Msc Jorge F campos S - Algebra lineal - 2do parcial ->UNEXPO

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS

SECCIÓN DE MATEMÁTICA

U

N

E

X

P

O 25Segundo Examen Parcial de Algebra Lineal (25%)

Apellidos y Nombres Seccion

Profesor Cedula Fecha: 20/01/2005

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE

TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA EN FORMA CLARA Y LEGIBLE

Primera parte. Verdadero o Falso.Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c.u.)

1. El conjunto de todas las funciones continuas f : [a, b] → R tales que∫

b

af(x)dx = 1

es un espacio vectorial bajo las operaciones usuales.

2. Sea V un espacio vectorial. Existen W1 y W2, suebpacios de V tales que W1∩W2 = ∅.

3. Si W es un subespacio de un espacio vectorial de dimension finita V y dimW = dimV,entonces W = V.

Segunda parte. Desarrollo.Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.

1. Sean W1 y W2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Definamos el conjuntoW1 + W2 = {v ∈ V : v = w1 + w2 con w1 ∈ W1 y w2 ∈ W2}. Demuestre queW1 + W2 es un subespacio de V. (4 ptos.)

2. Demuestre que si una matriz A es invertible, entonces sus columnas son linealmenteindependientes. (3 ptos.)

3. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacıo de V. Demuestre que W

es un subespacio de V si y solo si u + αv ∈ V para cualesquiera u, v ∈ W y todoescalar α. (4 ptos.)

4. Sea G = {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto generador de un espacio vectorial V. De-muestre que existe una base β de V tal que β ⊂ G. (3 ptos.)

1

5. Dada la matriz

A =

2 4 −2 −2 52 0 −4 12 112 2 −5 2 42 0 −6 9 76 6 −5 3 13

Hallar una base y la dimension para cada uno de los siguientes subespacios

NA = {x ∈ R5 : Ax = 0}

IA = {y ∈ R5 : Ax = y para algun x ∈ R

5}.

(5 ptos.)

2



SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

U

N

E

X

P

O 25Segundo Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25 %)




TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA EN FORMA CLARA Y LEGIBLE

Primera Parte. Verdadero o Falso.Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c/u)

1. El conjunto de los numeros reales positivos es un espacio vectorial bajo las opera-ciones de suma x ⊕ y = xy y multiplicacion por escalar α ⊗ x = αx.

2. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, entonces U∪W tambien lo es.

3. Los polinomios p1(x) = 1 + ax + a2x2, p2(x) = 1 + bx + b2x2, p3(x) = 1 + cx + c2x2,donde a 6= b, a 6= c y b 6= c, son linealmente independientes.

Segunda Parte. Desarrollo.Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.

1. Sean {v1, v2, . . . , vn} un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorialV y v ∈ V tal que v /∈ gen({v1, v2, . . . , vn}). Demuestre que {v1, v2, . . . , vn, v} eslinealmente independiente. (4 ptos.)

2. Pruebe que si {v1, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V y v ∈ V, entoncesexisten unicos escalares α1, α2, . . . , αn tales que v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn.

(3 ptos.)

3. Sea V un espacio vectorial. Demuestre que un subconjunto no vacıo W de V es unsubespacio vectorial de V si y solo si u+αv ∈ W para cualesquiera u, v ∈ W y todoescalar α. (4 ptos.)

1

4. Dada la matriz

A =

1 2 1 2 11 2 2 1 22 4 3 3 30 0 1 −1 −1

.

Determine la base y la dimension para los subespacios

N = {x ∈ R5 : Ax = �4×1}

I = {y ∈ R4 : Ax = y para algun x ∈ R

5}

(5 ptos.)

5. Pruebe que si gen{v1, v2, . . . , vk, vk+1} = V y vk+1 ∈ gen({v1, v2, . . . , vk}), entoncesgen({v1, v2, . . . , vk}) = V. (3 ptos.)

