MÉTODOS DE IMPUTACIÓN APLICADOS AL CÁLCULO DE …

MÉTODOS DE IMPUTACIÓN APLICADOS AL CÁLCULO

DE BONOS PENSIONALES EN COLOMBIA

Laura Alejandra Hoyos Ortiz.

Director de Trabajo de Grado: Milton Januario Rueda Varon Ph.D.

Ponti�cia Universidad Javeriana.

25 de mayo de 2012

2

En agradecimiento a Milton por

su grandiosa idea y a todos

aquellos que creyeron

en este proyecto, por

darme su apoyo

y ánimo día

a día.

Índice general

1. PRELIMINARES 7

1.1. ¾Qué son Bonos Pensionales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. ¾Qué son Datos Faltantes (Missing Values)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. ¾Qué es Imputación de datos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. BONOS PENSIONALES 9

2.1. Preámbulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. ¾Qué son bonos pensionales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Clases de Bonos Pensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Bonos Pensionales Tipo A.[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2. Bonos Pensionales Tipo B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3. Bonos Pensionales Tipo C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.4. Bonos Pensionales Tipo E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Características de los Bonos Pensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4. Valor de los Bonos Pensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1. Determinación del Valor Base del Bono Pensional. . . . . . . . . . . . . 18

2.5. Metodología para la Emisión de Bonos Pensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1. De�ciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3

4 ÍNDICE GENERAL

2.5.2. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.3. Bonos Tipo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.4. Modalidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. MÉTODOS DE IMPUTACIÓN 23

3.1. Preámbulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Métodos de Imputación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1. Métodos Estadísticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO. 43

4.1. Planteamiento del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Metodología. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1. Aplicación de los Métodos de Imputación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Resultados Obtenidos y Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

BIBLIOGRAFÍA 63

INTRODUCCIÓN.

En el presente trabajo se tiene como objetivo analizar los métodos estadísticos de impu-tación como herramienta en el cálculo de un Bono Pensional. Para ello fue necesario recopilarla información pertinente acerca de el cálculo de las pensiones en Colombia, la cual se encon-trará en el Capítulo 2. También se consultó los métodos estadísticos de imputación de datos,para aplicarlos al cálculo del bono pensional, los cuales se explican en el Capítulo 3.

Toda esta información se usa con la �nalidad de comparar los métodos usados en la prácticacon una historia laboral real y poder determinar cual es el tipo de imputación más apropiadosegún los datos faltantes en la historia laboral. Este desarrollo se presenta en el Capítulo 4.

5

6 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

PRELIMINARES

A continuación se dan unas breves de�niciones que pretenden acercarnos a los conceptosnecesarios para la realización de este trabajo, como lo son los bonos pensionales, los datosfaltantes y los metodos de imputación.

1.1. ¾Qué son Bonos Pensionales?

Los bonos pensionales constituyen aportes destinados a contribuir a la conformación delcapital necesario para �nanciar las pensiones de los a�liados al Sistema General de Pensiones.Éste es calculado con base en toda la información suministrada por las empresas que tienen otuvieron a cargo la pensión de los trabajadores.

Para calcular el valor del Bono Pensional se necesita toda la historia laboral de los traba-jadores que, a través de sus empleadores o su fondo de pensiones y cesantías, es consignadaen bases de datos muy susceptibles a pérdidas, datos que tienen relevancia en el cálculo de lareserva total de una empresa, y en el cálculo del bono pensional.

1.2. ¾Qué son Datos Faltantes (Missing Values)?

Se produce un dato faltante cuando la información de una variable de un individuo noexiste; ello puede ser debido a varias causas: a que tal información se ha perdido, a que porlascaracterísticas particulares del individuo no puede existir o a que el individuo no ha queridoproporcionar dicha información.

7

8 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

1.3. ¾Qué es Imputación de datos?

Se le llama método de imputación a cualquier procedimiento mediante el cual se buscacompletar los datos faltantes de un archivo con información estadística, asignándole un valorválido.

Capítulo 2

BONOS PENSIONALES

2.1. Preámbulo.

Existen 2 Regímenes o Sistemas pensionales en Colombia, el que administran Entidadesdel Estado o Público denominado Prima Media con Prestación De�nida y el que administranlos Fondos Privados denominado Ahorro Individual con Solidaridad.

El Régimen de Prima Media con Prestación De�nida es aquel mediante el cual los a�-liados o sus bene�ciarios obtienen una pensión de vejez, de invalidez o de sobrevivientes, ouna indemnización. Serán aplicables a este régimen las disposiciones vigentes para los segu-ros de invalidez, vejez y muerte a cargo del Instituto de Seguros Sociales, con las adicionesmodi�caciones y excepciones contenidas en la Ley 100.1

Los aportes de los a�liados y sus rendimientos, constituyen un fondo común de naturalezapública, que garantiza el pago de las prestaciones de quienes tengan la calidad de pensionadosen cada vigencia, los respectivos gastos de administración y la constitución de reservas deacuerdo con lo dispuesto en la presente Ley. El Estado garantiza el pago de los bene�cios aque se hacen acreedores los a�liados.2

El Régimen de Ahorro Individual con Solidaridad es el conjunto de entidades, normas yprocedimientos, mediante los cuales se administran los recursos privados y públicos destinadosa pagar las pensiones y prestaciones que deban reconocerse a sus a�liados. Este régimen estábasado en el ahorro proveniente de las cotizaciones y sus respectivos rendimientos �nancieros,la solidaridad a través de garantías de pensión mínima y aportes al Fondo de Solidaridad, ypropende por la competencia entre las diferentes entidades administradoras del sector privado,

1Ley 100 de 1993, art. 31.2Ley 100 de 1993, art. 32.

9

10 CAPÍTULO 2. BONOS PENSIONALES

sector público y sector social solidario, que libremente escojan los a�liados.3

Los a�liados al régimen tendrán derecho al reconocimiento y pago de las pensiones devejez, de invalidez y de sobrevivientes, cuya cuantía dependerá de los aportes de los a�liados yempleadores, sus rendimientos �nancieros, y de los subsidios del Estado, cuando a ellos hubierelugar.4

2.1.1. ¾Qué son bonos pensionales?

L. 100/93.

ART. 115-Los bonos pensionales constituyen aportes destinados a contribuir a la confor-mación del capital necesario para �nanciar las pensiones de los a�liados al Sistema General dePensiones.

En Colombia, tienen derecho a bono pensional los a�liados que con anterioridad a suingreso al régimen de ahorro individual con solidaridad cumplan con alguno de los siguientesrequisitos:

Que hubiesen efectuado cotizaciones al Instituto de seguros Sociales o a las cajas o fondosde previsión del sector público.

Que hubiesen estado vinculados al Estado o a sus entidades descentralizadas como ser-vidores públicos.

Que estén vinculados mediante contrato de trabajo con empresas que tienen a su cargoel reconocimiento y pago de pensiones.

Que hubiesen estado a�liados a cajas previsionales del sector privado que tuvieren a sucargo exclusivo el reconocimiento y pago de pensiones.

PAR 1-Los a�liados de que trata el literal a) del presente artículo que al momento deltraslado hubiesen cotizado menos de 150 semanas no tendrán derecho a bono.

OBSERVACIÓN:La expedición, monto y características de los bonos pensionales a quetengan derecho los a�liados al sistema general de pensiones se regirán por las disposiciones dela Ley 100 de 1993 y por las que se determinen en ejercicio de las facultades extraordinarias5.

3Ley 100 de 1993, art. 59.4Ley 100 de 1993, art. 60.5D.R. 692/94, ART. 18.

2.2. CLASES DE BONOS PENSIONALES. 11

2.2. Clases de Bonos Pensionales.

En la actualidad existen cuatro clases de bonos pensionales, a saber:

Bonos Tipo A: Se expiden a aquellas personas que se trasladen al Régimen de Ahorro In-dividual con Solidaridad, reglamentados por los Decretos 1299 de 1994, 1748 de 1995 y3798 de 2003.

Bonos Tipo B: Se expiden a servidores públicos que se trasladen al ISS en o después de lafecha de entrada en vigencia del Sistema General de Pensiones, reglamentados por losDecretos 1314 de 1994, 1748 de 1995 y 3798 de 2003.

Bonos Tipo C: Se expiden a favor del Fondo de Previsión del Congreso, por las personasque se trasladen o se hayan a�liado al Fondo con posterioridad al 31 de marzo de 1994,reglamentados por Decreto 816 del 2002.

Bonos Tipo E: Se expiden a favor de ECOPETROL, por las personas que se trasladen o sehayan trasladado a ECOPETROL con posterioridad al 31 de marzo de 1994, reglamen-tados por Decreto 876 de 1998.

2.2.1. Bonos Pensionales Tipo A.[1]

Requisitos para el reconocimiento de Bonos Pensionales Tipo A.

Según el artículo 2 del Decreto Ley 1299 de 1994, los requisitos para el reconocimiento delos bonos Pensionales por traslado al régimen de ahorro individual son los siguientes:

Que estén cotizando o hubieren efectuado cotizaciones al Instituto de Seguros Sociales oa las Cajas o Fondos del sector público.

Que estén prestando servicios o hubieran prestado servicios al Estado o a sus entidadesdescentralizadas como servidores públicos, del orden nacional, departamental, municipalo distrital con vinculación contractual o legal y reglamentaria.

Que estén prestando servicios mediante contrato de trabajo con empleadores del sectorprivado que tenían a su cargo el reconocimiento y pago de las pensiones, siempre que lavinculación laboral se encontrare vigente a la fecha de expedición de la Ley 100 de 1993o se hubiere iniciado con posterioridad a la misma fecha.

Que estén a�liados o hubieran estado a�liados a cajas de previsión del sector privadoque tuvieran a su cargo el reconocimiento y pago de pensiones legales.


Quién expide los Bonos Pensionales Tipo A.

Los bonos Pensionales serán expedidos por la última entidad pagadora de pensiones a lacual haya pertenecido el a�liado antes de la selección o traslado al régimen de ahorro individual,siempre y cuando el tiempo de cotización o de servicios, continuo o discontinuo, haya sido igualo mayor a cinco (5) años.

Tiempos válidos para Bonos Pensionales Tipo A.

Tiempos cotizados al ISS o a cualesquiera Cajas o Fondos de Previsión Social.

Tiempos servidos como servidores públicos

Tiempos laborados a empleadores del sector privado que reconocían y pagaban pensionessi la relación laboral estaba vigente el 23 de diciembre de 1993.

Tiempos aportados a cajas del sector privado que tenían a su cargo el reconocimiento ypago de pensiones.

Por los tiempos cotizados al ISS, en el Bono Pensional tipo A responde la Nación a travésde la O�cina de Bonos Pensionales del Ministerio de Hacienda y Crédito Público, por losperiodos cotizados al ISS con anterioridad al 1o de abril de 1994, y el Instituto de SegurosSociales, por los periodos cotizados con posterioridad al 1o de abril de 1994, de conformidadcon lo establecido en el artículo 16 del decreto 1299 de 1994.

Quién tramita los Bonos Pensionales Tipo A.

