Multivariable s

Procesos Multivariables

Prof. Mª Jesús de la FuenteISA-UVA

Prof. Cesar de Prada ISA-UVA 2

Indice

InteracciónControl de sistemas multivariables con lazos simplesSelección de lazos de controlRGAControl por desacoploControl multivariable


Sistemas MIMO

u1

u2

y1

y2

y3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y)s(Y)s(Y

2

1

3231

2221

1211

3

2

1Interacción

Direcciones


Reactor

Reactor

TT

T

RefrigeranteProducto

Interacción entrada salida en ambas variables

Interacción en lazo abierto

uReactante

AT


GRADOS DE LIBERTAD

¿Cómo se determina el máximo número de variables que pueden ser controladas en un

proceso?

v1

Hot Oil

v2

v3

L1

v7

v5 v6

Hot Oil

F1 T1 T3

T2

F2

T4T5

F3 T6

T8

F4

L1

v8

T7

P1F5

F6T9


GRADOS DE LIBERTAD

Un requisito básico :

El número de válvulas (actuadores) ≥número de variables controladas

v1

Hot Oil

v2

v3

L1

v7

v5 v6

Hot Oil

F1 T1 T3

T2

F2

T4T5

F3 T6

T8

F4

L1

v8

T7

P1F5

F6T9

esto es una condición necesariaPero no suficiente para satisfacer los objetivos de control!


CONTROLABILIDAD

Un proceso es controlable si las variables controladas pueden ser mantenidas en sus valoresde consigna, en estado estacionario, a pesar de las

perturbaciones que afectan la planta.

Matemáticamente, un proceso es controlable cuando la matriz of ganancias del proceso puede invertirse, i.e., cuandoel determinante de K ≠ 0.

DKK

MVMV

KKKK

CVCV

d

d⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

2221

1211

2

1

00Modelo

para un sistema2x2.


los autos de la figura

• ¿Son controlables de forma independiente?

• ¿Existe interacción?

Un ejemplointuitivo!!!

Interacción


Vinculados por un resorte



• Existe interacción?

Interacción


Vínculo rígido.



• ¿Existe interacción?

Interacción


FA, xA

FS, xAS = 0FM, xAM

SssAs

AAA

ssAs

AAAM

SA

AAAM

SAMSAM

FFFxF

FFF

Fxx

FFxF

x

FFFFFF

Δ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+Δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=Δ⇒

+=

Δ+Δ=Δ⇒+=

22 )()()1(

En el proceso de mezclado

• Son controlables de forma independiente FM, xAM?

• Existe interacción en el proceso?

Controlabilidad


FA, xA

FS, xAS = 0FM, xAM

0)()(

)1()(

)( 222 ≠+−

=+−

−+

−=

SA

A

SA

AA

SA

AA

FFF

FFxF

FFxF

KDet

Sí, este sistema es controlable!

¿Sería controlable el sistema si xAS es distinto de cero?

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

S

A

ssAs

AA

ssAs

AA

AM

M

FF

FFxF

FFFx

xF

22 )()()1(

11


Interacción

G11

G21

G12

G22u2

u1y1

y2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y)s(Y

2

1

2221

1211

2

1

Lazo abierto


Interacción

G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

Control con lazos SISO


Lazo cerrado

G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

)yw(RG)yw(RGuGuGy

)yw(RG)yw(RGuGuGy

2222211121

2221212

2221211111

2121111

−+−==+=

−+−==+=

2222

22211

222

1212

22111

2121

111

1111

wRG1

RG)yw(RG1

RGy

)yw(RG1

RGwRG1

RGy

++−

+=

−+

++

=


Interacción

2121212222111

2121

121212222111

1212122221111

2222

22211

222

1212

111

2121

111

1111

wRGRG)RG1)(RG1(

RGwRGRG)RG1)(RG1(

RGRG)RG1(RGy

)wRG1

RG)yw(RG1

RGw(RG1

RGwRG1

RGy

−+++

−++−+

=

+−−

+−

++

+=

G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

2222

22211

222

1212

22111

2121

111

1111

wRG1

RG)yw(RG1

RGy

)yw(RG1

RGwRG1

RGy

++−

+=

−+

++

=


Interacción (Lazo 1)

