Mundo Reticular (2)

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mundo reticular

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  • Premios del Departamento de Matemticas

    de la Universidad Autnoma de Madrid para Estudiantes de Secundaria

    Cuarta Edicin, 2009/2010

    TRABAJO: Paseo por un mundo reticular en el cuaderno de mates GANADOR EN LA CATEGORA DE E.S.O. AUTORES: o David Laso lvarez o Javier Lazcano Pardos o Daniel Loscos Barroso o Jorge Prez Gonzlez TUTORA: o Mercedes Snchez Benito CENTRO: IES Gran Capitn (Madrid)

  • PASEOPORUNMUNDORETCULAR

    ENELCUADERNODEMATES

    PUNTOSSUSPENSIVOS

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos2/26

    INTRODUCCINYANTECEDENTES:Elproblemadepartida es, aparentemente sencillo,pero encierraotros problemasque losmatemticoshantardadobastantetiempoenresolver:Llamamospuntosreticularesalconjuntodepuntosdelplanodecoordenadasenteras.Dadounnmeroenteropositivo A ,encontrartodoslosrectngulos,esencialmentedistintos, que tienenun vrtice en elpunto (0,0)O y losotros tres vrtices enpuntosreticularesderea A .

    Entendemosporrectngulosesencialmentedistintosaquellosquenosepuedenobtenerunodelotroapartirdeungiro,unasimetraounatraslacin.Porejemploestosdosrectngulossonesencialmenteelmismo

    Al resolver algunos casos particulares hemosdescubiertoque hay algunosnmerosque sepuedenobtenercomosumadedoscuadradosyotrosqueno.Buscandolainformacinnecesariapararesolveresteproblemahemosencontradoresultadosmuy interesantes en el plano reticular, parecementira que bajo una apariencia tan simplehayaproblemastandifciles,yalgunostodavasinresolver!

    OBJETIVOS:Conocermejoresemundodelosnmerosenterosdesdeelpuntodevistanumricoysobretododesdeelpuntodevistageomtricoenelsentidodelasconstruccionesgeomtricasquesepuedenhacerenunplanodecoordenadasenteras,puesaunque losnmerosenteros losconocemosdesdelaprimariacuandounproblemaexigequelassolucionesseanslonmerosenterosempiezaunlomuygrande.

    RESULTADOSHemos analizado en un mundo reticular, el comportamiento de las rectas, los polgonosregulares, los crculos las circunferencias, es decir si tienen puntos reticulares, cuntostienen?HemosencontradolamgicafrmuladePickparacalcularelreadeunpolgonoreticularyhemosextendidoestafrmulaaunpolgonoreticularcontenidoenunplanoenelespacio.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos3/26

    Comenzamosresolviendoelproblemainicial.Obviamente, elnmerode rectngulosposiblesdependede ladescomposicin en factoresprimosdelnmero A .Loprimeroquehemosaprendidoes sabercuntosdivisores tieneunnmero N ycmo secalculan.

    Si 1 21 2 ................ kaa a kN p p p , el nmero de divisores que tiene N , es1 2( 1)( 1)........( 1)ka a a

    Pero adems de la descomposicin de A en factores primos tendremos que ver si hayfactoresquesepuedanponercomosumadedoscuadradosdenmerosenterosydecuntasmaneraspuedehacerse.Losnmerosprimosexceptoel 2 son imparesyhemosobservadodistinto comportamientosegnseandelaforma4 1n odelaforma 4 3n .Vamosaexploraralgunoscasos:

    13A ,unnmeroprimodelaforma4 1n .Enestecasoslohay2rectngulos

    7A ,unnmeroprimodelaforma4 3n ,enestecasoslohay1

    65A ,unnmerocompuestoyensudescomposicinhaydosfactoresprimosdelaforma

    4 1n .Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 65b y 5a ,

    13b ;sepuedenconstruirlosrectngulosdelados 13 5a , 5b y 5 13a , 13b

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos4/26

    Perotambin65 1 64 y65 16 49 ,porlotanto,haydoscuadradosdelado 65 quesonesencialmenteelmismo