2



SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

U

N

E

X

P

O 25Segundo Examen Parcial de Algebra Lineal (Rezagado) (25%)




TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE

Primera Parte. Verdadero o Falso.Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c/u)

1. El conjunto {1, 1 + x, 1 + x2, 1 + x3} es una base para P3.

2. Si V es un espacio vectorial, entonces existe una unica base para V.

3. Sea {v1, v2, . . . , vn} un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorialV. Entonces {v1, v2, . . . , vn, 0/V} es linealmente independiente


1. Sea W1 y W2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Definamos

W1 + W2 = {u + v : u ∈ W1 y v ∈ W2}

Demuestre que W1 + W2 es un subespacio de V. (5 ptos.)

2. Sea V un espacio vectorial. Sean u, v ∈ V y α ∈ R cualesquiera. Pruebe que:

a) (−1)v = −v. (2 ptos.)

b) Si αu = 0/V, entonces α = 0 o u = 0/V. (2 ptos.)

3. Supongamos que {v1, v2, . . . , vn} genera a V y v1 ∈ gen{v2, v3, . . . , vn}. Pruebe que{v2, v3, . . . , vn} generan a V. (4 ptos.)

1

4. Encuentre la nulidad, el rango, y una base para cada uno de los subespacios CA, NA, RA

donde

A =

1 2 −2 0 12 4 −1 0 −4−3 −6 12 2 −121 2 −2 −4 −5

(6 ptos.)

¡EXITO!

2

Primera Parte. Verdadero o Falso.Decidir la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones, justifique sus respuestas.

1. Sea H el conjunto formado por todos los polinomios de grado igual a n. EntoncesH es un espacio vectorial con las operaciones usuales. 2 ptos.

Falso. Consideremos los polinomios p(x) = xn y q(x) = 1 − xn. Entonces p, q ∈ H ,pero p(x) + q(x) = xn + 1 − xn = 1 /∈ H (H no es cerrado bajo la suma). �

2. Sean H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x+3y−z = 0} y H2 = {(x, y, z) ∈ R

3 : x−2y+5z = 0}.Entonces H1 ∪ H2 es un subespacio de R

3. 2 ptos.

Falso. Consideremos u = (1, 1, 5) y v = (−3, 1, 1). Entonces u ∈ H1 ⊂ H1 ∪ H2,pues 2 · 1 + 3 · 1 − 5 = 0; y v ∈ H2 ⊂ H1 ∪ H2, pues −3 − 2 · 1 + 5 · 1 = 0. Sinembargo, u + v = (−2, 2, 6) /∈ H1 ∪ H2, pues

2 · (−2) + 3 · 2 − 6 = −4 6= 0 y

−2 − 2 · 2 + 5 · 6 = 24 6= 0.

�

3. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si unode ellos es multiplo escalar del otro. 2 ptos.

Verdadero. Sea V un espacio vectorial y sean u, v ∈ V.

Si {u, v} es l.d., entonces, existen escalares α, β ∈ R, con α 6= 0 o β 6= 0, tales que

αu + βv = 0/V. Si α 6= 0, entonces v = −β

αu, en caso contrario, β 6= 0 y βv = 0/V,

de donde v = 0/V = 0 · u, en ambos casos, uno de los vectores es multiplo escalar delotro.

Si uno de los vectores es multiplo escalar del otro, digamos u = αv (analogamentesi v = αu) para algun α ∈ R, entonces u − αv = 0/V, es decir, {u, v} es l.d. �


1. Sea {v1, . . . , vn} un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V

y suponga que v /∈ gen({v1, . . . , vn}). Demuestre que {v1, . . . , vn, v} es linealmenteindependiente. 4 ptos.

Demostracion. Sean α1, . . . , αn, α ∈ R tales que

α1v1 + . . . + αnvn + αv = 0/V .

Si α 6= 0, entonces

v =(

−α1

α

)

v1 + · · ·+(

−αn

α

)

vn

1

lo que contradice el hecho de que v /∈ gen({v1, . . . , vn}), por lo tanto α = 0 y ası

α1v1 + . . . + αnvn = 0/V

y dado que {v1, . . . , vn} es l.i., entonces α1 = · · · = αn = 0 = α

En consecuencia {v1, . . . , vn, v} es l.i.

2. Demuestre que si W es un subconjunto no vacıo de un espacio vectorial V, entoncesW es un subespacio de V si y solo si para cada α ∈ R y cualesquiera u, v ∈ W secumple que u + αv ∈ W. 5 ptos.