Las Administradoras de Fondos de Pensiones y Cesantías Privadas, de acuerdo con loestablecido en el inciso 5o del artículo 52 del Decreto 1748 de 1995, solicitan la liquidaciónprovisional del Bono Pensional a la entidad emisora del bono, que corresponde a la últimaentidad pagadora de pensiones a la cual haya pertenecido el a�liado antes de la selección otraslado al Régimen de Ahorro Individual, de conformidad con el artículo 14 del Decreto1299 de 1994.

De conformidad con lo establecido en el inciso 12 del artículo 52 del Decreto 1748 de1995, una vez la entidad emisora del bono pensional envía la liquidación provisional ala Administradora Privada de Pensiones, dicha entidad la hará conocer al a�liado y/obene�ciarios del bono, para que mani�esten por escrito y por intermedio de su Adminis-tradora la aceptación de la liquidación provisional, dentro de los 90 días siguientes a lasolicitud que efectúan las Administradoras de Fondos de Pensiones Privadas.

Agotado el trámite anterior, la entidad emisora del bono, solicita a las entidades contri-buyentes del bono pensional, el reconocimiento del Bono Tipo A.


Historia Laboral para tramitar y liquidar Bonos Pensionales Tipo A.

En relación con las cotizaciones efectuadas al ISS, la única historia laboral válida es lacerti�cada por el representante legal del ISS a la O�cina de Bonos Pensionales del Ministeriode Hacienda y Crédito Público, como emisor potencial de Bonos Pensionales Tipo A.

Salario a tener en cuenta para la liquidación de Bonos Pensionales tipo A - Mo-dalidad 1.

Para la liquidación de Bonos Pensionales Tipo A Modalidad 1, se tomarán los salarios basede cotización mensual (mes a mes), de conformidad con lo establecido por el artículo 8 delDecreto 1299 de 1994, el artículo 24 del Decreto 1748 de 1995 (modi�cado por el artículo 7 delDecreto 1474 de 1997 y el artículo 12 del Decreto 1513 de 1998) y el artículo 12 del Decreto3798 de 2003.

Salario a tener en cuenta para la liquidación de Bonos Pensionales tipo A - Mo-dalidad 2.

D. 3366/07.

ART. 1.�Salario Base de Liquidación para la pensión de Vejez de Referencia dePersonas que Estaban Cotizando a Alguna Caja Fondo o Entidad a Fecha Base. Deconformidad con los criterios señalados por la Corte Constitucional en relación con la SentenciaC-734/05, en el caso de las personas que se trasladaron al Régimen de Ahorro Individual conSolidaridad con anterioridad al 14 de julio de 2005, y que a fecha base se encontraban cotizandoa alguna caja, fondo o entidad, los bonos Pensionales Tipo .A"modalidad 2 se liquidarán yemitirán tomando como salario base el salario devengado con base en normas vigentes al 30de junio de 1992, reportado a la respectiva entidad en la misma fecha, o el último salario oingreso reportado antes de dicha fecha, si para la misma no se encontraba cotizando.

En el caso de las personas que se trasladaron al Régimen de Ahorro Individual con Soli-daridad con posterioridad al 14 de julio de 2005 se tomará el salario cotizado a la respectivacaja, fondo o entidad.

�RECUERDE QUE EL TRÁMITE DE SOLICITUD DE BONO PENSIONAL TIPO ALO DEBE REALIZAR LA AFP PRIVADA A LA QUE ESTE AFILIADO"

LOS BONOS TIPO A SE PUEDEN NEGOCIAR EN EL MERCADO SECUNDARIO DEVALORES, con el �n de pensionarse anticipadamente, de acuerdo a los requisitos señaladospor el artículo 64 de la Ley 100 de 1993.


2.2.2. Bonos Pensionales Tipo B.

Se expiden a servidores públicos que se trasladen al ISS en o después de la fecha de entradaen vigencia del Sistema General de Pensiones, reglamentados por los Decretos 1314 de 1994,1748 de 1995 y 3798 de 2003.

Vinculaciones válidas para Bonos Pensionales Tipo B.

Todas las vinculaciones laborales con empleadores del sector público que no cotizabanal ISS.

Las vinculaciones con cotización al ISS.

Las vinculaciones convalidadas al ISS mediante título pensional o traslado de la reservaactuarial.

Salario base para el cálculo Bonos Pensionales Tipo B.

A�liados ISS.

• Salario mensual devengado y reportado al ISS a 30 de junio de 1992 o último salarioanterior si a dicha fecha estaba laboralmente inactivo.

• El salario es válido siempre y cuando sea compatible con el rango de la categoríasobre la cual cotizaba al ISS, para los casos en que el salario corresponde a unperiodo cotizado al ISS.

Sector Público

Salario a 30 de junio de 1992 (Fecha Base), o ultimo salario anterior si a dicha fechaestaba laboralmente inactivo, mas el promedio de los demás conceptos constitutivos desalario devengados en el año anterior a la fecha base, establecidos en el Decreto 1158 de1994.

Quién tramita el Bono Pensional Tipo B.

El Bono Pensional Tipo B es tramitado única y exclusivamente por el ISS, ante las entidadescorrespondientes.

2.2.3. Bonos Pensionales Tipo C.

Los bonos Tipo C son emitidos al Fondo de Previsión del Congreso en modalidades 1 y 2.


BONOS C MODALIDAD 1.

Se emitirán para aquellos servidores públicos que se hubieren a�liado al fondo que notengan calidad de congresistas, que se hubieren trasladado o a�liado al Fondo de PrevisiónSocial del Congreso después del 31 de marzo de 1994, en las mismas condiciones establecidaspara los bonos Tipo B.

BONOS C MODALIDAD 2.

Se emitirán para los servidores públicos que se hubieren trasladado ó a�liados al Fondo dePrevisión Social del Congreso con posterioridad al 31 de marzo de 1994, que tengan ó hubierentenido calidad de congresistas y reúnan los requisitos establecidos en las disposiciones vigentespara pensionarse en tal calidad, teniendo en cuenta en todo caso, si se trata de congresistasbene�ciarios del régimen de transición de congresistas o congresistas a�liados al RégimenGeneral de Pensiones.

2.2.4. Bonos Pensionales Tipo E.

Los Bonos Pensionales tipo E son emitidos a ECOPETROL y tienen dos modalidades.

BONOS E MODALIDAD 1.

Corresponden a los bonos que se expiden a ECOPETROL a favor de los trabajadores,cuya primera vinculación laboral válida se inicio después del 30 de junio de 1992, los cualesdependen:

1. De los aportes efectivamente cotizados al Sistema de Seguridad Social.

2. La rentabilidad depende del rendimiento efectivo de las reservas del ISS.

BONOS E MODALIDAD 2.

Corresponden a los bonos que se expiden a favor de los trabajadores cuya primera vin-culación laboral válida se inició antes del 1 de julio de 1992, se calcularan con los factoresactuariales y el valor básico de los bonos tipo B.


2.3. Características de los Bonos Pensionales.

L. 100/93.

ART. 116�Características. Los bonos pensionalse tendrán las siguientes características:

a) Se expresarán en pesos;

b) Serán nominativos;

c) Serán endosables en favor de las entidades administradoras o aseguradoras, con destinoal pago de pensiones;

d) Entre el momento de la a�liación del trabajador y el de redención del bono, devenga-rán, a cargo del respectivo emisor, un interés equivalente a la tasa DTF6, sobre saldoscapitalizados, que establezca el gobierno, y

e) Las demás que determine el Gobierno Nacional.

2.4. Valor de los Bonos Pensionales.

L. 100/93.

ART. 117�Valor de los Bonos Pensionales. Para determinar el valor de los bonos, seestablecerá una pensión de vejez de referencia para cada a�liado, que se calculará así:

a) Se calcula el salario que el a�liado tendría a los sesenta (60) años si es mujer o sesentay dos (62) si es hombre, como el resultado de multiplicar la base de cotización del a�liadoa 30 de junio de 1992, o en su defecto, el último salario devengado antes de dicha fecha sipara la misma se encontrase cesante, actualizado a la fecha de su ingreso al Sistema segúnla variación porcentual del índice de precios al consumidor del DANE, por la relaciónque exista entre el salario medio nacional a los sesenta (60) años si es mujer o sesenta ydos (62) si es hombre, y el salario medio nacional a la edad que hubiere tenido el a�liadoen dicha fecha. Dichos salarios medios nacionales serán establecidos por el DANE, y

b) El resultado obtenido en el literal anterior, se multiplica por el porcentaje que resultede sumar los siguientes porcentajes:

6La DTF, es una tasa de interés calculada como un promedio ponderado semanal por monto, de las tasas

promedios de captación diarias, pagadas por los bancos, corporaciones �nancieras, de ahorro y vivienda y

compañías de �nanciamiento comercial, en general por el sistema �nanciero. La DTF es calculada por el Banco

de la República con la información provista por la Superintendencia Bancaria hasta el día anterior.

2.4. VALOR DE LOS BONOS PENSIONALES. 17

45 %, más un 3 % por cada año que exceda de los primeros 10 años de cotización, empleoo servicio público, más otro 3 % por cada año que faltaré para alcanzar la edad de sesenta(60) años si es mujer o sesenta y dos (62) si es hombre, contado desde el momento de suvinculación al sistema.

La pensión de referencia así calculada, no podrá exceder el 90 % del salario que tendríael a�liado al momento de tener acceso a la pensión, ni de 15 salarios mínimos legalesmensuales.

Una vez determinada la pensión de referencia, los bonos pensionales se expedirán porun valor equivalente al que el a�liado hubiera debido acumular en una cuenta de ahorro,durante el período que haya efectuado cotizaciones al Instituto de Seguros Sociales, ohaya sido servidor público o haya estado empleado en una empresa que deba asumirel pago de pensiones, hasta el momento de ingreso al sistema de ahorro, para que aese ritmo de acumulación, hubiera completado el capital necesario para �nanciar unapensión de vejez y para sobrevivientes, a los 62 años si son hombres y 60 años si sonmujeres por un monto igual a la pensión de referencia.

En todo caso, el valor nominal del bono no podrá ser inferior a las sumas aportadasobligatoriamente para la futura pensión con anterioridad a la fecha en la cual se a�lie alrégimen de Ahorro Individual con Solidaridad.

El Gobierno establecerá la metodología, procedimiento y plazos para la expedición delos bonos pensionales.

PAR. 1�El porcentaje del 90 % a que se re�ere el inciso quinto, será del 75 % en el caso delas empresas que hayan asumido el reconocimiento de pensiones a favor de sus trabajadores.

PAR. 2�Cuando el bono a emitir corresponda a un a�liado que no provenga inmediatamentedel Instituto de Seguros Sociales, ni de caja o fondo de previsión del sector público, ni deempresa que tuviese a su cargo exclusivo el pago de pensiones de sus trabajadores, el cálculodel salario que tendría a los 62 años si son hombres y 60 años si son mujeres, parte de la últimabase de cotización sobre la cual haya cotizado o del último salario que haya devengado en unade dichas entidades, actualizado a la fecha de ingreso al Sistema, según la variación porcentualdel índice de precios al consumidor del DANE.

PAR. 3�Para las personas que ingresen por primera vez a la fuerza laboral con posterio-ridad al 30 de junio de 1992, el bono pensional se calculará como el valor de las cotizacionesefectuadas más los rendimientos obtenidos hasta la fecha de traslado.


