MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES POR ACCIÓN DE CARGAS EN LOSAS DE HORMIGÓN ARMADO

Donini, Hugo Juan (1); Orler, Rodolfo (2) Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco

hugo.donini@gmail.com

RESUMEN

El presente artículo expone una serie de expresiones de cálculo, comparaciones y modelaciones referidas a la verificación de las deformaciones en losas de hormigón armado sustentadas por vigas. También se expone la evolución de los coeficientes de seguridad para el diseño de estructuras de hormigón armado desde 1963 hasta el presente, lo que de una manera u otra han afectado la determinación de espesores y las deformaciones por cargas externas en losas de hormigón armado. Adicionalmente, se señalan los límites indicados por diferentes normativas respecto de las deformaciones totales y activas, con su incidencia sobre tabiquerías y muros soportados por losas para finalizar con una serie de conclusiones y recomendaciones en su cálculo.

ABSTRACT

This paper sets out a series of calculation expressions, comparisons and models concerning the verification of deformations in reinforced concrete slabs supported by beams. It also exposes the evolution of safety coefficients for the design of reinforced concrete structures from 1963 to the present, which in one way or another have affected the determination of thicknesses and deformations by external loads on reinforced concrete slabs. In addition, the limits indicated by different regulations regarding total and active deformations are exposed, with their impact on walls supported by slabs to end with a series of conclusions and recommendations in their calculation. (1) Ingeniero Civil e Hidráulico. Investigador y docente de la Facultad de Ingeniería Civil de la U.N.P.S.J.B. (Sede Trelew). Miembro Plenario de la Asociación de Ingenieros Estructurales. E-mail: hugo.donini@gmail.com. (2) Ingeniero en Construcciones. Investigador y docente de la Facultad de Ingeniería Civil de la U.N.P.S.J.B. (Sede Trelew). Miembro Plenario de la Asociación de Ingenieros Estructurales.

Autores de los libros “Introducción al Cálculo de Hormigón Estructural” Ed. Nobuko 3º Edición Actualizada, "Análisis de las Patologías en las Estructuras de Hormigón Armado" y “Plateas de Hormigón Armado”.

INTRODUCCIÓN

Los requisitos que permiten asegurar un adecuado comportamiento bajo los estados últimos (rotura), no necesariamente garantizan un comportamiento aceptable bajo cargas de servicio. Al respecto, el Reglamento CIRSOC 201-05 [7] establece en el Art. 9.5 para el control de flechas: “Los elementos de hormigón armado solicitados a flexión, se deben diseñar con una rigidez adecuada que permita limitar las flechas o cualquier deformación que pudiera afectar en forma negativa, tanto a la resistencia como al comportamiento en servicio de la estructura”. El CIRSOC 201-05 presenta dos maneras para controlar las flechas en los elementos armados en una y dos direcciones solicitados a flexión. Las flechas se pueden controlar en forma directa limitando las deformaciones calculadas a valores prefijados, o de manera indirecta por medio de alturas de vigas o espesores mínimos. En décadas anteriores (1940-1965), el cálculo de las secciones de hormigón armado, se realizaba mediante el método de las tensiones admisibles, con coeficientes de seguridad altos, y por ende, tensiones de trabajo reducidas bajo cargas de servicio tanto en el hormigón como en el acero. Las secciones eran en general robustas, y bajo estas condiciones el control de las flechas no resultaba relevante. En la actualidad, el mejor conocimiento de los materiales componentes (acero y hormigón), y el desarrollo del cálculo por diseño límite, permitieron diseños más ajustados, con vigas más esbeltas y coeficientes de seguridad más reducidos. El Reglamento CIRSOC 201-82 establecía un coeficiente de seguridad de rotura a flexión (roturas dúctiles) de γ = 1,75. En la versión del código ACI 318-99 [2], asumiendo una sobrecarga igual a un medio de la carga permanente, el factor de seguridad global utilizado para roturas dúctiles era de aproximadamente 1,67. En la actual versión del Reglamento CIRSOC 201-05, basado en el ACI 318-05 [3], para la misma relación entre sobrecarga y carga permanente, el factor de seguridad global es de aproximadamente 1,47. Es decir, un 15% aproximadamente menor a la versión anterior del CIRSOC 201.