    Esdecirpara 65A salen5Si 15A ,unnmerocompuestoporunnmeroprimodelaforma4 1n yotrodelaforma4 3n Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 15b y 3a , 5b ,podemosconstruirelquetienenporlados 5a y 3 5b Enestecasohay3Si 45A ,unnmerocompuestoporunprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n Ademsdelosrectngulosdeladosparalelosalosejesdelados 1a , 45b ; 3a y

    15b ; 5a , 9b estarnlosquetienenporlados 5a , 9 5b , 3 5a , 3 5b

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos5/26

    Enestecasohay5Si 36A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el 2 secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n )yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .Ademsdelosrectngulosdelados1.36 2.18 3.12 4.9 6.6 paralelosalaretcula;estnlosquetienenporlados 2a , 18 2b ; 2 2a , 9 2b ; 3 2a , 6 2b

    Enestecasoencontramos:8Si 90A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 ,unprimodelaforma4 1n yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .Todoslosproductosdedosfactores1.90 2.45 3.30 5.18 6.15 9.10 yademssepuedenconstruir 2 , 5 y 10 ,entonceshacemoslasparejascorrespondientes:

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos6/26

    2 y45 2 ;3 2 y15 2 ;5 2 y9 2 ; 5 y18 5 ; 2 5 y9 5 ;3 5 y6 5 ;10 y9 10 ;3 10 y3 10

    Total:14Si 216A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 yelcubodeunprimodelaforma4 3n .Enestecasotenemos1.216 2.108 3.72 4.54 6.36 8.27 9.24 12.18 deladosparalelosalaretculaylosquetienenporlados 2a , 108 2b ; 2 2a , 54 2b ;

    3 2a , 36 2b ; 4 2a , 27 2b ; 6 2a , 18 2b ; 9 2a , 12 2b .Total:14Si 72A ,unnmerocompuestoporunapotenciade 2 (el2 secomportacomolosprimosdelaforma 4 1n )yelcuadradodeunprimodelaforma 4 3n .

    Ademsdelosquetienenlosladosparalelosalatramareticularencontramos:

    Entodosestosrectngulosentendemosqueunodesusvrticeseselpunto (0,0) porqueenrealidad lo que importa es la longitud de sus lados y que los vrtices sean puntosreticulares.Total:11Pararesolveresteproblematenemosquesabersiunnmeroprimosepuededescomponercomosumadedoscuadradosyhemosencontradolosiguiente:

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos7/26

    Sitenemosunnmeroprimo p delaforma 4 3p k ,nosepuedeponercomosumadedoscuadrados:Comoesimpar,unodelossumandosdebeserparyelotroimpar.Siunnmeroesimpar,obienesdelaforma4 1k ,obienesdelaforma 4 3k ;peroelcuadradodeunnmerodelaforma4 1k esdelaforma 2 2 24 1 16 8 1 4(4 2 ) 1k k k k k ,yelcuadradodeunnmerodelaforma 4 3k es 2 2 24 3 16 24 9 4(4 6 2) 1k k k k k ,asquenuncasepuedeobtenerunnmeroprimodelaforma 4 3p k comosumadedoscuadradosdenmerosenteros.Eulerdemostrquetodonmeroprimodelaforma 4 1p k siempresepuedeponercomosumadedoscuadradosdeformanica.Porlotantosiemprevamosapoderelegirpuntosreticularesadecuadosparaconstruirsegmentosdelongitudes: 2,2, 5,2 2,3, 10, 13,4, 17,3 2,2 5,5....... Teniendoencuentaestosdosresultados,siunnmero 1 2 1 21 2 1 22 .... ....k ma ba a b ba k mA p p p q q q ,dondelosnmeros: 1 2, ,.... kp p p sondelaforma4 1n y 1 2, ... mq q q sondelaforma 4 3n ,elnmeroderectngulosquevamosapoderconstruireslomismoqueconsiderarque

    1 1 22 2 21 1 22 ............ ....k ma a a bb bk mA p p q q q ,yelnmerodedivisoresquepodramosobtenerser: 1 1 22 1 2 1 ..... 2 1 1 1 ..... 1k mR a a a b b b ,si

    2R r ,elnmeroderectngulosqueseobtienenes r ;ysi 2 1R r ,elnmeroderectngulosqueobtenemoses r Yahemosconseguidounprimerresultado!!!!Despusderesolveresteproblemavamosainiciarunpaseoporalgunosproblemasplanteadosenunplanoreticular,comonuestrocuadernodemates.