2.4.1. Determinación del Valor Base del Bono Pensional.

D. 1299/94.

ART. 3�Valor del bono pensional. El valor base del bono pensional se determinarácalculando un valor equivalente al que el a�liado hubiera debido acumular en una cuenta deahorro, durante el período que estuvo cotizando o prestando servicios, hasta el momento deltraslado al régimen de ahorro individual, para que a este ritmo hubiera completado a los 62años si son hombres o 60 años si son mujeres, el capital necesario para �nanciar una pensiónde vejez y de sobrevivientes, por un monto igual a la pensión de vejez de referencia del a�liadode que trata el artículo siguiente.

El bono pensional será expedido por su valor base, actualizado con la tasa de interésequivalente al DTF Pensional de�nido en el artículo 10 del presente decreto, desde la fechadel traslado, hasta la fecha de su expedición.

En todo caso, el valor base del bono no podrá ser inferior a las sumas aportadas conanterioridad a la fecha en la cual la persona se traslade al régimen de ahorro individual.

PAR.�Para efectos de lo previsto en el inciso 1o de este artículo se entiende por períodode cotización o de prestación servicios, la suma del tiempo durante el cual el a�liado estuvocotizando al ISS, a alguna caja o fondo de previsión del sector público, vinculado mediantecontrato de trabajo a una empresa o empleador del sector privado que tenía a su cargo elreconocimiento y pago de pensiones, o a�liado a una caja o fondo de previsión del sectorprivado.

El tiempo de servicios prestado a empleadores del sector privado que tenían a su cargoel reconocimiento y pago de pensiones con anterioridad a la fecha de expedición de la Ley100 de 1993, por trabajadores que en la citada fecha ya no se encontraban vinculados con elrespectivo empleador, no será computable para el cálculo del bono pensional.

2.5. Metodología para la Emisión de Bonos Pensionales.

2.5.1. De�ciones.

D. 1748/95

ART. 2.�De�nición de Variables Matemáticas. Las siguientes variables se utilizan enuna o más fórmulas matemáticas:

AR: Auxilio funerario de referencia; ver artículos 31 y 39.

2.5. METODOLOGÍA PARA LA EMISIÓN DE BONOS PENSIONALES. 19

BC: Valor básico del bono en FC.BE: Valor del bono a la fecha de expedición FE.DE: Días que van desde FC hasta la víspera de FE.FAC1 a FAC6: Factores actuariales utilizados para el cálculo de bonos; ver artículos 32 y 40.FB: Fecha base para bonos tipo A; ver artículo 27. Rede�nida por el art. 2, Decreto Nacional1513 de 1998.FC: Fecha de corte; ver artículo 13.FE: Fecha de expedición.FR: Fecha de referencia; ver artículos 20 y 36.IPCP: IPC pensional, el Indice de Precios al Consumidor que se utilizará para todas las ac-tualizaciones de que trata este decreto; ver artículo 9.n: Tiempo que va desde FC hasta la víspera de FR.PR: Pensión de referencia expresada en pesos a FC y que constituye una estimación del valorde la pensión que el a�liado recibiría en FR; ver artículos 30 y 38.SB: Salario base: para bonos tipo A es el que el trabajador devengaba en FB, con las conven-ciones del artículo 28; para bonos tipo B es el salario sobre el cual aportaba en FC.SH: Salario Histórico; ver artículos 25, 29 y 37.SIN: Salario informado; ver artículo 23, parágrafo 4.SM: Salario mínimo legal mensual vigente a una fecha; si hubiere más de uno, el mayor deellos; ver artículo 7.SMN: Salario medio nacional que se utiliza para el cálculo del valor de los bonos tipo A; verartículo 26.SR: Salario de referencia para el cálculo del valor de los bonos tipo A; ver artículo 29.t: Tiempo total de servicios sin acumular tiempos simultáneos a dos o más empleadores; verartículo 21.TM1, TM2: Tasas de mora efectivas anuales; ver artículo 12.TRR: Tasa de rendimiento real efectiva anual de un bono; ver artículo 10.VIPCm: Variación porcentual en el Indice de Precios al Consumidor, certi�cada por el DANE,para un mes calendario genérico m; ver Articulo 8.

2.5.2. Generalidades.

D. 1748/95

ART. 13�Determinación de la Fecha de Corte, FC. 1. La fecha de corte, FC, será:

a) Para bonos tipo A, la fecha de traslado al régimen de Ahorro Individual con Solida-ridad.

b) Para bonos tipo B, la fecha de traslado al ISS.


D. 1748/95

ART. 14�Cálculo de BE o del Valor del Bono a Cualquier Fecha. El valor del bonoa la fecha de expedición, BE, se calculará como el valor básico, BC, actualizado y capitalizadodesde la fecha de corte, FC, hasta la fecha de expedición, FE.

Modi�cado D.R. 3798/2003, art. 9. Para calcular el valor del bono a cualquier fechagenérica F, posterior a la fecha de corte, FC, se actualiza y se capitaliza el valor básico, BC,desde la fecha de corte, FC, hasta dicha fecha F. En todo caso, el bono se calcula actualizadoy capitalizado hasta la fecha de su redención, ya sea normal o anticipada, y a partir de dichafecha sólo se actualizará hasta el pago, tal y como lo disponen los artículos 16 y 17 del presentedecreto. Lo anterior, sin perjuicio de la responsabilidad a cargo de la Administradora dePensiones por la falta de presentación oportuna de la solicitud de pago de los bonos pensionales,de conformidad con lo dispuesto por el artículo 21 del Decreto-Ley 656 de 1994.

D. 1748/95

ART. 19�Redondeo de Valores. Los valores del bono tanto a la fecha de expedicióncomo a cualquier fecha posterior, se redondearán al múltiplo de mil más cercano, pero no amás de seis cifras signi�cativas.

Igualmente se redondearán al múltiplo de mil más cercano, pero no a más de seis cifrassigni�cativas, las cuotas partes a cargo de cada entidad, con excepción de la mayor de ellas,que se obtendrá por diferencia.

Adicionado D. 1513/98, art. 8. El valor de los intereses de mora se aproximará almúltiplo de mil más cercano.

2.5.3. Bonos Tipo A.

D. 1748/95

ART. 20�Fecha de Referencia o Redención, FR. Se de�ne como FR la fecha mástardía entre las tres siguientes:

a) La fecha en que el bene�ciario del bono cumple 62 años de edad si es hombre, o 60 sies mujer.

b) 500 semanas después de FC, si a la fecha de entrada en vigencia del Sistema Generalde Pensiones el bene�ciario del bono tenía 55 o más años de edad si es hombre, o 50 omás si es mujer.

2.5. METODOLOGÍA PARA LA EMISIÓN DE BONOS PENSIONALES. 21

c) La fecha en que completaría 1000 semanas de vinculación laboral válida, suponiendoque trabajara ininterrumpidamente a partir de FC.

PAR.�Adicionado D. 1513/98, art. 9. Para la determinación de la fecha de referenciade los trabajadores migrantes y estacionales del sector agrícola que tenían tal condición enla fecha de traslado, se supondrá que el trabajador continúa laborando al ritmo que lo veníahaciendo en su condición anterior, expresado en semanas efectivamente laboradas por año.

Para estos efectos, el Ministerio de Agricultura establecerá mediante una resolución decarácter general el número mínimo de semanas laboradas en el año, de acuerdo con el tipode cultivo, sin perjuicio del derecho del trabajador de demostrar un período efectivamentelaborado superior al mínimo.

El emisor dejará constancia en el texto del bono del número y fecha de la resolución y delaparte aplicable.

2.5.4. Modalidad 1

D. 1748/95

ART. 24�Modi�cado D. 1513/98, art. 12. Valor Básico del Bono, BC. Para efectosde este artículo y del siguiente, se de�nen:

q Número de meses calendario durante los cuales el trabajador estuvo laboralmente activodesde su primera vinculación válida hasta la víspera de FC.k Mes genérico (1 ¿ k ¿ q).Sk Ingreso base de cotización efectivo en el mes k, no mayor a veinte salarios mínimos legalesmensuales vigentes, ni menor a un salario mínimo legal mensual vigente, o propporcional a losdías laborales cuando el trabajador hubiese laborado por un período inferior a un mes.RISSk Rendimiento porcentual mensual equivalente a la tasa anual efectiva de las reservasdel Instituto de Seguros Sociales, para el mes k.COTk Factor de cotización para el mes k, que será:0, 045 desde 1967 hasta septiembre de 19850, 065 desde octubre de 1985 hasta diciembre de 19930, 08 en 19940, 10 a partir de 1996Ak Aporte real en el mes k = SkCOTk

Entonces, el valor básico del bono será:


BC =

q∑k=1

Ak

q∏n=k+1

(1 +

RISSn100

)

En el entendido que una productora cuyo límite superior es menor que el límite inferior,vale (1).

PAR. 1.�Si el empleador del sector público no certi�có los Sk, el emisor podrá calcularlos apartir del último salario certi�cado por el empleador, actualizándolo desde la fecha reportadahasta el último día de cada uno de los meses k, salvo que el bene�ciario del bono demuestrealgo diferente.

PAR. 2.�Cuando se trate de un a�liado que se traslade al régimen de ahorro individualpero no por primera vez, el valor BC se calculará de acuerdo con la fórmula establecida en esteartículo. Sin embargo, RISSk será igual al porcentaje mensual de variación del IPC certi�cadopor el DANE (VIPCk).

PAR. 3.�Los RISSk aplicables para efectos de este artículo, son los rendimientos mensualesequivalentes a las tasas anuales efectivas que publique la Superintendencia Bancaria, a partirde la información que le sea suministrada por el Instituto de Seguros Sociales para los añoscomprendidos entre 1967 y 1996, dentro de los dos meses siguientes a la entrada en vigenciade este decreto.

A partir de 1997 las tasas serán las que publique la Superintendencia Bancaria dentro desu función de vigilancia y control, a partir de la información reportada por el Instituto deSeguros Sociales como entidad vigilada. Mientras no se publique dicha tasa, ésta será la quecorresponda al trimestre inmediatamente anterior.

PAR. 4.�Adicionado D.R.3798/2003, art. 10. Para convertir las tasas anuales efectivasque publica la Superintendencia Bancaria a rendimientos mensuales, se empleará la siguientefórmula:

12√

1 + tasa efectiva anual − 1

Capítulo 3

MÉTODOS DE IMPUTACIÓN

3.1. Preámbulo.

En las Bases de datos siempre existen datos faltantes que sesgan los resultados �nales decualquier investigación, y en muchos casos la arruinan de�nitivamente, la imputación consisteen completar mediante métodos estadísticos esos datos según su tipología.

En los años setenta se hablaba de imputar los faltantes mediante ajuste por promedios,pero la imputación, ha tenido su evolución con métodos más re�nados que se ajustan a lasnecesidades del investigador y a la investigación.

El objetivo de la imputación no es sólo estadístico, es decir, que muestren una estimaciónno sesgada y de baja varianza; la idea es que, además de esto, re�ejen una realidad; en el casoparticular de las pensiones, que se re�eje en el cálculo de una reserva justa; es decir; lo máspróxima a su valor real.

