N Ú M E R O S

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 80, julio de 2012, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directora

Alicia Bruno

Comité editorial

Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Fátima García, Israel García, Mª Aurelia Noda, Josefa Perdomo e Inés Plasencia.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan Díaz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez y Arnulfo Santos.

Portada. Autor: Luis Balbuena Castellano. Título: Iglesia de Garachico (Tenerife) vista a través de un toro.

Edita


Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife) España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), José Manuel Vidal González (Vicepresidente), Victoria Soto Cabrera (Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), María Jesús Rodríguez Martín (Vicesecretaria), Manuel Herrera Pérez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Luis López García (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.


http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 80, julio de 2012, páginas 3-4

Índice

Editorial Alicia Bruno 5

Monográfico: Matemáticas en Infantil

Hacia un enfoque globalizado de la educación matemática en las primeras edades 7

A. Alsina Una propuesta para la enseñanza del número en la Educación Infantil

25 T. A. Sierra Delgado, E. Rodríguez Quintana

Resolución de problemas para el desarrollo de la competencia matemática en Educación Infantil 53

C. de Castro Hernández, E. Molina Jiménez, M.L. Gutiérrez Segovia, S. Martínez Foronda y B. Escorial González

Ahí empieza todo. Las matemáticas de cero a tres años 71

M. Edo i Basté EntusiasMAT hace reales las Matemáticas

85 N. Miró Sánchez

Artículos

Dificultades de estudiantes de Psicología en la comprensión del contraste de hipótesis 91

C. Batanero, O. D. Vera, C. Díaz

Evaluación de conocimientos de profesores en formación sobre el juego equitativo 103

N. Mohamed y J. J. Ortiz

Hablando sobre Enseñanza de la Matemática con estudiantes futuros profesores de matemática 119

J. Servelión Graterol Impacto de precálculo en cálculo

135 I. Cantú Martínez, R. Arenas Velasco, M. T. Flores Garza I Olimpiada Matemática en Centros de Adultos

145 L. Balbuena Castellano, P. Perestelo Rodríguez

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 80 julio de 2012

Secciones

Astronomía. Coordinador: L. Balbuena Castellano

Un ángulo para salvar las apariencias. El ángulo de fase 157

C. Mederos Martín.

En la red

Juegos con la web Matematicaula 165

O. J. Falcón Ganfornina.

Juegos

Juegos de cálculo y lógica. + sobre los Tetrahexos 173

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Problemas

De nietos y aves. (Problemas Comentados XXXI) 185

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Experiencias de aula. Coordinador: C. Duque Gómez

Matemáticas y deportes. Sugerencias para el aula 197

J. M. Sorando Muzás.

Leer Matemáticas

Educación matemática en contexto: de 3 a 6 años. Ángel Alsina 221

Reseña: A. Bosch Saldaña Los números primos: un largo camino al infinito. Enrique Gracián

225 Reseña: Jorge García Melián

Informaciones 227

Normas para los autores 231



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Alicia Bruno, Directora de NNúúmmeerrooss

El volumen 80 de la revista Números lo dedicamos a las Matemáticas en Infantil, que no por ser elementales son menos importantes o más fáciles de enseñar. Hemos invitado a un reconocido grupo de investigadores y profesores de esta etapa a participar aportando parte del trabajo que realizan actualmente.

Hace tiempo, cuando mi hija tenía 4 años la observé jugando en la terraza de mi casa. Jugaba a colocar macetas en distintas posiciones. Las macetas que estaban en fila, pegadas a la pared, las colocaba formando una circunferencia. Cogió una maceta de la pared y la puso en la parte central de la terraza y dijo: “una”. Volvió a la pared, cogió otra maceta y la colocó junto a la primera y dijo: “una, dos”. Repitió la acción con la tercera, y al colocarla al lado de las otras, empezó a contar de nuevo: “una, dos, tres”. Así siguió unas cuantas más. Cada vez que colocaba una nueva maceta comenzaba a contar desde el principio. Todavía no había interiorizado que bastaba con continuar la serie numérica por el lugar donde la había dejado anteriormente. “¿Qué haces?”- le pregunté. “Pongo las macetas en asamblea” - me dijo - así no están tan aburridas. En círculo están más divertidas, ¡cómo hacemos en el cole!”. Después siguió cambiando la posición de las macetas de la circunferencia (grandes, pequeñas, por colores,…) siguiendo alguna pauta que no logré descifrar, pero que ella debía tener en la cabeza.

En ese momento pensé que era un buen ejemplo de actividad matemática cotidiana para contar en mi docencia con futuros maestros de Educación Infantil: el conteo, la fila (recta) aburrida frente a la circunferencia divertida, la seriación por formas o tamaños… Ahora, cuando la veo hacer su tarea de matemáticas de secundaria, y está buscando el término general de una sucesión de números, o representa funciones lineales, todavía me acuerdo de aquel día de su etapa infantil. Como madre, matemática y formadora de maestros de Educación Infantil, valoro la importancia del aprendizaje de los primeros años escolares y reconozco cómo a través de juegos y elementos cotidianos aparecen los conocimientos matemáticos. Me uno a las palabras de Mequè Edo, autora de uno de los artículos de este monográfico, cuando expresa que: “uno de los principales contenidos que podemos ayudar a construir a los futuros maestros de infantil es precisamente el reconocer el contenido matemático en su entorno y saber cómo potenciarlo”. Este enfoque del contenido matemático es lo que tienen en común los cinco artículos que se presentan en este monográfico, cada uno desde una perspectiva o experiencia propia.

Ángel Alsina nos muestra prácticas educativas en las que se trabajan las conexiones matemáticas en Educación Infantil desde un enfoque globalizado, a través de ejemplos surgen conexiones dentro de la propia matemática y con otros contextos no matemáticos.

El trabajo que presentan los profesores Carlos de Castro, Elisa Molina, Mª Luz Gutiérrez, Sandra Martínez y Beatriz Escorial es una propuesta para tratar la competencia matemática a través de un taller de resolución de problemas. El artículo narra diferentes sesiones de aula en las que alumnos de 5 y 6 años resuelven problemas de estructura multiplicativa y muestra las producciones de los alumnos en este taller.

Editorial A. Bruno


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Utilizando el modelo general de la teoría antropológica de lo didáctico, Tomás Ángel Sierra y Esther Rodríguez presentan una organización didáctica para el estudio del número y la numeración en la Educación Infantil que persigue que los estudiantes perciban el carácter funcional del número. En la propuesta planteada se evita seguir una presentación “atomizada” del número y se pretende que el conocimiento de los números surja como respuesta a diferentes problemas.

La mayoría de las publicaciones sobre las matemáticas en la Educación Infantil se refiere a la edad de 3 a 6, y son menos las publicaciones relativas al aprendizaje de las nociones matemáticas antes de los 3 años. En el artículo de Mequè Edo se presentan ejemplo de situaciones didácticas adecuadas para niños menores de 3 años, diseñadas para que puedan experimentar y descubrir los procesos matemáticos (buscar regularidades y pautas en su entorno, caracterizar objetos y establecer relaciones entre ellos para crearse un orden de lo que perciben…).

Por último, Nuria Miró nos narra el proyecto EntusiasMat que durante años llevan poniendo en práctica en los colegios Nazaret de España y que aplica en la enseñanza, la teoría de las Inteligencias Múltiples de Howard Gardner. El objetivo del proyecto es ofrecer distintas oportunidades para que desde todas las Inteligencias se puedan aprender y expresar los contenidos matemáticos y utilizar los recursos que la matemática ofrece para ayudar al desarrollo del resto de las inteligencias.

Agradecemos a todos los autores su entusiasta predisposición para colaborar con la revista Números en este monográfico. Esperamos sea útil para los docentes de Educación Infantil y acerque al profesorado de matemáticas de otras etapas al trabajo que se realiza en las primeras edades.



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Hacia un enfoque globalizado de la educación matemática en las primeras edades

Ángel Alsina (Universidad de Girona)

Artículo solicitado al autor por la revista

Resumen En este artículo se argumenta que enseñar matemáticas desde un enfoque globalizado es uno de los principios de la educación matemática en la etapa de Educación Infantil. Este enfoque implica la incorporación de las conexiones matemáticas en las prácticas de aula, es decir, las relaciones entre los diferentes bloques de contenido matemático y entre los contenidos y los procesos matemáticos (intradisciplinariedad); y las relaciones de las matemáticas con otras áreas de conocimiento y con el entorno (interdisciplinariedad). Se ofrecen orientaciones didácticas para planificar y gestionar actividades desde un enfoque globalizado, y el artículo concluye con la presentación de diversas experiencias implementadas en diferentes centros escolares de la geografía española.

Palabras clave Educación matemática, conexiones matemáticas, enfoque globalizado, interdisciplinariedad, Educación Infantil, prácticas educativas.

Abstract This article argues that a globalized approach to teaching mathematics is one of the principles of mathematics education in preschool. Such an approach incorporates mathematical connections in classroom practices: the relationship between the different blocks of mathematical contents and between mathematical contents and processes (intradisciplinarity); and the relationship between mathematics and other areas of knowledge and the students’ environment (interdisciplinarity). Instructional training is given to plan and manage activities with a globalized focus, and the article concludes by presenting various experiences of implementing the approach in different schools in Spain.

Keywords Mathematics education, mathematical connections, globalized approach, interdisciplinarity, preschool education, educational practices.

1. Introducción

En los currículos de Educación Infantil, hace ya muchos años que -tanto a nivel nacional como internacional- se insiste en plantear el trabajo de los alumnos de las primeras edades a partir de un enfoque globalizado. Así, por ejemplo, en el documento legislativo español vigente en el cual se establece el currículum y se regula la ordenación de la Educación Infantil (ORDEN ECI/3960/2007, de 19 de diciembre, pp. 1023), se expone que:

“Los contenidos de una área adquieren sentido desde la complementariedad con el resto de las áreas, y tendrán que interpretarse en las propuestas didácticas desde la globalidad de la acción y de los aprendizajes. Así, por ejemplo, el entorno no puede ser comprendido sin la utilización de los diferentes lenguajes y del mismo modo, la realización de desplazamientos orientados tiene que hacerse desde el conocimiento del propio cuerpo y de su ubicación espacial”.

Hacia un enfoque globalizado de la educación matemática en las primeras edades Á. Alsina


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Desde esta perspectiva, para poder enseñar matemáticas a través de un enfoque globalizado es necesario incorporar las conexiones matemáticas en las prácticas de aula. De acuerdo con Alsina (2011b) las conexiones matemáticas se refieren a: las relaciones entre los diferentes bloques de contenido matemático y entre los contenidos y los procesos matemáticos (intradisciplinariedad); y las relaciones de las matemáticas con otras áreas de conocimiento y con el entorno que nos rodea (interdisciplinariedad).

Enseñar matemáticas desde un enfoque globalizado, pues, es uno de los principios de la educación matemática en la etapa de Educación Infantil y, por supuesto, en el resto de etapas educativas. Pero, como indica Alsina (2011a), se trata de un enfoque muchas veces repetido pero todavía poco implementado, por lo que en este artículo se ofrecen algunos andamios para ayudar al profesorado a incorporar las conexiones matemáticas en las prácticas escolares.

2. Conexiones matemáticas en Educación Infantil

Conectar implica establecer un vínculo estrecho entre cosas de la misma naturaleza. En el caso de la educación matemática, la conexión más importante en los primeros aprendizajes matemáticos es el existente entre las matemáticas intuitivas, informales, que los niños han aprendido a través de sus experiencias, y las que están aprendiendo en la escuela. Todas las demás conexiones matemáticas a las que se ha hecho referencia en la introducción -entre contenidos matemáticos, entre contenidos y procesos, entre las matemáticas y otras disciplinas y entre las matemáticas y la vida cotidiana- se apoyan en el vínculo entre las prácticas informales de los alumnos y las matemáticas más formales (NCTM, 2000).

En el ámbito de la educación matemática, Baroody (1987) y Hugues (1986) encuñan el término “matemáticas informales” para referirse a estas prácticas informales. Estos autores ponen de manifiesto que los niños de las primeras edades recopilan, a menudo, una gran riqueza de conocimientos sobre temas que les interesan, y a partir de estos intereses y actividades cotidianas es como desarrollan su pensamiento matemático. Fernández, Gutiérrez, Gómez, Jaramillo y Orozco (2004) exponen que estas prácticas informales se llevan a cabo desde edades muy tempranas, aproximadamente desde los cuatro meses. A partir de esta edad los niños muestran ya una curiosidad innata respecto a los acontecimientos cuantitativos y espontáneamente construyen en su ambiente natural y sin instrucción formal unas matemáticas informales. Esta forma de pensamiento es imperfecta y totalmente diferente del pensamiento de los adultos; sin embargo, estas matemáticas informales son relativamente significativas y constituyen el fundamento para el aprendizaje posterior de las matemáticas formales en la escuela. Estas autoras ponen de manifiesto que a pesar de que ha sido comprobado que los componentes básicos del conocimiento matemático informal son universales, dado que están presentes independientemente de la cultura y el grupo socioeconómico, su nivel de desarrollo fluctúa en función de la influencia sociocultural.

Varios autores han analizado las prácticas informales que asocian a la adquisición de conocimientos matemáticos informales. Starkey y Cooper (1980), por ejemplo, indican que los niños aprenden nociones logicomatemáticas guardando juguetes o comestibles; o bien que adquieren nociones espaciales construyendo con bloques o entonando canciones acompañadas de movimientos. Ginsburg, Klein y Starkey (1998) indican que los niños interactúan con representantes escritos de los números a través de prácticas informales que son muy diversas: indicar la edad con los dedos, poner velas en un pastel, etc. Anderson (1997) señala diversas experiencias numéricas informales en las cuales se implican niños de 4 años de familias americanas de nivel mediano-alto: actividades de conteo; nombrar cantidades; reconocer números escritos; estimar cantidades; operaciones de suma y resta con cantidades pequeñas; uso de números ordinales; estimar la igualdad numérica de dos colecciones; o bien la notación de números.


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Los estudios anteriores evidencian que los niños tienen nociones previas sobre matemáticas informales que sirven como fundamento para un posterior aprendizaje formal de las matemáticas en la escuela.

2.1. Conexiones entre contenidos matemáticos

Las matemáticas no son una colección fragmentada de bloques de contenido, aunque con frecuencia se dividen y presentan así, sino que constituyen un campo integrado de conocimiento. Desde este marco, el profesorado (y progresivamente el alumnado) tendría que reconocer la misma estructura matemática en contenidos aparentemente diferentes. En el paralelismo entre los diferentes bloques de contenido matemático que se presenta en Alsina (2006), se expone que hay unas mismas capacidades matemáticas que se repiten: identificar (definir o reconocer); relacionar (comparar); y operar (transformar), lo único que varía es el tipo de contenido: cualidades sensoriales, cantidades, posiciones y formas, atributos mesurables o datos (estadística y probabilidad). En la Tabla 1 se presenta una actualización de las relaciones existentes entre los diferentes bloques de contenido (Alsina, 2011a):

Identificar Relacionar Operar

Cua

lidad

es

Reconocimiento de las cualidades sensoriales (color, medida, grosor, textura, etc.) y de sus atributos.

Agrupaciones de elementos (a partir de uno o más atributos, de forma afirmativa o negativa).

Clasificaciones a partir de un criterio cualitativo.

Ordenaciones a partir de un criterio cualitativo.

Correspondencias cualitativas (asociaciones).

Seriaciones: reconocimiento de patrones.

Cambios a nivel sensorial, con un planteamiento directo o inverso.

Can

tidad

es

Comprensión de los principales cuantificadores (muchos, pocos, todos, ninguno, algunos, etc.).

Comprensión y representación de los números.

Agrupaciones de elementos por criterios cuantitativos.

Clasificaciones a partir de un criterio cuantitativo.

Ordenaciones a partir de un criterio cuantitativo.

Correspondencias cuantitativas: término a término; etc.

Series numéricas.

Cambios de cantidades: composición y descomposición de cantidades discretas

Sumas y restas sencillas.

Pos

icio

nes

Reconocimiento de nociones espaciales básicas: dentro y fuera (interior y exterior); delante y detrás; arriba y abajo (encima y debajo); primero, último; antes, en medio y después de; cerca y lejos; izquierda y derecha.

Comparación de posiciones, es decir, relaciones espaciales a partir de los comparativos “más... que”; “menos... que”; “tanto... como”; “igual... que”.

Cambios de posición a través de giros y simetrías.



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Identificar Relacionar Operar

For

mas

Reconocimiento de las propiedades geométricas elementales de las formas: de una dimensión (línea recta y curva; línea cerrada y abierta); de dos dimensiones (lados rectos o curvados; el número de lados, el número de vértices, el tipo de superficie: plana o curva); de tres dimensiones (el tipo de superficie: plana, curva); las aristas, los vértices).

Clasificación de líneas: rectas y curvas; abiertas y cerradas.

Clasificación de figuras geométricas a partir de criterios elementales (lados rectos y lados curvados); según el número de lados y de vértices (triángulos, cuadriláteros,...).

Clasificación de cuerpos geométricos a partir de criterios geométricos elementales (ruedan y no ruedan, es decir, tienen las caras planas o curvadas)

Asociación de formas.

Seriaciones de formas.

Cambios de forma a través de deformaciones (elásticas, con plastilina o barro, etc.) y composición y descomposición de formas.

Atr

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os m

esur

able

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Reconocimiento de los atributos mesurables de los objetos: volumen (grande y pequeño); longitud (largo y corto; alto y bajo); masa (pesado y ligero); capacidad (lleno y vacío); grosor (grueso y delgado); tiempo (antes y después; etc.)

Clasificación de objetos según sus atributos mesurables (por ejemplo, clasificar recipientes según si están llenos o vacíos).

Ordenación de objetos según sus atributos mesurables (por ejemplo, ordenar una colección de varas según su longitud).

Correspondencias entre objetos a partir de sus atributos mesurables (por ejemplo, asociar los objetos de dos colecciones según su peso).

Seriaciones de objetos a partir de sus atributos mesurables (por ejemplo, establecer un patrón de repetición “grande, pequeño …”

Composición y descomposición de los atributos mesurables de un objeto (por ejemplo, dos botellas de litro es lo mismo que una botella de dos litros; o una botella de dos litros es lo mismo que cuatro de medio litro).

Dat

os Reconocimiento de datos del entorno

inmediato.

Reconocimiento de hechos posibles/imposibles.

Organización de datos: clasificación y ordenación.

Representación de datos a través de objetos, dibujos y gráficos (diagramas de barras).

Tabla 1. Una posible estructuración de los contenidos matemáticos en las primeras edades

En la Tabla anterior se observa que, a pesar de que varía el tipo de contenido, las capacidades matemáticas que se ponen en juego son siempre las mismas.




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2.2. Conexiones entre contenidos y procesos matemáticos

En Alsina (2011b) se argumenta la necesidad de un currículum de matemáticas que, además de exponer los contenidos matemáticos que hay que trabajar, dé orientaciones sobre como trabajar estos contenidos para facilitar su uso en diferentes contextos, además del escolar. Con esta finalidad, las herramientas que nos proporcionan las matemáticas son los diferentes procesos de pensamiento matemático: resolución de problemas, razonamiento y demostración, comunicación, representación y conexiones (NCTM, 2000).

Al combinarse los contenidos y los procesos generan nuevas miradas que hacen hincapié no solamente en el contenido y el proceso sino y especialmente en las relaciones que se establecen entre ellos. Según Torra (2007), una visión cartesiana de esta organización ofrecería una Tabla como la siguiente, en la que cada espacio relaciona un contenido y un proceso:

Resolución de

problemas

Razonamiento y

demostración Comunicación Representación Conexiones

Cualidades sensoriales

Cantidades

Posiciones y formas

Atributos mesurables

Datos

Tabla 2. Relación cartesiana entre contenidos y procesos matemáticos

Si se analiza con detalle la Tabla 2, se observan “las maneras” de trabajar los contenidos. Así, por ejemplo, la numeración y el cálculo se tendría que trabajar desde la resolución de problemas, el razonamiento y la demostración, la comunicación, la representación y las conexiones. Esto significa que para aprender a usar los contenidos de numeración y cálculo en otros contextos además del escolar no basta con que los alumnos se dediquen, por ejemplo, a contar cuántos elementos hay dentro de un diagrama y escribir el número:

Figura 1. Una práctica descontextualizada, en la que los alumnos deben contar el número de estrellas y escribirlo.



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En lugar de esta tarea, que es muy poco significativa, es necesario plantear situaciones de su propio contexto que los induzcan a pensar, a razonar, a buscar estrategias para encontrar soluciones, a argumentar sus soluciones, a comprobarlas, a comunicarlas y a representarlas de diferentes maneras (con dibujos, con signos, etc.). Desde esta perspectiva, los contenidos y los procesos matemáticos no son aspectos independientes sino que se interrelacionan para favorecer la adquisición progresiva de la competencia matemática.

2.3. Conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas

Mientras que en los dos subapartados anteriores se ha incidido en la intradisciplinariedad, es decir, en las conexiones dentro de las matemáticas, en este apartado se pone el énfasis en la interdisciplinariedad. Fourez (2008) expone que una actividad es interdisciplinar cuando se usan diferentes disciplinas para construir saberes adecuados para una situación, sin menospreciar los conocimientos de ninguna de las disciplinas. A pesar de que actualmente la práctica educativa más extensa continúa siendo todavía el trabajo aislado de los contenidos matemáticos, las actividades interdisciplinarias van ocupando un lugar cada vez más importante en las aulas de Educación Infantil. Así, disciplinas como la literatura infantil, el arte, la música, la psicomotricidad, etc., son contextos de aprendizaje óptimos que se utilizan para trabajar contenidos matemáticos.

Whitin (1994), por ejemplo, señala la literatura infantil como medio para presentar ideas matemáticas. Según este autor, el uso de la literatura relacionada con las matemáticas ayuda a los niños a darse cuenta de la variedad de situaciones en las que las personas pueden utilizarlas con propósitos reales. Además, la literatura ofrece la oportunidad de encontrar aplicaciones para no percibir las matemáticas como una serie de reglas o datos irrelevantes que se tienen que memorizar. Colomer y Ramos (2002) usan cuentos populares para trabajar las matemáticas, además de los aspectos verbales. Parten de la base que el cuento es una herramienta muy utilizada en las primeras edades, y que a todos los alumnos les gusta escuchar. El tratamiento de los contenidos matemáticos de un cuento se inicia cuando los niños lo escuchan, lo explican, lo leen a través de las viñetas o lo representan a través de la dramatización, imaginando cómo son y que hacen los personajes y elementos que intervienen en el relato, manipulando los objetos que salen en los cuentos, descubriendo los materiales que intervienen, etc. Más recientemente, Aymerich (2010) ha llevado a cabo un extenso trabajo de revisión de cuentos que permiten trabajar contenidos matemáticos. Esta autora expone que para conectar matemáticas y cuentos hay que encontrar un punto de anclaje entre ambos y caracterizar los cuentos que puedan contribuir a mejorar las capacidades de aprendizaje de los alumnos de las primeras edades. A partir de su propia experiencia docente impartiendo clases conducidas desde el uso de los cuentos, propone contemplar dos características básicas: a) los cuentos favorecen el trabajo de las matemáticas desde un contexto interdisciplinar; b) los cuentos contribuyen a crear representaciones mentales, ideas que más tarde podrán ser recuperadas o evocadas para el trabajo específico de un contenido "superior" relacionado con la idea inicial.

La música es otro contexto de aprendizaje óptimo para trabajar contenidos matemáticos. Saá (2002) pone de manifiesto el potencial que tienen las canciones (y también los cuentos) para aprender matemáticas en las primeras edades. El método de trabajo que plantea consiste en analizar a fondo las posibilidades de cada canción, partiendo siempre de un enfoque interdisciplinar. Desde esta perspectiva resultan prioritarios los trabajos relacionados con las matemáticas, el lenguaje y los aspectos artísticos. El método utilizado presenta esta estructura: a) se escoge una canción; b) se realizan varias lecturas comprensivas del texto y se extraen todos los contenidos matemáticos que hay; c) posteriormente, se elaboran los materiales con los que más tarde se trabaja en el aula: murales, secuencias temporales, materiales para clasificar y hacer seriaciones, ordenaciones, etc.; d) una vez elaborado el material, se inicia el trabajo con los alumnos para ayudarles a interiorizar conocimientos relativos al color, forma, tamaño, semejanzas y diferencias, cuantificadores básicos, cardinales y




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ordinales, medidas y situaciones espaciales, formas geométricas y cuerpos, nociones de cantidad, resolución de problemas, etc.

En relación al uso del arte como contexto para trabajar contenidos matemáticos, Edo (2008) indica que en la etapa de Educación Infantil, el análisis y la interpretación de obras de arte, y la producción de creaciones plásticas inspiradas en ellas, crean un contexto interdisciplinar a partir del que los alumnos aprenden de forma simultánea matemáticas y educación visual y plástica. Esta autora, que ha trabajado extensamente las conexiones entre las matemáticas y la educación artística, expone que la contemplación y creación de formas artísticas a partir de líneas, figuras y cuerpos puede ayudar tanto a intuir y construir nociones geométricas como desarrollar sentimientos y emociones estéticas (Edo, 2003). Para poner de manifiesto las relaciones existentes entre ambas disciplinas, expone un listado de nociones matemáticas propias de la geometría (forma, espacio, proporción, figura, línea, recta, curva, plano, volumen, punto de vista, ubicación en el plano y en el espacio), que son también nociones centrales del alfabeto visual y plástico. Desde este marco, señala dos tipos de actividades en las que determinados contenidos matemáticos y algunos contenidos del área visual y plástica se conectan al trabajarse conjuntamente: observación, análisis e interpretación de obras de arte (pintura, escultura, arquitectura, etc.); y producción de creaciones plásticas inspiradas en la obra analizada. Respecto a la observación de obras de arte, Edo y Gómez (2000) plantean las siguientes fases de trabajo: a) fase de observación y análisis de la obra: se centra en una descripción objetiva de los elementos del alfabeto visual y plástico reconocibles en la obra (líneas, puntos, manchas, figuras, volúmenes, superficies, texturas, colores, etc.); b) fase de interpretación: consiste en una evocación creativa centrada en la misma obra: ¿qué podría ser?; ¿qué me sugiere?; ¿qué me recuerda?; ¿qué me provoca?; etc. La primera parte de la actividad, la más geométrica, dota al alumno de una serie de "herramientas" derivadas del análisis de la forma y la composición que permite que la segunda fase, la más creativa, llegue a ser más interesante, rica en matices y completa. En relación a la producción de creaciones plásticas inspiradas en la obra analizada (dibujo, pintura, escultura, construcción, etc.), sin ser nunca una reproducción de la obra, es un entorno de aplicación de todo lo que se ha aprendido.

Existen también numerosas conexiones entre la matemática y la psicomotricidad. Benavides y Núñez (2007), por ejemplo, señalan que una de las conexiones más relevantes es la adquisición de la noción de espacio. Indican que es fundamental que los alumnos conozcan su cuerpo, pero ésto no es suficiente, sino que es necesario que lo estructuren y lo muevan en relación con el mundo exterior. Desde esta perspectiva, la psicomotricidad aporta conocimientos relativos a la función tónica, la postura y el equilibrio, el control respiratorio, el esquema corporal, la coordinación motriz, la lateralidad, la organización espacio-temporal, la motricidad fina y la grafomotricidad. Y las matemáticas, y más concretamente la geometría, aporta conocimientos relativos a la organización espacial y a la forma.

En términos generales, todas las conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas expuestas ponen de manifiesto que no todas las matemáticas se tienen que aprender necesariamente “durante la hora de matemáticas” ni “en la clase de matemáticas”, sino que hay múltiples contextos de aprendizaje válidos para generar conocimiento matemático.

2.4. Conexiones entre las matemáticas y la vida cotidiana

En las primeras edades las matemáticas no tratan de fórmulas ni de ecuaciones, ni de sumas y restas escritas con lenguaje convencional; tratan de los colores de las frutas, de la cantidad de pescados que hay en una pecera, de los números que hay en el calendario, de la posición relativa de una silla en relación a una mesa, de la forma de las hojas de un árbol, etc. Dicho de otro modo, las matemáticas no son un conjunto de conocimientos abstractos que los alumnos pueden aprender sólo a través de un cuaderno de actividades, sino que las matemáticas tratan de ver nuestro mundo y crear



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representaciones con las que podemos trabajar para resolver las situaciones problemáticas que importan. Desde este marco, el trabajo de los profesionales de la Educación Infantil consiste en descubrir las matemáticas que hay en la vida cotidiana para favorecer que los alumnos aprendan a verlas, a intepretarlas, a comprenderlas, para que progresivamente puedan desarrollarse mejor en su entorno inmediato. Reeuwijk (1997), investigador y educador del Instituto Freudenthal de la Universidad de Utrecht (Holanda), expone cinco motivos para utilizar contextos reales de aprendizaje:

• En primer lugar, pueden motivar a los alumnos. Asímismo, pueden ayudarles a comprender por qué las matemáticas son útiles y necesarias. Pueden aclarar por qué ciertos ámbitos de las matemáticas revisten importancia, y pueden contribuir a que los alumnos entiendan la manera en que se emplean las matemáticas en la sociedad y en la vida cotidiana.

• En segundo lugar, el uso de contextos puede favorecer que los propios alumnos aprendan a usar las matemáticas en la sociedad, además de descubrir qué matemáticas son relevantes para su educación y profesión posteriores.

• En tercer lugar, los contextos pueden incrementar el interés de los alumnos por las matemáticas y la ciencia en general.

• En cuarto lugar, los contextos pueden despertar la creatividad de los alumnos, impulsarlos a utilizar estrategias informales y de sentido común al afrontar, por ejemplo, la resolución de una situación problemática o de un juego.

• Y en quinto lugar, un buen contexto puede actuar como mediador entre una situación concreta y las matemáticas abstractas.

El uso de contextos de vida cotidiana en la clase de matemáticas, pues, puede contribuir a facilitar el aprendizaje de esta disciplina, pero sobre todo a comprender cuál es el sentido de las matemáticas, cuáles son sus verdaderas funciones: formativa, teniendo en cuenta que los contextos de vida cotidiana permiten pasar progresivamente de situaciones concretas o situaciones abstractas (matematización progresiva); instrumental, al considerar que los contextos son, en realidad, herramientas que favorecen la motivación, el interés o el significado de las matemáticas; y aplicada, al fomentar el uso de las matemáticas en contextos no exclusivamente escolares y, por lo tanto, contribuir a la formación de personas matemáticamente más competentes.

3. Algunos andamios para aprender a enseñar matemáticas en las primeras edades desde un enfoque globalizado

Una forma adecuada de trabajar las conexiones matemáticas es cuando se reta a los alumnos a aplicar el aprendizaje matemático en investigaciones y proyectos matemáticos amplios en los que se formulan preguntas y diseñan encuestas, toman decisiones sobre métodos de recogida y registro de información, y planifican representaciones para comunicar los datos y para que les sirvan de ayuda para hacer conjeturas e interpretaciones razonables (NCTM, 2000). Alsina (2011a) expone una posible sistematización para trabajar las matemáticas a partir de proyectos que parten de contextos de aprendizaje de la vida cotidiana:




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Educación matemática en contextos de vida cotidiana

Fase 1: matematización del contexto

- En esta fase todavía no intervienen los alumnos: se analizan todos los contenidos matemáticos (de numeración y cálculo, geometría, álgebra, medida y análisis de datos y probabilidad) que pueden trabajarse en el contexto de aprendizaje elegido.

Fase 2: trabajo previo en el aula

- Se presenta el contexto de aprendizaje: el patio de la escuela; la plaza del pueblo; etc.

- Se inicia un diálogo con los alumnos para recoger sus conocimientos previos y experiencias a través de preguntas como: ¿qué matemáticas hay en…?

- Entre todos se decide el material necesario para documentar el trabajo en contexto: una cámara digital, una cinta métrica, una calculadora, una libreta para anotar los descubrimientos o para dibujar, etc.

Fase 3: trabajo en contexto

- Los alumnos descubren las matemáticas que hay en el contexto de aprendizaje elegido.

- Documentan lo que van descubriendo a través de fotografías, dibujos, anotaciones en la libreta, etc.

- El maestro interviene haciendo preguntas, sobre todo, más que dando explicaciones.

Fase 4: trabajo posterior en el aula

- Se establece un diálogo con los alumnos para que comuniquen lo que han descubierto, procurando que utilicen un lenguaje matemático adecuado.

- Se usan las imágenes como base para trabajar aspectos matemáticos diversos (reconocer, relacionar u operar cualidades sensoriales, cantidades, posiciones y formas, atributos mesurables, etc.).

- Se representa gráficamente el trabajo realizado en contexto a través de un póster, en una ficha, etc.

Tabla 3. Fases para aprender a enseñar matemáticas a partir de contextos de vida cotidiana

Estas fases son transferibles, lógicamente, a otros tipos de contextos de aprendizaje.

4. Muestra de prácticas matemáticas en contextos de vida cotidiana a partir de un enfoque globalizado

A continuación se exponen diversas actividades implementadas en diversos contextos que han sido diseñadas a partir de un enfoque globalizado (Alsina, 2011a). Como veremos, se trata de experiencias en las que se integran contenidos relativos a los diferentes bloques de las matemáticas; o se conectan contenidos matemáticos con contenidos de otras áreas de conocimiento como la Educación Artística o el Conocimiento del Medio; o entre las matemáticas y el entorno inmediato, por ejemplo.

En la primera actividad que se presenta, “Maravillas verdes”, se trabajan los diferentes bloques de contenido matemático a partir de la observación de las plantas que hay en el patio del colegio en el que se implementa la actividad. Este contexto no matemático se utiliza, pues, para favorecer que los alumnos puedan integrar contenidos matemáticos diversos como por ejemplo la identificación y comparación de cualidades sensoriales, cantidades, posiciones, formas, atributos mesurables y datos.



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Título de la actividad: “Maravillas verdes”

Lugar de implementación: Colegio Lepanto, Mairena del Aljarafe (Sevilla).

Nivel: 4-6 años

Maestras responsables de la implementación: Juani Moreno Gordillo, Águeda Vázquez Vázquez, Irene Penco Olivera, Antonia del Valle Guzmán Díaz, Fátima Rocío Perianez Pérez, Irene Fenoy Pérez.

Asesoramiento pedagógico: Angel Alsina

Contenidos de razonamiento logicomatemático:

− Propiedades de los árboles: tamaño (grande-pequeño), forma (redondeada-puntiaguda), textura (rugoso-liso), grosor (grueso-delgado).

− Clasificaciones según diversos criterios: la forma de las hojas (acorazonada, elíptica); el tipo de plantas (árboles, arbustos, hierbas).

− Seriaciones según diversos criterios: color de las hojas; etc.

Contenidos de numeración y cálculo:

− Cuantificadores imprecisos: muchos-pocos.

− Conteo y ordenación numérica.

− Composición y descomposición de números.

− Representación gráfica de las cantidades.

Contenidos de geometría:

− Reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos y asociación de estas formas con objetos del entorno inmediato.

− Composición de paisajes a partir de figuras geométricas.

− Representación de los conocimientos geométricos mediante el dibujo del plano del colegio.

Contenidos de medida:

− Utilización de instrumentos de medida convencionales (cinta métrica) y no convencionales (dedos).

− Clasificación según la longitud: largo-corto/alto-bajo.

− Reconocimiento del paso del tiempo en el árbol (las estaciones del año).

Contenidos de estadística y probabilidad:

− Identificación de datos y representación en un diagrama de barras

Tabla 4. Contenidos matemáticos trabajados en la actividad “Maravillas verdes”

El proyecto se inició con una asamblea general en la que se recogieron los conocimientos previos que tenían los alumnos sobre las plantas. Para las sucesivas salidas se hizo una selección de




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materiales: cámara de fotos; cámara de video; grabadora de voz; folio y lápiz; plano; fotografías; recursos materiales diversos como hojas, frutos secos, semillas, recipientes diversos, papel continuo, cinta métrica,…; libros de consulta y material de elaboración propia. A continuación se realizó una primera salida por el patio para observar las plantas, tomar fotografías y recoger muestras. Una vez en el aula se observaron las fotografías: se organizaron los alumnos en grupos de cinco y se les pidió que descubrieran el concepto matemático escondido en cada fotografía (grueso-delgado, delante-detrás, dentro-fuera, liso-rugoso, etc.). Después cada equipo explicó a los demás el concepto descubierto. En relación a las muestras recogidas, una vez comentadas las propiedades individuales de cada elemento se realizaron clasificaciones y seriaciones con estos objetos.

En las siguientes salidas que se hicieron se trabajaron aspectos relacionados con todos los bloques de contenidos:

• Contar árboles: en una nueva salida al patio se distribuyó una hoja de registro en la que debían anotar el número de árboles que había de cada especie. En algunos momentos surgió la suma, ya que había una misma especie distribuida en diferentes zonas del patio. En clase se analizaron en pequeño grupo los datos recogidos en el patio y se elaboró un mural donde en un principio se clasificó por especies y a continuación se realizó una ordenación numérica de la cantidad de árboles de cada especie. Otra actividad se basó en la composición y descomposición de cantidades a partir de un material elaborado a partir de fotos de todas las especies de árboles.

• Medir árboles: se planteó como actividad la medida del crecimiento de las semillas sembradas, y a raíz de esta actividad un niño propuso medir los troncos de los árboles. En principio, para estas mediciones, se usaron unidades de medida no convencionales como los dedos. Después de realizar varias mediciones con los dedos y observar que el resultado era diferente, un niño planteó la necesidad de utilizar la cinta métrica para llegar a una medición más real. En clase se realizó una asamblea para la puesta en común sobre los resultados obtenidos en las mediciones y al ser resultados con cantidades altas, la mayoría de los alumnos se apoyaban en la representación gráfica del número que indicaba el metro.

Figura 2. Los alumnos miden la altura de un árbol con la cinta métrica

• Salida al patio para localizar el mejor lugar para plantar un olivo: se planteó a los alumnos cuál era el mejor lugar del patio para plantar un olivo. Dado que las explicaciones de los alumnos no fueron suficientes para entender el lugar al que se referían para plantar el olivo, surgió la necesidad de utilizar el plano. Para el diseño de los planos los alumnos salieron al patio, ya que necesitaron observar el espacio, las distancias entre un árbol y otro, etc. Los aspectos matemáticos que descubrieron fueron la orientación espacial, las distancias, algunas formas geométricas, etc.



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• Salida al patio para observar las formas de los árboles: después de la presentación de los cuerpos geométricos (cilindro, prisma cuadrangular, esfera y dodecaedro), se propuso a los alumnos que salieran al patio para compararlos con los árboles. Posteriormente, en clase, se les presentaron distintas figuras geométricas para que las recortaran y compusieran con algunas de ellas los árboles del patio.

La segunda actividad que se expone es otro ejemplo ilustrativo de práctica educativa en la que se trabajan las conexiones matemáticas, en este caso a partir de una situación que surge de forma espontánea: una alumna se presenta una mañana en clase con un zapato, después que el día anterior los alumnos estuvieran en la inauguración de una zapatería.

Título de la actividad: “Oinetako denda” (la zapatería)

Lugar de implementación: Andra Mari Ikastola, Etxarri- Aranatz (Navarra)

Nivel: 3-4 años y 5-6 años

Maestras responsables de la implementación: Josune Arrazubi, Jaione Azpirotz, Teresa Goikoetxea, Mila Berastegi, Gloria Lopez, Juana Mari Jaka, Ines Goñi.



- Reconocimento de los atributos de los zapatos (colores, texturas y olores). - Semejanzas y diferencias entre zapatos. - Clasificaciones y ordenaciones de zapatos por diferentes criterios.


- Operaciones de suma y resta con la cantidad y “el valor” de los zapatos.


- Relaciones espaciales. - Clasificaciones de los zapatos según su forma.


- Reconocimiento del número (el tamaño) de los zapatos. - Clasificaciones de zapatos según su tamaño o altura.


- Identificación de datos y representación en un diagrama de barras

Tabla 5. Contenidos matemáticos trabajados en la actividad “Oinetako denda”

Después de haber estado en la inauguración de la zapatería, al día siguiente una niña trajo sus zapatos viejos para jugar, y en días sucesivos los demás alumnos hicieron lo mismo. A medida que iban trayendo los zapatos los presentaban a los demás (comentaban cómo eran, para qué servían, etc.). Con todos los zapatos en clase propusieron repartirlos, regalárselos a los pequeños, ponérselos a las muñecas, colocarlos en cajas, etc. Hicieron juego libre y al final decidieron montar una zapatería en clase.




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La distribución del espacio siguió diversas fases: en primer lugar pensaron cómo organizar la zapatería. La idea que surgió fue clasificar los zapatos por grupos en varios mostradores. Después, eligieron los materiales para montar la zapatería y discutieron cómo hacer el dinero y los carteles de los precios, aprovechando materiales reciclados que suelen traer a clase. Conversaron sobre la procedencia del dinero y crearon un banco para repartirlo. Al preparar el espacio pusieron en práctica conocimientos relativos a la posición (dónde colocar los mostradores) y la medida (lo que ocupan los mostradores). Cuando ya tuvieron clara la ubicación y la distribución de los mostradores reunieron todos los zapatos (que estaban mezclados) y empezaron a formar parejas. Fueron colocando los zapatos en los diferentes mostradores según criterios diversos (el color, el tamaño, el tipo de zapatos, etc.). Con los mostradores montados, etiquetaron el precio de los zapatos y después invitaron a los alumnos de otra clase a comprar zapatos con el dinero de cartón sobrante de la fiesta de la Ikastola.

Figura 3. Las tiendas de zapatos Figura 4. Compra-venta de zapatos

Durante el juego realizaron múltiples actividades: simbolizaron (vendiendo, probándose, comprando, desfilando), tuvieron cuidado de cobrar el precio justo, hicieron listas de compras, leyeron marcas de zapatos, etc. Y para finalizar se hizo un diálogo sobre lo que habían vivido y aprendido; representaron la zapatería en el papel; se proyectaron fotos; y se hizo una exposición para que las familias pudieran ver todo el trabajo que habían realizado los alumnos.

La última experiencia que se presenta, “El mundo matemático en la obra de Joan Miró”, se trata de una actividad en la que la Educación Artística es el punto de partida para aprender matemáticas.

Para llevar a cabo esta actividad en primer lugar se eligieron las obras que iban a analizarse con los alumnos, ya que cada una servía para trabajar contenidos matemáticos diferentes:

- Mujer con sombrero bonito y estrella (formas geométricas) - Autorretrato (líneas cerradas y abiertas) - El pájaro Zafiro (figuras geométricas) - El oro del azul (tamaño, grande-pequeño)



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Título de la actividad: “El mundo matemático en la obra de Joan Miró”

Lugar de implementación: Colegio El Algarrobillo, Valencina de la Concepción (Sevilla); Colegio Ntra. Señora de la Antigua, Almensilla (Sevilla); y Colegio Padre Manjón, Bormujos (Sevilla).

Nivel: 3-4 años y 5-6 años

Maestras responsables de la implementación: Mª Luisa Paredes Moreno, Mª Eugenia Santos Fernández, Encarni Reina Gómez, Inmaculada Gamero Martínez y Mª Concepción Ruiz Rivero



- Agrupaciones por criterios cualitativos. - Clasificaciones y ordenaciones por criterios cualitativos.


- Cuantificadores básicos: muchos/pocos, más que, etc. - Representación de cantidades con símbolos no convencionales. - Clasificaciones por criterio cuantitativo. - Uso de los números para expresar un resultado.


- Reconocimiento de líneas y figuras básicas: círculo, cuadrado, triángulo, estrellas, etc. - Clasificación y ordenación de objetos por la forma. - Construcción de líneas rectas. - Composición y descomposición de formas a través de puzzles.


- Nociones primarias elementales respecto a la longitud: largo-corto, etc. - Instrumentos de medida convencionales. - Comparación de medidas en las que se han usado unidades. - Uso de instrumentos para hacer líneas rectas. - Resolución de problemas cuantitativos que surgen en la vida cotidiana mediante

estrategias diversas.


- Identificación de datos y representación en un diagrama de barras

Tabla 6. Contenidos matemáticos trabajados en la actividad “El mundo matemático en la obra de Joan Miró”

En asamblea se presentó brevemente la biografía de Joan Miró y a continuación, con el objeto de detectar sus conocimientos previos, se preguntó a los alumnos qué matemáticas veían en estas pinturas. Una vez recogidos sus conocimientos previos se inició la presentación de las diversas pinturas. Algunas veces los cuadros se analizaron en parejas, otras en gran grupo y otras individualmente, pero en todos los casos se procedió de la misma manera: se presentaba la obra y se analizaban los aspectos que se querían destacar. Después del análisis de las obras cumplimentaron una pauta de recogida de datos donde anotaron los colores y las formas.




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Figura 5. Plantilla para registrar los elementos matemáticos del cuadro

Una vez descritas las pinturas en la plantilla, se clasificaron según criterios diversos (cualitativos, cuantitativos y geométricos), verbalizando los criterios utilizados. Así, por ejemplo, hay alumnos que los clasificaron por el color predominante, otros por las formas, etc. Finalmente se realizó un trabajo de medida que consistió en buscar información sobre las dimensiones reales de los cuadros, reproducirlos a tamaño real y buscar un espacio adecuado para colgarlos. En el aula se estableció un diálogo para decidir qué instrumento debía usarse para dibujar las medidas reales de las pinturas en el papel, y todos los alumnos estuvieron de acuerdo en utilizar una cinta métrica. Con la ayuda de las maestras dibujaron los cuadros y los pintaron entre todos.

Figura 6. Reproduciendo “Autorretrato” Figura 7. Las reproducciones a tamaño real

El mayor reto surgió cuando debieron colocar los cuadros en la pared: en primer lugar, buscaron un espacio adecuado en el pasillo, ya que algunas de las pinturas eran de gran tamaño y no cabían en cualquier sitio. Cuando ya tuvieron clara la ubicación, colgaron los cuadros en la pared y se dejaron expuestos para que los alumnos pudieran observarlos cuando les apeteciera, dialogar sobre ellos, etc. Finalmente, todo el trabajo realizado se recopiló en un libro que cada alumno se llevó a casa para compartirlo con sus familias.



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5. Conclusiones

Las experiencias que se han descrito en este artículo son algunos ejemplos de prácticas educativas en las que se trabajan las conexiones matemáticas desde un enfoque globalizado (intradisciplinar e interdisciplinar).

En la actividad “Maravillas verdes” se trabajan contenidos matemáticos relativos a los diferentes bloques, como por ejemplo el reconocimiento de la textura de los troncos (liso y rugoso); el conteo del número de árboles; la ubicación del olivo en el patio; el análisis de las formas de los árboles; la medición de la longitud de los troncos; la observación del tamaño de las plantas; etc. Pero a pesar de trabajar con objetos matemáticos diversos (cualidades sensoriales, cantidades, propiedades geométricas o atributos mensurables), las estructuras matemáticas se repiten: reconocen, relacionan (clasifican, ordenan, asocian) y operan con los diferentes contenidos. Este hecho, como ya se ha indicado, les permite conectar ideas matemáticas de diversa índole, lo que les conduce no sólo a aprender los contenidos matemáticos propios de las primeras edades sino que se dan cuenta también de su utilidad. Un segundo rasgo relevante de la actividad “Maravillas verdes” es que, al trabajar las matemáticas en un contexto del entorno inmediato (las plantas del patio), pueden conectar contenidos matemáticos con contenidos de Conocimiento del Medio. Así, por ejemplo, los alumnos observan diferentes tipos de hojas, reconocen sus propiedades y las clasifican a partir de estas propiedades. Finalmente, nos parece también muy interesante la planificación y la gestión llevada a cabo por las maestras: cada actividad realizada en el contexto de aprendizaje elegido se complementa con otras actividades realizadas posteriormente en el aula con materiales manipulativos, a través de diálogos, mediante la representación gráfica, etc. Este planteamiento es muy útil para favorecer que los alumnos interioricen los contenidos que han observado en el contexto.

La actividad “Oinetako denda” (la zapatería) es una experiencia idónea para ejemplificar cómo construir conocimiento de forma significativa a partir de una situación que surge de forma espontánea. Ante la llegada por sorpresa de un zapato a la escuela, la maestra tiene varias posibilidades: hacer caso omiso del objeto; presentarlo en clase, hacer un breve análisis (cómo es, para qué sirve, etc.), y proseguir con el trabajo planificado; o bien convertirlo en el centro de atención, como es el caso que nos ocupa. Es evidente que si la maestra no hubiera gestionado la llegada del zapato a la clase para que se convirtiera en un centro de interés, los otros alumnos no hubiesen traído otros zapatos viejos, con lo cual hubiese sido imposible llevar a cabo todas las actividades que se desencadenaron posteriormente, la mayoría propuestas por los mismos alumnos. Así, poniendo de relieve una situación en la que los alumnos pueden encontrar matemáticas fuera y dentro de la escuela (la zapatería del padre de Iñigo y la que se organiza en el aula), se facilitan las conexiones: es sorprendente observar la gran cantidad de contenidos matemáticos que los alumnos pueden conectar a partir del montaje de la zapatería en el aula: distribuyen el espacio para colocar los mostradores; analizan múltiples cualidades sensoriales de los zapatos (color, olor, textura, etc.) y los clasifican de acuerdo con estas cualidades; etiquetan el precio de los zapatos y realizan actividades de compra-venta; analizan la medida de los zapatos; etc. Sin duda, pues, se trata de una buena práctica que permite observar que las conexiones se establecen mejor cuando se reta a los alumnos a aplicar el aprendizaje matemático a investigaciones y proyectos matemáticos amplios.

En “El mundo matemático en la obra de Joan Miró”, los alumnos trabajan de forma integrada conocimientos matemáticos diversos, tanto contenidos como procesos, a través del análisis de pinturas de Joan Miró. En relación a los contenidos, analizan colores del cuadro (cualidades sensoriales); el número de formas (cantidades); las formas que hay (geometría); las dimensiones (medida); y se efectúa la recogida de datos a partir de una pauta (análisis de datos). Además, se generan espacios de interconexión entre contenidos y procesos, ya que los datos recogidos se representan y se comunican (conexión de los contenidos de los diversos bloques con los procesos de representación y comunicación, sobre todo); se investigan las dimensiones del cuadro, se reproduce a tamaño real y se




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ubica en un lugar adecuado (conexión de los contenidos de geometría y medida con los procesos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, básicamente). Si, como ocurre en esta actividad, los profesionales de la Educación Infantil adquirimos una visión de las matemáticas como un todo conectado e integrado, y somos capaces de transmitir esa visión a los alumnos, disminuirá la tendencia a considerar por separado conceptos y destrezas. Asimismo, si partimos de la base que comprender implica hacer conexiones, cuando los alumnos puedan conectar ideas matemáticas, su comprensión va a ser más profunda y duradera.

En conclusión, como se ha visto a lo largo de este artículo, la educación matemática aporta alternativas muy válidas para favorecer la adquisición progresiva de la competencia matemática: el uso de contextos de vida cotidiana a partir de un enfoque globalizado es un claro ejemplo de ello. Sin embargo, es preciso destacar que el uso de este tipo de contextos de aprendizaje -o cualquier otro tipo de contexto- no contribuyen por ellos mismos al desarrollo de la alfabetización matemática, sino que ello depende de cómo los profesionales de la Educación Infantil planteamos y gestionamos las actividades con nuestros alumnos: no se trata de enseñar matemáticas a los niños y niñas de las primeras edades, ni a ninguna otra persona, sea cual sea su edad, de la forma que nos apetezca. Debemos considerar, primero, que las matemáticas forman parte de nuestro entorno; segundo, que las matemáticas deben servirnos para desenvolvernos mejor en este entorno, más que para resolver correctamente las actividades propuestas en un cuaderno; y tercero, y por encima de todo, debemos plantearnos cuáles son las necesidades de los niños y niñas de las primeras edades para aprender matemáticas.

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Angel Alsina es profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Girona (España). Sus líneas de investigación están centradas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en las primeras edades y en al formación del profesorado. Ha publicado numerosos artículos científicos y libros sobre cuestiones de educación matemática, y ha llevado a cabo múltiples actividades de formación permanente del profesorado de matemáticas en España y en América Latina. [email protected]



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Una propuesta para la enseñanza del número en la Educación Infantil

Tomás Ángel Sierra Delgado (Universidad Complutense de Madrid) Esther Rodríguez Quintana (Universidad Complutense de Madrid)

Artículo solicitado a los autores por la revista

Resumen Presentamos una posible organización didáctica para el estudio del número y la numeración en la Educación Infantil basada en las investigaciones desarrolladas por Guy Brousseau y sus colaboradores en el aula con alumnos de 3, 4 y 5 años de la Escuela Jules Michelet de Talence (Bordeaux). La propuesta elaborada tiene como objetivo que los alumnos perciban el carácter funcional del número, por ello, a lo largo de todo el proceso se plantean cuestiones y tareas cuya respuesta y resolución óptima requiere el uso del número y la numeración. Para la construcción del proceso de estudio seguimos el modelo general que propone la teoría antropológica de lo didáctico.

Palabras clave Número natural, Educación Infantil, cardinal y ordinal, enumeración, conteo, teoría de situaciones didácticas, teoría antropológica de lo didáctico, situaciones de aprendizaje por adaptación al medio.

Abstract We present a possible didactical organization for the study of number and numbering in primary education based on the research conducted by Guy Brousseau and colleagues in the classroom with 3, 4 and 5 years old students from Jules Michelet School of Talence (Bordeaux). The developed proposal intends students to perceive the functional character of the number. Therefore, throughout the entire process questions and tasks are proposed from which response and optimal resolution requires the use of number and numbering. For the construction of the study process we follow the general model proposed by the Anthropological Theory of Didactics.

Keywords Natural number, kindergarten, cardinal and ordinal, enumerating, counting, the Theory of Didactic Situations, the Anthropological Theory of the Didactic, learning situation for adaptation to the medium.

1. Introducción

Cuando queremos elaborar una organización didáctica para la enseñanza de un conocimiento matemático, presente en el curriculum de una institución educativa, lo primero que debemos plantearnos (independientemente de las características específicas de los alumnos) (Briand y Salin 2001) es la siguiente cuestión:

¿Cuáles son los problemas en los que el conocimiento matemático que queremos enseñar es el mejor instrumento de resolución?

O mejor:

Una propuesta para la enseñanza del número en la Educación Infantil T. A. Sierra Delgado, E. Rodríguez Quintana


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¿Cuáles son las situaciones cuya resolución requiere poner en juego el conocimiento matemático que queremos enseñar?

La razón por la que debemos intentar primero la búsqueda de respuestas a las cuestiones anteriores no es otra que la de conseguir que el estudio de dicho conocimiento tenga un carácter funcional. Si queremos que el aprendizaje de un contenido matemático sea funcional debemos presentar a los alumnos situaciones o problemas donde dicho contenido sea la mejor estrategia para resolverlos.

Una vez que hayamos encontrado elementos de respuesta a estas preguntas podremos plantearnos la siguiente cuestión:

¿Cómo transformar cada uno de esos problemas o situaciones para convertirlo en el núcleo de una situación didáctica, adaptada a la edad, a los conocimientos y a los intereses de los alumnos de una determinada institución escolar?

O mejor:

¿Cómo diseñar y gestionar un proceso de estudio o una organización didáctica en cuyo núcleo aparezcan los problemas o situaciones que son la “razón de ser” de dicho conocimiento matemático, adaptándolos a la institución escolar de referencia?

2. Cuestiones previas para la elaboración de una organización didáctica en torno al número natural en la Educación Infantil

La orden ECI/3960/2007 establece el currículo de Educación Infantil (MEC, 2007). El objetivo quinto indica:

Representar atributos de elementos y colecciones, y establecer relaciones de agrupamientos, clasificación, orden y cuantificación, iniciándose en las habilidades matemáticas. (MEC, 2007, p.1024).

Este objetivo se lleva a cabo fundamentalmente a través del área Conocimiento del entorno. En concreto, durante el desarrollo de los bloques, se destacan como contenidos para el segundo ciclo, en relación con la enseñanza del número (MEC, 2007, 1024):

• Ordenación gradual de elementos, • uso contextualizado de los primeros números ordinales, • cuantificación no numérica de colecciones, comparación cualitativa entre colecciones de

objetos, • estimación cuantitativa exacta de colecciones y uso de números cardinales referidos a

cantidades manejables, • utilización oral de la serie numérica para contar, toma de conciencia del valor funcional de

los números y de su utilidad en la vida cotidiana.

En el área Lenguaje: comunicación y representación se hace referencia a que:

Cuando se aborde, por ejemplo, el conocimiento de objetos y materias que se refleja en el área de Conocimiento del entorno, se trabajará al mismo tiempo

Una propuesta para la enseñanza del número en la educación infantil T. A. Sierra Delgado, E. Rodríguez Quintana



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el lenguaje matemático que se refiere a la representación de aquellas propiedades y relaciones entre objetos(…)”. (MEC, 2007, 1027)

Por último, en los criterios de evaluación se incide en la necesidad de evaluar si los niños han desarrollado un aprendizaje funcional del número, siendo capaces de resolver problemas matemáticos de la vida cotidiana donde es necesario utilizar el número, en sus aspectos cardinal y ordinal:

(…) también se observará la capacidad desarrollada para resolver sencillos problemas matemáticos de su vida cotidiana. Se valorará si el niño observa y puede verbalizar algunos de los usos y funciones que los números cardinales y ordinales cumplen en nuestra cultura así como si los utiliza funcionalmente en sus juegos y en situaciones propias de la vida cotidiana. (MEC, 2007, p. 1025).

Conocidas las indicaciones del currículo oficial español, antes de enseñar los “primeros números naturales en sus aspectos cardinal y ordinal” en la “Educación Infantil”, deberíamos buscar algunos elementos de respuesta a las siguientes cuestiones:

• ¿Qué tipos de problemas dan sentido al número natural en sus aspectos cardinal y ordinal? ¿En la Educación Infantil, cuáles son las cuestiones (la razón de ser) cuya respuesta requiere como estrategia óptima el uso de los primeros números naturales?¿Para qué sirven los números en la EI?

• ¿Existe algún tipo de situaciones previo que prepara y ayuda a la construcción del número natural en la Educación Infantil?

• ¿Cuáles son las técnicas matemáticas de que pueden disponer los alumnos de EI para resolver las situaciones problemáticas anteriores que permiten un aprendizaje funcional de los primeros números naturales? ¿Qué relación existe entre dichas técnicas? ¿Podría esquematizarse un proceso de desarrollo progresivo de ellas? ¿Hay otras técnicas que mejoran en eficacia y economía a la técnica del conteo?

El motivo de plantearnos dichas cuestiones es que, desde nuestro punto de vista, aunque los conocimientos numéricos a enseñar en la EI puedan parecer muy elementales y sencillos a los ojos del enseñante, sin embargo, el maestro no debe considerar transparente el conocimiento matemático cuya enseñanza y aprendizaje quiere gestionar, si lo que pretende es que sus alumnos perciban el carácter funcional del número. En definitiva, se trata de que el enseñante busque y, en consecuencia, disponga de un conjunto de situaciones problemáticas que permitan a los alumnos de EI encontrar las razones de ser del número. Para ello, habrá que analizar cuáles son las funciones del número y de su designación y, de este modo, obtener un conjunto de situaciones específicas1 del número natural que el enseñante podrá utilizar para conseguir que sus alumnos construyan las distintas técnicas donde interviene el número y la numeración.

Del mismo modo, es necesario indagar sobre las posibles técnicas que pueden ser utilizadas para resolver dichas situaciones, ya que según el modelo de la teoría antropológica de lo didáctico (TAD)2 en el que nos basamos, la construcción del conocimiento matemático en torno a los primeros números naturales está totalmente ligada al desarrollo y aprendizaje de las técnicas matemáticas que permiten resolver tareas potencialmente útiles para iniciar a los alumnos de EI en el uso de los números.

1 En general, una situación específica de una noción matemática es aquella en la que, si queremos resolverla de modo óptimo, se necesita poner en práctica dicha noción matemática. 2 Para una información detallada del marco teórico de la TAD, proponemos consultar Chevallard, Bosch y Gascón (1997), Bosch y Gascón (2009) y Sierra, Bosch y Gascón (2011).



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2.1. Situaciones o problemas que son la “razón de ser” del número en la Educación Infantil

Basándonos en los trabajos de investigación llevados a cabo por Guy Brousseau y sus colaboradores (Gairin-Calvo, 1988; Brousseau, 2000, 2007; Briand, Loubet y Salin, 2004) en el Centro para la Observación e Investigación en la Enseñanza de las Matemáticas (COREM) de la Escuela Jules Michelet de Talence (Bordeaux, Francia), se pueden considerar tres grandes tipos de situaciones en las que el uso de los primeros números es el mejor instrumento para su resolución:

1.- Situaciones en las que el nombre del número se utiliza para construir una colección:

• Tengo invitados, y quiero pedir al pastelero los pasteles que necesito. • Quiero tejer un jersey y el manual de tricotar me indica que debo avanzar un número

determinado de puntos. • Se acerca la hora de comer, y quiero poner la mesa antes de que lleguen los comensales. • Tengo necesidad de un cuaderno para cada uno de los alumnos de mi clase. Voy a buscarlos

al despacho del director. • Tenemos clase de plástica y hay que ir a buscar los pinceles necesarios para que cada

alumno tenga el suyo.

