Movimiento Curvilíneo
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Movimiento de una recta• Supongamos un segmento de recta AB
que se mueve en el espacio desde AB hasta AB’ en un tiempo t:
dtd
t
táneainsangularVelocidad
t 0lim
tan
A B
B’t
P
tmediaangularvelocidad
MOVIMIENTO DE UNA RECTA
• Considerando que la partícula posee una velocidad angular inicial 0, la cual varía hasta una cantidad final f , en un tiempo t, entonces se define:
• Para el punto P:
tmediaangularnaceleració
dtd
t
táneainsangularnaceleració
t 0lim
tan
A B
B’t
P
0
f
• Para el movimiento curvilíneo:
• Como:
0
0
0 0
0 0
t
t
MCUVctesitdtd
MCUctesitdtd
200 2
1 tttdtd
220
2
0 0
luego
dddtdtdd
dtddtd
dtd
ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL
• Consideremos el movimiento de una partícula describiendo un movimiento curvilíneo:
C
A’
v
A
d
ρ
en eT
i
j
x
y
aT
aN
a
En A la partícula posee un velocidad v y una aceleración a, la cual puede ser descompuesta en una componente tangencial y otra perpendicular al movimiento.Desde A hasta A’ barrió un ángulo d, cuyo radio de curvatura es , siendo su centro de curvatura C
• La velocidad puede ser expresada como:
normalnaceleraciódted
v
gencialnaceleracióedtvdDonde
dted
vedtvdaLuego
dted
vedtvdev
dtd
dtvdaPero
evv
T
T
TT
TTT
T
tan:
eTeN
jisenejseniefiguralaDe
NT cos;cos
:
NT
NT
NTT
evedtdva
tambiénoedtdve
dtdva
edtd
dted
dtdjisen
dted
resiónprimeralarivandoDe
:
cos
:exp
NT
NT
evedtdva
evvedtdva
Luego
vdtdv
dtds
dsd
dtdPero
dsddds
AyAentreocomprendidarcoaldsLlamemos
2
1
1'
MOVIMIENTO CIRCULAR
• Consideremos una partícula moviéndose alrededor de un círculo.
rxv
RvsenrRperosenrv
δ r
R
ω
xy
z
O
A
S
Cθ
v
Período (T): Tiempo requerido para completar una vuelta o ciclo.
Frecuencia (f): Número de ciclos por unidad de tiempo. Se mide en seg-1 ó Hertz.
Para una revolución completa (2π): t=T, θ= 2π entonces:
fT
fperott
2
1,2
Para la aceleración tangencial
Rva
RadtdRR
dtd
dtdva
N
T
T
2
Para el movimiento circular uniforme:
RRvx
vxdtrdx
dtvd
rxvperocte
2
,
Puesto que:
Rayaluegodtdcte
NT20
0,
VELOCIDAD RADIAL Y TRANSVERSAL
Vr
V
Vθ
uruθ
r
θθ
A
x
y
jisenu
jseniu
urr
r
r
�
cos
cos
jisenuperodtdjisen
dtdj
dtdisen
dtud r
cos:cos
cos
udtdru
dtdrv
dtudr
dtdru
dturd
dtrdv
r
rr
r
�
dtdrvltransversavelocidad
dtdrvradialvelocidad
Donde
r
:
:
:
MOVIMIENTO PARABÓLICO
θ
vvy
vx hmáxvy v
vx
v0
v0x
v0y
Y
X
Eje x: MRU (v=cte)Eje y: MRUV
senvvvv
y
x
00
00 cos
cos0
00
vvx
gtsenvgtvv yy
20
20
000
21
21
coscos
tgtsenvtgtvy
vxttvtvx
y
x
gsenv
y
gsenv
ggsenv
senvy
gsenv
tttCuando
máx
máx
máxmáx
2
21
220
200
0
0
horizontalAlcancegsenv
x
gsenvx
vxgtgx
vxg
vxsenv
yendoreemplazanv
xtxDe
2
cos2cos2
,cos2
1,cos
0
0,cos
,
20
2022
0
2
2
000
0
)(45 máximoalcanceRxCuando
• Ejemp:• 1.-Una línea gira en un plano vertical de
acuerdo a la ley:La línea está rotando en sentido horario cuando t=1 s. Determinar la aceleración angular cuando t=2s y el valor de t cuando ω=0.
• α= ? t = 2s
22 23 tt
22 23 tt
tt 43 2
46 t
2/84)2(6)2( segrad
043 2 tt
st34
• 2.-Las coordenadas de un cuerpo en movimiento son x=t2, y=(t-1)2. a) Encontrar la ecuación cartesiana de la trayectoria; b)Representa la trayectoria; c) ¿Cuándo se tiene la velocidad mínima; d) Encontrar las coordenadas cuando la velocidad es 10 pies/seg, e) Calcular las aceleraciones tangencial y normal en cualquier instante.
1...212 xttx
2...)1()1( 212 ytty
3...1)(
2...)1(
:21
21
21
21
21
yx
yx
enDe
t x y0 0 11 1 02 4 13 9 4-1 1 4-2 4 9½ ¼ ¼
X
y
• c) Velocidad mínima• a=0 → 0
dtdv
)1(22 tvtv yx
2
12
222122
1222
12144
ttv
ttttv
024122)2(21
01222
212
212
ttt
ttdtd
dtdv
st21
• d)Coordenadas cuando v= 10 pies
01202422
2512210122222
2212
tttt
ttttv
sttt
40)3()4(
• e)Aceleración tangencial y normal en cualquier instante.
212
212
122
)12(2122
24
tt
ta
tt
tdtdva
T
T
)(16 2txpiesx
))1((9 2 typiesy
• Como 22222TNNT aaaaaa
8
)2()2(
2
222
2
22
2
22
a
dtyd
dtxda
2
212
22
122
)12(28
tt
taN
22
/122
2 spiestt
aN
• 3.-Un volante cuyo diámetro es de 8 pies tiene una velocidad angular que disminuye uniformemente de 100 rpm en t=0, hasta detenerse cuando t=4s. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de un punto situado sobre el borde del volante cuando t= 2s.
??;4;0
1004
0
nt aast
rpmpiesr
2
0
/6
560
22525
41000
srad
sradxrpm
rpmt
raT
2/3
10 smaT
rrvaN
22
srad
t
/3
5)2(
265
310)2(
0
• 4.- La resistencia de u freno se aplica a un volante que efectúa 180 rpm. Si el volante gira 30 revoluciones antes de detenerse, encontrar su aceleración angular (que se supone cte.), y el tiempo en el que se verifica la pérdida de velocidad.
radradxsrad
sxrpm
60230/6
602180180
0
0
??
t
radradxsrad
sxrpm
60230/6
602180180
0
0
dd
dtddtd
dtd
;
st
t
t
20
0
0
2
2220
2
20
2
/103
)60(260
2
2
srad