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50

Relación L/D

Coe

ficie

nte

de s

egur

idad

ACI 318-99 φ=0,90

ACI 318-05 φ=0,90

CIRSOC 201-82

ACI 318-63 φ=0,90

ACI 318-56

Figura 1: Evolución de los coeficientes de seguridad global para las estructuras de edificios

Como se observa en la Figura 1, esta tendencia a la reducción de los coeficientes de seguridad se ha mantenido en el tiempo. Esto tiene naturalmente una directa incidencia sobre las tensiones en el acero y el hormigón y por tanto, sobre las flechas en losas y vigas. Cada vez es más importante la verificación de las flechas a fin de asegurar un comportamiento satisfactorio bajo cargas de servicio. Naturalmente, el proceso constructivo desde la etapa de elaboración del hormigón pasando por una adecuada compactación y un correcto curado y desencofrado según los tiempos mínimos establecidos y no antes, son variables importantes en la magnitud final de las flechas. Asimismo, el acopiar materiales sobre losas que aún no alcanzan la resistencia de diseño perjudica el comportamiento (Figura 2).

Figura 2: Acopio de materiales sobre losas durante la etapa constructiva de una obra

Por lo anterior, es vital, no sólo un correcto diseño, sino también una ejecución adecuada. La flecha que se puede presentar en un elemento es una variable aleatoria tal como lo es el cálculo del ancho de fisuras en las estructuras de hormigón, por lo que sólo se podrá realizar a través de un adecuado estudio, una estimación del valor que se puede producir. El CIRSOC 201-05 propone dos métodos para el control de las flechas a nivel de cargas de servicio. El primero de ellos es aplicable a elementos sometidos a flexión que no estén ligados a piezas (tabiques, cerramientos) no estructurales que puedan ser dañados por deformaciones excesivas. Este método consiste en dar un espesor o altura mínima a vigas y losas tal que se garantice que las deformaciones se mantengan dentro de valores aceptables (basado en la experiencia). El segundo

método es directo, y consiste en el cálculo de la flecha del elemento en estudio y su posterior comparación con las flechas máximas admisibles establecidas por la norma. Evolución de las flechas en una estructura típica d e edificios A continuación se desarrollará el proceso de evolución de las flechas de una estructura de forma simplificada, dado que entre otras variables no se evalúa por ejemplo, las cargas generadas por el encofrado de los niveles superiores. En el análisis se contempla a la flecha activa, que es aquella susceptible de afectar a los cerramientos (Figura 3). Al respecto, en la referencia [7] se indica la conveniencia de considerar la flecha instantánea producida por la mampostería como parte de la flecha activa, dado que los tabiques se rigidizan rápidamente luego de ser construidos y por lo tanto las cargas producidas por la ejecución de otros cierres aledaños con pocos días de diferencia, puede ocasionar flechas que dañen a los ejecutados primeramente.

∆i(m)

∆activa

∆

t t0 t∝=5 años t1 t2 t3

∆iD

λ(t1-t0).∆iD

λ(t2-t1).∆i(D+m) ∆ip

λ(t3-t2).∆i(D+m+p)

∆i0,25L

λ(t∝-t3).∆i(D+m+p+0,25L)

∆T

Referencias: ∆i(D) = flecha debida al peso propio de las vigas y losas. ∆i(m) = flecha debida a los muros de cerramiento. ∆ip = flecha debida a la ejecución de contrapisos, pisos y cielorrasos. ∆i0,25L = flecha debida al porcentaje de la sobrecarga que se considera de carácter permanente.

∆T∞ = ∆i(D)+λ (t1-t0).∆i(D)+∆i(m)+λ(t2-t1).∆i(D+m)+∆ip+λ(t3-t2).∆i(D+m+p)+∆i0,25L+λ(t∞-t3).∆i(D+m+p+0,25L)

Figura 3: Evolución de las deformaciones en una estructura típica de edificios

Flechas activas admisibles según otras especificaci ones La flecha activa medida en un elemento dañable, es aquella producida a partir del instante en que se construye dicho elemento. Su valor es igual a la flecha total menos la que ya se ha producido hasta el instante en que se construye el elemento. El Comité ACI 435R-95 [5] indica que para elementos que soporten o se apoyen en tabiques o muros que puedan sufrir daños por flechas importantes, la flecha activa

debe limitarse al menor de los valores obtenidos de (1) y (2).

