MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 n n n · MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 NOMBRE _____ CUENTA...

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MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 PARCIAL 3 NOMBRE ________________________ CUENTA _________________________ TEORÍA DE EXPONENTES Introducción:

Las operaciones de potencia, multiplicación y suma

están relacionadas. Toda potencia puede

convertirse en una multiplicación y toda

multiplicación puede convertirse en una suma.

Ejemplo: 32 2 2 2 (2 2) (2 2) (2 2) (2 2) 8 i i i i

Esto es cierto porque 32 es una multiplicación

simplificada y es igual a multiplicar 2 tres veces así 32 2 2 2 i i .

Por otro lado la multiplicación 2 3i significa que el

número 3 se debe sumar dos veces 2 3 3 3 i , en una multiplicación el primer número indica el

número de veces que se repite el segundo número

es por eso que 2 (2 2) (2 2) (2 2) i i i i . Al hacer este proceso descubrimos varias

propiedades de los exponentes

Propiedad Ejemplo

...nb b b b i i n veces

32 2 2 2 i i

1/nn b b toda raíz se expresa

como un

exponente

fraccionario

1/22 2 2 (2) 1.4142... Y se cumple

1.4142x1.4142=1.9999=2 1/33 2 (2) 1.2599.

Y se cumple que

1.2599*1.2599*1.2599= 1.999=2

/n m m nb b siempre el

número de la

raíz va abajo

3 3 3/3 13 8 2 2 2 2

m n m nb b b i 3 2 3 2 53 3 (3 3 3) (3 3) 3 3 i i i i i

nm m nb b i 23 3 2 63 (3 3 3) (3 3 3) 3 3 ii i i i i

nn

n

a a

b b

22

2

5 5 5 5 5 5

3 3 3 3 3 3

i

i

i

nn na b ab

2 2

2

5 3 5 5 3 3 (5 3) (5 3)

5 3

i i i i i i

i

0 1a

2 2

2

5 3 5 5 3 3 (5 3) (5 3)

5 3

i i i i i i

i

1nn

aa

2 2

2

2 2

11 1 13 3

1 13

3 3

2

1naa

22

1 13

3 9

TEORÍA DE LOGARITMOS Un logaritmo se puede interpretar como el

exponente que logra el argumento del logaritmo al

elevar la base del mismo, se expresa formalmente.

Si tenemos 32 8

Entonces se cumple que

2log 8 3 En ambos caso el número 2 se le llama base, el

número 3 es el exponente, y también es el

logaritmo de 8 con base 2.

Ejemplos

Forma exponencial Forma logarítmica 32 2 2 2 8 i i 2log 8 3 43 3 3 3 3 81 i i i 3log 81 4 37 7 7 7 343 i i 7log 343 4

Numero e o numero natural Existe un número especial que se usa mucho en logaritmos y formulas exponenciales el cual es el numero “e” Este número se calcula con la formula

1/(1 ) xe x Siempre que x sea un número muy pequeño, si tomamos varios valore seste será el

resultado.

2

Al igual que los exponentes los logaritmos tienen

sus propias reglas.

Propiedad Ejemplo

log 1b b 2

3 3 3log 9 log 3 2 log 3

2

log lognb ba n a i 2

3 3 3log 9 log 3 2 log 3

2

logb a bi log logb ba b

33 3log 9 3 log 3i33log 3 3

3 3log 9 log 3 2 1

3 3log 3 log 3

3 32log 3 1 log 3 i

2 1 3

log /b a b log logb ba b

3log 9 / 3 3 3log 9 log 3 2 13 3log 3 log 3 3 32log 3 1 log 3 i }

2 1 1

Propiedad Ejemplo

log logb ba b

ac d

i

i

log log

log

b b

b

b c

d

3 32 5

log log 26 7

i

i

2 2

2

log 5 log 6

log 7

ln( ) logea a ln( ) 1e

logb xx b 3log 22 3 log

log , 0log

cb

c

aa c

b

3

ln(5)log 5

ln(3)

