MOVIMIENTO DE UN PUNTO MATERIAL

IntroducciónLa cinemática estudia la relación entre la distancia, tiempo velocidad y aceleración.

Los conceptos fundamentales están relacionados con el concepto de partícula que es una parte de un cuerpo cuyas dimensiones son insignificantes comparadas con la amplitud de su movimiento.

Estudiaremos los movimientos de traslación, rotación y de movimiento de un plano.

Adición y sustracción de vectoresEn el estudio del movimiento de un punto material en función de las cantidades vectoriales, desplazamiento, velocidad y aceleración, intervienen la adición y sustracción de vectores.

Por la ley de paralelogramos la suma de 2 vectores es la diagonal del paralelogramo formado por los vectores sumandos y la otra diagonal es la resta.

Clases de movimientoSe llama movimiento rectilíneo el de un punto material a lo largo de una línea recta. Si la trayectoria es curva recibe el nombre de movimiento curvilíneo.

Cuando el punto recorre distancias iguales en tiempos iguales se llama movimiento uniforme.

Si recorre distancias diferentes en el mismo tiempo se llama movimiento variado.

Desplazamiento linealEl desplazamiento lineal de un punto en movimiento se define como el cambio de posición.

El desplazamiento puede ser expresado por medio de la variación de las coordenadas, siendo el desplazamiento

Δr=√∆ x2+∆ y2

También puede ser expresado por la diferencia vectorial de las dos posiciones del punto móvil

Δr= rf-ri

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Desviación angularLa desviación angular es la variación que experimenta el ángulo que forma la recta con cualquier eje fijo

La desviación angular se puede calcular de la siguiente manera

Δα=αf-αi

Relación entre el desplazamiento lineal y la desviación angularCuando un punto se, mueve alrededor de un punto en una trayectoria circular de radio r, el desplazamiento lineal dc que corresponde a una desviación angular dθ. Puesto que el arco del círculo es el producto del ángulo por el radio, tenemos

ds = r.dθ

Para una desviación angular grande Δθ el desplazamiento lineal correspondiente ya no será Δs=r. Δθ pero Δs se expresara por r.Δθ.

Velocidad lineal y velocidadSe denomina velocidad lineal de un punto a la razón entre su desplazamiento lineal y el tiempo empleado en recorrerlo. La dirección de la velocidad en un punto de su trayectoria es la tangente a dicho punto.

La intensidad del vector velocidad se llama simplemente velocidad y es escalar, puede considerarse como la relación entre la distancia recorrida y el tiempo

Hay que destacar que la velocidad en movimientos uniformes ya sean rectilíneos o curvilíneos es constante y está dada por la expresión:

v = ΔsΔt

Pero la velocidad lineal solo es constante en el movimiento uniforme rectilíneo ya que en el curvilíneo varia su dirección constantemente.

La velocidad en un instante determinado es:

v = dsdt

Si se conoce v en función de t, el desplazamiento Δs en un tiempo cualquiera t2-t1, puede hallarse integrando la ecuación anterior

Δs = ʃv.dt

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Velocidad angularLa velocidad angular es la relación entre la desviación angular y el tiempo.

Si se producen desviaciones angulares en tiempos iguales se dice que el movimiento es uniforme y la velocidad angular w se expresa por

ω = ΔθΔt

Si tienen lugar desplazamientos desiguales en tiempos iguales se dice que el movimiento es variado y la velocidad media es expresada por

ω¿ dθdt

Relación entre las velocidades angular y linealSi un punto se mueve sobre una trayectoria circular la relación entre sus velocidades angular y lineal se pone en evidencia ya que por definición

v = dsdt y ω¿ dθ

dt

A su vez tenemos

ds = r.dθ

Tenemos

v=r .dθdt

= r.ω

Componentes de la velocidadA menudo es conveniente expresar la velocidad en sus componentes ya sean las componentes axiales (vx y vy) paralelas a los ejes X y Y o las componentes radial y transversal (vR y vT) paralela y perpendicular al radio vector.

Movimiento rectilíneo uniformemente aceleradoLas relaciones entre la distancia, tiempo, velocidad y aceleración para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado son:

a = ΔvΔt

= vf−vit

vf = vi+a.t

s = vi.t+12

a.t2

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vf2 =vi

2+ 2.a.s

Movimiento armónico simpleUn caso especial de movimiento rectilíneo con aceleración variable es el movimiento armónico simple.

Muchos de los movimientos vibratorios en los problemas de ingeniería pueden considerarse sin grave error como movimiento armónicos simples.

Si un punto se mueve con una velocidad constante sobre una trayectoria circular el movimiento de la proyección del punto sobre un diámetro del círculo es un movimiento armónico simple.