600l

activa ≤∆ (1)

∆activa ≤ 7,6 mm (2)

Adicionalmente, se indica que “Existe evidencia que flechas activas de más de 10 mm llevan a una fisuración de la mampostería”. En particular, el Art. 12.2.2.3.1.5 del ACI 530-13 [6] señala límites similares a los anteriormente indicados y el Art. 9.3.5.5 considera un valor de deformación horizontal a la mitad de la altura δs≤0,007.h. De acuerdo a la Tabla 24.2.2 del ACI 318-19 [4], dicho valor máximo se limita a l/480. Este límite puede no ser adecuado para luces importantes. La Instrucción Española EHE-08 [10] y la Instrucción para el proyecto y la ejecución de forjados EF-96 [9] indican los siguientes valores límite. Edificaciones normales: - Flecha total: el menor de los valores L/250 y L/500 + 1 cm - Flecha activa: L/400 Forjados unidireccionales: - Flecha total: el menor de los valores L/250 y L/500 + 1 cm - Forjados que sustentan tabiques o muros de partición o de cerramiento - Flecha activa: el menor de los valores L/500 y L/1000 + 0,5 cm. En la Figura 4 se compara la evolución de las deformaciones límites según distintas normativas señalando la disparidad de criterios.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Longitud (L)

Fle

cha

activ

a (

∆∆ ∆∆ac

t) o

tota

l (∆∆ ∆∆

tot)

EF-88 ACI 318-19(∆tot)

ACI 435-89

EHE-08 y EF-96

EHE-80(∆tot)

Figura 4: Evolución de los límites para deformaciones según distintas normativas

Respecto del cálculo de las flechas se debe tener presente que por un lado se

tendrán las flechas instantáneas y por otro, las flechas a largo plazo (o diferidas) que pueden ser del orden de dos o más veces la inicial. Estas últimas son generadas por fenómenos reológicos del hormigón. La flecha total obtenida de la suma de la deformación instantánea y diferida a largo plazo, debe ser menor a la admisible indicada por el Reglamento CIRSOC 201-05. A los efectos del cálculo práctico, la metodología utilizada por el CIRSOC 201-05 es tan sólo una aproximación dada la cantidad de variables que intervienen, por lo que los valores obtenidos en dichos cálculos presentan importantes dispersiones frente a los que efectivamente se registrarán.

DEFORMACIONES EN LOSAS POR LA ACCIÓN DE CARGAS EXTE RNAS

Las losas apoyadas en los bordes resultan delgadas con relación a sus dimensiones y pueden llegar a presentar luces importantes. La manera más sencilla para evitar deformaciones excesivas resulta poner límites respecto de los espesores mínimos que deben poseer en función de las respectivas luces. El cálculo de las deformaciones de las losas se ve afectado por mayor número de variables que el de las vigas, debido a la restricción rotacional variable en los bordes, la influencia de la distribución de cargas, las diferentes relaciones de longitudes de cada lado, fenómenos de fisuración, retracción por fragüe, temperatura, deformabilidad de las vigas de apoyo, historia de las cargas, entre otros aspectos. El Reglamento CIRSOC 201-05 señala una serie de tablas con coeficientes para determinar espesores mínimos en función de sus longitudes. Existe adicionalmente un criterio alternativo desarrollado en los Comentarios al Capítulo 9. Tanto el ACI 318-19 como el Reglamento CIRSOC 201-05, admiten la existencia de vigas de rigidez “no infinita”, es decir, flexibles como apoyos. Esto posibilita la transición continua que va desde los entrepisos sin vigas, a los entrepisos con vigas, en los cuales éstas se puedan asumir como apoyos infinitamente rígidos para losas. Esta transición se evalúa mediante la incorporación de un parámetro (αfm), que es el promedio de las rigideces relativas (αfi) de las vigas frente a las losas que apoyan en ellas. Los límites que definen los espesores mínimos de las losas incorporados en el Reglamento CIRSOC 201-05 y el ACI 318 han surgido de la evolución a través de los años en función de cuya aplicación se ha podido concluir que las losas que se han ajustado ellos, no han mostrado sistemáticamente problemas relacionados con la deformación para cargas a corto y largo plazo. A modo de ejemplo, se compara el criterio para espesor mínimo de losas en una dirección según ACI 318-63 (Tabla 1) y ACI 318-19 (Tabla 2), lo cual indica un ajuste considerando la evolución de los coeficientes de seguridad en el dimensionado de dichas estructuras.