ln( )log

ln( )b

aa

b

10

10

loglog

logb

aa

b

1.60941.4650

1.0986

103

10

log 5log 5

log 3

0.698971.4650

0.4771

EJERCICIO DE SEPARACIÓN DE LOGARITMOS

5

33 4 3

2log

x yxz w

i i

i

Primero convertimos radicales en exponentes

1/31/2

5

3 4 3

2log

x yxz w

i i

i

Luego simplificamos exponentes

1/31/2 5/2 1/2

3 4/2 3/2

2log

x yxz w

i i

i

1/31/2 5/2 1 1/2

3 4/2 3/2

2log

x y

z w

i i

i

1/31/2 7/2 1/2

3 4/2 3/2

2log

x y

z w

i i

i

1/6 7/6 1/6

3 4/6 3/6

2log

x y

z w

i i

i

Aplicamos la propiedad

log log logb b ba b a b i

1/6 7/6 1/6

3 3 3

4/6 3/6

3 3

log 2 log log

log log

x y

z w


log lognb ba n a i

3 3 3

3 3

1 7 1log 2 log log6 6 6

4 3log log6 6

x y

z w

Para verificar asumimos

X=2, y=3, z=4,w=5

x e

0.1 2.593742

0.01 2.704814

0.001 2.716924

0.0001 2.718146

0.00001 2.718268

0.000001 2.718280

0.0000001 2.718282

3

Sustituimos primero en la original

5

33 4 3

2 2 3log 2

4 5

i i

i

33

192

3200l g 2

0o

3

30.0775log 2 i

3 0.log 5371

3ln( )

logln(3)

0.5371 0.621620.5371

1.0986

= -0.565820094

Sustituimos en la respuesta

3 3 3

3 3

1 7 1log 2 log log6 6 6

4 3log log6 6

x y

z w

3 3 3

3 3

1 7 1log 2 log 2 log 36 6 6

4 3log 4 log 56 6

0.1052 +0.7361+0.1667-0.8412-0.7325

=-0.56582

Con lo cual se verifica la respuesta Ejercicios con verificación de ecuaciones exponenciales con verificación

2 10x Aplicamos logaritmo natural ambos lados

ln 2 ln 10x Pasamos exponente al frente

ln 2 ln 10x i Despejamos x

ln 2 ln 10x i

2.30263.3219

0.6931

ln 10

ln 2x

Verificamos 3.321( 9)2 10

9.9999=10

EJEMPLO 2: 3 12 10x x Aplicamos logaritmo natural ambos lados

3 1ln 2 ln 10x x Pasamos exponente al frente

3 1 ln 2 ln 10x x i Operamos

3 ln 2 1 ln 2 ln 10x x i i Juntamos las x

3 ln 2 ln 10 1 ln 2x x i i 3 ln 2 ln 10 1 ln 2x i i

1 ln 2

3 ln 2 ln 10x

i

i

Calculamos el valor

0.693153.1063

2.07944 2.30259x

Verificamos 3.1063) 3.10633( 12 10 3.1063) 3.10633( 12 10

1277.2730 1277.2730 Fusionamos el logaritmo, quitamos primero los

números al frente

1 ln 2

3 ln 2 ln 10x

i

i

31 ln 2

ln 2 ln 10x

i

3

1 ln 2

2ln10

x

i

3210

log 2x

0.693ln 15(2)

l3.1063

0.22314n(8 /10)x

Con lo cual se confirma el resultado Esta técnica es la misma para cualquier ecuación exponencial.