2.- Situaciones en las que los nombres de los números se utilizan para comparar dos colecciones:

• ¿Tendré bastantes « vales de comida » para poder comer todos los días hasta que lleguen las vacaciones?

• Durante una salida con los niños, ¿me he olvidado de alguno? • Al terminar un juego donde gana el que ha conseguido más o menos puntos, o cartas o

fichas, etc. ¿quién ha ganado? • Hemos empezado a jugar con un conjunto de canicas y al terminar de jugar quiero saber si

el paquete de canicas ha aumentado o ha disminuido. • Quiero repartir una colección entre varias personas, el conteo puede servirme para controlar

que el reparto por igual está bien en las diferentes etapas de la distribución.

3.- Situaciones en las que el nombre del número se utiliza para designar o memorizar una posición:

• Alguien me pregunta por una dirección en una ciudad y le indico el camino: “Tiene que girar en el tercer semáforo”.

• Estoy en una ciudad desconocida, y dispongo de un plano, preveo mi itinerario y anoto que debo girar en la cuarta calle a la izquierda.

• Vivo en un gran edificio y tengo que indicar a alguien el piso donde habito. • Alguien viene a mi ciudad por una autopista y debo indicarle la salida que le permitirá

llegar.

2.2. Técnicas matemáticas para la iniciación al número y la numeración

Ahora queremos clarificar en qué consiste cada una de las técnicas matemáticas, a construir por los alumnos de la Educación Infantil, que permiten, dependiendo del caso, dar una posible respuesta a las situaciones descritas anteriormente. Por ello, pasamos a explicarlas de forma detallada.

1.- “La correspondencia término a término” o “correspondencia uno a uno”, que consiste en ir asociando o relacionando cada objeto de la primera colección con un objeto distinto de la segunda colección, de modo que cada objeto de la primera colección tenga asociado un único elemento de la




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segunda colección y que cada elemento de la segunda colección esté relacionado con un solo elemento de la primera colección.

Esta técnica permite:

• Construir una colección equipotente a una dada previamente, cuando ésta está presente. • Comparar dos colecciones cuando ambas están a la vista. • Realizar distribuciones de los elementos de una colección.

2.- La correspondencia grupo a grupo que consiste en ir asociando a cada grupo o subconjunto de la primera colección un subconjunto o grupo equipotente distinto de la segunda colección. Esta técnica es utilizada cuando el tamaño de las colecciones aumenta. En otras palabras, esta técnica es una generalización de la anterior donde cada término en lugar de reducirse necesariamente a un solo elemento, es un grupo o subconjunto.

3.- La estimación puramente visual que consiste en comparar la colección con otra presente o no, utilizando su disposición espacial. También suele utilizarse cuando las colecciones a comparar son de tamaño muy diferente. Esta técnica es muy poco fiable.

4.- El reconocimiento inmediato de la cantidad que consiste en enunciar rápidamente el número de elementos de una colección sin necesidad de realizar un conteo de modo explícito. Esta técnica puede ser utilizada para colecciones cuyo número de elementos no sea mayor de 5 ó 6.

5.- “La técnica de conteo”. Técnica compleja que puede descomponerse en el siguiente sistema de subtécnicas:

1. Distinguir dos elementos diferentes de un conjunto dado. 2. Reconocer la pertenencia o no de todos los elementos a la colección. 3. Elegir un primer elemento de la colección. 4. Enunciar la primera palabra-número (uno). 5. Determinar un sucesor en el conjunto de elementos no elegidos aún. 6. Atribuir una palabra-número (la siguiente de la anterior en la serie de palabras número) al

sucesor. 7. Conservar en la memoria las elecciones anteriores. 8. (Volver a comenzar en 5) y 6 sincronizándoles. 9. Discernir cuando se ha elegido el último elemento. 10. Enunciar la última palabra-número. 11. Considerar que la última palabra dicha es el cardinal de toda la colección3.

En esta técnica se puede observar que hay subtécnicas que hacen referencia, por un lado, a la estructuración de la colección, es decir, a ordenarla (elegir un primer elemento y su sucesor) y controlarla (conservar en la memoria lo elegido y saber que se ha recorrido toda la colección) y, por otro lado, a la enunciación de las palabras de la cantinela o palabras-número. El primer tipo de subtécnicas son las que están indicadas en cursiva y corresponden a la acción de enumerar (Briand, 1993; Ruiz Higueras, 2005). «Enumerar una colección» consiste en pasar revista una sola vez a cada elemento de la misma. Aunque etimológicamente la palabra enumerar se refiere al número, sin embargo, dicha acción no necesita el conocimiento de los números. Entonces, para poder realizar el

3 Se trata del paso de considerar la última palabra-número enunciada como una propiedad del último elemento, a considerarla como una propiedad (el cardinal) de toda la colección.



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conteo de una colección es necesario también ser capaz de enumerarla (saber recorrer la colección de forma ordenada y controlada). Así, por tanto, saber recitar bien las palabras-número en el orden adecuado, no es sinónimo de saber contar.

En otras palabras, el conteo es un medio para cardinar4 una colección y para ello hay que poner en correspondencia uno a uno cada objeto de la colección con una y una sola palabra-número, lo que supone dominar la enumeración. Además, hay que memorizar la cantinela numérica (uno, dos, tres,...) en el buen orden y tener en cuenta que la última palabra-número enunciada en el conteo designa una propiedad de la colección de objetos (principio cardinal).

Podemos decir también que el conteo (Gelman, 1983) es un procedimiento de cardinación que utiliza la cantinela siguiendo los cinco principios siguientes:

1. Principio de adecuación única: decir una designación y una sola para cada objeto. 2. Principio de orden estable: la serie de palabras de la cantinela debe ser siempre la misma y

dicha siempre en el mismo orden. 3. Principio cardinal: asignar la última palabra pronunciada al número de objetos de la

colección. 4. Principio de abstracción: hay que hacer abstracción de la naturaleza de los objetos. 5. Principio de la no pertinencia del orden: el comienzo del conteo con un objeto u otro de la

colección no tiene ninguna consecuencia sobre el resultado.

6.- Escritura aditiva con agrupamientos no necesariamente equipotentes que consiste en realizar agrupamientos o paquetes no necesariamente equipotentes y a continuación expresar el número de elementos de la colección mediante la expresión oral o escrita del número de elementos de cada paquete o agrupamiento. Así, por ejemplo, para una colección de 65 elementos, se puede decir que tiene 12 y 9 y 8 y 13 y 7 y 10 y 6 elementos, o también, 12+9+8+13+7+10+6 elementos.

Esta técnica se utiliza cuando la colección que tenemos que construir o comparar es suficientemente grande, de modo que resulte más económico y fiable realizar agrupamientos. Además esta técnica es la que nos puede permitir, por un lado, que el alumno construya con sentido la noción de agrupamiento de diez o decena y por otro lado, que el alumno inicie la construcción de una técnica de adición. Podemos considerar que hay dos variaciones de la técnica de la “escritura aditiva”:

• Escritura aditiva con agrupamientos equipotentes que consiste en realizar agrupamientos equipotentes y expresar el número de elementos de una colección mediante la expresión oral o escrita del número de elementos de cada grupo. Así para una colección de 65 elementos, podremos decir que hay 9 y 9 y 9 y 9 y 9 y 9 y 9 y 2 elementos, o también, 9+9+9+9+9+9+9+2 elementos.

• Escritura aditiva con agrupamientos equipotentes y el mismo tipo de agrupamiento para todas las colecciones.

7.- Escritura multiplicativa y aditiva que consiste en realizar agrupamientos equipotentes y luego contar el número de grupos equipotentes y el número de elementos sueltos, de modo que la expresión del número de elementos de la colección va a contener dos tipos de símbolos, uno que indicará el número de agrupamientos y el otro el número de elementos que tiene cada grupo. Así la colección de 65 elementos se puede expresar que tiene 7 grupos de 8 y 9 elementos, o también, de

4 Cardinar una colección consiste en atribuir a una colección el nombre o la escritura de su cardinal (el número de sus elementos), por cualquier procedimiento.




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forma más reducida, 7 de 8 y 9 elementos. Se trata de escribir el número en la forma “n de b y a”, donde b≥2 y n y a números cualesquiera. Esta técnica surge a raíz de uso de la técnica de la escritura aditiva con agrupamientos equipotentes, ya que resulta más económico expresar 7 de 8 y 9 que 7+7+7+7+7+7+7+7+9. Aquí también podemos considerar dos variaciones:

• Escritura multiplicativa y aditiva del tipo “n de b y a”, donde b≥2, a<b y n cualquiera. Donde n indica el número de grupos, b el número de elementos de cada grupo y a el número de elementos sueltos.

• Escritura multiplicativa y aditiva del tipo “n de b y a”, donde b = 10, a<b y n cualquiera.

8.- Escritura posicional en base 10, donde cada uno de los agrupamientos realizados (siempre ya de 10, de 100, de 1000, etc.) viene indicado por las distintas posiciones y las cifras que aparecen en cada una de las posiciones indican la cantidad de dichos agrupamientos. De este modo, una colección de 325 elementos indica que hay 3 grupos de 100, 2 grupos de 10 y 5 elementos sueltos.

3. La enumeración de colecciones: Una noción prenumérica

En referencia a la segunda pregunta que hemos planteado en el apartado 2, sobre si existe algún tipo de situaciones previo a la construcción del número natural en la Educación Infantil, teniendo en cuenta las investigaciones realizadas por Guy Brousseau (1984) y Joël Briand (1993), podemos afirmar que para poder tener un dominio efectivo del conteo y de la cardinación de los elementos de una colección finita es necesario que los alumnos sepan enumerar, es decir, sean capaces de pasar por cada uno de los elementos de dicha colección una y solo una vez. La enumeración es la acción que consiste en estructurar una colección para permitir recorrerla de una manera ordenada y controlada.

Se puede observar en alumnos de Educación Infantil que intentan contar los elementos de una colección y no consiguen realizarlo bien porque, aunque saben bien las palabras-número de la cantinela, sin embargo, o no saben eligir bien el siguiente o no conservan en la memoria los elementos ya elegidos. Aquí se puede decir que estos alumnos no saben enumerar los elementos de una colección.

Este nuevo saber, la enumeración, apenas es reconocido culturalmente y en algunos casos es confundido con el conteo o la cardinación. Además, como afirma Luisa Ruiz Higueras, el aprendizaje de la enumeración no figura explícitamente en el curriculum de la enseñanza elemental:

En el medio escolar la actividad de enumeración está enteramente bajo la responsabilidad del alumno. La enumeración de colecciones no está incluida en los contenidos de los programas escolares ni es señalada como necesaria por los profesores, de tal manera que podemos afirmar que constituye un “punto ciego”en el panorama escolar, ya que no existe explícitamente como objeto de enseñanza. Sin embargo, como se ha puesto de manifiesto en las investigaciones anteriores, las actividades de enumeración deben ser objeto de enseñanza desde la Educación Infantil, antecediendo a las actividades de tipo numérico. (Ruiz-Higueras, 2005, pp. 137-138)

Por tanto, sabiendo que para poder controlar el conteo y la cardinación se requiere que los alumnos dominen la enumeración, e, incluso, que dicho dominio es necesario para la construcción y comprensión de las operaciones aritméticas tanto en la Educación Infantil como posteriormente en la Educación Primaria, debemos buscar cuáles son las situaciones que son específicas de la enumeración y con qué técnicas es posible resolverlas.



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3.1. Situaciones de enumeración en las prácticas sociales

Hay situaciones de la vida social en las que se utiliza la enumeración, por ejemplo:

• Cuando se realiza un discurso, una comunicación y se dice: “Hay varias razones por las que es necesario el estudio del número y a continuación paso a enumerarlas, una es..., otra..., etc.”

• Cuando se realiza el censo o empadronamiento de la población. En este caso, lo importante es que todos los que habitan en dicho país estén y aparezcan una y solo una vez.

• Cuando tenemos que realizar la compra en un supermercado con una lista de las cosas que queremos comprar.

• Cuando queremos vacunar a los animales de una granja. Aquí lo importante es que cada animal sea vacunado una y solo una vez.

• Cuando queremos buscar cuál es el elemento que falta dentro de una colección dada.

3.2. Técnicas que permiten resolver las situaciones de enumeración

Existen diferentes maneras de resolver situaciones en las que es necesario realizar la enumeración de una colección, es decir, pasar revista a los elementos de dicha colección de modo que hayamos pasado por cada uno de ellos una y solo una vez. En general, enumerar una colección consiste en llevar a cabo las siguientes subtécnicas:

1. Distinguir dos elementos diferentes de un conjunto dado. 2. Reconocer la pertenencia o no de todos los elementos a la colección. 3. Elegir un primer elemento de la colección. 4. Determinar un sucesor en el conjunto de elementos no elegidos aún. 5. Conservar en la memoria las elecciones anteriores. 6. Volver a comenzar en el paso 4. 7. Discernir cuando se ha elegido el último elemento.

Como ya hemos dicho en el apartado 2.2, enumerar forma parte de la técnica de contar, es decir, para poder contar es necesario saber enumerar.

Existen varias maneras de llevar a cabo esta técnica de enumerar que dependen de la situación planteada. Por ejemplo, en el caso en que queremos realizar la compra en un supermercado se suele utilizar un lápiz o bolígrafo para ir marcando o señalando en nuestra lista lo que acabamos de comprar, de manera que al final tengamos en nuestra cesta todo lo que habíamos previsto. Así, tenemos las siguientes posibles maneras de realizar una enumeración:

• La enumeración instantánea, que consiste en controlar de modo inmediato la colección y sólo puede utilizarse cuando la colección tiene seis o menos elementos.

• Marcar o señalar cada uno de los elementos de la colección a medida que vamos pasando por cada uno de ellos. Para poder utilizar esta técnica necesitamos tener algo para poder marcar o señalar.

• Alinear los elementos de la colección y a continuación pasar por cada uno de ellos. Para poder utilizar esta técnica es necesario que los elementos se puedan mover de lugar.

• Ir separando los elementos por los que ya hemos pasado de aquellos por los aún no hemos pasado. Aquí también necesitamos que los elementos de la colección se puedan mover de lugar para poder emplear esta técnica.

• Estructurar mentalmente la colección para luego ir pasando por cada uno de los elementos de la colección. Esta técnica puede ser utilizada siempre, ya que su uso no depende de cómo




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sea o esté colocada la propia colección, pero, sin embargo, es más difícil de utilizar porque depende de la capacidad que el sujeto tenga para estructurar la colección con indicios internos o externos para pasar revista a cada uno de los elementos una y solo una vez.

4. Tipos de situaciones de aprendizaje matemático en la Educación Infantil

Actualmente en la Escuela Infantil existen diferentes situaciones a través de las cuales los alumnos puede aprender matemáticas. Estas situaciones se pueden clasificar según afirman Joel Briand y Marie Heléne Salin (2001) en las categorías siguientes:

• Situaciones funcionales donde la maestra propone a los alumnos que se encarguen por turno de una situación de funcionamiento general de la clase. Ej: la distribución de material, la preparación de juegos, pasar lista,...

• Talleres de juegos de sociedad, de construcción, etc. • Situaciones de enseñanza, construidas por el maestro para permitir a sus alumnos apropiarse

un conocimiento.

Habitualmente, en estos tres tipos de situaciones, el alumno aprende imitando al maestro o a alguien que sabe más que él. Pero pensamos, con J. Briand y M.H. Salin, que esta forma que tiene el alumno de relacionarse con el saber es insuficiente. Esto lleva a considerar esencialmente dos formas de aprendizaje (Briand, Loubet y Salin, 2004):

• Aquellas en las que el aprendizaje se hace por familiarización, es decir, el alumno comprende el problema y lleva a cabo la actividad que le muestra o le explica alguien que sabe más, ya sea el maestro u otro alumno. El alumno aprende por imitación.

• Aquellas en las que el conocimiento que se busca no lo enseña el maestro de manera directa, sino que puede aparecer progresivamente en el alumno a partir de múltiples modificaciones en las estrategias utilizadas. Este segundo tipo de aprendizaje se denomina aprendizaje por adaptación al medio.

La diferencia fundamental entre las situaciones de aprendizaje por familiarización y las de aprendizaje por adaptación al medio radica en el modo en que los alumnos son conducidos a producir la solución al problema planteado y no en las producciones finales de los alumnos. El aprendizaje del alumno se identifica por los cambios de estrategia que este lleva a cabo a medida que la tarea que tiene que realizar evoluciona. Para enseñar, el maestro debe proponer situaciones en las que el saber que se pretende que el alumno aprenda, constituya la estrategia óptima.

Este tipo de situaciones de aprendizaje por adaptación al medio que surge dentro del marco de la teoría de las situaciones didácticas (en adelante, TSD) se caracterizan por las siguientes cualidades:

• Son situaciones donde se debe plantear un tipo de problemas. • El alumno dispondrá de una estrategia inicial o estrategia base para empezar a resolver los

problemas del primer tipo. • Dicha estrategia no debe coincidir con la estrategia objetivo, que será la estrategia óptima

para resolver el tipo de problemas considerado. • Los problemas deben presentarse al alumno como un medio no didáctico, es decir, el

alumno no debe percibir la intencionalidad didáctica de la tarea propuesta. • El alumno debe disponer de medios para comprobar si la solución o respuesta obtenida es

válida o no, es decir, debe disponer de una estrategia que le permita realizar dicho contraste.



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En el lenguaje de la TSD este tipo de tareas matemáticas se llaman “situaciones adidácticas”.

En contraposición, las características principales de una situación de aprendizaje por familiarización son las siguientes:

• Se trata de situaciones en las que se solicita explícitamente el propio saber. • Son situaciones de aplicación de un saber. • Son necesarias en un momento determinado del aprendizaje para asegurarse de que el

alumno ha adquirido el saber que se pide.

Existen también otro tipo de situaciones que son necesarias para la construcción del conocimiento y que se puede decir que son asimilables a las situaciones de familiarización, ya que tienen como característica principal la aplicación de un saber, y son aquellas que se utilizan como situaciones de control, de entrenamiento y de refuerzo.

Para elaborar la propuesta didáctica que queremos llevar a cabo tendremos en cuenta el tipo de situaciones de aprendizaje que propone la TSD y también el modelo general de proceso de estudio o de organización didáctica que propone la TAD. Esta teoría didáctica propone que todo proceso de estudio de un conocimiento matemático debe partir de una cuestión viva y rica que llamaremos cuestión generatriz. Además, en cualquier proceso de estudio, siempre hay ciertas dimensiones didácticas que deben estar presentes. Estas dimensiones, denominadas momentos didácticos, son:

• El momento del primer encuentro: en que los alumnos van a encontrarse por primera vez con un tipo de problemas cuya resolución implica precisamente el conocimiento matemático objeto de estudio y que el profesor desea que los alumnos aprendan. En este momento se desarrolla una primera respuesta, provisional, a la cuestión generatriz.

• Momento de la exploración del tipo de problemas y de la elaboración de una técnica asociada: en el que se estudia el tipo de problemas presentado con el fin de que los alumnos lleguen a construir una técnica de resolución. Así el estudio de ese tipo de problemas es un medio que permite crear y poner a punto una técnica de resolución que más tarde llegará a ser rutinaria.

• Momento de la constitución de un entorno tecnológico-teórico: esta dimensión del proceso de estudio aparece cuando se describe, explica y justifica la técnica que ha sido construida, lo que permite comprenderla y controlarla.

• Momento del trabajo de la técnica: esta dimensión del proceso de estudio es necesaria para conseguir que la técnica ya construida y conocida por los alumnos se desarrolle en sus manos a fin de que estos adquieran un fuerte dominio de la misma y que su uso llegue a ser lo más fiable y eficaz posible. Para ello se propone un corpus de tareas del mismo tipo que van a permitir ejercitarla y probar su alcance o validez.

• Momento de institucionalización: es el momento en que se requiere precisar cuáles son los componentes de la actividad matemática vivida que tienen un estatus oficial (distinguiéndolos de aquellos que han jugado únicamente el papel de auxiliares circunstanciales). Además es el momento en el que se realiza una síntesis de lo importante y esencial.

• Momento de evaluación: constituye una dimensión esencial de todo proceso de estudio y no debe reducirse ni confundirse con la mera evaluación de los conocimientos de los alumnos. Además de verificar que la relación personal que tienen los alumnos con la noción matemática estudiada es conforme a la relación institucional y pertinente, en el momento de la evaluación deben contrastarse la pertinencia del tipo de problemas estudiados, de las técnicas matemáticas que han aparecido, de la forma de organizar el proceso de estudio y, en definitiva, de las organizaciones matemática y didáctica involucradas.




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Basándonos en este modelo pasamos a elaborar la propuesta didáctica que ayude a los alumnos de la Educación Infantil a estudiar y por tanto a utilizar de manera funcional, esto es, con sentido, los primeros números naturales.

5. Propuesta para la enseñanza de la enumeración

Como preparación al estudio de los números naturales deberemos elaborar previamente un proceso de estudio para el aprendizaje de la enumeración.

Empezaremos por plantear una cuestión generatriz de un proceso que va a llevar a construir la noción enumeración:

“Dada una colección de cajas con tapa vacías y opacas, cómo podemos hacer para meter un objeto pequeño y sólo uno en cada caja”.

Propondremos a los alumnos un encuentro en situación con dicha cuestión. Pero la situación, junto a la dificultad de la cuestión correspondiente, dependerá de los “valores” que tomen cada una de las siguientes variables:

• Tamaño de la colección de cajas. • Disposición de las cajas. • El hecho de que se puedan marcar o no las cajas. • El hecho de que las cajas tengan o no movilidad. • El tipo de espacio donde se lleve a cabo la situación, que puede ser el micro-espacio, el

meso-espacio o el macro-espacio5.

Propondremos un proceso de estudio en el que los alumnos, guiados por la evolución progresiva de la situación a la que se enfrentan, deberán ir modificando sucesivamente la técnica matemática que utilizan para poder resolver los problemas que van apareciendo. De este modo, pretendemos conseguir que lleguen a utilizar las diferentes técnicas de enumeración.

El primer tipo de problemas a proponer para conseguir el primer encuentro con la cuestión generatriz de la enumeración es el siguiente:

Se dispone de n huchas opacas encima de una mesa y se trata de meter una moneda y solo una en cada hucha. (Las huchas tienen una abertura que permite meter una moneda sin ver lo que hay dentro).

5 El micro-espacio es el espacio de las interacciones ligadas a la manipulación de pequeños objetos. Es el sector del espacio próximo al sujeto, que contiene objetos accesibles a la visión y a la manipulación. Es el espacio cercano que se puede ver y tocar. El meso-espacio es el espacio de los desplazamientos del sujeto en un dominio controlado por la vista. Aquí los objetos son fijos y miden entre 0,5 y 50 veces el tamaño del sujeto. Es el espacio que contiene un inmueble que puede ser recorrido por un sujeto, tanto por el interior como por el exterior. En este caso la colección a enumerar podrán ser aulas o despachos. El macro-espacio es el espacio de los trayectos por la ciudad. Se pueden considerar tres tipos: El urbano, el rural, el marítimo. Habitualmente las situaciones que se plantean en Infantil se realizan en el micro-espacio, aunque también puede plantearse alguna situación en el meso-espacio a alumnos de 5-6 años.



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En este tipo de problemas se trata de que el alumno tenga que pasar una y solo una vez por cada hucha donde:

El tamaño de la colección n es pequeño (3≤ n ≤ 6) Las huchas son movibles La situación se desarrolla en el micro-espacio

Empezaremos planteando a los alumnos este tipo de problema con n pequeño con el objetivo de que les resulte fácil entrar en el problema y puedan utilizar para resolverlo la técnica de la enumeración instantánea.

Una manera de saber que los alumnos han comprendido cuál es problema que tienen que abordar es observar si saben resolverlo, cuando n ≤ 6, utilizando la enumeración instantánea como técnica base o inicial.

El momento exploratorio de la noción matemática enumeración comienza cuando los alumnos empiezan a resolver este tipo de tareas y si queremos que el alumno indague una nueva técnica y abandone la técnica inicial, aumentaremos el valor de n, ya que si n > 6 no es posible utilizar la enumeración instantánea.

El objetivo del maestro es conseguir que el alumno deje de utilizar la técnica inicial porque la considere poco económica e ineficaz para resolver las nuevas tareas que se le proponen. En definitiva, se pretende conseguir que sean los alumnos los que decidan usar las técnicas de alinear las huchas o de ir separándolas.

Para ello, propondremos tareas donde hayamos aumentado el tamaño de n. Esto consiste, en definitiva, en proponer a los alumnos que realicen varias tareas del tipo siguiente:

Se dispone de n huchas opacas (estas huchas tienen una abertura que permite meter una moneda sin ver lo que hay dentro) encima de una mesa y se trata de meter una moneda y solo una en cada hucha.

Este tipo de problemas se caracteriza porque:

El tamaño n de la colección de huchas es mayor de 6 Las huchas son movibles Las huchas están alineadas en un primer momento para después presentarlas en desorden La situación se desarrolla en el micro-espacio

Una vez que los alumnos ya conocen las técnicas de alinear las huchas y de ir separándolas, desarrollaremos el momento del trabajo de la técnica proponiendo más tareas del mismo tipo, cambiando el valor n, con el objetivo de que los alumnos lleguen a dominar dichas técnicas.

Igualmente habrá que realizar puestas en común donde los alumnos puedan explicar cómo han resuelto las tareas propuestas. De este modo, conseguiremos que los alumnos puedan vivir los momentos tecnológico-teórico, de institucionalización y de evaluación.

Como nuestro propósito es conseguir que los alumnos sean capaces de utilizar las diferentes maneras de realizas una enumeración, para avanzar en el proceso plantearemos nuevas tareas donde el alumno se vea obligado por las condiciones de la tarea, primero a utilizar las técnica de marcar las cajas y después a realizar una estructuración mental de la colección de cajas.




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El tipo de tareas a resolver será:

Se dispone de n cajas grandes de cerillas (estas cajas tienen un orificio que permite meter una cerilla sin ver lo que hay dentro de la hucha) encima de una mesa y se trata de meter una cerilla y solo una en cada caja.

Este tipo de problemas se caracterizará porque:

El tamaño n de la colección de cajas es mayor de 6. Las huchas no son movibles (para ello podemos presentarlas pegadas todas en una cartulina). Las huchas están alineadas en un primer momento para después presentarlas en desorden. La situación se desarrolla en el micro-espacio. Se dispone de algún elemento que permite marcar las cajas.

Más adelante, si queremos que el alumno necesite utilizar la estructuración mental de la colección, debemos proponer el mismo tipo de problema pero donde ya no es posible utilizar ningún elemento que permita marcar las cajas.

A lo largo de todo el proceso, una vez que los alumnos ya conocen las diferentes maneras de realizar una enumeración, siempre es necesario llevar a cabo el momento del trabajo de la técnica proponiendo más tareas del mismo tipo, con el objetivo de que los alumnos lleguen a dominar dichas técnicas. También será necesario intercalar puestas en común con toda la clase donde los alumnos puedan explicar cómo han resuelto las tareas propuestas. De este modo, conseguiremos que los alumnos puedan vivir el momento tecnológico-teórico, el de institucionalización y el de evaluación, donde se expliquen las diferentes técnicas utilizadas, se haga una síntesis haciendo oficial las matemáticas construidas y aprendidas y se evalúe el trabajo realizado.

Con el fin de afianzar las técnicas ya utilizadas se pueden proponer más tareas como:

Se disponen de n cajas buzones (estas cajas tienen un orificio que permite meter una carta sin ver lo que hay dentro del buzón) encima de una mesa y se trata de meter una carta y solo una en cada buzón.


El tamaño n de la colección de buzones es mayor de 6. Las buzones están fijos (pegados todos en una cartulina o en una estantería). Los buzones están alineados en un primer momento para después presentarlos en desorden. La situación se desarrolla en el micro-espacio primero y después en el meso-espacio (colocando cada buzón en un aula del centro. Se dispone primero de algún elemento que permite marcar y en un segundo momento no.

También se puede realizar alguna tarea en el meso-espacio, especialmente con los alumnos de último curso de Infantil, como la siguiente:

Disponemos de las n aulas del colegio y hay que llevar una carta a cada aula para informar de un acontecimiento que va a suceder.



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El tamaño n puede ser primero pequeño (3≤ n ≤ 6) y después mayor de 6. La situación se desarrolla en el meso-espacio. Se dispone primero de algún elemento que permite marcar y en un segundo momento no.

El desarrollo de estas tareas se propone comenzarlo antes de la enseñanza de los números y después se puede ir intercalando el estudio de la enumeración con las tareas de iniciación a los primeros números.

6. Propuesta para la enseñanza de los primeros números naturales

Las actividades utilizadas para la construcción de este proceso han sido tomadas de los trabajos realizados dentro de la Teoría de Situaciones Didácticas y presentados en los trabajos de Deramecourt, Olejniczak y Martin (1984), Gairin-Calvo (1988), Martin (2003a, 2003b), Briand, Loubet y Salin (2004) y Ruiz-Higueras (2005). Para ello empezaremos por enunciar la cuestión generatriz del proceso:

Cuestión generatriz Q1:

“Dada una colección, qué podemos hacer para construir/obtener otra colección que tenga tantos elementos como la primera, en ausencia de ésta.” (Aspecto cardinal 1)

O también:

“Dadas dos colecciones, cómo determinar cuál de las dos tiene más elementos cuando ambas colecciones están alejadas.” (Aspecto cardinal 2)

Cuestión generatriz Q2:

“Dada una colección de objetos alineados Se elige un objeto de esa colección. ¿Cómo volver a encontrar o situar dicho objeto en la misma colección, o en una segunda colección ordenada idéntica a la colección de referencia que no se puede ver más?” (Aspecto ordinal)

Propondremos a los alumnos un “encuentro en situación” con dichas cuestiones. Pero la situación, junto a la dificultad de la cuestión correspondiente, dependerá de los “valores” que tomen cada una de las siguientes variables:

Para la cuestión Q1:

Tamaño de la colección Disposición de los elementos Tipo de comunicación (auto-comunicación, comunicación oral o comunicación escrita) Tamaño de los números utilizables por el alumno Número de viajes que se permite realizar para ir de una colección a la otra La accesibilidad simultánea a las dos colecciones (esta variable sólo puede tomar dos valores) El hecho de que los objetos de las colecciones tengan o no movilidad (dos valores)




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Para la cuestión Q2:

Tamaño de la colección Tipo de comunicación (auto-comunicación, comunicación oral o comunicación escrita) La accesibilidad simultánea a las dos colecciones (esta variable sólo puede tomar dos valores) La proximidad o lejanía del objeto señalado de los extremos de la fila El que los objetos de la colección sean iguales ( en tamaño, en color, etc.) o no

El proceso de estudio, que vamos a desarrollar primero, pretende dar una respuesta inicial, general y eficaz a la cuestión generatriz Q1 y, para ello, adaptaremos a la Educación Infantil el recorrido propuesto para el primer ciclo de la Educación Primaria en Sierra (2006, pp. 268 – 295), tomando las dos primeras etapas:

• La iniciación al conteo. En una primera fase del recorrido, propondremos problemas que permitan al alumno iniciar su resolución con una técnica matemática base, sin necesidad de utilizar las palabras-número. Una de estas técnicas iniciales es la de la correspondencia término a término, donde cada objeto de la colección es representado por el símbolo I. Aquí ya tenemos un primer tipo muy rudimentario de Sistema de Numeración, aquél en el que sólo disponemos de un símbolo y con el que podemos representar cualquier número, por ejemplo, el 12 se representa IIIIIIIIIIII. Al cambiar las características de los problemas matemáticos se empujará a los alumnos a buscar una técnica más eficaz para resolver dichos problemas: aparecerá así la técnica de conteo. Aquí el uso que se hace, tanto en su forma oral como escrita, del número es de una forma global6, mediante la designación oral, aunque también se escriban y se lean dichos números. La numeración que se utiliza es la que representa cada número mediante un símbolo distinto, en este caso una designación oral distinta.

• El paso a los agrupamientos. En la segunda fase, propondremos problemas donde la técnica de conteo se muestre ineficaz, lo que va a conducir a la utilización de la técnica de la escritura aditiva. El alumno va a disponer de una colección de símbolos para designar los números (aproximadamente hasta el veinte), pero las condiciones de la situación no le van a permitir resolverla sólo con esos símbolos. Por ello, va a ser necesario constituir o realizar agrupamientos, y se podrán utilizar expresiones orales o escritas de tipo aditivo para designar el cardinal de toda la colección considerada. Por ejemplo, para una colección de 46 elementos, como no se dispone más que de símbolos hasta el veinte, la técnica utilizada consistiría en hacer agrupaciones como 9 y 12 y 10 y 7 y 8.

Asimismo elaboraremos un proceso de estudio con el objetivo de dar una respuesta inicial y eficaz a la cuestión generatriz Q2. Se pretende conseguir que el alumno utilice el número para determinar la posición de un objeto en una colección organizada en una línea, es decir, que haga uso del número en su aspecto ordinal. El proceso consistirá en:

• El paso al uso del conteo. Al principio propondremos problemas que permitan al alumno iniciar su resolución con una técnica matemática base, sin necesidad de utilizar las palabras-número. Estas técnicas iniciales pueden ser: estimación puramente visual, correspondencia término a término o reconocimiento inmediato de la cantidad. Al cambiar las características de los problemas matemáticos se provocará que los alumnos busquen una técnica más

6 Por ejemplo, el número “doce” es leído globalmente, sin utilizar el hecho de que en la escritura con cifras aparece la noción de agrupamiento de diez en diez. Es decir, el alumno no percibe todavía esta escritura como un grupo de diez y otro de 2 unidades. Además, el alumno también sabe que 12 es el siguiente de 11 y el anterior de 13, pero sin relacionarlo con que 2 es el siguiente de 1 y el anterior de 3.



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eficaz para resolver dichos problemas y así aparecerá la técnica de conteo como la óptima para determinar la posición.

Ambos procesos deberán continuarse en la Educación Primaria hasta conseguir la construcción del sistema de numeración posicional decimal y la construcción de las distintas técnicas de cálculo de las operaciones con números naturales, como ya propusimos en (Sierra, 2006).

6.1. Hacia la técnica de conteo en un contexto cardinal

El primer tipo de tareas a proponer para conseguir el primer encuentro con la cuestión generatriz Q1 es la siguiente:

Tareas tipo 1.- Disponemos de una colección de n platos y tenemos que conseguir una colección de cucharas para que haya una en cada plato.

Este tipo de tareas consiste en la construcción de una colección equipotente a una dada donde:

El tamaño de la colección n es pequeño (primero n ≤ 5 y luego n ≤ 9). Ambas colecciones están presentes. Los objetos son manipulables y materiales.

Aquí los alumnos podrán utilizar las técnicas matemáticas básicas o iniciales, donde no es necesario utilizar las palabras-número como la correspondencia término a término, la correspondencia grupo a grupo y la estimación puramente visual.

Pensamos que si los alumnos previamente han resuelto situaciones de enumeración y dominan las diferentes maneras de resolver dichas situaciones, apenas tendrán dificultades para utilizar las técnicas básicas anteriores. Además si previamente se ha dedicado un tiempo a aprender las palabras-número de la cantinela, los alumnos estarán en condiciones de usar también la técnica de reconocimiento inmediato de la cantidad o también llamada técnica de subitización, donde sí se utiliza el número, pero sólo para los casos en que n < 6.

El momento exploratorio comienza cuando los alumnos se enfrentan y empiezan a resolver las tareas del tipo 1 propuestas. Aquí también podemos proponer tareas de comparación de colecciones como la siguiente, que suele llamarse “juego de batalla”:

Tareas tipo 2: El juego se desarrolla entre dos. Cada grupo dispone de un juego de cartas como las de la figura 1. Por ejemplo: hay 3 cartas del 1, 3 cartas del 2, y así hasta 3 cartas del 10, en total 30 cartas. Cada jugador recibe un paquete conteniendo el mismo número de cartas (todas colocadas boca-abajo). Los dos jugadores simultáneamente ponen boca arriba la carta superior de su paquete. Si los valores de las dos cartas son diferentes, aquél que ha destapado la carta mayor se lleva las dos cartas. Si los valores son iguales, cada uno debe destapar la carta siguiente de su paquete, y se aplica la misma regla que antes, aquél que destape la carta mayor se lleva todas las cartas destapadas. Gana aquél que haya obtenido más cartas, una vez se hayan terminado los paquetes de cartas tapadas.

Figura 1. Tipos de cartas

del juego de batalla




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Este tipo de tareas consiste en la comparación de dos colecciones (primero, las de los elementos que aparecen en las dos cartas destapadas y, al final, las colecciones de cartas obtenidas por cada jugador). En la comparación de las colecciones de elementos que aparecen en las cartas influirá:

• El tamaño de las colecciones: Si es mayor que 6 ya no se podrá utilizar el reconocimiento inmediato de la cantidad. Además, cuanto mayor sea el tamaño más difícil se hace aplicar la correspondencia término a término y más se imponen los procedimientos donde se utilizan el número.

• La presencia o no de escritura del número en las cartas. Si no hay números escritos en las cartas no será necesario reconocer dicha escritura.

• La disposición de las colecciones dibujadas en las cartas: • Una disposición en desorden hace imposible la estimación puramente

visual y difícil el conteo. • Una disposición en línea favorece el conteo. • Una disposición en paquetes favorece el cálculo (3 y 2, 5, y 2, 7) o la

correspondencia paquete a paquete. • La presencia o la ausencia de colecciones dibujadas en las cartas: Si no hay colecciones es

necesario empezar por leer los números.

La gestión de este tipo de tareas pasa por utilizar primero cartas donde:

No haya escrituras del número. El tamaño de las colecciones de elementos que aparecen en las cartas sea menor que 6. Las colecciones aparecen dispuestas en orden.

De este modo podemos conseguir que los alumnos comprendan la tarea que tienen que resolver y entren a resolverla utilizando las técnicas iniciales como la correspondencia término a término, la estimación puramente visual o el reconocimiento inmediato de la cantidad.

Posteriormente aumentaremos el tamaño de de las colecciones (hasta 10) con el fin de que no sea posible utilizar el reconocimiento inmediato de la cantidad y se haga más difícil el uso de la correspondencia término a término, y así podemos provocar la necesidad del uso del conteo.

Asimismo cambiaremos la disposición de las colecciones dibujadas en las cartas con el fin de que no sea posible la estimación puramente visual y se facilite el conteo, e incluso con los alumnos mayores se provoque el uso del cálculo de pequeñas cantidades.

Una vez que los alumnos sean capaces de usar la técnica del conteo, podemos presentar primero cartas donde aparezcan las colecciones dibujadas y las escrituras de los números correspondientes, para terminar proponiendo el juego con cartas de números escritos. Con esto provocaremos que los alumnos necesiten conocer las escrituras de los números.

Hasta ahora el objetivo del enseñante es conseguir que alumno deje de utilizar las técnicas iniciales o básicas y para ello hay que poner las condiciones para que sea el propio alumno el que las considere poco económicas e ineficaces para resolver las tareas que se le proponen. En definitiva, se pretende conseguir que sean los alumnos los que decidan usar la técnica matemática el conteo.

Propondremos también tareas de tipo 1 donde la construcción de la segunda colección se haga en ausencia de la primera e iremos aumentando el tamaño de n. Esto consiste, en definitiva, en proponer a los alumnos que realicen varias tareas del tipo siguiente:

Se dispone de una colección de n pinceles y tenemos que ir a buscar al otro rincón de la clase una colección de botes para que haya uno para cada pincel.



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Este tipo de tareas se caracterizará porque:

El tamaño n está: 6 < n ≤ 12.

No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez. Los objetos son manipulables y movibles. El número permitido de viajes puede ser primero n, después menor que n, y al final igual a 1 El tipo de comunicación es auto-comunicación

Después de que los alumnos lleven a cabo cada uno estos tipos de tareas, el enseñante debe realizar una puesta en común con todos los alumnos, con el objetivo de que cada alumno explique la técnica o técnicas que han utilizado para resolverlas. Con esta serie de actividades se conseguirá hacer vivir tanto el momento tecnológico-teórico como los de la evaluación e institucionalización.

En definitiva, se trata de que los alumnos lleguen a la conclusión de que la mejor técnica matemática para resolver tanto las tareas de tipo 1 como las de tipo 2 es el conteo.

Otro objetivo de esta primera etapa del proceso de estudio (que puede considerarse como una tarea didáctica que debe realizarse para que el proceso de estudio no se estanque) es conseguir que los alumnos afiancen el uso del conteo. Para ello, el enseñante propondrá tareas análogas a las anteriores donde el valor del tamaño de las colecciones debe ir cambiando hasta tomar valores en torno a 20, y el número de viajes permitidos tienda a 1.

De este modo, con el objetivo de afianzar y hacer robusta en los alumnos dicha técnica, desarrollaremos el momento del trabajo de la técnica proponiendo actividades como las siguientes:

• Tenemos una colección de n bolígrafos y deberemos ir a buscar al otro rincón de la clase una colección de capuchones para que haya uno para cada bolígrafo.

• Tenemos una colección de n pequeños coches y necesitamos ir a buscar al otro rincón de la clase una colección de plazas de aparcamiento de modo que tengamos una para cada coche.

• Tenemos una colección de n plazas libres en un autobús y tenemos que ir a buscar al otro rincón

de la clase una colección de viajeros para que todas las plazas libres queden ocupadas. • Tenemos n zanahorias y queremos saber si tenemos suficientes para que cada uno de los m

conejos que tenemos en otra habitación pueda comer una. • Tenemos n hojas de morera y queremos saber si tendremos suficientes para dar una a cada uno

de los m gusanos de seda que nos han regalado y que están dentro de una caja lejos del lugar donde nos encontramos7.

Las características de este tipo de tareas serán:

Tamaño: n < 20 y m < 20

7 Queremos destacar la propuesta de organización didáctica tomando como centro de interés los gusanos de seda desarrollada en Aguilar, Ciudad, Láinez y Tobaruela (2010).

Figura 2. Plazas de aparcamiento y coches




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No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez Los objetos son manipulables y movibles y posteriormente fijos La tarea tiene que realizarse mediante un único viaje El tipo de comunicación es de auto-comunicación al principio, para después proponer la situación como de comunicación escrita y luego como de comunicación oral

Cuando las tareas anteriores se plantean como situaciones de comunicación, tanto escrita como oral, estas se pueden descomponer en dos tipos de subtareas que pueden ser consideradas “inversas” (Fonseca, 2004) entre sí:

• Dada una colección designar su cardinal y • Dada la designación del cardinal de una colección construir dicha colección.

Donde el primer tipo de tarea es resuelto por el emisor y el segundo tipo por el receptor, por ello, es conveniente que los alumnos se intercambien los papeles de emisor y receptor.

6.2. El paso al agrupamiento en contexto cardinal

Una vez que todos los alumnos dominan el conteo, el objetivo a conseguir consiste en que los alumnos modifiquen y hagan evolucionar dicha técnica hacia la escritura aditiva.

Para este primer encuentro con la escritura aditiva, el enseñante puede proponer un tipo de tareas donde la comunicación será escrita. Va a dividir la clase en un número par de grupos, donde cada grupo A se empareja con un grupo B. Un grupo hará de emisor y el otro de receptor y luego se intercambiarán los papeles.

Por tanto, ahora el objetivo es conseguir que el alumno construya la técnica de la escritura aditiva, es decir, tenga necesidad de realizar agrupamientos para resolver la tarea. Entonces, el enseñante podrá proponer a los alumnos tareas de los dos tipos siguientes:

1º Tipo: Dada una cantidad n > 9 de platos, los niños deben pedir (por escrito) a una marioneta que le dé los vasos necesarios para tener tantos como platos. La marioneta no puede hablar, y sólo sabe interpretar mensajes que constituyan números del 1 al 9.

Las tareas de este primer tipo se caracterizan por las siguientes propiedades:

No se aumenta bruscamente el tamaño de la colección Se impone la restricción de que sólo se pueden utilizar los números del 1 al 9, debido a la condición de la marioneta No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez Hay que producir un mensaje escrito. La comunicación es escrita No hay disposición especial de los elementos

2º Tipo: Se divide la clase en un número par de grupos (dos o tres niños por grupo). Cada grupo A se empareja con un grupo B. Cada grupo A dispone de una hoja en la cual hay dibujada una colección de flores sin pétalos (pero con el hueco de los n pétalos indicado). Este grupo debe transmitir al grupo B un mensaje escrito para que traiga justo los n pétalos necesarios para rellenar los huecos, y de este modo todas las flores tengan los pétalos indicados. Para n > 60.

Las características de este segundo tipo de tareas son:



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Tamaño: 60 < n < 80 No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez Hay que producir un mensaje escrito e interpretar el mensaje escrito por otros El tipo de comunicación es de comunicación escrita La disposición de los elementos induce el tipo de agrupamiento

Al resolver este tipo de tareas los alumnos empiezan a vivir el momento exploratorio de la técnica de la escritura aditiva. Una vez que ha surgido la técnica escritura aditiva con agrupamientos no necesariamente equipotentes, se deben seguir proponiendo tareas matemáticas del tipo anterior, con el fin de que todos los alumnos continúen explorando y familiarizándose con dicha técnica.

La disposición de los objetos de la primera colección también puede inducir a utilizar agrupamientos, por ello, en un primer momento, para conseguir que los alumnos se decidan a hacerlos, se puede optar por colocar en grupos o en paquetes la colección del emisor. Posteriormente, esta disposición debe presentarse de modo que los objetos estén colocados en forma arbitraria, con el fin de que la técnica de la escritura aditiva no dependa de la disposición de los objetos de la colección. Al principio, para indicar que la colección tiene 60 objetos, los alumnos dirán por ejemplo, que la colección tiene 8, 9, 10, 7, 12, 5 y 9 elementos, y será el enseñante el que indique que esa escritura a partir de un momento determinado, deberá realizarse en la forma 8 + 9 + 10 + 7 + 12 + 5 + 9. De este modo, será el enseñante el que realice la institucionalización del uso del signo “+” en dicha representación de los números.

Para afianzar, rutinizar y flexibilizar la técnica matemática aditiva, habrá que proponer más tareas del mismo tipo. De este modo, los alumnos vivirán el momento del trabajo de la técnica y se conseguirá que la utilización de dicha técnica no dependa de la disposición de los objetos de la colección con tareas como las siguientes:

Tenemos una colección de n platos ubicados espacialmente en forma arbitraria y hay que ir a buscar al otro rincón de la clase una colección de cucharas para que haya una en cada plato. Siendo n > 60

Este tipo de tareas se caracterizará por:

El tamaño es grande (60 < n < 80) El tipo de comunicación es auto-comunicación No hay disposición especial de los elementos No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez El número de viajes debe ser menor que n y, al final, igual a 1

Tenemos una colección de n coches y tenemos que mandar un mensaje escrito a un compañero con el fin de que nos reserve una colección de plazas de aparcamiento para que podamos poner un coche en cada plaza. Siendo n > 70

Las características de este tipo de tareas serán:

El tamaño es grande (70 < n < 90) El tipo de comunicación es escrita No hay disposición especial de los elementos No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez




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Tenemos una colección de n conejos y tenemos que mandar un mensaje escrito a un compañero con el fin de que nos traiga una colección de zanahorias para que podamos dar una zanahoria a cada conejo. Siendo n > 80.

Este tipo de tareas tiene las características siguientes:

El tamaño es grande (80 < n < 90) El tipo de comunicación es escrit. No hay disposición especial de los elemento. No se tiene acceso a las dos colecciones a la vez

Interesa que el alumno domine de manera robusta la técnica aditiva. Siguiendo con el momento del trabajo de la técnica, será oportuno proponer tareas de comparación de colecciones a partir de sus escrituras aditivas como las siguientes:

Los alumnos juegan en equipos de dos: el alumno A y el alumno B. El equipo dispone de un dado y A de una colección de 36 fichas azules y B de una colección 36 fichas rojas. Cada alumno del equipo, a su turno, lanza el dado seis veces y cada vez anota el resultado en una hoja. Al final de la partida, cada equipo determina cuál de los dos alumnos ha ganado, escribiendo su nombre en la hoja e indicando porqué ha ganado.

Aquí se pretende que los alumnos comparen colecciones a partir de las escrituras aditivas obtenidas por cada alumno, como resultado de haber lanzado el dado seis veces. Por ejemplo: el alumno A puede haber obtenido “6, 4, 5, 3, 2 y 5” y el alumno B “5, 5, 4, 3, 6 y 4”. Después, con el fin de sistematizar esta comparación usando las escrituras aditivas, se proponen ejercicios de supuestas partidas de 5 turnos y los alumnos de forma individual deben indicar quién ha ganado.

El siguiente objetivo será conseguir que el alumno empiece a utilizar agrupamientos equipotentes, con el fin de provocar posteriormente que se utilice la escritura multiplicativa y aditiva, para que, por último, dicha técnica evolucione hacia la técnica de la escritura posicional decimal. Hay tener presente que para resolver este tipo de tareas no es necesario conocer más allá de los primeros veinte números. Incluso, podemos decir, que es importante que los alumnos no dominen los números mayores de veinte ya que ello favorecerá el uso de la escritura aditiva. Una de las ventajas de la escritura aditiva es que te permite acceder a expresar números grandes sin necesidad de conocer su escritura en el sistema de numeración posicional. Por ello, nuestro objetivo será utilizar dicha escritura como vía de acceso a la escritura del número en el sistema decimal posicional (Sierra, 2006).

Todo el trabajo que proponemos con las escrituras aditivas puede iniciarse en el último curso de la Educación Infantil y continuarse en el primer ciclo de la Educación Primaria para poder construir con sentido el sistema de numeración decimal posicional.

6.3. Hacia la técnica de conteo en un contexto ordinal

El primer tipo de tareas a proponer para conseguir el primer encuentro con la cuestión generatriz Q2 es la siguiente:

Tenemos una colección de n botes boca-abajo, iguales y alineados. Se esconde, delante del grupo de alumnos, un tapón bajo un bote. Se hace salir a uno de los alumnos fuera del aula y a la vuelta debe volver a encontrar en qué bote está escondido el tapón.



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Este tipo de tareas consiste en localizar la posición de un objeto en una colección ordenada de antemano donde:

El tamaño n de la colección es pequeño (n < 11) Los botes son todos iguales

El objetivo de esta tarea es que los alumnos puedan entrar en el problema, lo que se puede conseguir proponiendo una tarea que se pueda resolver con alguna de las técnicas iniciales, en este caso, puede ser la estimación puramente visual cuando el objeto esté en uno de los extremos o muy cerca, o también el reconocimiento inmediato de la cantidad ya que el objeto a localizar como máximo estará a una distancia de 5 de uno de los dos extremos.

En este tipo de situaciones debe ser el profesor quien esconda el objeto, ya que de este modo puede controlar la variable didáctica proximidad o lejanía del objeto señalado de los extremos de la fila.

También podemos proponer otro tipo de tareas donde hay dos colecciones alineadas como la siguiente:

Tenemos una colección alineada de n objetos, de tamaños diferentes (pueden ser n cuadrados, n círculos, n animales, etc., que no tienen que estar necesariamente ordenados por el tamaño). Se marca, a la vista del alumno, uno de los objetos con una pegatina que queda tapada. Después se pide señalar el mismo objeto (del mismo tamaño) en una segunda colección idéntica a la primera. El alumno podrá verificar su acción por superposición de los dos objetos.

Este tipo de tareas también consiste en localizar la posición de un objeto en una colección ordenada de antemano donde:

El tamaño n de la colección es pequeño (n < 11) Las dos colecciones de objetos pueden estar primeros cercanas y luego alejadas Los objetos de ambas colecciones pueden ser, primero de diferente tamaño y después igual tamaño

Si los objetos de ambas colecciones son de tamaño diferente, cuando el objeto se encuentra colocado hacia el centro de la colección, se puede resolver la situación haciendo un dibujo del objeto y si no es posible dibujar, se puede reconocer el objeto por el tamaño y no es necesario utilizar el número. Además, si las dos colecciones están cerca entonces puede también utilizarse la correspondencia término a término. Sin embargo, si los objetos de ambas colecciones alineadas son todos iguales, las colecciones están alejadas y el objeto señalado está hacia el centro será necesario utilizar el número, en este caso, el reconocimiento inmediato de la cantidad.

El momento exploratorio empieza a desarrollarse cuando se proponen tipos de tareas, como las siguientes, en las que se han de ir variando sus diferentes parámetros o variables didácticas8:

8 Las variables didácticas son elementos de la situación que puede manipular el profesor con el objetivo de provocar en los alumnos un cambio de estrategia, es decir, son elementos de la situación a disposición del enseñante que le permiten gestionar el aprendizaje del alumno. El aprendizaje lo podemos identificar en los cambios de estrategia que realiza el alumno cuando intenta resolver el problema que se plantea en la situación correspondiente.




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• Tenemos una colección de n fichas idénticas alineadas. Se pega una pegatina bajo una de ellas a la vista de todo el grupo de alumnos y se vuelve a colocar la ficha de modo que no se vea la pegatina. Uno de estos alumnos sale de la habitación donde está la colección. Pasados unos minutos debe volver a entrar y señalar cuál es la ficha.

• Se alinean n cartas distintas y se colocan boca- abajo. Se vuelve una carta, por ejemplo el rey de copas, delante del grupo de alumnos. Luego un alumno del grupo se va o cierra los ojos. Durante este tiempo, se coloca de nuevo el rey de copas en su sitio. Cuando el alumno vuelve o abre los ojos, debe volver a encontrar el rey de copas en la serie de cartas colocadas boca-abajo.

• Tenemos una colección de n cajas iguales alineadas y dentro de cada caja hay un objeto diferente.

Se pide construir otra colección análoga a la anterior con el mismo tipo de objetos.

Las características de este tipo de tareas son:

El número n de objetos alineados es (15 ≤ n ≤ 30). Los objetos de las colecciones son todos iguales. Los dos colecciones de objetos alineados pueden estar primero cercanas y después alejadas. La elección del motivo puede dejarse primero al alumno y después al profesor. El tipo de comunicación: primero auto-comunicación, después comunicación escrita y luego comunicación oral.

En este tipo de situaciones cuando hay dos colecciones y están cerca se puede utilizar la correspondencia término a término. Sin embargo, si están alejadas y el objeto señalado está hacia el centro se hace más necesario utilizar el conteo.

Cuando la situación se lleva a cabo mediante la auto-comunicación, en el caso de que el objeto esté hacia el centro, el alumno puede contar y guardar en la memoria el número de la posición del objeto, pero también puede utilizar una cantinela personal y estable como “uno, tres, cinco, siete, seis, ocho” para localizar la posición del objeto, y luego guardar en la memoria el ocho, después al volver a la misma colección o a la colección modelo puede usar la misma cantinela anterior y señalar o colocar el objeto correspondiente. Sin embargo, si el tipo de comunicación es oral la técnica personal anterior no funcionará y será necesario que el alumno cuente y utilice el número como memoria de la posición del objeto.

Si la comunicación es escrita, se puede utilizar el conteo y luego usar el número como memoria de la posición, pero también puede dibujarse el tren modelo y señalar el objeto que hay que colocar. De ahí la importancia de que se plantee la situación cambiando el tipo de comunicación.

También es necesario que sea el enseñante el que elija el primer objeto que hay que localizar cuando hay una sola colección, o el primer objeto que hay que colocar en la colección modelo cuando hay dos colecciones, de modo que eligiendo un objeto del centro se pueda provocar que el alumno necesite utilizar el conteo. Si se deja que sea el alumno el que elija el primer objeto a localizar, es muy probable que se decida por uno de los extremos y para ello no es necesario el uso del conteo.

Estos tipos de situaciones cuando se plantean como situaciones de comunicación, tanto escrita como oral, se pueden descomponer en dos tipos de subtareas que pueden ser consideradas “inversas” entre sí:

• Saber encontrar la posición de un objeto en una serie. Se da el objeto y se debe encontrar su posición.



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• Saber situar el objeto cuya posición se ha dado en la serie. Se da la posición y se debe encontrar el objeto.

Donde el primer tipo de subtarea es resuelto por el emisor y el segundo tipo por el receptor, por ello, es conveniente que los alumnos se intercambien los papeles de emisor y receptor.

Una vez que los alumnos lleven a cabo cada uno estos tipos de tareas, el enseñante siempre debe realizar una puesta en común con todos los alumnos, con el objetivo de que cada alumno explique la técnica o técnicas que ha utilizado. Así podremos conseguir hacer vivir tanto el momento tecnológico-teórico como los de la evaluación e institucionalización.

Otro objetivo de esta etapa del proceso de estudio es conseguir que los alumnos afiancen el uso del conteo en tipos de problemas en contexto ordinal. Por tanto, para conseguir que los alumnos lleguen a tener un dominio robusto del uso del número como memoria de la posición, desarrollaremos el momento del trabajo de la técnica proponiendo actividades como las siguientes:

• Un tren está parado con n vagones. Se esconde una canica en un vagón a la vista del grupo de alumnos. El tren con todos los vagones va a dar una vuelta y se le pierde de vista. Uno de los alumnos cuando el tren vuelve debe decir en qué vagón está la canica.

• Se esconden objetos distintos en n cajas alineadas idénticas. Se abre una caja y se muestra el objeto que está dentro al grupo de alumnos. Después se cierra la caja y uno de los alumnos va a darse una vuelta. Cuando regrese debe intentar encontrar la caja donde está el objeto mostrado.

• Tenemos un tren con n vagones decorados con motivos. Es el tren de referencia (figura3). En un lugar alejado se dispone de los mismos motivos y de un tren que tiene el mismo número de vagones, pero no decorados (figura 4). El juego consiste en tomar un motivo, ver dónde se encuentra en el tren de referencia y, a continuación, colocar dicho motivo en el tren que hay que decorar, luego se continúa con un segundo motivo, y así hasta construir un tren decorado como el de referencia. Una vez se ha decidido que ya se ha terminado, se pueden colocar los dos trenes el uno junto al otro y validar.

Este tipo de tareas se caracteriza porque:

El número n de objetos alineados es (15 ≤ n ≤ 30) Los dos colecciones de objetos alineados pueden estar primero cercanas y después alejadas La elección del motivo puede dejarse primero al alumno y después al profesor El tipo de comunicación: primero auto-comunicación, después comunicación escrita y luego comunicación oral

Además del estudio propuesto sobre el uso del número en su aspecto ordinal será necesario el aprendizaje de las diferentes palabras (primero, segundo, tercero, etc.) que se utilizan para determinar la posición de un elemento en una colección alineada. También proponemos la utilización de juegos

Figura 3. Ejemplo de tren con motivos decorados

Figura 4. Ejemplo de tren que debe decorar el alumno




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que se desarrollan en un contexto ordinal, como “el juego de la oca” o “el juego del parchís”, donde se trata de avanzar o retroceder en una pista ordenada y de llegar a una determinada posición.

El objetivo de toda la propuesta que hemos realizado es permitir que los alumnos puedan encontrar la razón de ser del número y la numeración tanto en sus aspectos cardinal como ordinal. Es decir, que los alumnos descubran cuáles son las cuestiones a las que responde el uso de los primeros números naturales. A lo largo de todo este trabajo nos hemos dedicado a proponer situaciones de aprendizaje por adaptación al medio, porque habitualmente en los textos escolares son bastantes escasas. Pero, también creemos que es necesario plantear situaciones de familiarización, de control, de refuerzo o de aplicación en el aula de infantil (situaciones que actualmente tienen mayor presencia en los textos escolares), sobre todo cuando queremos evaluar el dominio que tienen los alumnos de una técnica determinada o cuando se propone a los alumnos que se ejerciten en la práctica de una técnica, etc. En todo caso, este tipo de situaciones deben plantearse después de que haya surgido la técnica en cuestión como una buena herramienta para resolver un determinado tipo de problemas.

6.4. Otras actividades complementarias

Existen otro tipo de actividades que pueden ayudar a que los alumnos de la escuela Infantil construyan con sentido el número y la numeración, y que pueden complementar el trabajo propuesto en los apartados anteriores. Explicaremos brevemente algunas de ellas.

• Las cantinelas: Una actividad que ayudará a que los alumnos sean capaces de utilizar bien el conteo será el aprendizaje de cantinelas, es decir, canciones donde aparecen las palabras-número. Para ello, se puede aprovechar el momento de las actividades musicales.