Tabla 1: Espesores mínimos para vigas y losas unidireccionales según ACI 318-63 [1]

Tabla 2: Espesores mínimos para vigas y losas unidireccionales según ACI 318-19 [4] y

CIRSOC 201-05 [7]

Según la experiencia obtenida en estructuras similares construidas en nuestro país, los espesores mínimos para losas cruzadas que surgen de la aplicación de las expresiones del ACI 318 pueden resultar conservadores. Esto se manifiesta cuando las losas no tienen todos sus bordes articulados o cuando la relación de sus lados (β) es mayor a 1,5. Tal comportamiento de las ecuaciones puede observarse en la Figura 5, a la cual se han incorporado espesores mínimos utilizados con anterioridad al CIRSOC 201-05. En el CIRSOC 201-05, se indica que es factible determinar los espesores mínimos de las losas bajo ciertas condiciones de carga, materiales y procedimientos constructivos; los que se especifican en la C 9.5.3.2 desarrollada por los Ings. Husni, Manzelli y Vásquez Palligas.

7 cm

9 cm

11 cm

13 cm

15 cm

17 cm

19 cm

21 cm

23 cm

25 cm

3.0 m 3.5 m 4.0 m 4.5 m 5.0 m 5.5 m 6.0 m 6.5 m 7.0 m 7.5 m 8.0 m

ln (longitud mayor)

h ó

d m

ínim

o

β = 1; α = 0,2β = 1; α = 1β = 2; α = 1β = 1; α ≥ 2β = 2; α ≥ 2d > l/50 + r + db/2d > l/55 + r + db/2d > l/60 + r + db/2

( )20,0.536

1400

f80,0.l

hfm

yn

−αβ+

+

≥

β+

+

≥936

1400

f80,0.l

h

yn

Figura 5: Variación del espesor mínimo (h) en las losas cruzadas según CIRSOC 201-05 y

CIRSOC 201-82.

Por otro lado, el ACI 318-19 y el CIRSOC 201-05 no consideran las cuantías de armadura para definir las esbelteces, es decir, de forma indirecta la intensidad de las cargas actuantes. La Introducción Española EHE-08 y el Eurocódigo 2 Parte 1 sí lo

hacen para las vigas en las Tablas 50.2.2.1.a y 7.4N, respectivamente. A modo de ejemplo y comparación, para una viga según las sustentaciones indicadas se observarían las esbelteces límites indicadas en la Tabla 3. Estos aspectos tienen repercusiones directas en las rigideces y el comportamiento en servicio del sistema losa-viga.

Código o Reglamento Esbeltez límite (*) Viga simplemente apoyada

ACI 318-19 16 EHE-08 y EC 2 Parte 1 Elementos débilmente armados ρ = 0,5%

20

EHE-08 y EC 2 Parte 1 Elementos fuertemente armados: ρ = 1,5%

14

Viga interior continua ACI 318-19 21 EHE-08 y EC 2 Parte 1 Elementos débilmente armados ρ = 0,5%

30

EHE-08 y EC 2 Parte 1 Elementos fuertemente armados: ρ = 1,5%

20 (*) En el caso de la norma ACI 318-19 la esbeltez está referida al espesor total (l/h), mientras que en la EHE-08 y el EC 2 Parte 1 corresponde a la altura útil (l/d).

Tabla 3: Comparación de esbelteces mínimas

EVALUACIÓN DE LAS DEFORMACIONES INSTANTÁNEAS EN LOS AS

A fin de realizar un estudio simplificado que brinde una idea de magnitud de las deformaciones esperables en losas armadas en dos direcciones, se puede proceder de la siguiente manera. Se analizan dos fajas ortogonales de ancho unitario (Figura 6), de tal forma que en el punto de intersección de ambas, la flecha debe ser naturalmente la misma.

ly

lx

∆x = ∆y

Figura 6: Evaluación de deformaciones instantáneas para una losa

De resultar la losa simplemente apoyada en todo su perímetro se tendrá como flecha máxima:

efc

4xx

I.E

l.w

3845=∆ (3)

con: w = carga total de servicio = wx + wy. lx = longitud de cálculo. Ec = módulo elástico del hormigón. Ief = momento de inercia efectivo. A su vez, para otras condiciones de borde y considerando las franjas como vigas independientes, se obtendrán las conocidas expresiones de deformaciones. A modo de ejemplo, para una losa de borde según la dirección x que se representa la Figura