Lo que se pretende en el presente trabajo es que si dentro de una historia laboral de unempleado se encuentran datos faltantes, se pueda veri�car el impacto que tiene la imputaciónen el cálculo total de la reserva, bono, o pensión.

Dentro de los métodos de imputación existen métodos estadísticos, de donación y compu-tacionales; estos últimos están a la vanguardia respecto a la cantidad de posibles variablesque utilizan y a la gran cantidad de información que pueden procesar para encontrar un datofaltante, sin embargo, no se ha descrito un proceso con el cual se encuentre la mejor manerade imputar datos involucrados especí�camente en el tema pensional, re�riendose a una mejormanera en el sentido de poder establecer el método más apropiado dependiendo de la variablea imputar y el número de datos faltantes.

23

24 CAPÍTULO 3. MÉTODOS DE IMPUTACIÓN

3.2. Métodos de Imputación.

Para algunos de los métodos estadísticos mencionados a continuación se pretende medirel impacto que cada uno de ellos presenta después de haber imputado los datos que delibe-radamente se ha borrado de la historia laboral. Los datos perdidos pueden ser cualitativos ocuantitativos que no hayan sido consultados o usados por mucho tiempo por lo cual son muysusceptibles a pérdidas por manipulación, error, etc. Dicho análisis se llevara a cabo medianteel uso de una historia laboral real.

Entre los métodos más utilizados para la imputación de datos se encuentran los siguientesModelos de Imputación:

1. Métodos Estadísticos.

Por medida de tendencia central (media, mediana, . . . ).

Asignación aleatoria.

Regresión.

Regresión aleatoria o estocástica.

2. Métodos Basados en Verosimilitudes.

Análisis de discriminación lineal.

Método de máxima verosimilitud.

Método bayesiano.

3. Métodos de Donación o Implícitos.

Hot Deck.

Por Clase.

Secuencial.

Vecino más cercano.

Cold deck.

4. Métodos de Imputación Múltiple.

3.2.1. Métodos Estadísticos.

Por medida de tendencia central (media, mediana, . . . ): Mediante este método se re-emplaza cada uno de los datos faltantes de la variable Xi por la media de los valoresobservados deXi. Esta estrategia es sencilla y puede resultar intuitivamente satisfactoria,sin embargo tiende a subestimar la variabilidad real de la muestra.

3.2. MÉTODOS DE IMPUTACIÓN. 25

Imputación por la Media Muestral[15]

El método de imputación por la media muestral, denominado también método de Wilks(1932), es muy sencillo de aplicar y útil para variables continuas aún cuando presentaninconvenientes estadísticos; consiste en la asignación en la matriz de datos del valorpromedio de los datos existentes en la correspondiente columna, a todos los valores que�le faltan� a la matriz de datos X = (Xij), variable por variable.

Suponiendo que para una variable Xj se tiene registrados r de los n valores investigadosy (n− r) �datos faltantes� por lo que para los (n− r) datos, los valores a ser imputadosen la variable Xj se determinan así:

X(imp)j =

∑ri=1Xi(obs)j

r

Siendo X(imp)j el valor que se coloca, �o imputa� en la variable con datos faltantes.

Sin embargo, este método tiene como desventaja que modi�ca la distribución de la va-riable, disminuyendo la variabilidad de los datos; de igual manera en el caso de realizaranálisis multivariados se distorsiona la matriz de varianzas y covarianzas entre las varia-bles observadas. Es decir, este método no conserva la relación entre las variables ni ladistribución de frecuencias original.

A continuación se ilustra este método:

Se tiene una matriz de datos cuyas columnas son muestras tomadas de cuatro poblacio-nes todas ellas Poisson, y que son estocásticamente independientes entre sí, la primeravariable tiene parámetro λ = 2, la segunda variable λ = 4, la tercera variable λ = 5 y lacuarta variable λ = 7, esto es:

f(X1) = P (X1 = x1) = 2x1e−2

x1, x1 = 0, 1, 2, · · ·

f(X2) = P (X2 = x2) = 4x2e−4

x2, x2 = 0, 1, 2, · · ·

f(X3) = P (X3 = x3) = 5x3e−5

x3, x3 = 0, 1, 2, · · ·

f(X4) = P (X4 = x4) = 7x4e−7

x4, x4 = 0, 1, 2, · · ·

Primer Caso: Falta un dato en sólo una variable.

Se supone que la variable aleatoria X4 que proviene de una distribución Poisson conλ = 7, tiene un valor faltante, el X74, que realmente es igual a 14 (Ver Tabla 3.1). Nóte-se que, un dato faltante representa, en este caso, el 3 % de datos faltantes en la matrizde datos.

El valor de la media aritmética de X4, con el dato faltante es:

X4 =6 + 6 + 10 + 2 + 9 + 12 + 9 + 6 + 7

9= 7,444


Efectos de la imputación en el análisis de datos multivariados

Matriz de datos de variables aleatorias independientescon distribución Poisson

Tamaño de muestra n=10, 3% de datos faltantes en la matriz

X1 X2 X3 X4

5 4 3 61 7 1 62 6 8 102 5 3 24 6 4 93 5 6 122 3 4 14

0 3 5 93 3 2 62 4 11 7

Tabla 3.1: Elaborado por: G. Cuenca

entonces reemplazando en X74 = 7,444 , así se calcula nuevamente la media aritméticay la varianza con el dato imputado (Ver Tabla 3.2). El vector de medias de los datosoriginales es:

X =

X1

X2

X3

X4

=

2,4004,6004,7008,100

Mientras que el vector de medias con un dato completado es:

X =

X1

X2

X3

X4

=

2,4004,6004,7007,444

Se puede apreciar en la Tabla 3.2 que la mediana de los datos imputados para X4 di�erede la mediana de los datos originales o reales, así como de los incompletos, debido a queal incluir la media en los datos incompletos para realizar la estimación, ésta se ubicóen el centro de los datos al ordenarlos junto con el valor de la mediana de los datosincompletos, y como la cantidad de datos es par se procedió a calcular el promedio de losvalores antes mencionados donde se obtuvo que el valor de la mediana de X4 es 7,222.


Efectos de la Imputación en el Análisis de Datos Multivariados

Variables aleatorias independientes con distribución PoissonMétodo de Imputación por la Media

Tamaño de muestra n = 10 y 3% de datos faltantes en la matrizTabla y Diagrama de la Variable X4

EstimadoresEstimadores Datos Origi-

nalesDatos In-completos

Datos Com-pletados porla Media

n 10 9 10Media 8,1 7,444 7,444Mediana 8 7 7,222Moda 6.000 6 6

Varianza 11,878 8,528 7,58Desviación Estándar 3,446 2,92 2,753

Error Estándar 1,09 0,973 0,871Coe�ciente de Asimetría 0,057 -0,334 -0,344

Curtosis 0,15 0,5 0,89Rango 12 10 10Mínimo 2 2 2Máximo 14 12 12

Percentiles 25 6 6 650 8 7 7,22275 10,5 9,5 9,25


Se puede apreciar también que el valor de la media aritmética de la variable X4, (X4 =7,444) de los �datos incompletos� y �completados�, es igual debido a que si se obtieneel promedio del grupo de datos incompletos y se agrega en ese grupo se va obtener elmismo valor del promedio anterior al momento de calcularlo nuevamente. Sólo que antesse tenía (n− 1) datos y luego n. Se pasa a demostrar esta a�rmación:

La media de X4 con un valor completado es igual a:

Ximp =X1 +X2 + · · ·+Xn−1 + X1+X2+···+Xn−1

n−1

n

=

(n−1)∑n−1

i=1 Xi+∑n−1

i=1 Xi

(n−1)

n=

[(n−1)+1]∑n−1

i=1 Xi

(n−1)

n

=

n∑n−1

i=1 Xi

(n−1)

n=

∑n−1i=1 Xi

(n− 1)

La media para los �datos incompletos� también es igual:

Xn−1 =

∑n−1i=1 Xi

(n− 1)


Queda demostrado que la media para los datos incompletos y de los que tienen comovalor imputado la media aritmética de los datos completados, siempre van a ser iguales.

Se analiza ahora el efecto de esta imputación en la matriz de varianzas y covarianzas,comparando la matriz original con la matriz con 3 % de datos completados medianteimputación por la media (Ver tabla 3.3).


Variables aleatorias independientes con distribución PoissonMétodo de Imputación por Media

Tamaño de muestra n=10 y 3% de datos faltantes en la matriz

Matriz de Varianzas y Covarianzas(Datos Originales)

Variables X1 X2 X3 X4

X1 2,044X2 0,067 2,044X3 -0,533 -0,356 8,900X4 -0,267 -0,844 3,033 11,878

Matriz de Varianzas y Covarianzas(Un Dato Completado con Imputación en X4)


X1 2,044X2 0,067 2,044X3 -0,533 -0,356 8,900X4 0,025 0,321 3,543 7,580


Por medio de la Tabla 3.3 se puede apreciar las varianzas y covarianzas entre las varia-bles, utilizando la matriz de datos originales, las variables X3 y X4 muestran la mayorcovarianza (3,033), seguida por la covarianza entre X2 y X4 (−0,844). También se apre-cia un valor �grande� en la varianza de la variable X4 (11,878), por ende valores de estavariable tienden a distribuirse lejos de la media, mientras que las variables X1 y X3

tienen la misma varianza (2,044).

En la matriz de varianzas y covarianzas de los datos con imputación por la media se notauna disminución en la varianza de la variable X4, comparándola con la matriz de datosoriginal; esto ocurre debido a que se inserta el valor de la media en los datos faltantesde esa variable y por ende los datos están menos dispersos. Por otro lado, el valor delas covarianzas disminuyó, con excepción de la covarianza entre X3 y X4 donde su valoraumentó de 3,033 a 3,543.


Segundo Caso: Faltan cinco datos, tres en X1 y dos en X3

Continuando con la matriz de datos del primer caso, pero ahora con cinco datos faltantesen total: tres en la variable X1, datos que provienen de una distribución Poisson conλ = 2; faltan: X11 = 5, X51 = 4 y X71 = 2 y dos en la variable X3, datos que provienende una distribución Poisson con λ = 5; faltan: X43 = 3 y X83 = 5. Nótese que, cincodatos faltantes representan, en este caso, el 13 % de datos faltantes en la matriz de datos.(Ver Tabla 3.4).

Los valores de las medias aritméticas X1 y X3 con los datos faltantes, en este caso sietey ocho respectivamente son: 1,857 y 4,875 entonces reemplazamos en los datos faltantesen su respectiva columna de la matriz de datos.

La matriz de datos resultante con cinco valores completados por imputación por mediaen las variables X1 y X3, se muestra en la Tabla 3.5.

El vector de medias con tres datos con imputación en X1 y dos en X3 es:

X =

X1

X2

X3

X4

=

1, 8574, 6004, 8758, 100




X1 X2 X3 X4

5 4 3 61 7 1 62 6 8 102 5 3 24 6 4 93 5 6 122 3 4 140 3 5 93 3 2 62 4 11 7






X1 X2 X3 X4

1,857 4 3 61 7 1 62 6 8 102 5 4,875 2

1,857 6 4 93 5 6 12

1,857 3 4 140 3 4,875 93 3 2 62 4 11 7


Se puede apreciar en la Tabla 3.6 que la mediana de los datos con imputación en laprimera variable disminuyó ya que, existe mayor cantidad de datos con imputación yuno de estos se colocó en el centro al momento de calcular nuevamente la mediana.

