l l a s para t a r e a s d i s t i n t a s .

r 11

11

1.7.1 Problemas de iI los modeladores hbridos La coex i s t enc ia de v a r i a s r e p r e s e n t a c i o i ~ e s en un modelador

produce nuevos problemas e n t r e e l l o s : 11

1 Conversiones.- Claramente l o s a lgor i tmos de conversin de u n

15 'I

11 model; a otro formall Una parte fundamental de un modelador hbrido' Desafortunadamente, existen limitaciones iii1ierentes a 10s tipos de conversin que un modelador' hbrido puede soportar.

construct~vos y CSG en particular, tienen la virtud de que pueden

ser convertidos a otras kepresentaciones; la conversin de ellos a un modelo por fronteras] ha sido demostrada en varias investiga- ciolles y modeladores CSG comerciales; desgraciadamente, la conver-

sibn inversa no est disponible, en particular, la conversin de u11

modelo de representacih por fronteras a un modelo CSG permaiiece sin solucin para propsitos prcticos

11

1

I/

1 [MANTYLA] .

'! La conversin de un modelo de descomposicin a un modelo por

fronteras o un modelo CSG es valiosa en casos como la tomografa computarizada, en dondellla informacin se recibe como una represeii-

tacin biiiaria que debe ser convertida y, almacenada como un modelo por fronteras o un modelo CSG.

'r

11

Y Consistencia. - Si, se dispone de un algoritmo de conversin

entre dos representacjones en un modelador hbrido, debe ser posible la representac,in consistente. Pero esto normalmente se

hace a costa de limita?? la funcionalidad del modelador.

En geileral, un mobelador hbrido que busca una consistencia

total entre dos o ms ,representaciones slo lo logra col1 slidos que pueden ser representados en todas ellas. El corijunto de operaciones booleanas tiene su posicin prominente en el modelado

de slidos en Parte Por'que estas pueden ser utilizadas en todas las representaciones que aqu se mencionan. Desafortunadamente este co*luIlto de operaciones no es suficiente para construir una buena interfa2 entre el usuario y ei modelador de sblidos.

11

1

II

't

I1

'1

!I Transacciones de jmodelado. - Todas las modificaciolles a las

representaciones toman! lugar en una forma secuencial. Por lo tallto,

110 puede existir una consistencia total entre las diferentes rePresentaCiones en todos los instantes del tiempo. I/

Esto nos modelado como

Y motiva a definir el concepto de una transaccin de

una secuencia 11 indivisible de operaciones de modelado

16 ! I1

que comienza en un estado consistente y termina en otro estado consistente. Las representaciones slidas en el almacenamiento

1

1

secundario le agregan 'btra dimensin a las transacciones de

modelado: una sesin de modelado interactivo es completa slo I1

'I

deben ser an ms. i1

despus de que un resultado relevante es almacenado. Si las funciones disponibles para el usuario deben ser disea-

das con cuidado en los modeladores bsicos, en un modelo hbrido lo

1.7.2 ArguiteCtUraS lhbridas La solucin usualmente adoptada en un modelador hbrido para

resolver la carencia de .conversin y consistencia es tratar una de las representaciones soportadas como primaria y la Otra como

secundaria. En este sentido, la mayora de los modeladores de

slidos disponibles caen dentro de una .de dos principales arqui-

tecturas. Los modeladores en la primera arquitectura ordinariamente

usan rboles CSG como su representacin primaria. Desde los rboles CSG los modelos por frontera pueden ser creados a travs de

evaluaciones de froiiterta, y los modelos de descomposicin a travs de algoritmos de clasilicacin (figura 1 .5 ) .

'1

t

Ji

iI

'I

11 estructuras de datos por frontera. Estas facilidades pueden incluir operaciones de dibujo y ,\barrido, o modificaciones locales a las fronteras de los sblidos. En estos sisteinas el papel de la CSG es

11 nicamente el de una repyesentacin auxiliar.

1.7.3 Modeladores distribuidos 1 L~ tendencia actuar se dirige hacia el USO de 10s Sistemas

grficos distribuidos, 'los cuales consisten de una Computadora arifitriona y estaciones de trabajo grficas actuando sobre modeladores hbridos. Como las estaciones de trabajo grficas tienen una considerable potencia de proceso propia, y son

normalmente pequeas computadoras, el problema consiste en dividir

la labor entre la anfitriona y la estacin de trabajo. Una solucin a este dilema es la iiitr'bducc.in de un modelador distribuido, parte del cual reside en la estacin de trabajo y parte en la mquina

11 anfitriona. como un edemplo de la divisin de labores en un modelador distribuido, en [ATHERTON] se sugiere la separacii~ de un

'I modelador visual y un ! modelador analtico. El modelador visual soporta un proceso interactive rpido, y reside localmeilte eri la

I estacin de trabajo. El modelador analtico es almacenado el1 la

computadora anf itrioiia!l

4

11

'I

11

~

interfaz CSG

~- 9 interfaa fronteras grfica

modelos por

- 1 modificacionefi locales .$

modelos de descomposicin II

Figura 1.6 Arquitectura de un modelador hbrido

11

Muchas estacione21 de trabajo grficas almacenan una lista do despliegue estructurado con primitivas grficas de polgonos, que

It

1 Queden ser consideradas ~ o m o modelos de polgonos. La lista de L

despliegue es collstruida Por un modelador pcr f rentera residente en

la computadora anfitriona, y debe ser actualizada para reflejar las operaciones realizadas en ,I el modelo slido.. Desafortunadamente,

esta arquitectura posee requerimientos muy fuertes para ia coinunicacin anfitrin-estacin en el ambiente distribuido.

Como un paso adelante, un modelo de facetas debera de ser usado en el papel de un modelador visual, por ejemplo, proporcio- nando un proceso intedactivo rpido dentro de la estacin de trabajo. Esta tcnica' es apoyada fuertemente porque muchas

estaciones de trabajo tienen un hardware especial para procesar rpidamente modelos de poliedros.

1

!I

'11

I

1

11

iI

I anfitriona i/ modelador

RL exacto L

j- ' : estacin de trabajo modelador visual modelo aproximado Fig& 1.7 Un modelador distribuido

I Para aplicaciones1 numricas que requieren una alta precisin,

la informacin de la 'superficie del modelador visual puede ser transmitida a la combutadora anfitriona y construida por el

modelador analtico.

I

11

'I

I iI

19

Captulo 2

MODELOS DE 11 REPRESENTACION POR FRONTERAS (B I/ - rep)

11

La frontera de unl)clido separa los puntos que se dentro de los que se encuentran fuera del slido. Los

encuentran

modelos de

representacin por frontera 11 (B-rep) emplean una estructura de datos

tipo grafo para describir las caras, aristas y vrtices que forman

la frontera de un objeto slido [MILLER]. Antes de iniciar el

anlisis de los B-rep sib establecern las bases tericas para dicho anlisis. Para facilitar este estudio se necesita hacer una clara

11 distincin entre la geometra y la topologa.

11

I/

2.1 GEOMETRIA Y TO~OLOGIA La geometrid se define como la parte de las matemticas que se

ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, lneas, superficies y'[ cuerpos. Representa esencialmente toda la

informacin de la forma de un objeto, incluyendo el espacio en el

nentes de sus diferentes elementos.

