Movimiento elíptico Movimiento circular CM - aero.upm.es · particular de coordenadas en las que...
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1 CM CM El problema de los dos cuerpos. Kepler Movimiento elíptico Movimiento circular
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CM
CM
El problema de los dos cuerpos. Kepler
Movimiento elíptico Movimiento circular
2
Ejercicio
Obtened las ecuaciones de Lagrange y una ley de conservación para el
problema restringído circular y plano de los tres cuerpos.
2 1 21 1
1 2
GM MM R
R R
2
2 2 ,M R
1 1 2 2 ,M R M R
2
1
,M
M 1
3 2
2
,(1 )
GM
R
2 2 1 212
1 2
( ), ,GmM GmM
T m x y U
y
CM
1R
2R
1M
2M
x
t1 2,M M m
1
2
L T U
2 2
1 1 1( cos ) ( sin ) ,x R t y R t
2 2
2 2 2( cos ) ( sin ) ,x R t y R t
yx
3
Ejercicio:
Obtened las ecuaciones de Lagrange y una ley de conservación para el
problema restringído circular y plano de los tres cuerpos.
y
CM
1R
2R
1M
2M
x
t1 2,M M m
1
2
2 2 2 2
1 1 2 2( ) , ( ) ,x R y x R y
yx
cos sin ,
' cos sin ,
x x t y t
y y t x t
2 2 1 212
1 2
( ) ,GmM GmM
L m x y
2 2 2 2 2 2 21 12 2
( ) 2 ( ) ( ) ,m x y m x y xy yx x y
2 2 2 2 2 1 21 12 2
1 2
( ) ( ) ( ) ,GmM GmM
L m x y m xy yx m x y
0, ( , , , ) .L L L
E x x y y x y L constt x y
2 2 2 2 2 1 21 12 2
1 2
( ) ( ) ,GmM GmM
E m x y m x y
, ,q x yPartícula de masa m:
4
Ejercicio:
Obtened las ecuaciones de Lagrange y una ley de conservación para el
problema restringído circular y plano de los tres cuerpos.
1R2R
1M2M
m
12
y
x
2 2 2 2 2 1 21 12 2
1 2
( ) ( ) ( ) ,GmM GmM
L m x y m xy yx m x y
2 2 2 2
1 1 2 2( ) , ( ) ,x R y x R y
0, 0,d L L d L L
dt x x dt y y
21 2
2 2 3/2 2 2 3/2
1 2
2
2 2 3/2 2 2 3/2
1 2
1 2
1 2
( ) ( )2
(( ) ) (( ) )
2(( ) )
,
( ) ),
(
M Mx
M My
R x R xx G y
R x y R x y
y yy G x
R x y R x y
4Ly
x
5
Puntos de equilibrio de la masa m (se analizaran más adelante):
5 posiciones: L1, L2, L3, L4, L5
1M2M
5L
2L3L
1L
El punto L1 del sistema Sol-Tierra es ideal para hacer observaciones del Sol. Los objetos
aquí situados nunca son eclipsados por la Tierra o la Luna. El Observatorio Solar SOHO
se estaciona en L1, y el Advanced Composition Explorer (ACE) está en una órbita
Lissajous alrededor también del punto L1. El punto L1 del sistema Tierra-Luna permite un
acceso fácil a la órbita lunar y sería ideal para una estación espacial tripulada a medio
camino pensada para ayudar al transporte hacia y desde la Luna.
El punto L2 está más allá de la más pequeña de las masas. En él la atracción gravitatoria
de los dos cuerpos mayores compensa la fuerza centrífuga. El punto L2 del sistema Sol-
Tierra es un buen punto para los observatorios espaciales, porque un objeto en L2
mantendrá la misma orientación con respecto al Sol y la Tierra. El Wilkinson Microwave
Anisotropy Probe (WMAP), así como el Observatorio Espacial Herschel ya están en órbita
alrededor del punto L2, del sistema Sol-Tierra. El futuro Telescopio Espacial James Webb,
también se situará en el punto L2 del sistema Sol-Tierra. El punto L2 del sistema Tierra-
Luna sería una buena localización para un satélite de comunicaciones que cubriera la cara
oculta de la Luna.
El punto L3 está más allá de la mayor de las dos masas. El punto L3 en el sistema de
Sol–Tierra está en el lado opuesto del Sol, un poco más cerca del Sol que la propia
Tierra. El punto L3 en el sistema de Sol–Tierra fue un lugar popular utilizado para ubicar
una "Contra-Tierra", en libros de ciencia ficción o en comics. En la realidad el L3 del
sistema Sol-Tierra es muy inestable, pues las fuerzas gravitatorias de los demás
planetas pueden llegar a superar a la de la Tierra, (Venus, por ejemplo, pasa a 0.3 AU
de L3 cada 20 meses).