En la Tabla 3.6 también se muestra los estimadores para la variableX3, donde la medianade los datos con imputaciòn aumenta con respecto a la mediana de los datos originalese incompletos.



Variables aleatorias independientes con distribución PoissonMétodo de Imputación por la Media

Tamaño de muestra n = 10 y 13% de datos faltantes en la matrizTabla y Diagrama de las Variables X1 y X3

Estimadores Variable X1

Estimadores Datos Origi-nales

Datos In-completos


n 10 7 10Media 2,4 1,857 1,857Mediana 2 2 1,928Moda 2 2 1,857


Error Estándar 0,452 0,404 0,276Coe�ciente de Asimetría 0,251 -0,772 -0,844


Percentiles 25 1,75 1 1,64350 2 2 1,92975 3,25 3 2,25

Estimadores Variable X3

Estimadores Datos Origi-nales

Datos In-completos


n 10 8 10Media 4,7 4,875 4,875Mediana 4 4 4,438Moda 3 4 4


Error Estándar 0,943 1,172 0,924Coe�ciente de Asimetría 1,085 0,899 0,956


Percentiles 25 2,75 2,25 2,7550 4 4 4,43875 6,5 7,5 6,5



Ahora se analiza el efecto de esta imputación en la matriz de varianzas y covarianzas,comparando la matriz original con la matriz con 13 % de datos completados medianteimputación por la Media (Ver Tabla 3.7).


Variables aleatorias independientes con distribución PoissonMétodo de Imputación por Media

Tamaño de muestra n=10 y 5% de datos faltantes en la matriz

Matriz de Varianzas y Covarianzas(Datos Originales)


X1 2,044X2 0,067 2,044X3 -0,533 -0,356 8,900X4 -0,267 -0,844 3,033 11,878

Matriz de Varianzas y Covarianzas(Dos Datos Completados con Imputación en X1)


X1 1.728X2 -0.211 2,044X3 -0,436 -0,356 8,900X4 -0,253 -0,844 3,033 11.878


La covarianza entre X1 y X4, se incrementa de −0,267 en los datos originales a 0,159 enlos datos completados con imputación.

El valor de la covarianza entre X3 y X4 disminuye de 3,033 en los datos originales a1,750 en los datos con imputación.


Asignación aleatoria: Con este método se asignan valores aleatorios dentro de un rangorazonable los datos a imputar Determinístico. Deduce el valor del dato faltante a partirde relaciones entre las variables.

Imputación de un Valor Aleatorio.[16]

La imputación de un valor aleatorio a los datos faltantes consiste en reemplazar cada va-lor ausente por un valor aleatorio. En este procedimiento se pueden distinguir dos formasde generar el valor aleatorio: (1) generación de un valor aleatorio dentro del rango de losvalores de la variable, asignando la misma probabilidad a todos los valores (V.A.D.U.,valor aleatorio de una distribución de probabilidad uniforme), y (2) generación de un va-lor aleatorio a partir de la función de probabalidad que caracteriza la variable (binomial,multinomial, normal, etc.) (V.A.D.E., valor aleatorio de una distribución de probabili-dad estimada para la variable).Tanto la imputación V.A.D.U. como la imputación V.A.D.E. son opciones poco utiliza-das en la práctica, ya que acostumbran a provocar un importante sesgo, especialmenteen el caso de variables con una elevada dispersión.

Imputación por Regresión.[15] El método de Imputación por Regresión se realiza parti-cionando la matriz X en dos conjuntos, uno que contiene todas las �las con �valoresfaltantes� y otro las �las con �valores completos�.Supongamos que Xij es el único valor faltante en la entrada de la i-ésima �la X ∈Mn×p,luego usamos los datos en la sub-matriz con las (p− 1) �las completas, se retrocede enlas otras variables para obtener la ecuación de predicción

Yj = b0 + b1X1 + · · ·+ bj−1Xj−1 + bj+1Xj+1 + · · ·+ bpXp

El cálculo de los coe�cientes de la regresión es de la forma:

β = (XTX)−1XTY

Luego las entradas no faltantes en la i-ésima �la son como las variables de explicaciónen la ecuación de regresión para predecir el valor Xij .El método de regresión puede ser mejorado por iteración, es decir, primero se estimantodas las �entradas� faltantes en la matriz de datos usando regresión, después se llenalos espacios en las �entradas� faltantes, luego se utiliza la matriz de datos así completadapara obtener la nueva ecuación de predicción.Se utiliza los nuevos datos de la matriz para obtener la ecuación revisada de prediccióny los nuevos valores Xij y se continúa el proceso hasta que los valores de predicción seestabilicen.Si las variables tienen demasiadas �las con datos faltantes, para utilizar el algoritmo deregresión en primera instancia, se puede usar el método de imputación por la media yluego usar regresión en las siguientes iteraciones.


A continuación se ilustra esta técnica:

Se tiene una matriz de datos cuyas columnas son muestras tomadas de tres poblacionestodas ellas Normal, y que son dependientes, donde cada columna tiene parámetros µ yσ2 conocidos, X ∈M10×3, i = 1, 2, ...,10 y j = 1, 2, 3.

Primer Caso: Faltan dos datos, uno en X2 y otro en X3.


Matriz de datos de variables aleatorias dependientescon distribución Normal

Tamaño de muestra n = 10, 7% de datos faltantes en la matriz

X1 X2 X3

35.011 3.500 2.80135.002 4.901 2.70240.021 30.000 4.38210.101 2.802 3.2116.003 2.701 2.73220.000 2.821 2.81035.000 4.640 2.88135.100 10.921 2.90235.100 8.010 3.28330.002 1.611 3.201


Nótese que, dos datos faltantes representan, en este caso, el 7 % de datos faltantes en lamatriz de datos (Ver Tabla 3.8) y se obtiene la matriz de correlaciones de la matriz dedatos original (Ver Tabla 3.9).




Matriz de Correlaciones (Datos Originales)Variables X1 X2 X3

X1 1.000X2 0.494 1.000X3 0.328 0.865 1.000



En la matriz de correlaciones, se nota que la mayor correlación se da entre las variablesX2 y X3 (0,865), seguida por 0,494 entre las variables X1 y X2.

Paso 1.

Particionar la matriz de datos en dos partes:



Tamaño de muestra n = 10, 7% de datos faltantes en la matriz

X1 X2 X3

35.011 3.500 2.80135.002 4.901 2.70240.021 30.000 4.38210.101 2.802 3.2116.003 2.701 2.73220.000 2.821 2.81035.000 4.640 2.88135.100 10.921 2.90235.100 8.010 3.28330.002 1.611 3.201


Una parte de la matriz tiene �las con valores completos y la otra parte tiene �las convalores faltantes (Ver Tabla 3.10).

Paso 2.

Se utiliza los datos de la sub-matriz con las �las completas para hacer la predicción. Lasunidades con �las completas serán las variables independientes.Primero X1 y X3 son las variables independientes que van a explicar a X2; para lasobservaciones tercera a la décima, utilizando la ecuación de regresión X2 = b0 + b1X1 +b3X3.

Por medio de la Tabla 3.11 podemos ver que los valores de los coe�cientes son:b0 =−39,840, b1 = 0,154, b3 = 13,801. Los valores de los betas se los evalúa en las dosentradas de valores completos en la primera �la (X1 = 35,011, X3 = 2,801).

X2 = b0 + b1(35,011) + b3(2,801)X2 = (−39,840) + (0,154)(35,011) + (13,801)(2,801)


X2 = 4,208


Variables aleatorias dependientes con distribución NormalMétodo de Imputación por Regresión (Variable Dependiente X2)

Análisis de RegresiónCoe�cientes Error Estàndar t p

Constante -39,84 11,742 -3,398 0,019b1 0,154 0,171 0,904 0,407b3 13,801 4,14 3,328 0,021


Similarmente se hace la siguiente regresión pero ahora X1 y X2 son las variables inde-pendientes que van a explicar a X3, donde b0 = 2,814, b1 = −0,001, b3 = 0,051, los quese evalúan en las dos entradas de valores completos en la segunda �la (X1 = 35,002,X3 = 4,901).

X3 = b0 + b1(35,011) + b2(4,901)X3 = (2,814)− (0,001)(35,002) + (0,051)(4,901)X3 = 3,029

Paso 3.

Ahora se inserta estos estimadores, 4,208 en X12 y 3,029 en X23, en los valores faltantesy se calcula la ecuación de regresión basada en las diez observaciones. (Ver Tabla 3.12).

Utilizando la ecuación X2 = b0 + b1X1 + b3X3 se obtiene el nuevo valor:X2 = (,40,526) + (0,138)(35,011) + (14,063)(2,801)X2 = 3,696

De igual forma se obtiene la ecuación para X3 que da el nuevo valor de predicción:X3 = (2,828)− (0, 003)(35,002) + (0,052)(4,901)X3 = 2,978




Método de Imputación por RegresiónPrimeros valores estimados

X1 X2 X3

35.011 4.208 2.80135.002 4.901 3.09940.021 30.000 4.38210.101 2.802 3.2116.003 2.701 2.73220.000 2.821 2.81035.000 4.640 2.88135.100 10.921 2.90235.100 8.010 3.28330.002 1.611 3.201


Paso 4.

Nuevamente se inserta los estimadores calculados, 3,696 en X12 y 2,978 en X23 y secalcula la nueva ecuación para obtener los valores de predicción. (Ver Tabla 3.13).

X2 = (−40,680) + (0,139)(35,011) + (14,114)(2,801)X2 = 3,720X3 = (2,831) + (−0,003)(35,002) + (0,052)(4,901)X3 = 2,981

Aquí hay un cambio en las siguientes iteraciones. Estos valores (X2 = 3,720, X3 = 2,981)tienden a los verdaderos valores (X2 = 3,500 y X3 = 2,702) que inicialmente la regresiónestimó así (X2 = 4,208 y X3 = 3,099). Además si se realizaba la imputación por la medialos valores de X2 y X3 serían X2 = 7,601 y X3 = 3,134 (Ver Tabla 3.14).




Método de Imputación por RegresiónSegundos valores estimados

X1 X2 X3

35.011 3.696 2.80135.002 4.901 2.97840.021 30.000 4.38210.101 2.802 3.2116.003 2.701 2.73220.000 2.821 2.81035.000 4.640 2.88135.100 10.921 2.90235.100 8.010 3.28330.002 1.611 3.201



Variables aleatorias independientes con distribución NormalMétodo de Imputación por Regresión

Imputaciones sucesivas para X12 = 3,500

Iteración Resultado Error (Dato Observado-de Resultado de

Predicción Predicción)1 4.208 0.7082 3.696 0.1963 3.702 0.202

Imputaciones sucesivas para X23 = 2,702

Iteración Resultado Error (Dato Observado-de Resultado de

Predicción Predicción)1 3.028 0.3262 2.978 0.2763 2.981 0.279



La matriz de varianzas y covarianzas para datos originales, datos con primera imputaciòny datos con segunda imputación se muestra a continuación (Ver Tabla 3.15).