2121212222111

2121

121212222111

1212122221111 w

RGRG)RG1)(RG1(RGw

RGRG)RG1)(RG1(RGRG)RG1(RGy

−+++

−++−+

=

G11

G21

G12

G22u2

u1

y1

y2

R1

R2

w1

w2

w1 y w2 influyen en y1

Si G12 ó G21 son = 0 no hay cambio de dinámica sobre un sistema SISO u1 --- y1

Si R2 pasa a manual se modifica la dinámica del lazo 1

2222111

2121

111

1111 w

)RG1)(RG1(RGw

)RG1(RGy

+++

+= 1

111

1111 w

)RG1(RGy

+=


Interacción

TT

u1

q T

Condensado

Fv

u2

FT

u2

u1 Tq


Reactor

Reactor

TT

T



Interacción en lazo abierto

uReactante

AT


Reactor

Reactor

TT

T


TC


Interacción en lazo cerrado

uReactante

AT

AC


Interacción

Medir el grado de interacción¿Se puede funcionar con lazos simples? En caso afirmativo, ¿Cual es el mejor emparejamiento de variables entrada-salida?

u1

u2

y1

y2


Matriz de ganancias estacionarias

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

uu

kkkk

yy

No es una buena medida de interacción:

Depende de las unidades en las que se exprese

No refleja el hecho característico de la interacción multivariable: los cambios en un lazo cuando otros pasan de automático a manual


Matriz de Ganancias Relativas (RGA) Matriz de Bristol

2221

1211

2

1

21

uu

yy

λλλλ

G

u1

u2

y1

y2

cteyj

i

cteuj

i

j,i

uy

uy

=

=

∂∂

∂∂

=λ

λ11

G

u1

u2

y1

y2


Deseable1j,i =λ

0j,i =λ

∞=λ j,i2.08.0u8.02.0u

yy

2

1

21

RGA

Puede emplearse para hacer una adecuada selección de pares entrada-salida para controlar un sistema MIMO escogiendo la mínima interacción en estado estacionario o a una frecuencia dada

cteyj

i

cteuj

i

j,i

uy

uy

=

=

∂∂

∂∂

=λ

0j,i <λ


RGA

G

u1

u2

y1

y2

λ11

2221212

2121111

ukuk0yukuky

Δ+Δ==ΔΔ+Δ=Δ

21122211

2211

22

21122211

1111

22

21122211

ctey1

1

122

21121111

kkkkkk

kkkkk

k

kkkkk

uy

uk

kkuky

2

−=

−=λ

−=

ΔΔ

Δ−Δ=Δ

=21122211

2211

21122211

2112

21122211

2112

21122211

2211

2

1

21

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

uu

y y

−−−

−−

−


Columna

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=6.1092.1084.868.87

)0(G

V

L

x1

x2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1.351.341.341.35

VL

x x 21

Muy fuerte interacción con el emparejamiento ( L x1) (V x2)

Inestabilidad asegurada con el emparejamiento ( L x2) (V x1)

RGA


RGA

T1)G(G)G()G(RGA −×=Λ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=×=Λ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

−

−

4.06.06.04.0

)G(G)G(

1.03.02.04.0

G

4321

G

T1

1

La suma de los elementos de una fila o columna de la RGA es 1

Es independiente del escalado de u e y

Para procesos asimétricos, la inversa puede sustituirse por la pseudoinversa Matlab RGA = G.*pinv(G)’