• La escritura de las cifras o símbolos de los números: Consideramos que una vez que el número ha surgido como una buena herramienta para resolver un determinado tipo de problemas, es necesario dedicar un tiempo a la práctica de escribir los símbolos o cifras que se utilizan para representar los números con el objetivo de que los alumnos lleguen a ser buenos escritores de dichos símbolos. Esto permitirá que cuando un alumno necesite comunicar por escrito un determinado número pueda ser entendido por los demás.

Siguiendo con el aprendizaje de la escritura de los números hay dos actividades que pueden ser de gran ayuda para los alumnos:

1. La banda numérica: Según se afirma en Ermel (1990, pp. 164-165) el trabajo con las bandas numéricas con alumnos de 5 años tiene varios objetivos:

• Que el alumno disponga de un instrumento que le permite leer y escribir números que aún no conoce bien su escritura con cifras.

• Que el alumno comience a imaginar que la serie de números se puede prolongar tanto como se quiera y que, en cualquier caso, nunca se acaba en el último número que conocemos.

• Que el alumno pueda construirse una buena imagen mental de la serie escrita de números, de su organización y de sus regularidades, que le va a permitir relacionar unos con otros.

• Permitir que el alumno pueda saber lo que sabe, es decir, visualizar su conocimiento de la seria numérica y la evolución de dicho conocimiento.

Figura 5. Ejemplo de banda numérica



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Cada alumno debe construir su propia banda y, por otro lado, el enseñante debe tener una banda expuesta en la clase para que todos los alumnos puedan verla. Las bandas de los alumnos se pueden realizar en papel o cartulina flexible de modo que a medida que vaya aumentando se la pueda ir plegando o enroscando. Las bandas pueden irse prolongando a medida que vayan aumentando tanto las necesidades como las capacidades de los alumnos.

2. El cuaderno o diccionario de los números: Una vez que han aparecido las escrituras de los primeros números se puede iniciar esta actividad. Para ello dejamos libre la primera página de la derecha del cuaderno para decorar. En la primera página de la izquierda es donde vamos a empezar a ir escribiendo los números en orden dejando un espacio de dos o tres líneas libres entre cada número. En ese espacio que dejamos se podrá escribir dicho número varias veces con cifras y con letras. Luego, podremos ir añadiendo escrituras que vayan apareciendo como, por ejemplo, escrituras aditivas del mismo número. Más adelante, esta actividad se puede prolongar al primer ciclo de la Educación Primaria y, en este caso, pondríamos los números del 0 al 9 en la primera página de la izquierda, del 10 al 19 en la segunda página de la izquierda, etc., y las páginas de la derecha las utilizaremos para escribir en la fila correspondiente las diferentes escrituras que vayan apareciendo del número al que corresponde esa fila.

7. Conclusiones

En el proceso didáctico diseñado hemos tratado en primer lugar el aspecto cardinal y a continuación el aspecto ordinal del número. Tenemos que señalar que esta estructura ha estado motivada únicamente por la necesidad de simplificar la presentación de este trabajo. Proponemos, sin embargo, que cuando haya que llevar a la práctica en el aula la organización didáctica descrita, se deberían intercalar los tipos de problemas de ambos contextos.

La propuesta que hemos diseñado pretende presentar el estudio de los números como el estudio de un conocimiento matemático u organización matemática en la que tienen la misma importancia los tipos de problemas, las técnicas que permiten resolverlos así como las explicaciones y justificaciones que hacen comprensible dichas técnicas. De este modo, pretendemos conseguir un aprendizaje funcional de manera que los números surjan como respuesta a cuestiones y, en consecuencia a los tipos problemas en que se traducen dichas cuestiones. Así evitaremos caer en lo que Yves Chevallard ha llamado el fenómeno del monumentalismo que consiste en presentar los conocimientos matemáticos como si se tratase de “monumentos” históricos de visita obligada pero de los que no se sabe ni a qué cuestiones responden ni cuál es su función (Chevallard, 2004).

Hemos evitado realizar lo que se hace habitualmente en los textos escolares de Educación Infantil que consiste en una presentación atomizada del número, mostrando los números de forma separada, como por ejemplo, en Alberola, Ayuso, Carril y Gómez (2000) se presenta: “El número 1. Cantidad, grafía”, “El número 2. Cantidad, grafía.”, etc. También en Fuentes y Pinar (2005) se dedican varias fichas a presentar el número 1 donde se pide “colorear las cestas donde hay 1 elemento”, “colorear los personajes que llevan una flor”, “repasar y escribir el 1 varias veces” y este proceso se repite para el 2, para el 3, etc. En general, en estos libros de texto se muestran los números bajo su forma definitiva, es decir, primero se presentan el número mediante su escritura definitiva y después se realizan ejercicios de aplicación, de manera que el alumno para responder ya sabe de antemano que la respuesta debe ser alguno de los números que han aparecido previamente. Por tanto, los números no surgen como respuesta a cuestiones, el alumno utiliza el número porque se indica previamente que hay que utilizarlo y no porque ha experimentado la necesidad de emplearlo para obtener un cierto resultado. Además, al presentar los números bajo su escritura definitiva la mayor parte de los alumnos acaban identificando el número con su escritura.




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Por ello, nuestra propuesta presenta el estudio del número de forma global, donde el conocimiento de los números, es decir, las distintas técnicas, primero no numéricas y luego numéricas, va a ir surgiendo como la mejor respuesta a los tipos de problemas planteados, así las técnicas irán evolucionando hacia técnicas más eficaces a medida que permiten resolver problemas más complejos. La gestión de la complejidad de los tipos de problemas la hemos llevado a cabo mediante las variables didácticas, que como ya hemos dicho, son la herramienta con la que el enseñante puede provocar que la técnica, que utilizaba hasta ahora el alumno, deje de ser eficaz y le obligue a buscar una nueva técnica más eficiente.

Para finalizar queremos subrayar que en este trabajo nos hemos limitado a presentar un proceso de estudio para que los alumnos puedan dar sentido a los primeros números en sus aspectos cardinal y ordinal. Queda pendiente la propuesta de otro proceso de estudio, que debería diseñarse de forma que desarrolle y complete el que hemos presentado aquí, que ayude a construir el número para calcular o para anticipar resultados y que igualmente deberá continuarse en la Educación Primaria.

Bibliografía

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Tomás Ángel Sierra Delgado. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad Complutense de Madrid (UCM). Doctor en Didáctica de las Matemáticas por la UCM. Ha impartido numerosos cursos de formación inicial y permanente sobre la enseñanza de las Matemáticas en la Educación Infantil y Primaria. Pertenece al Grupo de investigación en Teoría Antropológica de lo Didáctico: http://www.atd-tad.org/ Email: [email protected]

Esther Rodríguez Quintana. Maestra de Educación Infantil y Psicopedagoga, trabaja en el Departamento de Psicología Evolutiva y de la Educación de la Universidad Complutense de Madrid, formando, entre otros, a maestros y psicopedagogos. Pertenece al grupo de investigación en Teoría Antropológica de lo Didáctico: http://www.atd-tad.org Email: [email protected]



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Resolución de problemas para el desarrollo de la competencia matemática en Educación Infantil

Carlos de Castro Hernández (Universidad Complutense de Madrid) Elisa Molina Jiménez (Escuela Infantil Las Eras, Valdemorillo, Madrid)

Mª Luz Gutiérrez Segovia (Escuela Infantil Las Eras, Valdemorillo, Madrid) Sandra Martínez Foronda (Escuela Infantil Parque de Pozuelo, Pozuelo de Alarcón, Madrid)

Beatriz Escorial González (CEIP Virgen de Peña Sacra, Manzanares el Real, Madrid)

Artículo solicitado a los autores por la revista

Resumen Proponemos un taller de resolución de problemas aritméticos verbales para el desarrollo de la competencia matemática en la Educación Infantil. Nuestro planteamiento sobre la competencia matemática está basado en PISA, los estándares de procesos del NCTM, y es coherente con el currículo español de matemáticas. La competencia matemática implica resolver problemas, pensar, razonar y argumentar, comunicarse utilizando el lenguaje matemático, utilizar las representaciones y símbolos propios de las matemáticas, elaborar e interpretar modelos, y aplicar los conocimientos y procesos matemáticos a situaciones prácticas. Tras narrar dos sesiones del taller de problemas, en que los niños de 5 y 6 años resuelven problemas de estructura multiplicativa, argumentamos por qué este taller es un tipo de tarea que promueve el desarrollo de la competencia matemática.

Palabras clave Educación infantil, competencia matemática, procesos matemáticos, resolución de problemas, estructura multiplicativa.

Abstract Problem solving for the development of mathematical literacy in early childhood education. We propose a workshop of arithmetic word problem solving for the development of mathematical literacy in early childhood education. Our approach to mathematical literacy is based on PISA, the NCTM standards of processes, and is consistent with the Spanish curriculum of mathematics. Mathematical literacy involves solving problems, thinking, reasoning and argumentation, communicating using mathematical language, using the representations and symbols of mathematics, developing and interpreting models, and applying mathematical knowledge and processes to practical situations. After two sessions of the workshop, in which 5 and 6-year-old children solve multiplicative structure problems, we argue why this workshop is a task that promotes the development of mathematical literacy.

Keywords Early childhood education, mathematical literacy, mathematical processes, arithmetic problem solving, multiplicative structure.

1. Introducción: La competencia matemática en la Educación Infantil

En este trabajo planteamos una aproximación a la competencia matemática en la Educación Infantil a través de la propuesta de un taller de resolución de problemas. Comenzamos explicando cuál es nuestro planteamiento con respecto a la competencia matemática. Después, describimos el taller de resolución de problemas y narramos dos sesiones de dichos talleres llevadas a cabo con niños de 5 y 6

Resolución de problemas para el desarrollo de la competencia matemática en Educación Infantil C. de Castro Hernández, E. Molina Jiménez, M.L. Gutiérrez Segovia, S. Martínez Foronda y B. Escorial González


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años del CEIP Virgen de Peña Sacra, de Manzanares el Real (Madrid). Finalmente, trataremos de justificar por qué pensamos que nuestra propuesta favorece el desarrollo de la competencia matemática de los pequeños de Educación Infantil. Para empezar nuestro trabajo, partimos del currículo de la Educación Infantil (MEC, 2008), en el que se hace sólo una referencia implícita a la competencia matemática, al mencionar las competencias básicas:

El currículo pretende lograr un desarrollo integral y armónico de la persona en los distintos planos: físico, motórico, emocional, afectivo, social y cognitivo, y a procurar los aprendizajes que contribuyen y hacen posible dicho desarrollo, lo que sin duda facilitará que se den los primeros pasos en la adquisición de las competencias básicas cuya consecución se espera al final de la educación obligatoria (BOE, 5 enero 2008, p. 1016).

Este texto es fundamental en nuestros planteamientos, al indicar que las competencias básicas que deben desarrollarse son las mismas en la Educación Infantil, Educación Primaria y en la Educación Secundaria Obligatoria. La diferencia estriba en el grado de desarrollo que debe alcanzarse de estas competencias básicas en cada etapa, correspondiendo a la Educación Infantil, los “primeros pasos en la adquisición” de dichas competencias. Este planteamiento nos autoriza a buscar definiciones de competencia matemática en los currículos de otras etapas, dado que en el de la Educación Infantil no aparece tal definición. Así, en el currículo de Educación Primaria (MEC, 2007), la competencia matemática:

Consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral (MEC, 2007, p. 31493).

Esta definición de competencia matemática muestra la orientación funcional del currículo, al enfatizar la importancia de las matemáticas para resolver problemas de la vida cotidiana. Sin embargo, quedarnos en esta definición puede crear dificultades para el desarrollo del currículo. Pensamos que es adecuado contar con un esquema más desarrollado sobre la competencia matemática, para abordar el problema de la elaboración de propuestas matemáticas para el aula de Educación Infantil.

En la búsqueda de este esquema, hemos partido del trabajo sobre competencias matemáticas de Rico y Lupiáñez (2008). Estos autores indican que los planteamientos sobre la competencia matemática del actual currículo español son herederos de, o están notablemente influenciados por, documentos curriculares de gran relevancia internacional, como el Informe PISA 2003 (OCDE, 2005) o los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2003). Las competencias matemáticas propuestas en PISA muestran bastantes coincidencias con lo que el documento de Principios y Estándares llama “Estándares de procesos”. En la Tabla 1, tratamos de evidenciar el paralelismo entre competencias y estándares de procesos (en las dos primeras columnas). Además, en la tercera columna, hemos seleccionado y resumido párrafos extraídos de los currículos de infantil y primaria, a fin de mostrar que la visión de la competencia matemática de nuestro currículo es plenamente coherente con la de los documentos citados.

Una vez asumido el modelo esbozado en la Tabla 1 para la competencia matemática, debemos reflexionar hasta qué punto las competencias PISA o los estándares de procesos, o una mezcla de ambos, son puntos de referencia válidos para nuestras propuestas para la Educación Infantil. En este sentido, las competencias de pensamiento, razonamiento tienen clara aplicación en la Educación Infantil; la competencia de argumentación puede tener cabida, aunque de modo un poco más limitado. Sin embargo, pensamos que hablar de demostración en Educación Infantil está claramente fuera de




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Competencias PISA

Estándares de procesos (NCTM)

Competencia matemática en el currículo español (MEC, 2007; MEC 2008)

Pensamiento y razonamiento Razonamiento y

demostración

La competencia matemática implica procesos de razonamiento […] que permiten enjuiciar la validez de argumentaciones. Supone la habilidad de seguir procesos de pensamiento (inducción, deducción, etc.), y aplicar elementos de lógica, que conducen a identificar la validez de los razonamientos (MEC, 2007, pp. 31493-31494). Argumentación

Comunicación Comunicación La competencia matemática implica expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático (MEC, 2007, pp. 31494).

Construcción de modelos

Conexiones. Aplicar

matemáticas en contextos no

matemáticos

Se entienden así las matemáticas como un conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan […] obtener modelos e identificar relaciones y estructuras (MEC, 2007, pp. 31555). Los niños han de ser capaces de […] interpretar modelos, gráficos y algebraicos, identificando sus elementos más importantes y las relaciones o propiedades que se dan entre ellos; y por último, en un tercer nivel de competencia, […] crear modelos propios que conduzcan a la solución de los problemas (MEC, 2007, pp. 31566).

Representación y uso de

operaciones y lenguaje técnico,

simbólico y formal

Representación. Modelizar e interpretar

fenómenos físicos, sociales y

matemáticos

La competencia matemática consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los […] símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático (MEC, 2007, pp. 31493). Mediante la dificultad paulatina de los desafíos a los que deben enfrentarse, los alumnos consiguen formalizar y estructurar simbólicamente su conocimiento matemático (MEC, 2007, pp. 31564).

Planteamiento y resolución de

problemas

Resolución de problemas

Se observará la capacidad desarrollada para resolver sencillos problemas matemáticos de su vida cotidiana (MEC, 2008, p. 1025).

Tabla 1. La competencia matemática en PISA y en el currículo español y los estándares de procesos del NCTM

2. Un taller de resolución de problemas para el desarrollo de la competencia matemática

El taller de problemas lo llevamos desarrollando desde el curso 2005-2006 (De Castro y Escorial, 2007). Lo hemos experimentado con niños de 4 y 5 años (De Castro, Pastor, Pina, Rojas y Escorial, 2009; Núñez, De Castro, Del Pozo, Mendoza y Pastor, 2010) y en las clases de 5 y 6 años (De Castro y Escorial, 2007; De Castro, Walsh, Del Coso, Salvador, González, Escorial, 2009). Estamos convencidos de que no es un tipo de actividad adecuado para niños menores de 4 años.

Al principio, el taller comenzó como un intento de aplicar en España, en un aula de 5-6 años, los principios de la Instrucción Cognitivamente Guiada (Carpenter, Fennema, Franke, Levi y Empson, 1999). En este enfoque, los niños resuelven problemas aritméticos verbales sin enseñanza previa, empleando cualquier recurso a su alcance, inventando sus propias estrategias de resolución, y poniéndolas en común. Poco a poco, fuimos modificando el taller. Por ejemplo, al plantearnos aplicarlo a niñas y niños de 4 y 5 años, hicimos que los enunciados de los problemas estuviesen basados en libros infantiles ilustrados, que los niños conociesen de antemano, para garantizar la



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comprensión de los enunciados. Aquí aplicamos una idea de la Educación Matemática Realista (EMR), tan bien descrita en el siguiente párrafo:

Por una parte, el adjetivo realista concuerda definitivamente con la forma de ver la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas dentro de la EMR, pero por la otra, este término también puede dar lugar a confusión. En holandés, el verbo zich realisieren significa “imaginar”. En otras palabras, el término realista se refiere más a la intención de ofrecer a los estudiantes situaciones problema que ellos puedan imaginar […], que a la “realidad” o autenticidad de los problemas. Sin embargo, esto último no significa que la relación con la vida real no sea importante. Sólo implica que los contextos no están necesariamente restringidos a situaciones de la vida real. El mundo de fantasía de los cuentos de hadas, e incluso el mundo formal de las matemáticas, son contextos idóneos para problemas, siempre y cuando sean “reales” en la mente de los estudiantes. (Van den Heuvel-Panhuizen, 2009)

Así, la idea era que al utilizar cuentos, y enunciados basados en los mismos, los pequeños podrían imaginarse la situación descrita en el enunciado del problema para, a continuación, representarla con objetos y resolver el problema empleando el conteo. Este tipo de trabajo se describe en De Castro, Walsh y otros (2009), en que niñas y niños resuelven un problema de comparación multiplicativa gracias al cuento “El doble de todo”, que proporciona una idea clara sobre el doble a los niños de 5 y 6 años. La inclusión de la literatura infantil tenía además la virtud de dar un carácter más interdisciplinar al taller. Los participantes teníamos la sensación de que, partir de cuentos en nuestros talleres, reforzaba la idea de que el tipo de actividad propuesta se adecuaba al desarrollo y a los intereses infantiles. Finalmente, el último elemento que incorporamos al taller fue la “inmersión” del problema en una situación de comunicación. En cada clase, una persona muy cercana a los pequeños era quien nos traía el problema y nos pedía ayuda para resolverlo. Esta innovación ha sido la primera realizada con la idea de mejorar el desarrollo de la competencia matemática, según la conceptualizamos en este trabajo. Como trataremos de ilustrar más adelante, pensamos que esta propuesta aumenta las posibilidades de que los niños y niñas comuniquen sus estrategias, las expliquen y las defiendan elaborando sus propias argumentaciones.

3. Narración de la primera sesión: Un problema de multiplicación

El taller de resolución de problemas comienza con la lectura del cuento “Por cuatro esquinitas de nada” (Ruillier, 2012) en la asamblea (Figura 1, izquierda). Con el cuento comienzan las risas, los comentarios, y las posibles soluciones que encuentran los niños para que “Cuadradito” entre por la puerta redonda, para estar con sus amigos los “redonditos”. La propuesta más curiosa fue que “a Cuadradito le cortasen las esquinitas, pero con mucho cuidadito”, a lo que Bea responde: “¿Te imaginas que, con mucho cuidadito, te cortásemos la oreja? Te dolería mucho”. Después, se lee el problema que ha enviado Isa (maestra de apoyo de los niños los dos cursos anteriores). Bea repite el enunciado varias veces: “Si Cuadradito tiene cuatro esquinitas, ¿cuántas esquinas tienen tres cuadrados?” Tras la lectura, comienza una lluvia de respuestas posibles, entre las que destacan dos respuestas correctas. Aurora cuenta con los dedos y dice emocionada: ¡Son doce! Ya en la zona de trabajo (Figura 1, centro), Bea comprueba si los pequeños recuerdan el enunciado. Elena lo repite con sus propias palabras y Bea lo vuelve a leer, para asegurarse de que no se le olvide a nadie. Durante la sesión, recogemos las hojas de trabajo de los niños, tomamos fotos, grabamos vídeo, conversaciones con una grabadora, rellenamos hojas de registro y tomamos notas. Tras la sesión, solemos pedir que nos dé sus impresiones la maestra de aula y hacemos una primera valoración “en caliente”. En la Figura 1 (derecha), vemos que los niños disponen de materiales como la banda numérica, los centicubos, o el rekenrek (ábaco holandés diseñado para la iniciación en el cálculo mental).




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Figura 1. Lectura del cuento en la asamblea y trabajo individual en las mesas

Aurora, que ya en la asamblea había dado inmediatamente la respuesta de 12, se ve incapaz, al pasar a la zona de trabajo, de explicar cómo ha alcanzado el resultado, limitándose a colocar 12 bolitas en el rekenrek y a contarlas. Pedro experimenta cierta confusión al intentar contar esquinas de cuadrados en tres cubos encajables. Por una parte, el hecho de que el cubo tenga seis caras cuadradas permite que los pequeños dispongan de cuadrados. El problema es que a muchos niños les cuesta contar sólo las esquinitas de tres cuadrados, perdiéndose en el conteo entre los vértices de los tres cubos. Bea aprovecha esta dificultad de Pedro para implicar a Martín en la conversación:

Bea: ¿Qué figura es está Martín? [Mostrándole un cubo encajable delante de Pedro]. Martin: Eso es un cubo.

Bea explica a Pedro que un cubo tiene varias caras cuadradas y que, si quiere averiguar las esquinas de tres cuadrados, debe utilizar sólo tres cuadrados. Pedro parece comprender bien la explicación y cuenta sólo las esquinas de una de las caras de cada cubo (Figura 2, izquierda).

Figura 2. Estrategias de Pedro y Elena

Elena dice que la respuesta es ocho (Figura 2, derecha). Cuando Bea se acerca y le pide que se lo explique, ella misma se da cuenta que ha contado mal las esquinas de los cuadrados dibujados y vuelve a contarlos llegando esta vez a 16 (Figura 2). Bea pregunta a Elena cuántos cuadrados hay; Martín interrumpe indicando que hay tres, pero Elena responde que están Cuadradito y tres amigos. Esta misma interpretación del problema fue asumida por otros compañeros, de modo que al final se dieron por válidas las respuestas de 12 o 16 indistintamente.

Martín halla la solución sin ninguna dificultad juntando tres cubos encajables y contando esquinas. Bea, al comprobar que ha comprendido a la perfección el problema, le anima a hacerlo con otro material. En cuestión de segundos lo representa con el ábaco, siguiendo la misma estrategia: coloca tres bolitas y cuenta cuatro “esquinas imaginarias” en cada una de ellas (Figura 3, izquierda). Después resuelve mediante un dibujo (Figura 3, derecha).



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Figura 3. Dos momentos del trabajo de Martín

David también llega a la solución de 16, explicando que son Cuadradito más tres amigos (Figura 4, centro). Belén junta cuatro cubos encajables y cuenta las 16 esquinas (Figura 4, izquierda). Amina utiliza centicubos de un modo peculiar. Agrupa los centicubos de cuatro en cuatro formando barras, sin tratar de imitar la forma de un cuadrado (Figura 4, derecha). Es la típica “estrategia de agrupamiento”, y su originalidad radica en que Amina la ha utilizado como si representara grupos formados por cuatro objetos, más que objetos (cuadrados) con cuatro elementos especiales (vértices).

Figura 4. Explicación de Belén, dibujo de David, y explicación de Amina

Manuel resuelve el problema con dos materiales. En primer lugar, dibujando tres cuadrados y contando sus esquinas (Figura 5, izquierda). Después, separando tres cuentas en el rekenrek y contando “esquinas imaginarias” (Figura 5, centro y derecha). Curiosamente, no es capaz luego de resolver el problema con cubos encajables, experimentando la misma dificultad de otros compañeros de contar esquinas de más en los cubos. Llama la atención que sí pueda contar cuatro esquinas en una cuenta esférica, y no lo consiga con un cubo, eligiendo como cuadrado una de sus seis caras.

Figura 5. Manuel cuenta esquinas en el dibujo y… ¡En las cuentas del rekenrek!

Nerea utiliza el rekenrek representando en él los datos del problema como si fueran dos cantidades no relacionadas entre sí. Es decir, representa, en el lado derecho del rekenrek, cuatro




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esquinas mediante cuatro cuentas. Después, en la varilla inferior, tres cuentas representan los tres cuadrados (Figura 6, izquierda). Después, para nuestra sorpresa, cuenta las bolitas que han quedado en la parte izquierda del rekenrek, para dar una respuesta de 13 (Figura 6, derecha). Evidentemente, es un procedimiento desprovisto de sentido, al menos para los adultos. Lo que nos resultó más curioso al comprender el procedimiento utilizado por Nerea, fue pensar que su resultado estaba tan cerca del correcto (12) que su error podría haberse confundido con un desliz en el conteo habiendo seguido una estrategia básicamente correcta. Afortunadamente, el tipo de seguimiento que hacemos del trabajo de cada niño en el taller, nos permite aproximarnos con bastante detalle a su modo de razonar los problemas. Andrea da una respuesta parecida a la de Nerea. Coloca 3 cubos encajados en fila y otros cuatro cubos aparte. Cuenta el total y dice que hay 7 esquinas, sumando 3 cuadrados y 4 esquinas.

Figura 6. Nerea con el rekenrek

Álvaro resuelve correctamente el problema dibujando los tres cuadrados y contando las esquinas. Al explicar el problema indica que salen doce esquinas, pero en su hoja aparece escrito un “20”. Le pedimos que fuera al calendario a buscar como se escribe el doce y lo copia varias veces en su hoja para que no se le olvide (Figura 7).

Figura 7. Álvaro ensaya el 12 final tras equivocarse poniendo 20

En la asamblea, Bea dice a los niños que han estado pensando mucho y muy bien; que algunos lo han resuelto y otros no, pero que no pasa nada si no ha salido bien, y que es muy importante intentarlo. Este es el momento de ver cómo lo han resuelto los compañeros y aprender de ellos. Marcos J. sale a la pizarra para explicar el problema y vuelve a dibujar los tres cuadrados que había copiado de Guillermo durante la sesión y a contar las esquinas (Figura 8, izquierda). Adrián y David emplean la misma estrategia de Marcos, con la peculiaridad de que Adrián opta por una representación manipulativa en la que junta cubos encajables para formar cuadrados “grandes”. David explica correctamente el problema con su dibujo (Figura 8, derecha), pero escribe como solución 26 en lugar de 16. Guille le aclara que el dieciséis se escribe con “un uno y un seis, porque si no, pone veintiséis”.



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Figura 8. Marcos, Adrián y David en la puesta en común de la primera sesión

Después de recoger la clase y desayunar, los niños escriben las cartas. Si indicar el resultado obtenido y explicar la estrategia empleada son ya tareas complicadas para niños de 5 y 6 años, escribir la carta lo es más todavía, pues debemos recordar que los pequeños están iniciándose en la lectoescritura. En la Figura 9 vemos dos de las cartas enviadas a Isa. Como algunos niños han interpretado que el enunciado preguntaba por Cuadradito y otros tres amigos, se ha optado por aceptar dos respuestas válidas: 12 (Figura 9, derecha) y 16 (Figura 9, izquierda).

Figura 9. Cartas de David y Aurora y Nerea para Isabel al final de la primera sesión

4. La segunda sesión: Un problema de división agrupamiento

El enunciado del problema que se plantea esta semana está también basado en el cuento “Por cuatro esquinitas de nada”. A estas alturas, los niños lo conocen casi de memoria de modo que, en vez de volverlo a leer, se hace un pequeño resumen para la clase con ayuda de Álvaro. La motivación para los pequeños sigue siendo la misma: Isa les ha pedido ayuda para que resuelvan el problema y así poder explicárselo a sus alumnos de Soto, que no han sabido hacerlo. Bea les dice que Isa les agradece las cartas enviadas de la sesión anterior. Aunque señala que todas le ayudaron mucho, le gustó especialmente la de David (Figura 9, izquierda), porque le explica cómo ha hecho el problema, y no sólo la solución. Al leer el problema, algunos niños intervienen:

Bea: Si en la casa grande hay varios cuadraditos, no un cuadradito como en el cuento... Si en la casa grande hay varios cuadraditos, y en total hay veinte esquinas, ¿Cuántos cuadraditos hay?

Niño 1: Veinte. Ya lo has dicho. Bea: No. Veinte esquinas, no veinte cuadraditos. Acuérdate que un cuadradito tiene cuatro

esquinas. Niño 2: Y… ¿Cuántos cuadraditos? Bea: Eso es lo que tienes que adivinar. ¿Cuántos cuadraditos hay? Son veinte esquinas, y un

cuadradito tiene cuatro. Tienes que adivinar cuántos cuadraditos hay. Niño 3: Tengo que dibujar.




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Bea: Entonces, escuchad bien el problema, a ver si lo entendemos. En la casa grande han entrado varios cuadraditos. Si en total hay veinte esquinas, ¿Cuántos cuadraditos hay?

Todos los niños van pasando a la zona de trabajo donde disponen de varios materiales para intentar resolver el problema (papel, cubos encajables, rekenreks, una banda numérica pegada en la mesa, etc.). Manuel es el primero en terminar. Dibuja cuadrados y va contando esquinas, deteniéndose al concluir el quinto cuadrado. Al terminar tan rápido, le sugerimos que resuelva el problema con otro material. Este segundo intento resulta una “seudoresolución”, pues Manuel ya conoce la solución del problema. El objetivo que nos planteamos es ver si los alumnos son capaces de representar el enunciado de un problema con diferentes materiales. Es una especie de ejercicio de traducción entre sistemas diferentes de representación. El material preferido por Manuel es el rekenrek, aunque con él, sólo es capaz de representar el resultado ya conocido (5), y no el proceso de resolución. Aunque hemos visto niños contando “esquinitas imaginarias” en cada cuenta esférica del rekenrek, haciendo como si fueran cuadradas, no es de extrañar que a muchos niños les suponga un salto insuperable.

Figura 10. Tres momentos en la estrategia de Guillermo

El segundo en terminar el problema es Guillermo. Dibuja esquinas hasta llegar a veinte. Después, escribe “5” como solución (Figura 10, centro). Bea le pide que se lo explique y Guillermo vuelve a dibujar bajo la solución las veinte esquinas (Figura 10, derecha). Esta vez, quizá para que entendamos cómo lo ha hecho, separando las esquinas de cuatro en cuatro mediante líneas. Esta forma de representar las esquinas, también utilizada por Álvaro, nos resulta verdaderamente curiosa. Estos niños no dibujan esquinas en cuadrados, sino esquinas separadas unas de otras, de modo que no parecen elementos de un cuadrado, sino objetos independientes.

Figura 11. Tres momentos del trabajo de Nerea

Nerea es la siguiente en terminar. Dibuja seis cuadrados y, al contar las esquinas, le salen veinticuatro (Figura 11, izquierda). Bea le recuerda que no había veinticuatro esquinitas, sino veinte. A los pocos minutos, Nerea avisa a Bea de nuevo. Lo ha vuelto a dibujar y ahora le salen cinco cuadraditos (Figura 11, centro). Nerea estaba sentada junto a Manuel y pensamos que pudo copiar su



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segundo intento de él. Después, representa el problema con cubos encajables, formando una barra de 5 cubos, y comprueba que hay 20 esquinas considerando las de 5 cuadrados (Figura 11, derecha).

Figura 12. Marcos G. contando las esquinas de los cuadrados

Marcos G. avisa a Bea para decirle que ha terminado. Ha representado cinco cuadrados con las esquinas resaltadas, para llevar la cuenta con mayor facilidad (Figura 12). También pensamos que ha copiado su dibujo de Manuel. Ambos están sentados juntos y Marcos tiene dificultades en el conteo de cantidades de 20 objetos. Por esta razón pensamos que no es fácil que haya resuelto sólo el problema.

Figura 13. Lucía A. con su dibujo

Lucía A. avisa a Bea. En su dibujo inicial tiene 7 cuadraditos pegados cada uno a continuación de otro (Figura 13). Esto dificulta notablemente llevar la cuenta de las 20 esquinitas, pues cada dos cuadrados pegados comparten dos de sus vértices. Bea indica a Lucía que tener los cuadraditos tan juntos es un problema y que así no va a poder explicarlo bien. Lucía, por indicación de Bea, vuelve a dibujar los cuadrados un poco más separados, debajo de su dibujo inicial, mientras lleva la cuenta de las esquinas. Esta vez, el resultado es correcto (Figura 13).

Figura 14. Estrategia de Marcos y detalle de su dibujo




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Marcos J. dibuja 13 cuadrados. Parece actuar un poco por ensayo y error. Se pone a contar esquinas y pasa de 20, porque hay demasiados cuadrados. Bea le recuerda que sólo hay 20 esquinas en la casa grande. Entonces, Marcos se da cuenta de que le sobran cuadrados. Cuenta esquinas hasta llegar a las veinte que hay y separa mediante una línea vertical los cuadrados que le sirven de los que no (Figura 14). Al concluir dice que hay 5 cuadrados, aunque después anotaría un “20” como respuesta (Figura 14), que corresponde a uno de los datos del problema.

Figura 15. Martín resolviendo con un dibujo y con cubos encajables

Martín dibuja 20 puntos que representan las veinte esquinitas del enunciado. Va haciendo los puntos cuidadosamente formando configuraciones, como en un dado, situándolos como vértices de cuadrados imaginarios (Figura 15, izquierda). Una vez termina, une los puntos para dibujar los lados de los cuadrados, y cuenta los cuadrados. Aunque dijo que la solución era de 5 cuadrados, quiso escribir el número de esquinas, confundiendo el 12 con el 20 (Figura 15, centro). Al advertir el fallo, Bea le recomienda que vaya a mirar el calendario a buscar el número que necesita1. Las intervenciones de la maestra son indirectas. Nunca da a los niños una solución que éstos puedan encontrar por sí mismos. Dado que Martín acaba muy rápido, Bea le sugiere que haga el problema con otro material. Martín junta cinco cubos encajables y cuenta las esquinas de cinco de las caras de los cubos (Figura 15, derecha), comprobando que la solución anteriormente encontrada era correcta.

Figura 16. Tres momentos del trabajo de Pedro

Al lado de Martín, Pedro utiliza una estrategia similar. Comienza a dibujar esquinas, colocadas formando cuadrados, pero a partir de la novena esquina empieza a colocarlas de forma que no resulta evidente la reconstrucción de los cuadrados de que forman parte (Figura 16, izquierda). Una vez termina las 20 esquinas, dibuja los cuadrados. A partir del segundo cuadrado, y dado que el diseño de

1 En esta clase (5 y 6 años), los niños acaban el curso leyendo y escribiendo numerales hasta el 30. Esto lo hacen trabajando con el calendario, jugando al bingo, buscando páginas de un libro, etc. El instrumento principal para pasar de la forma oral “veinte” a la forma escrita con cifras “20” es la banda numérica, o el calendario. Dado que todos los niños saben que el “1” se lee “uno”, comienzan a contar casillas en el calendario o en la banda numérica, emparejando las formas escritas y habladas de cada numeral. Esto permite poner “nombre” a la escritura con cifras, y saber escribir con cifras un numeral del que conocemos sólo la pronunciación.



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las demás esquinas no lo favorece, Pedro deja de hacer cuadrados grandes, uniendo cuatro esquinas, para formar cuadrados pequeños, cada uno sobre una de las esquinas iniciales (Figura 16, centro). Esto hace que salgan demasiados cuadrados. A la hora de explicar su proceso, se queda bloqueado. Bea le sugiere que comience de nuevo y Pedro elabora el dibujo que aparece en la Figura 16 (derecha), más simple que el inicial, con el que consigue llegar a la solución.

Elena resuelve el problema igual que Martín y Pedro. Al explicárselo a Bea, ante la dificultad que le supone, se pone nerviosa, se agobia, y se bloquea. En la Figura 17 (izquierda), Bea anima a Elena a explicarlo después de mostrarle su apoyo y conseguir que se tranquilice. Como vemos en la Figura 17 (centro y derecha), Elena ha comprendido perfectamente el problema e, igual que sus compañeros, ha sido capaz de ir produciendo vértices (esquinas) estratégicamente situados, a fin de completar después los cuadrados pertinentes.

Figura 17. Bea ayuda a Elena a resolver el problema

Aurora dibuja 6 cuadrados, cuenta las esquinas y cuando llega a 20 separa con una línea el cuadrado que le sobra, indicando claramente que la solución es 5 (Figura 18, izquierda). Esta estrategia fue utilizada por otros compañeros dibujando siempre inicialmente más cuadrados de los necesarios y eliminando o separando, después de contar 20 vértices, los cuadrados que finalmente sobraban. Al pedirle que lo hiciera con otro material, cogió el rekenrek e imitó su estrategia inicial tomando 6 cuentas (cinco blancas y una roja, Figura 18, a la derecha) y separando después la bola roja.

Figura 18. Aurora resolviendo mediante un dibujo y con el rekenrek

Oscar copió el dibujo de Aurora, haciendo 6 cuadrados y separando uno de ellos (Figura 19, izquierda). Al advertir esta circunstancia, y ante su incapacidad de explicar cómo lo ha hecho, Bea se sienta a su lado y mantiene con él la siguiente conversación:

Óscar: Es que si pongo un 5, me salen 6. Bea: A ver. Si tú nunca intentas resolver los problemas con folios. Siempre lo haces o con

multilink, o con centicubos, o con el rekenrek... A lo mejor hoy utilizar el papel te está




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liando. Olvídate del papel, porque te estás acordando de lo que ha hecho Aurora y no lo has entendido. Inténtalo con otro material. ¿El rekenrek, multilink?

Óscar: Multilink.

Después, Bea le recuerda el enunciado del problema. A continuación, Óscar coge los cubos encajables (Multilink) y dice que le salen 6. Bea, extrañada, le pregunta dónde están las 20 esquinitas. Óscar coge más cubos formando una barra de 5 cubos y otra de 6 (Figura 19). Bea pregunta de nuevo por las 20 esquinitas y Óscar se pone a contar esquinas en la barra de 6 cubos, dándose cuenta de que le sobra un cubo. Óscar se había empeñado en hacer lo mismo que Aurora, pero lo copiaba sin llegar a comprenderlo. Parece que esta fue la causa de sus dificultades.

Figura 19. Diferentes momentos del trabajo de Oscar y explicación a Bea

Amina ha estado toda la sesión trabajando. Ha dibujado varios cuadrados en su hoja, pero no ha llegado a la solución. En ningún momento ha dejado el trabajo para ponerse a jugar (Figura 20, derecha). No todos los niños son capaces de resolver los problemas que planteamos. No son problemas fáciles. Nosotros esperamos que intenten resolverlos y que se fijen en la puesta en común en cómo lo resuelven sus compañeros, pues ese es el único momento de la sesión en que se produce “enseñanza” sobre la resolución de problemas.

Gema al principio forma el contorno de 3 cuadrados utilizando un montón de cubitos encajables para ello. La suya es una estrategia que carece de la eficiencia de la de otros compañeros, que han hecho básicamente lo mismo, pero con mayor rapidez y con representaciones más sencillas. Al principio, forma sólo 3 cuadrados (Figura 20, izquierda), pero después, al hablar con Bea durante la sesión, comprueba que le faltan aún esquinas y cuadrados, se queda pensando un rato, y finalmente construye los dos cuadrados que le faltan (Figura 20, derecha).

Figura 20. Gema forma cuadrados con cubos y Amina explica el resultado a Bea

Ya en la puesta en común, la primera en salir a explicar su estrategia es Nerea. En el trabajo individual, parecía haber resuelto el problema copiando de Manuel, pero se nota que comprende perfectamente la estrategia desarrollada su compañero y, como muestra de ello, pide salir voluntaria a



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explicarla. Utiliza la pizarra y va contando esquinas, a medida que dibuja los cuadrados, hasta llegar a 20 esquinas y 5 cuadrados (Figura 21, izquierda).

También interviene en la asamblea Gema poniendo en el suelo, a la vista de todos, los cinco cuadrados que ha construido con los cubos encajables. Después, cuenta en voz alta las esquinas y muestra a sus compañeros que son cinco (Figura 21, centro). Belén hace lo mismo, a continuación, empleando sus cuadrados formados por cuatro cubos cada uno (Figura 21, derecha). Mientras Belén está en la asamblea, Bea intenta, llamando la atención de los niños sobre aspectos clave del problema y dialogando con ellos, que todos comprendan el procedimiento de Belén. En todo momento, tratará de complementar la explicación dada por Belén. Escuchamos la siguiente conversación:

Figura 21. Contando esquinas en la puesta en común

Bea: ¡Mirad lo que ha hecho Belén! Niña 1: Cuadrados. Bea: ¿Y con cuántos Multilink cada cuadrado? Niña 2: Con cuatro. Bea: ¿Y por qué? Niño 1: Por cuatro esquinitas. Bea: Belén, cuéntanos. ¡Mirad! Ha construido cuadrados. ¿Con cuántas esquinas?

[Preguntando esta vez a Belén] Belén: Con cuatro. Bea: Belén ha construido cuadrados con cuatro esquinas cada cuadrado y entonces ha contado

hasta veinte esquinitas. ¿Cuántos te salen? Belén: Uno, dos, tres, cuatro y cinco. Cinco. Bea: Cinco. ¡Genial!

Figura 22. Guillermo dibuja las esquinas y después las agrupa de 4 en 4

Después, Guillermo sale a la pizarra para explicar su estrategia (Figura 22) y se produce la siguiente conversación:

Bea: ¿Qué has dibujado?




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Guille: Esquinas. Bea: ¿Cuántas? Guille: Veinte. Bea: ¿Cómo lo sabes? Guille: Las cuento. Uno, dos, tres,…, diecinueve y veinte [Cuenta en voz alta]. Bea: Y ahora… ¿Qué haces? Guille: Uno, dos, tres y cuatro. Bea: Cuenta cuatro y pone una raya, porque es un cuadrado [Completando la parte de la

explicación que Guille no da]. Guille: Uno, dos, tres y cuatro. Bea: Cuenta otros cuatro y raya. Guille: Uno, dos, tres y cuatro. Uno, dos, tres y cuatro, y uno, dos, tres y cuatro. Bea: ¿Veis? Cuenta uno, dos, tres y cuatro, raya. Uno, dos, tres y cuatro, raya. Uno, dos, tres y

cuatro, raya. Uno, dos, tres y cuatro, raya, uno, dos, tres y cuatro. ¿Y cuántos te salen? Guille: Cinco.

Como vemos, se trata de la estrategia de modelización directa llamada “estrategia de medida”. Guillermo comienza a dibujar 20 esquinas, debajo de los cuadrados dibujados por Nerea, y los va agrupando de cuatro en cuatro. Así, cada grupo, separado por líneas verticales, representa un cuadrado (Figura 22). Cuando termina de explicar su estrategia, se recoge la clase, los materiales, y los pequeños almuerzan. Después, comienzan a escribir las cartas para responder a Isa (Figura 23). En la puesta en común, todos han coincidido en que salen cinco cuadrados.

Figura 23. Carta final para Isa

5. Reflexionando sobre la experiencia: El desarrollo de la competencia matemática a través del taller de resolución de problemas

En esta sección final del artículo queremos explicar por qué pensamos que el taller de resolución de problemas, que venimos utilizando con niños de 4 a 6 años desde el curso 2005-06, y que acabamos de describir, es un tipo de actividad adecuada para el desarrollo de la competencia matemática en la Educación Infantil. Para articular esta reflexión, vamos a ir revisando uno por uno los procesos y las habilidades implicados en el desarrollo de la competencia matemática (según los planteamientos expuestos en la introducción), explicando como aparecen necesariamente implicados y se desarrollan en diferentes momentos del taller.

Comenzamos por el pensamiento y el razonamiento. Como hemos mostrado en la narración de las dos sesiones del taller, planteamos a niñas y niños de 5 y 6 años problemas de estructura multiplicativa; en particular, un problema de multiplicación y otro de división agrupamiento o medida. La multiplicación no aparece formalmente hasta segundo curso de Educación Primaria; la división, en tercero. Una de las características de nuestra forma de trabajar con problemas es que planteamos



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problemas que se resuelven multiplicando o dividiendo a niños que no verán la multiplicación hasta… ¡dentro de dos o tres años! ¿Cómo puede un niño resolver un problema de multiplicación o división años antes de estudiar estas operaciones en la escuela? La respuesta es sencilla: Sólo lo pueden hacer pensando y razonando. Los niños utilizan estrategias de modelización directa, muchas veces inventadas por ellos mismos y otras copiadas de compañeros, en las que imitan las acciones y relaciones que se describen en el enunciado con ayuda de objetos, dibujos o modelos como la banda numérica o el rekenrek. Después, casi siempre haciendo uso de sus habilidades de conteo, consiguen alcanzar una solución al problema. Todo esto se da en una situación en la que el maestro o la maestra no enseñan estrategias. El uso de objetos o materiales en las estrategias de modelización está basado en el razonamiento analógico. El conocimiento que se genera en manipulación de objetos se transfiere a la situación descrita en el enunciado.

En cuanto a la comunicación, no queremos que pase desapercibido el carácter innovador de que la sesión de resolución de problemas esté inmersa dentro de una situación de comunicación. A veces nos referimos al taller como una especie de servicio de “consultoría” donde los pequeños, como “expertos”, se encargan de problemas. Alguien ajeno a la escuela escribe una carta a los niños y niñas de la clase pidiéndoles ayuda. Los pequeños deben dar respuesta a esta carta. En el trabajo escolar habitual de resolución de problemas, cada niño puede dar su solución del problema. La tarea puede ser individual o plantearse en pequeños grupos. Ahora bien, si la clase está obligada a responder a una carta en la que se les pide ayuda a todos, y la respuesta debe ser única, esto fuerza procesos de explicación de las soluciones, de argumentación, de negociación, que conducen al final a adoptar una única respuesta y estrategia como “oficiales” del grupo. Así, se produce comunicación a través de las cartas, pero también en las explicaciones que dan los niños a la maestra durante el trabajo en mesa, y durante la puesta en común al tratar de contar lo que se ha hecho a los compañeros. En un primer nivel, el objetivo de la comunicación (carta) es generar procesos de explicación y argumentación. En un segundo nivel, en la asamblea, la comunicación tiene una finalidad didáctica (que unos niños aprendan de otros) y orientada a la comprensión, al tratar de que los niños organicen y estructuren su pensamiento para que puedan elaborar explicaciones orales y escritas de sus estrategias.

La modelización es evidente en las estrategias de los niños y niñas dentro del taller. Las propias estrategias entran en una categoría denominada, en la literatura de resolución de problemas, “estrategias de modelización directa”, predominante en la Educación Infantil (antes de que los pequeños pasen, en Educación Primaria, a estrategias más eficientes de conteo y uso de hechos numéricos). La característica fundamental de la modelización directa es que, para cada objeto citado en el enunciado del problema, hay otro objeto que lo representa en el modelo elaborado por el niño para resolver el problema. Por ejemplo, si el enunciado habla de cuatro caballos, el niño puede utilizar cuatro dedos, cuatro marcas en el papel, etc. Dentro de la modelización directa, hemos visto diversas variantes de la estrategia de agrupamiento, típica de la multiplicación, y de la estrategia de medida, habitual en la división. Además de esto, cabe destacar el uso, por parte de los niños, de varios modelos concretos que utilizamos con fines didácticos para ayudar a los pequeños en su proceso de resolución. Entre estos modelos destacamos el rekenrek, como modelo visual con el que se desarrolla la subitización conceptual para proporcionar un acceso visual que favorezca el aprendizaje de técnicas de cálculo mental y el aprendizaje de hechos numéricos, y la banda numérica, como modelo que ayuda a pasar de las estrategias de modelización a las de conteo, y a leer y escribir numerales.

La representación y el uso de lenguaje técnico y simbólico se aprecian tanto en los procesos de resolución, y en las hojas de trabajo, como en las cartas finales escritas por los pequeños a Isabel. Resulta muy interesante observar que los niños suelen utilizar representaciones icónicas de los números para resolver el problema, simbólicas con cifras, para expresar la solución (ambos tipos de representación, por ejemplo, en Figura 22, derecha), y simbólicas con letras, para comunicar la solución en la carta (Figura 9, derecha). Resolver, expresar y comunicar son tres contextos distintos para la acción de los niños, a los que corresponden tres tipos de representación numérica diferentes.




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La resolución de problemas es el eje vertebrador del taller. Si volvemos la mirada al currículo (en este caso, de Educación Primaria), vemos el siguiente ítem de evaluación:

En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas (MEC, 2007, pp. 31564).

Este párrafo podría utilizarse como una fiel descripción del trabajo que hacen los pequeños de 4 a 6 años en nuestros talleres. Los niños anticipan soluciones razonables, nada más escuchar el enunciado del problema, cuando todavía están sentados en la asamblea. Después, en el trabajo en la mesa, utilizan distintas estrategias con diversos materiales. Finalmente, expresan oralmente (durante la puesta en común) y por escrito (en la carta de respuesta), los procesos seguidos en la resolución del problema. A pesar de que el párrafo anterior se refiere a la Educación Primaria, hemos diseñado los talleres, en todos sus detalles, para configurar una práctica adecuada al desarrollo de las niñas y niños de Educación Infantil. En nuestros planteamientos, huimos de falsas dicotomías como la que se plantea al intentar hacernos elegir entre una escuela infantil “verdaderamente infantil” y otra que prepara para la Educación Primaria. Tratamos de defender la idea de que una buena Educación Infantil no anticipa contenidos de Primaria, pero sí prepara para cualquier etapa educativa posterior.

Para terminar, queremos enmarcar este trabajo dentro de una iniciativa más amplia. Nuestro objetivo es el desarrollo del currículo matemático infantil de 0 a 6 años. En la revista “Números”, hemos publicado experiencias en las que mostramos cómo niños y niñas de Educación Infantil pueden aprender matemáticas trabajando por proyectos (De Castro, González y Escorial, 2009) o a través del juego de construcción (Escorial y De Castro, 2011). Utilizando palabras de Rico y Lupiáñez (2008): “la Ley de Educación de 2006 es un proyecto de futuro con unos principios utópicos a los que hay que aproximarse mediante su articulación en propuestas prácticas” (p. 24). Esta es una buena forma de describir nuestra línea de trabajo de desarrollo curricular. La estrategia que seguimos es tomar como punto de partida formas de trabajo reconocidas en la Educación Infantil, como los proyectos, los talleres (de problemas, o de juegos matemáticos), el trabajo por rincones o el juego (de construcción). A partir de ellas, vamos afinando este tipo de propuestas con la mirada puesta en la promoción del desarrollo de las competencias matemáticas (pensar, razonar, argumentar, comunicar, modelizar, representar, resolver problemas…) y sin perder de vista los contenidos matemáticos y objetivos específicos adecuados para cada edad, según las aportaciones de las investigaciones sobre Educación Matemática Infantil.

Bibliografía

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Carlos de Castro Hernández, nacido en Madrid (España), es profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Complutense de Madrid (UCM). Licenciado en Matemáticas por la UCM, y doctor en Didáctica de la Matemática por la Universidad de Granada, tiene como líneas de investigación la Educación Matemática Infantil y el Pensamiento Numérico. E-mail: [email protected]

Elisa Molina Jiménez, Maestra de Educación Infantil. Escuela Infantil Las Eras, Valdemorillo, Madrid. E-mail: [email protected]

Mª Luz Gutiérrez Segovia, Maestra de Educación Infantil. Escuela Infantil Las Eras, Valdemorillo, Madrid. E-mail: [email protected]

Sandra Martínez Foronda, Maestra de Educación Infantil. Escuela Infantil Parque de Pozuelo, Pozuelo de Alarcón, Madrid. E-mail: [email protected]

Beatriz Escorial González es maestra especialista en Educación Infantil en el CEIP Virgen de Peña Sacra de Manzanares el Real (Madrid, España). E-mail: [email protected]



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Ahí empieza todo. Las matemáticas de cero a tres años

Mequè Edo i Basté (Universitat Autònoma de Barcelona)

Artículo solicitado a la autora por la revista

Resumen Este artículo se centra en aprendizajes matemáticos que los niños menores de tres años pueden realizar. Cuando los niños de las primeras edades buscan regularidades y pautas en su entorno, caracterizan objetos y/o establecen relaciones entre ellos para crearse un orden de lo que perciben; están construyendo las estructuras mentales iniciales que seguirán presentes a lo largo de todo el proceso de enculturación matemática. En el artículo se describen cuatro situaciones didácticas, propias de estas edades: el cesto de los tesoros, el juego heurístico, las bandejas de experimentación y las transformaciones de espacios. Para cada caso se señalan las principales relaciones con las matemáticas.

Palabras clave Educación matemática; educación infantil; etapa 0-3 años; situaciones didácticas, experimentación y descubrimiento.

Abstract This article focuses on the mathematical learning that children under three years may carry out. When such children serch for regularities and patterns in their environment, they characterize objects and/or establish relationships among them, to self-create an order of what they are perceiving; they are building up the initial mental structures that will keep present throughout the process of mathematical enculturation. The article describes four common didactical situations in these ages: the treasures basket, the heuristic play; the experimentation trays and spaces transformation. For each case, the main relationships with the mathematics are attended.

Keywords Mathematics education, early childhood education, 0 to 3 year-old; didactical situations, experimentation and discovery.

1. Introducción

Si preguntamos a alguien, ajeno al mundo de la educación, cuándo se inician los primeros aprendizajes relacionados con las matemáticas suelen responder a los 6 años, o quizás a los 3, pero casi nunca se contemplan las edades anteriores. Por el contrario, los profesionales de este campo sabemos que hay determinadas actividades, materiales y experiencias que, si se ofrecen a los niños menores de tres años, inciden positivamente en la creación de las estructuras mentales básicas sobre las cuales se va a construir todo el conocimiento matemático posterior.

Esta relación entre determinadas situaciones didácticas y el inicio del conocimiento matemático será aceptada o no, según la concepción que se tenga sobre qué es el conocimiento matemático. Asumo que las matemáticas presentan una “naturaleza dual” –como sistema formal abstracto y autocontenido, y como instrumento para la resolución de problemas prácticos en contextos reales- (Onrubia, Rochera y Barberá, 2001). Entiendo que en la escuela las dos visiones son necesarias y complementarias, pero en las primeras edades nos centraremos solamente en la segunda mirada. Desde

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esta visión y siguiendo a Bishop (1999) creo que las matemáticas son una actividad cultural social e históricamente situada, influenciada por criterios prácticos de utilidad e intencionalidad y basada en prácticas cotidianas como contar, medir, localizar, diseñar, jugar o explicar. Más concretamente, en este artículo centrado en los alumnos de cero a tres años, considero que “El conocimiento matemático es un orden idealizado que podemos usar para describir, o modelar, las regularidades, las pautas y la estructura del mundo real. El conocimiento matemático es una construcción humana o mental que, en parte, intenta definir o caracterizar el orden que percibimos en el mundo” (Baroody, 1988, p. 28).

Partiendo de esta visión de las matemáticas considero que los niños menores de tres años al buscar regularidades y pautas en su entorno, o al caracterizar objetos y establecer relaciones entre ellos para crearse un orden de lo que perciben, están construyendo las estructuras mentales iniciales que estarán presentes a lo largo de todo el proceso de enculturación matemática.

2. Un ejemplo de currículo

En mi contexto profesional e investigador el Currículo del Primer Ciclo de Educación Infantil (2010) propone, entre otros, trabajar los siguientes contenidos:

1. Orientación con autonomía en los espacios habituales y cotidianos e iniciación en el uso de términos relativos al espacio (aquí, allá, dentro, fuera, arriba, abajo).

2. Orientación en las secuencias temporales en que se organiza la vida diaria e iniciación en el uso de términos relativos a la organización del tiempo (mañana, tarde, ahora, después, hoy, mañana).

3. Observación y actuación sobre la realidad inmediata, a partir de las propias vivencias, estableciendo relaciones entre objetos según sus características perceptivas.

4. Observación y exploración del entorno físico y social, planificando y ordenando la propia acción, constatando los efectos y estableciendo relaciones entre la propia actuación y las consecuencias que se derivan.

5. Interés y curiosidad por el medio físico y social, explorando las características de objetos, materiales y elementos del entorno natural, formulando preguntas sobre algunos acontecimientos y representando vivencias y situaciones mediante el juego simbólico.

6. Iniciación en la diferenciación de algunas cualidades sensoriales fruto de la exploración de los objetos materiales, de elementos del entorno natural y de la comparación de sus propiedades. Inicio de las primeras clasificaciones, ordenaciones y correspondencias en función de las características y los atributos.

7. Reconocimiento de secuencias espaciales, temporales y lógicas e iniciación en el uso de las primeras nociones cuantitativas en situaciones cotidianas.

Como podemos observar, en el currículo aparecen las primeras nociones de ubicación espacial, de tiempo, el reconocimiento de cualidades, de semejanzas y diferencias, las relaciones entre objetos, la agrupación, la clasificación, la ordenación, las correspondencias y las primeras nociones de cantidad, continua y discreta, todo ello contenido propio de la matemática. En consecuencia, las primeras nociones y relaciones que van a dar soporte a la construcción posterior de conocimientos matemáticos se generan en las primeras edades, incluso antes de la entrada en el parvulario.

A continuación muestro algunas situaciones didácticas diseñadas para ser implementadas en las aulas de cero a tres años. Estas situaciones son adecuadas para ayudar a los niños y niñas de estas edades a construir sus estructuras matemáticas iniciales.




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3. Situaciones didácticas para el desarrollo de nociones matemáticas

En esta sección presento cuatro situaciones didácticas, propias de estas edades, ordenadas según el momento evolutivo o las edades a las que van dirigidas. 1) El cesto de los tesoros, adecuada de los seis a los doce meses; 2) El juego heurístico, actividad propia del segundo año de vida; 3) Las bandejas de experimentación, se aplica tanto en las aulas de uno a dos años, como en las de dos a tres; 4) La transformación de espacios, que sería más propia de dos a tres años.

En este artículo no voy a detallar todo el material y condiciones necesarias para llevarse a cabo cada una de estas situaciones ya que esta información se puede encontrar fácilmente en las referencias que adjunto, sí que me centraré en señalar las relaciones de cada situación didáctica con las matemáticas.

3.1. El cesto de los tesoros

La primera situación didáctica vinculada contenidos matemáticos, bien documentada y con un amplio recorrido de aplicación escolar es El cesto de los tesoros.

La profesora Elinor Goldschmied de nacionalidad inglesa, especialista en el aprendizaje en las primeras edades y en la formación del profesorado, desarrolló la formulación y la sistematización de las actividades educativas del descubrimiento de objetos dirigidas a niños de cero a tres años.

El juego de descubrimiento, que incluye el cesto de los tesoros y el juego heurístico, va dirigido a los dos primeros años de vida de los niños. El trabajo de Goldschmied se basa fundamentalmente en dar a los adultos que trabajan con los más pequeños los instrumentos que les permitan ofrecer las máximas oportunidades de crecimiento y desarrollo. No se trata solamente de establecer una metodología didáctica, sino de sistematizar un tipo de juego como la forma ordenada de aprovechar la actividad espontánea de los niños (Goldschmied y Jackson, 2007).

En la actividad cotidiana de los niños, el cesto de los tesoros y el juego heurístico potencian la exploración y la manipulación de los objetos. Estas dos acciones son básicas en el desarrollo infantil y se presentan correlativamente en el crecimiento evolutivo de los más pequeños. Exploración y manipulación permiten el descubrimiento de cualidades de los objetos, el reconocimiento de elementos idénticos y el establecimiento de relaciones entre ellos.

El cesto de los tesoros, según Majem y Òdena (2007), es una actividad de exploración dirigida a los niños de 6 a 10/12 meses. Se trata de un conjunto especial de objetos y materiales, no de juguetes, que podemos encontrar en casa, confeccionar, recuperar de los comercios o bien comprar. La selección de los mismos es la clave del éxito de la actividad, el propósito de esta selección es potenciar los sentidos de los pequeños: tacto (forma, peso, temperatura, textura, etc.); Olor y sabor (diversidad y variedad de aromas y sabores); sonido (tintineo, percusión, fricción, crujido, ausencia de sonido, etc.); vista (color, volumen, magnitudes, luminosidad, brillos, etc.). Otros tipos de materiales más comerciales (casi todos de plástico y de colores primarios) no darían al niño referencias tan precisas de superficie, peso, temperatura, forma, color, olor, sonido, consistencia, etc. por tanto, no ofrecerían las mismas oportunidades de reconocer diversidad de cualidades, limitando así la posibilidad de establecer relaciones.

Cuando el niño escoge un objeto del cesto de los tesoros, y lo examina, lo chupa o lo muerde, lo voltea, una y otra vez, su mente se pregunta:



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• ¿Qué es esto? • ¿Cómo es esto? • ¿Qué puedo hacer con esto?

Una diversidad de objetos, materiales y texturas dan respuesta a sus constantes preguntas. Esto facilita poder elegir lo que más le interesa y favorece la curiosidad innata para descubrir las cualidades y novedades de las cosas.