En la Tabla 3.15 se aprecia que, con el primer resultado de predicción la covarianza entreX1 y X2 se incrementa de 49,759 a 50,300. Así como también la covarianza entre X1 yX3 de 1,948 a 2,251. Mientras que las covarianzas con el segundo resultado de predicciónempiezan a disminuir es decir, la covarianza entre X1 y X2 diminuye de 50,300 a 49,909.La covarianza entre X1 y X2 con el tercer resultado de predicción, disminuye a 49,927pero este valor tiende al de la matriz de datos originales.


Variables aleatorias independientes con distribución NormalMétodo de Imputación por Regresión

Matriz de Varianzas y Covarianzas Matriz de Varianzas y Covarianzas(Datos Originales) (Datos con primer resultado de

predicción en X1,2 y X2,3 )Variables X1 X2 X3 Variables X1 X2 X3

X1 140.509 X1 140.509X2 49.759 72.207 X2 50.300 71.677X3 1.948 3.677 0.250 X3 2.251 3.550 0.232

Matriz de Varianzas y Covarianzas Matriz de Varianzas y Covarianzas(Datos con segundo resultado de (Datos con tercer resultado

predicción en X1,2 y X2,3 ) predicción en X1,2 y X2,3 )Variables X1 X2 X3 Variables X1 X2 X3

X1 140.509 X1 140.509X2 49.909 72.050 X2 49.927 72.032X3 2.159 3.600 0.234 X3 2.161 3.598 0.234


Regresión aleatoria o estocástica.[16] Al imputar mediante regresión se está reemplazan-do el valor perdido por una media condicionada, por lo que, como destacábamos en elcaso de imputación mediante la media, se tiende sistemáticamente a subestimar la va-riabilidad. Una sencilla alternativa para atenuar este efecto consiste en añadir, al valorpredicho por la regresión, una perturbación aleatoria, con lo que se obtiene una reali-zación de la distribución predictiva de los valores perdidos condicionada a los valoresobservados.

Una variante a este procedimiento es la imputación por �regresión estocástica", en don-de los datos faltantes se obtienen con un modelo de regresión más un valor aleatorio


asociado al término de error. Este procedimiento garantiza variabilidad en los valoresimputados, y contribuye a reducir el sesgo en la varianza y en el coe�ciente determinacióndel modelo.

Imputación por Regresión Estocástica.

Este procedimiento consiste en reemplaar el valor desconocido con el valor predicho porel modelo de regresión más un valor aleatorio, que es incluido para re�ejar la incerti-dumbre sobre el valor imputado. Es un procedimiento poco utilizado en la práctica.

A continuación se ilustra este método:

Considere una matriz de datos con 40 registros y 6 variables. Las variables indepen-dientes registradas son:

Antecedentes familiares de psicopatología (AF) (0: No, 1:Sí).

Número de problemas evolutivos tempranos (PET).

Puntuación a una escala de humor social (EH).

Puntuación de la madre en un test de rechazo familiar (ERM).

Puntuación del padre en un test de rechazo familiar (ERP).

Los estdísticos descriptivos básicos de las variables PET, EH, ERM, ERP se hallanen la tabla 3.19 y 3.20:

MediaEstadistico Error Est

Problemas evol. Tempr. 1.03 0.19Escala Humor 19.11 0.80Rechazo madre 27.99 2.15Rechazo padre 29.12 2.18

Tabla 3.16: Elaborado por: José Blas Navarro Pastor

Mediana Moda VarianzaEstadistico Estadistico Estadistico

Problemas evol. Tempr. 1.00 0 1.21Escala Humor 19.00 18 22.57Rechazo madre 27.00 11 156.55Rechazo padre 29.00 18 147.31



Coe�cientes de Correlación.Antecedentes Escala Rechazo Rechazo Problemasfamiliares Humor madre padre evol. Temp.

Antecedentes 1.000 -0.311 0.235 0.314 0.280familiaresEscala -0.311 1.000 -0.509 -0.404 -0.159HumorRechazo 0.235 -0.509 1.000 0.800 0,011madreRechazo 0.314 -0.404 0.800 1.000 0.038padre

Problemas 0.280 -0.159 0.011 0.038 1.000evol. Temp.


Con los datos anteriores, el método de imputación por regresión estocástica, añadiendoa la predicción del modelo de regresión un valor aleatorio de una distribución normal,arroja los siguientes resultados:

Medias (Imp. Regresión Estocástica.)AF EH ERM ERP PET0.58 19.09 28.02 30.32 0.92


En lo referente a las variancias-covariancias y las correlaciones, los resultados muestranun signi�cativo incremento de sus estimaciones, posiblemente debido a que el términoestocástico que se añade al valor predicho por regresión es demasiado elevado.

Covariancias (Imp. Regresión Estocástica.)AF EH ERM ERP PET

AF 0.28EH -0.6 20.91

ERM 1.82 -24.59 149.23ERP 2.06 -20.42 115.13 127.63PET 12 -0.42 -3.93 -3.32 1.37



Correlaciones (Imp. Regresión Estocástica.)AF EH ERM ERP PET

AF 1.000EH -0.248 1.000

ERM 0.282 -0.44 1.000ERP 0.345 -0.395 0.834 1.000PET 0.191 -0.079 -0.275 -0.252 1.000


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Capítulo 4

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO.

4.1. Planteamiento del Problema.

¾Cuál es el método más efectivo para imputar datos involucrados en el cálculo de los bonospensionales?

Se entiende por método más efectivo a los métodos que al ser aplicados arrojen resultadoslo más cercanos posibles a los valores reales pero sin sobrepasarlos, de forma que los datostengan poca varianza.

4.2. Metodología.

En el desarrollo de este trabajo para resolver el problema planteado, se van a emplearlos metodos estadísticos: Media, Mediana y Regresión, mencionados anteriormente y comoaplicación, se compararán los resultados de cálculo de bonos pensionales partiendo de unconjunto de datos observados, los cuales se reemplazarán por una base de datos con faltantesde manera aleatoria; se imputarán estos últimos con cada uno de los métodos. Seguidamentese harán los cálculos para cada uno de los conjuntos de datos y, para cada uno de estosresultados, se hallará la diferencia con el resultado en el conjunto original de datos, lo cualpermitirá deducir, en este caso, cuál es el método de imputación más conveniente según el tipode datos faltantes.

A continuación se muestra una tabla de datos de un cotizante de un Bono Pensional TipoA Modalidad 1, que contiene todos los datos completos.

43

44 CAPÍTULO 4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO.

BONOS TIPO A MODALIDAD 1k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK

01/05/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/06/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/07/1991 1244880 0,065 25,03 0,3121 1,0031 80917,201/08/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/09/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/10/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/11/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/12/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/01/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/02/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/03/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/04/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/05/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/06/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/07/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/08/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/09/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/10/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/11/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/12/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/01/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/02/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/03/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/04/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/05/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/06/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/07/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/08/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/09/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/10/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/11/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/12/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/01/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/02/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/03/1994 2284320 0,08 25,03 0,3121 1,0031 182745,601/04/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/05/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/06/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/07/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/08/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/09/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/10/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/11/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/12/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/01/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/02/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/03/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/04/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/05/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/06/1995 5032500 0,09 25,03 0,3121 1,0031 45292501/07/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/08/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/09/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/10/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/11/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/12/1995 5202000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 46818001/01/1996 872000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 8720001/02/1996 2013000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 20130001/03/1996 2013000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 20130001/04/1996 2481000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 24810001/05/1996 2264000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 22640001/06/1996 5472000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 54720001/07/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 218900

4.2. METODOLOGÍA. 45

k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/08/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/09/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/10/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/11/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/12/1996 5720000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 57200001/01/1997 3719000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 37190001/02/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/03/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/04/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/05/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/06/1997 6047000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 60470001/07/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/08/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/09/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/10/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/11/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/12/1997 6180000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 61800001/01/1998 5177000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 51770001/02/1998 2419000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 24190001/03/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/04/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/05/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/06/1998 6470000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 64700001/07/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/08/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/09/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/10/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/11/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/12/1998 8300000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 83000001/01/1999 2588000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 25880001/02/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/03/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/04/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/05/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/06/1999 7020000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 70200001/07/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/08/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/09/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/10/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/11/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/12/1999 8950000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 89500001/01/2000 2808000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 28080001/02/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/03/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/04/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/05/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/06/2000 7547000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 75470001/07/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/08/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/09/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/10/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/11/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/12/2000 7547000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 75470001/01/2001 6340000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 63400001/02/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/03/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/04/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/05/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/06/2001 8067000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 80670001/07/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/08/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/09/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/10/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/11/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/12/2001 8067000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 806700


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/01/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/02/2002 3589000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 35890001/03/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/04/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/05/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/06/2002 8520000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 85200001/07/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/08/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/09/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/10/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/11/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/12/2002 8520000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 85200001/01/2003 3408000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 34080001/02/2003 3660000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36600001/03/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/04/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/05/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/06/2003 9005000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 90050001/07/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/08/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/09/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/10/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/11/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/12/2003 9005000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 90050001/01/2004 3602000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 36020001/02/2004 4154000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 415400

BC $72.280.791,57

Tabla 4.1: Elaborado por: Laura A. Hoyos.

El paso a seguir es formar una nueva tabla de datos partiendo de la original pero quecontenga datos faltantes tomados aleatoriamente, a la cual se le va a calcular el monto delbono pensional con dichos datos faltantes; y despues aplicar los métodos de imputación parala Media, Mediana y Regresión.Estas métodos se van a aplicar a la misma tabla en los casos que contenga de uno hasta cincodatos faltantes.

