Mta 3 Metodo Simplex v2

Como hemos visto en el material de trabajo autónomo 2 se trató de solucionarproblemas de dos o tres variables, aplicando el método gráfico, así como el análisis desensibilidad de sus resultados. Ahora, en el material de trabajo autónomo 3 veremos elmétodo de solución del SIMPLEX para solucionar problemas de n variables, tanto paramaximizar o minimizar la función objetivo, considerando variables positivas, negativas yno restringidas.

Para los modelos de maximización se está considerando el desarrollo de ejerciciosplanteados con variables positivas y variables no restringidas, para el caso de losproblemas con variables negativas se esta planteando un ejercicio bajo el enfoque deminimización.

Para los modelos de minimización se está considerando el desarrollo de ejerciciosplanteados con variables positivas y variables negativas, para el caso de los problemascon variables no restringidas se esta planteando un ejercicio bajo el enfoque demaximización.

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El algoritmo SIMPLEX es un procedimiento general para resolver problemas deprogramación lineal, desarrollado por George Dantzing en el año 1947 y es consideradocomo el "padre de la programación lineal".

La implementación en computadoras personales del método SIMPLEX y sus variantes sehan convertido en herramientas tan poderosas que se usan a menudo para resolverproblemas de programación lineal en miles de restricciones y miles de variables y , enocasiones, problemas bastante más grandes.

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Los modelos de maximización buscan casi siempre obtener la máxima rentabilidad, lamayor productividad, el máximo cumplimiento del nivel de servicio, el máximocumplimiento de los objetivos, etc y se aplican en la industria , en los sistemas decomercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, en el sector deservicios públicos, etc.

A continuación veremos la aplicación del método SIMPLEX para un modelo demaximización con variables positivas.

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Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo demaximización. Recordemos que el método SIMPLEX se aplica sólo a modelos que tienenrestricciones del tipo menor o igual.

Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cualimplica tres condiciones:

La primera condición: que los lado derecho de las restricciones sean constantes.mayores o iguales a cero. En nuestro ejemplo, los lado derecho de las restricciones yason constantes positivas.

La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdadesusando variables de holgura. En nuestro ejemplo, estamos agregando las variables deholgura S1 y S2 a las dos restricciones.

La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores oiguales a cero (es decir que sean variables positivas). En nuestro ejemplo, todas lasvariables son positivas.

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Ahora bien, implementamos el tablero inicial del simplex con la estructura de su formaestándar.

Como se está maximizando, debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido másnegativo para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor ‐3de la columna asociada a la variable X2, y es la variable que ingresa a la base en elsiguiente tablero.

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Luego obtenemos nuestra columna PIVOT asociada a la variable X2, ya que tiene el costoreducido más negativo con el valor ‐3. La variable X2 es la variable que ingresa a la baseen el siguiente tablero.

Posteriormente hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del ladoderecho (solución) entre los valores de los elementos de la columna PIVOT (la divisiónsolo se hace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nosdetermina la fila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S1que tiene como cociente mínimo 3. Esto significa que en el siguiente tablero debe salirde la base la variable S1 y su lugar debe ser remplazada por la variable X2.

El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguientetablero, para ello dividimos la fila de la variable S1 entre 2, ya que el elemento deintercepción es 2 y colocamos el resultado en el siguiente tablero en la posición delrenglón que le corresponde, y la variable S1 es reemplazada por la variable X2,generalizamos esta operación para toda la fila.

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Ahora bien, mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columnaasociado a la variable X2 en el siguiente tablero, de la siguiente manera:

En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila decolor rojo) por 3 y luego sumamos el valor ‐3 de la fila de los coeficientes reducidos en elprimer tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero delsegundo tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientereducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en lafila de color rojo) por (– 1) y luego sumamos el valor 1 de la fila de S2 en el primertablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundotablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientecorrespondiente del primer tablero.