    RECTAS:Enelplanohayrectasquenotienenpuntosreticulares,talescomoporejemplolasrectasquepasasporlospuntosmediosdedosladoscontiguosodosladosopuestosdeuncuadradounidad.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos8/26

    Hayrectasqueslotienenunpuntoreticular,porejemplolaquepasapor(0,0)yformaunngulode60conelejeOX.

    Siunarectacontienemsdeunpuntoreticular,entoncestieneinfinitospuntosreticularesigualmenteespaciados:

    POLGONOSREGULARES:Lospolgonosregularesquerellenanelplanosoneltringulo,elcuadradoyelhexgono.Esimposibleobteneruntringuloequilteroconlostresvrticesenpuntosreticulares,puessiunvrticeeselpunto (0,0) yel

    otroeselpunto ( ,0)l ,entonceseltercerodebeser 3,2 2l l

    ysi l es

    unnmeroentero 32

    lnoloes.

    Demaneraanlogasepuedeverqueelhexgonoregularnopuedetenertodoslosvrticesenpuntosreticulares,alfinyalcabounhexgonoestformadopor6tringulosequilteros.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos9/26

    Elnicopolgonoregularquepuedesercolocadoenelplanodecoordenadasenterasdemodoquesusvrticesseanpuntosreticulareseselcuadrado.LademostracindeesteresultadosepuedeverenunartculodeDanielJ.OloughlinenMathematicsMagazinevol75,n1febrero2002.Lademostracinsebasaentresideas:

    I) Si A eselreadeunpolgonoenelplanocuyosvrticessonpuntosreticularesentonces 2A esunnmeroentero(resultadoelementalapartirdelTeoremadePickcomoveremosmsadelante).

    II) Lafrmulaparacalcularelreadeunpolgonoregularde n ladosdelongitud s es:

    2

    ( )4 tan

    nnsA P

    n

    III) Si 3n elvalorde tann esracionalslopara 4n .Paracompletaresta

    demostracinsonnecesariosunosclculosconfuncionestrigonomtricas,nosdicenquelascuentasnosondifcilesperonosotrossabemosmuypocodetrigonometra.

    CRCULOSYCIRCUNFERENCIASH.Steinhauspropusoelsiguienteproblema.Paracadanmeronaturaln ,existeenelplanouncrculoquecontengaensuinteriorexactamenten puntosreticulares?Esfcildemostrarqueexistennmerosnaturalesn paralosquenohayningncrculoconcentroenunpuntoreticularyencuyointeriorhayaexactamente n puntosreticulares.

  • Paseoporunmundoreticularenelcuadernodemates

    Puntossuspensivos10/26

    Claramente:Sitenemosuncrculodecentrounpuntoreticularyradio 1r entoncesslohayunpuntoreticularensuinterior;perosielradioes1 2r entoncesenelinteriordeesecrculohabrexactamentecincopuntosreticulares.Ynoexisteningncrculodecentrounpuntoreticularquetengaensuinteriorexactamentedos,tresocuatropuntosreticulares.

    Situviramosuncrculoderadio 1/ 2r ycentroelpuntomediodeunladocualquieradeuncuadradounidaddelretculo,nohabrningnpuntoreticularensuinterior,peroparaunradio1/ 2 5 / 2r ,tendramosexactamentedospuntosreticularesenelinteriordelcrculo.

    Siahoraconsideramosuncrculocuyocentroseaelcentrodecualquiercuadrad