7, la ecuación es la (4).

lx Figura 7: Faja correspondiente a una losa de borde según la dirección x

efc

4xx

x I.E.384

l.w.07,2=∆ (4)

En el caso de una losa con empotramiento perfecto en ambos bordes resulta la expresión (5).

efc

4xx

x I.E.384

l.w.1=∆ (5)

o bien en términos de momentos según x la ecuación (6):

efc

2xx

x I.E.16

l.M.1=∆ (6)

Se pueden resolver las losas cruzadas con el método de Marcus, y con los momentos obtenidos y en función de las condiciones de borde, calcular la deformación para la franja unitaria más larga. El cálculo en la dirección más corta debería arribar al mismo valor pero, dada la naturaleza del procedimiento se pueden esperar ciertas diferencias. En general, se recurre a promediar los resultados según ambas direcciones. Para evaluar las deformaciones a largo plazo en las losas, se utiliza un factor multiplicador (según sugiere Branson) de λ = 3. Respecto del momento de inercia a considerar para la losa, si bien lo más correcto sería aplicar el concepto de momento de inercia efectivo (Ief), en el caso particular de las losas para cargas de servicio, el patrón de fisuras suele ser localizado y no muy extenso, por lo que en ocasiones se recurre como primer aproximación al problema a adoptar el momento de inercia bruto (Ig) de la sección. El ACI 318-19 en el Art. 24.2.3.5 indica la forma de calcular el momento de inercia efectivo a partir de la Tabla 4.

Referencias:

tgrcr yI.fM = = momento de fisuración de la pieza.

Ma = momento máximo en servicio actuante en la sección correspondiente a la etapa de carga en estudio. Para ello, debe considerarse para evaluar (Ma) al máximo momento actuante en la sección en la historia de cargas de la estructura. Icr = momento de inercia de la sección en estado II (fisurada). Ig = momento de inercia en estado I (sección bruta de hormigón). yt = distancia desde el eje neutro hasta la cara traccionada. fr = 0,625 . √f´c.

Tabla 4: Cálculo del momento de inercia efectivo según ACI 318-19

Antes de la versión 2019, para el cálculo de Ief el ACI 318 empleaba la expresión desarrollada por Branson en 1965. No obstante, dicha ecuación demostró subestimar las deformaciones en elementos estructurales con reducidas cuantías de armadura, lo cual suele ocurrir en losas, sumado a que no consideraba los efectos de las restricciones. Para aquellos elementos con cuantías de armadura superiores al 1% y momentos de servicio de al menos el doble del de fisuración, existe una reducida diferencia entre esta nueva forma de cálculo y las anteriores. La aproximación indica en la Tabla 4 fue desarrollada por Bischoff en 2005 y concuerda aceptablemente con una amplia cantidad de cuantías de armaduras. El factor multiplicador de 2/3 en Mcr considera que las restricciones pueden reducir el momento de fisuración y que las reducidas tensiones de tracción en el hormigón durante su construcción pueden generar fisuras que luego afecten las deformaciones en servicio (Scanlon y Bischoff, 2008). Para el caso de losas en una dirección, se permite adoptar el promedio de los valores de la Tabla 4 de forma de tener en cuenta las secciones críticas de momentos positivos y negativos. Para losas en dos direcciones, el ACI 318-19 indica que aún asumiendo un comportamiento lineal del hormigón, el cálculo de las deformaciones representa un reto. Recomienda el uso de lo indicado precedentemente o bien de cualquier otro método comprobado. Recomendaciones respecto de la aplicación del métod o A fin de reducir la posibilidad de daños sobre cerramientos en losas esbeltas, se puede dar una adecuada contraflecha a la misma, usualmente de valor:

∆cont. = ∆Di + ½ . ∆D∞ (7) con: ∆D∞ = deformación a largo plazo debida a las cargas permanentes. Asimismo es conveniente dejar madurar el hormigón el mayor tiempo posible previo a la aplicación de las cargas. También es importante evaluar las estructuras frente a los potenciales cambios de destino de forma de evitar deformaciones excesivas (Figura 9).

