Multiplicadores de LagrangeEn los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientesde la función sean iguales a cero.

IntroducciónConsideremos un caso bidimensional. Supongamos que tenemos la función, f (x, y), y queremos maximizarla, estando sujeta a la condición:

donde c es una constante. Podemos visualizar las curvas de nivel de f dadas por

para varios valores de dn, y el contorno de g dado por g(x, y) = c. Supongamos que hablamos de la curva de nivel donde g = c. Entonces, en general, las curvas de nivel de f y g serán distintas, y la curva g = c por lo general intersecará y cruzará muchos contornos de f. En general, moviéndose a través de la línea g=c podemos incrementar o disminuir el valor de f. Sólo cuando g=c (el contorno que estamos siguiendo) toca tangencialmente (no corta) una curva de nivel de f, no se incrementa o disminuye el valor de f. Esto ocurre en el extremo local restringido y en los puntos de inflexión restringidos de f.

Un ejemplo familiar puede ser obtenido de los mapas climatológicos, con sus curvas de nivel de presión y temperatura (isóbaras e isotermas respectivamente): el extremo restringido ocurrirá donde los mapas superpuestos muestren curvas que se tocan.

Geométricamente traducimos la condición de tangencia diciendo que los gradientes de f y g son vectores paralelos en el máximo. Introduciendo un nuevo escalar, λ, resolvemos

[f(x, y) - λ (g(x, y) − c)] = 0

para λ ≠ 0.

Una vez determinados los valores de λ, volvemos al número original de variables y así continuamos encontrando el extremo de la nueva ecuación no restringida.

de forma tradicional. Eso es,   para todo (x, y) satisfaciendo la condición

porque   es igual a cero en la restricción, pero los ceros de  F(x, y) están todos

en  .

El método de los multiplicadores de Lagrange[editar]

Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h

lo que es equivalente a

Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada

El método de multiplicadores de Lagrange es generalizado por las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

EjemplosEjemplo #1Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos

lo que nos da

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.

Ejemplo #2[editar]

Determinar los puntos en la esfera   que están más cercanos al

punto 

la distancia al punto  :

para hacer más sencilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la distancia:

la restricción: 

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelven las ecuaciones "   " y " " y el resultado es:

(1)

(2)

(3)

(4)

la manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x, y, z en función de   y luego sustituimos en la ecuación (4).

de la ecuación (1) obtenemos   se observa que   ≠ 1 por que si   no se puede realizar la operación.

lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)

sustituyendo en la ecuación (4)

se obtiene que 

y entonces los puntos (x, y, z) son :

 y 

se puede observar que el punto más cercano entonces es 

Ejemplo #3 (restricciones múltiples)[editar]

Restricciones:

Aplicar el método: 

Entonces:

Por lo tanto, los puntos críticos son:

Bastará entonces evaluar la función en esos puntos para determinar que:

por lo que en ambos puntos   tiene un máximo si está restringida de esta manera.

Criterio de la segunda derivada para Extremos con Restricción[editar]

El caso bidimensional[editar]Como en el caso no restringido en el que usamos la matriz Hessiana y el criterio de Sylvester para determinar la naturaleza de los puntos críticos, en presencia de multiplicadores de Lagrange existe un método análogo para descubrir si un punto crítico v0 es máximo, mínimo, o punto silla.

Sea f:U⊂ℝ2→ℝ y g:U⊂ℝ2→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal que g(v0)= c y sea S elconjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que  g(v0)≠0 y existe un número real   tal que  f(v0) =  g(v0). Para la función auxiliar h = f -  g tenemos la matriz hessiana limitada:

 evaluada en v0

1. Si |H|>0 entonces v0 es un máximo local en f limitada a S

2. Si |H|<0 entonces v0 es un mínimo local en f limitada a S

3. Si |H|=0 entonces el criterio no concluye nada

El caso n-dimensional[editar]Análogamente al caso bidimensional, consideramos el caso n-dimensional, Sea f:U⊂ℝn→ℝ y g:U⊂ℝn→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal que g(v0)= c y sea S elconjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que  g(v0)≠0 y existe un número real   tal que f(v0) = g(v0). Para la función auxiliar h = f -  g construimos la matriz hessiana limitada:

 evaluada en v0

Examinamos los determinantes de las submatrices en la diagonal de orden mayor o igual a 3:

1. Si todos ellos son mayores que 0, tenemos un mínimo local en v0

2. Si el primer subdeterminante de tamaño 3x3 es mayor que cero, el siguiente (el de

4x4) es menor que cero, y de esa manera los subdeterminantes van alternando su signo,

tenemos un máximo local en v0

3. Si todos los subdeterminantes son distintos de cero, pero no siguen ninguno de los

dos patrones anteriores, tenemos un punto silla en v0

4. Si no se da ninguno de los tres casos anteriores, el criterio no concluye nada

Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Para determinar los valores máximos y mínimos de   sujeta a la restricción   

Determinar todos los valores de   y   tal que: 

 

Evalúe   en todos los puntos   que resulten del primer paso. El mas grande de estos valores

es el valor máximo de f; el más pequeño es el valor mínimo de  .