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Continuando, como se está maximizando debemos seleccionar el coeficiente del CostoReducido más negativo del segundo tablero para obtener nuestra columna PIVOT. Paranuestro caso corresponde al valor ‐1/2 de la columna asociada a la variable X1, y es lavariable que ingresa a la base en el tercer tablero.

Luego, hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho(solución) entre los valores de los elementos de la columna PIVOT (la división solo sehace para los elementos positivos). El menor ratio de cociente mínimo nos determina lafila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S2 que tiene comocociente mínimo 10/3. Esto significa que en el tercer tablero debe salir de la base lavariable S2 y su lugar debe ser remplazada por la variable X1.

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Ahora bien, el elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser 1 en elsiguiente tablero. Para ello dividimos la fila de la variable S1 entre 3/2, ya que elelemento de intercepción es 3/2 y colocamos el resultado en el tercer tablero en laposición del renglón que le corresponde, y la variable S2 es reemplazada por la variableX1, generalizamos esta operación para toda la fila.

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Luego mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columnaasociado a la variable X1 en el tercer tablero, de la siguiente manera:

En el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila decolor rojo) por el valor 1/2 y luego sumamos el valor ‐1/2 de la fila de los coeficientesreducidos en el segundo tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la mismaposición pero del tercer tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valordel coeficiente reducido correspondiente del segundo tablero.

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Luego en el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la filade color rojo) por el valor (– 1/2) y luego sumamos el valor 1/2 de la fila de X2 en elsegundo tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero deltercer tablero. Replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientecorrespondiente del segundo tablero.

Luego, vemos que en el tercer tablero ya no existen más costos reducidos negativos,entonces se ha llegado a la solución final.

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Finalmente el tercer tablero nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vectorsolución, el cual está compuesto por las variables básicas (son aquellas variables queestán en la columna base) las cuales obtienen su resultado de la columna solución y lasvariables no básicas (aquellas variables que no aparecen en la columna base) asumenvalor cero por default.

El valor de la función objetivo se obtiene del primer valor de la columna solución.

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La solución final se da en función a las variables de decisión:

X1 asume un valor de 10/3 ,

X2 asume un valor de 4/3 , y

La función objetivo asume un valor óptimo de 32/3

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Los modelos de maximización con variables no restringidas, buscan modelar condicionesdonde las variables puedan tomar valores positivos ó negativos, como por ejemplo lacondición de disponibilidad de horas, donde pueden existir horas sobrantes ó requerirsehoras extras, la condición de disponibilidad de capital, donde puede existir capitalsobrante ó requerirse capital adicional, entre otros casos; donde el resultado de lafunción objetivo es casi siempre obtener la máxima rentabilidad y se aplican en laindustria , en los sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes,sistemas de salud, en el sector de servicios públicos, etc.

A continuación mostraremos una formulación asociado a un modelo matemático dondese ilustra el uso de variables no restringidas.

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Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo demaximización con variables no restringidas.Encontrarán ocasiones en donde el modelo requiere hacer uso de variables queRecordar que el método SIMPLEX se aplica solo a modelos que tienen restricciones deltipo menor o igual.

Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cualimplica tres condiciones:La primera condición : que los lado derecho de las restricciones sean constantesmayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo los lado derecho de las restricciones yason constantes positivas.

La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdadesusando variables de holgura, en nuestro ejemplo estamos agregando las variables deholgura S1 , S2 y S3 a las tres restricciones.

La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores oiguales a cero (es decir que sean variables positivas), en nuestro ejemplo la variable X yY esta definida como no restringidas, por lo tanto debemos realizar un cambio devariable, X debe ser igual a X1 – X2 , también la variable Y debe ser igual a Y1‐Y2, y luegohacemos el reemplazo en todo el modelo en su forma estándar.

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Como primer paso implementamos el tablero inicial del simplex con la estructura de suforma estándar.

Como se está maximizando, debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido másnegativo para obtener nuestra columna PIVOT. En nuestro caso corresponde al valor ‐8de la columna asociada a la variable X2, y es la variable que ingresa a la base en elsegundo tablero.