1

cual se encuentra y la 'I localizacin precisa de todos los compo- I

11

La topologfa por def iiiicin es una abstraccin, un subconjunto de la informacin de la geometra de una forma. M s formalmente, es

el conjunto de propiedades que permanecen invariantes bajo cual - quier transformacin biyectiva y bicontinua [HU 651. Esto implica

que las propiedades representadas por la topologa no incluyen el conjunto de informacin que cambia con las transformaciones, es decir, la topologa es un conjunto incompleto de informacin de la forma que se deriva de una especificacin geomtrica [HU 641.

11

11

Bajo esta idea la, 1 informacin topolgica puede ser considerada 2 0

'I

II como una vaga definicin; de un objeto localizado en aigil lugar. De tal forma, la topologa !restringe, pero no define de manera nica, la geometra de un objeto. Caso contrario, la descripcin geom- trica define de manera nica la topologa de un objeto, an cuando

I 11

tal informacin puede nh estar en una forma explcita-

'I Deiltro del modelado geomtrico, una parte de la topologa que

se ha estudiado mucho se relaciona con la adyacencia entre elemell- tos topolgicos (vrtfces, aristas y caras),. Una relacin de adyacencia individual sle define, en trminos de proximidad y orden fsico, como'el grupo \de elementos topolgicos de un mismo tipo alrededor de uii, e1ement.o topolgico simple (existen en total nueve

relaciones de adyacencja) [WEILER 851 ; un ej'emplo de relacin de

adyacencia es el conjunto de aristas que se conectan a un vrtice. La informacin topolgica puede servir como un marco dentro

del cual se coloca la Jinformacin geomtrica. La topologa sirve entonces para mantener juntos todos los ' componentes geomtricos individuales de acuerdo con sus relaciones de interconexin. Eli

It

Y.

11

I

este >>

>>

>>

sentido queremos dar a entender lo siguiente:

La informacin topolgica II est explicitamente disponible. La topologa sirve como un factor de organizacin en el

esquema de las estructuras 1 de datos usadas en la representa- cin y, por tanto

La topologa proporciona una estructura unificada, es decir, toda la informaci[n topolgica est asociada.

en los algoritmos que operan con ellas. I '

[WEILER 851

2.1.1 Conceptos de 'I la teora de grafos Uii grafo G consiste de un conjunto finito no vaco V = V G i de

p puntos y un conjunto X de q parejas desordenadas de puntos distintos de V. Cada par x = iu,vl de puntos en X es una lnea de

G, y se dice que x asocia a u y v. Se escribe x = uv para decir que u y v son puntos adyacentes; el punto u y la lnea x inciden uno con otro, como tambin lo hace v y x. Si dos lineas distintas x y y inciden en un punto comn, entonces ellas son dos lneas

adyacentes. Un grafo con p puntos y q lneas se denomina un girafo

It

NI

11

I p , q l . El grafo ( 1 , O ) '1 es trivial.

Note que la definie:iil de g ra fo no permite lazos, e s t o est no se permite que una l n e a a s o c i e uii punto coiisigo mismo. Ell u11

l a zos pero se permi te que ms de una

linea a s o c i e dos pun tos ; e l l as se denominan lfneas mltiples. S i se permiten ambos, l azos y l i n e a s m l t i p l e s , se t i e n e un pseudografo. Un grafo di'rigido o digrafo D co i l s i s te de un conjunto f i n i t o no vac o V de puntos y una co lecc in ordenada X de p a r e j a s de puntos d i s t i n t o s . Los elementos de X son l n e a s d i r i g i d a s o a r c o s . P o r d e f i n i c i n un d i g r a f o 110 t i e n e l azos o a r cos m l t i p l e s . Un grafo orientado es un d i g r a f o que no t i e n e pares s im t r i cos de l i n e a s

multigrafo, no se permiten ;1 I 11.

11

'I

d i r i g i d a s [HARARY] . I!

11 2.1.2 Conceptos togolgicos

11 Se requie ren algu'pas i deas de espac ios topolgicos mtr icos [HUI pa ra c a r a c t e r i z a r e l dominio de l a , s formas de i n t e r s en e l contexto d e l modelado geomtrico de s l i d o s . L a s s igu ie i i t es d e f i n i c i o n e s , an cuando no son muy r i g u r o s a s , se rn ' d e grari u t i l i d a d en las d iscus iones p o s t e r i o r e s .

I) I!

I1

Un disco abierto I es una por.cin de un espac io bidimensional que cae d e n t r o de un 'Circulo de r a d i o p o s i t i v o con c e n t r o en un punto dado, excluyendo! l a f r o n t e r a d e l c r c u l o . Una esfera abierta es e l anlogo t r id imens iona l d e l d i s c o a b i e r t o ; . es e l conjunto de puntos que se encuentra den t ro de una esfera con c e n t r o en algn punto y de r a d i o mayorjque ce ro , excluyendo tambin l a f r o n t e r a de l a e s f e r a .

I

'11

11

'I U n subconj unto d e l espac io topolgico e s arco-conectado s i

e n t r e dos puntos cua lqu ie ra en un subconjunto d e l espacio e x i s t e una t r a y e c t o r i a contdnua que se encuentra contenida to ta lmente

den t ro d e l subconjunto. Una superficie, pa ra e s t e p rops i to , e s un

cuando l a s u p e r f i c i e es localmente bidimensional , s t a puede e x i s t i r geomtricamente en un espac io t r id imens iona l y puede s e r

espac io bidimensional 'I arco -conec tado . Hay que hacer n o t a r que a n .t

curva . I1

2 2

!I

Se dice que una superficie es acotada si la superficie puede

ser en su totalidad por alguna esfera abierta. La

froiltera de ulia superficie puede ser una curva abierta 0 cerrada o bien ull punto de la superficie. Una superficie es cerrada si es acotada y no tiene frqntera. Por ejemplo, un plano infinito no

tiene frontera, pero es no acotado; por el contrario, la esfera es una superficie cerrada.',

1 11 1

11

iI

'I una variedad de dimensin dos es una superficie bidimensional

arco-conectada donde yada punto de la superficie (excepto su f roiitera) tiene una vecindad topolgicamente equivalente a un disco

abierto.

11

ii Una variedad puede o no ser una superficie cerrada. Se dice

que una variedad V es orientable si y ~610 si existe un campo vectorial normal en V que es diferente de cero en cada punto de V,

excepto en su frontera. Estos dos ltimos aspectos son importantes Porque, dentro del modelado geomtrico de slidos, se requiere que

las superficies que acotan a un slido sean cerradas y orientables,

encierra la superficie,,^ io que deja fuera de ella.

'1

11

de tal manera que se. I tenga una clara distincin entre io que

Una no-variedad lfiion-manifold) es un trmino del modelado geomtrico usado para referir situaciones que no pueden ser

En un ambiente de no-variedades, la frontera del objeto alrededor de un punto dado no es topolgi- camente plana, es decir, los vecinos de los puntos no estn contenidos necesariamente en simples discos bidimensionales. Esto permite situaciones tales como un cono tocando en otra superficie en un slo punto y unlpar de cubos unidos por una sola arista.

Los modelos que ms eiifatizan la estructura topolgica son los modelos basados en grafos. Por ejemplo, en los B-rep un slido se representa como una lista de caras con sus respectivas ecuaciones de superficie; las aristas de estas caras se representan con

ecuaciones de curvas) con apuntadores a sus vrtices y caras adjuntas; y finalmente, los vrtices se representan como una lista

de coordenadas con apditadores a las aristas que se conectan & cada uno de ellos. En suma a estas listas los B-rep registran la:;

representadas con variedades. I)

Y

t

I iI

I I .

1

I 2 3

relaciones de adyacenci4.

Las superficies en E 3 pueden ser clasificadas en dos catego-

ras: simple-conectadas y mltiple-conectadas. Una superficie es simple-conectada si toda curva cerrada dentro de su rea puede

reducirse continuamente a un punto dentro de la superficie, de lo contrario es mltiple-conectada.

I 11

0

II

2.2 CLASIFICACION DE LOS MODELOS DE B-REP El criterio de validez de un modelo'de representacin por

fronteras, para objetos limitados por superficies cerradas y orientadas, incluye las siguientes condiciones' [MANTYLA] :

El conjunto de car~as de un modelo por fronteras es cerrado, es

decir, las caras Irforman la frontera completa del slido sin

olvidar ninguna parte.

'1

'I

>> Las caras de los, 'I modelos no se intersecan con alguna otra excepto en los vrtices y aristas comunes.

simples que no se'( intersecan entre eiios.

'I >> Las fronteras de las caras son de manera general polgonos

Las dos primeras \condiciones excluyen objetos con autointer - secciones. La tercera es relativa a la integridad topolgica de las

fronteras del modelo. Desgraciadamente, la integridad geomtrica de un modelo por froiiter;as que se define por la segunda y tercera

condicin, no puede ser forzada slo por medio de estructuras: asignando de forma idpropiada informacin geomtrica a entidades

topolgicas razonables, se pueden crear modelos no vlidos.

11

i

11 De manera general podemos agrupar los modelos de B-rep en los

siguientes grupos :

iI Modelos por fron$era basados en po1igonos.- Un B-rep que slo

tiene caras planas es I/llamado un modelo de poliedros. Debido a que

todas las aristas de un poliedro son segmentos de lnea recta, se pueden tener estructuras de datos muy compactas para una B-rep d- 11

1 ' 2 4 II

11 e s t e caso e s p e c i a l . Modelos

en polgonos como c a r a s i

I

por front& basados en vrtices. - En u11 B - r e p basado l a s coordehadas de un v r t i c e s e r e p i t e n t a n t a s veces

.ncidan en ,161. Esta redundancia puede ser el iminada int roduciendo los v r t i c e s como ent idades independientes de l a e s t r u c t u r a de d a t o s . En e s t e caso , l o s i d e n t i f i c a d o r e s de v r t i c e s s e asocial1 con l a s c a r a s . Esta t c n i c a es conocida como modelo de

f r o n t e r a basado en ;v r t i ces . La representac in no inc luye informacin de l a s u p e r f i c i e , como todas l as ' ca ras son p lanas , s u geometra e s t 6 completamente def i i i ida por l a s coordenadas de sus v r t i c e s ; s i l a s ecuaciones de l a s ca ras neces i t an c l cu los

't

I 1 I1

11

'1)

iiumricos, e l l o s debern e s t a r asociados con 'los v r t i c e s . E ~ I e s t r ep resen tac in , l a l i s t a de v r t i c e s de cada c a r a debe

de t ene r un orden que: r ep resen te l a or, ientacin de l a s a r i s t a s . Esta o r i e n t a c i n es t i l en a lgor i tmos como los de el iminacin de ' l n e a s o c u l t a s .

Ir

't

E l t ene r informacin en forma redundante, puede producir I

s u t i l e s problemas numricos [MILENKOVICI , [EDELSBRUNNER] . I!

Modelos por frontera basados en aristas.- Los modelos basados en v r t i c e s son s imples , pero cuando s e t r a t a de r ep resen ta r una s u p e r f i c i e cuya f r o n t e r a e s curva requieren una gran cant idad de v r t i c e s para l a aproximacin. Un modelo por f ronte . ra basado en a r i s t a s r ep resen ta una ca ra en trminos de una secuencia cer rada de

a r i s t a s .

11

11

a r i s t a s . Los v r t i c e s , d e iI l a ca ra s e representan sblo a t r a v s de '1

It

En e s t a e s t r u c t u i a de da tos se debe i n d i c a r una o r i e n t a c i n para l a s a r i s t a s y l a o r i e n t a c i n de l a s ca ras debe s e r d e f i n i d a de manera c o n s i s t e n t e . Por ejemplo, l a s a r i s t a s de una c a r a deben s e r l i s t a d a s en sen t ido de' las maneci l las d e l r l o j cuando s e ven desde a f u e r a d e l s l i d o . Note que cada a r i s t a s e r ep resen ta en dos c a r a s , una respetando l a o r i$n tac in y una en sen t ido opuesto.

I

Estructura de ddtos de aristas con alas: La inclusii i de iiodos e x p l c i t o s para cada uno de l o s o b j e t o s bs icos ( c a r a , a r i s t a , y v r t i c e ) abre l a s p u e r t a s para l a e laborac in de E-rep

1

il !I

. . . ; I - - 1 basados en a r i s t a s ms )completos . Muchos de l o s esquemas usados actualmente para r e g i s t r a r r e l a c i o n e s de adyacencia e n l o s s is temas c l s i c o s de B -rep s e de r ' van de l a a r i s t a con a l a s desa r ro l l ada por Baumgart [BAUMGART] . Esta e s t r u c t u r a s e i l u s t r a en l a f i g u r a 2 . 1 Ir

II para una a r i s t a e.

Figura 2 . 1 Reprefientacin de una a r i s t a a l a d a

11 La e s t r u c t u r a de l a a r i s t a a l ada r ep resen ta l a informacin de adyaceiicia de una a r i s t a como una e s t r u c t u r a s imple. Basados en e l l a s e puede obtener de manera d i r e c t a l a s cua t ro a r i s t a s adyacentes , e s t o e s , l a s s i g u i e n t e s a r i s t a s en e l s e n t i d o y con t ra

de l a s dos c a r a s que s e "pegan" a l a a r i s t a en cues t in . Podemos sabe r cua le s ca ras comparten l a a r i s t a , a s como lo s v r t i c e s que l a acotan . Otras r e l ac iones de adyaceiicia que no s e almacenan pueden ser d e t e r - minadas algor tmicame/te recor r iendo l a e s t r u c t u r a de da tos de l g ra fo que r ep resen ta d l s l i d o . En e s t a representac in l a s ca ras neces i t an i n c l u i r paral cada a r i s t a un i d e n t i f i c a d o r y un nd ice de s u o r i e n t a c i n en l a c a r a .

ii

e l s en t ido de las ,maii,ecillas I d e l ' r e l o j 11 1

11

2.3 DESCRIPCION DE! I LOS B-REP Uno de los problemas de l o s modelos de representac in e s s u

cons t rucc in . Por un 1 l ado , e l disefiador de un modelador debe de proveer una coleccii? de f a c i l i d a d e s de desc r ipc in de s l i d o s conveniente y e f i c i e n t e . Por o t r o lado , debe 'tomar en cuenta l o s problemas de i n t e g r i d a d a n t e s mencionados y buscar t cn icas de descr ipc in de s l i d o s que ga ran t i cen e l c r i t e r i o de i n t e g r i d a d 9

I1

11

I II

al menos hagan d i f i c i l l a cons t rucc in de modelos no v l i d o s .