EJEMPLO 3: 5 2

2 2 1

4 2

(7) (7)(3 ) (2)

3 3

xx

x x

i

i

Primero aplicamos logaritmo natural a ambos lados

5 2

2 2 1

4 2

(7) (7)ln ln (3 ) (2)

3 3

xx

x x

i

i

Separamos los logaritmos

4

5 2 4 2 2 2 1ln(7) ln(7) ln 3 ln 3 ln3 ln(2)x x x x Pasamos los exponentes al frente

(5 ) ln(7) ( 2) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3

2ln 3 (2 1) ln(2)

x x x

x

(5 ) ln(7) ( 2) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3

2ln 3 (2 ) ln(2) (1)ln(2)

x x x

x

Pasamos las x a un solo lado

(5 ) ln(7) (4 ) ln 3 (2 ) ln 3 (2 ) ln(2)

2 ln 3 (1)ln(2) ( 2) ln(7)

x x x x

Sacamos x de factor común

( ) (5) ln(7) (4) ln3 (2) ln 3 (2) ln(2)2 ln3 ln(2) 2ln(7)

x

2ln 3 ln(2) 2ln(7)( )

5ln(7) 4 ln3 2ln 3 2ln(2)x

Calculamos la x

3.8918 0.6931 2.1972

1.3863 2.1972 4.394(

4 9 296)

.7x

5.3959

1.( )

7517x =3.08038

Para verificar sustituimos en la original5 2

2 2 1

4 2

(7) (7)(3 ) (2)

3 3

xx

x x

i

i

2.117949 1135.7720

658090973.9

1( )

E

i

321.83 321.95 La diferencia se debe a los decimales de la variable

x

EJEMPLO 4

3 3log (5 3) log (3 4) 5x x Primero aplicamos las propiedades

log log logb b ba b a b i 3log 3 1

Y nos queda

3 3log (5 3)(3 4) 5log 3x x Pasamos el numero al rente como exponente

53 3log (5 3)(3 4) log 3x x Igualamos argumentos

5(5 3)(3 4) 3x x Operamos y simplificamos el polinomio

55 (3 4) 3(3 4) 3x x x 2 515 20 9 12 3x x x 215 29 12 243x x

215 29 12 243 0x x 215 29 231 0x x

Aplicamos la formula cuadrática

a=15 b=29 c=-231 2 24 29 4(15)( 231)b ac 14701

1

(29) 14701,

2(15)x x

1

121.(29),

2(15)

2479x x

1

(29) 121.2479,

30x x

Calculamos y verificamos los valores X1 = 3.0749

3 3log (5( 3) log (3(3.0749) 3.0749) 4) 5

3 3log ( ) log (18.3745 13.224 57)

ln( ln(18.3745) 13.2247)5

ln(3) ln(3)

2.64967347+2.350316231=5

4.9999=5

X2 = -5.0083

3 3log (5( 3) log (3(5.0083) 5.0083) 4) 5

3 3log ( ) log (22.0415 11.02 9) 54 No es válida la solución x2=-5.0083

Final ente definimos el conjunto solución C.s={3.0749}

5

EJERCICIOS VARIOS 1) Calcule y verifique

3log 8 x

3

2.079ln(8)log

41.89279

1.8l 9863 0n( )

Verificación

1.89279

3 8

3 8

8.0001 8

x

2) expanda y verifique con x=2, y=3, z=4 2

3logx y

z

i

2 2

3 2log

x y

z

i

2 2 23 3 3log log logx y z 3 3 32 og 2log 2logl x y z

Verificación

X=2, y=3, z=4 2 2

3 3 3 3

2 3 6 36 9log log log log

4 4 16 4

i

3

9 ln(9 / 4)log

4 ln(3)

0.810930.73814

1.09861

Y evaluamos separados

3 3 32 og 2 2log 3 2log 4l 1.26186 2.52372 42 0.7381 Como ambas respuestas son iguales esta correcto

3)Determine el conjunto solución

3 3log 2 1 log lx x

3

2 1log l

x

x

3 3

2 1log l log 3

x

x

i

3 3

2 1log log (3)

x

x

Igualamos argumentos

2 13

x

x

2 1 3x x 1 3 2x x

1 x 1x

Verificación (obligatoria)