Para efectos de ilustrar estos métodos sólo se va presentar los cálculos realizados para elcaso en que faltan cinco datos faltantes.A continuación se muestra la tabla con los cinco datos faltantes y el valor del bono que lecorresponde en este caso:

BONOS TIPO A MODALIDAD 1 - 5 DATOS FALTANTESk Sk COTk RISSk RISSn productoRISSn AK

01/05/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/06/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/07/1991 1244880 0,065 25,03 0,3121 1,0031 80917,201/08/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/09/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 78000


k Sk COTk RISSk RISSn productoRISSn AK01/10/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/11/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/12/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/01/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/02/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/03/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/04/1992 0 0,065 25,03 0,3121 1,0031 001/05/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/06/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/07/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/08/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/09/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/10/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/11/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/12/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/01/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/02/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/03/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/04/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/05/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/06/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/07/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/08/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/09/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/10/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/11/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/12/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/01/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/02/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/03/1994 0 0,08 25,03 0,3121 1,0031 001/04/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/05/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/06/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/07/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/08/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/09/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/10/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/11/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/12/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/01/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/02/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/03/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/04/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/05/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/06/1995 5032500 0,09 25,03 0,3121 1,0031 45292501/07/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/08/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/09/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/10/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/11/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/12/1995 5202000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 46818001/01/1996 872000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 8720001/02/1996 2013000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 20130001/03/1996 2013000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 20130001/04/1996 2481000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 24810001/05/1996 2264000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 22640001/06/1996 0 0,1 25,03 0,3121 1,0031 001/07/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/08/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/09/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/10/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/11/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/12/1996 5720000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 57200001/01/1997 3719000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 37190001/02/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 241900


k Sk COTk RISSk RISSn productoRISSn AK01/03/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/04/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/05/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/06/1997 6047000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 60470001/07/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/08/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/09/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/10/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/11/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/12/1997 6180000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 61800001/01/1998 5177000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 51770001/02/1998 2419000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 24190001/03/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/04/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/05/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/06/1998 6470000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 64700001/07/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/08/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/09/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/10/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/11/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/12/1998 8300000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 83000001/01/1999 2588000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 25880001/02/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/03/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/04/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/05/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/06/1999 7020000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 70200001/07/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/08/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/09/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/10/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/11/1999 0 0,1 25,62 0,3145 1,0031 001/12/1999 8950000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 89500001/01/2000 2808000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 28080001/02/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/03/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/04/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/05/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/06/2000 7547000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 75470001/07/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/08/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/09/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/10/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/11/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/12/2000 7547000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 75470001/01/2001 6340000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 63400001/02/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/03/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/04/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/05/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/06/2001 8067000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 80670001/07/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/08/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/09/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/10/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/11/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/12/2001 8067000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 80670001/01/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/02/2002 3589000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 35890001/03/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/04/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/05/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/06/2002 8520000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 85200001/07/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/08/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 340800


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/09/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/10/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/11/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/12/2002 8520000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 85200001/01/2003 3408000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 34080001/02/2003 3660000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36600001/03/2003 0 0,1 20,7 0,2923 1,0029 001/04/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/05/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/06/2003 9005000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 90050001/07/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/08/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/09/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/10/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/11/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/12/2003 9005000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 90050001/01/2004 3602000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 36020001/02/2004 4154000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 415400

BC $ 69.953.457,81


4.2.1. Aplicación de los Métodos de Imputación.

Ahora bien, las variables que se deben tener en cuenta a imputar son:k número de meses calendario durante los cuales el trabajador estuvo laboralmente activodesde su primera vinculacion valida hasta la vispera de FC.Sk ingreso base de cotizacion en el mes k.Naturalmente k y Sk están relacionadas, por lo que la imputación sólo va a tener importanciaen Sk.

A continuación se va a realizar la imputación de datos:

1. Imputación Media.

En este método se toman los datos de la variable Sk sin tener en cuenta los datos faltantesy se les calcula laMedia, este valor hallado se introduce donde se encuentran los datos faltantesy se calcula el valor del Bono Pensional.


BONOS TIPO A MODALIDAD 1 - IMPUTACIÓN MEDIAk Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK

01/05/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/06/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/07/1991 1244880 0,065 25,03 0,3121 1,0031 80917,201/08/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/09/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/10/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/11/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/12/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/01/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/02/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/03/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/04/1992 3140618,39 0,065 25,03 0,3121 1,0031 204140,19501/05/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/06/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/07/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/08/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/09/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/10/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/11/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/12/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/01/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/02/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/03/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/04/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/05/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/06/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/07/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/08/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/09/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/10/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/11/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/12/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/01/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/02/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/03/1994 3140618,39 0,08 25,03 0,3121 1,0031 251249,47101/04/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/05/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/06/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/07/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/08/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/09/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/10/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/11/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/12/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/01/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/02/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/03/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/04/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/05/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/06/1995 5032500 0,09 24,99 0,3119 1,0031 45292501/07/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/08/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/09/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/10/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/11/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/12/1995 5202000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 46818001/01/1996 872000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 8720001/02/1996 2013000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 20130001/03/1996 2013000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 20130001/04/1996 2481000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 24810001/05/1996 2264000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 22640001/06/1996 3140618,39 0,1 29,73 0,3303 1,0033 314061,83901/07/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/08/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 218900


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/09/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/10/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/11/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/12/1996 5720000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 57200001/01/1997 3719000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 37190001/02/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/03/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/04/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/05/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/06/1997 6047000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 60470001/07/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/08/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/09/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/10/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/11/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/12/1997 6180000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 61800001/01/1998 5177000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 51770001/02/1998 2419000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 24190001/03/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/04/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/05/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/06/1998 6470000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 64700001/07/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/08/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/09/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/10/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/11/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/12/1998 8300000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 83000001/01/1999 2588000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 25880001/02/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/03/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/04/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/05/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/06/1999 7020000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 70200001/07/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/08/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/09/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/10/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/11/1999 3140618,39 0,1 18,08 0,2785 1,0028 314061,83901/12/1999 8950000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 89500001/01/2000 2808000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 28080001/02/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/03/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/04/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/05/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/06/2000 7547000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 75470001/07/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/08/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/09/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/10/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/11/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/12/2000 7547000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 75470001/01/2001 6340000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 63400001/02/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/03/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/04/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/05/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/06/2001 8067000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 80670001/07/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/08/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/09/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/10/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/11/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/12/2001 8067000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 80670001/01/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 340800


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/02/2002 3589000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 35890001/03/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/04/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/05/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/06/2002 8520000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 85200001/07/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/08/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/09/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/10/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/11/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/12/2002 8520000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 85200001/01/2003 3408000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 34080001/02/2003 3660000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36600001/03/2003 3140618,39 0,1 18,78 0,2824 1,0028 314061,83901/04/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/05/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/06/2003 9005000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 90050001/07/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/08/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/09/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/10/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/11/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/12/2003 9005000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 90050001/01/2004 3602000 0,1 4,43 0,1514 1,0015 36020001/02/2004 4154000 0,1 4,43 0,1514 1,0015 415400

BC $ 70.933.544,98


2. Imputación Mediana.

En este método se toman los datos de la variable Sk sin tener en cuenta los datos faltantesy se les calcula la Mediana, este valor hallado se introduce donde se encuentran los datosfaltantes y se calcula el valor del Bono Pensional.

BONOS TIPO A MODALIDAD 1-IMPUTACIÓN MEDIANAk Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK

01/05/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/06/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/07/1991 1244880 0,065 25,03 0,3121 1,0031 80917,201/08/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/09/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/10/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/11/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/12/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/01/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/02/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/03/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/04/1992 2808000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 18252001/05/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 92040


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/06/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/07/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/08/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/09/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/10/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/11/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/12/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/01/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/02/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/03/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/04/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/05/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/06/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/07/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/08/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/09/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/10/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/11/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/12/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/01/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/02/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/03/1994 2808000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 22464001/04/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/05/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/06/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/07/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/08/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/09/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/10/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/11/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/12/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/01/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/02/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/03/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/04/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/05/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/06/1995 5032500 0,09 24,99 0,3119 1,0031 45292501/07/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/08/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/09/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/10/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/11/1995 2013000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 18117001/12/1995 5202000 0,09 24,99 0,3119 1,0031 46818001/01/1996 872000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 8720001/02/1996 2013000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 20130001/03/1996 2013000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 20130001/04/1996 2481000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 24810001/05/1996 2264000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 22640001/06/1996 2808000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 28080001/07/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/08/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/09/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/10/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/11/1996 2189000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 21890001/12/1996 5720000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 57200001/01/1997 3719000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 37190001/02/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/03/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/04/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/05/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/06/1997 6047000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 60470001/07/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/08/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/09/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/10/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 241900


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/11/1997 2419000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 24190001/12/1997 6180000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 61800001/01/1998 5177000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 51770001/02/1998 2419000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 24190001/03/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/04/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/05/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/06/1998 6470000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 64700001/07/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/08/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/09/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/10/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/11/1998 2588000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 25880001/12/1998 8300000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 83000001/01/1999 2588000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 25880001/02/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/03/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/04/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/05/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/06/1999 7020000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 70200001/07/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/08/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/09/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/10/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/11/1999 2808000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 28080001/12/1999 8950000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 89500001/01/2000 2808000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 28080001/02/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/03/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/04/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/05/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/06/2000 7547000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 75470001/07/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/08/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/09/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/10/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/11/2000 3019000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 30190001/12/2000 7547000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 75470001/01/2001 6340000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 63400001/02/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/03/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/04/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/05/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/06/2001 8067000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 80670001/07/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/08/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/09/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/10/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/11/2001 3227000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 32270001/12/2001 8067000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 80670001/01/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/02/2002 3589000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 35890001/03/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/04/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/05/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/06/2002 8520000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 85200001/07/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/08/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/09/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/10/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/11/2002 3408000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 34080001/12/2002 8520000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 85200001/01/2003 3408000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 34080001/02/2003 3660000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36600001/03/2003 2808000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 28080001/04/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 360200


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/05/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/06/2003 9005000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 90050001/07/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/08/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/09/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/10/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/11/2003 3602000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 36020001/12/2003 9005000 0,1 18,78 0,2824 1,0028 90050001/01/2004 3602000 0,1 4,43 0,1514 1,0015 36020001/02/2004 4154000 0,1 4,43 0,1514 1,0015 415400

BC $ 70.702.136,48


3. Imputación Regresión.

En este método se toman los datos de la variable Sk sin tener en cuenta los datos faltantesy se dividen en dos grupos o matrices: el primero conformado por los datos pertenecientes alos meses de Ene-May y Jul-Nov, y el segundo grupo conformado los datos pertenecientes alos meses de Junio y Diciembre, ya que en estos meses se presenta un aumento de la variableSk por primas. Esto se hace con el �n de que los datos donde se presentan primas no afectenel valor de los otros meses incrementando su valor al incluirlos en la función de regresión; y asimismo, los datos que contienen la información de los meses sin prima no disminuyan el valorde los datos con prima al momento de ser imputados.

A cada grupo se le calcula una Regresión Lineal, y con las ecuaciones obtenidas se calculael valor de la variable Sk según el caso; para así calcular �nalmente el valor del Bono Pensional.