Figura 8: Sobrecargas excesivas no previstas aplicadas en losas de oficinas

Figura 9: Deformaciones y fisuras activas en una losa armada en una dirección

Las deformaciones a largo plazo se ven influenciadas por la temperatura, la humedad, condiciones de curado, la edad del hormigón al aplicar la carga, la cuantía de la armadura comprimida, y la magnitud de la carga permanente, entre otros aspectos. Las deformaciones se incrementan rápidamente en los primeros días de aplicación de las cargas y en la medida que avanza el tiempo, crecen a una menor velocidad para llegar a valores aproximados finales cerca de los 5 años. En la Figura 10 se puede observar un esquema con el incremento de las deformaciones en la zona comprimida del hormigón debido a cargas de larga duración y el aumento de curvaturas (φ) y flechas asociado a las mismas. Se observa que la posición del eje neutro desciende por efecto de la deformación por fluencia lenta (εck) y que la deformación específica de la armadura traccionada (εs) se mantiene prácticamente constante. En realidad, al descender el eje neutro se reduce el brazo interno de palanca (z), por lo que se requiere de un leve incremento en las resultantes de compresión (C) y tracción (T), y bajo esa consideración (εs) ya no es constante tal como se lo supuso. El método planteado por el Reglamento CIRSOC 201-05 para evaluar las deformaciones a largo plazo es tan sólo una aproximación, y por lo tanto, si las deformaciones constituyen un problema de diseño, es conveniente evaluarlas mediante algún método más preciso. El valor de la flecha resulta influenciado no sólo por la intensidad de la carga, sino también por su duración y repetición. Por ejemplo, para una sobrecarga de servicio de corta duración (minutos) aplicada con la estructura trabajando en período elástico (zonas en Estado I y otras en Estado II), la deformación incremental producida se reduce prácticamente a cero al desaparecer la sobrecarga. En cambio, para el mismo tipo y nivel de carga pero de mayor duración, a raíz de la fisuración y pérdida de adherencia quedan deformaciones permanentes luego de la descarga, aún con estructuras en período elástico.

εci

Sección transversal Deformaciones instantáneas bajo carga (t=0)

Deformaciones a largo plazo bajo carga constante (t=∞)

εci

ci

εs

φi

εck

φi + φk

εs

As

ck

Referencias: εci = deformación específica instantánea del hormigón comprimido. εck = deformación específica de fluencia del hormigón comprimido. ci = profundidad del eje neutro para t = 0. ck = profundidad del eje neutro para t = ∞. εc∞ = εci + εck = deformación específica total en la fibra más comprimida del hormigón a largo plazo. φi = curvatura inicial φk = incremento de curvatura debido a la fluencia lenta.

Figura 10: Deformaciones a largo plazo en una viga de hormigón armado

VERIFICACIÓN DE LA DEFLEXIÓN DE UNA LOSA

Se verificará la deformación a largo plazo de una losa interna de un paño de entrepiso de oficinas esquematizada en la Figura 11 bajo la hipótesis de que luego de 4 meses de hormigonado se instalarán sobre la misma, paneles de cerramiento que son susceptibles de sufrir daños con deformaciones excesivas. Datos Materiales Hormigón H-20 Acero ADN 42/50 Ec = 4700 √f´c = 21019 MPa h = 15 cm

6,40

7,50

Figura 11: Esquema de sustentación de la losa

Solución analítica

Peso propio .................................................... 0,15 m x 25 KN/m3 = 3,75 KN/m2 Contrapiso ...................................................... 0,08 m x 18 KN/m3 = 1,44 KN/m2

Carpeta ......................................................... 0,02 m x 20 KN/m3 = 0,40 KN/m2 Cielorraso aplicado ....................................................................... = 0,21 KN/m2 Peso paneles prorrateados ........................................................... = 0,80 KN/m2 Piso ................................................................................................ = 0,40 KN/m2 D = 7 KN/m2

(sobrecarga) L = 2,50 KN/m2

w = D + L = 9,50 KN/m2 Análisis para el peso propio A los fines de analizar los momentos actuantes para el cálculo de las flechas, para evaluar el peso propio se considera a la losa empotrada en su perímetro (Figura 12). De tablas de cálculo para losas, se obtienen los momentos resultantes: MxD = 7,05 KNm/m MyD = 4,47 KNm/m

lx

ly

Figura 12: Sustentación para el análisis de peso propio de la losa

Se tomará la sección bruta para calcular el momento de inercia: Ig = 1 m . (0,15 m)3 / 12 = 0,00028125 m4

( )cm305,0100.

1000.m00028125,0.MPa21019

m40,6.KNm05,7.

161

I.E.16

l.M.14

2

efc

2xx

lxDi ===∆

( )cm265,0100.

1000.m00028125,0.MPa21019

m50,7.KNm47,4.

161

I.E.16

l.M.14

2

efc

2yy

lyDi ===∆

cm285,02

lyDilxDiDim =

∆+∆=∆

Análisis para la sobrecarga Para analizar las solicitaciones debidas a la sobrecarga, se considera a la losa simplemente apoyada en su perímetro, para evaluar el caso en el que esta carga sólo se encuentre presente en la losa analizada y no en las contiguas. De tablas de cálculo para losas, se obtienen los momentos resultantes: MxL = 5,18 KNm/m MyL = 3,56 KNm/m

( )cm374,0100.

1000.m00028125,0.MPa21019

m40,6.KNm18,5.

485

I.E

l.M.

485

4

2

efc

2xxL

lxLi ===∆

( )cm353,0100.

1000.m00028125,0.MPa21019

m50,7.KNm56,3.

485

I.E

l.M.

485

4

2

efc

2yyL

lyLi ===∆

cm364,02

lyLilxLiLim =

∆+∆=∆

Por lo tanto, la flecha total a largo plazo será: ∆t∞ = ∆iD + λ . ∆iD + ∆iL

Considerando λ = 3 para losas: ∆t∞ = ∆iD + λ . ∆iD + ∆iL = 0,285 cm + 3 . 0,285 cm + 0,364 cm = 1,504 cm

A fin de considerar las deformaciones que pueden afectar a los paneles, se adopta λ1 = 2 (ti = 4 meses), por lo que entonces se obtiene:

∆tP∞ = λ1 . ∆iD + ∆iL = 2 . 0,285 cm + 0,364 cm = 0,934 cm Para tal situación de proyecto, surge de la tabla 9.5.b) del Reglamento CIRSOC 201-05 que la flecha admisible máxima es:

∆ ≤ l / 480 = 640 cm / 480 = 1,33 cm Por lo que verificaría bajo estas condiciones de análisis. Comentarios referidos al desarrollo de los cálculos El análisis realizado no consideró la flexibilidad de las vigas de apoyo (Figura 13), como tampoco analizó la pérdida de rigidez de la losa en las zonas más solicitadas. Además, se adoptó como momento de inercia el de la sección bruta (Ig).

Referencias: ∆cx y ∆cy = deformaciones en vigas de apoyo ∆t = ∆cx + ∆my = ∆cy + ∆mx = deformación en la losa

Figura 13: Deformaciones de las vigas de apoyo en una losa cruzada [11]

A fin de evaluar la situación de la sobrecarga se consideró de manera conservadora a la losa con apoyos a rotación libre, aún cuando la situación más realista sería el de empotramiento elástico dada la continuidad con las losas aledañas. Al respecto, en diferentes referencias bibliográficas sugieren adoptar un 50% de grado de empotramiento, de donde surgiría una flecha instantánea para la sobrecarga igual a la expresada en la ecuación (8).

efc

2ii

iL I.E

l.M.

323=∆ (8)

siendo: M = wi . li

2 / 8 wi = fracción de carga que se transmite según la dirección i.

Modelo de elementos finitos Para evaluar de alguna forma la incidencia de la deformabilidad de las vigas, se procesaron cuatro modelos de elementos finitos (MEF), los que incluyeron a las losas linderas, todas apoyadas sobre vigas de hormigón armado de sección rectangular. MEF 1: vigas de apoyo de rigidez media (Figura 14 y Figura 15). Vigas según x b = 25 cm h = 60 cm Vigas según y b = 25 cm h = 70 cm MEF 2: vigas de apoyo de escasa rigidez (Figura 16 y Figura 17). Se adoptaron esbelteces cercanas al límite de referencia que surge de la Tabla 9.5.a) del Reglamento CIRSOC 201-05. Según la misma, para vigas con ambos extremos continuos la esbeltez máxima es h ≥ li / 21. Vigas según x h ≥ lx / 21 = 30,5 cm, se adopta h = 35 cm Vigas según y h ≥ ly / 21 = 35,7 cm, se adopta h = 40 cm MEF 3: vigas de apoyo fisuradas de rigidez media (Figura 18 y Figura 19). MEF 4: vigas de apoyo fisuradas de escasa rigidez (Figura 20 y Figura 21). Se aplicaron los coeficientes de reducción de las rigideces para las vigas y las losas según las recomendaciones del Reglamento CIRSOC 201-05. Para las vigas, se empleó un coeficiente de reducción de inercia calculado como 1,43 . 0,35 = 0,50 y para losas de 1,43 . 0,25 = 0,36 de acuerdo a la Tabla 10.11.1 del CIRSOC 201-05 incrementados por un factor de 1,43 según lo indicado en los comentarios a dicho artículo y a los efectos de considerar la fisuración pero para el rango de cargas de servicio. Resultados Los resultados obtenidos de las distintas modelaciones de elementos finitos se anexan en la Tabla 5, donde se han detallado las deformaciones instantáneas para la condición de peso propio (∆iD), sobrecarga (∆iL) y total (∆it).