Demostracion. Supongamos que W es un subespacio de V. Sean α ∈ R y u, v ∈W cualesquiera. Entonces αv ∈ W (por ser W cerrado bajo la multiplicacion porescalar), y por lo tanto u + αv ∈ W (por ser W cerrada bajo la suma).

Supongamos ahora que para cada α ∈ R y cualesquiera u, v ∈ W se cumple queu + αv ∈ W. Por hipotesis general, W es un subconjunto no vacıo de V, ası que porteorema, solo basta probar que W es cerrada bajo la suma y la multiplicacion porescalar, para probar que W es un subespacio de V.

Sean u, v ∈ W cualesquiera. Por hipotesis u + v = u + (1)v ∈ W, es decir, W escerrado bajo la suma.

Para probar la cerradura bajo la multiplicacion por escalar, probaremos primeroque 0/V ∈ W. Sea v ∈ W cualquiera. Entonces, por hipotesis,

0/V = v + (−v) = v + (−1)v ∈ W

Finalmente, sean u ∈ W y α ∈ R cualesquiera, entonces, por hipotesis αu =0/V +αu ∈ W, es decir, W es cerrado bajo la multiplicacion por escalar.

En consecuencia W es un subespacio de V.

3. Sean V un espacio vectorial y v ∈ V. Demuestre que 0 · v = 0/V 3 ptos.

Demostracion. Sabemos que 0 + 0 = 0, ası que

(0 + 0) · v = 0 · v

0 · v + 0 · v = 0 · v

(0 · v + 0 · v) + [−(0 · v)] = 0 · v + [−(0 · v)]

0 · v + [0 · v + [−(0 · v)]] = 0/V

0 · v + 0/V = 0/V

0 · v = 0/V

2

4. Encontrar la nulidad, el rango y una base para cada uno de los subespacios CA, NA, RA,

donde A =

−1 −1 0 00 0 2 34 0 −2 13 −1 0 4

7 ptos.

Solucion.

xyzw

∈ NA si y solo si

−1 −1 0 00 0 2 34 0 −2 13 −1 0 4

xyzw

=

0000

.

Resolvamos este sistema.

−1 −1 0 00 0 2 34 0 −2 13 −1 0 4

F1 → −F1→

1 1 0 00 0 2 34 0 −2 13 −1 0 4

F3 → F3 − 4F1→F4 → F4 − 3F1

1 1 0 00 0 2 30 −4 −2 10 −4 0 4

F2 ↔ F4→

1 1 0 00 −4 0 40 −4 −2 10 0 2 3

F2 → −1

4F2

→

1 1 0 00 1 0 −10 −4 −2 10 0 2 3

F1 → F1 − F2→F3 → F3 + 4F2

1 0 0 10 1 0 −10 0 −2 −30 0 2 3

F3 → −1

2F3

→

1 0 0 10 1 0 −10 0 1 3

2

0 0 2 3

F4 → F4 − 2F3→

1 0 0 10 1 0 −10 0 1 3

2

0 0 0 0

De donde

x + w = 0y − w = 0

z + 3

2w = 0

; o bien

x = −wy = wz = −3

2w

Por lo tanto

xyzw

=

−ww

−3

2ww

= w

−11

−3

2

1

Luego, una base para NA es

−11

−3

2

1

, ası que la nulidad de A es dim(NA) = 1.

Dado que los pivotes de la FERF de A estan en la columnas 1, 2 y 3, entonces, unabase para Im(A) = CA, esta formada por las columnas 1, 2 y 3 de la matriz A, esdecir una base para Im(A) = cA es

3

−1043

,

−100

−1

,

02

−20

y por lo tanto el rango de A es dim(Im(A)) = dim(CA) = 3.

Las filas no nulas de la FERF de A forman una base para RA, es decir,

{[

1 0 0 1]

,[

0 1 0 −1]

,[

0 0 1 3

2

]}

es una base para RA.

4

Msc Jorge F campos S - Algebra lineal - 2do parcial ->UNEXPO

Engineering

Transcript of Msc Jorge F campos S - Algebra lineal - 2do parcial ->UNEXPO