Es más fácil explica la base geométrica del método de Lagrange para funciones de dos variables, por

eso comenzaremos calculando los valores extremos de f(x,y) sujetos a una restricción de la forma

g(x,y) = k, En otras palabras, buscamos los valores extremos de f(x,y) cuando se impone la restricción

de que el punto (x,y) debe estar sobre la curva de nivel g(x,y) = k. La siguiente figura ilustra esta curva

junto con varias curvas de nivel de f. Estas tienen por ecuación f(x,y)=c, donde c = 7,8,9,10,11. Hacer

máxima f (x,y) sujeta a g(x,y) = k es halla el máximo valor de c tal que la curva de nivel f (x,y)= c corte

g(x,y) = k. En la esta figura se ve que esto ocurre cuando estas curvas se tocan solo en un punto, e s

decir, cuando tienen una recta tangente común. ( De otra forma, el valor de c podría aumentar más. )

Esto significa que las rectas normales en el punto (  ,  ) donde se tocan, son idénticas. Por

tanto, los vectores gradiente son paralelo,s es decir,     para cierto

escalar λ

Ejemplos con una restricciónEjemplo # 1

La función de producción de Cobb- Douglas para un cierto fabricante viene dada

por   donde   denota las unidades de trabajo (Q. 150.00 unidades) e   las

unidades de capital (Q 250.00 la unidad) Hallar el máximo nivel de producción admisible para este

fabricante, si tiene el coste conjunto de trabajo y capital limitado a Q50000.00

FO: 

FR: 

FR: 

Ejemplo # 2

Averiguar las dimensiones del paquete rectangular de máximo volúmen sometido a la

restricción de que la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal no exceda 108

pulgadas.

FO: 

FR:

Resolver ecuación:

FR: 

Ejemplo # 3

Una caja rectangular sin tapa se hace con   de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. 

Buscamos maximizar: 

 

con restriccion: 

 

ahora aplicamos lo que nos dice el metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Entonces:

Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en: 

Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo   por lo tanto la

primera la multiplicamos por   la segunda por   y la tercera por  , quedaría de la siguiente

manera: 

Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto: 

de la segunda ecuación sabemos que: 

 entonces:  . Si se hace   sustituimos en la ecuación: 

y nos quedaría de la siguiente manera:

Por lo tanto 

entonces:   y  .

Ejemplo # 4

Usar multiplicadores de LaGrange para hacer máximo el valor de

 sujeto a 

FO: 

FR: 

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

FR: 

Ejemplo # 5

Ejemplo # 6

Ejemplo # 7

Determinar los puntos en la esfera   que están más cercanos al punto 

la distancia al punto  :

para hacer massecilla la operación se maximiza o minimiza el cuadrado de la distancia:

la restricción: 

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve    , el

resultado es:

(1)

(2)

(3)

(4)

la manera mas sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x,y,z en función de \lambda y luego

sustituimos en la ecuación (4).

de la ecuación (1) obtenemos   se observa que   ≠ 1 por que si   no se puede

realizar la operación.

lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)

 

sustituyendo en la ecuación (4)

el valor de 

entonces los puntos (x,y,z) son :

 y 

se puede observar que el punto mas cercano entonces es 

Ejemplo # 8

sitemas de ecuaciones a resolver:

 

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (sumarlos):

 

entonces llegamos:

ahora encontramos "y":

Respuesta: (2,4)

--Hersonjmc 20:07 30 sep 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo # 9

De lo anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Del sistema de ecuaciones concluimos q:

entonces:

entonces sustituimos en la Restricción y obtenemos:

ahora encontramos "y" sustituyendo en cualquiera de las otras ecuaciones:

ahora encontramos "z" sustituyendo en cualquiera de las otras ecuaciones:

entonces el punto sería (respuesta):

 --Hersonjmc 20:18 30 sep 2010 (CST)hersonjmc

Ejemplo #10

Minimizar  , sujeta a   

;   

 

 

 

 

I: ; II: ; III:  

\frac{2xy=y\lambda }{xy=x\lambda }\rightarrow 2=\frac{y}{x }\rightarrowx=\frac{y}{2} 

 

--JoshLpz 05:48 12 nov 2010 (CST)

Ejemplo # 11

Encuentre los valores extremos de   en el disco   ≤1.

Solución, De acuerdo con el procedimiento, comparamos los valores de f en los puntos críticos con los

valores en los puntos de la frontera. Puesto que   y  , el único punto crítico es

(0,0). Comparamos el valor de f en ese punto con los valores extremos:

  ±1,0)=1   ±1)= 2

Por lo tanto, el máximo valor de f en el disco   ≤1 es  , y el valor mínimo

es 

Ejemplos con dos restriccionesEjemplo # 1

Restricciones: 

Aplicar el método:

Ejemplo # 2

Encuentre el máximo valor de la función   en la curva de intersección del

plano   y el cilindro  .

Maximizamos la función   restringida en   y

en  . Resolvemos las ecuaciones con la condición de

Lagrange  .

y , por tanto  . Entonces    . y los

correspondientes valores de f son:

el máximo valor de f en la curva danda es  .

Ejemplo # 3

Encontrar el máximo de la función:

 

con las siguientes restricciones: 

Al aplicar el metodo nos quedaría la siguiente igualdad.

A la hora de igualarlos nos quedarían las siguientes ecuaciones, contando las restricciones así que

serian 5 ecuaciones. 

ahora podemos igualar:

entonces:

Al sustituir en las restricciones quedarían:

Restamos las ecuaciones por lo tanto:

entonces: 

concluimos que: