Movimiento Curvilíneo

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Movimiento CurvilíneoSe dice que una partícula tiene un

movimiento curvilíneo cuando su trayectoria descrita es una línea curva.

Objetivos1.- Describir el

movimiento de una partícula que viaja a lo largo de una trayectoria curva.

2.- Expresar las cantidades cinemáticas en coordenadas rectangulares, componentes normal y tangencial, así como radical y transversal.

A continuación se describen algunos factores que componen el movimiento curvilíneo

Vector PosiciónEs aquel vector dirigido desde el

origen de un sistema coordenado hacia el punto de ubicación instantánea P. se representa por r = r (t).

Vector DesplazamientoSupongamos ahora que la partícula se

mueve durante un pequeño intervalo de tiempo ∆t hasta el punto P’, entonces su posición será r’ (t + ∆). El desplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y se expresa:

Velocidad MediaCuando la partícula se mueve de P a

P’ experimenta un desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t.

La velocidad media se define como el vector que tiene la misma dirección que es desplazamiento es decir es secante a la curva.

Velocidad instantáneaSi el intervalo de tiempo se hace cada vez mas pequeño (∆t 0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea.

Es decir:

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria.

Aceleración Media

En la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es decir,

La aceleración media es un vector paralelo a ∆v y también depende de la duración del intervalo de tiempo.

Aceleración Instantánea

Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo cada vez mas y mas pequeños los intervalos de tiempo.

La aceleración instantánea es un vector que tiene misma dirección que el cambio instantáneo de la velocidad, es decir, apunta hacia la concavidad de la curva.

PROBLEMA 11.7

Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m con una velocidad inicial de 180 m/s a un ángulo de 30° con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre:

a) la distancia horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el suelo,

b) la elevación máxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.

SOLUCIÓN Los movimientos vertical y

horizontal se considerarán por separado.

Movimiento vertical. Movimiento uniformemente acelerado. Eligiendo el sentido positivo del eje y hacia arriba y situando el origen O en el cañón, se tiene:

Al sustituir en la ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado , se tiene:

Movimiento horizontal. Movimiento uniforme. Al elegir el sentido positivo del eje “x” hacia la derecha, se tiene:

Al sustituir en las ecuaciones del movimiento uniforme, se obtiene:

A) Distancia horizontal. Cuando el proyectil choca con el suelo, se tiene

Al sustituir este valor en la ecuación (2) para el movimiento vertical, se escribe

Si se sustituye t=19.91 s en la ec. (4) para el movimiento horizontal, se encuentra

B) Elevación máxima. Cuando el proyectil alcanza su máxima elevación, se tiene que Vy=0; al considerar este valor en la ec. (3) para el movimiento vertical, se escribe

Máxima elevación sobre el suelo=

Problema 11.9

El automóvil A viaja hacia el este con una rapidez constante de 36 km/h. cuando el automóvil A cruz la intersección que se muestra, el automóvil B parte del reposo desde una distancia de 35 m al norte de la intersección y se mueve hacia el sur con una aceleración constante de 1.2 m/s². Determine la posición, velocidad y aceleración de B relativa a A 5 s después de que A cruza la intersección.

SoluciónSe eligen los ejes x y y con el origen en la intersección de las dos calles y con los sentidos positivos dirigidos respectivamente al este y al norte

Movimiento del automóvil A. Se expresa primero la rapidez en m/s.

Al notar que el movimiento de A es uniforme, se escribe, para cualquier tiempo t,

Para t = 5 s, se tiene

Movimiento del automóvil B. El movimiento de B es uniformemente acelerado y se escribe.

Para t = 5 s, se tiene

Movimiento de B relativo a A. Se dibuja el triángulo que corresponde a la ecuación vectorial rB = rA + rB/A y se obtiene la magnitud de dirección del vector de posición de B relativo a A.

Al proceder de manera similar, se encuentra la velocidad y la aceleracion de B relativa a A.

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