BONOS TIPO A MODALIDAD 1 - MESES DE ENE-MAY Y JUL-NOVk Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK

01/05/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/07/1991 1244880 0,065 25,03 0,3121 1,0031 80917,201/08/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/09/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/10/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/11/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/01/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/02/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/03/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/05/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/07/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 11328001/08/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 11328001/09/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 11328001/10/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 11328001/11/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 11328001/01/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 12744001/02/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 12744001/03/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 127440


BONOS TIPO A MODALIDAD 1 - MESES DE ENE-MAY Y JUL-NOVk Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK

01/04/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/05/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/07/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/08/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/09/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/10/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/11/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 156751,201/01/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 17416801/02/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 17416801/04/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/05/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/07/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/08/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/09/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/10/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/11/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 20130001/01/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/02/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/03/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/04/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/05/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/07/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/08/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/09/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/10/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/11/1995 2013000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 20130001/02/1996 2013000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 20130001/03/1996 2013000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 20130001/05/1996 2264000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 22640001/07/1996 2189000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 21890001/08/1996 2189000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 21890001/09/1996 2189000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 21890001/10/1996 2189000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 21890001/11/1996 2189000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 21890001/02/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/03/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/04/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/05/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/07/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/08/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/09/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/10/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/11/1997 2419000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 24190001/02/1998 2419000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 24190001/03/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/04/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/05/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/07/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/08/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/09/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/10/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/11/1998 2588000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 25880001/01/1999 2588000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 25880001/02/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/03/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/04/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/05/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/07/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/08/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/09/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/10/1999 2808000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 28080001/01/2000 2808000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 28080001/02/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/03/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 301900


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/04/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/05/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/07/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/08/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/09/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/10/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/11/2000 3019000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 30190001/02/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/03/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/04/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/05/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/07/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/08/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/09/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/10/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/11/2001 3227000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 32270001/01/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/03/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/04/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/05/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/07/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/08/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/09/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/10/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/11/2002 3408000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 34080001/01/2003 3408000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 34080001/02/2003 3660000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36600001/04/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/05/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/07/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/08/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/09/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/10/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/11/2003 3602000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 36020001/01/2004 3602000 0,1 8,43 0,1514 1,0015 360200

y = 21028x+ 1E+ 06


BONOS TIPO A MODALIDAD 1 - MESES DE JUNIO Y DICIEMBREk Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK

01/06/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/12/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/06/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 27520801/12/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 27520801/06/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 366886,801/12/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 366886,801/06/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 47292001/12/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 47292001/06/1995 5032500 0,09 25,03 0,3119 1,0031 50325001/12/1995 5202000 0,09 25,03 0,3119 1,0031 52020001/12/1996 5720000 0,1 25,03 0,3303 1,0033 57200001/06/1997 6047000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 60470001/12/1997 6180000 0,1 24,99 0,3145 1,0031 61800001/06/1998 6470000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 64700001/12/1998 8300000 0,1 29,73 0,2860 1,0029 83000001/06/1999 7020000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 70200001/12/1999 8950000 0,1 25,62 0,2785 1,0028 89500001/06/2000 7547000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 754700


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/12/2000 7547000 0,1 19,45 0,2583 1,0026 75470001/06/2001 8067000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 80670001/12/2001 8067000 0,1 18,08 0,2923 1,0029 80670001/06/2002 8520000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 85200001/12/2002 8520000 0,1 14,76 0,2056 1,0021 85200001/06/2003 9005000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 90050001/12/2003 9005000 0,1 20,7 0,2824 1,0028 900500

y = 259310x+ 3E+ 06


A continuación se muestra la tabla con los valores imputados:

BONOSTIPO A MODALIDAD 1 - IMPUTACIÓN REGRESIÓN01/05/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/06/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/07/1991 1244880 0,065 25,03 0,3121 1,0031 80917,201/08/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/09/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/10/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/11/1991 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/12/1991 2842500 0,065 25,03 0,3121 1,0031 184762,501/01/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/02/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/03/1992 1200000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 7800001/04/1992 1210280 0,065 25,03 0,3121 1,0031 78668,201/05/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/06/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/07/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/08/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/09/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/10/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/11/1992 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/12/1992 3440100 0,065 25,03 0,3121 1,0031 223606,501/01/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/02/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/03/1993 1416000 0,065 25,03 0,3121 1,0031 9204001/04/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/05/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/06/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/07/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/08/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/09/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/10/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/11/1993 1741680 0,065 25,03 0,3121 1,0031 113209,201/12/1993 4076520 0,065 25,03 0,3121 1,0031 264973,801/01/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/02/1994 1741680 0,08 25,03 0,3121 1,0031 139334,401/03/1994 1609812 0,08 25,03 0,3121 1,0031 128784,9601/04/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/05/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/06/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/07/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 161040


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/08/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/09/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/10/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/11/1994 2013000 0,08 25,03 0,3121 1,0031 16104001/12/1994 4729200 0,08 25,03 0,3121 1,0031 37833601/01/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/02/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/03/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/04/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/05/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/06/1995 5032500 0,09 25,03 0,3121 1,0031 45292501/07/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/08/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/09/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/10/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/11/1995 2013000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 18117001/12/1995 5202000 0,09 25,03 0,3121 1,0031 46818001/01/1996 872000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 8720001/02/1996 2013000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 20130001/03/1996 2013000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 20130001/04/1996 2481000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 24810001/05/1996 2264000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 22640001/06/1996 5852410 0,1 25,03 0,3121 1,0031 58524101/07/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/08/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/09/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/10/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/11/1996 2189000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 21890001/12/1996 5720000 0,1 25,03 0,3121 1,0031 57200001/01/1997 3719000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 37190001/02/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/03/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/04/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/05/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/06/1997 6047000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 60470001/07/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/08/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/09/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/10/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/11/1997 2419000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 24190001/12/1997 6180000 0,1 24,99 0,3119 1,0031 61800001/01/1998 5177000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 51770001/02/1998 2419000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 24190001/03/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/04/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/05/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/06/1998 6470000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 64700001/07/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/08/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/09/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/10/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/11/1998 2588000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 25880001/12/1998 8300000 0,1 29,73 0,3303 1,0033 83000001/01/1999 2588000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 25880001/02/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/03/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/04/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/05/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/06/1999 7020000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 70200001/07/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/08/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/09/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/10/1999 2808000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 28080001/11/1999 2724296 0,1 25,62 0,3145 1,0031 272429,601/12/1999 8950000 0,1 25,62 0,3145 1,0031 895000


k Sk COTk RISSk RISSn ProductoRISSn AK01/01/2000 2808000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 28080001/02/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/03/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/04/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/05/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/06/2000 7547000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 75470001/07/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/08/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/09/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/10/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/11/2000 3019000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 30190001/12/2000 7547000 0,1 19,45 0,2860 1,0029 75470001/01/2001 6340000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 63400001/02/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/03/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/04/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/05/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/06/2001 8067000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 80670001/07/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/08/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/09/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/10/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/11/2001 3227000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 32270001/12/2001 8067000 0,1 18,08 0,2785 1,0028 80670001/01/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/02/2002 3589000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 35890001/03/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/04/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/05/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/06/2002 8520000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 85200001/07/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/08/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/09/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/10/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/11/2002 3408000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 34080001/12/2002 8520000 0,1 14,76 0,2583 1,0026 85200001/01/2003 3408000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 34080001/02/2003 3660000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36600001/03/2003 3376164 0,1 20,7 0,2923 1,0029 337616,401/04/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/05/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/06/2003 9005000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 90050001/07/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/08/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/09/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/10/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/11/2003 3602000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 36020001/12/2003 9005000 0,1 20,7 0,2923 1,0029 90050001/01/2004 3602000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 36020001/02/2004 4154000 0,1 8,43 0,2056 1,0021 415400

BC $72.184.952,45


4.3. RESULTADOS OBTENIDOS Y CONCLUSIONES. 61

4.3. Resultados Obtenidos y Conclusiones.

A continuación se muestran los resultados obtenidos de la aplicación de los tres métodosde imputación para los casos en los que faltan de 1 a 5 datos en el monto del Bono Pensional.

Las entradas de la �la 2 de las Tablas 4.8, 4.9 y 4.10 corresponden al valor hallado del BonoPensional de acuerdo al número de datos faltantes presentes en la historia laboral, y las entradasde la �la 3 corresponden al valor hallado del Bono al aplicar los métodos de imputación. Estosvalores fueron hallados de forma similar que el caso explicado anteriormente.

Las entradas de la �la 4 corresponden a la diferencia entre el valor del Bono con imputacióny el valor del Bono con presencia de datos faltantes.

No. DE DATOS VALOR BONOFALTANTES DATOS FALTANTES MEDIA DIFERENCIA

1 $ 72.156.708,30 $ 72.482.686,71 $ 325.978,412 $ 71.868.501,05 $ 72.647.682,70 $ 779.181,653 $ 71.520.272,50 $ 72.804.760,58 $ 1.284.488,084 $ 71.000.278,02 $ 72.606.995,35 $ 1.606.717,335 $ 69.953.457,81 $ 70.933.544,98 $ 980.087,17


No. DE DATOS VALOR BONOFALTANTES DATOS FALTANTES MEDIANA DIFERENCIA

1 $ 72.156.708,30 $ 72.447.063,14 $ 290.354,842 $ 71.868.501,05 $ 72.560.885,68 $ 692.384,633 $ 71.520.272,50 $ 72.659.356,89 $ 1.139.084,394 $ 71.000.278,02 $ 72.429.717,26 $ 1.429.439,245 $ 69.953.457,81 $ 70.702.136,48 $ 748.678,66


No. DE DATOS VALOR BONOFALTANTES DATOS FALTANTES REGRESIÓN DIFERENCIA

1 $ 72.156.708,30 $ 72.279.818,86 $ 123.110,562 $ 71.868.501,05 $ 72.250.905,97 $ 382.404,923 $ 71.520.272,50 $ 72.225.155,73 $ 704.883,244 $ 71.000.278,02 $ 72.240.308,80 $ 1.240.030,785 $ 69.953.457,81 $ 72.184.952,45 $ 2.231.494,64


En la siguiente tabla (Tabla 4.11) se puede apreciar la diferencia entre el valor del BonoReal ( 72.280.791,57) y los valores hallados mediante los distintos métodos de imputación;esta diferencia esta basada en las tablas anteriores.


No. DE DATOS DIF. VALOR REAL - VALOR IMP.FALTANTES MEDIA MEDIANA REGRESIÓN

1 -$ 201.895,14 -$ 166.271,58 $ 972,712 -$ 366.891,14 -$ 280.094,11 $ 29.885,603 -$ 523.969,01 -$ 378.565,32 $ 55.635,834 -$ 326.203,78 -$ 148.925,69 $ 40.482,765 $ 1.347.246,59 $ 1.578.655,09 $ 95.839,12


En la tabla se puede observar que en los cuatro primeros casos con respecto a la Media hayvalores negativos, esto se debe a que al realizar la imputación el valor hallado del Bono fuemayor que el valor del Bono Real. Para el quinto caso si se tiene una correcta aproximaciónpor medio de la imputación al monto real.

Ahora en cuanto a la Mediana se tiene que al observar los cuatro primeros casos sucediólo mismo que en la imputación con la Media, es decir, el valor con la imputación fue mayorque el real y nuevamente en el quinto caso si se obtuvo una buena aproximación.

Para el caso de la Regresión los cinco casos arrojaron resultados positivos, por lo que sepuede decir se obtuvo una muy buena aproximación al valor real del Bono Pensional.

Se considera que el método de imputación es efectivo cuando el valor hallado del Bono noexcede al valor real, ya que aunque para las entidades que entregan el bono es conveniente unaaproximación por encima antes de redimirlo, para efectos de tener una buena reserva; en elmomento de redimir el Bono se necesita una aproximación por debajo a su valor real lo máscercana posible, ya que no es rentable para ninguna entidad entregar un monto mayor al queen realidad se hace acrededor el trabajador.

De lo anterior se puede concluir para los Bono Tipo A Modalidad 1,en el caso que sepresente de uno a cuatro datos faltantes el método recomendado a utilizar es la Imputaciónpor Regresión, ya que de acuerdo a los valores hallados el monto con la imputación se aproximabastante al valor real sin excederlo.

En cuanto a los casos en los cuales se presenten de cinco datos faltantes en adelante, elmétodo recomendado es la Imputación por la Media, ya que al comparar con respecto a losvalores hallados por la Mediana y por Regresión, la diferencia del monto obtenido mediante laimputación con el valor real es mucho menor para la Media; por lo que la aproximación es mu-cho mejor. De todas formas el método de imputación por Regresión también es recomendableen estos casos ya que el valor arrojado esta de acuerdo a la tendencia de los datos.

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