3 3log 2(1) 1 log 1 l 3 3log 3 log 1 l

1 0 l

1 1

4) Resuelva por el método grafico la siguiente

problema

Min z=2x+2y

13 4

x y

13 5

x y

0, 0x y Las ecuaciones se pueden expersar asi tambine

4 3 12x y Iy(0, 12/3)=(0,4)

Ix(12/4,0)=(3,0)

5 3 15x y Iy(0, 15/3)=(0,5)

Ix(15/5,0)=(3,0)

x Y Z=2x+2y

0 3 2(0)+2(3)=6

0 5 2(0)+2(5)=10

3 0 2(3)+2(0)=6

La respuestas posibles son dos

Respuesta 1: x=0 y =3 z= 6

Respuesta 2: x=3 y =0 z= 6

6

MÉTODOS CUANTITATIVOS II PARCIAL iii

1. GENERALES

7

2. OPERACIONES COMBINADAS

9

3. POTENCIA

11

4. RADICALES

17

5. LOGARITMOS

18

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

20

Ejemplos

24

Aplique las propiedades y separe (descomponga)

27

Ejemplos

32

ECUACIONES EXPONENCIALES

57

FUNCIÓN EXPONENCIAL Es una función de la forma

( ) mx bf x a B c i Donde B es un número positivo

EJEMPLO 1: 2( ) 2 2 1xf x i

a) Su grafica es

b) Asíntota horizontal: esto es lo que primero se debe determinar (línea horizontal de la gráfica)

que ocurre cuando y=c en el caso del ejemplo es AH: y=1

c) Tabla de valores: Para esbozar la gráfica elaboramos esta tabla:

Tipo X Y

-10 10 22 2 1 1.0078 i Iy 0 0 22 2 1 9 i 10 10 2 812 32 1 9 i otro 1 1 22 2 1 17 i Con estos valores procedemos a elaborar la gráfica anterior, los valores que representan a menos infinito y más

infinito pueden ser cualquier valor, elegimos 10 porque números mayores se alejan demasiado, cuando uno de

los valores es muy grande elegimos otro mas pegado al 0, como el 1 para lograr graficar

d) Determinamos el intercepto en x, Ix(¿, 0) 20 2 2 1x i

Despejamos el término con el exponente 21 2 2x i

21 22

x

Revisamos los signos, porque recordemos que jamás un número con variable exponencial será cero

31100

31

7.888617.8886110

102

i

02 1 30100 302 1.26765 10 1.26765 10 i i

Por tanto no hay solución para el intercepto en x

58

e) Dominio = reales= , f) Rango = 1,

Notas:

para elaborar la gráfica se requieren siempre 3 puntos La grafica exponencial siempre tiene intercepto en y

EJEMPLO 2:

Y=

EJEMPLO 3:

64

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es una función de la forma

( ) logBf x a mx b c i Donde B es un número positivo

EJEMPLO 1:

2( ) 2 log 2 1f x x i g) Su grafica es

h) Asíntota vertical: esto es lo que

primero se debe determinar (línea

vertical de la gráfica) que ocurre

cuando mx+b=0 AH:x=-b/m

i) Dominio: un logaritmo no puede tener argumento negativo ni cero por lo tanto mx+b>0: 2 0

2

x

x

Dominio = 2, j) Con el dominio definido procedemos a

determinar el intercepto en x que

siempre existe Ix(¿,0)