2.3.1 Conversin de CSG Una so luc in comn I! es d a r a l u sua r io un lengua je de d e s c r i p -

ciii de s l i d o s basados 'en CSG y , c o n s t r u i r modelos por f r o n t e r a s a travs de l a conve r s in ,de 'I CSG a B -rep . Con esta t c n i c a , se deben i n c l u i r a l modelador a lgor i tmos para l a c reac in de modelos por f r o n t e r a s de las primi:ltivas CSG y un a lgor i tmo para operaciones booleanas con e l l as .

i1

II

Figura I : 2 . 2 Un o b j e t o s i n una conveniente r ep re sen tac i6n en una B-rep o r d i n a r i a .

Desgraciadamente:kas operaciones de conjuntos pa ra modelos por f r o n t e r a son computacionalmente c a r a s y s e n s i b l e s a problemas numricos. An cuandh lo s problemas numricos d e l c l cu lo de i n t e r s e c c i n de supekf i c i e s puede s e r r e s u e l t o , p e r s i s t e e l problema de l a compat ibi l idad e n t r e el modelado de espac ios de CSG y los modelos por f ro l i t e ra convencionales. Esto q u i e r e d e c i r , que algunos o b j e t o s que pueden ser representados en CSG no t i enen una

represen tac in adecuada en l o s modelos por f r o n t e r a s . Por ejemplo, E l o b j e t o mostrado en'I/la f i g u r a 2 . 2 , puede ser representado en CSG como l a d i f e r e n c i a de dos c i l i n d r o s . Con las e s t r u c t u r a s o r d i n a r i a s de un B - r e p no se puede r ep re sen ta r adecuadamente l a regin donde e l c i l i n d r o e x t e r i o r toca e l c i l i n d r o

I

I

I

( t a l corn$ l a a r i s t a alada)

I) i n t e r i o r , e s t o e s porque una a r i s t a no puede t ene r c u a t r o caras

Y vec inas . 2.3.2 Dibujos de dos y media dimensin

I1

11

Muchos o b j e t o s nec,esar ios en l a p r c t i c a t i enen una s i m e t r a que puede s e r explotada para s u desc r ipc in . Frecuentemente los ob je tos pueden s e r d e s c r i t o s en trminos de una seccin t r a n s v e r s a l de dos dimensiones, j un to con informacin d e l espesor d e l m a t e r i a l . Los ob je tos rotacionalmente s im t r i cos son o t r o ejemplo de cmo un s l i d o puede ser d e s c r i t o slo por un p e r f i l y un e j e de ro t ac in ( f i g u r a 2 . 3 ) .

11 I

11 II

'I

11 Figura 2.3 Dibujos de dos y media dimensin (sweeps)

'I Estos mtodos de descr ipc in de s l i d o s de dos y media dimensin pueden s e r incorporados de manera n a t u r a l a los modela- dores por f r o n t e r a s . E l trmino dos y media dimensin e n f a t i z a e l hecho de que l a operacin de descr ipc in p r i n c i p a l e s en dos dimensiones, y puede s e r v i s u a l i z a d a como una operacin en un modelo g r f i c o bidimensional .

11

I L o s d ibujos de i h g e n i e r a generalmente despl iegan un ohj e t o

desde d i f e r e n t e s v i s t a s or togonales . Esta t cn ica puede s e r usada para d e s c r i b i r modelos de f r o n t e r a en l a forma que e s llamada 11

!

conjunto de operaciones de perfil. Estas o ms perfiles cerrados para representar un objeto a partir de &bs vistas.

l 1

operaciones combinan dos

las lneas exteriores de

1 2.4 ALGORITMOS DE' EWALUACION DE Los MODELOS POR

FRONTERAS I) 2.4.1 visualizacin

I1

11

iI

El diseo de algoritmos de visualizacin para modelos por

fronteras se simplifica en gran parte porque se puede aprovechar la

representacin de las c,aras, aristas y vrtices de un slido. Ellos

pueden ser considerados modelos explcitos en comparaciil con los CSG que deben ser evaluados para obtener su visualizacin. Las

tcnicas ms populares para la generacin de salida grfica de

modelos se pueden aplicar I( de manera directa a los modelos por 1

11 1

fronteras. En suma, para un modelo de poliedros las tcnicas

conocidas para eliminar lneas y superficies ocultas, as como las

de sombreado, pueden ser aplicadas incluyendo mtodos exactos

espacio-objeto. Evidedkemente, l a presencia de superficies curvas hace esto ms complicado, especialmente cuando se requiere la

salida con lneas oculkas.

I

Ocultar superficies durante el despliegue es fcil, ya que se pueden aplica11 las tcnicas estndar, entre otras, los algoritmos de scan-line. z-buffer y ray casting.

't

1)

I) 2.4.2 Integrales para la evaluacin de propiedades Los modelos por Ifrontera disponen de dos tcnicas para e l

clculo de propiedades ingenieriles, el mtodo de la integracin directa y el uso del teorema de divergencia del clculo.

La integracin directa es la tcnica discutida en los libros de clculo Y se basa en la evaluacin de la integral de volumen

sobre un slido como l a suma de las contribuciones de cada cara.

11

I1

11 Por ejemplo, la jntegral de volumen de una funcin f ( x , y , z )

I

sobre un slido S puedefser evaluada por

1 donde Fir es la proyeccin de la cara F, en el piano xy, y Z,(X,Y)

se obtiene solucionando la ecuacibn de F, para z. El signo se determina por la normal de la cara: si la normal se proyecta del

del plano xy hacia el espacio el signo es negativo, de lo contrario

11

es positivo. 'I iI

1 El resultado de la integral doble se evala de manera similar

para obtener la contribucin de cada arista de F,.

11

I/ El teorema de divergencia proporciona un mtodo alternativo

para la evaluacin de las propiedades integrales, De la observacin que siempre es posible encontrar al menos una funcin vector g(x,y,z) tal como d v g = f para una funcin continua f (x, y , z ) , se tiene que

t

II J s f d V = J9divg dV = E, J gnidFi

FI

Y donde F, es una cara del slido S, a, es el vector unitario normal

il a F,, y F,, es la diferencial de superficie.

2.5 REPRESENTACIOW PARAMETRICA PARA EL MODELADO POR FRONTERAS 1

I) Existe una gran variedad de mtodos analticos para la

descripcin de curvas, y superficies, pero no todas las represeii-

tacioiies pueden ser usadas en el modelado geomtrico. La forma que ha resultado ms prodia para este objetivo es la representacibn paramtrica. Existen muchas razones para ello entre otras las

siguientes [ROGERS,ADAMSl , [FARIN] :

I

n Es independiente'. 'I de los ejes coordenados . >> Permite la representacin no ambigua de superficies multiva-

'! 3 0

luadas y funciones', Ii en el espacio Euclidea110. A ES compatible con .el uso de transformaciones de coordenadas

tridimensionales.

>> Las curvas y superficies usadas en el modelado geomtrico son normalmente no planas, acotadas y, en general, no puede11 ser

representadas por .una funcin no-paramtrica ordinaria.

>> Permite definir ftamilias de objetos geomtricos usando un

nmero finito de parmetros. Asignando valores a cada par- metro definimos uila instancia de la familia. Las propiedades

globales se pueqen reducir a un conjunto de frmulas

1: ' i 'I

It

11

especiales [MORTEfqSON] .

