Optimización con Restricciones de Igualdad...
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Optimizacioncon
Restriccionesde Igualdad:
Multiplicadoresde Lagrange
Departamentode
Matematicas
El problema
La tecnica
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Optimizacion con Restricciones de Igualdad:Multiplicadores de Lagrange
Departamento de Matematicas
Optimizacioncon
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Multiplicadoresde Lagrange
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El ProblemaDada una funcion en varias variables z = f (x1, x2, . . . , xn)donde las variables deben cumplir las restricciones:
g1(x1, x2, . . . , xn) = 0g2(x1, x2, . . . , xn) = 0
...gm(x1, x2, . . . , xn) = 0
donde el numero de restricciones m es estrictamente menor queel de variables n; determinar sus optimos.
• ¿Porque el numero de restricciones debe ser menor que elde variables? Intuitivamente: para que el espacio debusqueda sea infinito.
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La tecnicaConstruir la funcion Lagrangeana del problema:
F (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λm) = f (x1, . . . , xn)+m∑j=1
λj ·gj(x1, . . . , xn)
Los puntos maximos o mınimos buscados estan dentro de lospuntos crıticos de F . Para analizar un punto crıtico P, seevalua la Hessiana de F en el punto. Sea B = HF (P). Secalculan los determinantes ∆1 = det(B), ∆2 = det(B1),. . . ,
∆n−m = det(Bn−m). Donde Bj es la matriz B donde se hanborrado los primeros j − 1 renglones y j − 1 columnas. P es unmınimo local si:
• siendo m par, si ∆1 > 0, ∆2 > 0, . . . ,∆n−m > 0
• siendo m impar, si ∆1 < 0, ∆2 < 0, . . . ,∆n−m < 0
P es un maximo local si:
• siendo n par, si ∆1 > 0, ∆2 < 0, . . . , (−1)n−m∆n−m < 0
• siendo n impar, si ∆1 < 0, ∆2 > 0, . . . , (−1)n−m∆n−m > 0
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EjemploEncuentre los puntos maximos y mınimos de
f (x , y , z) = x − 2y + x2 y + z
sujeta a las restricciones: 7 + y = x2 y x − y + z = 1
Solucion1) Reescribimos las restricciones en el formato g = 0:
g1 = 7 + y − x2 = 0 g2 = x − y + z − 1 = 0
2) Formamos la funcion Lagrangeana:
F = f +t1 g1+t2 g2 = t1 (7−x2+y)+t2 (−1+x−y+z)+x−2 y+x2 y+z
3) Obtenemos los puntos crıticos de F , donde ∇F = 0:
1− 2 t1 x + t2 + 2 x y = 0−2 + t1 − t2 + x2 = 0
1 + t2 = 07− x2 + y = 0
−1 + x − y + z = 0
→P(x = −2, y = −3, z = 0, t1 = −3, t2 = −1)Q(x = 0, y = −7, z = −6, t1 = 1, t2 = −1)R(x = 2, y = −3, z = −4, t1 = −3, t2 = −1)
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4) Obtenemos la Hessiana de la Lagrangeana:
HF =
−2 t1 + 2 y 2 x 0 −2 x 1
2 x 0 0 1 −10 0 0 0 1−2 x 1 0 0 0
1 −1 1 0 0
5) Hacemos la tabla de analisis: como n = 3 y m = 2 solodebemos calcular n −m = 3− 2 = 1 determinantes principalesde la Hessiana:
x y z t1 t2 ∆1 ¿?
−2 −3 0 −3 −1 32 mınimo
0 −7 −6 1 −1 −16 maximo
2 −3 −4 −3 −1 32 mınimo
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EjemploEncuentre los puntos maximos y mınimos de
f (x , y , z) = x + 3 y + 5 z
sujeta a las restricciones: x2 + y2 + z2 = 1
Solucion1) Reescribimos las restricciones en el formato g = 0:
g1 = x2 + y2 + z2 − 1
2) Formamos la funcion Lagrangeana:
F = f + t1 g1 = x + 3 y + 5 z + t1 (x2 + y2 + z2 − 1)
3) Obtenemos los puntos crıticos de F , donde ∇F = 0:
2 t1 x + 1 = 02 t1 y + 3 = 02 t1 z + 5 = 0
x2 + y2 + z2 − 1 = 0
→ P(x =√3535 , y = 3
√35
35 , z =√357 , t1 = −
√352 )
Q(x = −√353 , y = − 3
√35
3 , z = −√357 , t1 =
√352 )
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4) Obtenemos la Hessiana de la Lagrangeana:
HF =
2 t1 0 0 2 x
0 2 t1 0 2 y0 0 2 t1 2 z
2 x 2 y 2 z 0
5) Hacemos la tabla de analisis: como n = 3 y m = 1 debemoscalcular n −m = 3− 2 = 2 determinantes principales de laHessiana:
x y z t1 ∆1 ∆2 ¿?√3535
3√35
35
√357 −
√352 −140 136
√35
35 maximo
−√3535
3√35
35 −√357
√352 −140 −136
√35
35 mınimo
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