Los puntos L4 y L5 están en los vértices de triángulos equiláteros cuya base
común es la recta que une las dos masas, de forma que el punto L4 precede al
cuerpo pequeño un ángulo de 60º visto desde la masa grande, mientras que L5
gira detrás del cuerpo pequeño, aunque con radio mayor que éste, con un retraso
de 60º visto a su vez desde el cuerpo grande. Estos puntos, así como el cuerpo
menor de masa M1, no giran sobre el cuerpo grande, sino sobre el CM de ambos
cuerpos.
L4 y L5 son llamados a veces «puntos triangulares de Lagrange» o «puntos
troyanos».
Ejemplos:
Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Tierra sólo contienen polvo
interplanetario y el asteroide troyano terrestre 2010 TK7.
Los puntos L4 y L5 del sistema Tierra-Luna contienen polvo
interplanetario, las llamadas nubes de Kordylewski.
Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter están ocupados por los
asteroides troyanos.
Neptuno tiene objetos Troyanos del Cinturón de Kuiper en sus puntos L4
y L5.
La luna de Saturno Tetis tiene dos satélite más pequeños en sus puntos
L4 y L5, de nombre Telesto y Calipso, respectivamente.
La luna de Saturno Dione tiene lunas menores, Helena y Pollux, en sus
puntos L4 y L5, respectivamente.
6
P6) Sea la lagrangiana de un sistema lagrangiano
de tres grados de libertad. Se introduce en el sistema las dos ligaduras no
holónomas y
Es correcta la siguiente ecuación:
A) 2
1 2 1
1 1
( )d L L
q qdt q q
B) 2
1 2 1 3
2 2
( )d L L
q qdt q q
C) 1 2
3 3
d L L
dt q q
D) 1 2
3 3
d L L
dt q q
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
1 2 3 1 2 3( , , , , , )L q q q q q q
2 2
2 1 1 2 1 3 3( ) ( ) 1 0q q q q q q q 2
1 2 2 3( ) 1 0.q q q q
7
P7) Sea la lagrangiana de un sistema lagrangiano
de tres grados de libertad. Se introduce en el sistema las dos ligaduras no
holónomas y
Si es la función de “energía” , es correcta la siguiente igualdad:
A)
B) es una constante del movimiento E
C) 2 1
dE
dt
D) 3
1
j
j j
LE q
q
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
1 2 3 1 2 3( , , , , , )L q q q q q q
2 2
2 1 1 2 1 3 3( ) ( ) 1 0q q q q q q q 2
1 2 2 3( ) 1 0.q q q q ( , )E q q
2 2 2 2 2 21 11 2 3 1 2 32 2
( ) ( )E q q q q q q
8
Eliminación de variables cíclicas. Función de Routh:
Supongamos un sistema lagrangiano de dos grados de libertad:
1 1
1 1 2
22
2 2
0,
( , , , ), 0,
0, ,
d L L
dt q qLL q q q t
d L Lqp const
dt q q
2 2 2 1 1( , , , )q q p q q t
1 1 2 2 2( , , , ) ,R q q p t L q p 2 2( ),dR dL d q p
1 1 2
1 1 2
1 1 2 2 2 2 2
1 1 2
1 1 2 2
1 1
R R R Rdq dq dp dt
q q p t
L L L Ldq dq dq dt q dp p dq
q q q t
L Ldq dq p dq
q q
2 2 2 2
Ldt q dp p dq
t
1 1 2 2
1 1
,L L L
dq dq q dp dtq q t
1 1 2 1 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
, , , ,
1 1, , , ,
1 1, , , ,
2
2 , ,
,
,
,
,
q q p q q q
q p t q q t
q p t q q t
q q t
R L
t t
R L
q q
R L
q q
Rq
p
9
Eliminación de variables cíclicas. Función de Routh:
1 1
0,d R R
dt q q
1 1 1
1
( , , , , , , , , , ) ,n
s s s n j j
j s
R q q q q p p t L q p
,
1, , .
j
j
Lp const
q
j s n
La extensión a un sistema lagrangiano de n grados de libertad y n-s variables
cíclicas es trivial:
1 1 2( , , , , , , ),s nL q q q q q t
0,
1, ,
j j
d R R
dt q q
j s
1 1( , , , , , )j s s nq q q p p t
10
x
y
3z x
z
x
z
y
cos ; .U Mgz Mg L T U
2 2 2 21 11 32 2( sin ) ( cos ) ,T I I
g
1 Ejemplo
Obtened la función de Routh de la peonza simétrica a partir de su
lagrangiana.