La ltima de las dentajas nos permite pensar en construir una librera de rutinas que contenga una frmula o un procedimiento algortmico por cada propiedad, por ejemplo, para calcular tangen-

tes, normales, curvaturas, reas, etc. La figura 2.4 presenta una clasificacin en farni1)as de las representaciones ms usadas en el

modelado por fronteras.

I1

B z i e r P o l i 1 n e a B s p l i n e s X s p i i n e s

Supe ficies B sp l i ne s 8-splines Sweep l i n e a l Sweep r o t ac iona l Sweep t r a s l a c i o n a l S u p e r f i c i e s r eg ladas E NURBS Y I1

11

II

Figura 2.4 Familias de objetos geomtricos para l a , representacin por fronteras.

31

I 2.7 PROPIEDADES DE LOS MODELOS POR FRONTERAS

II poser expresivo: ~1 espac io de modelado con 10s B - r e P depende

de l a se l ecc in de s u p e r f i c i e s que puede11 Ser usadas Para l a

representac in de l a s Garas. N o e x i s t e n razones para l i m i t a r e s t a se l ecc in , por e l l o , e s t o s modelos pueden s e r usados para r ep resen ta r ob je tos de un espac io de modelado ms genera l a l que es pos ib le l o g r a r con C S G .

1

t

r

iI Validez: La va l idez de un modelo por f r o n t e r a s e s eii general d i f c i l de e s t a b l e c e r . E l c r i t e r i o de va l idez s e d iv ide en r e s t r i c c i o n e s topolgi,cas 'I y geomtr icas . E s p o s i b l e manejar l a va l idez topolgica s i n t e n e r un t r a b a j o e x t r a , pero e s d i f c i l ob tene r l a desde e l punto de v i s t a geomtrico s i n c a s t i g a r l a velocidad en e l diselo i n t e r a c t i v o .

11

'I No ambigiiedad y unicidad: Los modelos por f r o n t e r a v l idos SOIT

110 ambiguos, pero noridaimente no son nicos.

Lenguaje descriptivo: L o s modelos por f r o n t e r a s s e pueden c o n s t r u i r a t r a v s de un lenguaje de descr ipc in que e s t e basado en d ibujo g r f i c o y operaciones de b a r r i d o (sweep) o en una forma

'I

s i m i l a r a l CSG. 11

'1 Conciso: Los modelos por f r o n t e r a de o b j e t o s t i l e s pueden l l e g a r a ser muy grandes, especialmente s i se aproximan ob je tos curvos por modelos de (po l i ed ros .

Facilidad computacional Y y aplicabilidad: Los B -rep son t i l e s para l a generacin de ' s a l i d a s g r f i c a s , porque e l l o s incluyen l o s da tos para manejar in (despliegue g r f i c o [MANTYLA] , [REQUICHA] . En e l l o s s e pueden a p l i c a r a lgor i tmos de a n l i s i s i i ige i i i e r i l , por ejemplo, como elemento f i n i t o y evaluacin de f r o n t e r a s .

I

ir

3 2

Captulo 3

I B-REP PARA' MODELOS BASADOS EN

11 11 '

La necesidad de construir modelos de objetos formados col1 diferentes materiales ha extendido el dominio semntica de los esquemas de representac16n de los modeladores geomtricos . Estos sistemas ahora deben ser capaces de modelar regiones acotadas por f roiiteras eii el espacip definidas coil no-variedades . 11

11 Las estructura de datos propuesta para la arista con alas. usada en los modelos basados en variedades, no es suficiente para representar adecuadamente objetos que son no ~ variedades, por

ejemplo, con el esquema de la arista con alas no se puede representar una arista en donde se unen tres o ms caras. Para

solucionar este problema Weiler [WEILER 861 propuso el uso de un nuevo elemento topolgico, al cual define como arista radial.

11

t

'I

1)

Las operaciones booleanas usadas en CSG generan no -variedades. Por ejemplo, dos cubo2 que comparten una arista produce un objeto

que es no-variedad a lo largo de dicha arista, esto muestra que se pueden crear condicion,es de no -variedad an con operaciones simples en dos objetos que soh variedades.

11

11 I

)) En la prctica, en el mejor de los casos, los obje tos con

superficies no-variedgd se representan indirectamente con varie- dades ignorando los puntos y segmentos de lnea excepcionales. Esta situacin es aceptablye cuando se requiere solamente informacin

11 grfica, pero no es vlida para e1 anlisis y la evaluacin de un

modelo; por ejemplo, '

It

es tudios de transferencia de calor. 1"

. ~i

I E s t e t r a b a j o usa una topologa basada en no -var iedades que

supera l a s l imi , tac iones de l o s esquemas basados en va r i edades -. . LOS modelos de representacin basados en no -var iedades t i e n e entre o t r a s l a s s i g u i e n t e s ven, ta jas :

II

4 !I La ,-lase de ob je to s , que se pueden r ep re sen ta r es cer rada ))ajo

el de las operaciones booleanas, o r d i n a r i a s 0 regula r izadas . EII una topologa de var iedades , se pueden r ep re sen ta r todas

l a s r e l ac iones de pos ib l e s entre l o s elementos topolbgicos bsicos (volmenes, caras, a r is tas , v r t i c e s ) . Se pueden represen ta r casos de in t e r secc in y coincidencia geomtrica de una /nanera uniforme y t ransparen te ! sin casos e spec i a l e s . Se t i e n e l a capacidad de r ep re sen ta r todas l a s adyacencias de volumen, c a r a s , a r i s t a s y v r t i c e s . E s pos ib l e obtener l a representaci6n de nodelos d e alambre y de s u p e r f i c i e den t ro de l m i s m o ambiente de l a represen tac in de s l i d o s , con una informacin topol!$ica completa y c o n s i s t e n t e .

!I

I1 11. I

Una representacii i~basada I en no -var iedades no est r e s t r i n g i d a a i dominio de los s l i d o s cer rados . Debido a que se pueden r ep re sen ta r s l idos que son adyacentes a s l i d o s , se pueden modelar c a r a c t e r s ' t i c a s e spec i a l e s de l i n t e r i o r de un s l i d o .

1

PCEUDOGRAFO REGION Y ARBOL-PR Basados en l a idea que l o s da tos geomtricos determinan sin 'I

ambigedad a los datos topolgicos y que por e l c o n t r a r i o l o s datos topolgicos pueden ser! i n v a r i a n t e s para d i s t i n t o s modelos geoiu- t r i c o s , en l a unidad de computo d e l I n s t i t u t o de I i i - ,~es t igac io i~es E l e c t r i c a s s e desarrol3aron los conceptos del pseudoyrafo- regin J' d e l 6r1701-pr [LASTPA 9011. L o s cua l e s e s t n or ien tados a l a r e p r e s - entacin por f r o n t e r a s Id- no var iedades en 2 D .

I

11:

I l - - D e manera formal e l problema fundamental e s e l siguiei1t.e:

Deiiotaiido con ( a , z l un i i i te r i .a lo cerrado en l a l i n e a Euclididi1;l 1,. con E a e l plano Euclidian0 y def iniendo regin corno un sL&conj~i ! i i , ,

'I

. ,

2 a b i e r t o y conexo ( a r c o conectado) de E se t i e n e : - r

'I problema 3.1.. Dad+ una curva p lana de longi tud f i n i t a , d e s -

cri ta por una funcin paramtrica continuamente d i f e r enc i ab le

C:[a,zl d e f i n i r : un a lgor i tmo y as e s t r u c t u r a s de da tos correspondientes, para r e p r e s e n t a r ' l a s d i f e r e n t e s reg iones en las q u e l a curva dada divid,e a E ' .