20 2 log 2 1x i

21log 2

2x

Ponemos todo como potencia de la misma

base del logaritmo

21

log 222 2x


logb xx b

1

22 2x

Despejamos

1

22 2 x

1

2 92

1.292x

Ix (-1.2929, 0)

k) Calculamos ahora el Iy (0, ¿) si es que

existe

2 2(0) 2 log 0 2 1 2log (2) 1 3f i Iy (0,3)

l) Procedemos a elaborar una tabla de

valores, que debe tener al menos 3

puntos

Tipo X Y

AH -2 No aplica

Ix -1.2929 0

Iy 0 3

otro 2 2(2) 2 log 2 2 1 5f i

Con estos valores procedemos a elaborar la gráfica e indicar los intercepto

m) Rango = , Reales Notas:

para elaborar la gráfica se requieren siempre 3 puntos

La grafica exponencial siempre tiene intercepto en x

65

EJEMPLOS 2

Y=

EJEMPLO 3

Y=

EJEMPLO DE SIMPLEX CON MAXIMOS Y MINIMOS

2 X + 1 Y >= 150

1 X + 3 Y >= 150

1 X + 1 Y

METODO SIMPLEXMODELOmax z = 5 x + 4 y

sujeto a8 x + 2 y = 0 Nota: Condicion exigida por simplex

PASO 1 CONVERTIR EN ECUACIONES8 x + 2 y + S1 = 164 x + 5 y + S2 = 20

PASO 2: pasar todas las variables al lado izquierdo-5 x -4 y + z = 0

1 PASO 3: CREAR MATRIZ, determinar columna pivote, b/bpivote, fila pivoteX Y S1 S2 Z B b/cpivote

ES1 +8 +2 +1 0 0 16 2 = 2.00 1/8 R1 -> R1 ->ES2 +4 +5 +0 1 0 20 5 = 5.00 R2 -> R2 -4 R1 ->EZ -5 -4 +0 0 1 0 R3 -> R3 5 R1 ->

Nota: columna pivote es la mas negativa osea "X"Nota: fila pivote es el valor que mejor cumple b/bpivote (POR LO GENERAL EL MAS BAJO)1 1/4 1/8 0 0 24 + (-4)(1) 5 + (-4)(1/4) 0 + (-4)(1/8) 1 + (-4)(0) 0 + (-4)(0) 20 + (-4)(2)-5 + (5)(1) -4 + (5)(1/4) 0 + (5)(1/8) 0 + (5)(0) 1 + (5)(0) 0 + (5)(2)

2 PASO 2: Elegimos la columna pivote y la fila pivote siguienteX Y S1 S2 Z B b/cpivote

ES1 1 1/4 1/8 0 0 2 SALIO R1 -> R1 -1/4 R2 ->ES2 0 4 -1/2 1 0 12 3 = 3.00 1/4 R2 -> R2 ->EZ 0 -11/4 5/8 0 1 10 R3 -> R3 11/4 R2 ->

Nota: la columna mas negativa ahora es la yNota: no calculamos b/cpivote de la fila 1 porque SALIO1 + (-1/4)(0) 1/4 + (-1/4)(1) 1/8 + (-1/4)(-1/8) 0 + (-1/4)(1/4) 0 + (-1/4)(0) 2 + (-1/4)(3)0 1 -1/8 1/4 0 30 + (11/4)(0) -11/4 + (11/4)(1) 5/8 + (11/4)(-1/8) 0 + (11/4)(1/4) 1 + (11/4)(0) 10 + (11/4)(3)

3 paso 3: vemos si hay mas valores negativos en EZ,1 0 5/32 -1/16 0 5/40 1 -1/8 1/4 0 30 0 9/32 11/16 1 73/4

Nota: como ya no hay valores negativos, termina el proceso1/2

4 Paso 4: La respuesta seran las sigueintesX Y S1 S2 Z B

ES1 1 0 5/32 -1/16 0 5/4 x= 5/4 =ES2 0 1 -1/8 1/4 0 3 y= 3 =EZ 0 0 9/32 11/16 1 73/4 z= 73/4 =

5 Verificamos el resultado con la funcion de maximizacion

z = 5 x + 4 y= 5 ( 5/4 ) + 4 ( 3 )= 73/4 correctoComo son iguales las respuestas de z y no hay mas negativos hemos terminado el metodo simplex

18.253.001.25

2/2

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