A
1x x
2x y
2
1 30, sin ( cos )cos , (1)L
cte p I I
30, ( cos ), (2)L L
cte p I
1 1
3 1
2 2 21 1 1 112 2,
2 21 1 12
cot csc csc
cos ( cot ),
I I
I I
R L p p I p p p
Mg p
2
1 3 3
1 3
2
1
( cot ) cot csc,
csc ( cos ),
p I I I p p
I I
p p
I
De (1) y (2)
Nacimiento
23 de marzo de 1882
Erlangen, Baviera,
Alemania
Fallecimiento
14 de abril de 1935
Bryn Mawr,
Pensilvania, Estados
Unidos
Nacionalidad
Alemana (1882–
1933)
Estadounidense
(1933–35)
Campo Matemáticas y Física
Instituciones
Universidad de
Gotinga
Bryn Mawr College
Alma máter Universidad de
Erlangen-Núremberg
Supervisor doctoral Paul Gordan
12
Teorema de Noether
( , )( , , ) ( , , )
q q q tL q q t L q q t
' ( ' , ' , ) ' ( ' , ' , )0
' '
d L q q t L q q t
d t q q
?
P. de Hamilton
2
1
( , , ) 0,
t
t
S L q q t dt 2 2
1 1
( , , ) ( , , ) 0,
t t
t t
S L q q t dt L q q t dt
• Transformaciones invariantes.
Una de la grandes ventajas de la dinámica Lagrangiana es la libertad
que se tiene a la hora de escoger el sistema de coordenadas
generalizadas. Si q es un conjunto de coordenadas, cualquier
transformación invertible q’=q’(q,t), define otro conjunto de coordenadas
q’. Este conjunto satisface tambien las ecuaciones de Lagrange del
movimiento con la nueva Lagrangiana ( , , )L q q t
13
Aunque la forma general de las ecuaciones de Lagrange se preserva
en cualquier transformación de coordenadas, las ecuaciones explícitas
del movimeiento tienen un aspecto muy diferente en las antiguas y en
las nuevas coordenadas.
( , , ) ( , , )L q q t L q q t ( , )d q t
dt
Para un sistema Lagrangiano dado podría existir una transformación
particular de coordenadas en las que las ecuaciones explícitas del
movimiento fueran las mismas en las antiguas y en las nuevas
coordenanadas. Se dice entonces que el sistema es invariante bajo esa
transformacion. Dicha transformación se llama transformación
invariante.
Una transformación de coordenadas es ciertamente invariante si la
Lagrangiana es invariante. Es decir:
14
( , , ) ( , , )L q q t L q q t ( , )d q t
dt
Una transformación de coordenadas es ciertamente invariante si la
Lagrangiana es invariante. Es decir:
( , )
( , )( , , ) ( , , )
q q q t
d q tL q q t L q q t
dt
O equivalentemente:
( , )
( , )( , , ) ( , , )
q q q t
d q tL q q t L q q t
dt
15
Ejemplo: Sea . Comprobar si la transformación
es invariante.
( , )
( , )( , , ) ( , , )
q q q t
d q tL q q t L q q t
dt
( )q q a t 212
L mq
212 ( )q q a tmq
212
( )m q a 212
( , )d q tmq
dt
212
( , )d q tma maq
dt
q
q t
212ma dt madq dq dt
q t
212
, ,ma mat q
( ),maq b t 212
( )ma maq b t
0
0 0210 02
0, , ,a cte v
a q q v t cb mv t b
16
P8) Sea la lagrangiana de un sistema
lagrangiano de dos grados de libertad. Aplicando el método de Routh de
eliminación de variables cíclicas, la función de Routh del sistema es:
A)
B) 2 2 21 11 1 2 12 2
( )R q q p q
C) 2 2 21 11 1 2 12 2
( )R q q p q
D) 2 2 21 11 1 2 12 2
( )R q q p q
E) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
2 2 211 2 1 2 12
( )L q q q q q
2 2 21 11 1 2 12 2
( )R q q p q
17
( , ; ),q q q t 0
( , ; ) .q q t q
• Transformaciones infinitesimales
Muchas transformaciones contienen parametros tales que para un
conjunto particular de valores la transformación se reduce a la
identidad, es decir
0
0, ( , ; )q q q t
Transformaciones cuyos parametros estan muy próximos a se
llaman transformaciones infinitesimales. 0
0
' , ,q
q q q q
0 0
0( , ; )
q qq q t q
10 20
, ,
, ,
j
j j j j k
k k
qq q q q
18
• Transformaciones infinitesimales invariantes
( , )( , , ) ( , , ) ,
d q tL q q t L q q q q t
dt
( , , )L q q t ( , , )L L
L q q t q qq q
,
d
dt
0 ,L L d d
q q q qq q dt dt
0 ,L d L d L d
q q qq dt q dt q dt
0 ,d L
qdt q
Lq cte
q
19
.L
q constq
• A cada transformación infinitesimal invariante se le puede
asociar una constante del movimiento o ley de conservación.