Flechas instantáneas ∆∆∆∆iD (cm) ∆∆∆∆iL (cm) ∆∆∆∆it (cm) a) Modelo simplificado 0,285 0,364 0,649 b) MEF 1 0,309 0,321 0,629 c) MEF 2 0,476 0,521 0,997 d) MEF 3 0,776 0,792 1,568 e) MEF 4 1,370 1,238 2,608

Referencias: ∆iD = flecha instantánea debida al peso propio.

∆iL = flecha instantánea debida a la sobrecarga. ∆it = ∆iD + ∆iL.

Tabla 5: Comparación de diferentes metodologías en la evaluación de deformaciones instantáneas en las losas

Figura 14: Aspecto de la deformación del MEF 1

Figura 15: Valor de deformación total para el MEF 1

Figura 16: Aspecto de la deformación del MEF 2

Figura 17: Valor de deformación total para el MEF 2

Figura 18: Aspecto de la deformación del MEF 3

Figura 19: Valor de deformación total para el MEF 3

Figura 20: Aspecto de la deformación del MEF 4

Figura 21: Valor de deformación total para el MEF 4

Discusión de los resultados Se observa que existe una buena concordancia entre el análisis simplificado y el MEF con vigas de rigidez media en Estado I. Por el contrario, de resultar deformables las vigas de apoyo (MEF 2), los valores presentan una diferencia del 53,6%. Para el caso de considerar los efectos de la fisuración sobre vigas y losas, las diferencias alcanzan valores del 141,6% para vigas de mediana rigidez y del 301,7% para vigas de escasa rigidez. Este último caso representa un escenario

desfavorable para la estructura, ya que se han aplicado los mismos coeficientes de reducción de los momentos de inercia a ambos escenarios, cuando es de esperar que las vigas menos rígidas no presenten el mismo grado de esfuerzos y por tanto de fisuras que las vigas de mayor rigidez. Se debe tener presente que dada la multiplicidad de variables y las simplificaciones adoptadas, sólo se espera obtener una idea del orden de magnitud del problema.

CONCLUSIONES

- Es importante tener en cuenta las reducciones correspondientes de las rigideces de las piezas para estados de servicio para la modelación de deformaciones en estructuras de hormigón armado. Para ello, el proyectista debe ser cauto al momento de seleccionar los coeficientes de reducción de las mismas. El Reglamento CIRSOC 201-05 recomienda factores en el Capítulo 10 y sus comentarios. - Existe una reducción en los coeficientes de seguridad según la evolución temporal de los códigos y normativas, lo cual conlleva a estructuras menos rígidas y consecuentemente con menos sección de armadura, lo que conlleva a mayores tensiones de servicio en las mismas. - La mayoría de los softwares arrojan como resultado valores de deformaciones instantáneas, por lo que es necesario ser cauto en la estimación de las generadas por coacción y por aquellas que actúan a largo plazo. - Los resultados obtenidos por la aplicación del método de Branson para el cálculo de las deformaciones en losas coinciden aceptablemente con los MEF’s cuando se emplean vigas de rigidez media a elevada sin considerar los efectos de la fisuración en las mismas. - Cuando se aplican coeficientes de reducción de rigideces torsionales y flexionales a los momentos de inercia de las vigas y las losas evaluando el Estado II de las mismas, las deformaciones obtenidas en los MEF’s para las losas se ven incrementadas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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