Tenemos que θ= ω.t y x=r.Cosθ = r.Cos ωt

v = dxdt = -ω r Sen θ

a = d2 xd t 2

= -ω2 r Cosθ

Además se tiene que

T = 2πω y f =

ω2π

Los valores máximos de la velocidad v es cuando el punto pasa por el eje de equilibrio, y la aceleración es cero, esto es cuando θ=90º; y el valor máximo de la aceleración a, es cuando el punto esta al extremo del movimiento en este punto la velocidad v es igual a cero, esto es cuando θ=0º.

Aceleración en el movimiento curvilíneo. Componentes tangencial y normal de la aceleración.Cuando el punto se mueve con una velocidad variable tanto en dirección como en magnitud, la aceleración está definida como

a = limΔt→0

ΔvΔt

En este caso el vector Δv, tendrá dos componentes: una que define el cambio de dirección de la velocidad y otra que define el cambio de magnitud de la velocidad

Análogamente a estas componentes se tienen 2 aceleraciones componentes que son:

an y at

Donde an es la aceleración normal y su magnitud es

an = vω= v2

r

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y es la aceleración que produce un cambio de dirección en la velocidad y su dirección es perpendicular a la velocidad en cualquier instante

y at es la aceleración tangencial y su magnitud es

at= dvdt

=d2 sd t 2

y es la aceleración que produce un cambio de magnitud de la velocidad y su dirección es paralela a la velocidad en cualquier instante

Aceleración angularLa aceleración angular es la rapidez con que varía la velocidad angular.

Si la velocidad angular ω varia uniformemente la aceleración se expresa por

α=ΔωΔt

Si la velocidad angular no varía uniformemente, la aceleración en un instante cualquiera es la aceleración media durante ese instante de tiempo y se expresa por:

α=dωdt

=d2θd t2

Movimiento circular uniformemente aceleradoAnálogamente a las deducciones del punto 1, se tienen las siguientes ecuaciones

ωf = ωi+α.t

θ = ωi.t+12

α.t2

ωf2 =ωi

2+ 2. α. θ

Relación entre las aceleraciones angular y lineal

Se conoce que at=dvdt

y tambien se conoce que v=r.ω entonces tendríamos que at=rdωdt

Finalmente tenemos que at=r .α

Si el punto no se mueve sobre una trayectoria circular la ecuación también es válida siempre que r sea el radio de curvatura en la posición del punto y que α sea la aceleración angular del punto con respecto al centro de curvatura.

También conocemos que la aceleración normal an = vω y que v=r.ω entonces tenemos

an = r.ω2

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Componentes axiales de la aceleraciónSi bien se conocen las componentes normal y tangencial de la aceleración, a veces es más conveniente expresar la aceleración en base a sus componentes axiales ax y ay paralelas a los ejes coordenados X y Y que serán proporcionales a los cambios de velocidades en X y Y, esto es:

ax= d vxdt

=d2 xd t 2

ay= d v ydt

=d2 yd t2

Movimiento relativoEn los puntos anteriores se describió el movimiento de un punto de referencia con respecto a un punto fijo, o ejes fijos, pero en la práctica todo está en movimiento aunque es conveniente considerar a veces la tierra como fija.

Llamaremos movimiento absoluto al movimiento de un cuerpo con respecto a un punto de la tierra

Y se llamara movimiento relativo al movimiento de un punto con respecto a otro punto que se mueve con respecto a un punto de la tierra.

Al estudiar el movimiento de 2 puntos móviles, se necesita conocer el movimiento e uno con respecto al otro. La relación entre los movimientos absolutos y relativos de des puntos materiales A y B puede expresarse por los siguientes teoremas:

I. El desplazamiento absoluto, la velocidad o la aceleración absolutas de A es la suma geométrica o vectorial del desplazamiento relativo, de la velocidad o la aceleración relativas, respectivamente, de A con respecto a B y el desplazamiento absoluto, la velocidad o la aceleración relativas respectivamente de B

II. El desplazamiento, la velocidad o la aceleración relativos de A con respecto a B es el vector diferencia del desplazamiento, la velocidad o la aceleración absolutos, respectivamente de A y del desplazamiento, la velocidad o la aceleración absolutos, respectivamente de B

Estos teoremas se pueden expresar por las ecuaciones vectoriales

- sA= sA/B+sB o sea sA/B=sA-sB - vA= vA/B+vB o sea vA/B=vA-vB - aA= aA/B+aB o sea aA/B=aA-sB

donde sA es el desplazamiento absoluto de A, sB es el desplazamiento absoluto de B y sA/B

es el desplazamiento relativo de A con respecto a B; análogamente para las velocidades y aceleraciones.