.j
j j
Lq const
q
Si la transformación infinitesimal invariante contiene los parámetros 1 2, ,
( ), ( ),j jk k k k
k k
q donde los son independientes k
.
1,2,
jk k k
j j
Lc const
q
k
20
Ejemplos
1) Deducir la conservación del momento canónico conjugado a una
coordenada cíclica a partir del Tª de Noether
q coordenada cíclica q q es una T. invariante
q q es una T. invariante infinitesimal, q
.L
q constq
.L
constq
.L
constq
.j
j j
Lq const
q
21
2) Sea la lagrangiana . Supongamos que
posee la siguiente simetría: el potencial no cambia cuando se incrementa
en una cantidad arbitraria si a la vez se cambia en la cantidad ,
siendo un número conocido. Obtened la ley de conservación asociada a
esta simetría aplicando el Tª de Noether.
1 1 2 2, ,q q q q h
La simetría de :
( , ) ( , )L q q L q q es una T. invariante:
1 2q q h cte
2 211 2 1 22
( ) ( , )L q q U q q U1q
2q h
h
U 1 2 1 2( , ) ( , ), .U q q U q q h
1 1 2 2, ,q q q q h es una T. invariante infinitesimal
1 2q q h cte
¿ ?
22
( , )( )
( , , ) ( , , )q q q tt t t
dtL q q t L q q t
dt
' ( ' , ' , ) ' ( ' , ' , )0, ¡ !
'
d L q q t L q q t d qq
d t q q d t
P. de Hamilton
2
1
( , , ) 0,
t
t
S L q q t dt
2 2
1 1
( , , ) ( , , ) 0,
t t
q qt t
t t
dtS L q q t dt L q q t dt
dt
• Transformaciones puntuales extendidas.
( , ), ( ),q q q t t t t ( , , )L q q t T. Puntual extendida:
( , , )L q q t
23
( , )( )
( , , ) ( , , )
!
q q q tt t t
dtL q q t L q q t
dt
dqq
dt
• Transformaciones invariantes extendidas.
( , ), ( ),q q q t t t t ( , , )L q q t T. invariante extendida:
( , )( , , ) ( , , )
d q tL q q t L q q t
dt
Siendo:
• Transformaciones invariantes infinitesimales extendidas
24
( , ; ),
( , ),
q q q t
t t t
0
0
( , ; ) .
( , ) ,
q q t q
t t t
0,
0
' , ,q
q q q q
0
' , ,t
t t t t
Si es invariante
.L
q E t constq
( , , ) ,
LE q q t q L
q
25
Ejemplos
1) Deducir cuando la conservación de la energía a partir del Tª de
Noether.
,t t q q es una T. invariante de la Lagrangiana
t t es una T. invariante infinitesimal,
.L
q E constq
.E const
/ 0L t
26
2) Deducir una ley conservación a partir del Tª de Noether para la
Lagrangiana .
,t t q q es una T. invariante de la Lagrangiana
es una T. invariante infinitesimal,
.L
E constq
212
( ) .q q U q t const
212
( , , ) ( )L q q t q U q t
,t t q q
27
3)
Sea la Lagrangiana , donde
Se pide :
a) Comprobad que la transformación
es invariante (siendo un parámetro).
b) Deducid una ley de conservación, usando la transformación
infinitesimal que se deduce de la anterior, y aplicando el Tª de
Noether.
2 2
1 1 1( cos ) ( sin ) ,x R t y R t
2 2
2 2 2( cos ) ( sin ) .x R t y R t
2 2 1 212
1 2
( )GmM GmM
L m x y
cos sin ,x x y cos sin , ,!y y x t t
28
3)
a) La tarnsformación (despejando ) es invariante
2 2 2 2
1 1 1 1( cos ) ( sin ) ( cos ) ( sin ) ,
.
x R t y R t x R t y R t
etc
2 2 1 212
1 2
. ( ) ,L L L L GmM GmM
x y E t cte E x y L m x yx y x y
cos sin ,
cos sin ,
,
x x y
y y x
t t
1
0 0
, , ,x y
x y y x t
,x y
2 2 2 2( ) ( ) ,dx dy
x ydt dt
Se comprueba, sustituyendo:
Sustituyendo y dividiendo por
2 2 1 212
1 2
( ) ( ) .GmM GmM
m x y m yx xy cte
