N ax a n. n a n Recordemos un poco... El resultado de la adición es: la suma El resultado de la...
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n ax a n
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n ax a
n
n ax a
n
Recordemos un poco...
El resultado de la adición es: la suma
El resultado de la sustracción es: la resta
El resultado de la división es: el cociente
n ax a
n
Recordemos un poco...
El resultado de la multiplicación es:
el producto
n ax a
n
Hay unas multiplicaciones cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin realizar la operación.
n ax a
n
UNIDAD 7:
PRODUCTOS NOTABLES Y
FACTORIZACIÓN
n ax a
n
A los resultados de las multiplicaciones que se pueden escribir por simple inspección, es decir sin realizar la operación, se les llama PRODUCTOS NOTABLES
n ax a
n
Los productos notables que estudiarás son:
o Binomio al cuadrado
o Binomios conjugados
o Binomios con un término común
o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
o Binomio al cubo
n ax a
n
Los productos notables que estudiarás son:
o Binomio al cuadrado
o Binomios conjugados
o Binomios con un término común
o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
o Binomio al cubo
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
Vamos a asociar la operación algebraicas con unas situaciones geométricas…
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cómo se calcula el área de un cuadrado?
¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este cuadrado?
8
8 8
8
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este cuadrado?
5
5 5
5
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este cuadrado?
a
a a
a
a2
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
2
8 8
2
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
1
5 5
1
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
¿Cuál es el área de este rectángulo?
y
x x
y
xy
3
5
3
55
5
3
3
a
b
a
bb
b
a
a
2 2 2( ) 2a b a ab b
b
a
b
aa
a
b
b
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
Cuadrado del primer término
Dos veces el producto del primer término por el segundo
Cuadrado del segundo término
n ax a
n
o Binomio al cuadrado
Cuadrado del primer término:
27x
2xDos veces el producto del primer término por el segundo
2 (7) 14x xCuadrado del segundo término
49
n
a
n
o Binomio al cuadrado
2 27 14 49x x x
n
a
n
o Binomio al cuadrado
En general un binomio al cuadrado se determina de la siguiente forma:
cuadrado del primer término
(más) (menos)
dos veces el primer término por el segundo
más
cuadrado del segundo término
n
a
n
o Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado tiene como resultado tres términos; se le llama TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
n
a
n
o Binomio al cuadrado
El resultado de
210m es
2 100m
2 200 100m
2 200 100m m
2 20 100m m
n
a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
n
a
n ¡MUY BIEN!
SIGUIENTE EJERCICIO
n
a
n
o Binomio al cuadrado
El resultado de
210X es
2 100X
2 20 100X X
2 20 100X X
2 20 100X X
n
a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
n
a
n ¡MUY BIEN!
SIGUIENTE PRODUCTO NOTABLE
n ax a
n
o Binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando solo difieren en el signo de uno de sus términos.
A los términos de diferente signo se les llama simétricos.
(x + z) y (x – z) son binomios conjugados, donde z y – z son los términos simétricos
n ax a
n
o Binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando solo difieren en el signo de uno de sus términos.
A los términos de diferente signo se les llama simétricos.
(2 + a) y (2 – a) son binomios conjugados, donde a y – a son los términos simétricos
n ax a
n
o Binomios conjugados
Cuando se multiplican binomios conjugados el resultado es una diferencia de los cuadrados de ambas cantidades.
2 2b ba ba a
n ax a
n
o Binomios conjugados
Cuando se multiplican binomios conjugados el resultado es una diferencia de los cuadrados de ambas cantidades.
23 3 9b b b
n ax a
n
o Binomios conjugados
Cuando se multiplican binomios conjugados el resultado es una diferencia de los cuadrados de ambas cantidades.
224 4 515 5 26y y yx x x
n ax a
n
o Binomios conjugados
6 6x x
2 6x
2 36x
2 36x
2 12 36x x
n ax a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
n ax a
n ¡M U Y B I E N!
SIGUIENTE EJERCICIO
n ax a
n
o Binomios conjugados
3 32 7 2 7x x
64 49x
94 49x
94 49x
64 49x
n ax a
n I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
n ax a
n ¡M U Y B I E N!
SIGUIENTE PRODUCTO NOTABLE
n
a
o Binomios con término común
Cuando vimos binomios conjugados vimos que a los términos que difieren en el signo se les llamó simétricos.
Al otro término se le denomina común.
n
a
o Binomios con término común
Ahora bien, ¿a qué se le llama binomios con término común?
Cuando hablamos de binomios con término común lo estamos haciendo de dos binomios; solo uno de los términos aparece en ambos binomios.
x a x b
Son de la forma:
o Binomios con término común
n
a
Observa que en el término común es x, mientras que los segundos términos en ambos binomios son diferentes.
x a x b
o Binomios con término común
El resultado de multiplicar dos binomios con término común se obtiene de la siguiente manera:• cuadrado del término común
• suma algebraica de los términos no comunes, multiplicada por el término común
• producto de los términos no comunes (considerando leyes de los signos)
o Binomios con término común
El resultado de multiplicar estos binomios con término común se obtiene de la siguiente manera:• cuadrado del término común
• suma algebraica de los términos no comunes, multiplicada por el término común
• producto de los términos no comunes (considerando leyes de los signos)
3 7x x
2x
3 7 4x x
3 7 21
o Binomios con término común
23 7 4 21x x x x
o Binomios con término común
3 8x x
2 24 11x x
2 24 11x x
2 11 24x x
2 11 24x x
o Binomios con término común
I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
o Binomios con término común
¡MUY BIEN!
SIGUIENTE EJERCICIO
o Binomios con término común
2 9 2 10a a
24 90a
22 2 90a a
24 2 90a a
24 2 90a a
o Binomios con término común
I N C O R R E C T O
INTENTA DE NUEVO
MUY BIEN
OTRO PRODUCTO NOTABLE
o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
La característica en este tipo de binomios es que los términos de uno de ellos son semejantes a los términos del otro.
Por ejemplo en los binomios (4x +7z) (5x + 2z), 4x y 5x son términos semejantes; del mismo modo 7z y 2z son semejantes.
o Binomios de la forma (ax + b) (cx + d)
El producto de estos binomios se obtiene de la siguiente forma:• multiplicas los primeros términos de ambos
binomios
• multiplicas el primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio y se suman (algebraicamente) estos resultados
• se multiplican los segundos términos de ambos polinomios
o (4x + 3y) (5x + 8y)
El producto de estos binomios se obtiene de la siguiente forma:• multiplicas los primeros términos de ambos
binomios
• multiplicas el primer término de cada binomio por el segundo término del otro binomio y se suman (algebraicamente) estos resultados
• se multiplican los segundos términos de ambos polinomios
220x
4 8 32x y xy 3 5 15y x xy 47xy
224y
2 2204 47 25 8 43x y x yx y xy
5 3 7 8x y x y
2 235 24x y
2 235 61 24x xy y
12 61 11x xy y
2 212 61 11x xy y
INCORRECTO
INTENTA DE NUEVO
¡MUY BIEN!
OTRO PRODUCTO NOTABLE
o Binomio al cubo
Un binomio al cubo es de la forma (x + y)3
El desarrollo de este binomio tiene cuatro términos que se obtienen de la siguiente manera.
o Binomio al cubo
o Cubo del primer términoo Tres veces el cuadrado del primer
término por el segundoo Tres veces el primer término por el
cuadrado del segundoo Cubo del segundo