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MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS RIGIDOS

Introducción En los problemas que plantea la ingeniería en general se tiene que estudiar el movimiento de los cuerpos y no de los puntos materiales ya que los diversos puntos de un cuerpo tienen movimientos diferentes, las ecuaciones que estudiamos tratando un punto material no pueden ayudar a entender el movimiento de un cuerpo, Los movimiento que estudiaremos son la traslación, rotación y el movimiento en un plano

TraslaciónLa traslación de un cuerpo rígido es un movimiento tal que ninguna línea recta situada en el cuerpo cambia de dirección, o sea que cada línea permanece paralela a su posición inicial.

Por consiguiente todos los puntos del cuerpo se mueven siguiendo trayectorias paralelas y tienen en cualquier instante la misma velocidad, aceleración.

Si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria curva el movimiento recibe el nombre de Traslación Curvilínea, y si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria recta el movimiento recibe el nombre de Traslación Rectilínea.

Ya que todos los puntos tienen el mismo desplazamiento en un intervalo cualquiera, y la misma velocidad y aceleración en un mismo instante, el desplazamiento, velocidad y aceleración del cuerpo están definidos por el desplazamiento, velocidad y aceleración de cualquiera de sus puntos. Entonces se tienen los movimientos del capítulo anterior y se pueden aplicar las mismas ecuaciones.

RotaciónLa rotación de un cuerpo rígido es un movimiento tal que una línea situada en el cuerpo(o fuera del cuerpo pero unida) permanece fija mientras todos los puntos fuera de la línea describen trayectorias circulares alrededor de la línea fija.

Esta línea fija recibe el nombre de eje de rotación, y el plano en que se mueve el centro de masa del cuerpo recibe el nombre de plano de movimiento. El punto de intersección entre el eje de rotación y el plano de movimiento se denomina centro de rotación.

Los desplazamiento, velocidades y aceleraciones angulares son idénticas para cualquier punto. Por consiguiente el movimiento de un cuerpo rígido que gira puede describirse por el movimiento angular, alrededor del eje de rotación.

Movimiento en un planoEl movimiento en un plano de un cuerpo rígido es un movimiento tal que cada punto del cuerpo permanece a una distancia constante de un plano fijo. El plano en el que se mueve el centro de masa del cuerpo es denominado plano de movimiento.

Una rotación pura es siempre un caso especial de movimiento en un plano, y la traslación puede o no ser un movimiento en un plano.

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El movimiento en un plano de un cuerpo rígido en un instante cualquiera es una combinación de

Una rotación pura del cuerpo alrededor de un eje perpendicular al plano de movimiento que pase por un punto cualquiera B situado en el cuerpo, con una velocidad y una aceleración angulares iguales a las que el cuerpo tiene en ese instante.

Una traslación del cuerpo que da a cada punto la misma velocidad lineal y la misma aceleración que el punto B tiene en el instante.

El punto B se denomina punto base.

Centro instantáneo En el punto anterior vimos que el movimiento en un plano puede considerarse en cualquier instante como una rotación alrededor de un eje que pase por cualquier punto del cuerpo combinada con una traslación.

Pero si escogemos un eje especial en el cuerpo, el movimiento del cuerpo en un instante cualquiera se convierte en una rotación solamente.

Este eje recibe el nombre de eje instantáneo de rotación o centro instantáneo de velocidad cero.

Este eje se halla uniendo las perpendiculares a las direcciones de los vectores velocidad de 2 puntos cualesquiera.

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ContenidoMOVIMIENTO DE UN PUNTO MATERIAL......................................................................................1

Introducción.............................................................................................................................1

Adición y sustracción de vectores............................................................................................1

Clases de movimiento..............................................................................................................1

Desplazamiento lineal..............................................................................................................1

Desviación angular...................................................................................................................2

Relación entre el desplazamiento lineal y la desviación angular..............................................2

Velocidad lineal y velocidad.....................................................................................................2

Velocidad angular.....................................................................................................................3

Relación entre las velocidades angular y lineal........................................................................3

Componentes de la velocidad..................................................................................................3

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado...................................................................3

Movimiento armónico simple..................................................................................................4

Aceleración en el movimiento curvilíneo. Componentes tangencial y normal de la aceleración...............................................................................................................................4

Aceleracion angular..................................................................................................................5

Movimiento circular uniformemente acelerado......................................................................5

Relación entre las aceleraciones angular y lineal.....................................................................5

Componentes axiales de la aceleracion....................................................................................5

Movimiento relativo.................................................................................................................6

MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS RIGIDOS....................................................................................6

Introduccion.............................................................................................................................6

Traslacion.................................................................................................................................7

Rotacion...................................................................................................................................7

Movimiento en un plano..........................................................................................................7

Centro instantáneo..................................................................................................................8

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO

ABAD DEL CUSCO

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE

INGENIERÍA CIVIL

DINAMICA ESTRUCTURAL

REALIZADO POR:

APELLIDOS Y NOMBRE CÓDIGOMIJAIL LICONA ROCA 081094

DOCENTE: ING. JOSE FELIPE ASPILCUETA

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CUSCO

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