Con el cesto de los tesoros el niño aprende por sí mismo. El adulto, con una buena selección de materiales, una buena disposición de estos en el espacio, una buena gestión del tiempo, y con su presencia y atención, le dará seguridad y confianza para explorar, preguntarse, experimentar y aprender. Es decir, con esta actividad y las siguientes, ayudamos a los bebés a ampliar los conocimientos de la realidad física del entorno y a empezar a construir conexiones, relaciones, categorías… En definitiva, a construir sus estructuras mentales iniciales. La figura 1 reproduce y comenta una secuencia de acciones de un niño de siete meses.

Escoge el objeto, lo mira, lo explora con ojos y manos, reconoce los bordes, el grabado interior…

Explora el objeto con la boca, con los dedos, con las manos, palpando, distingue texturas, relieves…




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Reconoce y resigue los límites del objeto, el interior y el exterior, ojos y manos coordinados

Y con otro objeto más produce sonido al interactuar. La actividad que realiza es muy intensa, claramente de descubrimiento. Las acciones se repiten varias veces, es la forma de comprender qué es, cómo es, y qué es consecuencia de mis acciones.

Figura 1. Secuencia comentada de imágenes extraídas del video en Majem y Òdena (2007)

3.2. El juego heurístico

El juego heurístico es la continuación natural del cesto de los tesoros, creado y documentado por la misma autora, E. Goldschmied. El juego heurístico es una actividad destinada, especialmente, a niños en su segundo año de vida, ya que es en esta edad cuando la movilidad se convierte en la más amplia conquista, pasando a ser el eje central de su actividad. En consecuencia, el segundo año de vida está marcado por un nuevo tipo de desarrollo: un nuevo horizonte de curiosidad y nuevas maneras de aprendizaje que empujan a los niños a estar en movimiento y tocar todo lo que se encuentra a su alrededor. En esta edad el niño, ya tiene una buena coordinación óculo-manual y domina la prensión de los objetos. Además, tiene una curiosidad inmensa por el mundo que le rodea; capacidad que podemos estimular con el juego heurístico, que permite satisfacer su necesidad de explorar un espacio más amplio y autónomo y aprender cómo se comportan los objetos en este espacio.

Otra de las razones que conduce a hacer esta actividad durante el segundo año de vida es que no requiere del niño unas capacidades específicas, como podrían hacerlo los juegos más didácticos. El juego heurístico permite experimentar con nuevos objetos que él mismo ha ido a buscar y que tiene al alcance; encontrará la utilidad sin perder la concentración y estimulando la imaginación para darles distintos usos. Se trata pues, de una continuación del cesto de los tesoros adaptada a las nuevas posibilidades y necesidades. Esta actividad contribuye a estructurar el pensamiento, el lenguaje, el dominio del espacio y a comprender las consecuencias de las acciones. (Goldschmied, 1986).



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En Majem y Òdena (2007) se puede encontrar una descripción detallada de los tipos de material a ofrecer, la disposición espacial de los mismos y todos los elementos necesarios para un correcto desarrollo de la actividad. La sesión de juego heurístico siempre consta de dos partes. La primera se centra en la exploración y combinación de objetos y la segunda, tan importante como la primera, se basa en la recogida de los objetos.

Primera parte

Algunas de las acciones típicas que realizan los niños durante la primera parte, de exploración y combinación de materiales, son:

Llenar y vaciar; abrir y cerrar; agrupar y separar; colgar y descolgar; tapar y destapar; añadir y quitar. Alinear, apilar, deslizar, empujar o pulsar, girar, oscilar, encajar, ensamblar, emparejar, estirar, prensar y comparar, entre otros.

Combinando los diferentes materiales descubren, por ejemplo, que:

• Algunos objetos caben dentro de otros, y otros no. • Según como se coloquen, se aguantan o se caen. • Unos son más grandes o más pequeños que otros. • Algunos ruedan y otros se mantienen quietos. • Algunos encajan bien, otros no. • Hay objetos que su apariencia se modifica dependiendo de cómo los tocas. • Algunos resultan agradables y otros desagradables, etc.

Mientras realizan la actividad los niños y niñas van tomando conciencia de las características y propiedades de los objetos (formas, superficies, longitudes, volumen, peso –masa-, material, textura, etc.) y de las leyes de la naturaleza (de la gravedad, del equilibrio).

En esta actividad se utilizan una serie de objetos pequeños y numerosos, también algunos botes o cajas que se usan de contendor y también algunos cilindros con los dos extremos abiertos. En todas las sesiones que he presenciado hay algunos niños que se dedican a colocar pequeños objetos dentro de estos recipientes (experimentando su capacidad), de pronto los objetos no están, “desaparecen” de la vista y reaparecerán de forma distinta según el tipo de contendor que estén usando. Están aprendiendo que un recipiente abierto por una sola cara o por dos de ellas produce resultados distintos y requieren acciones distintas para recuperar su contenido.

De nuevo en estas edades se observan innumerables repeticiones de una misma acción; de hecho están encaminadas a comprender la consecuencia de la propia acción y a poder anticipar (mentalmente) lo que sucederá si se la realiza.

El hecho de ensamblar, encajar, introducir, experimentando qué cabe dentro de qué, es también una actividad que se observa repetidamente; y no solo qué cabe dentro de qué, sino también ¿Cuantos caben? ¿Cuantos se aguantan? etc. La actividad que se realiza es muy intensa y claramente de descubrimiento. La figura 2 reproduce y comenta una secuencia de acciones de una niña de veinte meses, durante una sesión de juego heurístico.




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¿Este cabe dentro de este? Sí pasa bien. ¿Y aquí se puede encajar? Este pequeño no entra

He colocado dos y se aguantan bien. Voy a probar con uno más, a ver qué pasa.

Figura 2. Secuencia de imágenes de una sesión de juego heurístico de mi fondo documental

Segunda parte

Es el momento de recoger todo el material. Las acciones que realizan los niños durante esta segunda parte, son:

Seleccionar los objetos uno a uno; reconocer sus cualidades, identificar a que categoría pertenecen, añadirlo a la colección pertinente, es decir, agrupar y participar de la clasificación colectiva de todo el material.

Los niños cogen los objetos del suelo y los van poniendo dentro de las bolsas correspondientes. En esta parte, el adulto es el encargado de dirigir la actividad de los niños y niñas a través de indicaciones verbales. (Goldschmied y Jackson, 2007)



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La fase de recogida está, de nuevo, claramente vinculada al conocimiento matemático. Ayuda a estructurar el pensamiento cuando se asocia la palabra del adulto con cada objeto y con las propias acciones. También cuando, se recoge un objeto, se observa el contenido de una bolsa y se decide si aquello que se aporta pertenece o no al grupo para, finalmente, comprobar que se ha clasificado todo el material. Las palabras del adulto preparan la formulación de las nociones que el niño está configurando con su acción.

Se ofrecen las bolsas con algún elemento de referencia y los niños van aportando nuevos objetos que colocan en la colección adecuada, con la ayuda verbal del adulto si es necesario. En ocasiones toman

una de las bolsas y la acercan al material para completar la colección iniciada.

Figura 3. Imágenes del momento de recogida de una sesión de juego heurístico de mi fondo documental

3.3. Las bandejas de experimentación

Las bandejas de experimentación es una actividad que no está siempre en el aula, en la que los niños experimentan libremente con materiales que se disponen en bandejas donde hay otros objetos adicionales. Con esta actividad se continúa la experimentación y manipulación de los materiales iniciada con el cesto de los tesoros y el juego heurístico.

Habitualmente se utiliza un material continuo colocado dentro de la bandeja, por ejemplo, arena de playa, agua, serrín, pan rallado, harina, arroz, chocolate en polvo, pasta de sopa, ralladura de naranja, lentejas, etc. De modo estricto, uno podría contar los granos de arroz o lentejas; sin embargo en esta actividad no se les suele dar un uso discreto. Los materiales adicionales suelen ser botes, embudos, cucharas, coladores, tubos y diferentes recipientes, de manera que los niños los puedan utilizar para establecer relaciones causa-efecto con el material que se experimenta.

De nuevo esta es una actividad en la que los niños estructuran su mente haciendo hipótesis sobre el comportamiento de los materiales que tienen a su alcance y especialmente sobre las consecuencias de sus combinaciones. Durante la experimentación los niños descubren aspectos importantes sobre la capacidad de los distintos utensilios, cuchara, cucharón, pala, etc. Las herramientas que son más validas para trasladar el material continuo; sobre las consecuencias de utilizar objetos y recipientes abiertos por un extremo o por los dos, sobre la dificultad del trasvase según sea la abertura del recipiente y sobre qué pasa cuando se utilizan coladores y embudos, etc. La selección del material es importante, tanto el número de elementos distintos que intervienen en la sesión, como la cantidad de cada uno de ellos.




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En la figura 4 vemos que se han seleccionado fideos de sopa muy finos como material continuo, que en esta ocasión se combina con macarrones. Los botes de yogur como recipiente opaco, cucharas de postre y tubos opacos abiertos por los dos extremos. Hay poca diversidad de materiales, pero cada tipo se proporciona en abundancia.

Esta selección provoca que los trasvases se centren tanto en los fideos, como en los macarrones. Los trasvases se realizan principalmente con la cuchara, aunque los macarrones a menudo se usan también como elementos discretos, tomándolos uno a uno para colocarlos en el recipiente o introduciéndolos a través del tubo con mucho cuidado y perfeccionando así la pinza, etc.

Controlando la cuchara lleno los botes, a veces las manos ayudan a llenar la cuchara

Cuanto control, una cuchara llena y no se cae. Los macarrones caben dentro el tubo. Lo meto por arriba y saldrá por debajo

Figura 4. Imágenes de una sesión de con bandejas de experimentación de mi fondo documental

En otra sesión se varían los elementos iniciales y así se propician nuevos descubrimientos. Por ejemplo, aquí se usa arena como material continuo, recipientes más esféricos, algunos transparentes y otros opacos, tubos transparentes y conchas de playa. Se observa que en este caso los tubos se usan para marcar, trazar un recorrido en la arena. Las conchas se usan como herramienta para trasvasar



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arena, como a elementos a coleccionar dentro del contenedor o incluso haciendo caminos y recorridos en la arena.

Los tubos marcan caminos en la arena. Mi bote ya está lleno de conchas

El trasvase no es fácil. Tienen la obertura pequeña. Encajan bien los botes pero no se cierra. Dedos, manos, conchas y tubos hacen caminos y recorridos en la arena…

Figura 5. Imágenes de otra sesión de con bandejas de experimentación de mi fondo documental

3.4. La transformación de espacios

Se trata de situaciones de gran motricidad, de transformación de espacios con elementos móviles, en el ejemplo, con cajas de cartón de distintos tamaños. En esta situación didáctica los niños acceden a un espacio (gimnasio, sala de usos múltiples, etc.) en el que se encuentran una serie de elementos que antes no estaban y empiezan a jugar con ellos (cajas; telas grandes como pañuelos y sabanas; tipis y otras tiendas de campaña, papeles de distintos tipos colgados y cruzando la sala…). La característica es que hay objetos de gran tamaño que permiten modificar el espacio. En cada sesión se focaliza principalmente en un tipo de material distinto.




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Las relaciones entre distintos tipos de juego y las matemáticas se han descrito en múltiples ocasiones (Edo, 2012), y entre ellos, los juegos de reglas presentan unas conexiones con el contenido matemático muy evidentes. Sin embargo, en este articulo nos centraremos en los juegos exploratorios de gran motricidad (sin reglas, ni directrices concretas sobre lo que se debe, o no debe, hacer), que son los más adecuados para los niños de menos de tres años. (Edo, 2008). Este tipo de juego exploratorio, con elementos de gran formato, que requieren acciones de gran motricidad, también tiene una fuerte conexión con las matemáticas. Las transformaciones de espacios implican una intensa relación con objetos que tienen: forma, posición inicial, ocupan un espacio y tienen una orientación, se desplazan de determinadas formas, se apilan o no, ruedan o no… y todas estas experiencias ayudan a los niños a construir las primeras intuiciones geométricas de espacio, forma y posición.

En el ejemplo de la figura 6 vemos que los niños encuentran una serie de cajas de cartón, de distintos tamaños, dispuestas por toda la sala, algunas abiertas por la cara superior, otras por una cara lateral, otras cerradas, otras plegadas, etc. Las acciones que los niños realizan en este tipo de situación involucran todo el cuerpo a demás de las manos, ojos, boca…

Al interactuar con las distintas cajas descubren de forma vivencial algunas nociones topológicas: Abierto y cerrado, dentro y fuera, entrar y salir. Aspectos vinculados a la forma: caras planas, caras curvas, se apila, rueda, etc. aspectos relacionados con la capacidad de niños: cabe uno, dos, tres, muchos niños, no cabe ninguno, etc.

¿Caben dos niños dentro? ¿Tres? ¿O más?

¿Cabe uno? ¿Se puede tapar?



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En esta caja ¿se puede entrar? En esta sí caben muchos y se puede cerrar.

Esta abierta por arriba, es más difícil.

Figura 6. Imágenes de una sesión de transformación de espacios con cajas de cartón

Estas sesiones de transformación de espacios con exploración y experimentación de objetos tridimensionales, algunos más pequeños, algunos iguales, pero especialmente los más grandes que los mismos niños generan situaciones donde los niños vivencian y construyen nociones de espacio, forma, tamaño, posición, capacidad, etc. (Edo, 2000). En sesiones sucesivas se van cambiando los materiales, (telas y mesas, papeles de muchos tipos, tubos, tipis, etc.) y los niños aplicaran descubrimientos de las sesiones anteriores al tiempo que realizaran nuevos descubrimientos.

3.5. Otras situaciones

Al ir focalizando en los contenidos del currículo 0-3 años vamos viendo que estos aparecen en multitud de situaciones habituales en los centros de cero a tres años. Por ejemplo, en las rutinas diarias, importantes para trabajar los hábitos y la autonomía, hay muchos momentos en los que se reconocen cualidades para identificar un objeto (reconocer mi babero, mi bata, mi bufanda, etc.), se agrupan objetos por distintos criterios (todas las palas dentro la caja, todos los todos los baberos dentro del cajón…); se hacen correspondencias, (cada niño… su babero, su silla, su colgador, etc.), se hacen clasificaciones (al guardar varios materiales o juguetes simultáneamente), se empareja, (los zapatos antes y tras la siesta, los niños en la fila para desplazarse a otro espacio), etc. También en los momentos de la comida, o merienda (repartir un vaso para cada uno, servirse el agua y anticipar si quiere mucha, poca, el vaso lleno, hasta la mitad) etc. (Edo, Revelles, 2004).

También podemos reconocer contenidos matemáticos, susceptibles de ser potenciados, en situaciones diseñadas desde otras áreas. Por ejemplo, en la figura 7, una actividad de visual y plástica, a partir de una obra de Paul Klee, conduce a los niños de 2 a 3 años a buscar, discriminar y estampar cuadrados. Otras situaciones pueden estar vinculadas con la actividad musical, como: seguir un ritmo (un patrón), hacer parejas para danzar, la forma del instrumento “triangulo”… En el juego simbólico y otros juegos al guardar y recoger los materiales usados siempre se está agrupando y clasificando; a través de la narración de pequeños cuentos, aparecen primeras cantidades, ideas de recorridos largos y cortos, tamaños de los personajes, etc. De hecho los ejemplos proporcionados en este artículo son solo algunos de los muchos posibles.




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Figura 7. Imágenes de una sesión de estampación de cuadrados vinculado a la observación de la obra de Paul Klee

4. A modo de conclusión

Hemos visto que los currícula de cero a tres años contienen nociones y procesos matemáticos iniciales. Hemos visto también que existen una serie de situaciones didácticas específicas de las aulas de cero a tres años, especialmente indicadas para el desarrollo del pensamiento matemático. Situaciones didácticas como el cesto de los tesoros, el juego heurístico, las bandejas de experimentación y las transformaciones de espacios conducen a los niños más pequeños a experimentar y descubrir dichas nociones y procesos.

Si entendemos que el conocimiento matemático se puede usar para describir y modelar la realidad, para buscar regularidades, pautas y así empezar a comprender la estructura del mundo que nos rodea, debemos invitar a los maestros de niños de estas edades a reflexionar sobre los contenidos matemáticos iniciales y alentar a identificarlos y potenciarlos en su día a día. Personalmente, como profesora de futuros maestros de infantil tengo un fuerte compromiso con la educación matemática en la formación inicial universitaria. Siento que uno de los principales contenidos que podemos ayudar a construir a los futuros maestros de infantil es precisamente el reconocer el contenido matemático en su entorno y saber cómo potenciarlo.

Bibliografía

Baroody, A. (1988). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Visor Bishop A. (1999). Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva

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Mequè Edo Basté. Facultat de Ciencias de la Educación, Universitat Autònoma de Barcelona, es doctora en Didáctica de las Matemáticas. Especializada en Didáctica de las Matemáticas en Educación Infantil y Primaria. Coordinadora del Grado de Educación Infantil de la UAB. Coordinadora del Grupo de Investigación en Educación Matemática Infantil de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática. Ha publicado trabajos en revistas nacionales e internacionales (http://pagines.uab.cat/meque/). [email protected]



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EntusiasMAT hace reales las Matemáticas

Nuria Miró Sánchez (Colegio Montserrat. Barcelona)

Artículo solicitado a la autora por la revista

Resumen El conocimiento de que cada persona posee más o menos desarrolladas las Inteligencias Múltiples de las que habla Howard Gardner hizo que el Equipo Directivo del Colegio Montserrat de Barcelona se decidiera a buscar caminos para aplicar esta Teoría en las aulas. Son muchas y diferentes las maneras de aprender de cada alumno, por esto había que encontrar, también para el aprendizaje de las matemáticas, caminos distintos que dieran respuesta adecuada a las diversas posibilidades de cada uno. M. Montserrat Del Pozo, Directora del Colegio Montserrat, de la Congregación de las Misioneras Hijas de la Sagrada Familia de Nazaret, con un grupo de profesoras de Matemáticas del Colegio, hace más de diez años, decidieron transformar el curriculum de las Matemáticas en la Educación Infantil y Primaria, creando uno propio del Colegio. Así nació EntusiasMat que hoy, además de llevarse a la práctica en los Colegios que la Congregación tiene en la Península y en las islas Canarias, se aplica en un centenar colegios a lo largo y a lo ancho de toda la geografía española. Y porque el fracaso escolar se previene desde la Educación Infantil, comenzamos por esta Etapa.

Palabras clave Inteligencias múltiples, matemáticas en infantil

Abstract The knowledge about every person has developed more or less the Multiple Intelligences of Howard Gardner, led to the Management Team of Montserrat school of Barcelona to seek ways to apply this theory in the classroom. There are many and different ways of learning for each student, so had to be found, also for the learning of mathematics, differents ways to give adequate response to the distinct possibilities of every student. M. Montserrat Del Pozo, head of the Montserrat school, of the Congregación de las Misioneras Hijas de la Sagrada Familia de Nazaret, with a group of school mathematics teachers, for over ten years, decided to transform the mathematics curriculum in the Preschool and Elementary education, creating their own one for school. That way was created EntuasiasMat, and nowadays is been used, not only in the schools of the Congregation in the Peninsula and Canary Island but also in a hundred schools across the entire Spanish territory. And because school failure is prevented from Preschool Education, we begin by this level.

Keywords Multiple Intelligences, math in kindergarten education.

1. Inteligencias múltiples

Hoy ya nadie duda de que todos poseemos, más o menos desarrollada, y junto a las otras ocho, la Inteligencia Lógico-Matemática, esta capacidad de saber usar los números de manera efectiva y de razonar adecuadamente. Cualquier maestro ha podido descubrir en algunos de sus alumnos una

EntusiasMAT hace reales las Matemáticas N. Miró Sánchez


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sensibilidad especial por los esquemas, por las relaciones lógicas y más de uno se ha sorprendido escuchando a sus pequeños alumnos cómo resuelven un problema matemático que para otros resulta casi imposible. No cabe duda de que en ellos la Inteligencia Lógico-Matemática está más desarrollada, pero ¿qué ocurre con los demás? “Si no entiendo los números, -decía un niño de cinco años a su maestro- ¿por qué me los explicas con más números?”. No conocía la teoría de Howard Gardner nuestro pequeño pensador, pero no le faltaba razón. Hay que recordar y dar la razón a Loris Malaguzzi, el pedagogo de Reggio Emilia, cuando habla de los cien lenguajes del niño y de la variedad de formas que posee para expresar un concepto. Las Inteligencias Múltiples son una buena respuesta.

“Maestra, ¿para qué sirven estas fichas de números, están en la calle?” - le preguntó un día una niña de cuatro años, mientras le enseñaba el papel que tenía sobre su mesa. La sorpresa de la maestra fue grande y mayores aún las reflexiones posteriores que le suscitaron. Había que hacer salir los números de las aulas, o mejor, había que ensanchar las aulas de tal manera que los aprendizajes fueran reales, que se aprendiera en la escuela y que sirvieran para la vida.

Hacer reales las matemáticas, ofrecer las distintas oportunidades para que desde todas las Inteligencias se puedan aprender y expresar los contenidos matemáticos, utilizar los recursos que la matemática ofrece para ayudar al desarrollo de todas las inteligencias y todo ello de manera práctica y agradable, son objetivos que, después de más de diez años de implantación en el Colegio, podemos decir que EntusiasMat consigue.

2. ¿Qué es EntusisMat?

Un proyecto didáctico-pedagógico (secuenciado cuidadosamente de 3 a 6 años y de 6 a 12 años) que permite trabajar las matemáticas como una realidad útil y didáctica, un proyecto inmerso en la vida diaria, pensado para favorecer el desarrollo de la inteligencia Lógico-Matemática, atender a las Inteligencias Múltiples y favorecer las Competencias Básicas mediante la adquisición de conceptos, la manipulación y el juego.

Si atendemos a la definición de Inteligencia del Dr. Howard Gardner que dice de ella que es “la capacidad de resolver problemas y de generar productos que sean valiosos para una o más culturas”, no podemos negar que este concepto de Inteligencia está muy presente en todo el desarrollo del proyecto EntusiasMat que facilita la resolución de problemas desde diversas alternativas y que ayuda al niño a descubrir nuevos horizontes desde su interacción con la realidad que le rodea.

La necesidad de resolver problemas acompaña a la persona humana a lo largo de toda su vida, de ahí que sea fundamental ofrecer al niño, desde los primeros años, variedad de estrategias para comenzar a ejercer esta habilidad que se relaciona con todas las áreas de aprendizaje.

Las Matemáticas no son ajenas a la persona humana. Al nacer, todo ser humano posee una mínima estructura aritmética que es la que le permite desde bien pequeño elegir el montón de caramelos más grande, sin necesidad de hacer grandes cálculos. No es ésta la única experiencia matemática de un niño. La niña que se calza los zapatos de su mamá y comprueba que son grandes para ella, el niño que trata de poner dentro de una caja una pelota más grande que la caja y verifica que no cabe; colocar las muñecas de acuerdo a su altura o según el color…, la idea de grande, pequeño, mucho, poco... son preconceptos matemáticos que todo niño tiene; importante es que tanto en la escuela como en la casa se le ayude a ponerles nombre, a reconocerlos y a utilizarlos adecuadamente.




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Las funciones matemáticas que el niño comienza a llevar a cabo de manera instintiva exigen al cerebro ejercer una serie de funciones tales como razonar, comparar, descubrir, investigar, comprobar…; todo ello requiere el aprendizaje del lenguaje específico y las diversas estrategias para saber buscar otras alternativas, esto es lo que EntusiasMat ofrece en un programa perfectamente secuenciado y pensado para la edad de los alumnos.

Limitar el aprendizaje de la Matemática a una sola perspectiva indudablemente sería minimizarlo, EntusiasMat hace posible la comprensión de un concepto matemático desde las ocho perspectivas que ofrecen las Inteligencias Múltiples.

Son muchos los recursos y las actividades que ofrece EntusiasMat para poner al alcance de cada niño la comprensión matemática desde las otras Inteligencias. Gráficos intuitivos, diagramas de Venn que permiten reconocer en qué igual y en qué diferente, secuenciaciones temporales y espaciales, narraciones ordenadas, el trabajo cooperativo con los compañeros, la representación con el propio cuerpo, el ritmo de una melodía, ayudan la comprensión matemática desde Inteligencias que podrían parecer tan distintas como la Inteligencia Lingüístico-Verbal, la Visual- Espacial, la Interpersonal, la Naturalista, la Corporal- Cinestésica, la Musical,…

3. Una sesión de EntusiasMat

El ritmo de una sesión de EntusiasMat está muy pautado, lo que permite su desarrollo de manera completa, sin quitarle creatividad ni al niño ni a la maestra.

Requiere la participación activa y constante del alumnado, de suerte que cada uno pueda ser el verdadero protagonista de su aprendizaje a la vez que permite al maestro observar el proceso de aprendizaje de cada uno de sus alumnos.

En la Educación Infantil las sesiones son de 30 minutos, mientras que para la Primaria son de 50 minutos de duración.

Unas palabras clave en toda sesión: Preparo, Escondo, Enseño provocan la atención y el pensamiento deductivo de cada alumno a la vez que le facilitan hacer inferencias y deducciones de manera agradable, como si participaran en un juego.



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Una sesión de EntusiasMat comienza siempre con cinco minutos de cálculo mental y el planteamiento de problemas orales. Se le denomina Para empezar y es el “calentamiento” previo que ayuda a poner en forma el cerebro para los minutos siguientes en los que se van a desarrollar todas las actividades propias del tema de la sesión. Es la parte que llamamos Enseñando-Aprendiendo en la que también se proponen juegos que refuerzan lo aprendido en sesiones anteriores y que ayudan a introducir y trabajar nuevos conceptos. Los últimos cinco minutos Para acabar permiten tanto a la maestra como a los alumnos la reflexión sobre lo aprendido. En voz alta o escrito en su diario, es el momento en que cada uno libremente evalúa su participación en la sesión. Porque es una reflexión personal, cada niño es libre de opinar y esta reflexión no se corrige.

4. Materiales. Recursos

Puesto que las Matemáticas no son una mera teoría, aprenderlas exige, además del conocimiento de conceptos, la posibilidad de llevarlos a la realidad, de manipularlos, por esto EntusiasMat lleva consigo un buen número de recursos que lo facilitan.

Las Historias para pensar son un buen material para descubrir la información relevante, para saber identificar respuestas razonables de entre las absurdas, para encontrar la relación causa-efecto, predecir un suceso o llegar a una generalización.

Cada alumno posee su Diario de Matemáticas donde escriben datos que les parecen importantes, donde anotan su “reflexión” acerca de cómo han resuelto un problema o de la dificultad que han tenido, sus éxitos y sus fracasos…, una manera muy sencilla de desarrollar la Inteligencia Intrapersonal y de iniciarse en la metacognición.

Los Cubos Numéricos - unos vistosos dados numerados, uno del 0 al 5 y otro del 5 al 10) - ofrecen la oportunidad de llevar a cabo todo tipo de cálculo entre 0 y 100 de una manera muy divertida, a la vez que fomentan el pensamiento lógico, el razonamiento deductivo e inductivo y ayudan al desarrollo de la Inteligencia Interpersonal ya que se trabaja en grupo.

Muy interesantes por el interés que despiertan y por su eficacia son los Matijuegos – bonitos juegos de mesa – que proporcionan la posibilidad de practicar jugando las habilidades matemáticas adquiridas.




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Tanto el material que utilizan el maestro y los alumnos están pautados de manera muy concreta y precisa de suerte que seguirlos no ofrece ninguna dificultad. Requieren sí, preparación previa y constancia.

5. Valoración de la experiencia

La satisfacción es la constante tanto en el profesorado de Infantil como en el de Primaria.

Durante estos años ha habido mucho trabajo, muchas horas de dedicación “entusiasmada”, de corregir, contrastar, verificar a medida que se implantaba el programa en diferentes cursos de distintos Colegios.

Los profesores de Matemáticas de la ESO que recibieron la primera promoción de alumnos que habían seguido el proyecto EntusiasMat en Infantil y en Primaria coincidieron en comprobar el buen



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desarrollo de su pensamiento matemático y la habilidad adquirida para resolver problemas. No encontraron ninguna dificultad en seguir el programa correspondiente a 1º de la ESO y valoraron su buena comprensión matemática.

A lo largo de los diferentes cursos, ya son más de diez, no ha variado en absoluto la opinión de los profesores. Esta constatación, junto a la de cuantos están en las aulas, nos anima a seguir en el Proyecto que vuelve más asequibles las matemáticas, que las hace “reales” por cuanto las lleva a la vida de los niños, que permite una mayor autonomía y protagonismo del alumno en su aprendizaje y que favorece y colabora con el desarrollo de las Inteligencias Múltiples que posee cada sujeto de educación.

Demasiado optimista pueden pensar algunos, mucho juego podrían creer otros, demasiado cambio podrían opinar los más reacios,…

Para todos ellos sólo un consejo: Llévenlo a la práctica, compruébenlo. Como para toda enseñanza, se necesita interés por conocer el programa, ilusión por llevarlo a cabo, confianza en que sus alumnos son capaces, seguir la distribución del tiempo, usar adecuadamente los recursos previstos y, como bien dice el título, entusiasmo.

No es la única opción para el aprendizaje de las Matemáticas, por supuesto, pero es una que después de años de llevarla a la práctica en lugares muy diferentes y con alumnos distintos, da buenos resultados.

Bibliografía

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Del Pozo Roselló, Montserrat (2005). Una experiencia a compartir. Las inteligencias Múltiples en el Colegio Montserrat. Fundación M Pilar Mas. Barcelona

Gardner, Howard (2008). Inteligencias Múltiples. Paidos Nota: Formación y material de EntusiasMat desde http://tekmanbooks.com/

Nuria Miró Sánchez. Colegio Montserrat. Barcelona.



Dificultades de estudiantes de Psicología en la comprensión del contraste de hipótesis

Carmen Batanero (Universidad de Granada) Osmar Darío Vera (Universidad Nacional de Quilmes)

Carmen Díaz (Universidad de Huelva)

Fecha de recepción: 5 de noviembre de 2011 Fecha de aceptación: 27 de abril de 2012

Resumen En este trabajo presentamos un estudio de evaluación de dificultades y errores en relación a la comprensión del contraste de hipótesis en una muestra de 224 estudiantes de Psicología, después de haber finalizado un curso de Análisis de datos. Se analizan la asignación y discriminación de hipótesis, tipos de errores, nivel de significación y potencia y regla de decisión en un contraste. Nuestros resultados son mejores que los de otros estudios previos, aunque permanecen errores relacionados con la discriminación entre los tipos de error, relación entre regiones, nivel de significación, valor p y potencia. En consecuencia se sugiere una introducción más gradual a la inferencia comenzando en la educación secundaria con actividades informales de inferencia.

Palabras clave Contraste de hipótesis. Comprensión. Evaluación de dificultades. Estudiantes de psicología

Abstract In this paper, we study the difficulties and errors related to statistical tests in a sample of 224 psychology students, after having finished a Data Analysis course. We analyse the assigning and discrimination of hypotheses, type of errors, significance level and power, as well as the decision rule in a test. Our results outperform those in other previous studies; although errors related to discrimination between type of error, relationships between regions, significance level, p-value and power. Consequently we suggest a more gradual introduction to inference, starting in secondary education with informal inference activities.

Keywords Hypothesis tests, Understanding, Assessing difficulties, Psychology students.

1. Introducción

La inferencia estadística juega un papel destacado en diversas ciencias humanas, entre otras la Psicología, que basa sus investigaciones en datos recogidos en muestras de poblaciones, a las que necesita extender sus conclusiones. Sin embargo, el uso e interpretación de la estadística para las publicaciones en Psicología no es siempre adecuado, como se muestra en diversas revisiones (por ejemplo, en Harlow, Mulaik y Steiger, 1997; Ares, 1999; Borges, San Luis, Sánchez, y Cañadas, 2001; Batanero y Díaz, 2006).

Dificultades de estudiantes de Psicología en la comprensión del contraste de hipótesis C. Batanero, O. D. Vera, C. Díaz


Estos errores también se producen en estudiantes universitarios, como muestran muchas investigaciones (por ejemplo, Birnbaum, 1982; Vallecillos, 1994 o Krauss y Wassner, 2002), la mayoría de las cuáles se centra en la comprensión del concepto de nivel de significación. Sin embargo son muchos los conceptos que se deben comprender para llevar a cabo con éxito un contraste de hipótesis. Más aún, como se indica en Harradine, Batanero y Rossman (2011), la comprensión de la inferencia estadística requiere el aprendizaje de tres elementos interrelacionados: (a) el proceso de razonamiento; (b) los conceptos asociados y (c) los cálculos. Pero, mientras la realización de los cálculos asociados con los contraste de hipótesis es hoy día muy sencilla, gracias al software estadístico, la enseñanza de los conceptos y el razonamiento inferencial es mucho más compleja, lo que explica las muchas dificultades descritas en el uso de la inferencia.

En este trabajo abordamos un estudio de evaluación de la comprensión del contraste de hipótesis en un grupo de estudiantes de Psicología españoles, después de haber seguido un curso de inferencia. Más concretamente, a partir de sus respuestas a un pequeño cuestionario, evaluamos su comprensión de los puntos siguientes: diferencia entre contraste unilateral y bilateral, hipótesis nula y alternativa, tipos de errores y sus probabilidades, y regla de decisión en un contraste. Se ha realizado el trabajo con estudiantes de Psicología, puesto que la enseñanza de la estadística a los mismos plantea especiales problemas didácticos, al no poseer una base matemática tan amplia como la de estudiantes de otras carreras científicas. Al mismo tiempo, la inferencia estadística, resulta un instrumento importante en la investigación en Psicología, y su necesidad e importancia han ido aumentando durante los últimos años.

En lo que sigue se describen los antecedentes, muestra y método empleados y se discuten los resultados. Se finaliza con algunas reflexiones sobre las implicaciones para la enseñanza.

2. Antecedentes

Como se ha indicado, el contraste de hipótesis es una herramienta básica en investigación empírica, tanto en la confirmación de los modelos empleados, como en la demostración de la existencia de efectos de las variables de interés en la investigación (Batanero, 2000). Debido a la variedad de conceptos que deben ser comprendidos y relacionados para realizar las pruebas de hipótesis, que se confunden entre sí, el mal uso y los errores conceptuales han sido discutidos por más de 20 años, y es posible encontrar en muchas publicaciones un resumen de estas malas prácticas, que se pueden hallar incluso aún entre investigadores (Chow, 1996; Harlow, Mulaik y Steiger, 1997; Ares, 1999; Batanero, 2000; Díaz y de la Fuente, 2004; Batanero y Díaz, 2006; Castro, Vanhoof, Van den Nororgate y Onghena, 2007 y Díaz, Batanero y Wilhelmi, 2008).

2.1. Planteamiento de las hipótesis

Respecto al concepto de hipótesis, un primer error es confundir la hipótesis de investigación con una de las hipótesis estadísticas (bien nula o alternativa). Chow (1996) analiza la diferencia entre ellas: mientras que la hipótesis de investigación suele ser amplia y referirse a un constructo inobservable (por ejemplo, que el rendimiento de los estudiantes es diferente en dos poblaciones de alumnos), la hipótesis estadística, hace referencia a un parámetro de la distribución de una variable en una población de sujetos (en el ejemplo, la diferencia de medias en la puntuación en un cuestionario de dos muestras de sujetos de las citadas poblaciones). A pesar de esta diferencia, cuando encuentran un resultado significativo, algunos investigadores piensan que el resultado se puede extrapolar directamente a la hipótesis de investigación (Chow, 1996). En el ejemplo, supondría que si se rechaza que la puntuación media de las dos muestras de estudiantes en la prueba es igual, se podría deducir que el rendimiento (en general) de una de las poblaciones es mayor que el del otro. Esto podría no ser cierto, puesto que la prueba usada de rendimiento podría favorecer a uno de los grupos y si se utilizase




otra prueba diferente los resultados podrían variar.

Otro error frecuente entre alumnos e investigadores es la confusión entre las hipótesis nula y alternativa. En el ejemplo, la hipótesis alternativa sería que la media de la distribución de puntuaciones en una prueba de rendimiento de uno de los grupos será mayor que la del otro. La hipótesis nula o de no efecto es la negación de la hipótesis alternativa (en el ejemplo, que la puntuación media sería igual en los dos grupos). A pesar de esta diferencia Vallecillos (1994), en una muestra de estudiantes de distintas especialidades (n=436), de los cuales 70 eran estudiantes de psicología, encontró un 13% de alumnos que confundieron la hipótesis nula con la alternativa. Otro 20% de estudiantes no parecieron comprender que la hipótesis del contraste se refiere al parámetro de la población, planteando sus hipótesis utilizando el estadístico muestral. Este error, sin embargo, no fue tan frecuente en el estudio de Vera, Díaz y Batanero (2011), quienes analizan la forma en que los estudiantes de psicología plantean las hipótesis estadísticas en un problema abierto. Sin embargo, los autores encuentran alumnos que plantean hipótesis alternativas puntuales o hipótesis que en su conjunto no cubren el espacio paramétrico, de modo que coinciden con Vallecillos en que los alumnos confunden algunas propiedades de las hipótesis nula y alternativa.

2.2. Tipos de error y sus probabilidades

En cuanto a los errores en el contraste de hipótesis, la mayoría de las investigaciones se centra en la comprensión del nivel de significación y el p-valor. Batanero, Díaz y Wilhelmi (2008), indican que la interpretación incorrecta más extendida de estos conceptos es cambiar los términos de la probabilidad condicional en su definición, interpretando el nivel de significación como la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta, habiendo tomado la decisión de rechazarla. El mismo intercambio de condicional se hace en la interpretación del p-valor (probabilidad de obtener un valor igual o más extremo al dado, si la hipótesis es cierta) que se interpreta como probabilidad de que la hipótesis sea cierta si se obtuvo el valor dado del estadístico. Estos errores son descritos, entre otros, por Birnbaum (1982), Vallecillos (1994), Lecoutre (1999), Lecoutre, Lecoutre y Poitevineau (2001) y Haller y Kraus (2002).

A estas interpretaciones incorrectas se une, normalmente, la confusión entre significación estadística y significación práctica, que implica significación estadística más un efecto experimental (diferencia del valor del parámetro en función de una cierta variable experimental) suficientemente elevado. Aunque la significación práctica, si el tamaño de muestra es suficiente, suele ir unida a la significación estadística, sin embargo podemos encontrar datos estadísticamente significativos con un pequeño efecto experimental, siempre que tomemos una muestra grande. Esto no es siempre comprendido, como muestra Lecoutre (1999) en un experimento con 20 investigadores en Psicología y 25 profesionales estadísticos, y en el que la mayoría tenía una confianza excesiva en los contrastes y olvidaban el tamaño de la muestra.

Otro error es pensar que el p-valor indica la probabilidad de que el valor obtenido del estadístico se deba al azar, aunque esto no es cierto en general (Batanero, 2000). Por ejemplo, una diferencia significativa de las medias de un grupo experimental y otro de control puede ser debida a un tratamiento particular, pero también un grupo puede estar formado por individuos más inteligentes o con mejores medios. Moses (1992) indica otra confusión que consiste en creer en la conservación del nivel de significación cuando se realizan contrastes consecutivos en el mismo conjunto de datos.

2.3. Regla de decisión

Otro aspecto a reseñar (Vallecillos, 1994, 1999) es que los estudiantes pueden confundir el criterio de decisión al aplicar el contraste y por tanto, llegar a una decisión equivocada. La autora



observa una confusión entre región de rechazo y de aceptación, así como sobre la forma en que se deben construir dichas regiones en un contraste unilateral ó bilateral. Hay una falta de apreciación de que la hipótesis alternativa determina, junto con el nivel de significación, la región crítica, y que un mayor nivel de significación da una menor área para la región crítica. La comprensión de este punto también se relaciona con la dificultad señalada por Harradine, Batanero y Rossman (2011) de comprensión de la lógica subyacente al contraste de hipótesis.

En resumen, son muchas las investigaciones sobre el contraste de hipótesis. Sin embargo son pocos los trabajos en que se ha hecho un seguimiento directo de la enseñanza recibida por los estudiantes o en los que los ítems propuestos formen parte de la prueba final de evaluación de sus conocimientos. Es posible, por ello, que algunos de los errores denunciados se deban simplemente al olvido y no aparezcan con tanta frecuencia con un mayor estudio del tema por parte de los estudiantes. Con objeto de indagar en esta posibilidad, en nuestro trabajo se hizo un seguimiento de la enseñanza recibida por los estudiantes durante los dos cursos de Análisis de datos, en colaboración con el profesor de la materia. Los estudiantes fueron animados a estudiar el tema, y las preguntas formaron parte de su evaluación final. Seguidamente describimos la metodología y discutimos los resultados obtenidos.

3. Metodología de la investigación

La muestra estuvo formada por un total de 224 alumnos de segundo año de la Licenciatura en Psicología en la Universidad de Huelva, que cursaban una asignatura de Análisis de Datos II, en el segundo curso de estudios. El primer tema de la asignatura fue el contrate de hipótesis, estudiándose a continuación, los contrastes de medias, varianzas y proporciones en una y dos muestras y el análisis de varianza elemental. Los estudiantes previamente siguieron un curso de Análisis de Datos I en el primer año de sus estudios, donde estudiaron estadística descriptiva, probabilidad e introducción a la inferencia. Los dos cursos incluyeron actividades prácticas de análisis de datos, utilizando el software SPSS. Los alumnos también realizaron proyectos estadísticos, con datos recogidos por toda la clase; en dichos proyectos tuvieron que plantear una serie de hipótesis a comprobar, elegir la prueba estadística más acorde para la resolución del problema planteado, y extraer sus conclusiones, todo ello con la guía del profesor.

El cuestionario usado estuvo formado por seis ítems de opción múltiple (tres opciones por ítem), eligiendo este formato porque los alumnos estaban acostumbrados al mismo, al ser habitual en sus evaluaciones. Para elaborar el cuestionario en forma rigurosa, se comenzó con una definición semántica del constructo “comprensión del contraste de hipótesis”, delimitando las unidades de contenido que se deseaba evaluar que se recogen en la Tabla 1, con indicación del ítem que evalúa cada una de estas unidades. Los ítems concretos (Figura 1) fueron seleccionados a partir de un banco de ítems previamente construido, mediante pruebas piloto de ítems y valoración mediante el juicio de expertos.

ÍTEMS

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óte

sis Contraste bilateral y unilateral. Asignación de hipótesis X X X

Hipótesis nula y alternativa. Asignación de hipótesis X X X X X Errores tipo I y II, nivel de significación y potencia X Cálculo de valor crítico, dado el nivel de significación X Regla de decisión en un contraste X

Tabla 1. Contenidos evaluados por ítem

El primer ítem evalúa la comprensión de la asignación de hipótesis estadísticas, específicamente




si el alumno es capaz de elegir la hipótesis nula adecuada, partiendo de un contexto de aplicación. La respuesta correcta es la (c), puesto que la hipótesis nula es la contraria a la que desea probar el investigador (Chow, 1996). El distractor (a) lo elegiría un alumno que confunde las hipótesis nula y alternativa, confusión descrita por Vallecillos (1994). El distractor (c) lo tomaría el estudiante que confunde un contraste unilateral con otro bilateral.

También el segundo ítem evalúa el planteamiento de las hipótesis estadísticas, más concretamente el conocimiento de las reglas para establecerlas. La respuesta correcta es la (b), ya que los conjuntos donde se define el parámetro para cada una de las hipótesis deben ser excluyentes y cubrir el espacio paramétrico (Vallecillos, 1994). Estas son las condiciones exigidas al plantear correctamente las hipótesis, que no se cumplen en los otros distractores; en el distractor (a) las hipótesis no son complementarias ni excluyentes; en el distractor (c) están intercambiadas las hipótesis nula y alternativa.

El ítem 3 permite evaluar la comprensión de las diferencias entre potencia de una prueba y probabilidad de error tipo II, y probabilidad de error tipo I. Vallecillos (1994) no incluye ítems sobre el concepto de potencia, aunque sí sobre el error tipo I y II. La respuesta correcta es la (b), ya que la potencia se define como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo falsa. El alumno que elige el distractor (a) confunde la potencia con la probabilidad de error tipo II, mientras quienes eligen el distractor (c) confunden la probabilidad de error tipo II con la probabilidad de no cometer dicho error.

El ítem 4 evalúa si el alumno es capaz de diferenciar entre los errores tipo I y tipo II, y la comprensión de la diferencia entre hipótesis estadísticas e hipótesis de investigación (Chow, 1996). La respuesta correcta es la (b), ya que se cometerá un error de tipo II si decide que no existe diferencia entre los dos tratamientos para curar la depresión, cuando en realidad si existen. El alumno que elige el distractor (a) no logra interpretar el enunciado, ya que el problema afirma se conoce que ambos medicamentos han sido probados, resultando efectivos. Quien elige el distractor (c) estaría confundiendo el error de tipo I con el de tipo II.

El ítem 5 evalúa la comprensión de la relación entre el nivel de significación y el valor crítico, así como la diferencia entre test unilateral y bilateral, y el concepto de puntuación crítica; también se requiere el manejo de tablas estadísticas. La respuesta correcta es la (b), pues si el nivel de significación es 0,01 para un test unilateral derecho, ese es el área que deja a la derecha el percentil 2,33 de la distribución normal. En el distractor (a) se confunde con el test unilateral izquierdo. El distractor (c) implica errores en el manejo de las tablas.

En el ítem 6 se evalúa la comprensión de la regla de decisión entre las hipótesis y las condiciones en las que se tomará la decisión de rechazar la hipótesis nula. La respuesta correcta es la (c), puesto que la hipótesis nula se rechaza tanto si se produce la situación ilustrada en (a) como en (b). El distractor a) la respuesta es verdadera, pero no es el único argumento para rechazar la hipótesis nula en un contraste, por eso quien lo elige no conoce la posibilidad que brinda el distractor b). Para el distractor (b) los estudiantes no asocian el cálculo de una probabilidad con la regla de decisión, no logran comprender ni son capaces de relacionar estos conceptos abstractos, llevándolos a errores generalizados en la aplicación (Batanero, 2000).



Figura 1. Cuestionario

4. Resultados y discusión

Como se ha indicado, los estudiantes completaron los ítems como parte de una de las evaluaciones de la asignatura. Para evitar que respondieran al azar se les advirtió que se penalizaría las respuestas incorrectas. La Tabla 2 muestra los porcentajes de respuestas por ítem y por distractor, destacándose en negrita las respuestas correctas. Al contrario que lo expuesto en otras investigaciones, el porcentaje de estudiantes que dan respuestas correctas supera el 50% en todos los ítems, llegándose en algunos casi al total de la muestra. Todo ello confirma nuestra hipótesis sobre el efecto de la enseñanza en la superación de los errores descritos en los antecedentes.

Ítem 1. Queremos conocer si los sujetos extrovertidos e introvertidos difieren en la puntuación media en autoestima y no disponemos de ninguna información previa. El tipo de hipótesis nula razonable que debo plantear es:

a. EIH µµ ≤:0

b. EIH µµ ≥:0

c. Ho: µI = µE

Í tem 2. De los siguientes pares de afirmaciones, indique cual NO cumple con las reglas para plantear hipótesis estadísticas:

a. Ho: µ ≤ 100; H1: µ > 100

b. Ho: σ = 15; H1: σ ≤ 15 c. Ho:µ1 – µ2 = 0; H1: µ1 – µ2 ≠ 0

Ítem 3. Si en una investigación lees que la potencia de un contraste vale 0,5594, entonces interpretas que:

a. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo falsa vale (1 -0,5594) = 0,4406 b. La probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo falsa vale 0,5594 c. La probabilidad de mantener la hipótesis nula siendo falsa vale 0,5594

Ítem 4. Supongamos que conocemos la ‘verdad absoluta’ sobre la eficacia de dos tratamientos (A y B), y sabemos que existen diferencias en la efectividad de ambos para curar la depresión. Un investigador que realice un estudio y parta de la hipótesis ‘no existen diferencias en la efectividad de los tratamientos A y B para curar la depresión’ cometerá un error tipo II cuando:

a. Concluya que A y B no son efectivos para curar la depresión b. Concluya que A y B no difieren en su efectividad para curar la depresión c. Concluya que A y B difieren en su efectividad para curar la depresión

Ítem 5. El valor crítico correspondiente a un α= 0,01 en un contraste unilateral derecho, suponiendo normalidad de los datos es:

a. -2,33 b. 2,33 c. 3,10

Ítem 6. Cuando realizamos un contraste, la regla de decisión nos lleva a rechazar la hipótesis nula siempre que:

a. El estadístico de contraste caiga en la región de rechazo b. La probabilidad asociada al estadístico de contraste (el nivel de significación) sea menor que el

valor de α c. Las alternativas a) y b) son correctas




Como observamos en el ítem 1, donde el 93,3% de los estudiantes fueron capaces de elegir la hipótesis nula adecuada, partiendo de un contexto de aplicación, fue fácil para los estudiantes comprender el planteamiento de las hipótesis en un contraste estadístico y la diferencia entre hipótesis estadística nula y alternativa. Nuestros resultados son mejores que los de Vallecillos (1994), quien, en un ítem similar obtuvo un 68,6% de respuestas correctas en la muestra global de su estudio, y un 78,6% en una submuestra de alumnos de Psicología. Un 1,8% confunde las hipótesis nula y alternativa (distractor a), confusión que en la investigaciones de Vallecillos (1994) se dio en 6,4% en la muestra global y 5,7% en Psicología. Hawkins, Jolliffe y Glickman (1991) sugieren que esta confusión también se debe a que los estudiantes buscan resultados confirmatorios (y no falsatorios) de las hipótesis estadísticas; por ello no comprenden que las hipótesis nulas están redactadas en términos de la no existencia de efectos. Otro 4,5% elige el distractor (b), confundiendo un contraste bilateral con uno unilateral error denunciado por Batanero (2000) y tan sólo un estudiante no responde (0,4%), mientras que en Vallecillos son 6,2% en la muestra global y 4,4% para el grupo de Psicología los que no responden. La diferencia entre nuestro ítem y el de Vallecillos es que el suyo se refiere a un contraste bilateral, mientras que el nuestro plantea uno unilateral.

Respuesta Ítem 1 Item 2 Item 3 Item 4 Item 5 Item 6

a 1,8% 5,8% 17,4% 3,1% 23,2% 29,5%

b 4,5% 84,8% 50,9% 64,7% 64,3% 1,8%

c 93,3% 5,8% 20,1% 17,4% 4,5% 58,0%

sin contestar 0,4% 3,6% 11,6% 14,7% 8% 10,7%

Tabla 2. Porcentajes de respuestas por Ítem (n=224)

El ítem 2 referido asimismo al planteamiento de las hipótesis fue respondido correctamente por la mayoría de los estudiantes (84,8% de respuestas correctas); de nuevo se obtuvieron mejores resultados que en la investigación de Vallecillos (1994), quien encontró un 56% de respuestas correctas en la muestra global (77,1% en Psicología) en un ítem relacionado con éste, en donde pregunta, entre varias posibilidades, cuál de todas no es una hipótesis nula correcta. Nuestros resultados son bastante mejores, teniendo en cuenta que en nuestro caso, los alumnos han de valorar conjuntamente las dos hipótesis (en lugar de una sola). Los distractores (a; hipótesis que no cubren el espacio muestral) y (c; intercambio entre hipótesis nula y alternativa) tan sólo son elegidos por un 5,8% de alumnos (Vallecillos, 1994 no incluye estos distractores). Finalmente es muy bajo el porcentaje que no responde al ítem (3,6%), mientras que Vallecillos (1994) presenta un 17% de no respuesta, que en la especialidad de Psicología se reducen al 11,4%.

El ítem 3, que evalúa la comprensión de los conceptos de error tipo II y potencia, obtiene un 50,9% de respuestas correctas. Vallecillos (1994) obtiene 22,9% de respuestas correctas en la muestra global (20% en Psicología) en un ítem en que pregunta por la probabilidad de error tipo II (aunque no por la potencia) y su discriminación con la probabilidad de error tipo I. La autora no incluye ítems sobre el concepto de potencia. Un 17,4% elije el distractor (a), confundiendo potencia y nivel de significación (probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo verdadera). Un 20,1% de nuestros estudiantes elige el distractor (c), confundiendo potencia y error tipo II (probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo falsa). También hay un alto porcentaje de alumnos que no responden el ítem (11,6%). En resumen, la comprensión del concepto de potencia es difícil, en línea con lo sugerido por Batanero (2000), Castro et al. (2007) y Díaz, Batanero y Wilhelmi (2008).



El ítem 4, sobre discriminación entre los tipos de error da un 64,7% de respuestas correctas. Un 17,4% elige el distractor (c) confundiendo la definición de error tipo II con la definición de error tipo I. Vallecillos (1994) plantea dos ítems relacionados con la afirmación planteada en este distractor. En el primero, donde se pide identificar la definición correcta de error tipo I, un 6,4% de estudiantes confunden las definiciones de error tipo I y tipo II (11,4% en psicología). En el segundo ítem (que pregunta cuándo se comete error tipo I, una vez tomada una decisión) obtiene un 20% de estudiantes que dan erróneamente las condiciones para cometer error tipo II (24,3% en psicología). En resumen, nuestros estudiantes muestran menor confusión que los de Vallecillos en la definición formal de los tipos de error, pero mayor confusión en cuando a las condiciones prácticas en que se cometen cada uno de ellos. Sólo un 3,1% de estudiantes elige el distractor (a) no interpretando enunciado y 14,7% no responden.

En el ítem 5, que evalúa la comprensión de la relación entre nivel de significación y región crítica, el porcentaje de respuestas correctas es del 64,3%. Un 23,2% ha decidido escoger el distractor (a), confundiendo el contraste unilateral derecho con el izquierdo. Se confirma lo expuesto por Vallecillos (1994), quien sugirió que los estudiantes pueden confundir la manera de construir las regiones de aceptación y rechazo, cuando se trate de un test unilateral ó bilateral. Un 4,5% elige el distractor (c) mostrando dificultad en la lectura de la tabla de la distribución normal, error que también fue descrito por Tauber (2001) en su investigación sobre la construcción de significados acerca de la distribución normal. Vallecillos no incluye en su trabajo ningún ítem que evalúe estas relaciones.

Finalmente, en el ítem 6, sobre criterio de decisión en un contraste, obtuvimos un 58% de respuestas correctas. Un 1,8% de estudiantes elige como correcto el distractor (b), y un 29,5% el distractor (a); estos alumnos eligen únicamente una de las respuestas (a) o (b), a pesar que las dos son correctas. En consecuencia, el concepto de región de rechazo ha sido comprendido por la mayoría de los estudiantes, pero no todos comprenden que si el estadístico está incluido en la región de rechazo, el valor p correspondiente será menor que el nivel de significación. Dichos estudiantes muestran dificultad de comprensión de la idea de distribución muestral, uno de los conceptos más relevantes en inferencia (Harradine, Batanero y Rossman, 2011). Vallecillos (1994) plantea un ítem relacionado con éste en que se da una hipótesis nula y dos alternativas diferentes, preguntando por la hipótesis que se debe aceptar. Para ello el alumno ha de completar el contraste a partir de unos datos dados en el enunciado. La autora encuentra un 33,7% de respuestas correctas (42,9% en el grupo de estudiantes de Psicología), resultado peor que el nuestro. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el ítem planteado por ella es más difícil, en cuanto los fallos podrían producirse por un error aritmético en el cálculo del estadístico de contraste o de lectura de las tablas de la distribución.

5. Discusión y conclusiones

En nuestro trabajo se obtienen mejores resultados en todos los ítems que en otros similares utilizados en la investigación previa y más concretamente en Vallecillos (1994), a pesar de que nuestra muestra está formada exclusivamente por estudiantes de Psicología, mientras que en la de la citada autora intervinieron estudiantes de diferentes especialidades. También sobrepasan nuestros resultados a las submuestras de estudiantes de Psicología en la investigación de Vallecillos (1994). Pensamos que estos mejores resultados se deben a que los estudiantes de nuestra investigación habían seguido dos cursos de estadística (en primer y segundo curso de Psicología) estudiando en el primero el contraste de hipótesis en forma general (los fundamentos) y teniendo en el segundo ocasión de aplicarlo a diferentes problemas, tales como comparación de medias y proporciones en una y varias muestras, así como en el análisis de la varianza.

Lo más sencillo resultó el planteamiento de las hipótesis (ítems 1 y 2) mostrando los estudiantes capacidad para traducir el enunciado de un problema a hipótesis estadísticas, diferenciar hipótesis nula




y alternativa, así como contraste unilateral y bilateral (ítem 1) y comprender que las hipótesis deben plantearse de modo que el conjunto de valores del parámetro en ambas hipótesis cubran el espacio paramétrico y sean conjuntos excluyentes (ítem 2). En consecuencia ha sido poco frecuente la confusión entre hipótesis nula y alternativa que Vallecillos (1994; 1999) encontró un 13% aproximadamente de alumnos en su estudio.

Encontramos que algunos errores continúan después de la enseñanza recibida por estos estudiantes, que como se ha indicado, fue de dos cursos de estadística y se hizo especial énfasis en el contraste de hipótesis. Respecto al concepto de potencia (tema no abordado en la investigación de Vallecillos), un 17,4% de estudiantes lo confunde con el nivel de significación y otro 20,1% con el error tipo II (ítem 3). Pensamos que estas confusiones, no señaladas en la literatura previa, son importantes pues Valera, Sánchez y Marín (2000) señalan que, entre todas las críticas a la aplicación actual del contraste de hipótesis, la más importante es el error en el cálculo de la potencia. Dicho error afectará a la validez del resultado, debido a la alta probabilidad de obtener resultados no significativos ambiguos, en los que no se sabe si la hipótesis nula podría ser cierta o el resultado se debe a una baja potencia.

Observamos en el ítem 4 un porcentaje apreciable de alumnos que, o bien, confunden los errores I y II o muestran confusión sobre su significado, confirmando lo sugerido por Batanero, Díaz y Wilhelmi (2008). Sería necesario insistir sobre el significado de estos conceptos, pues su falta de comprensión inhabilita al investigador para interpretar los resultados de sus contrastes o para leer en forma crítica los resultados de las investigaciones en revistas de su especialidad. Un 23,2% en el ítem 5 confunde la región de aceptación y rechazo para el contraste unilateral derecho y el izquierdo, confirmando lo expuesto por Vallecillos (1994), quien observa una confusión de la forma cómo hay que construir dichas regiones. Esta confusión llevará al estudiante a tomar una decisión equivocada (aceptar cuando debiera rechazar o viceversa). Finalmente, en el ítem 6 alrededor de un 29% de estudiantes no relacionan la región de aceptación /rechazo con el valor p y el nivel de significación, conceptos que debieran estar suficientemente claros y bien relacionados, para ser capaces de construir las regiones críticas y alternativa.

En resumen, por un lado en todos los ítems se obtuvieron mejores resultados que en otros similares utilizados en la investigación previa, donde no se describe la enseñanza recibida por las muestras participantes. Pero, por otro lado, no todos los errores logran erradicarse en los dos cursos seguidos por los alumnos. Estos resultados son razonables, debido al gran número de conceptos que deben discriminar y relacionar los estudiantes en un contraste de hipótesis correcto. También apoyan la sugerencia de Vera, Díaz y Batanero (2011) sobre la necesidad de revisar la enseñanza de la inferencia estadística, puesto que los errores encontrados son fundamentales en la elaboración de un contraste de hipótesis

Seguramente hay que aceptar la conclusión de Harradine, Batanero y Rossman (2011) de que el razonamiento inferencial no puede desarrollarse en un espacio corto de tiempo y sería importante comenzar a introducirlo de forma informal desde la enseñanza secundaria. Se podría ayudar también a los estudiantes en su construcción del razonamiento inferencial, comenzando con el planteamiento de actividades informales de inferencia, como propone Rossman (2008) antes de iniciar el aprendizaje formalizado de los contrastes de hipótesis. Esperamos en consecuencia que nuestros resultados animen a otros investigadores a proseguir analizando las dificultades de los estudiantes en la inferencia estadística y a proponer acciones educativas que contribuyan a mejorar el aprendizaje de estos conceptos.

Agradecimientos: Proyecto EDU2010-14947 (MCINN-FEDER) y grupo FQM126 (Junta de Andalucía).



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Carmen Batanero, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada, es doctora en Matemáticas. Su línea de investigación es la Educación Estadística, tema sobre el que ha coordinado varios grupos de trabajo y dirigido tesis 14 doctorales. Fue presidenta de la International Association for Statistical Education (IASE) y miembro de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI).Ha publicado trabajos en revistas nacionales e internacionales (ver http://www.ugr.es/~batanero/).

Osmar Darío Vera, Universidad Nacional de Quilmes. Es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires, Máster en Estadística por la Pontificia Universidad Católica de Chile y en Didáctica de las Matemáticas por la Universidad de Granada. Ha sido becado por la Fundación Carolina en Argentina para realizar su tesis doctoral en la Universidad de Granada. Ha publicado trabajos en revistas nacionales e internacionales

Carmen Díaz, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Huelva, es doctora en Psicología. Fue becaria del Plan de Formación del Profesorado Universitario y es actualmente Profesora Contratado Doctor en área de Metodología de las Ciencias del Comportamiento. Su línea de investigación son la enseñanza y aplicaciones de la estadística, tema en el que ha codirigido dos tesis doctorales. Ha publicado trabajos sobre inferencia estadística en revistas y congresos nacionales e internacionales



Evaluación de conocimientos de profesores en formación sobre el juego equitativo

Nordin Mohamed Maanan (Escuela de Arte. Melilla) Juan Jesús Ortiz de Haro (Universidad de Granada)

Fecha de recepción: 5 de noviembre de 2011 Fecha de aceptación: 9 de enero de 2012

Resumen El objetivo de este trabajo es evaluar los conocimientos matemático-didácticos, de una muestra de 283 futuros profesores de Educación Primaria en relación a la idea de juego equitativo a través de sus respuestas a una tarea abierta. El conocimiento común del contenido se analiza a través de sus soluciones a un problema, tomado de un libro de texto de primaria. El conocimiento especializado del contenido y el conocimiento del contenido y los estudiantes se infieren a partir del análisis que realizan los participantes, trabajando en pequeños grupos, de los contenidos matemáticos en la tarea y de las respuestas correctas e incorrectas proporcionadas al resolver el problema por alumnos de Educación Primaria. Los resultados sugieren la necesidad de reforzar la formación de los futuros profesores, tanto en el conocimiento matemático como en el conocimiento didáctico.

Palabras clave Conocimiento del profesor, Juego equitativo, Formación de profesores

Abstract The aim of this study is to evaluate teaching mathematical knowledge, a sample of 283 pre-service primary school teachers in relation to the idea of fair game through their answers to an open-problem. Common knowledge of content is assessed through their solutions to a problem, taken from a textbook. Specialized knowledge of content and knowledge of content and students are inferred from the analysis made by participants, working in small groups, of task’ mathematical content and the correct and incorrect answers provided by primary school students to solve the problem. Results suggest the need to reinforce the training of of pre-service teachers, both in mathematical knowledge as in didactic knowledge.

Keywords Knowledge of the teacher, Fair game, teacher’s training

1. Introducción

En la actualidad se observa un interés en adelantar el estudio de los fenómenos aleatorios y la probabilidad a la Educación Primaria. Por ejemplo, en los Decretos de Enseñanzas Mínimas del Ministerio de Educación en España (MEC, 2006) se incluyen los siguientes contenidos en el primer ciclo de este nivel educativo: "Fenómenos aleatorios y vocabulario relacionado";"descripción y cuantificación de situaciones aleatorias"; "reconocimiento de fenómenos aleatorios en la vida cotidiana"; "planificación y realización de experimentos simples para estudiar el comportamiento de los fenómenos aleatorios". Otros currículos (por ejemplo, NCTM, 2000; SEP, 2006) sugieren transmitir al niño un lenguaje elemental probabilístico mediante juegos, experimentos y observación

Evaluación de conocimientos de profesores en formación sobre el juego equitativo N. Mohamed y J. J. Ortiz


de fenómenos naturales, para que aprenda a identificar las situaciones aleatorias y llegue al final de la etapa a asignar algunas probabilidades sencillas.

La consecución de estos objetivos requiere, según Stohl (2005), una formación adecuada del futuro profesor de Educación Primaria. Por ejemplo, en España, dicha formación debe garantizar la adquisición de las competencias establecidas por el Ministerio de Educación (MEC, 2007): competencias matemáticas básicas y capacidad para desarrollar y evaluar contenidos del currículo mediante recursos didácticos apropiados y para promover las competencias correspondientes en los estudiantes.

La investigación sobre formación de profesores diferencia entre el conocimiento del contenido matemático y el conocimiento de contenido pedagógico. Este último sería “la forma particular del conocimiento del contenido que incorpora el aspecto del contenido que guarda más relación con la enseñanza” o bien “esa amalgama especial de contenido y pedagogía que es el campo propio de los profesores, su forma especial de comprensión profesional.” (Shulman, 1986, p. 8-9).

Ball, Lubienski & Mewborn (2001) hablan del conocimiento matemático para la enseñanza, que se describe en Hill, Ball & Schilling (2008) como “el conocimiento matemático que utiliza el profesor en el aula para producir instrucción y crecimiento en el alumno.” (p. 374). Dentro del conocimiento del contenido matemático distinguen entre Conocimiento Común del Contenido (CCC), Conocimiento Especializado del Contenido (CEC), y Conocimiento en el Horizonte Matemático (CHM). Mientras el conocimiento común del contenido es el puesto en juego para resolver problemas matemáticos por cualquier persona, el conocimiento especializado del contenido incluye aspectos que no necesariamente tiene una persona ordinaria, por ejemplo, elegir una secuencia de enseñanza o identificar las ideas matemáticas trabajadas en un problema. El “conocimiento en el horizonte matemático” aporta perspectiva a los profesores para su trabajo, e incluye, por ejemplo, conocimiento de la relación con otras materias, o la historia de las matemáticas.

Para el conocimiento pedagógico del contenido Hill, Ball & Schilling (2008) proponen tener en cuenta el Conocimiento del Contenido y los Estudiantes (CCE), Conocimiento del Contenido y la Enseñanza (CCEn), y Conocimiento del Currículo (CC). El Conocimiento del Contenido y los Estudiantes es el conocimiento de cómo los estudiantes piensan, saben, o aprenden este contenido particular” (p. 375). Incluye el conocimiento de los errores y dificultades comunes, las concepciones erróneas, las estrategias utilizadas, el ser capaz de valorar la comprensión del alumno y saber cómo evoluciona su razonamiento matemático. Respecto al Conocimiento del Contenido y la Enseñanza resulta de la integración del contenido matemático con el conocimiento de la enseñanza de dicho contenido. Incluye saber construir, a partir del razonamiento de los estudiantes y las estrategias utilizadas por ellos, procesos pertinentes para tratar y corregir sus errores y concepciones erróneas.

Más recientemente, Godino (2009) construye un modelo de niveles y facetas del conocimiento matemático didáctico del profesor que engloba los citados anteriormente y propone, asimismo una guía para la formulación de cuestiones de evaluación de dicho conocimiento. En este trabajo se utiliza la metodología sugerida por el autor que consiste en dos pasos:

1. Elegir una tarea matemática cuya solución ponga en juego los principales aspectos del contenido, o de las competencias a desarrollar;

2. Formular consignas que cubran las distintas (o principales) facetas y niveles de análisis didáctico del modelo propuesto. Para evaluar el conocimiento común del contenido, dicha consigna consistiría en resolver el problema; para evaluar el conocimiento especializado del contenido consistiría en identificar los objetos y procesos matemáticos puestos en juego en la solución; para evaluar el conocimiento del contenido y los estudiantes, una consigna posible




sería describir los razonamientos que los alumnos han desarrollado al resolver la tarea propuesta o los principales conflictos en dicha solución.

La finalidad de este trabajo es evaluar los conocimientos de los futuros profesores de Educación Primaria en relación con la idea de juego equitativo. Más concretamente, se centra en el conocimiento común y especializado del contenido y en el conocimiento del contenido y los estudiantes, utilizando la metodología y tipos de consignas sugeridas para estos conocimientos en Godino (2009). A continuación se presenta, en primer lugar, los antecedentes del trabajo. Seguidamente, se analizan las soluciones dadas por 283 futuros profesores de Educación Primaria a un problema relacionado con la idea de juego equitativo, y posteriormente las evaluaciones que realizan, trabajando en grupo, de las respuestas a dicho problema proporcionadas por alumnos de Educación Primaria. Se finaliza con algunas implicaciones para la formación de profesores.

2. Antecedentes

2.1. Comprensión de la idea de juego equitativo en niños y adolescentes

Los juegos de azar tuvieron gran importancia en el origen de la teoría de probabilidad, y como indica Batanero (2005) son uno de los principales contextos en el que los niños pueden comprender las características de las situaciones aleatorias. Estos juegos forman parte de la cultura del niño fuera de la escuela, y, a través de los mismos, según Peard (1990), los niños adquieren conocimientos probabilísticos incluso antes de una instrucción formal. Por este motivo, varias investigaciones han analizado las concepciones de los niños tienen sobre el juego equitativo.

Watson & Collis (1994) estudian las estrategias que siguen los niños para decidir si un dado es o no sesgado, encontrando que, aproximadamente la mitad de los alumnos creían que algunos números tenían más posibilidad que otros de salir, incluso en dados equitativos. Otros niños mostraron concepciones antropomórficas, pensando que un dado tenía su propio razonamiento o se guiaron por las características físicas de los dados o bien usan la experimentación para decidir la equitatividad de los dados.

Lidster, Watson, Collis & Pereira-Mendoza (1995) analizan la influencia de las experiencias extraescolares en el desarrollo de la idea de equitatividad y su relación con la de probabilidad. Para ello realizaron entrevistas a niños de 12 a 14 años, utilizando juegos de azar, y deduciendo sus concepciones, a partir de la representación, interpretación y predicción que hacen sobre los datos. En Lidster, Watson, Collis & Pereira-Mendoza (1996) describen otros estudios con alumnos de 8 a 14 años en los que se preguntó a los alumnos cuáles, entre una serie de dados, eran o no sesgados. Los autores creen que la noción de equitatividad y sesgo se desarrolla antes del comienzo de la escuela y se preguntan si hay un desajuste entre el aprendizaje previsto por el profesor y el conocimiento construido por el alumno. También cuestionan si la comprensión de la idea de sesgo y equitatividad implica la comprensión previa de la idea de muestreo.

Cañizares, Batanero, Serrano y Ortiz (1999) analizan las concepciones de los niños entre 10 y 14 años. La mayoría de ellos demostraron una adecuada concepción del juego equitativo, aunque hubo una gran variedad en las concepciones de los alumnos, desde los que no diferencian entre sucesos equiprobables y no equiprobables, hasta los que son capaces de resolver correctamente todos los problemas.

La equitatividad de un juego puede establecerse de dos modos: (a) si en cada partida todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar, y obtienen la misma cantidad en caso de salir



premiados; (b) igualando las esperanzas de ganancia, que viene dada por el producto entre el premio otorgado y la probabilidad de ganar de cada jugador, si las probabilidades de los jugadores son diferentes.

Scholttmann & Anderson (1994) estudian las intuiciones de los niños de 5 a 10 años sobre la esperanza matemática, utilizando para ello dos tipos de juegos con un solo jugador: (a) Juegos con un solo premio, donde el niño puede obtener o no un premio en caso de resultar un cierto suceso de un experimento aleatorio; (b) En el juego de dos premios el niño siempre obtiene un premio de diferente valor, según el resultado de un experimento aleatorio. Los autores concluyen que, incluso los niños más jóvenes, tienen una intuición correcta sobre la esperanza matemática, teniendo en cuenta, tanto la probabilidad, como el valor del premio para tomar sus decisiones. Sin embargo, tanto la asignación de probabilidad, como la puesta en relación del premio y la probabilidad de ganar sigue, con frecuencia, estrategias aditivas.

2.2. Formación de profesores para enseñar probabilidad

Ponte (2001) indica que los profesores tienen un papel esencial al interpretar y adaptar el currículo, y por ello hay un gran esfuerzo de investigación sobre formación de profesores (por ejemplo, Llinares & Krainer, 2006; Hill, Sleep, Lewis & Ball, 2007; Wood, 2008). Sin embargo, el caso específico de la formación de profesores para enseñar probabilidad, apenas se ha tenido en cuenta, a pesar de su especificidad.

Por otro lado, algunas investigaciones señalan la existencia de concepciones erróneas y dificultades en relación a la probabilidad en los futuros profesores. Por ejemplo, Azcárate (1995) en un estudio realizado con 57 futuros profesores de Educación Primaria, encontró que muy pocos mostraban una idea clara sobre las características de los fenómenos aleatorios. Los participantes razonaron, en su mayoría, desde presupuestos casuales; tuvieron una fuerte influencia de los aspectos contextuales y minusvaloraron el posible estudio matemático de los fenómenos aleatorios. Se detectó también falta de esquemas combinatorios y ausencia de instrumentos elementales para la asignación de probabilidades, cuantificando las expectativas de ocurrencia de un suceso desde criterios personales. Asimismo, Batanero, Arteaga, Ruiz & Roa (2010) encuentran concepciones incorrectas sobre la aleatoriedad e independencia en un estudio con 215 futuros profesores de Educación Primaria.

Ortiz, Mohamed, Batanero, Serrano & Rodríguez (2006) realizan un estudio con 102 futuros profesores de Educación Primaria proponiendo problemas elementales de comparación de probabilidades. En general, hacen uso de estrategias correctas, multiplicativas y correspondencias, que se corresponde con un buen nivel de razonamiento proporcional, aunque todavía hay un grupo importante que produce errores. Los más frecuentes están relacionados con el sesgo de equiprobabilidad, elementos subjetivos y falta de razonamiento proporcional. Sánchez (2002) y Batanero, Godino & Cañizares (2005) describen el efecto positivo de experiencias de enseñanza basadas en simulación sobre la superación de algunos sesgos en el razonamiento de los profesores. López (2006) analiza la forma en que los profesores diseñan y llevan a cabo unidades didácticas para la enseñanza de la probabilidad, mostrando la gran dificultad de estos profesores al enfrentarse a conceptos nuevos para ellos.

Respecto a la idea de juego equitativo, Azcárate (1995) propone tres ítems basados en el lanzamiento de dos dados, preguntando si sería justo apostar a producto par, suma par y suma 5 o 6. Los participantes mostraron mucha dificultad para diferenciar los juegos equitativos y basan su argumento en la equiprobabilidad de los resultados, reglas aritméticas o argumentación combinatoria. En este trabajo completaremos la investigación de la citada autora, analizando, tanto el conocimiento




matemático, como el conocimiento profesional en futuros profesores. A continuación describimos la metodología y los resultados obtenidos.

3. Método

La muestra participante estuvo formada por 283 futuros profesores de la especialidad de Educación Primaria, estudiantes de segundo curso de la Facultad de Educación de la Universidad de Granada, España, que cursaban la asignatura Matemáticas y su Didáctica. Esta materia está estructurada en diferentes bloques de contenido, entre los que incluye uno sobre estadística descriptiva y probabilidad.

Los datos se recogieron en la mencionada asignatura a lo largo de dos sesiones. En la primera se proporcionó a los estudiantes el problema presentado en la figura 1, tomado de un libro de texto de sexto curso de Educación Primaria, pidiéndoles que resolvieran por escrito el apartado 1, con el objeto de evaluar su conocimiento común del contenido matemático. En la segunda sesión, se pidió que resolvieran por escrito el resto de los apartados, trabajando en pequeños grupos de dos o tres alumnos (31 grupos en total).

A continuación presentamos un problema tomado de un libro de texto, junto con algunas soluciones dadas por niños.

1. Resuelve el problema

2. Indica el contenido matemático que tienen que usar los alumnos para dar la respuesta correcta

3. Señala cuál o cuáles de las respuestas dadas por alumnos son correctas

4. Para cada una de las respuestas incorrectas señala las posibles intuiciones o estrategias incorrectas que han llevado a los estudiantes a dar una respuesta errónea

Problema: Carmen y Daniel han inventado un juego de dados con las siguientes reglas: - Lanzan dos dados y calculan la diferencia de puntos entre el mayor y el menor. - Si resulta una diferencia de 0, 1 o 2, entonces Carmen gana 1 ficha. - Si resulta 3, 4, o 5 es Daniel quien gana una ficha.

¿Te parece que este juego es equitativo? ¿Por qué? Respuestas de los niños: Ana. “Es equitativo, pues cada uno tiene tres oportunidades de ganar” Beatriz. “No es equitativo pues Carmen tiene doble oportunidad de ganar que Luis” Carlos. “Para que fuese equitativo, la diferencia 0 tendría que salir el mismo número de veces

que la 3. Pero la diferencia 0 sale 6 veces y la 3 solo 3 veces”.

Figura 1. Cuestionario

El apartado 2 pide analizar el contenido matemático necesario para resolver el problema. De acuerdo con Godino (2009), este tipo de pregunta lleva a pensar de manera sistemática en los diferentes procedimientos posibles de resolución, modalidades de expresión, conceptos y propiedades que se ponen en juego en su formulación, así como sobre maneras de argumentar o justificar los procedimientos y por tanto evalúa el conocimiento especializado del contenido. En el apartado 3 se debe decidir, entre una serie de respuestas dadas por niños al problema, cuáles de ellas son correctas o incorrectas, y en el 4 indicar las posibles intuiciones o estrategias incorrectas que han llevado a los



estudiantes a dar una respuesta errónea evaluando por tanto, el conocimiento del contenido matemático y los estudiantes.

En el apartado 1, la respuesta correcta es que el juego no es equitativo, pues Carmen gana a la larga 24 veces de cada 36, es decir 2/3 de las veces, mientras Daniel gana 1/3. Una posible ayuda que pueden usar los alumnos de Educación Primaria o los futuros profesores para resolver el problema es preparar un recuento de todos los casos posibles en el experimento (espacio muestral), clasificándolos según el valor de la diferencia entre el valor mayor y menor de los puntos (Figura 2). En esta figura se presenta la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (diferencia) implícita en el juego. No esperamos que los futuros profesores reconozcan la variable aleatoria, pues no la han estudiado, pero si que preparen un esquema similar al de la figura 2. Por recuento simple de los casos y aplicando la regla de la suma de probabilidades, se deduce fácilmente la solución. Los alumnos tienen que movilizar una idea elemental de juego equitativo, como juego que concede a los dos jugadores la misma probabilidad.

Diferencia Casos posibles Número de casos Probabilidad Gana

0 11,22,33,44,55,66 6 6/36 Carmen

1 12,21,23,32,34,43,45,54,56.65 10 10/36 Carmen

2 13,24,31,35,42,46,53,64 8 8/36 Carmen

3 14,25,36,41,52,63 6 6/36 Daniel

4 15,26,51,62 4 4/36 Daniel

5 16,61 2 2/36 Daniel

Total 36

Figura 2. Esquema solución

En el apartado 2, se espera que los futuros profesores identifiquen algunos contenidos matemáticos presentes en el problema como: experimento aleatorio, suceso, espacio muestral, casos favorables y posibles, idea intuitiva de convergencia, equitatividad, variable, valor esperado, razonamiento combinatorio elemental (para deducir todos los casos).

En el apartado 3, la respuesta correcta es la que proporciona Beatriz, que considera que el juego no es equitativo porque “Carmen tiene doble oportunidad de ganar que Luis”, tal como hemos visto en la solución previa del mismo. Las respuestas incorrectas son las de Ana y Carlos. En el primer caso, Ana considera que al tener cada uno de los jugadores tres opciones el juego es equitativo, pero no tiene en cuenta la probabilidad de cada uno de los sucesos. La respuesta de Carlos también es incorrecta ya que la diferencia 0 se obtiene 6 veces pero la diferencia 3 también se obtiene 6 veces como podemos observar en la solución presentada anteriormente. El error de Carlos ocurre al no tener en cuenta el orden de los dados, considerando, por ejemplo, indiferentes las soluciones 14 y 41, que está relacionado con la falta de capacidad combinatoria descrita en Azcárate (1995).

En el apartado 4, las posibles dificultades que pueden tener los alumnos son no comprender bien la idea de juego equitativo, no concebir la convergencia a la larga, interpretar la pregunta en forma no probabilística, fijándose únicamente en el resultado del experimento, manifestando el “Outcome approach” descrito por Konold (1989; 1995). También se puede manifestar sesgos como el de equiprobabilidad (Lecoutre, 1992) o tener fallos en la idea de esperanza matemática o en el razonamiento combinatorio. A continuación presentamos los resultados.




4. Conocimiento común del contenido

En este apartado se analizan las respuestas de los futuros profesores a la pregunta de si el juego era equitativo, y también los argumentos para justificarlas. Mediante un análisis de contenido de las mismas, se han obtenido las siguientes categorías:

4.1. Respuestas correctas o parcialmente correctas

R1. Respuesta correcta. Estudiantes que indican que el juego no es equitativo calculando correctamente la probabilidad de cada jugador. Solo tres participantes del estudio fueron capaces de enumerar el espacio muestral mediante un esquema similar al de la figura 2 y, a partir de él, calcular correctamente la probabilidad de cada jugador. Una vez calculada, indican que el juego no es equitativo porque Carmen tiene el doble de posibilidades realizando el cálculo de probabilidades correctamente, es decir, identifica correctamente el número de casos posibles y favorables. Un ejemplo (alumno 254) que resuelve el cálculo de probabilidades ayudándose de una tabla para realizar el cálculo se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Ejemplo de respuesta categoría R1

Hemos considerado como respuestas parcialmente correctas las de aquellos estudiantes que indican que el juego no es equitativo porque Carmen tiene más posibilidades, pero no llegan a calcular correctamente las posibilidades de cada jugador. Presentamos a continuación las cinco categorías obtenidas:

R2. Estudiantes que indican que el juego no es equitativo, porque Carmen tiene más posibilidades sin cálculo de probabilidades. Un ejemplo es el alumno 216, que afirma que “No (es equitativo), porque Carmen tiene más posibilidades de ganar una ficha”.

R3. Estudiantes que indican que el juego no es equitativo, ya que Carmen tiene más probabilidades pero, aunque identifican los casos posibles, tienen error en los cálculos. Un ejemplo (alumno 28) se presenta en la Figura 4. El alumno ha utilizado el diagrama del árbol para enumerar el espacio muestral, pero su falta de capacidad combinatoria le hace llegar a una enumeración incompleta. Por otro lado, la solución aportada es también incorrecta porque la suma de dos sucesos complementarios no es igual a la unidad, hecho que el alumno no percibe.




R4. Estudiantes que indican que el juego no es equitativo, ya que Carmen tiene más probabilidades y cometen un error de orden al identifican los casos posibles. En la Figura 5 mostramos un ejemplo (alumno 265) que considera que las diferencias 0, 1 y 2 con las que juega Carmen se obtendrían 15 veces mientras que las diferencias 3, 4 y 5 se obtendrían 6 veces.


R5. Estudiantes que contestan que el juego no es equitativo e indican que Carmen gana a la larga. Se observa una percepción de la convergencia, pero el estudiante no llega a cuantificar las posibilidades de cada jugador. Un ejemplo (alumno 141) es el siguiente: “No (es equitativo), Carmen tiene ventaja a la larga”.

R6. Estudiantes que indican que el juego no es equitativo pero no justifican la respuesta. Dentro de ella hemos considerado los alumnos que consideran que el juego no es equitativo pero que no explican su respuesta.

4.2. Respuestas incorrectas

El resto de las respuestas son incorrectas, pues el alumno, o bien indica que el juego es equitativo o bien considera que el juego no es equitativo pero manifiesta una incorrecta percepción de la independencia o da otro tipo de respuestas. Presentamos a continuación las cinco categorías obtenidas:

R7. Estudiantes que indican que el juego es equitativo, mostrando el sesgo de equiprobabilidad. Son los estudiantes que sólo tienen en cuenta los valores de las diferencias (0, 1,2) frente a (4, 5 6), asignando a cada una de las diferencias igual probabilidad. Muestran, en consecuencia el sesgo descrito por Lecoutre (1992). Un ejemplo es el alumno 166 que afirma que “Si (es equitativo), porque los dos tienen las mismas posibilidades de que salgan esas diferencias”.




R8. Estudiantes que indican que el juego es equitativo basándose en que el juego es aleatorio. Un ejemplo es el alumno 65 que afirma que “Si (es equitativo), porque los números que salgan en los dados salen a suerte, por lo que la diferencia entre ellos también”.

R9. Estudiantes que indican que el juego no es equitativo, mostrando incorrecta percepción de la independencia. Dentro de ella hemos encontrado alumnos que aplican la falacia del jugador, indicando que Carmen tiene menos posibilidades puesto que es muy difícil que la diferencia sea 0 por la repetición del mismo número en los dos dados. Un ejemplo es el alumno 183 que responde que “No (es equitativo), porque hay menos posibilidades de sacar una diferencia de 0, es decir que los dos dados saquen el mismo número”.

R10. Estudiantes que indican que el juego es equitativo. Dentro de ella hemos considerado los alumnos que indican que el juego es equitativo y no justifican su respuesta.

R11. Estudiantes que dan otro tipo de respuestas. Un ejemplo es el alumno 131 que responde “No es equitativo porque tiene los resultados consecutivos tendrían que repartirse los números para que lo fuera”. Otro ejemplo es el alumno 103 que responde “Sí (es equitativo), porque los dos lanzan a la vez los dados”.

Una vez categorizadas las respuestas de los futuros profesores, obtuvimos las frecuencias de cada una de ellas, que se presentan en la tabla 1.

Respuesta

Correctas/parc. correctas

Incorrectas No contesta

Juego no equitativo

Juego equitativo

Juego no equitativo

R1. Respuesta correcta 3

R2. Sin cálculo de probabilidades 50

R3. Identifican casos posibles, error en cálculos 18

R4. Cometen error al identificar casos posibles 27

R5. Carmen gana a la larga 4

R6. No justifican respuesta 3

R7. Sesgo equiprobabilidad 87

R8. El juego es aleatorio 5

R9. Incorrecta percepción independencia 13

R10. No justifican su respuesta 2

R11. Otras respuestas 3 10

Total 105 97 23 58

Tabla 1. Frecuencia de respuestas correctas o parcialmente correctas e incorrectas

En ella, observamos que han respondido correctamente que el juego no es equitativo, categoría R1, solo 3 futuros profesores (1 %). De forma parcialmente correcta han contestado 102 futuros profesores (36 %), que indican que el juego no es equitativo porque Carmen tiene más posibilidades, pero no justifican su respuesta o cometen algún error, que se distribuyen entre las cinco categorías descritas anteriormente: R2, con 50 futuros profesores que no realizan ningún cálculo para justificar su respuesta; R3, con 18 futuros profesores que cometen algún error en los cálculos; R4, con 27 futuros profesores que cometen un error al identificar los casos posibles; R5, con 4 futuros profesores, que



aunque manifiestan cierta percepción de la convergencia, no llegan a cuantificar las posibilidades de cada jugador y por último la categoría R6, con 3 futuros profesores, que no justifican la respuesta.

De forma incorrecta han contestado 120 futuros profesores (42.4 %), de los que 97 responden que el juego es equitativo y 23 que aunque consideran que el juego no es equitativo, sus justificaciones son incorrectas. Entre los que responden que el juego es equitativo hay cuatro categorías de las descritas anteriormente: R7, con 87 futuros profesores que manifiestan el sesgo de equiprobabilidad descrito por Lecoutre (1992); R8, con 5 futuros profesores que basan su afirmación en que se trata de un juego aleatorio; R10, con 2 futuros profesores que no aportan ninguna justificación y R11, con 3 futuros profesores que dan otro tipo de respuestas. Entre los que responden que el juego no es equitativo encontramos dos categorías de las descritas con anterioridad: R9, con 13 futuros profesores que manifiestan una incorrecta percepción de la independencia y R11, con 10 futuros profesores que dan otro tipo de respuestas.

En la tabla 2 se presentan los resultados sobre percepción de la equitatividad del juego. Observamos que menos de la mitad de los futuros profesores proporcionan una respuesta correcta (41.7 %), indicando que el juego no era equitativo. Entre las respuestas incorrectas destacan las que indican que el juego es equitativo (33.2 %), seguidas de los que aportan otro tipo de respuestas (4.6 %). Entre éstos últimos, unos contestan que el juego es equitativo y otros que no es equitativo, pero la justificación es totalmente incorrecta, como el alumno 192 que responde “Sí (es equitativo), es difícil sacar siempre lo mismo o los mismos números. Los dos tienen una serie de números difícil de sacar”.

Frecuencia %

No es equitativo 118 41.7

Si es equitativo 94 33.2

Otro tipo de respuestas 13 4.6

No contesta 58 20.5

Total 283 100

Tabla 2. Frecuencia y porcentajes de respuestas de los futuros profesores

5. Conocimiento especializado del contenido

Como hemos indicado, en la segunda sesión los futuros profesores trabajaron en pequeños grupos para resolver el resto de las cuestiones. A continuación, analizamos los resultados en el segundo apartado en que preguntamos por los conocimientos puestos en juego en la solución.

5.1. Análisis de las respuestas al apartado 2

En la tabla 3, observamos que el contenido matemático mejor identificado por los futuros profesores como necesario para resolver el problema fue el concepto de probabilidad (11 grupos). El azar y la aleatoriedad son citados por pocos grupos (6 grupos), siendo también escasa la mención del razonamiento combinatorio o razonamiento lógico (6 grupos), estadística (5 grupos) o estimación de frecuencias de probabilidad o de frecuencia relativa (4 grupos). Dos grupos en cada caso hicieron referencia a experimentación, posibilidades, fracciones y operaciones numéricas. Por último, citados por un solo grupo aparecen los conceptos de equidad y tabla. No se identifica el espacio muestral, o sucesos, casos favorables o posibles, idea de juego equitativo, valor esperado o razón, por lo que consideramos que el conocimiento especializado del contenido mostrado por los futuros profesores sería, en consecuencia, muy escaso.




Objetos identificados Frecuencia

Correctamente Azar/aleatoriedad 6

Experimento aleatorio 2

Posibilidades 2

Probabilidad 11

Razonamiento combinatorio/ lógico 6

Fracciones 2

Juego equitativo 1

Operaciones numéricas 2

Tablas 1

Incorrectamente Estadística/Gráfico estadístico 5

Estimación frecuencial probabilidad/f.rel(1) 4

No utiliza conocimiento matemático 1

Tabla 3. Contenidos matemáticos identificados por grupos de futuros profesores (n =31)

Sin embargo, si consideran necesarios para la resolución de este problema conceptos o gráficos estadísticos así como la utilización del enfoque frecuencial de la probabilidad que no son pertinentes.

6. Conocimiento del contenido y de los estudiantes

En los apartados tercero y cuarto se pide a los futuros profesores evaluar las respuestas de estudiantes de Educación Primaria e indicar las causas de sus dificultades. A continuación analizamos los resultados.

6.1. Análisis de las respuestas al apartado 3

En la tabla 4 observamos que ha habido cierta dificultad a la hora de discriminar las respuestas correctas e incorrectas al problema. Así, la respuesta correcta dada por Beatriz de que el juego “No es equitativo pues Carmen tiene doble oportunidad de ganar que Luis” ha sido identificada como tal solo por 14 grupos de futuros profesores frente a 17 grupos que consideraron que dicha respuesta es incorrecta. Otro caso difícil de discriminar fue la respuesta incorrecta del alumno Carlos de que “Para que fuese justo (el juego) la diferencia 0 tendría que salir el mismo número de veces que la 3. Pero la diferencia 0 sale 6 veces y la 3 solo 3 veces”, ya que aunque 17 grupos la consideran efectivamente incorrecta hay 14 grupos que indican que es correcta. El caso más sencillo de discriminar ha sido la respuesta dada por Ana de que “(el juego) Es equitativo, pues cada uno tiene tres oportunidades de ganar” ya que 27 grupos la identificaron como incorrecta y tan solo 4 grupos consideran que es correcta. Entre los participantes hay tres grupos que consideran que hay dos respuestas correctas, que son las dadas por Beatriz y Carlos. Y diez grupos que consideran incorrecta la respuesta correcta de Beatriz, ya que aunque están de acuerdo en que el juego no es equitativo, consideran que la justificación de Beatriz no es adecuada y eligen como respuesta correcta la aportada por Carlos.

Correcta Incorrecta

Ana 4 27

Beatriz 14 17

Carlos 14 17

Tabla 4. Frecuencia de respuestas consideradas correctas por los grupos de futuros profesores (n = 31)



Pocos grupos detectan las causas de los razonamientos erróneos (tabla 5). En el caso de la respuesta incorrecta de Ana, las estrategias erróneas que consisten en considerar todos los resultados equiprobables (sesgo de equiprobabilidad) y en la incorrecta estimación de los casos posibles han sido reconocidas por 6 grupos de futuros profesores cada una de ellas, seguida de la de no comprender bien la idea de juego equitativo (3 grupos). Solo dos grupos han reconocido las estrategias de considerar los números en lugar de diferencias y la justificación de que el alumno no comprende el problema. En el caso de la respuesta incorrecta de Carlos, la estrategia errónea más reconocida ha sido considerar que el alumno falla en la estimación de casos posibles (4 grupos), seguida de la estrategia de centrarse solo en la diferencia cero (2 grupos). Menos reconocidas han sido las estrategias de considerar que el alumno no comprende bien la idea de juego equitativo y la justificación de que el alumno no comprende el problema.

Explicación dada al error del alumno ficticio Ana Carlos

El alumno manifiesta el sesgo de equiprobabilidad 6

El alumno falla en la estimación de casos posibles 6 4

El alumno no comprende bien la idea de juego equitativo 3 1

El alumno ha considerado números en lugar de diferencias 2

El alumno no comprende/no lee el problema 2 1

El alumno se centra solo en la diferencia cero 2

No saben explicar la causa del error 6 8

Tabla 5. Identificación de dificultades por los grupos de futuros profesores en las respuestas erróneas de los niños (n = 31)

En ambos casos destaca el importante número de grupos que no explica la causa del error cometido por el alumno.

7. Discusión y conclusiones

Los resultados del estudio muestran que la mayoría de los futuros profesores de Educación Primaria tienen un escaso conocimiento común del contenido, pues no reconocen ni aplican correctamente la idea de juego justo o equitativo para resolver el problema. Entre los participantes que han respondido de forma incorrecta, el error identificado con más frecuencia ha sido el sesgo de equiprobabilidad, que coincide con los resultados obtenidos en investigaciones previas con futuros profesores, aunque en un caso resolviendo problemas de comparación de probabilidades (Ortiz et al., 2006) y en otro trabajando mediante proyectos estadísticos (Batanero et al., 2010). Otros errores encontrados han sido la realización incorrecta de los cálculos de la probabilidad, el sesgo conocido como la falacia del jugador y los que han basado su respuesta en que el juego es aleatorio. Se ha detectado también falta de capacidad combinatoria, que les ha impedido, a pesar de ayudarse con el diagrama del árbol, realizar una enumeración completa del espacio muestral, que confirma los resultados de la investigación de Azcárate (1995). Un alto porcentaje de los futuros profesores manifiesta una incorrecta percepción de la equitatividad del juego, como en la investigación de Azcárate (1995), pero en una proporción muy superior. Destaca también el hecho de que casi la cuarta parte de los futuros profesores no contesta el problema.

El conocimiento especializado del contenido mostrado por estos futuros profesores al identificar los contenidos matemáticos en la tarea propuesta fue claramente insuficiente, ya que solamente algunos grupos reconocen los conceptos de probabilidad y de aleatoriedad como contenidos matemáticos necesarios para resolver el problema, y fallan en el reconocimiento de otros conceptos




matemáticos fundamentales como espacio muestral, sucesos, casos favorables o posibles, idea de juego equitativo, valor esperado o razón. Esto es un motivo de preocupación, pues muchas de las actividades que realiza el profesor, tales como “indagar lo que los estudiantes conocen, elegir y manejar representaciones de las ideas matemáticas, seleccionar y modificar los libros de texto, decidir entre modos posibles de acción” (Ball, Lubienski & Mewborn, 2001, p. 453) dependen de su razonamiento y pensamiento matemático. Como consecuencia, las creencias, el conocimiento del contenido didáctico y las decisiones instruccionales dependen del conocimiento especializado que el profesor tiene sobre el contenido estadístico, que en nuestra investigación es muy insuficiente. En este sentido, nuestros datos apoyan las conclusiones de Chick y Pierce (2008), quienes indican que algunos profesores no son capaces de identificar los conceptos latentes en una situación didáctica, y, en consecuencia, por este motivo podrían fallar en conseguir que los estudiantes aprendan dichos contenidos.

En relación con el conocimiento del contenido y los estudiantes, menos de la mitad de los grupos de futuros profesores acertó que la respuesta correcta era la aportada por la alumna Beatriz y casi la mitad considera que es correcta la respuesta errónea de Carlos. Fue mucho menor el conocimiento mostrado de las posibles razones de los errores en las respuestas de los alumnos, posiblemente porque los futuros profesores carecen de habilidad para explicar los errores de los estudiantes y desconocen los resultados de las investigaciones sobre didáctica de la probabilidad, que habría que transmitirles, mediante una adecuada transposición didáctica previa.

Nuestros resultados apuntan la necesidad de reforzar la formación de los futuros profesores de Educación Primaria, tanto en su conocimiento matemático, como en el conocimiento pedagógico del contenido (en sus diversas vertientes). Como consecuencia, el formador de profesores debe tener en cuenta estos diversos tipos de conocimiento, al abordar la formación de profesores para enseñar probabilidad. Es importante también considerar la metodología para llevar a cabo esta formación, proponiendo a los futuros profesores una muestra de situaciones experimentales y contextualizadas, que sean representativas del juego equitativo, y preparándolos en la componente didáctica, con ayuda de situaciones relacionadas con la docencia. Las nuevas tecnologías y los foros de discusión, según Viseo & Ponte (2009), pueden ser también un vehículo formativo que permita a los profesores intercambiar experiencias y ganar conocimiento de la práctica educativa. Resaltamos también la necesidad de continuar la investigación sobre otros componentes del conocimiento del profesor en el campo de la probabilidad, como paso necesario para mejorar la formación de los profesores.

Agradecimientos

Proyecto EDU2010-14947 (MICINN y FEDER) y Grupo FQM-126, Junta de Andalucía.

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Nordin Mohamed Maanan, Licenciado en Informática por la Universidad de Granada. Diploma de Estudios Avanzados por la Universidad de Granada. Actualmente es profesor de Diseño Informático en la Escuela de Arte “Miguel Marmolejo” de Melilla. Ha realizado numerosas publicaciones nacionales e internacionales sobre probabilidad y estadística. Juan Jesús Ortiz de Haro, Licenciado y Doctor en Matemáticas por la Universidad de Granada. Actualmente es profesor Titular de Didáctica de la Matemática de la Facultad de Educación y Humanidades (Universidad de Granada), en Melilla. Ha realizado numerosas publicaciones en revistas nacionales e internacionales sobre probabilidad y estadística.



Hablando sobre Enseñanza de la Matemática con estudiantes futuros profesores de matemática

José Servelión Graterol (Instituto pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara”. Venezuela)

Fecha de recepción: 13 de Agosto de 2011 Fecha de aceptación: 27 de abril de 2012

Resumen En este trabajo se presentan ideas de estudiantes sobre la Educación Matemática en Venezuela. Es importante reconocer que ellos son futuros profesores de matemática cursantes del último semestre del Instituto Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara” de Maracay. El objetivo fundamental de la misma es analizar la concepción que tienen sobre la enseñanza de la matemática los estudiantes del curso Educación Matemática del mencionado Instituto. La investigación se corresponde con un nivel descriptivo, interpretativo, por cuanto se consideran los hallazgos en las teorías específicas y los aportes de los informantes en el ámbito real del estudio, así se vinculan las condiciones existentes, opiniones y puntos de vista sobre la enseñanza de la matemática. Para desarrollar este trabajo, el investigador se valió de registros descriptivos de la manera como se producía la interacción dentro de los grupos y, para facilitar el trabajo organizó 6 grupos de 4 estudiantes cada uno, teniendo como contexto, el aula 1 y 3 del departamento de matemática del Pedagógico de Maracay, estado Aragua. Es de hacer notar, que los grupos se conformaron de acuerdo con su vivencia, sin la intervención del investigador. Los hallazgos permitieron concluir que la enseñanza de la matemática necesita antes que todo del conocimiento matemático por cuanto este es el conocimiento a impartir, además tanto la pedagogía como la didáctica general aportarán las herramientas necesarias para investigar, elaborar y desarrollar ideas teóricas y prácticas con el fin de que el conocimiento matemático sea aceptado por los estudiantes de manera más amena.

Palabras clave Concepción de la matemática, didáctica general, conocimiento matemático.

Abstract In this work we present ideas of students about Mathematics Education in Venezuela. It is important to recognize that they are future teachers of mathematics students in the last six months in the Pedagogical Institute “Rafael Alberto Escobar Lara” of Maracay. The fundamental objective of the same is to analyze the design they have on the teaching of mathematics Students of the course Mathematics Education of the mentioned Institute. The research is in line with a descriptive level, interpretative, as are considered to be the findings of specific theories and the contributions of the respondents in the actual scope of the study, as well linked the existing conditions, views and points of view on the teaching of mathematics. To develop this work, the investigator is worth of descriptive records in the same way as produced the interaction within the Groups and, to facilitate the work organized 6 groups of 4 students each, taking as a context, the classroom 1 and 3 The department of mathematics of the Pedagogical of Maracay, Aragua state. It should be noted that the groups are formed in accordance with your experience, without the intervention of the researcher. The findings allowed us to conclude that the teaching of mathematics is required before that all of the mathematical knowledge as this is the knowledge to impart; in addition both the pedagogy as the general didactics will provide the necessary tools to investigate. Identify and develop theoretical and practical ideas in order that the mathematical knowledge is accepted by the students in a manner more enjoyable.

Keywords Conception of mathematics, general didactics, mathematical knowledge.

Hablando sobre Enseñanza de la Matemática con estudiantes futuros profesores de matemática J. Servelión Graterol


1. Introducción

Para realizar este trabajo se requirió de la participación activa de un grupo de estudiantes del curso “Educación Matemática” del Pedagógico de Maracay, durante el período Académico 2007-II. Con él, se generaron ideas sobre la enseñanza de la matemática para aproximarse a la concepción que éstos tienen sobre la Educación Matemática; cosa que no es fácil por cuanto en algunas ocasiones se consiguen ideas encontradas pero que al mismo tiempo facilitan la discusión grupal generando de esta manera posturas bien diferenciadas.

En consecuencia, este es un estudio de caso con futuros profesores de matemática del Pedagógico de Maracay donde se buscó analizar las teorías que explican las distintas maneras de abordar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática, de acuerdo con los avances que hasta ahora se vienen observando dentro de las sociedades; de modo que aquí se ve reflejada la participación de los estudiantes con el fin de general ideas y estrategias metodológicas que aporten al docente de matemática herramientas orientadoras que le ayuden en esta tarea de educar.

Partiendo de estas ideas, se elaboró un trabajo estructurado en cinco capítulos los cuales cubren desde aspectos introductorios, marco referencial, bases teóricas, marco metodológico, presentación de la información, conclusiones y recomendaciones. Cabe destacar que para la presentación de la información se describen los momentos y diálogos generados durante la investigación la cual fue registrada en algunas ocasiones por el investigador en diarios y en grabaciones; en otros casos, los mismos informantes registraron por escrito sus propias ideas de manera libre y espontánea.

2. Planteamiento del problema

Hemos entrado en los tiempos en donde todos los educadores estamos inmersos en un proceso generalizado de reforma escolar, de modo que los profesionales de la educación, sin distinción de áreas se enfrentan a nuevos retos que los lleva a la búsqueda de nuevas estrategias, de nuevos recursos didácticos y de nuevas formas de enseñar y aprender. Aceptar este desafío que supone esa nueva cultura de la innovación permanente, implica, para los profesores de matemática un camino para profundizar en aquellos conocimientos y estrategias que lo lleven a mantener activos a sus estudiantes.

En lo anterior, queda planteado que en la enseñanza de la matemática se requiere de cambios sistemáticos debido a la compleja relación de enseñanza y aprendizaje de esta área; los mismos deben estar destinados a lograr en el estudiante actitudes y/o aptitudes básicas orientadas hacia el dominio y uso de ella. Además, a través del conocimiento de esta disciplina se logran metas sociales, culturales y tecnológicas, tal como lo señalan (Acevedo y García, 2007: p. 150):

La matemática escolar debe potenciar al estudiante para aplicar su conocimiento en la resolución de problemas tanto al interior de la matemática misma, como en otras disciplinas, debe además desarrollar habilidades para: Usar el lenguaje matemático y comunicar ideas, razonar y analizar, cuestionarse, interpretar críticamente información y tomar decisiones consecuentes, en fin, enriquecer y ampliar constantemente su conocimiento.

Es importante reseñar que las matemáticas presentan entre otras cosas, el desarrollo integral del individuo y el progreso técnico de los pueblos. De ahí que, el (Ministerio del Poder Popular para la Educación, 2007), establece que el área matemática contribuye al desarrollo del pensamiento lógico, debido a que considera procesos mentales para el razonamiento, el tratamiento de la información y la toma de decisiones. Sin embargo, la enseñanza de la matemática ha sido dominada por la repetición de




ejercicios, en los cuales el docente presenta estrategias poco motivadoras y significativas para el estudiante, de allí que se ha formado una actitud negativa hacia esta disciplina.

Se trata pues, de considerar los esfuerzos que se están haciendo en todo el mundo por innovar en la matemática escolar con miras a cambios que se reflejen en los libros de texto, en la metodología de enseñanza y en la utilización de nuevas tecnologías (computadores y calculadoras); es oportuna la idea de (Rico, 1995: P. 9):

Las matemáticas son un elemento de la cultura, una herramienta que la interpreta y elabora, puesto que atienden a planes, fórmulas, estrategias y procedimientos que gobiernan la conducta, permiten ordenar el comportamiento del hombre, marcan pautas de racionalidad, y ayudan a que surja y se desarrolle el pensamiento científico.

Como lo apunta el mencionado autor, la matemática va más allá que un simple transmitir de conocimiento pues al ser una herramienta social, el hombre la necesita en su práctica debido a que el pensamiento matemático se comparte por medio de estrategias didácticas en las distintas instituciones educativas del mundo y es, precisamente en esta dirección que se inserta la siguiente investigación titulada Hablando sobre enseñanza de la matemática con estudiantes futuros profesores de matemáticas, en el que se busca elaborar un cuadro que asome la concepción de la enseñanza de la matemática de futuros profesores de matemática del Pedagógico de Maracay cursantes de la asignatura Educación Matemática.

Aquí, se pretende explorar ideas surgidas entre los propios estudiantes de Educación Matemática por cuanto ésta se debe concebir como un proceso de inmersión que se genera en los ambientes matemáticos, considerando la forma peculiar de ver la matemática y las características de la escuela, liceo o universidad dependiendo del caso. En cualquier caso ya existe una conciencia, cada vez más acentuada con la que se hace necesario traspasar la prioridad de la enseñanza de la matemática donde se considere más de cerca los procesos verdaderamente eficaces del pensamiento. Agregan al respecto (Arraga y Añez, 2003: p.25):

Entendiendo el aprendizaje como un proceso interno complejo que tiene lugar en el cerebro, a través del cual el individuo integra y organiza información nueva involucrando todas las estructuras cerebrales; se puede afirmar que se encuentra directamente vinculado con los procesos intelectuales y por ende con el pensamiento; concebido éste como un proceso intelectual de tipo funcional a través del cual se construyen las representaciones de la realidad.

De modo que el aprendizaje es un proceso de vital importancia para los seres humanos, pues gracias a éste se desarrolla la capacidad de cambio, trasformación y generación de conocimiento. En este plano es preciso señalar que la enseñanza de la matemática debe estar orientada hacia la manera comprensiva donde el alumno sea considerado el centro de este proceso y en el cual gira la selección de los contenidos matemáticos y la adecuación de las estrategias didácticas con las que el alumno pueda aprender de manera progresiva, madurando ideas hasta desarrollar la capacidad de construir representaciones abstractas de la matemática. Todas estas ideas concuerdan con las hechas por (González, 1994: p.59):

Si la percepción y la acción constituyen dos aspectos del aprendizaje, será necesario que los primeros modelos puedan provocar una y otra. Por esto los modelos matemáticos, deben ser diseñados de modo tal que la traducción o la sugestión que entrañen no sean puramente contemplativas, sino que susciten también una acción efectiva.



Esta línea de pensamiento nos lleva a inferir que el papel del docente no es sólo observar y determinar sino también conectarse con los estudiantes mientras que están realizando actividades y se están preguntando en voz alta, planteándoles preguntas para motivarlos al razonamiento y que vean que lo aprendido está situado culturalmente dentro de los intereses de la sociedad, lo que significa que es de gran importancia tomar en cuenta el hecho educativo como algo serio y de utilidad en el entorno del estudiante. Al respecto (Rivas, 1996: p.324) señala:

Los cambios de actitud que se esperan en el docente implican, de antemano, una predisposición positiva a concebir el fenómeno educativo de una manera diferente, inclusive a ser capaz de iniciar una ruptura epistemológica que posibilite una apertura hacia la comprensión e internalización de los fundamentos que inspiran y sustentan la Educación Básica.

Bajo esta perspectiva, el docente deberá gradualmente incorporar a su formación profesional elementos que los conduzcan cada vez a ser un ciudadano integral, creativo para superar el individualismo y el aislamiento con las comunidades y grupos organizados. Esto no es más que avanzar hacia una enseñanza de la matemática que le permita al individuo integrarse de forma exitosa a las diversas actividades que contempla el estudio de la matemática; en otras palabras, el docente de matemática debe enseñar con interés y entusiasmo, interactuando con los alumnos de manera productiva, en busca de mejorar y vencer las dificultades que presenten ciertos contenidos para su aprendizaje. De acuerdo con estas ideas (Mora, 2002: p.29) señala:

Existe coincidencia en cuanto a que sin una reflexión con los participantes en el proceso de aprendizaje y enseñanza de la matemática y sin una participación en la práctica de enseñanza no será posible la generación de conocimientos y cambios en el aprendizaje y la enseñanza de esta disciplina científica.

Entonces, de lo que se trata es de reflexionar acerca de la práctica docente para que se considere en el proceso de enseñanza-aprendizaje la participación activa de los estudiantes, de manera que se integre durante las clases elementos del entorno, de modo que, se cree el ambiente necesario para aumentar el potencial de aprendizaje del alumno. De esta manera, se considera la investigación como un aporte a la educación matemática por lo que se plantean las siguientes interrogantes:

• ¿Qué importancia conceden los futuros profesores de matemática a la concepción sobre enseñanza de la matemática?

• ¿Qué determina la elección de una concepción de enseñanza de la matemática? • ¿Qué consecuencias se pueden generar de la concepción de enseñanza de la matemática de

un determinado docente? • ¿Cuáles serán los elementos a considerar para adoptar una concepción de enseñanza de la

matemática que favorezca a todos los entes involucrados en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática?

2.1. Objetivos de la Investigación

2.1.1. Objetivo General

Analizar la concepción que tienen sobre enseñanza de la matemática los estudiantes del curso Educación Matemática, futuros profesores de matemática, del Pedagógico de Maracay, Estado Aragua.




2.1.2. Objetivos Específicos

1. Interpretar los aspectos teóricos de la enseñanza de la matemática tomando como referente la concepción sobre enseñanza de la matemática de los estudiantes del curso Educación Matemática del Pedagógico de Maracay.

2. Determinar los elementos que identifica una concepción de la enseñanza de la matemática bien diferenciada.

3. Describir algunas consecuencias que puede generar la concepción de la enseñanza de la matemática de un determinado docente.

2.2. Intentando definir la Educación Matemática

Las diversas concepciones de ciencia que están fundamentadas en la propia filosofía han facilitado la discusión sobre el cuerpo de proposiciones de orden epistemológico acerca de la Educación Matemática y ha tomado un repunte como disciplina debido a las nutridas investigaciones que últimamente se han realizado en este campo del saber.

Ahora bien es a la Educación Matemática a quien corresponde investigar los problemas asociados con los procesos de enseñanza – aprendizaje de la Matemática en escenarios escolares, con el propósito de ofrecer respuestas a las interrogantes que surgen en éste y son inherentes a dicho proceso. De esto se puede deducir que la Educación Matemática es una disciplina suspendida por una parte por las matemáticas y, por otra, de los diversos aspectos teóricos de los que se ocupa la educación.

En este sentido, la Educación Matemática se ha ido desarrollando con las distintas contribuciones en el tiempo de lo que se produce tanto en las investigaciones como en las actividades de las aulas de clase para lo cual se han tejido los aportes de otras ciencias tales como la filosofía, psicología, la sociología y por supuesto la misma matemática. Al respecto (Mora, 2002: p. 22) señala:

Considero que no todas las disciplinas que ayudan a la didáctica de la matemática en la elaboración de su constructo científico tienen el mismo peso e influencia. Podríamos decir que la matemática, la pedagogía y la didáctica general conforman el trío básico más cercano a la especialidad didáctica de la matemática.

La percepción que de aquí se desprende se fundamenta en la necesidad de facilitar dentro de la clase de matemática procesos naturales y espontáneos que permitan el progreso intelectual de los estudiantes basados en una formación de conceptos y desarrollo del pensamiento lógico matemático; de modo que así surge la necesidad de incorporar desde la didáctica de la matemática herramientas necesarias en la elaboración de recursos de enseñanza para que el aprendizaje de los contenidos matemáticos sea más motivante. Tal como lo refiere (Sierra, 2006: p. 18), que desde otro escenario, observa la misma situación y expresa: “Hoy en día podemos afirmar que la respuesta pedagógica a los problemas de la enseñanza de las matemáticas que se presentan dentro de las instituciones escolares no ha proporcionado ningún avance significativo”.

El panorama descrito hasta ahora conduce unas serias reflexiones sobre Educación Matemática, tales como las discutidas por Freudenthal, (citado por Mancera, 1990) quien señala que ésta disciplina está en construcción y que se asemeja a un ingeniero de situaciones didácticas. De este modo se abre la posibilidad de estudiar algunos problemas educativos a partir de la comprensión de los problemas de la enseñanza de las matemáticas.



Esto implica el reconocimiento de que la Educación Matemática no está referido únicamente al campo matemático o la pedagogía, sino que también toca en buena parte el entorno, los aspectos culturales y desarrollo creativo de la personalidad del que aprende matemática, lo cual provoca preocupación entre los investigadores en este campo quienes buscan al unísono, en una sola voz y, en una dirección a que el conocimiento matemático es el resultado de una evolución histórica, de un proceso cultural cuya culminación no es posible porque va construyendo con tiempo, con la culminación de nuevos conocimientos por medio de investigaciones.

Lo cual significa, que para lograr un cambio en el quehacer educativo la enseñanza de la matemática debe darse de manera activa, motivante y asumir que se pueden utilizar recursos instruccionales, crear nuevos modelos, actividades y situaciones que conduzcan al aprendizaje de la matemática explorando la aplicación de los conceptos, principios y teorías sin olvidar el contexto del estudiante y la variedad de recursos disponibles en su cotidianidad. A estas ideas (Gallegos, 1997: p. 54), también se une aportando parte de su saber como investigador y como teórico del pensamiento humano, sosteniendo que:

Tanto la inteligencia como el pensamiento y la conducta superior, entendiendo esta última como el desarrollo de la atención voluntaria, la formación de conceptos, la memoria lógica y la capacidad para resolver problemas, se desarrollan a través del trabajo cooperativo de la interacción entre los seres humanos.

Aquí se evidencia el propósito de la educación matemática en el cual el estudiante es el principal actor en el proceso de enseñanza, mientras que el docente por su parte implementará estrategias para el desarrollo de los procesos cognitivos en el aula, en las que sea el mismo docente quien atienda a partir de la administración de la asignatura matemática tanto la enseñanza de contenidos específicos como en habilidades del pensamiento critico llevando al estudiantado a desarrollar su pensamiento creativo. Al respecto (Chevallard, 2001: p.2), sostiene:

El principio fundador de las didácticas, al menos en el sentido brousseauniano de la palabra, es que no sólo lo transmitido dependen de la herramienta con la que se pretende conseguir su transmisión, sino al revés que las organizaciones “transmisoras”, es decir didácticas, se configuran de manera estrechamente vinculada a la estructura dada a lo que hay que transmitir. En otros términos, las organizaciones didácticas dependen fuertemente de las organizaciones por enseñar – las organizaciones matemáticas.

Desde donde se puede apreciar como objeto de estudio la actividad matemática en la cual se considera que la actividad matemática debe ser interpretada como una actividad humana junto a las demás, en lugar de entenderla únicamente como la construcción de un sistema de conceptos, como la utilización de un lenguaje, o como un proceso cognitivo.

Aquí cabe apuntar a Gascón (2001), quien señala que el enfoque antropológico requiere de un modelo de las matemáticas institucionales que incluya la matemática escolar como un caso particular y un modelo de las actividades matemáticas institucionales, en el que se considere la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas como una actividad matemática institucional, particular. El autor de la referencia trata de darle una explicación coherente y satisfactoria a una misma problemática desde su punto de vista, muy particular, pero tratando de llevar una reconstrucción racional de una de las líneas de investigación como lo es el conocimiento matemático a través de situaciones didácticas.




2.3. Modelos docentes acerca de cómo enseñar

En un trabajo de investigación sobre “Qué piensan los profesores acerca de cómo se debe enseñar” (Fernández y Elortegui, 1996); clasifican los tipos de profesor en función de su metodología de enseñanza como: profesor transmisor, artesano, tecnológico, descubridor y en tiempos más recientes aparece un nuevo tipo de profesor, llamado constructor. A continuación se explica de manera más detallada su metodología:

Profesor transmisor

Es el estilo dominante en el sistema educativo, su forma de enseñanza es la transmisión verbal de los conocimientos y se relaciona con los estudiantes a través de una comunicación unidireccional. La clase es únicamente responsabilidad del profesor que con su explicación llena toda la clase y ocupa todo el tiempo.

Profesor tecnológico

Su quehacer en la enseñanza se centra en el método científico (observación, hipótesis, experimentación y teoría) y por lo tanto la organización didáctica debe estar normalizada, es decir, en ella debe estar detallado “qué es lo que se debe hacer”. Se trata de una comunicación dirigida por el profesor, con predominio de la lección magistral y expositiva como forma de enseñanza, que suele combinar con una metodología socrática.

Profesor artesano

Prioriza la actividad autónoma de los estudiantes y desecha cualquier dirección del aprendizaje, considera como la mejor motivación la que surge de los intereses de los estudiantes. La comunicación con los estudiantes es abierta, interactiva, la cual enriquece la participación del estudiante. No obstante, también utiliza el método socrático y apela a la clase magistral. Las actividades prácticas que realiza se intercalan con sus explicaciones, dándole así un cierto toque empirista.

Profesor descubridor

Se caracteriza por ser un estilo renovador respecto de los anteriores. Se identifica con una idea positivista de la ciencia, postula un método científico empirista e inductivo y tiene como meta el descubrimiento investigativo. El profesor es el facilitador de la tarea, pero evita sugerir las acciones a realizar. La metodología se basa en el método de proyectos o de centros de interés.

Profesor constructor

El diseño del proceso educativo está condicionado por las teorías constructivitas del aprendizaje, el profesor se basa en los conocimientos previos de los estudiantes. Ayuda a la producción de conocimiento del estudiante sin seguir un método científico inductivo, sino facilitando un cambio conceptual en forma gradual. Se da prioridad a los procesos atendiendo más al cómo que al por qué, de ellos.

A todo esto se suman los factores orientados a la concepción de educación que según (Nozenko y Fornari, 1995); en los últimos cincuenta años en Venezuela han prevalecido en los cuales se aprecia aspectos filosóficos, psicológicos y sociológicos. Se inicia a continuación esta descripción que sin dunda será de gran aporte teórico a la investigación que ocupa el lugar central en este trabajo:



La concepción académica

Implica el currículo visto como el conjunto de conocimientos que el estudiante debe adquirir y aplicar a la realidad desde la perspectiva de cada disciplina particular. Ello da origen a un conocimiento parcializado, se concibe un docente experto cuya tarea es exponer y demostrar y un estudiante pasivo que sólo debe aprender memorísticamente, con la consecuencia de que muchas veces el estudiante no es capaz de detectar las relaciones de una disciplina con otra.

La concepción humanista

Se inspira en la autorrealización del hombre en la cual se pretende integrar aspectos afectivos como emociones, valores y actitudes con los aspectos cognoscitivos referidos a los conocimientos intelectuales, habilidades y destrezas. El estudiante es un ser humano inmerso en un contexto social, político y cultural atento a lo que ocurre a su alrededor y cuyos intereses y motivaciones orientan sus acciones. Tales intereses deben ser considerados durante los procesos de enseñanza-aprendizaje y constituir el centro de las actividades y experiencias de aprendizaje.

La concepción sociológica

En esta se hace mayor énfasis en los intereses y necesidades sociales que en los individuales. La educación se concibe como el medio que ayuda a la construcción de una sociedad donde la calidad de vida sea mejor. El estudiante es un activo conocedor de sus instituciones socio-culturales, que se prepara para participar en la planificación social y para producir cambios sociales. El docente es un promotor social, de lo cual nace el binomio escuela-comunidad. Aquí es importante la concientización como proceso a través del cual las personas conocen y analizan su realidad sociocultural y cómo ésta moldea sus vidas a fin de desarrollar las habilidades que les permitan transformar tal realidad.

La concepción tecnológica

Hace énfasis en el cómo llevar a cabo el proceso de enseñanza-aprendizaje, es decir no se centra tanto en el contenido sino en los medios (tecnología) que facilite el aprendizaje. El estudiante aprende a su propio ritmo con los materiales generados para tal fin y el docente planifica, elabora y evalúa los materiales instruccionales, su presencia no es estrictamente necesaria. La atención se centra en los resultados o productos.

La concepción sistémica

Entiende la educación en términos de interacción. En el currículo se parte de las necesidades detectadas en la sociedad para preparar el personal especializado en las disciplinas que requiere el país. Se trata de procesar efectiva y eficientemente los resultados que se desea lograr tomando en consideración al estudiante y su atención en cuanto a dudas, esperanzas, habilidades. Basada en la teoría general de sistemas, sugiere los siguientes pasos: identificar necesidades, seleccionar y organizar las alternativas de solución, elegir la alternativa más factible, implantar la alternativa seleccionada y evaluar continuamente lo que se va logrando.

Frente a estas concepciones curriculares cabe la reflexión sobre la práctica docente haciéndose las preguntas: ¿cuál es mi concepción de enseñanza? ¿Cómo profesor estaré contribuyendo a formar a los estudiantes a ser cada vez mejor o a que copien un modelo que tal vez no sea el mejor para educar? Para dar respuesta a estas interrogantes, es conveniente poseer una visión de lo que expone la didáctica general.




2.4. Didáctica General

No se trata en esta parte de hacer una reseña histórica de la didáctica, sino de apuntar aquellos elementos que trata esta disciplina y que son de gran ayuda a la pedagogía y al educador, en especial al que trabaja con la matemática. Esto se aclara porque pudiera pensarse que van a abordar aquí las diferentes concepciones producidas de la didáctica en el transcurrir del tiempo, cuando de lo que se trata es de referir la inclinación que toma ésta hacia la enseñanza de la matemática.

Para fijar una posición sobre este particular es bueno comenzar con lo dicho por (Escalona, 1998: p.136), quien sostiene que la didáctica tiene como objetivo:

Optimizar un sistema de relaciones, teóricamente fundamentada, que participa en la realización de la enseñanza de las distintas ciencias, y de su integración con las conexiones entre el sistema escolar, y social […] y es necesario, estudiar los efectos de la activación de situaciones socio-educativas para fines prácticos.

Se aprecia aquí, términos que le dan al docente una visión o por lo menos lo llevan a direccional los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática en vía de integrar todos los componentes que aportan positivamente recursos en pro del mejoramiento de la instrucción y es aquí, precisamente, cuando es más oportuna mencionar la división hecha por (Brousseau, 1982); para este autor, en la didáctica se aprecian dos grupos de actividades denominadas, de acciones y de declaraciones.

La didáctica acción reúne las actividades que busca enseñar un conocimiento determinado y se puede entender a su vez como directa cuando las decisiones de la enseñanza transiten hacia el estudiante por un intermediario, aunque éste no esté representado necesariamente por la presencia física del docente, e indirectas cuando se desarrollen para describir más o menos precisas las acciones didácticas que permiten reproducir una actividad de enseñanza.

Por su parte la didáctica declaración busca principalmente explicar los fenómenos de la enseñanza, en el sentido de englobar los trabajos de investigación relacionados con la enseñanza de un conocimiento.

3. Metodología

La metodología elegida se centro en el enfoque cualitativo por cuanto ésta proporciona información y al mismo tiempo, hace comprender en profundidad las acciones y todas las actividades grupales desarrolladas en una clase de Educación Matemática, en donde los estudiantes informantes clave, corresponden al semestre par del 2007; es decir, el segundo semestre del año 2007, el cual termino en marzo del 2008. Es importante resaltar que el estudio se prolongo hasta Marzo del 2010, ya que más de la mitad de los informantes clave culminaron académicamente para esta fecha. Ahora bien, en cuanto al modo de obtención de la información, la investigación se apoyó en un estudio de campo debido a que los datos primarios fueron recolectados directamente por el investigador desde el lugar de los hechos.

De manera que esta experiencia se corresponde con un nivel descriptivo interpretativo, por cuanto se consideran los hallazgos en las teorías específicas y de los aportes de los informantes clave en el ámbito real del estudio, así se vinculan las condiciones existentes, opiniones y puntos de vista sobre la enseñanza de la matemática. Para desarrollar este trabajo, el investigador se valió de registros descriptivos de la manera como se producía la interacción dentro de los grupos y, para facilitar el trabajo organizó 6 grupos de 4 estudiantes cada uno.



Así, el trabajo consistió primeramente, en recoger la información a través de la observación directa de las clases del curso Educación Matemática y de las entrevistas; en segundo lugar, sin partir de una teoría especifica, por cuanto el investigador dejó que fueran los mismos estudiantes quienes comenzarán a discutir ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, por medio de preguntas previamente elaboradas, sin que ellos supieran la intensión de las preguntas, el investigador preparó un escenario donde se hizo normal hablar del tema libremente.

Esto le dio más realismo a los encuentros compartidos y desde el primer momento (primera clase), el profesor (investigador) se puso de acuerdo con los estudiantes para grabar en cintas magnetofónicas los debates y, en consecuencia extraer las conclusiones de manera más limpia; en otras palabras, que estuvieran encausadas a conocer las concepciones sobre enseñanza de la matemática asumidas por el grupo.

En esta misma línea, en la experiencia se dio importancia también a las narraciones y descripciones de experiencias por parte de los informantes, pues de lo que se trataba era de captar todo un cúmulo de experiencias que le dieran significado propio a la investigación y generaran su postura, ante la enseñanza de la matemática. Por estas razones, el enfoque metodológico adoptado fue el cualitativo, en el que no hubo manipulación de variables. Aquí también se aprecia, que el estudio en cuestión se considera multirreferencial por cuanto se utilizaron diversos métodos para la obtención y procesamiento de la información, lo cual dio una mejor aproximación de la comprensión del caso en estudio.

4. Categorización

El enfoque cualitativo se apoya en la convicción de que la investigación se va generando en un ambiente en el que poco a poco se van interiorizando, tanto investigador como informantes, con cada una de las situaciones encontradas durante el proceso de investigación. Así, se comparten experiencias, se busca intercambiar ideas y conocimientos que se producen con lógica y razonamiento, tal como se observa a continuación con las categorías que surgen a partir de una realidad que emerge según la información recogida durante la investigación, en el que se buscó elaborar un cuadro que asome la concepción de la enseñanza de la matemática de futuros profesores de matemática del Pedagógico de Maracay cursantes de la asignatura Educación Matemática. Todo lo cual se aprecia, a continuación, con una breve descripción de la categoría emergente desde los mismos informantes y por el investigador.

4.1. Categorías surgidas de la información

A continuación se dan a conocer las diferentes categorías extraídas de la información aportada por los informantes clave; es de apreciar que aquí se refleja las opiniones de estos informantes tal como surgieron los comentarios desde los grupos; de modo que el investigador las ordenó para presentarlas en forma escrita sin alterar el contenido de las mismas (y se presentan en cursiva):

Profesor motivador

Esta es una expresión de los informantes, la cual la definen como: La mejor manera de que un profesor sea motivador de las matemáticas es hacerlo ver y entender al estudiante. De manera que, sí existe una relación amplia y grande de la misma (matemática) con el mundo que nos rodea, es decir, con la realidad, se pueda despertar el interés y entusiasmo de indagar, y descubrir que la matemática va más allá de una hoja de cuaderno y que trasciende en el tiempo.




Instrumento de pensamiento

Después de revisar el material escrito por los informantes, el investigador extrajo la expresión instrumentos de pensamiento, de modo que así se puede percibir el pensamiento de estos futuros docentes tal como surgió. Al respecto comenta el autor lo siguiente: El que enseña matemática tiene que considerar que esta ciencia es la encargada del pensamiento lógico, es la que utiliza la mente, por lo tanto, requiere de tiempo y dedicación. En cuanto a esto, los informantes señalan:

Primero que nada, hay que apreciar el poder de las matemáticas como instrumento de pensamiento, es comprender el carácter formal y abstracto, la naturaleza deductiva, la organización axiomática y valorar las dificultades que se puedan presentar. También es aprender a comprender y analizar la utilidad de: los símbolos, números, letras, tablas, gráficas, teoremas, etc. Y no aprender de manera mecánica a la hora de abordar un problema sino comprender y ver que existen muchas formas de llegar a un resultado.

Motivación

Este es otro de los términos utilizado en la redacción de las ideas expuestas por los informantes, para lo cual el autor opina: Todo docente tiene una tarea que incluye preparación para promover dentro del aula procesos cognoscitivos que faciliten la atención y más aún si los contenidos a aprender son elementos abstractos como los de matemática, por tal razón, el docente de matemática debería acercarse a la realidad del estudiante; en base a esto los informantes afirman que:

La motivación actúa como un motor para iniciar y mantener la actividad mental y por lo tanto, está estrechamente ligada con la inteligencia, la cual podemos modificar, cuando nos sentimos más motivados.

Esta motivación se inicio con mi entorno familiar y el contexto socio-cultural donde crecí como persona, que a su vez se traduce en necesidades. Particularmente, es ahora cuando siento evolución dentro del aula, del concepto matemático, ya que observo promoción de actitud positiva de docentes en la didáctica de la matemática.

Aprender matemática

Esta categoría también surgió de las ideas escritas de los informantes y la explican muy bien estos futuros docentes con sus propias palabras así como se sigue: Es cuando somos capaces de investigar e indagar si lo que nuestro profesor de aula de matemática nos dice la verdad sobre un tema específico, también cuando analizamos, cuando planteamos posibles soluciones, cuando llevamos a cabo algunas alternativas, cuando probamos y ensayamos, cuando nos equivocamos y evaluamos nuestros errores para corregirlos.

Aprender matemática es un proceso un tanto complejo, este en particular se centra en que dicha ciencia no es simplemente un aprendizaje didáctico, sino una vivencia dentro del saber una experiencia de la vida que cada individuo lo ha de llevar consigo en cada faceta de su existencia desarrollando con un pensamiento lógico-matemático, el análisis en la resolución de problemas en el día a día, gestando así la aplicación de métodos y procedimientos durante la adquisición de nuevos conocimientos.



Luchar por aprender matemática

Luchar por aprender matemática, es también otra de las expresiones surgida entre los propios informantes, solo que antes el autor opina con relación a esto lo siguiente: Cuando alguien quiere aprender un contenido matemático debe buscar entenderlo, interiorizarlo, madurar la idea analizando las relaciones que éste tenga con el entorno o con algún contenido conocido, al respecto el grupo de informantes señala:

Es luchar por conseguir una maduración de cada contenido; es decir, no es simplemente el hecho de saber que dos más dos son cuatro sino que exista una internalización y una interrelación entre lo que está por aprenderse y la realidad inmediata, es encontrarle un sentido, un para qué, un por qué, un significado de aplicabilidad a sus ideas.

Luchar por aprender matemática es luchar porque la persona que se encuentra en ese proceso incorpore a su estructura mental todo aquello con lo cual interactúa constantemente en su medio externo, lo acomode y modifique de manera tal que esto le permita adaptarse. Este proceso permite el desarrollo de la inteligencia, ya que la persona a partir de sus propias experiencias construye un nuevo aprendizaje y los más importante significativo.

Comprensión lingüística en matemática

Comprensión lingüística en matemática, es otra de la expresiones usada por los informantes de manera reiterada en las ideas escritas, para lo cual el autor opina: El docente de matemática tiene que hacer comprender el lenguaje matemático a sus estudiantes, para tal fin, puede hacer uso de la manipulación de objetos concretos y familiares al estudiante, lo cual facilitará la comprensión de toda esa simbología que comprende la matemática y que la hace bien particular. Ahora, parece conveniente señalar lo dicho por los informantes al respecto:

El lenguaje mejora la comprensión de las expresiones y las técnicas matemáticas. A través de la lingüística y la matemática podemos aprender a pensar, lo cual consiste en transformar códigos, símbolos en conocimientos significativos que sirvan y se apliquen posteriormente. La matemática induce al pensamiento y este pensamiento se materializa en forma oral o escrita, permitiendo al que aprende o enseña capacidades y habilidades que favorecen su desarrollo social.

En matemática se nos presenta la solución de problemas, lo cual consiste en un proceso de indagación para resolver preguntas y aclarar dudas, entonces, esta situación está estrechamente vinculada con la lingüística, porque de este modo la información pasa a transformarse en procesos lingüísticos como: la comprensión, la comunicación y creación de estructuras verbales.

La matemática

Esta fue otra de las categorías extraídas de los comentarios escritos por los informantes, aquí señalan: Entre estudiantes, ex estudiantes y una parte del profesorado, suele decirse de las matemáticas que son aburridas, con excesiva carga operacional, carente de practica y no contextualizada, excesivamente abstractas e inadecuadas, difíciles de entender por su riguroso lenguaje, lo que implica mecanización. Por lo general, la predisposición que llevan los estudiantes ante la materia es uno de los obstáculos que se presentan más en un salón de clases, ya que traen consigo un bloqueo psicológico en el estudiante lo cual hacen que el trabajo de un profesor con respecto a la enseñanza de la matemática sea menos efectivo y no le permita al profesor llegar al estudiante.




Pensamiento matemático

Analizando la información recogida surgen algunas categorías como esta que tiene que ver con esa manera particular de pensar en matemática que los informantes llaman pensamiento matemático del cual dicen:

Con relación a que el estudiante debe de poseer la capacidad de comparar y relacionar el ambiente con el pensamiento matemático. Es decir, el estudiante vive y se relaciona en un ambiente y para que exista una comprensión del contenido matemático debe existir esta relación, ya que de lo contrario no encontraría la utilidad que la matemática tiene en su vida diaria. El estudio de la matemática le brinda al estudiante una forma de razonar según los comentarios de manera rápida y crítica.

A lo anterior agrega el autor: que el docente debe ser sólo un mediador en los procesos de enseñanza y de aprendizaje, esto tiene que ver con que el docente no es un dueño del conocimiento, él sólo cumple la función de brindar algunas herramientas que son necesarias para que el estudiante pueda comprender con mayor facilidad el pensamiento abstracto y lógico de la matemática, es importante destacar que aún con la ausencia de un docente el proceso de enseñanza se puede dar, sólo que sería de una forma diferente, es decir, el docente dentro del proceso no es una pieza indispensable, es en cambio, una pieza de complemento que facilita al estudiante y estimula la comprensión del pensamiento matemático y así, sea más eficaz.

Matemática es tarea difícil

Al igual que las anteriores categorías; Matemática es tarea difícil, es otra expresión de los informantes, al respecto señala el autor: La matemática juega un papel muy importante en la vida del hombre, por tal razón, el docente de matemática debe valerse de herramientas o recursos para hacer que los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática sea más ameno e interesante, aún cuando se sabe que esto no es nada fácil. Cabe anotar aquí, lo dicho por los informantes cuando afirman:

A veces la enseñanza de la matemática se convierte en tarea difícil, ya que el docente no utiliza herramientas adecuadas para la enseñanza y desliga la matemática de la vida diaria, es decir, no utiliza estrategias para enseñar y muchas veces no tiene dominio del contenido, además de todos los tabúes que tienen los estudiantes acerca de la matemática y comentarios que hay acerca de la asignatura tales como: para qué se usa matemática, dónde usamos eso y cómo, es difícil no entiendo nada, soy malo en matemática.

Una de esas dificultades es la fobia que tiene desde temprana edad hacia la matemática, ya sabemos que no es una tarea difícil, sino que muchos profesores no tienen el dominio de la materia o el conocimiento previo, necesario para así establecer la enseñanza y de esa forma manifiesta desconfianza en sí mismo.

5. Conclusiones

Lo anterior, conduce a establecer algunas conclusiones a partir de los comentarios expuestos por los informantes clave, orientados a los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática lo cual son ideas de los futuros profesores no como verdades absolutas sino que se espera sea un aporte a la Educación Matemática.



Así, se puede apreciar en los comentarios de los estudiantes informantes clave, una orientación constructivista del aprendizaje de la matemática, lo cual según ellos permite que cada actividad realizada en clase por los estudiantes en un curso de matemática, constituye una oportunidad para el seguimiento del progreso del estudiantado, la detección de las dificultades que se presentan y los progresos realizados por éstos; es decir, se pone en marcha procedimientos de aprendizaje dentro de un contexto de trabajo colectivo que impulsa el trabajo diario, la información permanente sobre los avances y/o deficiencias obtenidas y sobre todo la seguridad en el propio esfuerzo.

En este mismo orden de ideas, se describen algunas consideraciones con base en las ideas desarrolladas de los informantes después de analizar las producciones textuales suministradas por éstos; en este sentido según esta experiencia, la enseñanza de las matemáticas requiere de un docente de matemática que posea los siguientes elementos:

• Un conocimiento amplio del contenido a enseñar: Según los estudiantes futuros profesores de matemáticas, esto viene dado con la formación pedagógica y profesional del docente, la cual se refleja en su ética y en el desempeño en el aula de clases. Por otro lado, esto permite aclarar cualquier duda que al estudiante se le presente en un momento determinado en la clase, aportando con ello a una mayor eficiencia en el aprendizaje del estudiante.

• Conocer el estilo de aprendizaje de sus estudiantes.

• Tener siempre a la mano las herramientas necesarias acordes con el contenido a impartir: según opinión de los informantes, esto se refiere a las técnicas, estrategias y recursos didácticos que deben ser usados oportunamente por el docente con la finalidad de que el estudiante reciba el contenido con una mayor claridad, pueda comprobarlo y así seleccionarlo a futuro con cualquier situación que se le presente.

• Reflexión crítica acerca del contenido a enseñar: De acuerdo con las ideas de los informantes, esto se refiere a la construcción de conceptos, demostración de teoremas, resolución de problemas de una manera mutua entre el docente y el alumno dándole oportunidad al estudiante para evolucionar y construir su propio aprendizaje.

A estas ideas se unen las del autor, apuntando que el docente de matemática es más que un trasmisor de conocimientos, además de dominar la matemática se debe apropiar de metodologías y practicas de su enseñanza para mejorar su pedagogía facilitando al estudiante el logro de los contenidos, minimizando en lo posible los obstáculos, a fin de que éste recupere la confianza en si mismo y se incorpore a la búsqueda del conocimiento matemático y a la adquisición del mismo.

En este sentido, es de vital importancia abrirse hacia nuevas concepciones de la enseñanza de la matemática para desarrollar en el aula una clase donde se considere el entorno del estudiante incorporando la resolución de problemas matemáticos a las clases pues con ellos los estudiantes no sólo desarrollan habilidades aritméticas sino también la capacidad para buscar información, verificarla, ordenarla, crear idea iniciales y llegar a una solución luego de un razonamiento lógico. De este modo, la matemática será un medio para la convivencia y la interacción pues la verán como un juego grupal en la cual la concentración y la reflexión dejan escapar sus opiniones.

Ahora bien, analizando la postura de los informantes se tiene una concepción de la enseñanza de la matemática enmarcada en dos enfoques principales. El primero, tiene sus raíces en la enseñanza de la matemática tradicional y el segundo, tiene una base cognitiva. En cuanto al conductual, sobre el aprendizaje matemático éstos consideran que aprender es cambiar conductas, insisten en destrezas de cálculo y dividen estas destrezas en pequeños pasos para que mediante el aprendizaje se llegue a aprender secuencia de destrezas más complejas.




Por su parte, en lo que respecta al enfoque cognitivo con el cual se identifican ellos explican que, aprender matemática es alterar las estructuras mentales dándole mayor importancia al aprendizaje de conceptos. Dada la complejidad de estos conceptos el aprendizaje no puede descomponerse en la suma de aprendizajes más elementales, sino que se origina partiendo de la resolución de problemas o de la realización de ejercicios que lleven al estudiante a conocer lo que hacen y a construir su propio aprendizaje.

En cuanto a lo que respecta a la experiencia compartida del investigador con los informantes durante el desarrollo del curso Educación Matemática en el período académico 2007-II se acordó que ambos enfoques son de interés aunque existe una marcada inclinación por el segundo, pues este permite que el estudiante desarrolle ciertas destrezas y habilidades pero que no se debe dejar de lado la resolución de problemas matemáticos ya que esta actividad promueve la participación del grupo y despierta no sólo la creatividad sino también esas condiciones que se encuentran en el individuo que lo llevan a un razonamiento lógico matemático en vía de la solución que además de ser satisfactoria genera la adquisición y dominio de contenidos matemáticos.

Por otra parte, recomiendan los informantes que no se debe separar la producción del conocimiento de la matemática de su enseñanza, ya que ésta última debe estar enfocada a generar un conocimiento que se fundamente en las concepciones del estudiante en todo momento, de hecho, las áreas en que se divide el saber matemático debería estar en el momento de la enseñanza matemática de modo lógico. En consecuencia, señalan que una manera de lograr dicha eficacia es a través del aspecto epistemológico de la matemática y así, procurar un ambiente que disminuya los obstáculos para la interpretación de los hechos matemáticos, sugieren además, la discusión y el análisis en el proceso matemático, integrar los fenómenos matemáticos a la comunidad, detectar nivel de fortalezas y debilidades que presentan los estudiantes para aprovechar en beneficio de éstos.

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José Servelión Graterol es profesor de matemática. Ha trabajado con los cursos: Educación matemática, Geometría Analítica, Resolución de problemas matemáticas, Geometría I y II del pedagógico de Maracay- Venezuela. También trabaja con Enseñanza de la matemática en la Maestría de la Universidad Rómulo Gallegos y en la Universidad Bicentenaria de Aragua con Estadística en el área de postgrado. Magister en enseñanza de la matemática. Doctor en ciencias de la educación. Nació en Tucupido Estado Guárico-Venezuela. Ha publicado dos libros titulados: Una fogata matemática y Enseñando con curiosidades matemáticas. Además, numerosos artículos para destacadas revistas de investigación. Ha sido tutor de trabajos de investigación a nivel de especializaciones, maestrías y doctorado. Actualmente cursa estudios de postdoctorado en la Universidad Bicentenaria de Aragua.



Impacto de precálculo en cálculo

Idalia Cantú Martínez (Universidad de Monterrey) Rita Arenas Velasco (Universidad de Monterrey)

María Teresa Flores Garza (Universidad de Monterrey)

Fecha de recepción: 23 de Marzo de 2011 Fecha de aceptación: 30 de Marzo de 2012

Resumen Al observar que los estudiantes no cuentan con los niveles mínimos necesarios para cursar la materia de Cálculo, se aplican actualmente dos criterios de selección a los estudiantes aspirantes a llevar estos cursos. Los criterios son: aprobar un instrumento de evaluación pre-requisitos o superar un curso propedéutico de Precálculo. Este estudio se realiza con el fin de valorar la pertinencia de la aplicación de estos criterios y medir el impacto del curso propedéutico sobre el desempeño de los estudiantes en los cursos de Cálculo Diferencial (ingenierías) y Cálculo Diferencial e Integral (Licenciaturas en el área de negocios). Los resultados muestran una correlación significativa entre los resultados obtenidos en el curso de Precálculo y el resultado en el curso de Cálculo.

Palabras clave Precálculo, Cálculo, curso propedéutico, plataforma WEB, aversión a las matemáticas, razonamiento.

Abstract Noticing that students do not count with the minimum necessary levels to pursue the Calculus related courses, there are two different criterions applied to select the students to take these courses: (a) pass a prerequisite evaluation instrument or (b) take a prerequisite course that covers the basics of Pre-calculus. This study takes place with the objective of evaluating these criterions and measuring the impact of the prerequisite course in the student’s performance in the following courses: Differential Calculus (Engineering majors) and Differential and Integral Calculus (Buisness majors). The results show a significant correlation between the results obtained in the prerequisite course and the results of the following calculus related courses.

Keywords Pre-calculus, calculus, teaching and learning, Web platform based course, reasoning.

1. Introducción

La Universidad de Monterrey (UDEM) se encuentra en Nuevo León, México; es una institución de inspiración católica, abierta a todo credo y condición, que se distingue por ofrecer un Plan Personal de Formación único para cada estudiante de acuerdo con sus características personales e intereses profesionales, a fin de alcanzar su máximo potencial. A 42 años de su fundación, la UDEM cuenta con

Impacto de precálculo en cálculo I. Cantú Martínez, R. Arenas Velasco, M. T. Flores Garza


12 mil estudiantes, ofrece 34 carreras, 10 programas de maestría, 7 especialidades de Posgrado y 28 especialidades médicas. Está acreditada por la SACS, FIMPES y otras acreditadoras.

Se incluye en su área curricular de ciencias básicas el curso de Cálculo Diferencial como asignatura obligatoria en las carreras: Ingeniero Biomédico, Ingeniero Industrial y de Sistemas, Ingeniero Mecánico Administrador, Ingeniero en Mecatrónica, Ingeniero en Tecnologías Computacionales y Licenciado en Economía.

El curso de Cálculo Diferencial e Integral se incluye como asignatura obligatoria en las carreras: Licenciado en Animación y Efectos Digitales, Licenciado en Administración de Empresas, Licenciado en Comercio Internacional, Licenciado en Contaduría y Finanzas, Licenciado en Finanzas Internacionales, Licenciado en Mercadotecnia Internacional y Licenciado en Recursos Humanos.

En las carreras donde tanto las asignaturas de Cálculo Diferencial como la de Cálculo Diferencial e Integral son optativas se encuentran: Arquitectura, Licenciado en Diseño de Interiores, Licenciado en Diseño Gráfico, Licenciado en Diseño Textil y de Modas, Licenciado en Diseño Industrial, Licenciado en Nutrición, Licenciado en Psicología, Licenciado en Ciencia Política y Administración Pública, Licenciado en Estudios Internacionales, Licenciado en Derecho, Licenciado en Ciencias de la Educación, Licenciado en Ciencias de la Información y Comunicación y Licenciado en Turismo Internacional.

El Departamento de Física y Matemáticas, tiene como función diseñar, desarrollar e implementar entornos de aprendizaje constructivista para cursos de física y matemáticas. El modelo pedagógico creado por el departamento (Figura 1), está basado en Estrategias de Solución de Problemas, con el propósito de que el alumno se involucre en un aprendizaje dinámico, voluntario y personal para que sea el arquitecto de su propia formación académica (no se trata de hacerle más fácil el aprendizaje sino que él edifique su propio conocimiento).

Figura 1. Modelo pedagógico del departamento de Física y Matemáticas

La frase célebre de Benjamín Franklin (1706-1790) “Dime y lo olvidaré, enséñame y lo recordaré, involúcrame y lo aprenderé” obliga a reflexionar que el aprendizaje debe estar centrado en el alumno; para Piaget el conocimiento no procede únicamente de la experiencia de los objetos ni de una programación del tema, sino de construcciones sucesivas.




Así mismo, en el proceso de instrucción se emplea el modelo de Jonassen (Figura 2) donde se diseña una actividad que lleva a una tarea de aprendizaje, en el que el estudiante sea el creador de su propio conocimiento, se evalúa y se hacen ajustes que lleven a una nueva actividad en donde la nueva tarea de aprendizaje, contenga nuevos desafíos de tal manera que el mismo estudiante se involucre y su pensamiento sea más crítico en cuanto a los contenidos de la materia.

Figura 2. Modelo de David H Jonassen (2008)

2. Antecedentes

Actualmente, tanto las Universidades como los profesores, nos enfrentamos a una nueva realidad en el ámbito educativo, sobre todo en el proceso enseñanza-aprendizaje (E-A). A medida que se mide el progreso de los estudiantes, es común encontrarse con resultados poco alentadores, por lo que vale la pena preguntarse ¿de qué manera aprenden actualmente nuestros estudiantes?

La respuesta no es fácil, es claro que no aprenden con los métodos tradicionales, el alumno de hoy en día, aprende de diversas formas de acuerdo a sus necesidades, tanto sociales, culturales, económicas y políticas, como a sus intereses personales.

Se observa en ellos una marcada tendencia a aprender a través de medios tecnológicos y visuales como internet. Adicionalmente presentan cierta resistencia al uso del razonamiento, y es común en ellos aplicar la ley del menor esfuerzo, tratando de aprobar la materia sin verse en la necesidad de estudiar. Es palpable su necesidad de obtener gratificación inmediata, siendo proclives a trabajar bajo un patrón de estímulo–respuesta, si no reciben un premio a cambio no cumplen con la tarea asignada.

También se observa en ellos cierta preferencia a trabajar en equipo y minimizar el trabajo, así sólo es una parte del trabajo lo que ellos realizarán, sin embargo, a pesar de estar cursando una carrera universitaria, sus intereses no están centrados en formarse académicamente.

En el ámbito de las matemáticas, es común escuchar a los estudiantes referirse a ellas como su dolor de cabeza, tienen la falsa idea de que no podrán con ellas, se puede decir que tienen una aversión a las matemáticas. Esta falsa idea y la baja tolerancia a la frustración que prevalece entre ellos, los lleva incluso a elegir su carrera de acuerdo a la cantidad de materias que tienen que cursar del área de matemáticas, así las carreras que tienen menor cantidad de cursos en esta área son las preferidas.



En vista de que los métodos tradicionales no están funcionando con las nuevas generaciones, es importante para el proceso E-A, buscar alternativas que relacionen tanto la parte tecnológica como los métodos didácticos y los intereses de los jóvenes, de manera que estos recursos puedan ser dirigidos hacia el logro de un aprendizaje significativo.

Ante esta oportunidad, el Departamento de Física y Matemáticas que se ha caracterizado por estar siempre en búsqueda de la mejora continua, ha emprendido acciones tendientes a proporcionar más y mejores recursos a nuestros estudiantes para el logro de sus objetivos.

Una de estas acciones ha sido la migración hacia el uso de recursos tecnológicos, por lo que ahora nuestros estudiantes practican y son continuamente evaluados en la plataforma UDEM-INGENIAT, esto proporciona al estudiante un medio para reafirmar sus conocimientos y mejorar sus hábitos de estudio, así mismo permite al profesor tener información sobre cuales temas son los de mayor dificultad para los estudiantes y darles seguimiento.

Como dice Jonassen al trabajar con tecnología computacional los estudiantes por un lado mejoran las capacidades y habilidades en la computadora, por otro lado, la computadora los ayuda a mejorar en cuanto a la reflexión y el aprendizaje de ellos mismos como estudiantes.

También se implementó a partir del 2009 el incrementar una hora de clase más a la semana de asesoría con el maestro titular del curso, la cual es obligatoria, en esa hora de asesoría no se imparte clase, los estudiantes practican los temas explicados por el maestro y aclaran dudas, el alumno debe trabajar de manera individual ya que aquí se estarán formando las bases para que llegue a ser un profesionista exitoso.

Se instaló también un escritorio de asesoría, a cargo de un profesor especialista en matemáticas, apoyado por un grupo de estudiantes destacados en el área de las matemáticas, con horario de 8:00a.m a 5:00p.m para todos los estudiantes que cursan alguna materia del área de matemáticas. Ellos pueden asistir las veces que lo necesiten.

Otro cambio importante surgió al observar que en general el alumno llega con un nivel de preparación muy variable, y que muchos de ellos no cuentan con las bases mínimas requeridas para sacar adelante un curso de Cálculo, ya que presentan problemas graves en la manipulación, aplicación e interpretación de las matemáticas particularmente en el área del Álgebra.

Para tratar de mitigar esta deficiencia y promover una mejora en los índices de aprobados de los cursos de Cálculo, se diseñó un curso propedéutico de Precálculo con la finalidad de ayudar a los estudiantes a alcanzar un nivel adecuado en matemáticas que les permita tener éxito en cursos posteriores, principalmente de Cálculo.

Inicialmente todos los alumnos se inscriben en el curso propedéutico. Para determinar si el alumno posee las herramientas necesarias para estar en Cálculo, se inicia con una prueba de pre-requisitos, el estudiante puede elegir presentar dicha prueba o cursar la asignatura de Precálculo; los estudiantes que no cuentan con las habilidades matemáticas para aprobar dicha evaluación, permanecen en el curso propedéutico, los que aprueban el instrumento, se les inscribe en la primera semana de clases directamente al curso de Cálculo.

La validez del instrumento se determina por su eficacia para separar a los estudiantes que cuentan con los requisitos mínimos, de los estudiantes que no cuentan con estos requisitos.




La prueba de prerrequisitos se aplica de manera presencial y se prepara con diferentes bases de datos. Cuenta con 40 ejercicios con diferentes niveles de dificultad, vale la pena señalar que no se les dio ninguna ponderación especial, es decir todos los reactivos tienen la misma ponderación ya que lo que se pretende es conocer si el estudiante tiene las habilidades del álgebra.

Aprueban aquellos alumnos que obtengan 28 o más ejercicios correctos, incluye temas básicos como factorización, operaciones con fracciones, solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades, funciones básicas y simplificaciones algebráicas.

Todos los ejercicios son de opción múltiple. A continuación se muestran algunos ejemplos que se incluyen en esta prueba

Dificultad baja: El resultado de ( ) )x(x 236 es:

A) x81 B) x11 C) x54 D) x36 E) x20

Dificultad media: El resultado de simplificar la expresión 20

9

168

62

2

2

2

−−−÷

++−−

xx

x

xx

xx es:

A) ( )( )( )( )34

52

−++−

xx

xx B)

( )( )( )( )34

52

−+−−

xx

xx

C) ( )( )( )( )45

32

+−−+

xx

xx D)

( )( )( )( )( )54

332 2

−+−++

xx

xxx E)

( )( )( )( )34

52

−++−

xx

xx

Dificultad alta: Al simplificar la expresión

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxx 221

422

1212221

12

2

321

423 −

−−+−−

se obtiene :

A) ( ) ( )

( )42x

1324x12xx

−

−− B)

( ) ( )( ) 2

1

21

42x

1324x12xx

−

−−

C) ( ) ( )

( ) 21

21

42x

1324x12xx

+

−− D)

( ) ( )( )42x

1324x12xx

−

−− 21

En los semestres de otoño, alrededor de 300 alumnos se presentan a este examen, de los cuales acreditan entre 30 y 40 estudiantes.



3. Propósito del estudio

El propósito de este trabajo, es el de probar la necesidad del examen de pre-requisitos y evaluar el impacto del curso propedéutico en el desempeño de estudiantes de los cursos de Cálculo Diferencial (Ingenierías) y Cálculo Diferencial e Integral (Licenciaturas).

4. Hipótesis

1. El examen pre-requisitos selecciona de manera adecuada a los alumnos con un nivel requerido para llevar el curso de Cálculo.

2. El resultado de los alumnos en el curso propedéutico tiene relación con su desempeño en el curso de Cálculo.

5. Sujetos de estudio

Los sujetos de estudio son alumnos de las carreras mencionadas en la introducción, cuyo plan de estudios incluye la materia de Cálculo; en mayor proporción son alumnos de primer ingreso, ya que la materia se ubica en el primer semestre de las carreras.

6. Diseño de la investigación

Se separa la información de los grupos de precálculo por grupo y maestro calculando sus resultados, tanto del examen pre-requisitos como del examen final (equivalente al de pre-requisitos) y la calificación final del curso, en los semestres primavera y otoño de 2007 a 2009 inclusive, así como, los veranos de 2008 y 2009. También se observa el desempeño de los alumnos a través del curso analizando los resultados por temas durante el semestre.

A lo largo del semestre el alumno realiza actividades de aprendizaje presencial y en línea (en la plataforma UDEM-INGENIAT), de los temas que están incluidos en el examen de pre-requisitos de tal manera que desarrolle las habilidades necesarias para aprobar el curso de Precálculo y tener el nivel necesario para cursar Cálculo.

7. Recolección de datos

La investigación se realiza con bases de datos del departamento sobre resultados del examen de pre-requisitos a los candidatos a cursar la materia de Precálculo, así como información del seguimiento a los alumnos después de llevar el curso propedéutico y cursar la materia de Cálculo en los períodos comprendidos en otoño 2008 al 2009. También se realizó un análisis de ítems para conocer cuáles eran los temas en los que se tenía mayor dificultad, y poder hacer un rediseño en el programa del curso para dar mayor importancia a los temas que se requerían en Cálculo

8. Resultados y análisis

Lo que observamos con la prueba en otoño 2008 fue que los temas en que obtenían calificaciones más bajas eran sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, desigualdades, funciones y




el álgebra y su conexión con el cálculo, como se muestra en el gráfico de la Figura 3. Esto dio la pauta para el diseño del programa del curso.

Figura 3. Calificación promedio en cada uno de los temas durante el semestre de otoño 2008

A los estudiantes que obtenían un número menor de 28 respuestas correctas se les ubicaba en el curso de Precálculo. Al final del semestre se les aplicaba un examen final equivalente al que presentaron al inicio y se les promediaba todo su desempeño a lo largo del semestre, los resultados fueron más allá de nuestras expectativas ya que todos los grupos mejoraron como se muestra en la siguiente gráfica:

Figura 4. Calificación de entrada (ubicación), calificación del examen final y calificación de salida (Cal. F.) en cada uno de los grupos en primavera 2009



La Figura 4 muestra los resultados obtenidos en un rango de 0 a 100 por grupo y por profesor, tanto en el examen de pre-requisitos (ubicación) como en el examen final (que es equivalente al examen inicial) y su calificación final (calificación de salida). Podemos observar como los estudiantes en el examen de ubicación, obtuvieron calificaciones menores a 50 (cabe mencionar que en la UDEM la calificación mínima aprobatoria para cualquier curso es de 70), por ejemplo en el grupo 1 el promedio del grupo en el examen de ubicación es de aproximadamente 37, lo que nos indicaba que sus habilidades tanto en aritmética como en el álgebra eran muy limitadas, siguiendo con el mismo grupo en el examen final se observa el promedio del grupo en 80, esto quiere decir que después de haber trabajado con los alumnos con el programa de precálculo se observa una importante mejoría en sus habilidades tanto aritméticas como de álgebra.

Con lo que respecta al examen final el cual es equivalente al examen de pre-requisitos se observa que todos los grupos mejoraron. Eso nos indicaba que el curso de Precálculo les había servido para adquirir mayor habilidad en la manipulación de la aritmética y del álgebra. Los estudiantes que habían logrado una calificación aprobatoria se podían inscribir en el curso de Cálculo para el siguiente semestre o aplazarlo para subsiguientes semestres. El estudio termina con un seguimiento de los estudiantes en el semestre posterior a fin de corroborar cómo se desempeñaban en el curso de cálculo diferencial o en el curso de cálculo diferencial e integral.

Al término del siguiente semestre, en el curso de Cálculo, se identificó a los estudiantes que habían cursado el curso de Precálculo y se compararon las calificaciones de ese semestre (Cálculo) y las calificaciones del semestre anterior (Precálculo), observando que el 37% de ellos habían aprobado, el 15% desertó a mitad del semestre y el resto, el 48% reprobó la materia.

Esto nos llevó a buscar las causas, encontrando que solo el 10% había presentado dificultades con el álgebra y los demás eran dificultades por el mismo contenido del curso de Cálculo, desinterés u otros factores que no tenían ninguna relación con su habilidad para manipular el álgebra.

Se observó que en el curso de Cálculo para Licenciatura se obtenían mejores resultados, aproximadamente el 79% de los estudiantes obtienen calificaciones aprobatorias, el 20% desertó de la materia y el 1% no cursaron en esos semestres la materia de Cálculo.

Quisimos verificar estos hallazgos de otoño del 2008 y primavera del 2009 con subsiguientes semestres y los resultados encontrados fueron muy similares, se ajustaron los tiempos de los contenidos dando un mayor tiempo y mayor profundidad a los temas que se les dificultaban más, esto llevó a que los próximos semestres se mejorara aún más, teniendo una aprobación del 60% en los cursos de Cálculo de los estudiantes que habían cursado la materia de Precálculo.

En la actualidad 2010 se sigue trabajando con el curso de Precálculo, se ha observado que a diferencia del curso de Precálculo para Ingeniería en el curso de Precálculo para Licenciatura además de que se obtenían mejores resultados también presentaban una mayor dedicación y mejor actitud.

En el curso para Ingeniería se tiene una eficiencia terminal que va desde un 42 a un 74% de primavera del 2007 a otoño 2009 mientras que en el curso de Precálculo para Licenciatura en el mismo período de tiempo se tiene una eficiencia terminal desde un 42 a 76%, observando que únicamente en primavera del 2008 los estudiantes de Precálculo para Licenciatura tienen una eficiencia terminal por debajo de los estudiantes de Precálculo para Ingeniería como se puede apreciar en la siguiente tabla:




Precálculo para Ingeniería Precálculo para Licenciatura

Semestre Inscritos Aprobados Eficiencia Semestre Inscritos Aprobados Eficiencia

Pr. 07 19 14 74% Pr. 07 16 12 75%

Ot.07 208 118 57% Ot.07 65 42 65%

Pr. 08 102 48 47% Pr. 08 76 32 42%

Vr.08 24 11 46% Vr.08 38 22 58%

Ot.08 267 150 56% Ot.08 56 42 75%

Pr.09 110 61 55% Pr.09 69 54 78%

Vr.09 25 18 72% Vr.09 25 16 64%

Ot.09 239 127 53% Ot.09 55 42 76%

Tabla 1. Porcentaje de eficiencia en el curso de Precálculo (2007 y 2009)

Con el uso de un software se calculó la correlación con un nivel de significancia del 95% entre el resultado obtenido en el curso de Precálculo y el resultado obtenido en el curso de Cálculo encontrando que la correlación entre los resultados obtenidos entre uno y otro curso es significativa lo cual nos dice que esperaríamos que aquellos alumnos que llevaron precálculo obtengan calificaciones aprobatorias en Cálculo aunque aquí valdría hacer la aclaración que no siempre es así ya que existen otros factores que impiden que estos resultados sean todavía más concluyentes.

9. Conclusión

Al realizar este estudio nos hemos dado cuenta que algunos de los alumnos no cuentan con las bases mínimas para cursar la materia de Cálculo ya sea porque están olvidados o porque realmente no lo aprendieron cuando cursaron la preparatoria, por tal motivo es muy importante que nuestros alumnos estén conscientes de su realidad y que necesitan encontrar estrategias para lograr un aprendizaje significativo.

Entre las dificultades que tienen los alumnos está la comprensión de lectura en un problema de aplicación, es por este motivo por lo que se incluyeron en este curso lecturas previas y su evaluación.

Los comentarios de algunos alumnos con respecto a la estructura del curso es que la plataforma UDEM-INGENIAT los ha forzado a trabajar mucho a pesar de ellos mismos, otros alumnos han preferido desertar de la materia porque a su modo de ver es una carga excesiva de ejercicios, otros comentan que es más sencillo obtener buenos resultados en la materia de precálculo con las asesorías y los ejercicios que se encuentran en la plataforma, porque esto los ha ayudado a tener una mayor comprensión de los temas y así tener una mejor preparación para cursar la materia de Cálculo.

Los resultados nos muestran que el curso propedéutico de Precálculo es un apoyo para los alumnos, en algunos casos para adquirir y en otros para reforzar conocimientos y desarrollar habilidades, aunque también encontramos que uno de los grandes problemas que aquejan a nuestros jóvenes es la actitud que tienen hacia las matemáticas.

Todavía hay mucho por hacer pero estamos convencidas de que vamos por buen camino y que lo que hemos estado haciendo dejará en el alumno una visión diferente de las matemáticas, así que nuestro siguiente paso es trabajar con la actitud de nuestros jóvenes estudiantes.



Bibliografía

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Piaget, J. (1999). Psicología y pedagogía, Barcelona; México: Ariel.

Twomey, C. (Ed.) (2005). Constructivism: theory, perspectives, and practice, New York, NY. Teachers College.

Idalia Cantú Martínez, maestra asociada de la Universidad de Monterrey, nació en Monterrey N.L. México. Tiene estudios de Ingeniería Química, maestría en Educación, diplomado en docencia y cursos de la Maestría de Administración en investigación de operaciones. Es co-autora del libro de Precálculo por la editorial Pearson. Dirección: Ave. Morones Prieto 4500 Pte. San Pedro Garza García N.L. México. CP 66238. [email protected]

Rita Arenas Velasco, maestra de asignatura en la Universidad de Monterrey, nació en México D.F tiene estudios de Licenciatura en Matemáticas en la Universidad Autónoma de Nuevo León, maestría en Economía de la Universidad Autónoma de Nuevo León. Es co-autora del libro de Precálculo por la editorial Pearson. Dirección: Ave. Morones Prieto 4500 Pte. San Pedro Garza García N.L. México. CP 66238. [email protected]

María Teresa Flores Garza, maestra de asignatura en la Universidad de Monterrey, nació en Monterrey, N.L. México. Obtuvo el título de Licenciado en Química Industrial con mención honorifica en la Universidad de Monterrey. Es co-autora del libro de Precálculo por la editorial Pearson. Dirección: Ave. Morones Prieto 4500 Pte. San Pedro Garza García N.L. México. CP 66238. [email protected]



I Olimpiada Matemática en Centros de Adultos

Luis Balbuena Castellano (Catedrático de Matemáticas, jubilado. Tenerife) Pedro Perestelo Rodríguez (CEPA1. “Comarca Nordeste de Tenerife". Tenerife)

Fecha de recepción: 2 de Mayo de 2012 Fecha de aceptación: 4 de Junio de 2012

Resumen La Sociedad Isaac Newton viene ofreciendo los Torneos de Matemáticas con la idea de estimular y promover el talento matemático entre estudiantes del 6º nivel de Primaria y del 2º de la ESO de toda Canarias. En este curso 2011-12 lo ha hecho por primera vez con estudiantes de un Centro de Adultos que aceptó realizar una Olimpiada Matemática, con carácter experimental con el fin de analizar posteriormente su desarrollo y ofertarlo en el futuro a todos los centros de Canarias. Se explican los pasos dados así como el contenido de las pruebas realizadas. En la valoración final, se sugieres a la Sociedad que, en efecto, amplíe la oferta en el futuro.

Palabras clave Olimpiada Matemática, Torneo, Centros de Adultos, Enseñanza de Adultos, dinamización matemática.

Abstract The Isaac Newton Society organizes the Mathematics Tournaments in order to stimulate and promote the mathematic talent among students of the 6th year of Primary School and 2nd year of CSE from the Canary Islands. In the current 2012-13 course, students from an adult school have participated for the first time. The adult school accepted to join this year’s Mathematics Tournament in an experimental way with the objective of analyzing its development, so that the Isaac Newton Society can offer it in the future to all the schools in the Canary Islands. The steps followed and the content of the tasks developed are explained. In the final assessment, the Isaac Newton Society is suggested to widen the offer in the future.

Keywords Mathematical Olympiad, Mathematics Tournament, Mathematics Competition, Adult Schools, Adult Education.

1. Introducción

Durante el pasado mes de abril se ha celebrado en el Centro de Educación de Personas Adultas (CEPA) "Comarca Nordeste de Tenerife" (España), una prueba de Matemáticas en la que ha participado el alumnado matriculado en este Centro de Adultos, a la que hemos denominado I Olimpiada Matemática en Centros de Adultos. La organización de la prueba corrió a cargo de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas y del propio Centro.

1 Centro de Educación de Personas Adultas

I Olimpiada Matemática en Centros de Adultos L. Balbuena Castellano, P. Perestelo Rodríguez


La historia de esta Primera Olimpiada comienza en el mes de noviembre de 2011, cuando el Profesor Luis Balbuena, como miembro de la Sociedad Canaria Isaac Newton de profesores de Matemáticas, planteó al Centro de Adultos la posibilidad de organizar una Olimpiada Matemática que pudiera considerarse como piloto para poder extender las futuras convocatorias al resto de Centros de Adultos de Canarias.

A tal fin, en el mes de febrero de 2012 se constituyó una Comisión Organizadora con el objetivo de hacer todas las gestiones y preparar las pruebas. Para ello se elaboró un cartel anunciador (Figura 1) y un programa que señala las fechas de los actos a celebrar (Figura 2).

Figura 1. Cartel anunciador de la I Olimpiada Matemática en Centros de Adultos

Figura 2. Programa de la I Olimpiada Matemática en Centros de Adultos




2. Desarrollo de las pruebas

Se decidió ofertar al alumnado dos modalidades de participación: individual y por equipos. Cabe destacar que entre los participantes había alumnos, tanto del último tramo de la Formación Básica Postinicial (equivalente a cuarto de la Educación Secundaria Obligatoria), como alumnos en la Formación Básica inicial (alfabetización). A todos se ofrecerían las mismas pruebas.

Se desarrolló en dos fases.

2.1. Primera fase

Se realizó en la semana del 9 al 12 de abril. Participaron en la misma 18 equipos de tres alumnos cada uno y 44 alumnos que lo hicieron de manera individual, lo que hace que participara en esta fase un total de 98 alumnos.

La primera fase estuvo dividida en dos etapas. En primer lugar se pasó la siguiente prueba de nueve items, para la que se ofrecen los porcentajes de aciertos obtenidos en cada uno de ellos.

Pregunta 1

Descuentos. En un gran almacén se hace un 25% de descuento al comprar un producto. En el que está enfrente, si compras dos productos, te regalan uno más, es decir, que te llevas tres. ¿En qué lugar es más ventajoso comprar y por qué?

Aciertos: 45 Porcentaje de éxito: 72,6%

Pregunta 2

La soledad del chico de los platillos

Un curioso ciudadano de Tejina ha observado que cuando la banda de música desfila de dos en dos, el chico de los platillos va al final solo. Si lo hacen de tres en tres, pasa lo mismo y también si lo hacen de cuatro en cuatro. Se fue a hablar con el director y le sugirió que los hiciera desfilar de cinco en cinco para que el pobre chico fuera en una fila con sus compañeros. Y así lo hizo el director de forma que la siguiente vez que el ciudadano vio la banda comprobó que el chico estaba en la última fila pero con cuatro más.

Se trata de averiguar cuántos músicos tiene la banda sabiendo que son más de 50 y menos de 100.




Pregunta 3

Contando figuras. Observe la siguiente figura y haga el siguiente cálculo: ¿Cuántos cuadrados se pueden contar?


Pregunta 4

Combinando dígitos.

Se llaman dígitos a los números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El nombre proviene de la palabra latina digitus que significa dedo. Como los dedos son diez y los números de una sola cifra también son diez, de ahí el nombre… Por otra parte, cuando se “ficha” a alguien se le toman las huellas digitales… Cuestiones para pensar: a) Considera solo los dígitos 3, 6 y 7. Formar todos los números de tres dígitos

que puedas con esos tres elegidos pero sin repetir ninguno b) Escribir el mayor y el menor c) Ahora debes formar todos los números también de tres dígitos con esos tres

elegidos pero teniendo en cuenta que se pueden repetir hasta tres veces d) Entre los números del apartado c) ¿cuál es el mayor? ¿Cuál es el menor?

a Aciertos: 48 Porcentaje de éxito: 77,4%

b Aciertos: 49 Porcentaje de éxito: 79%

c Aciertos: 11 Porcentaje de éxito: 17,7%

d Aciertos: 38 Porcentaje de éxito: 61,3%




Pregunta 5

Continuar las series de números consiste en encontrar cuál es el número que continua en cada una de las series. Hacerlo con éstas: a) 2 4 6 8 10 ___

b) 36 32 28 24 20 ___

c) 2 5 10 17 26 ___

d) 15 12 9 6 3 ___


b Aciertos: 55 Porcentaje de éxito: 87,7%



Pregunta 6

En una bolera hay 10 bolos. Para cada bolo que se tumbe se obtiene un número de puntos igual al que se muestra:

¿Qué bolos debes tirar para conseguir los puntos que se indican en cada caso?

a) 18 puntos b) 22 puntos c) 23 puntos d) 58 puntos e) Hay tres posibilidades de obtener 46 puntos, ¿sabrías encontrarlas?

a Aciertos: 62 Porcentaje de éxito: 100%




e Aciertos: 39 Porcentaje de éxito: 62,9%



Pregunta 7

La República Checa pertenece a la Unión Europea. La bandera tiene los colores blanco (parte superior), rojo (inferior) y azul (el triángulo).

Se pide:

a) Medir el perímetro de la bandera. b) Calcular el área de la bandera. c) Calcular el área del triángulo. d) ¿Qué porcentaje del área total representa en triángulo?




d Aciertos: 13 Porcentaje de éxito: 21%

Pregunta 8

Dos burros dialogan

Dos burros se dirigen al molino cargados con sacos de trigo. Uno le dice al otro:

R-1.- No deberías ser tan egoísta y tomar uno de mis sacos para que los dos llevemos el mismo número de sacos…

A lo que respondió el otro:

R-2.- Pues justamente me había dado cuenta que si tú tomas uno de los míos, entonces tú llevarías el doble que yo.

La pregunta es evidente: ¿cuántos sacos lleva cada uno?





Pregunta 9

Descuentos

Un comerciante decide rebajar un 10% sus productos. Pero hace el siguiente razonamiento: Para no perder, lo que hago es subirlos primero un 10% y luego les aplico la rebaja. ¿Es verdad que con ese “truco” ni gana ni pierde? Razonar la respuesta


Respecto a los resultados por alumno tendremos que diferenciar entre modalidad individual (tabla 1) y grupo (tabla 2).

En la modalidad individual los resultados fueron (puntuación de 1 a 9):

Notas Nº alumnos %

Hasta 1 1 2,27

De 1 a 3 9 20,46

De 3 a 5 16 36,36

De 5 a 7 12 27,27

De 7 a 9 6 13,64

Tabla 1. Porcentaje de éxito en la prueba modalidad individual

En la modalidad de grupo se obtuvieron:

Notas Nº alumnos %

Hasta 1 0 0

De 1 a 3 1 5,56

De 3 a 5 8 44,44

De 5 a 7 7 38,89

De 7 a 9 2 11,11

Tabla 2. Porcentaje de éxito en prueba modalidad de grupo

Los criterios que se fijaron fue hacer pruebas individuales para los que están cursando en el tramo III y IV de la Formación Básica Postinicial (3º-4º de la ESO) y en grupo para el resto (desde alfabetización hasta el tamo II de la Formación Básica Postinicial)

Esta primera fase se completó con un problema “10” que se basó en el conocido juego del “solitario”. Para ello se celebró una prueba con todos los alumnos donde cada uno jugaba tres partidas y anotaba las fichas que le quedaban en el tablero. Participaron en esta prueba 31 alumnos (tabla 3).



Figura 3. Participantes en el juego del solitario

Los resultados fueron los siguientes:

Total de fichas en el tablero Nº alumnos %

Menos de 10 2 6,45

De 10 a 20 18 58,07

De 20 a 30 9 29,03

Más de 30 2 6,45

Tabla 3. Porcentaje de éxito en el problema 10

Tras la realización de la prueba del Solitario, se desarrolló una sesión de Matemagia a cargo de los Profesores Manuel García Déniz y José Antonio Rupérez Padrón (Sociedad Canaria Isaac Newton de profesores de Matemáticas).




Figura 5. Sesión de Matemagia

2.2. Segunda fase

La segunda fase se celebró en el casco de la ciudad de La Laguna, dentro de la zona declarada por la UNESCO Patrimonio de la Humanidad en diciembre de 1999. A los participantes en esta fase, se les entregaba un cuadernillo titulado Busca el detalle (matemático) en tu Patrimonio. A lo largo de un recorrido prefijado, tenían que ir realizando las actividades que se indicaban en el cuadernillo.

Entre los participantes en la primera fase, se seleccionaron 6 estudiantes de la modalidad individual y 6 equipos de esta modalidad. Antes de comenzar la prueba fueron recibidos y saludados por una concejal del Ayuntamiento de La Laguna. Tras ese acto se explicaron diversos conceptos incluidos en la prueba, se dieron instrucciones sobre la forma de hacer la prueba y pasaron, finalmente a hacer el recorrido previsto.

Una vez conocidos los resultados de esta segunda fase, se seleccionaron los ganadores de las dos categorías (primer y segundo premio) que recibieron sus premios en el acto que, con motivo del Día Escolar de las Matemáticas, celebra la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas celebró en el Aula Magna de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna.



Figura 6. Busca el detalle (matemático) en tu Patrimonio

Figura 7. Participantes en la segunda fase de la I Olimpiada Matermática de Adultos




Mirar ahora a la puerta de entrada. A ambos lados se pueden ver unas columnas. Y

debajo de las columnas observa una figura geométrica labrada en la piedra.

19.- ¿Qué figura es la que está labrada en la base de las columnas? _____________

20.- ¿Cuántos hay? _______

Desde esa misma esquina se ve, a la derecha, el edificio de CajaCanarias. Fijarse en las

ventanas del piso superior. Vamos a suponer que los cristales de las ventanas son

cuadrados. Les planteo este entretenimiento:

21.- ¿Cuántos cuadrados se pueden ver en total en las cuatro ventanas? __________

22.- Antes de dejar atrás la plaza del Adelantado, observar el plano y señalar las opciones que consideren correctas en la siguiente cuestión: La forma de la Plaza del Adelantado:

Pregunta Si No Pregunta Si No ¿Es un triángulo? ¿Es un trapecio?

¿Es un cuadrilátero? ¿Es un trapezoide? ¿Es un cuadrado? El ángulo A es recto

Figura 8. Una página del cuadernillo de actividades

3. Valoración de la actividad y conclusiones

Durante todo el periodo de desarrollo de esta olimpiada el profesorado del CEPA Comarca Nordeste de Tenerife valoró esta actividad de manera muy positiva ya que observaron mucho interés y motivación en el alumnado.



Muchas son las anécdotas y comentarios del alumnado respecto al desarrollo de las pruebas y en la entrega de premios.

− En la primera fase, por ejemplo, se hicieron curiosos comentarios en la primera pregunta (¿qué es más favorable 25% de descuento o compre tres y pague dos?). Algunos decían que eso dependía del producto al que se aplicase la oferta pues no es lo mismo ofrecerlo para la compra de azúcar que para la compra de una nevera…Otra comentó: ¿Y para qué quiero tres si soy sola en casa…?

− Sobre la pregunta última (se aplica un descuento) alguno de los participantes comentó: “yo siempre voy al descuento”.

− Algunos alumnos no querían entregar la prueba hasta no resolver el problema 8 (dos burros dialogan…) porque decían que tenían que buscar la solución porque era imposible no resolverlo.

Además, el alumnado ha hecho todo tipo de comentarios respecto a las pruebas, como por ejemplo: “esto si son matemáticas aplicadas”, “esto me hace pensar”. En la última fase se han hecho comentarios del tipo: “ahora veo La Laguna de otra manera”.

Pensamos que ha sido una forma de ver las Matemáticas desde otro punto de vista y al mismo tiempo conseguir que el alumnado las vea dentro del propio patrimonio del municipio.

El alumnado del primer nivel (alfabetización) que participó en la primera fase recibieron un accésit y comentaron la grata impresión que se llevaron al visitar, por primera vez, una institución universitaria. Para ellos fue algo increíble el compartir un acto con estudiantes de primaria, secundaria así como con autoridades académicas universitarias y municipales.

En el acta leída en el acto de la entrega de premios, la Comisión organizadora presentó estas conclusiones:

a) La Comisión Organizadora desea agradecer a la Dirección del Centro su decisiva colaboración para el buen desarrollo de la I Olimpiada.

b) Asimismo, una vez analizado el desarrollo de esta fase experimental, anima a la Sociedad Isaac Newton a que convoque una edición anual de Olimpiada en Centros de Adultos.

Luis Balbuena Castellano (Moya, Las Palmas, 1945) Catedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria jubilado. Trabajó en institutos de Huelva, Tejina y La Laguna. Ha sido Secretario General de la Sociedad Isaac Newton, de la Federación nacional y de la FISEM. Publicaciones: Guía matemática de La Laguna, El ñandutí y las matemáticas, El Quijote y las matemáticas, etc. Ganador de cuatro premios Giner de los Ríos. Premio Gonzalo Sánchez Vázquez a los valores humanos y a la labor docente. [email protected]

Pedro Perestelo Rodríguez (San Andrés y Sauces, Santa Cruz de Tenerife, 1961) Profesor de Secundaria. Ha trabajado en los Institutos de Agüimes (Las Palmas) y Viera y Clavijo, Los Silos, Anaga, San Benito y Tegueste (Santa Cruz de Tenerife. Actualmente es profesor en el Centro de Adultos de la Comarca Nordeste de Tenerife (Tejina – La Laguna), reside en La Laguna. Ha participado en publicaciones del Departamento de Geometría de la Universidad de La Laguna así como del grupo Anaga (financiado dentro del Concurso Nacional de Proyectos de Investigación Educativa de 1988). Email: [email protected]



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Coordinador: Luis B

albuena Castellano

Un ángulo para salvar las apariencias. El ángulo de fase

Carlos Mederos Martín (Instituto de Enseñanza Secundaria Viera y Clavijo. Tenerife)

Resumen La humanidad ha mirado al cielo desde la más remota antigüedad, observando en él hechos que, generalmente, se repetían periódicamente, y, en algunas ocasiones, hechos extraordinarios. En cualquier caso, la razón humana siempre ha intentado dar cuenta de estas observaciones por medio de razonamientos que se acomodaran a las "apariencias" (salvar las apariencias). Sin embargo, a lo largo de la Historia encontramos, excepcionalmente, ejemplos de cómo de las explicaciones de ciertos fenómenos observados surgen conocimientos que propiciaron grandes cambios en las concepciones que la humanidad tenía sobre Universo. Un ejemplo de esto es el uso que hace Aristarco de Samos del ángulo de fase de la Luna y Galileo de las fases de Venus.

Palabras clave Apariencia, salvar las apariencias, ángulo de fase, fases de Venus, Sistema Ptolemaico, Sistema Copernicano, cálculo de distancias astronómicas usando el ángulo de fase.

Abstract Humanity has looked at the sky from the earliest times, seeing in it doings which, generally, repeated periodically, and sometimes, extraordinary doings. In any case, the human reasoning has always tried to accommodate the “appearances” (save appearances). However, throughout history we find exceptionally examples of how explanations of observed phenomena provide knowledge that led major changes in the ideas that humanity had about the Universe. An example is the use of the phase angle of the Moon made by Aristarchus of Samos and of the phases of Venus by Galileo.

Keywords Appearance, save appearance, phase angle, phase of Venus, Ptolemaic system, Copernican system, calculation of astronomical distances using phase angle.

1. Introducción

Si consultamos el término apariencia en el diccionario de la Real Academia Española (http://buscon.rae.es) vemos que la primera acepción que encontramos es “Aspecto o parecer exterior de alguien o algo”. Más abajo, al tratar las correspondientes locuciones verbales, encontramos el significado de la frase salvar las apariencias; esto es, “idear la explicación de un hecho observable sin certidumbre de la verdad”.

Por una parte, explicar un hecho observable, es decir, un conocimiento adquirido por medio de los sentidos de los que no nos podemos fiar, tal como estableció Platón, para el que sólo se adquiere conocimiento verdadero a través de la razón (las apariencias engañan). Por otra, se trata de una explicación sin pretensiones de ser verdadera, o más bien, sin pretensiones de ser coherente con lo que en cada momento se considere verdad.

Un ejemplo paradigmático de cómo la Filosofía de la Naturaleza (la Ciencia) salva las apariencias en el sentido descrito anteriormente lo encontramos en el libro de Galileo Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo Ptolemaico y Copernicano, publicado en 1630, en el que el autor,

Un ángulo para salvar las apariencias. El ángulo de fase C. Mederos Martín


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después de haber perfeccionado el telescopio, usa las nuevas apariencias encontradas en el cielo, para defender el sistema heliocéntrico de Copérnico, en contra del sistema Aristotélico – Ptolemaico, considerado verdadero por la “autoridad competente en la materia”. En particular, nos centraremos en el descubrimiento de las fases de Venus, el cambio de tamaño aparente de este astro y en el hecho de que si queremos salvar estas nuevas apariencias debemos, según Galileo, desalojar a la Tierra del centro del Sistema Solar.

Terminamos esta introducción con una frase extraída de una carta que el cardenal Bellarmino envió en 1615 al carmelita Paolo Foscarini, quien sostenía que las opiniones de Copérnico estaban de acuerdo con los pasajes de las Escrituras que normalmente se alegaban en su contra:

"Primero. Digo que V.ª R.ª y el señor Galileo obran prudentemente al contentarse con hablar hipotéticamente [ex suppositione] y no absolutamente, como siempre he creído que había hablado Copérnico. Pues decir que, supuesto que la Tierra se mueve y que el Sol está quieto, se salvan mejor todas las apariencias que con las excéntricas y los epiciclos es expresarse correctísimamente, y no encierra ningún peligro; y al matemático le basta. Pero querer afirmar que el Sol está realmente inmóvil en el centro del mundo... y que la Tierra se halla en la tercera esfera y gira muy rápidamente alrededor del Sol encierra un gran riesgo no sólo de irritar a todos los filósofos y teólogos escolásticos, sino también de dañar nuestra sagrada fe al hacer falsas a las Sagradas Escrituras. V.ª R.ª ha hecho ver que hay muchas formas de exponer la Biblia, pero no las ha aplicado en particular, y, sin duda, habría encontrado enormes dificultades si hubiera intentado explicar todos los pasajes que ha citado...."

En otras palabras, Bellarmino le dice a Galileo “limítate a salvar las apariencias, la verdad es cosa nuestra.”

2. Aristarco de Samos y el ángulo de fase

Aparentemente los astros giran en el cielo describiendo círculos centrados en una Tierra inmóvil, por lo que no es extraño que los primeros modelos del Universo que surgieron en la antigüedad reflejaran directamente esta apariencia, y estuviesen constituidos por un conjunto de esferas transparentes centradas en la Tierra a las que se encontraban sujetos los astros. A medida que se observaban nuevas apariencias, se iban añadiendo nuevos elementos geométricos que dieran cuenta de ellas.

Sin embargo, hacia el 260 a.C. Aristarco de Samos escribió un tratado titulado Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna en el que observa que cuando la Luna está exactamente medio llena (Figura 1) el ángulo Sol-Luna-Tierra, que llamaremos ángulo de fase, es recto; es decir, el triángulo Sol-Luna-Tierra es rectángulo. Observó además que el ángulo Sol-Tierra-Luna mide aproximadamente 87º (en realidad mide 89º 50'), de donde dedujo que en tal triángulo rectángulo la hipotenusa Tierra-Sol debe ser unas 19 veces mayor que el cateto Tierra-Luna; en consecuencia, dado que los tamaños aparentes del Sol y la Luna son aproximadamente iguales, sus tamaños deben estar en la misma razón que las distancias.




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Figura 1

Por otra parte, Aristarco había observado que la anchura del cono de sobra proyectado por la Tierra durante un eclipse de Luna, a la altura que éste es atravesado por la Luna es de unas dos veces el diámetro de la Luna (Figura 2), de manera que de la semejanza de los triángulos señalados en la figura, y usando la relación de distancias mencionada, obtuvo una relación de tamaños entre la Tierra y la Luna. En estas condiciones, Aristarco afirmó que el Sol es mucho más grande que la Tierra, la que, a su vez, es más grande que la Luna, lo que le llevó a proponer el primer sistema astronómico heliocéntrico, anticipándose en más de un milenio y medio a Copérnico.

Figura 2



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3. Galileo y las fases de venus

Sin embargo, durante muchos siglos imperó el sistema astronómico geocéntrico, del que, todo hay que decirlo, se obtenían calendarios bastante precisos; aunque, en palabras de Copérnico se había "engendrado un monstruo", dada la cantidad de círculos (epiciclos) que se necesitaban para poder explicar las nuevas apariencias observadas, especialmente las trayectorias de los planetas, lo que hizo que el sistema geocéntrico llegara a ser extremadamente complicado. Pero Copérnico estaba convencido de que el Universo, en tanto que obra divina, debía estar regido por leyes matemáticas sencillas, basadas en la proporción, como corresponde a un conocedor de las teorías herméticas, neoplatónicas y pitagóricas, así como de los trabajos de Aristarco. Con estas ideas en la mente, Copérnico se propuso construir un sistema astronómico heliocéntrico, para lo que trabajó durante 25 años, hasta que, al final de su vida, en 1543, publicó su libro De revolutionibus orbium coelestium.

Pasaron unos setenta años antes de que la Iglesia Católica condenara el Copernicanismo; pero para entonces Kepler y Galileo ya habían observado el cielo y descubierto nuevas y sorprendentes apariencias. En 1630 Galileo publicó el libro Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo ptolemaico y copernicano en el que pretende usar las nuevas apariencias para argumentar a favor del Copernicanismo. En la Tercera Jornada de este libro encontramos el siguiente diálogo entre Simplicio (portavoz de la Escolástica) y Salviati (Galileo), en el que éste último pretende, una vez representadas las posiciones de la Tierra y el Sol como puntos en un folio, que Simplicio sitúe el planeta Venus donde le corresponde pero de manera que se satisfagan los hechos observados:

"......

Simplicio : Sea este punto designado por A, el lugar del globo terrestre.

Salviati: Está bien. En segundo lugar, sé que vos sabéis perfectamente que esta Tierra no está dentro del cuerpo solar ni tampoco contigua a éste, sino a una cierta distancia. Por ello, asignad al sol algún otro punto que os plazca, a una distancia de la Tierra que os parezca adecuada, y asignadle también una letra.

Simplicio: Ya está hecho, sea este el lugar del cuerpo solar, designado por O.

Salviati: Ordenados estos dos, quiero que pensemos en acomodar el cuerpo de Venus de tal modo que su posición y movimiento pueda satisfacer lo que de él nos muestran las apariencias sensibles. Por ello, evocad lo que, o por las consideraciones anteriores o por vuestras propias observaciones, hayáis entendido que sucede con esa estrella y después asignadle la posición que os parezca que le corresponde.

Simplicio: Suponiendo que sean verdaderas las apariencias descritas por vos, que también he leído en el opúsculo de las conclusiones, es decir que tal estrella no se aleja nunca del Sol más allá de un determinado intervalo de 40 y tantos grados, de modo que nunca llega a estar no ya en oposición con el Sol, sino ni siquiera en la cuadratura ni en el aspecto sextil, que, además, se muestra en un momento casi 40 veces mayor que en otro, es decir grandísima cuando siendo retrógrada va hacia la conjunción vespertina con el Sol, y pequeñísima cuando con movimiento directo va hacia la conjunción matutina; siendo verdad, además, que cuando parece grandísima se muestra con figura corniforme y cuando parece pequeñísima se ve perfectamente redonda; siendo, digo, verdaderas dichas apariencias, no veo que se pueda escapar de afirmar que dicha estrella gira en un círculo alrededor del Sol......"




A S

T R

O N

O M

Í A

En resumen, si el Universo fuese geocéntrico (Figura 3) no se podrían presentar las apariencias descritas en el anterior párrafo, En efecto, dado que Venus está siempre separado del Sol un ángulo (con vértice en la Tierra) que nunca es superior a 42º (este ángulo se llama elongación) no se producirían cambios de tamaño muy significativos, y, además, no podríamos verlo nunca totalmente iluminado (fase llena).

Figura 3

Por el contrario, si adoptamos la posición heliocéntrica, entonces se pueden explicar las apariencias descritas anteriormente. Cuando el Sol está entre la Tierra y Venus (Figura 4) éste se verá pequeño porque está lejos, pero al mismo tiempo estará casi completamente iluminado, por lo que lo veremos con forma redonda.

Figura 4



A

S

T

R

O

N

O

M

Í

A

Cuando Venus está entre la Tierra y el Sol (Figura 5) la distancia desde la Tierra a éste será mucho menor, por lo que lo veremos más grande, pero, por otra parte, la fracción iluminada será menor, viéndolo, entonces, con forma cornicular Además, esta configuración explicaría el hecho de que el ángulo Sol - Tierra - Venus (ángulo de elongación) nunca supere los 42º; en efecto, al ser la órbita de Venus interior a la de la Tierra, su radio es más pequeño; pudiéndose afirmar que el ángulo bajo el que se ve el radio de la órbita de Venus desde cualquier punto de la órbita de la Tierra alcanzará un máximo, que es, precisamente, 42º.

Figura 5

Terminamos esta parte con una disquisición de tipo lógico. De lo anterior se desprende que Galileo usa un razonamiento parecido al siguiente: Si el Universo es Heliocéntrico entonces Venus cambia de forma y tamaño. Venus cambia de forma y tamaño. Luego, el Universo es heliocéntrico. Este razonamiento es claramente falaz, de hecho, se podría usar para "demostrar" que el Universo sigue el modelo de Tycho Brahe, que es una solución intermedia entre Ptolomeo y Copérnico, en el que los planetas giran alrededor del Sol y éste alrededor de la Tierra que es el centro fijo del Universo. Con esta configuración Venus también presentaría fases y cambiaría de tamaño. ¿No sabía lógica Galileo? ¿O es que sólo estaba preocupado de salvar las apariencias, es decir, idear una explicación sin certidumbre de la verdad, como dijimos al principio?

4. Cálculo del ángulo de fase

Terminaremos exponiendo cómo se puede calcular el ángulo de fase de un astro; es decir, el ángulo Sol - astro - Tierra (con vértice en el astro), a partir de su apariencia reflejada en una fotografía. Usaremos una fotografía de la Luna, por ser mucho más fácil de obtener que la de un planeta.

Tal como observó Aristarco, cuando vemos media luna iluminada el ángulo de fase es de 90º. Pero, ¿cuál será en ángulo de fase correspondiente a otra fracción de Luna iluminada? Tomamos una foto de la Luna (Figura6) en la que hemos marcado la circunferencia, el centro y un diámetro perpendicular a la cuerda que une los dos extremos (cuernos) de la parte iluminada. Medimos la longitud del diámetro (d) y la longitud del segmento de diámetro que corresponde a la parte iluminada (i).




A S

T R

O N

O M

Í A

Figura 6

Con estos dos datos podemos obtener, mediante un sencillo cálculo trigonométrico (Figura 7) el ángulo de fase correspondiente (a):

1 2cos 1

ia

d−−−− = −= −= −= −

Figura 7



A

S

T

R

O

N

O

M

Í

A

Conocido el ángulo de fase de Venus y el ángulo de elongación, que podemos medir desde la Tierra, podemos resolver el triángulo Venus - Sol - Tierra, tomando como unidad la distancia Tierra - Sol (1 Unidad Astronómica) (Figura 8), obteniéndose una relación entre las distancias Tierra - Venus (L) y Sol - Venus (R, radio de la órbita).

Figura 8

Si tomamos dos fotografías, en dos posiciones distintas de Venus, podemos medir sus diámetros aparentes, d1 y d2, y calcular sus ángulos de fase, a1 y a2. Entonces las distancias L1 y L2 estarán entre sí como sus diámetros aparentes:

2 21 11 1

2 22 2 2 2

cos 1

cos 1

R R senL d

L d R R sen

α αα αα αα αα αα αα αα α

⋅ + −⋅ + −⋅ + −⋅ + −= == == == =

⋅ + −⋅ + −⋅ + −⋅ + −

de donde podremos obtener R, que es el diámetro de la órbita de Venus.

Bibliografía

Galilei, Galileo (1994). Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo ptolemaico y copernicano. Alianza Editorial (Edición Antonio Beltrán): Madrid.

Boyer, Carl B (1986). Historia de la Matemática. Alianza Universidad Textos: Madrid. Broman, L., Estalella, R., Ros, R. M. (1988). Experimentos de astronomía. Biblioteca de Recursos

Didácticos Alhambra: Madrid. Para la generación de las imágenes se ha usado el programa de geometría dinámica Geometer's

Sketchpad® de Key Curriculum Press.

Carlos Mederos Martín nació en Breña Alta (La Palma) en octubre de 1956. Se licenció en Matemáticas en la Universidad de la Laguna en 1979. Desde 1980 ha sido profesor de Matemáticas de Secundaria. Actualmente ejerce como tal en el Instituto de Enseñanza Secundaria Viera y Clavijo de La Laguna.



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Juegos con la web Matematicaula

Óscar Jesús Falcón Ganfornina (Profesor de matemáticas de Secundaria. España)

Resumen En este artículo se presentan algunos de los juegos que se pueden encontrar en la web Matematicaula, así como sugerencias y propuestas para llevarlos al aula.

Palabras clave Página web, recursos, Geogebra, WIRIS, juegos.

Abstract This article shows us some of the games which it’s possible to find in the web site Matematicaula, as well as suggestions and proposals to bring them to the classroom.

Keywords Web site, resources, Geogebra, WIRIS, games.

1. Introducción

La web Matematicaula (http://matematicaula.webcindario.com) pretende ser un complemento a utilizar en nuestra actividad matemática en el aula. En este portal se mezclan distintas actividades desarrolladas con Geogebra, Wiris, JClic o Hot Potatoes, clasificadas por cursos, así como por bloques de contenidos.

Creada en el 2008, Matematicaula ha ido añadiendo poco a poco todos los recursos que a día de hoy pueden ser utilizados. A la web se han ido incorporando secciones como la de descargas o la de juegos, siendo esta última la que trataremos en este artículo. Lejos de ser una web aislada, Matematicaula intentar reunir, en la medida de lo posible, cualquier recurso didáctico que podamos encontrar por la red. Ya sea mediante enlaces, adaptaciones o ideas originales, el objetivo no es otro que consolidar una plataforma que facilite al docente su labor.

Un ejemplo de l indicado en el anterior párrafo podría ser la sección del profesor. Cada docente debe registrarse y, una vez desde su zona personal, dar de alta hasta un total de 20 alumnos (quienes poseerán sus propias cuentas). De este modo, tras unos sencillos pasos, podremos proponerles cualquier actividad de la web, examinar su trabajo, o valorar las respuestas que han dado. Se trata de sistema de control básico, por supuesto mejorable y abierto a cualquier sugerencia, pero que simplifica los procesos de trabajo y evaluación.

Por tanto, siempre en continuos cambios y mejoras, Matematicaula intenta convertirse en un portal completo que permita traer las TIC al aula, y atraer a alumnos y docentes al apasionante mundo de las matemáticas. Sin la necesidad de poseer conocimientos de códigos ni programas, bastará disponer de una pizarra digital, de los ordenadores personales de cada uno, y dejarse llevar por las indicaciones de cada recurso de la web.

Juegos con la web Matematicaula O. J. Falcón Ganfornina


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2. El juego en el aula

Hay tantas variables a tener en cuenta a la hora de llevar un juego al aula que muchos docentes no nos arriesgamos a experimentar con ellos. La sensación de pérdida de tiempo o de control de los alumnos son las principales causas que hacen que rechacemos su aparición en nuestras programaciones de aula.

Pero una realidad que debemos tener en cuenta es que los juegos van a llamar la atención de nuestros alumnos. Ellos valorarán la actividad de manera positiva. Especialmente en esta asignatura que, en algunos casos, es detestada.

Además, la clase en que se realiza un juego no es una clase perdida. Crea interés y motiva al alumnado. Flota en el ambiente la idea de que no es otra lección más de matemáticas. No obstante, no hay que olvidar que la utilización del juego en nuestra aula debe estar dirigida a su uso como herramienta didáctica. Es decir, jugar no es suficiente para aprender. Por ello, lo que buscamos como docente es diferenciar el uso didáctico del juego, de su uso social.

Es esencial que seamos conscientes que, en el momento del juego, el propósito del alumno va a ser siempre el de ganar. Mientras que el nuestro es que aprenda el contenido que está involucrado en él. Debemos luchar, por tanto, para que predomine nuestro objetivo.

Para ello se deben tener en cuenta tres aspectos fundamentales:

• Es imprescindible el trabajo previo en cuanto a la preparación del material como a la identificación de los contenidos que se quieren trabajar. Esto va a implicar un gasto de horas sin que conlleve, a priori, la consecución de nuestro objetivo. Y aunque en Matematicaula encontremos el material ya dispuesto a ser utilizado, la improvisación será nuestra mayor enemiga.

• Es necesario, al menos, dedicar una sesión previa para explicarles qué vamos a hacer y cómo lo vamos a hacer. Un error común es intentar, en un mismo día, enseñarles las reglas, que ellos las comprendan y estén además dispuestos a empezar inmediatamente.

• Por último, una vez que el juego empiece, es importante entender que vamos a requerir de tiempo. La razón no se debe a que un juego en sí sea de larga duración, sino que no es conveniente que se juegue una sola vez. Esto impide el progreso de los alumnos en el uso de estrategias mejores a las que utilizaron y aprendieron en la partida anterior. Por ejemplo, en los juegos encaminados a fomentar la realización de cálculos, la repetición permite practicar con dichos cálculos, continuar con las estrategias ya utilizadas, y ensayar con otras nuevas.

En el trabajo que sigue, se presentarán algunos de los juegos disponibles en la web Matematicaula.

3. Bingos

Siempre que trabajemos con contenidos numéricos puede resultar útil el trabajo con los bingos. En general, todos los alumnos saben el mecanismo básico del juego: sale un número y lo tacho si lo tengo. La diferencia con el juego original reside en que no daremos el número de un modo explícito, sino que ellos deberán realizar algún cálculo para obtenerlo: suma de enteros, operaciones con fracciones, resolución de ecuaciones, etc.




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Desde la web podemos descargarnos una lámina con 21 cartones (Figura 1) que, tras imprimirlos, plastificaremos o entregaremos directamente al alumnado. Cada cartón cuenta con doce números comprendidos entre el 1 y el 20.

Figura 1. Cartones de bingo.

Se propone escribir en la pizarra, una por una las operaciones (Figura 2), dejando un tiempo prudencial entre cada una de ellas para que les sea posible realizarlas. La presión de la velocidad en el juego puede provocar que o bien les motive al poder perder el bingo por trabajar lento, o bien abandonen al verse descolgados del ritmo del juego. Será conveniente, por tanto, probar con una dinámica más lenta en las primeras ocasiones.

Figura 2. Ejemplo de bingo.

El tiempo estimado para cada bingo es de unos 30 minutos aproximadamente, siempre que no haya problemas en la comprensión de las reglas o disputas propias por el juego.

Puedes encontrar además otras colecciones de bingos, como los creados por Ana García Azcarate para su blog (Ver [3]).

4. Lógica

Este apartado de la sección comprende juegos procedentes de acertijos matemáticos. Mediante piezas móviles, cada applet de Geogebra permite practicar estrategias y mejorar la capacidad de razonamiento o de lógica.

Ejemplos de estos acertijos son:

• Pollos en el maizal. Dos granjeros deben atrapar al gallo y a la gallina. El juego prosigue por turnos hasta que se descubre en cuántos movimientos resulta posible acorralar y atrapar a los pollos. La captura se produce cuando el granjero o su esposa pueden irrumpir en un cuadrado ocupado por una de las aves (Figura 3)



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Figura 3. Pollo en el maizal

• Margarita. Pierdes si arrancas el último pétalo de la margarita (Figura 4).

Figura 4. Margarita

• Antes y después. Intercambia el lugar de las piezas blancas y negras en el menor número de movimientos posibles (Figura 5).

Figura 5. Antes y después

5. Pentominós

Un pentominó es un conjunto de figuras geométricas, cada una compuesta por cinco cuadrados unidos por los lados. Se pueden formar así un total de doce figuras que se suelen identificar con letras del abecedario (Figura 6).

Podemos practicar y jugar a los pentominós a través del applet de Geogebra creado en la web.




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Figura 6. Piezas del pentominó.

El objetivo de cada juego es rellenar la figura que aparezca con las piezas dadas (Figura 7). Para ello habrá que arrastrar cada pieza por el punto rojo, utilizando el punto verde cuando se desee girarlas. Además, con algunas piezas se pueden utilizar sus simétricas (reflejos). Si es precisa la pieza reflejada, sólo habrá que marcar o desmarcar la casilla correspondiente a la letra que representa la pieza.

Figura 7. Ejemplo de juego.

Los pasatiempos están clasificados en la web en cuatro niveles de dificultad. La diferencia entre ellos se encuentra en el número de piezas que podemos mover. Es importante empezar con niveles más sencillos que permiten avanzar de manera progresiva y así evitar el abandono de la actividad por su dificultad.

6. Juegos de tablero

En la web podemos encontrar juegos clásicos de tablero que, por cuestiones materiales o logísticas, no es posible llevarlos físicamente al aula. De este modo se facilita acercar al alumnado el ajedrez, el parchís o la oca (Figura 8). Estos juegos, aunque no tengan un contenido específicamente matemático, siempre son bienvenidos en aquellas horas en las que no es posible avanzar con los contenidos. Aun así, son indudables las matemáticas que contienen el ajedrez, o el concepto de azar que aparece en cualquier juego de dados.



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Figura 8. Oca.

7. Juegos visuales

La geometría llevada al extremo en el que nuestra mente se confunde servirá como atractivo en la enseñanza de la misma (Figura 9). Los applets de Geogebra de esta sección pueden servir tanto de una breve introducción, como de broche final para cualquier lección.

Figura 9. Los cuadrados.

La espiral de Fraser (Figura 10), la ilusión de Heiring o la curva de Koch son ejemplos de estos juegos ópticos, cuyo principal objetivo podría ser que el alumnado llegue a querer proponer estos mismos juegos a sus familiares o amigos.

Figura 10. Espiral de Fraser.

8. Parejas

Se trata del clásico juego para dos (o más) jugadores en el que se deben buscar las distintas parejas ocultas. Empieza el primer jugador eligiendo un número y una letra. Para abrir las casillas elegidas se deberá desmarcar el cuadrado correspondiente de la derecha (Figura 11).




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Figura 11. Parejas.

Ganará aquel que más parejas haya encontrado una vez que todas las casillas estén descubiertas.

Gracias a este juego podemos trabajar las ecuaciones, las fracciones equivalentes, operaciones con enteros, etc. Si no hay ningún problema, el tiempo estimado de este juego es de unos 20 minutos. Está en nuestra mano el dejarles apuntar el lugar de las casillas para acelerar la resolución del juego.

Además, en grupos pocos numerosos, es posible jugar de uno en uno, de modo que todos deben estar atentos a las casillas que abren los compañeros.

Bibliografía

Agrasar, M., Chara, S. (2001). El juego como recurso para aprender. Ciudad de Buenos Aires: Ministerio de Educación.

García, M., Rupérez J.A. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 64, de http://www.sinewton.org/numeros/

García, A. Juegos y matemáticas, de http://anagarciaazcarate.wordpress.com Gardner, M. (1992). Los acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones. Recursos en la clase de Matemáticas, de http://roble.pntic.mec.es/~jblesa/recursos.htm

Óscar Jesús Falcón Ganfornina. Profesor Sustituto Interino en Andalucía. El IES Fuente Juncal (Aljaraque) ha sido el último centro en el que he trabajado, donde he puesto en práctica muchos de los recursos mencionados en el artículo. Nací el 20 de Diciembre de 1986, soy licenciado en Matemáticas y tengo algunos artículos publicados relacionados con webquests. Email: [email protected]



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Juegos de cálculo y lógica. + sobre los Tetrahexos

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Juegos de tablero comerciales que sirven para la práctica del cálculo y de otros conceptos matemáticos: Ritmomaquia, Monopoly, Acquire, Mathable; y también juegos diseñados para este cometido, como son Fractions, Arithmefun, Triggery, Calcaptum, 1 +2 = 3. Se describen brevemente y se comentan sus aplicaciones y posibles beneficios en la capacidad de calcular de los alumnos de distintos niveles educativos.

Palabras clave Juegos de tablero; Juegos didácticos; Juegos de cálculo, Ritmomaquia, Monopoly, Acquire, Mathable, Fractions, Arithmefun, Triggery, Calcaptum, 1 +2 = 3. Aplicaciones didácticas de Juegos de tablero.

Abstract Commercial board games used to practice the calculation and other mathematical concepts: Rythmomachia, Monopoly, Acquire, Mathable, and games designed for this purpose, such as Fractions, Arithmefun, Triggery, Calcaptum, 1 +2 = 3. We briefly describe and discuss its applications and potential benefits in the ability to calculate the students of different educational levels.

Keywords Board Games, Educational Games, Games calculation Ritmomaquia, Monopoly, Acquire, Mathable, Fractions, Arithmefun, Triggery, Calcaptum, 1 +2 = 3. Educational applications of board games.

Juegos de cálculo y lógica

Hoy escribimos acerca de juegos de tablero donde el uso del cálculo es significativo en un intento de darlos a conocer a quienes no tienen noticia de ellos, y exponiendo alguna utilización didáctica de los mismos. Se trata de una recopilación de algunos de estos juegos y de lo publicado sobre ellos, con el objetivo de que sirva de fuente inspiradora para la actividad docente. En otra ocasión dedicaremos el artículo a juegos en los que la lógica, la estrategia, sea preferente.

No tratamos juegos de cálculo, ni de cartas ni de dados. Tampoco dominós o puzles. Ni hacemos un estudio de la matemática que hay en los juegos de mesa o de tablero, para ello ya están autores como Berlekamp, Conway, Guy, Beasley y demás. Nos referimos a un grupo de juegos tan populares como el Monopoly o el Scrabble (Intelect en su versión española), el Backgamon; y también a otros menos populares como son el Mathable, Ritmomaquia o el Acquire. También indicaremos en un segundo grupo, algunos juegos de cálculo que se han comercializado como juegos de tablero, tales como Arithmefun o Calcaptun y que pueden utilizar piezas a adosar, fichas, dados o tableros especiales.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

Juegos de cálculo y lógica. + sobre los Tetrahexos J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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El primer grupo, incluyendo muchos más títulos, tienen un contenido didáctico no planteado como objetivo del juego. El segundo grupo sí tiene el fin de que los niños practiquen el cálculo de una forma amena y lúdica.

Mathable

Es un juego claramente basado en el Scrabble, pero en vez de ser de palabras cruzadas lo es de cifras y operaciones cruzadas.

Cada jugador dispone inicialmente de siete fichas con valores desde 0 hasta 90, cuyo número y distribución se refleja en la tabla 1:

Para 2 a 4 jugadores, consta de un tablero como el de la figura 1, de 14 x 14 casillas de cinco colores y categorías diferentes:

• Azul oscuro, son las cuatro casillas centrales con las que se inicia el juego. • Azul medio, casillas que multiplican por dos el valor de la ficha que se coloque en ellas.

• Azul claro, casillas normales (neutras), donde colocar las fichas.

• BBllaannccaass, que multiplican por tres el valor de la ficha que se coloque en ellas.

• Rosadas, que obligan a realizar una operación concreta para obtener el valor de la ficha a colocar.

Las casillas Azul medio y BBllaannccaass son casillas de “primas”, mientras que las Rosadas son casillas de “restricción”.

Para iniciar el juego, una vez mezcladas las fichas, cada jugador coge 7 fichas que coloca en su atril, situado ante sí. Sorteado quien empieza, este colocará la primera ficha, jugando luego los demás, por turno, en el sentido de las agujas del reloj. El resto de fichas constituye el “montón”.

La primera jugada de cada jugador se ha de realizar en una de las 8 casillas que rodean ortogonalmente a las cuatro de inicio.

Para colocar una ficha correctamente, esta debe ser el resultado de una operación (suma, resta, multiplicación o división) de dos fichas adyacentes en línea vertical u horizontal, en cualquiera de los sentidos (excepto la primera, que debe ser resultado de dos de los cuatro valores iniciales Azul oscuro).

Figura 1

Figura 2

Tabla 1

Figura 3




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Después de jugar en una casilla de restricción, se puede tomar una nueva ficha del montón.

La motivación de sumar puntos hace que los jugadores valoren las posibles operaciones a realizar poniendo en juego las fichas que poseen y las del tablero, lo que supone el realizar un análisis de posibilidades, realizar cálculos mentales, planificar una estrategia adecuada y, por supuesto, estar atento, concentrado.

Ritmomaquia

El juego de la ritmomaquia o aritmomaquia puede ser un juego muy matemático. Según algunos manuscritos italianos, el juego de la ritmomaquia surgió en la Edad Media para entretener a los monjes en Bizancio y Europa, siendo popular en los siglos XVII y XVIII. Se le llama también "el juego de los filósofos". Fue objeto de descripción y estudio por el matemático y mitógrafo Juan Pérez de Moya (1513-1597) y por Fray Martín Sarmiento (1695-1772).

Reglas

El juego de la ritmomaquia se compone de un tablero de 8 cuadrados de ancho por 16 cuadrados de largo, y dos grupos de piezas: las piezas blancas o pares y las piezas negras o impares. Cada uno de los grupos tiene círculos, triángulos, cuadrados y pirámides. Cada pieza tiene un número conocido como su valor numérico. La pirámide puede ser diferente, dependiendo de la versión del juego:

• Piezas apiladas. • Un hexaedro con sus caras adecuadamente pintadas con valor numérico y tipo de pieza.

En estos cuadros vemos una de las maneras en las que pueden generarse las piezas a partir de las primeras del grupo. Hay sucesiones de cuatro números que son progresiones aritméticas o geométricas, o armónicas. Puede plantearse el buscar la fórmula general para las sucesiones que aparecen: (2n + 1)2, n2 + n, etc.

Figura 4 – Tablero de Ritmomaquia



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fichas redondas multiplex 2 4 6 8

2*2=4 4 * 4 = 16 6 * 6 = 36 8 * 8 = 64

fichas triangulares superparticularis

(1+112)4=6 (1+1/4) 4 = 20 (1+116) 36 = 42 (1+118) 64 = 72

(1+1/2)6=9 (1+114) 20 = 25 (1+116) 42 = 49 (1+1/8) 72 = 81

fichas cuadradas superpartiens

(1+2/3) 9 = 15 (1+4/5) 25 = 45 (1+6/7) 49 = 91 (1+8/9)81 =153

(1+2/3) 15 = 25 (1+4/5) 45 = 81 (1+6/7) 91 = 169 (1+8/9) 153 =289

fichas redondas multiplex 2 4 6 8

2*2=4 4 * 4 = 16 6 * 6 = 36 8 * 8 = 64

fichas triangulares particularis

(1+1/2)4=6 (1+1/4) 4 = 20 (1+116) 36 = 42 (1+118) 64 = 72

(1+1/2)6=9 (1+114) 20 = 25 (1+116) 42 = 49 (1+1/8) 72 = 81

fichas cuadradas superpartiens

(1+2/3) 9 = 15 (1+4/5) 25 = 45 (1+6/7) 49 = 91 (1+8/9)81 =153

(1+2/3) 15 = 25 (1+4/5) 45 = 81 (1+6/7) 91 = 169 (1+8/9) 153 =289

Tabla 2

Las piezas blancas se componen de ocho círculos (con los números 2, 4, 6, 8, 4, 16, 36, 64), ocho triángulos (con los números 6, 20, 42, 72, 9, 25, 49, 81), siete cuadrados (con los números 15, 45, 153, 25, 81, 169, 289) y una pirámide de seis caras, cuyos números suman 91 y está compuesta por

dos círculos (con 25, 36), dos triángulos (con 1, 4) y dos cuadrados (con 16, 19).

Las piezas negras se componen de ocho círculos (con los números 3, 5, 7, 9, 9, 25, 49, 81), ocho triángulos (con los números 16, 36, 64, 100, 12, 30, 56, 90), siete cuadrados (con los números 28, 66, 120, 49, 121, 225, 361) y una pirámide de cinco caras, cuyos números suman 190 y está compuesta por un círculo (con 16), dos triángulos (con 25, 36) y dos cuadrados (con 49, 64). Aquí tenemos un cuadro con las piezas y sus valores.

Figura 5

Tablero fabricado por Buxaina

Figura 6 - Fichas de Ritmomaquia




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fichas redondas multiplex

2 duo 4 quattuor 6 sex 8 octo

4 duplus de 2 16 quadruplusde4 36 sextuplus de 6 64 octuplus de8

fichas triangulares

super-particularis

6 de4 sesquialter 20 de 16 sesquiq

uartus 42 de 36

sesquisextus 72 de 64 sesquiocta

9 de 6 sesquialter 25 de 20 sesquiq

uartus 49 de 42

sesquisextus 81 de 72 sesquioct

fichas cuadradas super-partiens

15 de 9 superbi- partientes

45 de 25 superquadri-

partíentes

91 de49 supersesqui- partientes

153 de 81 superocti- partíentes

25 de 15 superbi- partíentes

81 de 45 superquadri-

partientes

169 de 91 supersesqui- partíentes

289 de 153 superocti-partientes

fichas redondas multiplex

3 tres 5 quinque 7 septem 9 novem

9 triplus de 3 25 quincuplus deS 49 septuplus de 7 81 nonuplusde9

fichas triangulares

super-particularis

12 de 9 sesquitertius 30 de 25

sesquiquintus 56 de 49

sesquiseptimus 90 de 81 sesquinonis

16 de 12 sesquitertius

36 de 30 sesquiquintus

64 de 56 sesquiseptimus

100 de 90 sesquinonis

fichas cuadradas super-partiens

28 de 16 supertri- partientes

66 de 36 superquinti-partientes

120 de 64 superseptimi-

partíentes

190 de 100 supernoni-partíentes

49 de 28 supertri- partientes

121 de 66 superquinti-partíentes

225 de 120 superseptimi-

partientes

36l del 90 supernoni-partíentes

Tabla 3

Los valores de cada juego de piezas pueden ser relacionados de diferentes maneras tal y como ejemplificamos en el cuadro 1, lo que puede constituir un objetivo a investigar en el aula.

Las reglas de captura son complejas, existiendo distintos niveles de juego. En general, para capturar una pieza es necesario que la pieza atacante mantenga una relación matemática con la capturada. Esta relación puede ser mediante una operación aritmética, constituyendo junto con terceras



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piezas una progresión, que fueran vértices de una figura geométrica, etc.

En España, la empresa Buxaina de A Coruña, vende tableros de Ritmomaquia y las reglas completas pueden encontrarse en la bibliografía reseñada y en la WEB, siendo una de las páginas más completas la http://jducoeur.org/game-hist/mebben.ryth.html, con abundantes enlaces.

Monopoly

El aprovechamiento que desde el punto de vista de las matemáticas se puede hacer jugando al Monopoly se puede enfocar desde distintas perspectivas. Es un juego que antes de los 10 años se hace difícil de jugar entendiendo algo de sus objetivos y tácticas, pero que a partir de esa edad nos permite contemplar cuestiones tales como la medida, la combinatoria, el cálculo, porcentajes, ganancia y pérdida, etc.

Así, ellos pueden darse cuenta de cosas tan elementales como que sacando más de 10 puntos pueden ir al lado contrario del tablero, o que pueden descomponer una cantidad en dos sumandos: uno les lleva hasta la esquina y luego el otro para contar en el siguiente lado del tablero. Pero también, después de varias partidas, de que los grupos de color naranja o azul claro son los que conviene coger al principio del juego, y esto, aunque solo lo intuyan, es que están escogiendo las casillas donde la probabilidad de caer, saliendo de la casilla inicial, es mayor.

También acabarán conociendo que las estaciones no son muy rentables, por ejemplo, y conviene hipotecarlas si necesitamos dinero o para emplearlo en comprar otras propiedades de mayor rentabilidad.

Se puede jugar modificando las reglas para que el juego sea más corto, fijando el tiempo de juego y declarando ganador al más rico en ese momento, considerando el dinero que tenga, las propiedades y su valor, edificios construidos, hipotecados a mitad de precio, hoteles a cinco veces el precio de una casa, etc. De esta manera hay operaciones y cálculos que hacer y revisar para proclamar al ganador. Otras versiones incluyen reglas especiales como la de no poder cobrar ni ejercer ningún derecho mientras están en la cárcel o tirar tres dados y coger las dos puntuaciones que más les interese en cada momento, lo que cambia alguna de las estrategias del juego normal.

Figura 7




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Acquire

Juego de objetivo semejante al anterior, y aunque es un juego de inversión en hoteles, se trata de conocer el mercado de valores y la creación de empresas, más que el mundo de los bienes inmobiliarios. Tal y como se define en su propaganda:

“El objeto principal de ACQUIRE es ser el jugador con más dinero al final del juego. Esto se hace formando cadenas de hoteles y obteniendo acciones gratis, comprando la acción correcta astutamente en el momento correcto, fusionando las cadenas para obtener capital y agregando hoteles a las cadenas que le interese para aumentar su valor.”

Está considerado como uno de los mejores juegos del diseñador Sid Sackson. Desde 1962 está en el mercado y de él se han hecho, como del Monopoly, muchas versiones.

Fractions

Definido como un juego para aprender sobre fracciones y decimales, está compuesto por una serie de hexágonos divididos en triángulos en los que aparecen cuatro tipos de elementos: fracciones (amarillos), decimales (verdes), con el número 3 (en verde y en amarillo). Luego de repartir las piezas y colocar la primera sobre la mesa, los hexágonos deben adosarse lado con lado, de tal manera que se asocie una figura a un valor decimal o fraccionario. El primer nivel de juego corresponde a fracciones y se juega solo con cartas amarillas.

Un segundo nivel es con decimales y se jugaría añadiendo las cartas verdes. El nivel más avanzado se juega solo con las cartas verdes y se trata de hacer coincidir decimales con fracciones, sin figuras.

El sistema de puntuación y las reglas de juego son bastante sencillas y permiten realizar unas partidas que favorecen, además del conocimiento de las fracciones y decimales y sus equivalencias, la concentración y la observación.

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 12



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Contiene:

• 26 tarjetas hexagonales amarillas de fracción • 26 tarjetas verdes decimal • 4 tarjetas amarillas con el número 3 • 4 tarjetas de residencia con el número 3

Es otra versión del conocido “dominó de fracciones”.

Arithmefun

Pueden jugar 6 jugadores y ayuda al aprendizaje elemental de la suma, la resta y la multiplicación. Hay 6 tableros y 54 cartas; con ejercicios los primeros y números las segundas, que se ilustran con cuadrados coloreados y con dedos, indicando las mismas cantidades expresadas con cifras en cada carta. Es pues un juego para los primeros niveles de la enseñanza, que con sus colores vivos y sencillas reglas, puede ayudar a que los alumnos se familiaricen y practiquen las operaciones aritméticas.

Estos dos juegos de tablero son de Creative Toys LTD.

Triggery

Este juego diseñado por André François en 1989, puede ser jugado por hasta cuatro jugadores, admitiendo también el juego en solitario.

Materiales (la mitad amarillos y la mitad azules):

• 2 tableros de 6x6 casillas. • 88 fichas • 2 dados • 2 bolsas

El juego comienza extrayendo fichas de las bolsas sin mirarlas, y colocándolas en su tablero de izquierda a derecha y de arriba abajo. Las fichas sobrantes se guardan en las mismas bolsas.

Cada jugador tira los dados para el otro jugador –o equipo- que juega dando la vuelta a las fichas de su tablero o dejando pasar el turno si no puede girarlas. Las fichas que se voltean deben dar una suma igual o más pequeña que el resultado de los dados.

Los dobles y las fichas con estrella siguen reglas particulares. Hay premios y castigos para los errores o jugadas especiales. Para jugar en solitario se sugiere el registrar los resultados y comprobar

Figura 14

Figura 13

Figura 15




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el progreso en las sucesivas partidas.

Como en otros juegos, la combinatoria, el cálculo elemental, la concentración y la observación, son elementos que entran en juego por lo que es aprovechable desde un punto de vista didáctico. Pese a que se indica para mayores de 8 años, alumnos de menor edad pueden jugar entre ellos supervisados por un adulto para evitar que repitan errores. Como dice en su caja: “Para jugar al Triggery, gasta con saber contar hasta 24,… para ganar, hay que estar atento, reflexionar… y ser perspicaz.

La versión que poseemos está editada por Lemada Light Industries, de Tel Aviv.

Calcaptun

Este juego, para dos participantes, de tablero lleno de casillas con indicaciones, consta además, de cuatro dados, 10 peones de cada color, 4 peones-bono y 10 cubos por color.

Elegido quién empieza, se lanzan los cuatro dados y su total se descompone en los sumandos que nos convengan de tal modo que ocupemos las casillas numeradas con esos sumandos, colocando peones. Cuando podemos sumar 24 con los números que hemos marcado con los peones, se retiran estos a su sitio inicial y se coloca uno de los cubos. Cuando se repiten los valores de los dados en uno de los lanzamientos tres o cuatro veces, podemos colocar uno de los peones-bono, que supondrán otras puntuaciones o jugadas extras.

La estrategia a seguir implica el cálculo mental y la descomposición de números en sumandos, así como la observación y el cuidado en la elección de esos números y su combinatoria.

Gana quien coloca antes sus 10 cubos en el centro del tablero.

Juego editado por John Kingdon en 1992.

1 + 2 = 3

El juego es muy económico y está publicado por Play Time, de Rotterdam. Cuatro tableros de colores en los que al principio aparecen troqueladas unas etiquetas con sumas indicadas de dos números que han de separarse mezclarse boca abajo en la mesa. Luego se toma una, se gira, y se dice el resultado en voz alta, engarzándola en su lugar si la suma es correcta y puntuando por ello el jugador.

Se trata pues, de un juego sencillo para practicar la suma con números pequeños, con el atractivo de ir reconstruyendo los tableros y poder comprobar que si intentan colocar la etiqueta en un lugar equivocado, ésta no encaja.

Figura 17

Figura 18

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Más sobre los tetrahexos

En el artículo anterior presentamos a nuestros lectores un puzle similar a los pentominós en su estructura, pero partiendo de 4 hexágonos y no de 5 cuadrados. Hay siete posibles que por su forma se han dado en denominar con los nombres: barra, oruga, onda, arco, hélice, abeja y pistola.

BBAARRRRAA OORRUUGGAA OONNDDAA AARRCCOO HHÉÉLL II CCEE AABBEEJJAA PPII SSTTOOLL AA

Figura 19

Propusimos algunas construcciones como ejercicio. Esperamos que hayan fabricado o adquirido un juego de tetrahexos y se hayan entretenido en resolverlos.

Estas son algunas soluciones:

1ª propuesta: Construir un paralelogramo de 4 x 7

Figura 20

Como ven, se trata de un romboide con las características indicadas.

2ª propuesta: Construir las siguientes figuras:

Damos la solución del primero. ¿Quieren seguir intentando el segundo?

Figura 22

Figura 21




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3ª propuesta: 28 es un número triangular, pues 28=1+2+3+4+5+6+7. Construir el triángulo de la figura:

Figura 23

Se trata de un problema imposible. Las arriba presentadas son las mejores aproximaciones.

Pero si se trata de utilizar sólo algunas piezas (convenientemente repetidas) sí hay solución.

Figura 24

4ª propuesta: Construir las siguientes figuras, utilizando menos de siete piezas:

Figura 25

Vemos a continuación la respuesta de cada una, con indicación de las piezas utilizadas y su identificación por el color.

Figura 26

5ª propuesta: Construir las siguientes figuras, utilizando siempre las siete piezas:



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Figura 27

Las respuestas a las dos primeras figuras se presentan abajo. Quedan pendientes las otras dos.

Figura 28

Las dos finales quedan aquí resueltas también.

Figura 29

Todas estas figuras y sus soluciones se encuentran fácilmente en la red. Ya dimos algunas direcciones que trataban el tema. Pero se pueden encontrar muchas más. Ahora bien, lo interesante es buscarlas uno mismo. O los alumnos… que en muchas ocasiones son mejores que nosotros en este tipo de búsqueda. En las visitas a los Centros Educativos que hace el Komando Matemático de la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, siempre encontramos alumnos de todas las edades que encuentran alguna de las soluciones que aquí presentamos.

Bibliografía

Bell, R. y Cornelius, M. (1990); Juegos con tableros y con fichas. Barcelona. Ed. Labor S.A. Brandreth, G (1992); The Winners Guide to Games. Enfield (Great Britain). Guinness Publishing Ltd. Gardner, M. (1972); Nuevos Pasatiempos matemáticos. Madrid. Alianza Editorial

Y esto es todo por el momento. Habrá comentarios, soluciones y ampliación de los contenidos de este artículo. Esperamos de ustedes, queridos lectores, el haber despertado su curiosidad y que se interesen por los juegos que presentamos, los usen y nos envíen sus propuestas y comentarios. O, si conocen otros de corte similar, nos escriban presentándolos al resto de los seguidores de esta sección.

Hasta el próximo

pues. Un saludo.

Club Matemático

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas



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De nietos y aves (Problemas Comentados XXXI)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Soluciones a los Problemas de los abuelos, Estudio de las respuestas a uno de los problemas planteados en el Torneo de Matemáticas para 2º de la ESO de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Actividad de resolución de problemas en una clase de 6º de Primaria.

Palabras clave Resolución de problemas. Olimpiadas y torneos de matemáticas. Descripción de actividades en el aula.

Abstract Solutions to the Problems of the grandparents, study of responses to one of the problems in the Math Tournament 2 of the ESO Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Problem-solving activity in a class of Primary 6.

Keywords Troubleshooting. Math Olympiads and tournaments. Description of activities in the classroom.

1. Introducción

Los duendes de la imprenta no han desaparecido en la era digital. Simplemente han cambiado de campo. Nuestro artículo anterior hacía el número treinta de los escritos por nosotros en la sección y queríamos darnos un homenaje. Por ello debería titularse El aniversario de los abuelos; también esa era la razón de proponer una serie de problemas de abuelos y nietos. Pero apareció bajo un título diferente, incluso ya utilizado en uno anterior. ¡Qué le vamos a hacer!

De los cuatro problemas de la caprichosa abuelada, éstas son las soluciones de tres de ellos:

¿Cuándo naciste abuelo?

- Abuelo, ¿en qué año naciste? - Verás Mario, si restas 899 al año en el que nací, resulta un número que para dividirlo entre 7

sólo debes tachar la cifra de las centenas. - ¡Ah!, déjame pensar un poco.., ¡Ya lo sé! Naciste en...

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]

De nietos y aves. (Problemas Comentados XXXI) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


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Solución

Si el número buscado, después de restarle 899, es abcd, el resultado de dividirlo entre 7, de acuerdo con lo que indica el abuelo, es acd.

Tenemos que:

(100a + 10c + d)·7 = 1000a + 100b + 10c + d

Que reducida se queda en 10c + d = 50a + 50b/3

Como todas las incógnitas son dígitos, es evidente que b ha de ser cero, con lo que la ecuación queda:

10c + d = 50a

y entonces: c = 5, d = 0 y a = 1, y así, 150 ·7 = 1050, y sumando 899:

1949 es el año de nacimiento del abuelo.

Los cromos del abuelo

- ¡Pablo y Lucía!, vengan un momento que les voy a regalar unas estampas (cromos) de futbolistas, antiguas, que encontré entre mis libros.

- Gracias abuelo –dijo Lucía-. Hay 65, ¿la mitad para cada uno? - No, como tú eres la mayor, los van a dividir en una proporción de un medio para ti y un tercio

para Pablo. Además, no vamos a partir una estampa por la mitad. - Pero abuelo, un tercio más un medio no suman la unidad -comentó Pablo, que ya sumaba

fracciones-. - He dicho en la proporción …

Solución

La relación 1

2 a

1

3es lo mismo que la relación 3 a 2 puesto que reduciendo a un denominador

común tendríamos 3

6 y

2

6.

Dividiendo entonces 65 entre 5, a Lucía le corresponden 3 partes y a Pablo 2.

Por tanto, la solución es 39 y 26.

Lucía recibe 39 estampas y Pablo 26.




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¡Caramelos para las abuelas!

Mientras las abuelas tomaban un café sentadas en el bar del parque, los abuelos fueron con los cuatro nietos a comprar caramelos al quiosco. Como hacían casi siempre, aprovecharon para practicar el cálculo.

- Vamos a repartir los caramelos que hemos comprado por edades. Del total, un tercio será para Lucía, un cuarto para Mario, un quinto para Pablo y un sexto para Andrea. Esto nos deja justo seis caramelos que llevar a las abuelas.

¿Cuántos caramelos había en total?

Solución

Si es x el número total de caramelos, los niños recibieron:

7 20 15 12 10 57

3 4 5 6 60 60

x x x x x x x x+ + ++ + + = =

Así que sobran 57 3

60 60

x xx − = , y como le llevan 6 caramelos a las abuelas:

36

60

x = , →→→→ 120x =

Había un total de 120 caramelos.

En lo que se refiere al cuarto problema decir que lo propusimos para el Torneo de Secundaria de la Sociedad “Isaac Newton”, se aceptó y ahora pasaremos a comentar lo que hicieron los alumnos que se presentaron a la prueba. Decía así:

La nieta se lía con los múltiplos

- Abuelo, con las edades pasan cosas extrañas –dijo Andrea un día medio en serio medio en broma-. Según Mario se hace mayor, yo me hago más joven.

- Eso es absurdo. ¿Cómo se te ocurre?, dijo el abuelo mientras sonreía. - Fíjate abuelo –explicó la nieta-. Hace dos años yo triplicaba la edad de Mario, pero dentro de

dos años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tiene Andrea?

Se inscribieron 435 alumnos, de los cuales se presentaron finalmente 309.

El problema se puntuó de 0 a 10. Hubo un total de 101 calificaciones positivas, lo cual nos indica que un tercio de los alumnos fueron capaces de atacar el problema y resolverlo en distintas gradaciones. Diríamos que 9 alumnos alcanzaron una puntuación sobresaliente y otros 19 una puntuación de notable. No está nada mal. El resto (73 alumnos) alcanzaron una puntuación de aprobado.



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Del resto, decir que unos 16 lo intentaron pero no llegaron a buen puerto. Lo peor es que 177 alumnos no fueron capaces de resolver o ni siquiera intentar la resolución de este problema.

Las maneras de resolver el problema fueron muy variadas. La mayoría lo resuelve por ensayo y error. Así lo hacen 96 alumnos. Pero no todos lo afrontan de igual manera. Unos son exhaustivos y van probando ordenadamente, otros utilizan el razonamiento para encontrar el acierto de una forma más rápida. Muchos sólo escriben un único tanteo, que es el correcto. Posiblemente han hecho varios intentos mentales y no los han presentado por escrito. Hay uno que se inventa (¿!) el resultado y no da más detalles de cómo lo ha encontrado. Algunos usan razonamientos de múltiplos. Incluso hay quien utiliza algoritmos de máquinas numéricas para el tanteo.

Esto es interesante, porque indica que la mayoría de los alumnos entienden que lo importante es buscar el resultado y que, para ello, disponen de distintas estrategias de pensamiento, independientes de los conocimientos matemáticos disponibles.

Pero varios organizan la información utilizando el álgebra. Doce alumnos utilizan sistema de ecuaciones y cinco lo realizan planteando una sola ecuación.

Uno de estos chicos utiliza una solución que nosotros hemos considerado muy creativa por lo poco habitual que es la identificación de variables que hace.

Niños Hoy Dentro de 4 años Relación

Andrea 3x 2y 3x + 4 = 2y

Mario x y x + 4 = y

Resuelto el sistema de las dos ecuaciones de la relación, obtiene las siguientes soluciones:

x = 4 y = 8

Y obtiene la respuesta, razonando así

4 + 2 = 6 � 3 4 + 2 = 14

(obsérvese lo poco natural de este razonamiento, pero lo coherente que es con su punto de partida)

Respuesta: Andrea tiene 14 años.

Los chicos y chicas de estas edades son muy impulsivos y no se cortan a la hora de poner por escrito sus impresiones, expresando su pensamiento con mucha sinceridad. Nos gusta recoger algunos de los comentarios que escriben acerca del problema o de su solución. Aquí están algunas de esas perlas:

• “Cinco años y medio. Busqué números al azar.” • “Andrea cumple el 29 de febrero.” (Hasta tres respuestas de este tipo) • “Con esta información no puedo completar el problema. Necesitaré la edad de Mario.” • “¿Sólo con estos datos se puede hacer? Bueno sí, pero hay que pensar demasiado.” • “Andrea tiene 2 años. Hace dos años Andrea nació y a Mario le quedaban tres años para nacer.

Entonces Mario nace el año que viene y ella lo sabe porque conoce a la madre y sabe que está embarazada.”




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En otro orden de cosas, una excelente amiga, Alegría Calderón Risco, maestra en el CEIP Andalucía del Polígono Sur de Sevilla capital, donde trabaja con alumnos de 6º de educación primaria, concretamente el 6º A, nos envía un problema que ha propuesto a sus alumnos y la manera en que éstos lo han resuelto.

Nos ha parecido interesante utilizarlo en este artículo para animar a otros lectores a colaborar con la revista. Y, claro está, añadiremos algún comentario final. Es nuestra tarea.

Dice Alegría:

“La realizo en grupos interactivos. En mi centro, perteneciente a comunidades de aprendizaje, una de las herramientas que utilizamos para la realización de estrategias de enseñanza-aprendizaje, es la de grupos interactivos, consistente en pequeños grupos de niños/as, no más de 5 por grupo, de distinto nivel y competencia curricular donde se plantea una actividad y entre todo el grupo se resuelve, opinando para su resolución. Estos grupos son acompañados de la presencia de un maestro, voluntario, familiar, etc.…que se ha comprometido con el centro para realizar estas actividades .El único papel del adulto es guiar a su grupo para la resolución de la actividad sin dar explicación de cómo resolverla, al contrario, planteando preguntas si fuese necesario, pero siempre dejando al grupo razonar y discutir entre ellos cómo resolverían el problema.

Estos grupos se plantean en 20 minutos y vamos rotando con la actividad entre los distintos grupos.

En este primer contacto con la actividad aunque no se resuelve, voy viendo los posibles razonamientos de mis alumnos para después, en la segunda sesión, resolver el problema en gran grupo.

Tienda de animales

Pájaros pequeños

Pájaro grande



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En esta tienda de animales se venden, sobre todo, pájaros de diferentes tamaños; cada pájaro grande se vende a dos veces el precio de uno pequeño.

Ayer entró una señora y compró cinco pájaros grandes y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres pájaros grandes y cinco pequeños, habría gastado 20 euros menos.

¿Cuál es el precio de cada pájaro?

El viernes a segunda hora la tengo organizada para la resolución de problemas en gran grupo.

La disposición de los alumnos sigue siendo en pequeños grupos aunque ahora todos atendemos al mismo problema.

Como primer paso planteo la actividad presentándola en la pizarra digital, de esta manera todos vemos el problema sin tener que recordar los datos. Entre todos se lee el problema que anteriormente habíamos visto en grupos interactivos.

Los alumnos reaccionan positivamente ante el problema ya que la mayoría de ellos no lograron resolver el problema cuando se planteó inicialmente.

A continuación voy preguntando a los alumnos: ¿Quién quiere decir algo? ¿Cómo resolverías la cuestión? ¿Qué datos tengo que realmente son datos?

Empezamos la resolución de problemas siguiendo los pasos.

1. Datos

Entre todos van dando los datos del problema que tengo.

Tienda de animales

Dos tamaños de pájaros

• Pájaros grandes • Pájaros pequeños

1 pájaro grande vale 2 pequeños

Compro 5 G y 3 P pero si compro 3G y 5 P sobran 20 euros

Objetivo

¿Cuánto vale cada pájaro grande y cada pájaro pequeño?

Relación

Qué es lo que sé del problema

Pues que 1 pájaro grande equivale a 2 pequeños, es decir: G= 2P




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2. Pensar

¿Qué estrategia voy a utilizar para resolver el problema?

Los alumnos han utilizado distintas estrategias para resolver el problema. Pero la mayoría de ellos lo han hecho por ensayo y error.

Cuando empezamos a razonar uno de los niños pensó,…voy a darle un valor al pájaro grande de tal manera que lo pueda dividir entre dos porque el pájaro grande vale dos veces el pequeño por lo tanto tengo que poder dividirlo entre dos….

Otro de ellos no sabía que equivalencia poner y comentó si con un pájaro pequeño vale por ejemplo 10 euros el pájaro grande vale 10+2

No entendía el sentido de dos veces más… Es decir el doble.

Entonces otro de los niños se lo explicó según él entendía el sentido de dos veces más…

Finalmente, empezaron a dar valor al pájaro grande para así obtener el del pequeño y a la inversa dar valor al pequeño y obtener el grande multiplicando dicho valor por dos.

Y después hacer las dos compras

3. Ejecutar

Empezaron a dar valor a los pájaros hasta que uno de ellos comentó ya lo tengo…!

Él había dado el valor de 10 euros al principio al pájaro grande y por lo tanto 5 el pequeño porque lo dividía…..y al comprobar se dio cuenta que no era esa la solución porque al hacer la segunda compra la señora no se ahorraba 20 euros

4. Comprobación

Suponemos que G= 10 y P=5 porque el pájaro grande vale dos veces el pájaro pequeño.

- primera compra: 5x10 + 3x5 = 50 + 15 = 65 euros -segunda compra: 3x10 + 5x5 = 30 + 25 = 55 euros

No se ahorra 20 euros sino 10 euros porque 65 – 55 = 10 euros

Seguimos discutiendo y dando valores a los pájaros (todo por ensayo-error, no hubo otra estrategia para la resolución) hasta dar con el valor de los pájaros.

Yo no quise intervenir porque todos estaban entusiasmados en buscarle el precio y dieron con el precio a los pocos intentos.

El pájaro grande vale 20 euros y el pequeño vale 10 euros

Comprobamos y efectivamente lo habían resuelto.



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- primera compra: 5x20 + 3x10 = 100 + 30 = 130 euros -segunda compra: 3x20 + 5x10 = 60 + 50 = 110 euros

Efectivamente sí se ahorran 20 euros porque 130 – 110 = 20 euros

(Todos se quedaron………………………ah!!!!!!)