RGA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

40.51.5427.141.10.317.163.45.308.16

G

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

03.295.008.045.097.041.048.199.050.1

uuu

y y y

3

2

1

321

El unico emparejamiento SISO admisible resulta ser:

y1 ---- u1 y2 ---- u2 y3 ---- u3

con una interacción mayor en el tercer lazo


Columna de destilación


Interacción entre lazos de control

CONTROLProcess 1

INTERACT 12PV1

response toCO2

INTERACT 21PV2

response toCO1

CONTROLProcess 2

PROCESS 11PV1

response toCO1

PROCESS 22PV2

response toCO2

+- ++

+- ++

1y

2y

1setpointy

2setpointy

1u

2u


Proceso de mezcla

FT AT

1u

2u

11 xF

22 xFxF

21 FFF +=Balance global:

Balance de componente:

2211 xFxFxF +=

Eliminando F2 entre las dos ecuaciones:

2

211 .

xxxxFF

−−

= FF

xxxx

xxxxFF

1

21

2

2

21,

11

=−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=λ

2211222121112211121112 xFxFxFxFxFxFFxxFxFFxxFxFFxFx +=++−=+−=⇒−=−


Proceso de mezcla(Cont.)

La matriz de ganancias relativas RGA es:

¿Cuál es el mejor emparejamiento entre variables manipuladas y controladas? ¿De qué dependerá la respuesta?

1F 2F

FF 1

FF 1

FF 11 −

FF 11 −

F

x

1F 2F


Proceso de mezcla

Para F1 = 10, F = 15

F

1F 2F

x

0.67 0.33

0.33 0.67

1F 2F

FF 1

FF 1

FF 11 −

FF 11 −

F

x

1F 2F

Para F1 = 3, F = 15

F

1F 2F

x

0.2 0.8

0.8 0.2


RGA(jω)

))j(G(RGA ω

La RGA se formuló originalmente sobre la matriz de ganancias estacionarias, frecuencia 0, pero puede evaluarse y dar información útil a cualquier otra frecuencia


Dos enfoques alternativos

MULTILOOP vs Centralizado

L

F

T

A

Multiloop: varios controladoresPID independientes

Centralizado

L

FT

A

Controlador

Centralizado


Desacoplo

G

u1 y1

y2

R1

w1

R2

w2u2

D

Encontrar la matriz D, tal que GD se comporte como una matriz diagonal o casi diagonal


Desacoplo en estado estacionario

G

u1 y1

y2G(0)-1

R1

w1

R2

w2u2

Si D = G(0)-1 , entonces G(s) G(0)-1 es diagonal en estado estacionario de modo que, en reposo, no hay interacción. Fácíl de implementar y calcular, G(0)-1 = inversa de la matriz de ganancias estacionarias.


Estructura de control con desacople

CONTROLProcess 1

CONTROLProcess 2

DECOUPLER 12PV1

decoupled fromCO2

DECOUPLER 21PV2

decoupled fromCO1

+- ++ ++

+- ++ ++

1feedbacku

2feedbacku

1totalu

2totalu

1y

2y

1setpointy

2setpointy

)(12 sD

)(21 sD

)(11 sG

)(21 sG

)(12 sG

)(22 sG

2decoupleu

1decoupleu

PROCESS 11PV1

response toCO1

INTERACT 21PV2

response toCO1

PROCESS 22PV2

response toCO2

INTERACT 12PV1

response toCO2


2x2 Multivariable Decoupling

Requiere 4 modelos dinámicos– Process 11 (como CO1 impacta en PV1)– Interact 12 (como CO2 impacta en PV1)– Interact 21 (como CO1 impacta en PV2)– Process 22 (como CO2 impacta en PV2)

Estos models deben construirse a partir de datos de planta, validados e incluidos en el diseño del controlador.El desacople de lazos no es una técnica muyempleada industrialmente porque su empleorequiere un esfuerzo significativo de modelado, sintonía y mantenimiento.


Control multivariable

G

u1 y1

y2

w1R

w2 u2

El controlador recibe señales de todas las salidas y simultáneamente calcula todas las señales de control teniendo en cuenta la interacción


ReactorFT

FT

FC

FC

TT AT

MBPC

Temp Conc.

Refrigerante

Producto

u1u2

Control Predictivo multivariable

DMC, GPC, EPSAC, HITO, PFC,....

Multivariable s

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