I .> E', (1

I1

La soluci11 a este, problema se basa en una genera l izac in d e l teorema de l a curva de Jordan, e l cua l e s t a b l e c e que cua lqu ie r curva ce r r ada simple en e l plano l o d i v i d e en exactamente dos reg iones , una den t ro y .!una f u e r a de l a curva. En e l l a s e busca que las regiones resu l tan te . s s e c l a s i f i q u e n de manera n a t u r a l por medio d e l r e g i s t r o de s u s f r o i t e r a s como secuencias ordenadas, conectadas y c c l i c a s de fragmentos o r i en t ados de l a curva de en t r ada .

3.1.1 Desarrollo del gseudografo-regin P a r a e x p l i c a r e l concepto d e l pseudografo- regin procederemos

de manera i n t u i t i v a . "Suponga' que ha cread'o una o v a r i a s curvas bidimensionales y que ahora us t ed desea l a descr ipc in de las

e s t a s regiones estar c o n s t i t u i d a por un conjunto de puiitos

contiguos que no per tenece a las curvas dadas, y t a l que caminando exclusivamente sobre l o s puntos i n t e r i o r e s de l a regin se puede l l e g a r de un punto cua lqu ie ra de l a regin a o t r o en l a m i s m a r eg in , s i n a t r a v e s a r 'ninguno de l o s puntos de l a s curvas dadas. In tu i t ivamente , s i us ted d i b u j a r a l a curvas en un t rozo de papel de r ea i i i f i n i t a y despu,s r e c o r t a r a con unas t i j e r a s justameilte por donde pasaii l a s curvas , cada uno de los pedazos de papel q u e se obtiivieran corresponder a con cada una de las regioiiss que ~ 1 e ~ , o ~ d e s c r i t o previamente ( f i g u r a 3 . 1 ) .

A p a r t i r de l o a i lker ior , s e puede obser-Jar que l a froi2tera de cada una de las reg iopes , est formada por t rozos de las c1urvas dadas or ig ina lmente . Aqu han ocu r r ido bsicamente dos foilineilos : primero, en cada punto' de i n t e r s e c c i n de una cLIrva, coiisigc iiii:;iii.:i o con o t r a s , se ha ten ido que p a r t i r l a curva; segundo, e11 i,.:'~

1 II '1

11

I)/ ;I I/ I

r egiones en que estas I , cu rvas han d iv id ido a l p lano . Cada una de i1 I Q ' I

'1

'I :I

11

! 35 1

puntos de in t e r secc in l o s segmentos de l a s Curvas W e 3111 c,ollcurren se pegan para formar l a s firoiiteras de l a s regioilc-s. Eso:;

pu13tos de intersecci.611 de denominan v r t i c e s . N6tese Iiaiiibi 617 qire, en genera l , cada t rozo de curva - a l que se denominar a r i s t a - s i r v e como f ron te ra de regiones d i f e r e n t e s . S i l a a r i s t a se . cons ide~-a o r i en t ada -e s t o e s , que empieza en uno d e s u s extremos y Lei-mina en e l o t r o - una de l a s regi,ones quedar a l a "derecha" de l a a r i s t a y l a otra a l a " i zqu ie rda" . E s t e hecho es l a pauta para que se considere q u e cada a r i / t a e s t compuesta de dos medias a r i s t a s , cada una de l a s cuales 'corresponde con cada una de l a s pos ib l e s o r i en t ac iones de l a a r i s t a . D e e s t a forma, las dos medias a r i s t a s de una a r i s t a t i enen or : ientacin opuesta .

-. II

iI J

'I

i1

, III '1

(a i p$---$] . . . .o : . . : . : :

. ,, . . . . , . . . . . . . . . # . . .

. . . . . .

. .

111 . secuencia c c l i c a d e medias a r i s t a s -con t iguas - el1 las que localinel i te la . misma r e y i n queda hac ia SU izquierda..de acuerdo Con

su o r i en t ac i 611 " En l a implemen'taci'h propuesta en [LASTRA 901 l a informaci6i.i

de l a s a r i s t a s se repreA1ent.a en dos r e g i s t r o s d i f e r e n t e s : uno que cont iene l a informacin topolgica: y e l o t r o , informacin geonitrica.

Analizando l a e s t r u c t u r a para l a informacin topolgica velnos que se t i e n e informaci& para determinar l a s caras q u e a c o t a , l a s medias a r i s t a s q u e se conectan a e l l a ' y los v r t i c e s que acotan l a curva dada ( f i g u r a 3 . 2 ) !I Adems se cuenta con una r e f e r e n c i a (geo) a l a descr ipc in de l a geometra de l a curva que se e s t represei i - taiido topolgicamente, aqu se almacenaii d e t a l l e s t a l e s como: representacibn paramtripca y dominio d e l a curva.

!I

4' [ SANTANAO . 1

1

I '1

!I

11.

prev

next

jphe cara

i n h e cara phe p rev

--p con to rno

11, U n d e t a l l e impor tp l te q u e no s e ha meiicioiiado es el hecho d e que e s t a e s t r u c t u r a taikbin nos pe rmi t e conocer l a orieiit.aci611 de

paramtr ica de una cur->;a le . d e f i n e una o r i en t ac in na tura l que corresponde a l o s ;.alores c r e c i e n t e s d e l parmetro; l a o r ien tac in de l a s medias a r i s t a s es t a l q u e l a regin q u e acotan s e encuentra a s u izquierda y se marca en e l sei l t idq q u e se recor rep de s u apuntador p r e v a su apuntador next. E s c l a r o que en e s t a represei i tac i6n una de l a s -medias ai-ish::

l a cur-

I nos obliga a mantener indice para sealar en una arista cual de sus medias aristas la:respeta, este 'indice se registra en la

11 . estructura de la descripcin geomtrica de la curva y conocindolo

'I se puede determinar en base a una media arista cul es la orientacin de la curva..

'I I

Extendiendo la representacin a la situacin ms general de

una curva compuesta de varios segmentos, que inclusive se

autointerseca, se puede notar que la representacin con medias aristas es vlida y no requiere de ninguna modi'ficacin. En la figura 3.3-a se muestra la curva original y en la figura 3 . 3 - b se muestran las estructuras que se arman para describir los ciclos de

I I

medias aristas - llamados 'I contornos - que acotan las regiones encontradas. ''I

Figura 3.3

6 2 3 4 7 8 9 5

11 7 ) curva origiiial, b) pseudografo-regin c) a r h o l -p r .

I Existen bsicamente dos tipos de rsgiones: aquellas que tiene11

como frontera a un nico contorno; y las que tien- -11 corno frontera ms de un contorno. Es/ necesario entonces mantener u11 registro de ci.mles son los contorlios que conferman la frontera de cad? reqif ,n, al mismo tiempo que se mantione la informacin de l a s inedi.3:: aristas y -

cont iene e s t a informaci6n s e denomii-ia pseudografo-regin. A mallera de ejemplo en l a f i g u r a 3 . .3 -b se muestrai'i en forina de peciuei~:; bloques l a s es t ructuras '1de l a s a r i s t a s con sus medias a r i s t a s .

3.1.2 Propiedades de un pseudografo-regin

las s i g u i e n t e s propiedades:

11 'I

1 Haciendo un breve ' a n l i s i s de l pseudografo-regibn s e t i enen 11: Cada a r i s t a referdi ic ia a una curva paramtrica de extensill

f i i i i t a como s u reaizaci6ii 'en e l plano Euclideano. Las regiones e n ii l a s que l a r e a l i z a c i n d e l pseudografo p a r t i c i o n a a i plano s e representan por s u s f r o n t e r a s o r i en t adas que se denominan contornos. Cada contorno se 'de f ine como una cadena cerrada de a rcos y puntos. Los a rcos corresponden a r ea l i zac iones o r i en t adas de las a r i s t a s - reeresen tadas por l a s medias a r is tas - y l o s puntos, a r ea l i zac iones de los v r t i c e s . Por conveiicin el{( r eco r r ido de un contorno de .acuerdo con s u o r i en t ac in s e r t a l q u e l a regi6n de l a q u e es f r o n t e r a queda siempre de f in ida a l a i zqu ie rda . Siempre ex i s t e ui ia regi6n de extensin i n f i n i t a y un nmero f i n i t o - posiblem,ente cero - de regiones acotadas . Cualquier p a r e j a 'de regiones es d i s j u n t a y l a unin de todas las regiones cerqadas es e l plano.

! I

1, 1

II . ,

I1 En e s t e momento tteiiemos r e s u e l t a una p a r t e de l problema 3 . 1 : podemos determinar , mediante una inspeccin d e l pseudografo l a s regiones en l a s que l a curva d iv ide e l plano, pero an 110 podernos d e s c r i b i r l a s relacioi?es que ex i s t en e n t r e e l l a s .

t .

I1

Una forma n a t u r a j de represen ta r una descomposici6n de l plano

por un pseudografo-reg1611 es a t r a \ l s de u n rbol. con u n rbol es relativainei1t.e simple r ep re sen ta r j e r a r q u a s d e da tos y la relacii1 que e x i s t e e n t r e e l l o s . Podemos eiltoilces represen ta r coil un rbo l l a s r e l ac iones que guardan l a s iregioiies en el plano. Este rbol se

1 .

11. 1

denomina rbol-pr q u e s i g i i i f i c a rbol d e l pseudograf o- r e g i b n .

El problema ahora se l i m i t a a determinar una s i n t a x i s para l a procederemos ilUevanW11te de una manera collstrucci~n d e l rbol .p r . .I1 .. 'I

illformal para d e f i n i r la : s i n t a x i s que estamos busca1'do.

I ulla Curva cerrada simple de acuerdo con e l teorema de Jordan dos regiones u11a citerior o i n f i n i t a y una i n t e r i o r 0 f i n i t a .

De acuerdo con nuest ra f , l i iosof a , l a misma curva se represen ta con dos contornos, uno que aco ta l a regin f i n i t a y Otro que acota l a regin i n f i n i t a . Esta s i t u a c i n nos muestra que podemos d i s t i i l gu i r dos t i p o s de nodos para c o n s t r u i r nues t ro r b o l ; uno para r ep re - s e n t a r los contornos que acotan regiones i n f i n i t a s , que llamaremos blanco y , o t r o para r ,epresentar contornos que acotan regiones f i n i t a s , que llamaremos negro.

11

!l.

'I

I

'I U n r b o l -p r debe registrar las r e l ac iones de contencin, de

inc idenc ia y de conexin que e x i s t e n e n t r e regiones a b i e r t a s en 2 D [LASTRA 9 0 1 . E n o t r a s pa l ab ra s , e l rbo l nos debe d e c i r cundo l a regi6ii -acotada por conitornos- inc iuye a o t r a , y cundo una regin se encuentra en e l i n t e r i o r de o t r a . Esta s i tuac i i l l a podemos r ep re sen ta r f i j ando l a s i g u i e n t e r e l ac in para e l r b o l -p r : s i recorremos el rbo l en forma descendiente decimos que un contori-io "aco ta o cont iene a " s u s ' h i j o s , s i recorremos e l rbo l e11 forma ascendente decimos qule una regibn e s t "e11 e l i n t e r i o r " d e l contorno representado por s u nodo "padre" .

11 'I

li

I ii

't

Como un ejemplo, 'Ln l a f i g u r a 3 . 3 - c se preseil ta e l r b o l -p r correspondiente a l a curva de l a f i g u r a 3 . 3 -a . En l a f i g u r a aparece

contorno a b s t r a c t o a l 8; i n f i n i t o y en l s e encuentran coiitenidos todos nues t ros contoriios . Despus s e represen ta u11 nodo I~,la1ii:o (nmero 1) que representa el contorno q u e aco ta a i ' i i i f i i i i t o y U L I ~ en nues t ro ejemplo cont iene todas l a s regiones f i n i t a s . Podemos ver q u e l a s regin acotada por el contorno 6 se encu&trai? e12 el i n t e r i o r de l a regin ',que acotan l o s contornos 4 y 5 .

I

como r a z d e l r b o l -p r 11. un nodo negro, e s t e nodo represen ta e l I . . .

i

I!.

I

I L a 5 regiones en que l a cur-%;a di-vide e l plano son: l a rq1611 i n f i n i t a , acotada por e l contorno 1, 5 regiones acotadas p c ' ~ 8.111

4 0

'I -

3.1.3 Definicin formal del rbol -Pr 1: 'I

I1

Formalizando los conceptos v i s t o s tenemos:. Def in i c in [LASTRA' g o ] . - ~l r b o l -pr de un pseudografo-regin

es un r b o l f i n i t o no & c o y ' c o n una r e l a c i n uno a uno e n t r e los nodos de l r b o l , excepto el nodo r a z , y l o s contornos d e l pseudografo:regin, t a l q u e :

.?> El n i v e l O o nodo ; r a z corresponde a l "contorno" a b s t r a c t o a l i n f i n i t o . I

r ep re sen ta ya sea ' Y con un subrbol de dos n i v e l e s enraizado en

>> Los contornos corhespondientes a n i v e l e s p a r e s se denoiniiian nodos negros y l o s cor respondien tes a n i v e l e s impares, nodos b lancos .

>> Todo nodo blanc;! aco ta p o r si inisino una regin de rea i n f i n i t a y todo nodo negro (excepto l a r a z ) aco ta una regin de rea f i n i t a .

>> Todo coinponen te conexo d e l pseudografo subyacen te se

'11 'I

iI

u n nodo blanco no terminal o p o r un nodo blanco terminal . >> Toda regin d e l pceudografo -regin se represen ta ya sea por UII

subrbol de dos n i v e l e s enraizado en un nodo negro no terjninal o p o r un nodo negro te rmina l .

I1

11 t

Observe que l a ' de f in i c in de un r b o l - p r permite nodos terminales blancos que corresponden ya s e a a puntos a i s l a d o s o a curvas cont inuas que 110 se i n t e r s e c a n consigo mismas, es decir , un nodo blanco termiiial corresponde a l a f r o n t e r a de una regiii i i i f i n i t a cuya cer radura topolgica regula r izada es todo ,el plailo [LASTRA 301 .

11. 1

1

I Regresando a l problema o r i g i n a l : &ida una curva plana de longi tud filii t a , d e s c r i t a For una funcin paraintr ica contiiiiiainence d i f e r e n c i a b l e c : l a , zl I-.> E', d e f i n i r u n a lgor i tmo J...- l a s e s t r u c t u r a s de u t o s correspondientes , para r e p r e s e n t i r la's difere i i t e s reqiciie,? eii l a s q u e l a cu.rIa dada cii-v-ide a E ,

,I

11 2

It

I Para l a solucin se, propone como e s t r u c t ~ u r a d(? da t r i s l a giic soporta a l r b o l - p r (figG1-a 3 . z ~ ) ; quci ana i izaua a d e L o l i c , CL' 1:juedk-

ver que es una extensi611 ,del formato de da tos con base en vector~e:: d e s c r i t o en [SAMET] y ' , e s t soportada por la a r i s t a a lada de Baumgart (BAUMGART] extendida para p e r m i t i r l a z o s .

'I ..

1

Finalmente, un algor i tmo informal para l a s0lwc161~ a e s t e

I problema es: >> Determinar los segmentos en los cuales se subdivide la curva I o r i g i n a l .

>> Const ru i r l a representac l6n topolgica (medias a r i s t a s ) de los I1

contornos en base a l a geometra de los seginentos. >> Const ru i r e l que representa l a topologa de la curva

dada.

I rbolgr ontorno

(geometra - - - > mapeo)

Figura 3.4. 'I Modelo conceptual de la estructura lde datos para el rbol-pr

I!

d e r b o l e s -p r . !I

Un algori tmo formal y las bases para una impleinentaci6n e11

lenguaje C de es te modelo de B -rep se encuentra en [LASTRA 9 0 1 , en donde tambin se p resdh ta , entre o t r o s , e l a lgor i tmo para la u i i i t 1 7

U i i caso p a r t i c u l a r de rbol -p r se t i e n e cuando se xeq~ij -1 !+ L J ~ . I ~ ~ e l rbol r ep resen te , adems de l o s contornos, las r e ~ i c>I-Jc':; I:JII,+ tienen un c i e r t o s e n t i d o para uil disefiador. Por e jemplc~ , e11 J;I f i g u r a 3 . 5 se desea r"epresei1tar que l a super f ic ie achurada fo& p a r t e de u n o b j e t o f i f s i co Y que l a s p a r t e s en I>laiico no t ienen nii-igiin s ign i f i cado eii e s p e c i a l . Esta s i t u a c i n se repIese11t a e11 + I riiol -pr indicando qu'e iiodos representan cciiitornos quo cci:an 1 ..I::, reqiones que se usan ;i que nodos represent.an coi~tornor, que 11,:) :<

I

I 'I,

11 I

usan eii e l pseudoorafo-regin: por coi~veiiciii, se marca coi? u11 O l o s coiitornos que no u s a n y con u n i. l o s c o n t o r ~ ~ o s que si. se:

usan. I

I Figura 3.5. Representacin d e un ncleo t i p o acora raao para transformador monofsico

I esto s e r ep resen ta , para nues t ro ejemplo, como:

Figura 3 . 6, . hrI: acora:ado p;

I/

I - p r marcado d e un a transformador m o

C l e o ' s i co

y se formaliza a s i : !I Def i i i iciii : U n rbol -pr marcado es u n rbol -pr que tiene

ilircados sus nodos coino sigue: l a r a z e s t inai-cada NO USADA J.' todos los otros nodos soil inarcados ISADOS CI hG USADOS, adeinss todi: 11odn blanco est inar-cado igual que su pai-e negro.

' t

ill 1 #I

3.2 Y ARBOL-CR i

L o ms important& de los conceptos pa ra [JDS dimensiones del ~1-1~5'1 - p r es que sei- extendi CIC~S a tres dime-iicioi-,es ,:le i.ii~ri inaiiera n a t u r a l .

4:

I En el a n l i s i s i i l tu i t i i o de l a secc in 3 .1.1, calnbialldo la cur-ga ab ie r t a ( r e c t a ) po:r una s u p e r f i c i e tambin a b i e r t a , t a l Como se muestra en l a f i g u r a 3 . 7 - a , s e observa que e s t a l t ima Puede ser '11

por medio de dos " lados de c a r a " . Toda s u p e r f i c i e orilentablo I) acepta dos pos ib le s o r i e n t a c i o n e s ,

en i ~ u e s t r o caso , l a o r i e n t a c i n de una c a r a s e de f ine mediante su

ilorinai, s t a t i e n e una 'd i recc in nica para cada puilto sobre l a s u p e r f i c i e ; l a o r i e n t a c i n de los lados de cara s e de f ine p o r . l a d i recc in en que s e encuentra l a regin que acotan. Note que uno de l o s lados de ca ra respeea l a o r i e n t a c i n de l a s u p e r f i c i e y e l o t r o no. Por ejemplo, en e l &aso de un plano i n f i n i t o (por s impl ic idad)

:y Ii 'I

un lado de Cara aco ta La 1

opuesta a l a normal de 1 l a s u p e r f i c i e . regin hac ia donde apunta l a normal y e l

o t r o 1:ado de ca ra acot'a l a regin que s e encuentra en d i r ecc in

11 Cambiando l a curva cer rada en 2D por una s u p e r f i c i e cer rada y o r i e n t a b l e (por s impl ic idad una e s f e r a ) , s e t i e n e que s t a d iv ide e l espacio Euclidean0 en dos reg iones , una acotada por e l lado de ca ra i n t e r i o r ( f i i q i t a ) y . o t r a acotada por e l lado de ca ra

por mas de uiia ca ra (por ejemplo un c u b o ) , l o a n t e r i o r es v l i d o ; e s d e c i r , e x i s t e n dos Conjuntos cer rados y or ien tados de lados de cara que acotan l a reg.in f i n i t a y l a regin i n f i n i t a . d e l s l i d o que s e e s t representaildo ( f i g u r a 3 . 7 -b) .

I). 3

e x t e r i o r ( i n f i n i t a ) . A u n 'I cuando l a s u p e r f i c i e cerrada e s t de f in ida I

I

'Ir

En e s t e modelo de r ep resen tac in , a l conjunto cerrado y or ien tado de lados d e l c a r a que acotan una regin ( f i n i t a o i n f i - n i t a ) s e l e conoce como cascarn orientado; un hipergrafo-3D es la representac in de regibnes t r id imens iona les mediante cascarones ; y un rbol -c r es e l rbol que representa l a s re lac iones topolgicas de un hipergrafo -3D. 1

11 I

!I La construccin d e l r b o l -c r e s anloga a l a de un r b o l -p r , y en e l l a s e r e g i s t r a n ahora l a s r e l ac iones de contencin y de conexin que ex i ten "elltre regiones en 3D. La allalogia ei i t r? r i A r i m l - p r y e l r b o l -c r s e mani f ies ta an m a s en los dos incise':; s i g u i e n t e s .

'I

!r

4 4

.

3.2.1 Propiedades de. I un b.ipergraf0- 3D La:; propiedades de u11 h ipe rg ra fo - 3 D son anlogas a l a s 'de u11

.pseudourafo- regjn , a ~

-

~ ;qda cara referenc5a a una s u p e r f i c i e paramtrica de extensi611 Ciilita como s u r e a l i z a c i n eii e l espacio Euclideano. Las regiones en llas que l a r e a l i z a c i n de l hipergrafo -3D pairticiona a l esiiacio s e representan por s u s f roii teras or ientadas. que se denominan cascarones or ien tados . Siempre