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Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho(solución) entre los valores de los elementos de la columna PIVOT (la división solo sehace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina lafila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S3 que tiene comocociente mínimo 1. Esto significa que en el segundo tablero debe salir de la base lavariable S3 y su lugar debe ser remplazada por la variable X2.

El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguientetablero, para ello dividimos la fila de la variable S3 entre 1, ya que el elemento deintercepción es 1 y colocamos el resultado en el segundo tablero en la posición delrenglón que le corresponde, y la variable S3 es reemplazada por la variable X2,generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado ala variable X2 en el segundo tablero, de la siguiente manera:

En el segundo tablero multiplicamos el valor “1” (el cual está resaltado en la fila de colorrojo) por 8 y luego sumamos el valor ( ‐ 8 ) de la fila de los coeficientes reducidos en elprimer tablero, el resultado es “0” y lo colocamos en la misma posición pero delsegundo tablero, replicamos ésta operación para toda la fila con el valor del coeficientereducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero, multiplicamos el valor “1” (el cual está resaltado en la filade color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (‐1) de la fila de S1 en el primer tablero. Elresultado es “0” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero,replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondientedel primer tablero.

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En el segundo tablero multiplicamos el valor “1” (el cual está resaltado en la fila de colorrojo) por 1 y luego sumamos el valor (‐1) de la fila de S2 en el primer tablero, elresultado es “0” y lo colocamos en la misma posición pero del segundo tablero.Replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondientedel primer tablero.

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Continuando, como se está maximizando, debemos seleccionar el coeficiente del CostoReducido más negativo del segundo tablero para obtener nuestra columna PIVOT, paranuestro caso corresponde al valor ‐7 de la columna asociada a la variable Y2, y es lavariable que ingresa a la base en el tercer tablero.

Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho(solución) entre los valores de los elemento de la columna PIVOT (la división solo sehace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina lafila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S2 que tiene comocociente mínimo 5/3. Esto significa que en el tercer tablero debe salir de la base lavariable S2 y su lugar debe ser remplazada por la variable Y2.

El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el tercer tablero,para ello dividimos la fila de la variable S2 entre 3, ya que el elemento de intercepción es3 y colocamos el resultado en el tercer tablero en la posición del renglón que lecorresponde, y la variable S2 es reemplazada por la variable Y2, generalizamos estaoperación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado ala variable Y2 en el tercer tablero, de la siguiente manera:

En el tercer tablero multiplicamos el valor “1” (el cual está resaltado en la fila de colorrojo) por 7 y luego sumamos el valor ( ‐ 7 ) de la fila de los coeficientes reducidos en elsegundo tablero, el resultado es “0” y lo colocamos en la misma posición pero del tercertablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente reducidocorrespondiente del primer tablero.

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Luego, en el tercer tablero multiplicamos el valor “1” (el cual está resaltado en la fila decolor rojo) por 2 y luego sumamos el valor (‐2) de la fila de S1 en el segundo tablero. Elresultado es “0” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero.Replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondientedel segundo tablero.

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En el tercer tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila decolor rojo) por 1 y luego sumamos el valor (‐1) de la fila de Y2 en el segundo tablero. Elresultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del tercer tablero,replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficiente correspondientedel segundo tablero.

Luego, vemos que en el tercer tablero ya no existen más costos reducidos negativos;entonces, se ha llegado a la solución final.

31

El tercer tablero nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vector solución,compuesto por las variables básicas (son aquellas variables que están en la columnabase), las cuales obtienen su resultado de la columna solución, y las variables no básicas(aquellas variables que no aparecen en la columna base) asumen valor cero por default.


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X asume un valor de – 8/3 ,

Y asume un valor de ‐ 5/3 , y

La función objetivo asume un valor óptimo de 59/3

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Los modelos de minimización buscan casi siempre obtener el mínimo costo, el menortiempo de producción, el menor desperdicio, la menor cantidad de piezas rechazadas, elmenor tiempo de entrega, el menor tiempo de espera, etc. y se aplican en la industria,en los sistemas de comercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas desalud, en el sector de servicios públicos, etc.

A continuación, veremos la aplicación del método SIMPLEX para un modelo deminimización con variables positivas.

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Una empresa produce harina de tipo I para uso interno y harina tipo II para venta.

El área de ventas estima que la diferencia entre la harina tipo I y II debe ser a lo más 6toneladas.

Una tonelada de harina tipo I de uso interno genera un costo de 2 mil soles y requiereun operario, y una tonelada de harina tipo II destinada a la venta genera una gananciade 3 mil soles y requiere 2 operarios. Se dispone de 4 operarios.

¿Cuánto y qué tipo de harina se debe producir para minimizar los costos?

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Hemos visto hasta aquí las aplicaciones del método SIMPLEX aplicado a problemas demaximización, sin embargo, encontrarán ocasiones donde es necesario minimizar lafunción objetivo.

Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo deminimización.Recordar que el método SIMPLEX se aplica solo a modelos que tienen restricciones deltipo menor o igual.

Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cualimplica tres condiciones:La primera condición : que los lado derecho de las restricciones sean constantesmayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo los lado derecho de las restricciones yason constantes positivas.

La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdadesusando variables de holgura, en nuestro ejemplo estamos agregando las variables deholgura S1 y S2 a las dos restricciones.

La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores oiguales a cero (es decir que sean variables positivas) en nuestro ejemplo todas lasvariables son positivas.

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Como se está minimizando debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido máspositivo para obtener nuestra columna PIVOT, para nuestro caso corresponde al valor 3de la columna asociada a la variable X2, y es la variable que ingresa a la base en elsegundo tablero.

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Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho(solución) entre los valores de los elementos de la columna PIVOT (la división solo sehace para los elementos positivos), el menor ratio de cociente mínimo nos determina lafila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S1 que tiene comocociente mínimo 1. Esto significa que en el segundo tablero debe salir de la base lavariable S1 y su lugar debe ser remplazada por la variable X2.

El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguientetablero, para ello dividimos la fila de la variable S1 entre 1, ya que el elemento deintercepción es 1 y colocamos el resultado en el segundo tablero en la posición delrenglón que le corresponde, y la variable S1 es reemplazada por la variable X2.Generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado ala variable X2 en el segundo tablero, de la siguiente manera:

En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila decolor rojo) por (‐3) y luego sumamos el valor 3 de la fila de los coeficientes reducidos enel primer tablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero delsegundo tablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientereducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en lafila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (‐1) de la fila de S2 en el primertablero, el resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundotablero. Replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientecorrespondiente del primer tablero.

Luego, vemos que en el segundo tablero ya no existen más costos reducidos positivos;entonces, se ha llegado a la solución final.

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El segundo tablero nos da el tablero óptimo del cual obtenemos el vector solución, elcual está compuesto por las variables básicas (son aquellas variables que están en lacolumna base) las cuales obtienen su resultado de la columna solución, y las variablesno básicas (aquellas variables que no aparecen en la columna base) que asumen valorcero por default.


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X1 asume un valor de 0 ,

X2 asume un valor de 4 , y

La función objetivo asume un valor óptimo de ‐ 12

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Como en el caso de maximización, la condición de cociente mínimo se mantiene.

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Los modelos de minimización con variables negativas, buscan modelar condicionesdonde las variables puedan asumir valores negativos, como por ejemplo, la condición decuantificar costos, desembolsos de un flujo de dinero, cuantificar pérdidas, capitalfaltante, inventario faltante, entre otros casos; donde el resultado de la función objetivoes casi siempre obtener el menor costo y se aplican en la industria, en los sistemas decomercialización, sistemas financieros, transportes, sistemas de salud, en el sector deservicios públicos, etc.

A continuación, mostraremos una formulación asociado a un modelo matemático dondese ilustra el uso de variables negativas.

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Ahora veremos el desarrollo del método SIMPLEX aplicado a un modelo de minimizacióncon variable negativa. Recordar que el método SIMPLEX se aplica solo a modelos quetienen restricciones del tipo menor o igual.

Como primer paso debemos aplicar la forma estándar al modelo planteado, lo cualimplica tres condiciones:

La primera condición : que los lado derecho de las restricciones sean constantesmayores o iguales a cero, en nuestro ejemplo los lado derecho de las restricciones yason constantes positivas.

La segunda condición: que las inecuaciones sean expresadas en forma de igualdadesusando variables de holgura, en nuestro ejemplo, estamos agregando las variables deholgura S1 y S2 a las dos restricciones.

La tercera condición: que las variables que participan en el modelo sean mayores oiguales a cero (es decir que sean variables positivas). En nuestro ejemplo la variable Yestá definida como negativa, por lo tanto debemos realizar un cambio de variable, Ydebe ser igual a – Y1, y hacemos el reemplazo en todo el modelo en su forma estándar.

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Como se está minimizando, debemos seleccionar el coeficiente del Costo Reducido máspositivo para obtener nuestra columna PIVOT. Para nuestro caso corresponde al valor 1de la columna asociada a la variable Y1, y es la variable que ingresa a la base en elsegundo tablero.

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Luego hallamos el ratio del cociente mínimo dividiendo la columna del lado derecho(solución) entre los valores de los elementos de la columna PIVOT (la división solo sehace para los elementos positivos). El menor ratio de cociente mínimo nos determina lafila PIVOT, para nuestro caso el menor ratio corresponde a la variable S2 que tiene comocociente mínimo 4. Esto significa que en el segundo tablero debe salir de la base lavariable S2 y su lugar debe ser remplazada por la variable Y1.

El elemento de intersección de la fila y columna PIVOT debe ser uno en el siguientetablero, para ello dividimos la fila de la variable S2 entre 1, ya que el elemento deintercepción es 1 y colocamos el resultado en el segundo tablero en la posición delrenglón que le corresponde, y la variable S2 es reemplazada por la variable Y1.Generalizamos esta operación para toda la fila.

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Mediante operaciones suma fila debemos hacer canónico el vector columna asociado ala variable Y1 en el segundo tablero, de la siguiente manera:

En el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en la fila decolor rojo) por (‐1) y luego sumamos el valor 1 de la fila de los coeficientes reducidos enel primer tablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero delsegundo tablero. Replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientereducido correspondiente del primer tablero.

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Luego, en el segundo tablero multiplicamos el valor “UNO” (el cual está resaltado en lafila de color rojo) por 1 y luego sumamos el valor (‐1) de la fila de S1 en el primertablero. El resultado es “cero” y lo colocamos en la misma posición pero del segundotablero, replicamos esta operación para toda la fila con el valor del coeficientecorrespondiente del primer tablero.

Luego, vemos que en el segundo tablero ya no existen mas costos reducidos positivos;entonces, se ha llegado a la solución final.

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El segundo tablero nos da el tablero óptimo, del cual obtenemos el vector solución,compuesto por las variables básicas (son aquellas variables que están en la columnabase), las cuales obtienen su resultado de la columna solución, y las variables no básicas(aquellas variables que no aparecen en la columna base) asumen valor cero por default.


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X asume un valor de 0 ,

Y asume un valor de ‐ 4 , y

La función objetivo asume un valor óptimo de ‐ 4

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A continuación, se proponen tres ejercicios de programación lineal para que pongas enpráctica lo aprendido en este MTA.

Para cada uno se pide:

1. Hallar su forma estándar

2. Hallar la solución por el método SIMPLEX

3. Obtener el vector solución del tablero óptimo

4. Dar la solución en función a las variables de decisión

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Mta 3 Metodo Simplex v2

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