Como no pudimos ver otras formas de resolución de problema con distinta estrategia de pensamiento les propuse que yo tenía otra manera para resolverlo sin tener que ir a ensayo-error, sino más directamente

Les pregunté si querían saberlo. Y todos contestaron que sí, (bueno la mayoría, no todos)… así que les expliqué mi razonamiento porque ninguno de ellos sabía hacerlo. Para esta tercera sesión esperé al próximo viernes en la sesión de resolución de problemas para que les diera tiempo a pensar en sus casas otra manera de hacerlo.

Puesto que cada pájaro grande vale dos veces el pequeño, cinco pájaros grandes sería igual a 10 pájaros pequeños. Por tanto cinco pájaros grandes y tres pequeños equivaldrían a 13 pájaros pequeños. Por otro lado, tres pájaros grandes más cinco pequeños equivaldrían a 11 pájaros pequeños.

Así que la diferencia entre comprar cinco pájaros grandes y tres pequeños o comprar tres pájaros grandes y cinco pequeños es igual a la diferencia entre comprar trece pájaros pequeños y comprar once pequeños, que es en realidad dos pájaros pequeños.

Como sabemos que la diferencia entre comprar una cosa u otra es de 20 euros, significa que los dos pájaros pequeños valen 20 euros por lo tanto un pájaro pequeño vale 10 euros y uno grande 20 euros, el doble.

Al comprobarlo todos enmudecieron.

Hubo muchas preguntas interesantes:

¿Cómo lo has sabido sin hacer las cuentas antes?

¿Podemos dibujar el problema?

También lo hicimos representando a los pájaros con bolitas…

¿Se pueden resolver todos los problemas de esta manera?

El problema fue tomado y adaptado del libro: La dama o el tigre de Raymond Smullyan (editorial CÁTEDRA), recomendado por Antonio Aguilera voluntario de mi aula y vicedecano de la universidad de psicología.”

Nos manda también algunas fotografías de su clase en plena actividad:




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Nos ha interesado la detallada descripción metodológica que hace del proceso. Y especialmente la presencia de un adulto voluntario en el grupo.

En cuanto a la resolución en sí, nos parece que, a la hora de resolver los alumnos mediante el ensayo y error, llegan a tener claro que a 10 euros el pájaro grande no sale porque la señora no ahorra 20 euros en la segunda compra sino 10. Era el momento de alentar a algunos para que, en lugar de seguir con intentos aleatorios, razonaran que bastaba con aumentar al doble el precio del pájaro grande para tener una ganancia doble.

La otra estrategia, que es correcta, puede acercarse a los alumnos mediante la introducción del preálgebra. Se usa para ello la representación simbólica (dibujos o letras) y el modelo de la balanza (no siempre para equivaler pesos, sino también valores, precios, etc.). También las leyes de las igualdades o equivalencias: igualdad es equilibrio en la balanza; modificar un plato quitando o poniendo algo desequilibra; sólo se puede cambiar algo por su equivalente; se pueden modificar los dos platos a la vez, quitando o poniendo la misma cosa en ambos; cuando ya no se puede simplificar más, lo que queda sobre los platos de la balanza es la respuesta.

G G G G G P P P G G G P P P P P 20

Eliminamos tres y tres P en cada platillo, de uno en uno o simultáneamente:

G G P P 20

Cambiamos cada G por dos P, o al revés, cada dos P por un G, y volvemos a simplificar:



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P P P P P P 20

G G G 20

Quedándonos al final uno de estos dos diagramas:

P P 20

G 20

Como se ve la solución es la misma en ambos casos (con óptica diferente): G vale 20 euros y P vale 10 euros.

Todo esto se traduce más tarde en lenguaje algebraico 5G + 3P = 3G + 5P + 20.

Se convierte en 2G = 2P + 20. Con la sustitución de G = 2P y la simplificación se tiene:

2G = G + 20, y de ahí G = 20.

Me pareció muy bien el esfuerzo de difusión y, especialmente la capacidad de adaptar un problema de Smullyan que es una lectura muy divertida pero muy compleja; tiene varios libros de paradojas a cual mejor.

Las fotos aportan un material de primera mano para observar el clima de la clase. Son estupendas.

Y, como de costumbre, parece oportuno finalizar con la propuesta de cuatro problemas para que vayan pensando un poco hasta el siguiente artículo. Sencillitos, aptos para que nuestros lectores que trabajan en Primaria los propongan a sus alumnos. Procedentes todos ellos de la 18ª edición del Rally Matemático Transalpino.

En el autobús

Lino sube el último en el autobús que parte de la estación. Va a sentarse y observa que hay otros 5 pasajeros.

En la primera parada, delante de Correos, descienden 3 personas y suben 6. En la segunda parada, en la plaza del mercado, no desciende nadie y suben 13 personas. En la tercera parada, delante del Ayuntamiento, descienden 5 personas y no sube nadie. En la cuarta parada, delante de la escuela, descienden 2 personas y suben 12, pero 4 de ellos

deben quedar de pie porque todos los asientos están ya ocupados por un pasajero.

¿Cuál es el número de asientos para pasajeros del autobús?




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El paquete de caramelos

En un paquete de caramelos, algunos son azules, otros son rojos y otros son verdes.

28 caramelos no son rojos. 39 caramelos no son azules. 31 caramelos no son verdes.

¿Cuántos caramelos de cada color hay en el paquete?

Fichas en triángulos

Ana posee una caja con 120 fichas redondas, todas idénticas. Las dispone sobre la mesa y forma una sucesión regular de “triángulos” en los cuales las fichas

están colocadas unas contra otras. He aquí los primeros cinco triángulos:

Ana continúa así y forma nuevos triángulos que tienen siempre una fila más que los anteriores. En el momento en que ha finalizado uno de estos triángulos, se da cuenta que su caja está vacía y que ha utilizado las 120 fichas para hacer todos los triángulos.

Un poco más tarde, su hermano Pedrito pasa delante de la mesa y observa las construcciones hechas por Ana. Calcula después el número de fichas que habría necesitado para hacer el triángulo siguiente. Puesto que no hay más fichas en la caja, deshace algunos triángulos de su hermana, utiliza todas las fichas de los triángulos que ha deshecho y acaba exactamente el triángulo que viene a continuación del que Ana había construido por último.

¿Cuáles son los triángulos de Ana que Pedrito podría haber utilizado completamente para construir el suyo?

La cara escondida del cubo

Sobre las caras de un cubo están dibujadas las seis figuras siguientes:

Aquí abajo hay tres fotos de este cubo colocado en posiciones diferentes: a), b), c).



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Observando estas fotos decid cuál es la figura dibujada sobre la cara opuesta a aquella en

la cual está dibujado el círculo.

Y quedamos así hasta la próxima entrega. Pero volvemos a insistir: esto sólo tiene sentido si nuestros lectores, después de leer el artículo, resuelven los problemas, los utilizan con sus alumnos si es posible, aportan a la revista sus comentarios, soluciones y nuevas propuestas o, simplemente, nos cuentan lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Hasta ahora hemos recibido unas cuantas valiosas aportaciones, pero queremos más. Anímense. Tomen ejemplo de Alegría Calderón…

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.



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Matemáticas y deportes. Sugerencias para el aula

José María Sorando Muzás (Instituto de Enseñanza Secundaria Elaios. Zaragoza)

Resumen El deporte es un fenómeno social que atrae la atención del alumnado. Sus reglas, estrategias, movimientos, resultados y clasificaciones contienen muchos elementos matemáticos. En las diversas especialidades deportivas podemos encontrar variadas ocasiones para motivar a los estudiantes con situaciones que las matemáticas ayudan a comprender mejor. En este artículo se ofrecen 28 actividades y ejemplos en esa línea, desde 6.º de Primaria a 2.º de Bachillerato.

Palabras clave Deportes, recursos, didáctica, motivación, prensa, matemática cotidiana.

Abstract Sport is a social phenomenon which attracts pupils’ attention. Rules, strategies, movements, results and rankings contain many mathematical elements. Across the sporting spectrum there are various occasions to motivate pupils whith situations which can be better understood with the help of mathematics. This article proposes 28 activities and examples in line with this principle suitable for pupils o all ages from 11 to 18.

Keywords Sports, resources, didactic methods, motivation, the press, everyday mathematics.

1. Introducción

Antes de una competición deportiva, a menudo oímos en los medios de comunicación a sus protagonistas referirse a la incertidumbre del desenlace diciendo que “el deporte no son matemáticas”. Al expresarse así, identifican lo matemático con el determinismo, con unas leyes y pautas que hicieran predecible el resultado. Y, ciertamente, no existe la función de predicción que nos pueda asegurar fortuna en las quinielas.

Tampoco se pueden establecer en los deportes estructuras ni relaciones formales con propiedades universales. Cualquier aficionado sabe, aunque con otras palabras, que en el fútbol la relación “ganar a” no es transitiva. Por ejemplo: en la primera vuelta de la Liga de Fútbol 2010/11, el 11/09/10, el Club Hércules de Alicante ganó a domicilio al F.C. Barcelona (0–2); luego (30/10/10) el Real Madrid ganó también como visitante al Hércules (1–3); sin embargo, pese a esos precedentes cercanos, el 29/11/10 el Real Madrid caía como visitante ante el F.C. Barcelona (5–0).

Pero hay otras matemáticas que sí podemos encontrar en el deporte. El lenguaje matemático, a su manera, a veces es usado en contextos deportivos. Los terrenos y materiales de competición, así como los circuitos, son geométricos. Los pronósticos entran en el campo de la probabilidad. Las trayectorias y estrategias recurren a las gráficas y a los cálculos. La toma de decisiones en la competición, a veces casi instantánea, es una auténtica situación de resolución de problemas cuyas alternativas podemos estimar, analizar y discutir desde las matemáticas. Por último, los resultados son números que podemos interpretar; que a veces hay que aproximar; y con los cuales se calcula para

Matemáticas y deportes. Sugerencias para el aula J. M. Sorando Muzás


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hacer las clasificaciones. En los últimos años proliferan las investigaciones que crean modelos matemáticos1 para optimizar aspectos del deporte.

Podemos incorporar esas situaciones, datos y problemas a la práctica diaria de aula. Con ello conseguiremos, por una parte cultivar la actitud analítica y el gusto por la precisión en los asuntos cotidianos; y, por otra, abrir las puertas de la clase de matemáticas a los mismos temas de actualidad que son conversación de recreo, trayendo datos auténticos y no preparados.

2. Usos y abusos matemáticos de la prensa deportiva

Buscando noticias matemáticas en la prensa digital, topé un día con este llamativo titular: “La prensa colombiana recalcó que las matemáticas son su única esperanza”2. Interpretando con mejor voluntad que entendimiento, pensé que se hablaba de un movimiento de regeneración nacional a través de la educación. Pero enseguida volví a la realidad. Bastó con seguir leyendo:

El seleccionado de fútbol colombiano, que empató a un tanto como local con Chile, pende ahora de los demás, casi de un milagro más que del fútbol, para clasificar al Mundial de Alemania 2006, cuando falta una sola fecha de la eliminatoria. “Nos quedan las matemáticas”, dijo Mario Yepes compungido por el resultado.

La prensa deportiva se acuerda de las matemáticas en cada final de temporada, hablando de títulos, ascensos y descensos “matemáticos” y también, como hemos visto, en fases clasificatorias. Sus matemáticas son en esos casos tan sólo el cálculo de la diferencia entre los puntos de ventaja de unos equipos sobre otros y los puntos todavía en disputa; es decir, sumar y restar.

También en las crónicas deportivas, como en las económicas o políticas, se habla con frecuencia de unos curiosos puntos de inflexión, que nada tienen que ver con cambios de curvatura. Se usan como sinónimo de cambio, sin más. Por ejemplo: “Valentino Rossi espera que el circuito de Brno sea su particular punto de inflexión”3 o “Aquilani cedido al Milán. ‘Es un punto de inflexión para mí’, dijo el centrocampista”4.

Además de esos abusos de lenguaje, encontramos en la prensa deportiva otros malos usos matemáticos de variada índole. Hay gazapos notorios, como: “En el circuito de Fórmula 1 de Interlagos en Brasil es difícil correr mucho, porque la recta principal es en curva”5 o “La distancia más corta entre dos puntos son los 100 m lisos”6. No faltan errores de cálculo, como luego veremos.

1 Algunos ejemplos de modelización.- Prevención de lesiones deportivas: http://www.agenciasinc.es/esl/Noticias/Un-nuevo-modelo-matematico-permite-predecir-lesiones-deportivas-a-partir-de-ecuaciones Futuros récords del mundo: http://catedu.es/matematicas_mundo/DEPORTES/deportes_records_mundo.htm Carrera de Maratón: http://www.muyinteresante.es/matematicas-para-correr-la-maraton Predicción de resultados en los JJ. Olímpicos: http://www.20minutos.es/noticia/628332/0/matematicas/resultados/olimpiadas/ 2 Radio Cooperativa. Chile. 09/10/2005. 3 Entrevista en www.motor21.com. 11/08/2011. 4 En www.uefa.com, el 26/08/2011. 5 Retransmisión de Fórmula I. Telecinco. 21/10/2006. 6 Crónica del II Campeonato del Mundo de Atletismo. El País. 30/08/1987




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También encontramos razonamientos desternillantes, basados en una lógica de Pero Grullo: “El corredor español va en última posición. Es la mejor para poder adelantar muchos puestos”7.

Mucho más frecuente es el manejo de la enorme cantidad de datos que proporciona la Liga de Fútbol para enunciar supuestas correlaciones casi como leyes deterministas. Por ejemplo: “En los últimos 4 partidos en que, jugando fuera de casa, el equipo X ha marcado primero, luego ha ganado”. ¿Por qué se habla de los últimos 4? Porque esa “pauta descubierta” ha durado 4 partidos, en el 5.º hacia atrás ya no se cumplía.

Es poco habitual que las crónicas nos informen acerca de los cálculos subyacentes a una estrategia de competición o de las curvas que dibujan en el aire los lanzamientos y los saltos. Por ejemplo: antes de cada intento, el saltador de pértiga, según sus características personales y las de la pértiga que usa, indica a los jueces a qué distancia quiere el listón con respecto al cajetín en que se inserta la pértiga, intentando que coincida sobre él el vértice de la parábola de su salto.

Aunque hay algunas excepciones. Con ocasión de los Mundiales de Natación de Shanghai’2011, en una entrevista a María José Bilbao, jueza internacional de natación sincronizada, leíamos (El País 18/07/11):

P. ¿Los números son la base de la automatización?

R. Toda la música está absolutamente contada y cada número tiene asignado un movimiento: sea una pausa, un movimiento de un brazo... lo que sea. La cuenta es de uno a ocho, salvo que la música, por el tipo de compás sea de uno a seis. Cuanto más pequeño el intervalo más posibilidades de incorporar movimientos. La manera de contar siempre es la misma y empleas movimientos realizados en uno o más tiempos. Ahí tienes la posibilidad de la velocidad.

P. ¿Es impensable que una nadadora haga una rutina sin contar?

R. Absolutamente. Es un ejercicio mental brutal. Este es un deporte que deja cabezas muy bien amuebladas. Siempre ha habido muy buenas estudiantes en este deporte porque ordena. Hay que pensar en tantas cosas a la vez que tienes que automatizarlas. La automatización viene con el número. Por eso se repasa el ejercicio en seco. Se repite montones de veces con la música y se hacen movimientos en seco para visualizarlo antes de nadarlo.

P. ¿Al final se nada inconscientemente, sin pensar en nada?

R. Inconscientemente no. Automáticamente sí. Lo que no necesitas pensar es qué me hace falta para hacer este movimiento porque todo está automatizado: desde el momento de respirar hondo para sumergirse. Las nadadoras solo deben concentrarse en su propio trabajo. Cada una sabe que en el ocho de aquella figura, por ejemplo, ella tiene que estar especialmente concentrada para lo que sea. Cada cual sabe dónde le duele y dónde tiene que estar atenta. Y para esto, los números sirven de mapa.

7 Retransmisión de la Copa de Europa de Naciones de Atletismo. Años 90.



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Los biomecánicos Xavier Aguado Jódar y José Luis López Elvira escribían en El País (23/12/09) acerca de “El efecto Cristiano”, refiriéndose a su forma especial de lanzar las faltas alterando las parábolas con efectos desconcertantes para el portero rival:

El gol con efecto que metió Cristiano en Marsella contra el Olympique, en la Liga de Campeones, es de esos tantos para recordar. El lanzamiento de falta se realizó a 35 metros de la portería y el balón abandonó la bota derecha del madridista con un ángulo de salida de 25 grados, girando en un eje inclinado y a una velocidad nada desdeñable (cercana a los 100 kilómetros por hora). Después vio debajo la barrera, pero, como llevaba 2,53 metros de altura, no tuvo problemas en franquearla. A partir de ahí, empezó a bajar rápidamente empujado por la fuerza del efecto. Igual que lo hacen las bolas del drive liftado de Rafael Nadal, tras pasar la red a más altura que el de los demás tenistas, para meterse después a tiempo dentro de la pista. El balón de Cristiano llegó a la portería cuando apenas habían transcurrido 1,44 segundos de vuelo, tras ser tocado por el portero francés, que lo elevó ligeramente. Aun así, llegó a 1,88 metros de altura. La velocidad media del balón durante el vuelo fue de 87 kilómetros por hora y se desvió lateralmente, gracias al efecto, algo más de tres metros de su trayectoria inicial. Ese balón nunca habría entrado en una atmósfera sin aire (hipotética), en la que el efecto dado por Cristiano habría seguido una típica trayectoria parabólica, en la misma dirección del lanzamiento y al llegar a la portería se encontraría varios metros por encima del travesaño.

Otras veces no hay esa precisión de datos, pero sí una admiración por el virtuosismo deportivo que se expresa intuyendo que debe haber matemáticas en él. No es algo riguroso, pero al menos se citan las matemáticas como paradigma de perfección, lo que para nuestros fines ya tiene un valor. Recientemente, en un artículo titulado “Messi y las matemáticas” (Diario Sport. 10/03/2011) se leía:

El Doctor Ken Bray, de la Universidad de Bath, es el encargado de ensalzar esta particular tesis que defiende que las matemáticas y sus principios científicos son esenciales para alcanzar las más altas de las cotas del fútbol mundial. “El fútbol es un arte, pero también es una ciencia y cada jugador utiliza la geometría, la aerodinámica y la probabilidad de realizar cada acción en el mejor momento. La comprensión de los principios científicos y matemáticos podría valer su peso en oro si desea una carrera en el fútbol”.

Y nada menos que Marcus Du Sautoy, catedrático de matemáticas en la Universidad de Oxford y divulgador de fama mundial declara (El País 04/04/2008):

Un ataque del Arsenal es un rompecabezas geométrico en movimiento. Los jugadores corren en busca del gol trazando triangulaciones alrededor del balón. En cuestión de segundos, los rivales tienen que descifrar ese código e intuir dónde va a aparecer el siguiente triángulo.

Sean acertadas o no, rigurosas o superficiales, las apariciones de elementos matemáticos en los noticiarios y en la prensa deportiva, la de más tirada en este país, son ocasiones para su cita y crítica en el aula. Lo cual no precisa por nuestra parte una preparación ni un gran trabajo añadido. Basta con escuchar las noticias, ojear el periódico y estar abierto a tal posibilidad.

En los siguientes apartados se ofrecen 28 ejemplos de actividades que pueden ser llevados a la clase fácilmente. En algunos casos, la noticia que les da lugar sigue vigente; en otros, queda atrás en el tiempo, pero no así la situación subyacente que, con otros nombres, periódicamente es actualidad.




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3. Terrenos y pistas

Actividad 1: Los ángulos del esquí. Deporte: Esquí.

Nivel: 4.º ESO. Tipo: Problema.

Contenidos: seno de un ángulo; crecimiento de la función seno en (0º , 90º) o función arco seno.

Las pruebas de esquí alpino se basan en la velocidad y la habilidad, con pruebas de descenso y slalom. El descenso se realiza en pistas con ángulos de inclinación entre 23º y 30º. El slalom se efectúa en pistas con un ángulo de inclinación mínimo de 30º y el recorrido está marcado con puertas o palos por donde ha de pasar el esquiador.

Se quiere organizar una prueba de esquí alpino en una ladera de 900 m de longitud con un desnivel de 510 m. ¿Qué tipo de prueba es posible organizar en esas condiciones?

Solución: El ángulo de inclinación media de la ladera es 34º 31’ 5”. Se puede organizar un slalom.

Figura 1

Actividad 2: Carrera de 400 m. Deporte: Atletismo.

Nivel: 6.º Primaria, 1.º y 2.º ESO. Tipo: Problema.

Contenidos: longitud de la circunferencia.

Fíjate en la salida de la carrera de 400 m (figura 1). Cada corredor sale desde una posición adelantada con respecto al que está a su izquierda. ¿Qué ocurre? ¿Es que hay favoritismo? Nada de eso. La razón tiene que ver con la geometría de la pista.



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Figura 2

Una pista de atletismo estándar de 400 metros (figura 2) debe estar compuesta, en su parte interior, por dos rectas de 84,70 m. cada una y dos semicircunferencias con un radio de 36,70 m. La pista tiene 8 calles de 122 cm de anchura cada una. La meta está al final de una recta y las vueltas a la pista se dan en sentido contrario a las agujas del reloj.

En la prueba de 400 m. participan 8 corredores y cada corredor corre por una calle propia. Con los datos del párrafo anterior puedes calcular cuál es la compensación que se debe dar en la salida de los 400 m al corredor de la calle 2 con respecto al de la calle 1. ¿Y en las siguientes calles?

Solución: Cada compensación debe ser de 7,65 m, la misma en cada calle con respecto a la de su izquierda.

Actividad 3: Las pendientes del ciclismo. Deporte: Ciclismo.

Nivel: 4.º ESO. Tipo: Curiosidad y Problema.

Contenidos: Teorema de Pitágoras; pendiente, tangente y seno de un ángulo; aproximación y error.

La dureza de un puerto de montaña se mide con su pendiente, bien con la pendiente media, bien con la pendiente máxima. Si nos regimos por este último criterio, ¿cuáles son las mayores pendientes que en algún momento han debido subir los ciclistas profesionales? En el foro de ciclismo APM8 se dan estos datos:

1.º Aia por Arizmendi (Vuelta al País Vasco) 28%

2.º Muur de Huy (Flecha Valona) 25%

8 APM El Foro de los Puertos de Montaña: http://apmforo.mforos.com/401701/8600776-rampas-maximas-en-profesionales/




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3.º Plan de Corones (Giro de Italia) 24%

4.º Angliru (Vuelta a España) 23,7%

5.º Zoncolan (Giro de Italia) 22%

Koppenberg (Tour de Flandes) 22%

Kitbuheler Horn, Alpenhaus (Vuelta a Austria) 22%

Xorret de Catí (Vuelta a España) 22%

9.º Colletto del Moro (Giro de Italia) 21%

Montelupone (Giro de Italia) 21%

Aia por Arruti (Vuelta al País Vasco) 21%

12.º Mortirolo (Giro de Italia) 20%

Redondal (Vuelta a Castilla y León) 20%

Kapelmuur (Tour de Flandes) 20%

Resulta curiosa la presencia en esta lista de tres subidas en Flandes (Países Bajos), zona nada montañosa. Se trata de colinas, aunque pequeñas, con tramos muy empinados.

Al calcular la pendiente en un tramo (en el dibujo, tg α), sabemos que se debería dividir el incremento de altitud c entre el desplazamiento horizontal b. El incremento de altitud c se mide fácilmente con la ayuda de un altímetro preciso. Pero, ¿cómo medir b? ¿Se cava un túnel?...

Obviamente lo que se mide es lo único que nos es posible medir, el desplazamiento sobre la carretera a. Luego, se toma como valor aproximado de la pendiente el cociente c/a (sen α). En tal caso, ¿no estamos cometiendo un error importante al confundir en un triángulo rectángulo la hipotenusa a con el cateto mayor b y la tangente del ángulo de inclinación con su seno?

Figura 3

Calcula ese error en la pendiente en las condiciones más desfavorables: en las rampas del 28% del Puerto de Aiz. Decimos que son las condiciones más desfavorables no por lo costoso de subir, sino porque es donde más se separa la hipotenusa a del cateto b; en cualquier otra rampa de menor pendiente ambos segmentos estarán más próximos. Considera un tramo de 100 m.

Solución: la verdadera pendiente es en ese caso del 29%. Los errores son inferiores al 1% de pendiente.



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Actividad 4: Subida del Tourmalet. Deporte: Ciclismo.

Nivel: 4.º ESO y 1.º Bachilleato. Tipo: Ejemplo introductorio de conceptos.

Contenidos: tasas de variación.

Una de las ascensiones más famosas del Tour de Francia es la del Col du Tourmalet (2.115 m.). Antes de la etapa los ciclistas estudian bien la gráfica de altimetría, donde se representan las cotas de altitud en cada punto kilométrico y, para cada kilómetro, la pendiente media de subida.

¿Qué medida es la que mejor puede expresar la dureza de un puerto de montaña? Podría serlo el desnivel total que se sube desde el comienzo de la ascensión hasta la cima (la llamaremos tasa de variación). En este caso, desde el km 0 al km 17: TV0 , 17 = 2.115 – 847 = 1.268 m.

Pero si dos puertos tuvieran el mismo desnivel total, ¿tendrían la misma dureza? No, porque sería más duro aquel que subiese ese desnivel en menos kilómetros; su pendiente media habría de ser mayor. Así que conviene conocer esa pendiente media, dividiendo o “repartiendo” todo el desnivel entre todos los kilómetros de la carretera (la llamaremos tasa de variación media). En este caso:

TVM 0 , 17 = 1.268 m / 17 km = 1.268 m / 17.000 m = 0,075 = 7,5 %

Es decir, por término medio la pendiente es del 7,5 %. Pero un promedio es un “reparto ideal” que puede no corresponderse con la realidad en ningún momento. Tú puedes tener un 6 de nota media sin haber sacado 6 en ningún examen; de la misma forma, aunque la pendiente media del Tourmalet sea del 7,5%, tal vez en ningún tramo importante la pendiente sea exactamente esa.

Figura 4




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La pendiente media nos informa así de la dureza global del puerto. Pero si un ciclista quiere saber dónde están las cuestas más fuertes, para dosificar su esfuerzo, tendrá que conocer la pendiente media en tramos más cortos. Por ejemplo, kilómetro a kilómetro.

Estudiemos la pendiente media entre el km 14 y el km 15:

TVM 14 , 15 = (1.951 m. – 1.869 m.) / 1.000 m. = 82 / 1.000 = 0,082 = 8,2%

Como se ve en la gráfica, hay kilómetros donde la pendiente media es del 2% y en otros llega al 10%. Acortar el intervalo (de los 23 km a sólo 1 km) permite precisar. Y aún más si calculamos la pendiente media en un tramo de 100 m. de carretera, o de 10 m., o de 1 m., o de… h → 0. De hecho es conocida, por ejemplo, la pendiente que hay en la salida de cada curva; es decir, la pendiente en un tramo infinitesimal. Se le llama tasa de variación instantánea o derivada.

4. Materiales de competición

Actividad 5: Geometría del balón. Deporte: Fútbol.

Nivel: 2.º y 3.º ESO. Tipo: Ampliación y curiosidad.

Contenidos: poliedros regulares y arquimedianos; medidas de dispersión.

Esfericidad

Si te fijas en un balón de fútbol, observarás que no es una esfera sino un poliedro que, al ser hinchado con aire, adopta una forma bastante esférica. Se trata del icosaedro truncado, un poliedro así llamado por ser el que se obtiene cuando a un icosaedro le cortamos las 20 esquinas a distancias iguales de cada vértice (cada corte es de un tercio de la arista). Está formado por 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares; y tiene 90 aristas. Este poliedro ocupa un volumen del 86,74% de la esfera circunscrita (figura 5); porcentaje que aumenta hasta el 95% al ser inflado (figura 6).

Figura 5 Figura 6

Hay otro poliedro que permitiría conseguir balones más esféricos. Se trata del Rombicosidodecaedro (figura 7), cuyas caras son 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares; tiene 120 aristas y antes de ser inflado ya ocupa más el 94,5% de la esfera. Pero la industria no ha adoptado esta solución porque aumenta bastante la complejidad de la fabricación (120 costuras que coser, frente a las 90 del icosaedro truncado).



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Figura 7 Figura 8

Ambos poliedros pertenecen a la clase de los llamados poliedros arquimedianos, cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos diferentes, a diferencia de los poliedros regulares, formados por polígonos regulares todos iguales entre sí. Además, en ambos tipos de poliedros, en cada vértice concurre el mismo número y tipo de caras en el mismo orden.

Control de calidad y dispersión estadística

Un balón de fútbol será mejor cuanto más próximo esté a ser una esfera perfecta. En ese caso, tendrá más equilibrio en su trayectoria y permitirá a los futbolistas mayor precisión en los pases y tiros. La revista Consumer – Eroski (n.º 123, julio-agosto 2008) nos explica cómo se controla la calidad de los balones:

Para determinar la esfericidad de un balón se hincha y se mide su diámetro en 16 puntos diferentes para calcular el diámetro medio. Después, se calcula la diferencia entre el diámetro máximo y el mínimo. Así, el número que se obtiene es la diferencia en porcentaje entre el diámetro máximo y mínimo sobre el diámetro medio. A los balones oficiales para las competiciones de la FIFA se les exige que no superen el 2%. Umbro, con un 2,2%, no es lo suficientemente redondo. Matt (2%) y Joma (1,9%) mostraron valores de esfericidad aceptables, pero elevados. Las esferas mas perfectas fueron las de Astore (1,3% de esfericidad) y Diadora (1,3%).

Observa que, para valorar la esfericidad de los balones, la FIFA está midiendo la dispersión estadística de 16 medidas y calcula su media aritmética. Al restar de la mayor medida la menor, calcula lo que en Estadística llamamos el rango de esa distribución de datos. Luego valora ese rango como porcentaje sobre la media. Es una forma propia de medir la dispersión, no coincidente con los métodos habituales (desviación media y desviación típica), pero perfectamente válida.

Jabulani, ¿el balón perfecto?

Para el Mundial de Sudáfrica 2010 se encargó a la Universidad británica de Loughborough el diseño del balón más perfecto posible. Se tardó 3 años en diseñar Jabulani (imagen 6), cuyo nombre significa “celebración” en zulú. Una de las principales diferencias con respecto a los balones tradicionales, es que Jabulani es una bola formada por 8 piezas tridimensionales curvas que se unen entre sí en caliente. No es un poliedro, sino que ya es esférico antes de ser inflado.

Y sin embargo, durante el Mundial ese balón recibió muchas críticas. Famosos lanzadores de faltas lo enviaban a las gradas y buenos porteros no lograban atraparlo (“hubiera preferido jugar




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con una pelota de playa”, dijo Julio César, portero de Brasil). Estudios posteriores del ingeniero Takeshi Asai, de la Universidad de Tsukuba en Japón en un túnel de viento, han revelado que la razón de su comportamiento impredecible es precisamente consecuencia de no ser un poliedro: no tiene aristas, es decir, no tiene costuras. Parece ser que las costuras son pequeños surcos que crean turbulencias, microcorrientes de aire que estabilizan el balón en su vuelo. Sin ellos, aumenta su velocidad un 5% y su trayectoria es más inestable9.

Actividad 6: Piel de tiburón. Deporte: Natación.


Contenidos: porcentajes; proporcionalidad directa; sistema sexagesimal.

El 28/07/2009 se leía en la prensa esta noticia del Mundial de Natación de Roma 2009:

Michael Phelps no usó su bañador tecnológico. El multicampeón olímpico en Beijing 2008 perdió la medalla de oro y el récord mundial en los 200 metros libres ante el alemán Paul Biedemann, quien usó un traje de poliuretano.

Y un año más tarde:

El 2010 pone fin a los bañadores de alta tecnología que lucían muchos nadadores. Estos bañadores que aumentaban la flotabilidad y velocidad, dejarán de usarse porque para muchos era un dopaje tecnológico.

¿En qué consistían esos “bañadores prodigiosos”? Eran bañadores de cuerpo entero fabricados con un tejido especial que disminuye la resistencia al agua y mejora la compresión de los músculos al nadar. A ese tejido se le llama “piel de tiburón” porque la imita10. Se estima que, gracias a esos bañadores, los tiempos de los nadadores mejoraban en un 2%.

Nadia tiene un tiempo de 1:03.45 en los 100 m libres. ¿Qué tiempo podría hacer con uno de esos bañadores de alta tecnología?

Solución: Podría hacer un tiempo de 1:02.18.

Actividad 7: Jueces de Halterofilia. Deporte: Halterofilia.

Nivel: Bachillerato. Tipo: Problemas.

Contenidos: Álgebra de Boole; probabilidades de los sucesos unión e intersección.

En una competición de halterofilia hay tres jueces: A, B y C. Cada uno de ellos dispone de un botón o pulsador independiente y oculto a los demás. Si en opinión de un juez el levantador ha alzado el peso manteniéndolo inmóvil sobre su cabeza, con brazos y piernas extendidos, entonces pulsa su botón. Cuando dos o los tres jueces han pulsado su botón, se enciende la luz blanca de “peso superado”.

9 Más sobre Jabulani en: http://veja.abril.com.br/230610/popup_jabulani.html http://news.suite101.net/article.cfm/jabulani-el-balon-estrella-del-mundial-de-sudfrica-a19251 http://www.foxnews.com/scitech/2010/06/09/world-cup-ball-soccer-jabulani/ 10 Sobre los bañadores de piel de tiburón: http://mediablog.eitb24.com/periodismociudadano/tag/banadores/ http://lilip-fisica.blogspot.com/2008/08/la-fsica-de-los-juegos-olmpicos.html



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a) Se necesita un circuito eléctrico que conecte los tres botones A, B y C con la luz y que se encienda de acuerdo con la norma anterior. El esquema lógico de dicho circuito se corresponde con el suceso “2 ó 3 jueces pulsan su botón”. Utiliza el Álgebra de Sucesos y sus propiedades para expresarlo de la forma más simplificada posible. b) La probabilidad de que un juez falle en su apreciación es del 10%. ¿Cuál es la probabilidad de que el veredicto final sobre un levantamiento sea erróneo?

Soluciones: a) (A∩B∩C) U (A∩B∩Cc) U (A∩Bc

∩C) U (Ac∩B∩C) = (A∩B) U [(A U B) ∩C]

b) P (2 fallos U 3 fallos) = 0, 028

5. El azar y el deporte

El último problema de la Actividad 7 nos adentra en lo azaroso del deporte, cuyos resultados están sometidos a factores imprevistos, a genialidades y a fallos. Por lo general, la Ley de Estabilidad de la Frecuencias no es aplicable al cálculo de probabilidades de resultados, pues no se cumple el requisito de que las pruebas hayan sido realizadas en las mismas condiciones. Por ejemplo: la frecuencia relativa de empates en los enfrentamientos entre dos equipos, aunque se refiera a muchas temporadas, no nos sirve para inferir la probabilidad de empate en el próximo partido entre ambos. Aquellos enfrentamientos se produjeron entre equipos formados por distintos jugadores, con distintos entrenadores, incluso con balones diferentes.

Pero hay otras situaciones como son las apuestas, hoy tan en boga, o los sucesos excepcionales, donde el análisis probabilista nos aporta luz.

Actividad 8: Semifinal de Champions. Deporte: Fútbol.

Nivel: 4.º ESO y Bachillerato. Tipo: Problema.

Contenidos: probabilidades de los sucesos intersección.

El 18/03/2011, la noticia deportiva del día era el resultado del sorteo para cuartos de final, semifinales y final de la Champions League 2011. El F.C. Barcelona se iba a enfrentar al Shakhtar Donetz ucraniano y el Real Madrid al Tottenham inglés. Si ambos superaban sus eliminatorias, se encontrarían en semifinales. Esta posibilidad, luego cumplida, hizo correr ríos de tinta en la prensa y prodigó los comentarios en las radios deportivas, poniendo en evidencia el pobre uso que de la probabilidad (conceptos y términos) hace una buena parte de la población, en este caso con acceso a los micrófonos. En la Cadena Ser, un conocido experto en fútbol internacional comentaba que según las casas de apuestas, las probabilidades de victoria en cuartos de final eran éstas:

F.C. Barcelona 70% - Shakhtar Donetz 30% Real Madrid 65% - Tottenhan 35%

Y añadía:

Así que hay una probabilidad del 67,5% de que tengamos un Barça - Madrid en las semifinales.

Analiza ese “razonamiento matemático”.

Solución: esa probabilidad en realidad era del 45,5%.




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Actividad 9: El partido interminable. Deporte: Tenis.

Nivel: 2.º Bachillerato. Tipo: Problema.

Contenidos: permutaciones con repetición; probabilidades de los sucesos unión e intersección.

El 22/06/2010 se disputaba el partido de primera ronda de Wimbledon en la pista 18 de All England Club entre John Isner (número 19 del mundo, norteamericano) y Nicolas Mahut (número 148, francés). Se jugaron cuatro sets: el primero para Isner por 6-4, el segundo y el tercero para Mahut por 6-3 y 7-6, el cuarto para Isner por 7-6. Fueron 2 horas y 49 minutos, pero faltaba el decisivo quinto set, que se aplazaba para el miércoles por falta de luz.

Ese quinto set fue el más largo de la historia del tenis. Tras 7 horas y 5 minutos, el marcador estaba en 59-59. Ninguno de los dos daba su brazo a torcer. Así que de nuevo el partido fue aplazado por falta de luz hasta el día siguiente.

El partido interminable acabó finalizando tras otra hora y 9 minutos. Más de 8 horas duró el eterno quinto set (11 h 3 min el partido), llegando a un marcador final de 70-68, algo inimaginable. Ganó el norteamericano Isner, pero, aunque el partido sólo fuera primera ronda del torneo y más allá de quién lo ganó, ambos jugadores han entrado en la historia deportiva. Un 70-68 era algo impensable. Un partido histórico donde los haya que permanecerá durante décadas en la memoria de los aficionados y en las estadísticas del deporte de la raqueta.

Estudiemos matemáticamente la excepcionalidad de ese resultado. Si consideramos que cada jugador tiene probabilidad 1/2 de ganar cada juego, ¿cuál es la probabilidad de que un set llegue al marcador 70-68?

Solución11: P = 6,67 · 10-21, es decir 6,67 miltrillonésimas

6. En competición

Las estrategias, los ritmos, las trayectorias y ángulos óptimos, han sido preparados en largos entrenamientos. El objetivo es la mecanización del gesto y el control del esfuerzo sin fallos en el momento decisivo, en la competición.

Actividad 10: Falta personal.12 Deporte: Baloncesto.


Contenidos: porcentajes.

En la fase final de un partido de baloncesto, si un equipo va perdiendo por pocos puntos tiene que evitar que el equipo contrario ralentice el juego para perder tiempo. Para eso, cuando tenga la pelota el otro equipo, les van a hacer faltas personales y en la posterior posesión de balón intentarán los tiros de tres puntos. El jugador contrario que reciba esa falta personal lanzará tiros libres y, claro está, interesa que los falle. Ésta es la estadística de tiros libres de los jugadores del otro equipo en esta temporada:

11 La solución está detallada en: http://catedu.es/matematicas_mundo/DEPORTES/tenis_record.htm 12 Sorando, J.M: Proporcionalidad y porcentajes, en Unidades didácticas. Educación Secundaria Obligatoria. Departamento de Educación, Cultura y Deporte del Gobierno de Aragón. Zaragoza 2010, pp.287 a 330.



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Jugador tiros libres aciertos Diego 80 62 Luis 42 22

Carlos 28 15 Alfonso 56 38

Juan 15 12

¿A quiénes y con qué prioridad conviene hacerles falta?

Solución: conviene hacer las faltas a Luis (52,38% de efectividad) y a Carlos (53,57%), antes que a sus compañeros, que tienen mejores porcentajes.

Actividad 11: Récord de la hora. Deporte: Ciclismo.


Contenidos: proporcionalidad; regla de tres; sistema sexagesimal; ecuaciones de primer grado.

En el ciclismo en pista la plusmarca de mayor prestigio es el Récord de la Hora. En 2005, el checo Andrei Sosenka estableció el actual Récord Masculino, dejándolo en 49,700 km. El Récord Femenino lo posee la holandesa Leontien Van Moorsel con 46,065 km. Burdeos (Francia) ha sido escenario de muchos intentos de récord gracias a la magnífica pista de madera de su velódromo, con una vuelta de 250 m.

Supongamos que somos el entrenador de un ciclista que va a intentar en Burdeos mejorar en 50 metros el Récord de la Hora. Para conseguirlo es fundamental hacer cálculos: hay que saber cuál es el ritmo de paso al que ajustarse en cada vuelta. Calcúlalo tú, fijando con precisión ritmos y números de vueltas en cada uno de estos supuestos tácticos:

a) El ciclista debe ir al mismo ritmo uniforme en cada vuelta. b) El ciclista repartirá su esfuerzo en dos tramos de 30 minutos: saldrá rápido, para asegurar el tiempo, y en el segundo tramo tiene prevista una pérdida del 5% de velocidad. c) El ciclista repartirá su esfuerzo en tres tramos de 20 minutos: saldrá rápido, para asegurar el tiempo; en el segundo tramo buscará soltura y relajación, lo cual le supondrá una pérdida del 8% de velocidad; y en el tercer tramo irá a por todas, teniendo prevista una velocidad sólo inferior en un 4% a la del primer tramo. d) El ciclista seguirá las mismas pautas del caso c) salvo que el primer y el tercer tramo serán de 25 minutos y el segundo tramo sólo de 10 minutos.

Soluciones: a) cada vuelta a 18,09 segundos. b) en los primeros 30 min de carrera (102 vueltas), cada vuelta a 17,64 s; en el resto (97 vueltas), a 18,57 s. c) en los primeros 20 min de carrera (69 vueltas), cada vuelta a 17,37 s; en los siguientes 20 min (64 vueltas), a 18,88 s; en el resto, a 18,09 s. d) en los primeros 25 min de carrera (85 vueltas), cada vuelta a 17,55 s; en los siguientes 10 min (31 vueltas), a 19,07 s; en el resto, a 18,28 s.

Actividad 12: Ángulo de tiro. Deporte: Fútbol.

Nivel: 1.º y 2.º ESO. Tipo: Problema.

Contenidos: ángulo inscrito y su medida.




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Frecuentemente, en retransmisiones de fútbol, oímos expresiones como: “…el jugador chutó a puerta sin apenas ángulo de tiro…”, expresión no siempre correcta, como vas a ver. Observa en la figura 9 las situaciones de los jugadores P1, P2 y P3.

Figura 9

Piensa... por su posición respecto de la circunferencia, ¿de qué tipo son estos tres ángulos? y ¿cómo se miden?

Si has respondido a las dos cuestiones anteriores, ya tendrás claras estas otras: ¿Cuál de los tres futbolistas dispone de mayor ángulo de tiro? ¿Por qué?

Pero todos sabemos que en la posición P3 es más difícil conseguir gol que en las otras dos. Entonces, esa dificultad ¿se debe al ángulo? ¿Cómo la explicarías geométricamente?

Solución: Se trata de ángulos inscritos en una misma circunferencia que abarcan el mismo arco, luego sus medidas son iguales. Pero en P3 el portero cubre mejor las trayectorias que conducen el balón a puerta.

Actividad 13: Ultramaratón. Deporte: Atletismo.


Contenidos: proporcionalidad; regla de tres; sistema sexagesimal.

Las pruebas de Ultramaratón se disputan sobre distancias de 100 km y más. El Récord del Mundo masculino de 100 km está en posesión del japonés Takahiro Sunada con 6 h 13 min 12 s logrados en 1998; y el femenino es de la también japonesa Tomoe Abe con 6 h 33 min 11 s logrados en 2000.

En estas pruebas es fundamental mantener un mismo ritmo de principio a fin; cualquier cambio de ritmo sería un gasto físico innecesario que luego pasaría factura. ¿A qué ritmo (tiempo por km) se consiguió el récord de 100 km? ¿A qué velocidad (km por hora)?

Soluciones: A 3 min 43,92 s/km; o, lo que es lo mismo, a 16,077 km/h.



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Actividad 14: Parábolas en deporte. Deporte: Varios.

Nivel: 4.º ESO. Tipo: Ampliación y curiosidad.

Contenidos: función cuadrática; parábola.

El jugador de baloncesto de la NBA Michael Jordan fue famoso por sus “vuelos” a canasta donde parecía que conseguía estar “suspendido” en el aire más tiempo que nadie. Su secreto era saber utilizar una gran velocidad inicial y unos movimientos del cuerpo que le permitían trazar una parábola muy alargada, de manera que gran parte de su trayectoria estaba próxima a la altura del vértice, subiendo y bajando, pero no “suspendido”.

El jugador de baloncesto, como cualquier saltador, está sometido a las leyes del tiro parabólico. Los saltadores (sean de altura, de longitud, con pértiga, o un futbolista en un remate de cabeza, etc.) son “proyectiles humanos” con una componente horizontal uniforme y una vertical uniformemente acelerada, bajo la acción de la gravedad terrestre. Lo mismo ocurre con los objetos que se lanzan: balones, pelotas de tenis, peso, disco, jabalina, martillo, etc.

Galileo llegó a la conclusión de que, si la posición de cada punto de la trayectoria de un proyectil viene dada por un par de coordenadas (x, y), dicha trayectoria, despreciando la resistencia del aire, es una parábola con esta ecuación:

y = – g · (1 + tg2 α) · x2 / 2·v2 + x· tg α

siendo g la constante gravitatoria (9,8 m/s2), v la velocidad inicial y α el ángulo de inclinación del tiro.

A partir de la expresión anterior se sabe que la inclinación α para alcanzar la máxima distancia (x) es de 45º. Ese sería el ángulo óptimo de salida del peso de la mano del lanzador si la bola cayera a la misma altura que se lanza; pero, como la bola cae al suelo, dicho ángulo cambia en función de la altura del lanzador. Un atleta de élite debe saberlo y entrenar sus gestos hasta conseguir ese ángulo óptimo, con ayuda del video y de los estudios biomecánicos.

Actividad 15: Lanzamiento de falta. Deporte: Fútbol.

Nivel: 4.º ESO y Bachillerato. Tipo: Problema.

Contenidos: función cuadrática; parábola; gráfica a partir de una tabla de valores; sistema de ecuaciones.

Se va a lanzar una falta frente a la portería, que está a 17 m. La altura de ésta es de 2,44 m. El objetivo es que el balón entre en la portería rozando el larguero, a la vez que alcanza el vértice de su parábola. ¿Se puede conseguir, sabiendo que la barrera de jugadores del equipo contrario está colocada a 9,15 m. del punto de lanzamiento?

Solución: La ecuación de la parábola es y = –0,00844 x2 + 0,28706 x. Cuando x = 9,15 entonces y = 1,92. El balón en esa trayectoria superará la barrera si ésta permanece estática, a no ser que en ella haya un jugador muy alto u otro que de un buen salto.




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Actividad 16: Lanzamientos de golf.13 Deporte: Golf.

Nivel: 4.º ESO. Tipo: Problemas.

Contenidos: razones trigonométricas.

a) Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo y alcanza una distancia de 180 m. Pero el golpe ha sido defectuoso y la dirección del tiro de la pelota forma un ángulo de 20º respecto de la línea directa al hoyo. Sabiendo que la dirección del tiro forma un ángulo recto con la del segmento que une la pelota y el hoyo, ¿a qué distancia del hoyo ha quedado su pelota? ¿A qué distancia estaba el hoyo cuando lanzó su golpe? b) En el siguiente lanzamiento el jugador lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, pero se equivoca tanto en el ángulo como en la distancia (llega a los 9/10 de la distancia al hoyo) Sabiendo que la dirección del tiro forma un ángulo recto con la que une la pelota con el hoyo, hallar el ángulo que mida la desviación del lanzamiento.

Soluciones: a) 65,51 m y 191,55 m. b) 25º 50’31”

7. Los resultados son números

Los resultados deportivos constituyen un filón de datos donde encontramos números de todo tipo; con frecuencia hay que aproximar y los errores llegan a tener una gran repercusión; hay que decidir en base a criterios estadísticos; etc. Ofrecen muchas ocasiones de análisis y ejercitación numéricos.

Actividad 17: Error en el Récord del Mundo. Deporte: Atletismo.

Nivel: 6.º Primaria y 1.º ESO. Tipo: Ejemplo.

Contenidos: aproximación por redondeo de decimales.

El viernes 12 de mayo de 2006 saltaba la noticia deportiva: en el Gran Premio de la IAAF en Doha (Qatar), el norteamericano Justin Gatlin había batido el Récord del Mundo de 100 m con un tiempo de 9,76 segundos, que mejoraba en una centésima el anterior récord en posesión del jamaicano Asafa Powell con 9,77.

Sin embargo, una semana más tarde, reunida la IAAF (Federación Internacional de Atletismo), tras analizar la documentación aportada por la empresa encargada del cronometraje, revisaba ese resultado, al comprobar que el tiempo registrado por Gatlin era de 9 segundos y 766 milésimas. El redondeo a las centésimas dejaba la marca en 9,77, con lo cual Gatlin había igualado, pero no mejorado, el Récord del Mundo.

13 Problema tomado del profesor Manuel Hernández Rodríguez.



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Actividad 18: El problema del seleccionador. Deporte: Atletismo.


Contenidos: medidas de centralización y medidas de dispersión.

El seleccionador nacional de atletismo duda qué corredor seleccionar en los 400 m lisos. Hay dos candidatos, cuyas marcas más recientes han sido éstas:

Corredor A 45" 2 45" 8 45" 2 45" 8 Corredor B 45" 5 45" 4 45" 6 45" 5

¿Qué corredor ofrece por término medio mejores resultados? ¿Cuál ofrece mayor seguridad? Estudia cuál sería la decisión del seleccionador.

Solución: Salvo la moda (poco relevante en este caso), las medidas de centralización son coincidentes. Todas las medidas de dispersión son menores en B, que por lo tanto es el corredor de resultados más seguros.

Actividad 19: Importancia de las milésimas. Deporte: Atletismo.

Nivel: 6.º Primaria y 1.º ESO. Tipo: Ejemplo.

Contenidos: órdenes decimales.

¿Piensas que los decimales, por ejemplo las milésimas, son cosa de poca importancia? Esta noticia te hará cambiar de opinión:

El País, Munich 7 de Agosto de 2002. Campeonato de Europa de Atletismo14:

El francés Baala arrebata a Estévez el oro en los 1.500 m. con una llegada apretadísima hasta para la foto-finish.

La menor de las diferencias se convirtió en la mayor de las frustraciones para Reyes Estévez, 2.º en el 1.500 por dos milésimas de segundo, una minucia infinitesimal que fue revisada una y otra vez por los jueces ante la imposibilidad de concretar el vencedor con la foto-finish. El veredicto se demoró varios minutos en medio de un silencio espeso. En el marcador figuraba el mismo tiempo, 3m 45,25s, para el español y el francés Mehdi Baala. Ambos pasearon las banderas por la pista y hasta se pensó en una doble medalla de oro, algo de lo que apenas hay precedentes. Pero la decisión se remitió a otra que también tuvo lugar en Múnich hace 30 años y por dos milésimas. Fue la célebre victoria del estadounidense David Wottle sobre el ruso Evgeni Arzanov en la final olímpica de los 800 metros. Como entonces, hubo largas deliberaciones y la sensación de que no era posible deshacer el nudo de la foto. Pero hubo un ganador entonces y lo hubo ayer: Baala.

14 Foto-finish en: http://catedu.es/matematicas_mundo/DEPORTES/deportes_milesimas.htm




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Actividad 20: Puntuaciones del golf. Deporte: Golf.

Nivel: 1.º y 2.º ESO. Tipo: Ejemplo.

Contenidos: números enteros negativos.

Hay un deporte donde los resultados de los mejores jugadores se expresan con números negativos: es el golf. Se llama “par” a la cantidad fijada de golpes para embocar la bola en un hoyo. Hay hoyos de par 3, 4 o 5. Por ejemplo: Si hay par 3 y el jugador mete la bola en 2 golpes, su puntuación en ese hoyo es –1; pero si lo consigue en 5 golpes, será +2. Tras el recorrido completo por todos los hoyos del campo, los buenos jugadores habrán conseguido números negativos cuyas sumas, ordenadas en orden creciente darán la clasificación. Los malos jugadores estarán por encima de los pares y tendrán números positivos.

Actividad 21: Puntuaciones del golf.15 Deporte: Golf.


Contenidos: números enteros negativos; sistemas de ecuaciones.

El objetivo del juego del golf es obtener la puntuación más negativa posible. La puntuación obtenida en cada hoyo jugado recibe estos nombres:

doble-bogey

bogey Par birdie eagle doble-eagle

+2 +1 0 -1 -2 -3

Un jugador, después de jugar 18 hoyos, ha conseguido en cada uno de ellos o bien un doble-eagle o un doble-bogey. Su puntuación total es -24. ¿Cuántos hoyos hizo de cada clase?

Solución: 12 doble-eagles y 6 doble-bogeys.

Actividad 22: Vuelta rápida. Deporte: Automovilismo.

Nivel: 1.º y 2.º ESO. Tipo: Ejercicio.

Contenidos: proporcionalidad inversa; regla de tres.

El récord del Circuito de Jerez lo tiene el alemán Michael Schumacher, que en 2004 con un Ferrari logró dar una vuelta en 75,650 segundos, a una velocidad media de 210,72 km/h. En 2009, Fernando Alonso, al volante de un Renault, cubrió la vuelta más rápida en 78,343 segundos. ¿Cuál fue su velocidad media?

Solución: 203,48 km/h. Es un ejercicio convencional, pero no lo es el manejar datos reales con nombres propios.

8. Clasificaciones

Una vez conocidos los resultados de las competiciones, cuando llega el momento de establecer la clasificación final, los criterios cambian según deportes y se producen situaciones que invitan al

15 Problema tomado del profesor Pedro Latorre.



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estudio numérico. Conocer las repercusiones de adoptar un criterio u otro constituye un buen aprendizaje para que el alumnado no reciba pasivamente las cifras en otros contextos.

Actividad 23: Los puntos de la Liga. Deporte: Fútbol.

Nivel: 6.º Primaria y 1.º ESO. Tipo: Ejercicio.

Contenidos: operaciones aritméticas.

Tradicionalmente, en las ligas de fútbol, cada victoria de un equipo le hacía sumar 2 puntos y cada empate 1 punto. A partir de 1995, con objeto de estimular un juego más ofensivo, se premia la victoria con 3 puntos. Esta norma, ¿cambia la clasificación? Estúdialo con los 8 primeros clasificados de la Liga de primera División 2010-11:

Pos. Equipos J G E P GF GC +/– Pts 1 FC Barcelona 38 30 6 2 95 21 74 96 2 Real Madrid 38 29 5 4 102 33 69 92 3 Valencia 38 21 8 9 64 44 20 71 4 Villarreal 38 18 8 12 54 44 10 62 5 Sevilla 38 17 7 14 62 61 1 58 6 Athletic Club 38 18 4 16 59 55 4 58 7 Atl. Madrid 38 17 7 14 62 53 9 58 8 Espanyol 38 15 4 19 46 55 -9 49

Solución: Con el sistema antiguo: 1.º FC Barcelona 66; 2.º Real Madrid 63; 3.º Valencia 50; 4.º Villarreal 44; 5.º Sevilla 41; 6.º Atl. Madrid 41; 7.º Athletic Club 40; 8.º Espanyol 34. Sólo habría un cambio entre las posiciones 6 y 7, que están muy igualadas, siendo en esos casos donde más puede afectar el cambio de sistema.

Actividad 24: Ranking NBA. Deporte: Baloncesto.


Contenidos: porcentajes; su utilidad y adecuación según los casos; lectura comprensiva.

El 18/03/2009, el diario Hoy de Granada publicaba:

Calderón se asoma a la historia. Al base extremeño le queda un mes de competición para desbancar a Murphy y dejar su huella en la NBA con el mejor registro en porcentaje de tiros libres.

En uno de los múltiples recovecos que ofrece la web de la NBA16, aparece una especie de enciclopedia con los registros más importantes en la historia de la liga más famosa del mundo. Un extremeño de Villanueva de la Serena puede ser parte de esa mítica lista. José Manuel Calderón se acerca al récord de porcentaje en tiros libres, un récord que ostenta Calvin Murphy desde 1980 con un 95,8%, algo que parecía inalcanzable hasta que llegó nuestro paisano y empezó a meter tantos tiros desde los 4,60 m. que casi bate la marca de Williams de 97 consecutivos. Al final se quedó en 87, quizás impresionado por la bola de nieve mediática que se iba generando conforme se asomaba a la cifra.

16 http://www.nba.com/history/records/regular_freethrows.html




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Calderón ya ha salvado la condición de haber tenido que lanzar al menos 125 tiros para dar validez a su marca, un requisito que sirve para no contabilizar a quienes apenas suman lanzamientos. Estos son los datos de los primeros clasificados en el ránking de lanzamientos libres:

Puesto Jugador Tiros libres Aciertos % 1 José Calderón 130 127 97,7 2 Ray Allen 223 213 95,5 3 Steve Nash 162 152 93,8 4 Mo Williams 194 181 93,3

Lee con atención la noticia anterior y después responde:

a) ¿Qué significan las siglas NBA? ¿Hay algo similar en España? b) ¿Qué sentido tiene en el artículo la expresión “bola de nieve mediática”? c) Siendo que Calderón ha encestado 127 tiros libres y que Steve Nash ha encestado 152, ¿por

qué está Calderón por delante en la clasificación? d) Inventa un ejemplo para explicar por qué se exige haber lanzado al menos 125 tiros para

entrar en esa estadística. e) ¿Está totalmente claro que Calderón fuera en ese momento mejor lanzador de tiros libres

que Ray Allen?

Actividad 25: Pruebas combinadas. Deporte: Atletismo.


Contenidos: búsquedas e interpretación de datos en tablas numéricas.

Los atletas más completos son los de Pruebas Combinadas. En el Decathlon masculino, realizan en dos jornadas y por este orden: 100 m, longitud, peso, altura, 400 m, 110 m vallas, disco, pértiga, jabalina y 1.500 m. En el Heptathlon femenino: 100 m vallas, altura, peso, 200 m, longitud, jabalina y 800 m.

Para hacer la clasificación, teniendo en cuenta las marcas conseguidas en pruebas tan dispares, la IAFF publica unas tablas17 que puntúan las marcas de cada prueba. Se suman los puntos conseguidos por cada atleta en todas las pruebas y esa suma da la clasificación final.

En el Campeonato de España 2011, celebrado en Málaga, a falta de la carrera de 800 m, las primeras posiciones del Heptathlon femenino estaban así:

1.ª Laura Ginés (Simply Scorpio 71) 4.822 ptos; 2.ª Estefanía Fortes (A.A. Catalunya) 4.765 ptos; 3.ª Grace Clemens (fuera de concurso) 4.516 ptos.

La medalla de oro se iba a decidir entre Laura y Estefanía en un duro 800 m, carrera en la que las dos atletas habitualmente realizan tiempos similares y cercanos a 2 min 24 s. Ambas usaron la tabla IAAF para calcular qué diferencia en tiempo debía conseguir Estefanía sobre Laura para arrebatarle el título. Haz tú también ese cálculo. Saberlo era de máxima importancia para cada atleta, que adaptaría su táctica de carrera a ese dato. Por cierto, aunque Estefanía ganó el 800 m, no lo hizo con la ventaja que necesitaba y Laura se proclamó Campeona de España.

17 http://www.iaaf.org/mm/Document/Competitions/TechnicalArea/ScoringOutdoor2008_742.pdf



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Solución: Para compensar 57 puntos, buscando en la zona de tiempos de 2,24 para 800 m femeninos, vemos que se necesita una diferencia de 4 segundos.

Actividad 26: Sistemas de puntuación. Deporte: Varios.

Nivel: 6.º Primaria y 1.º ESO. Tipo: Problema.

Contenidos: sentido numérico.

¿Cómo valorar a alguien a partir de varios números o calificaciones? Hay varias formas de hacerlo… En clase, si tienes 6 notas de exámenes, lo habitual es que se promedien las 6. En un concurso de salto de longitud con 6 saltos, la marca que finalmente cuenta es la mejor de todos ellos. En un campeonato de Gimnasia Rítmica hay varios jueces que valoran la ejecución de un ejercicio hasta 10 puntos, se prescinde de las puntuaciones mejor y peor y se promedian las restantes.

Analiza y valora en cada uno de los tres casos anteriores por qué el método que se sigue es el más adecuado y qué podría pasar si se puntuaran con los otros métodos.

Actividad 27: Medallero olímpico. Deporte: Varios.


Contenidos: números índices; porcentajes; ecuaciones.

Los Juegos Olímpicos, tanto en la Antigüedad como desde su recuperación por el Barón Pierre de Coubertin en 1896, siempre premiaron a los atletas más destacados a título individual. Pero en los últimos años ha tomado gran fuerza una clasificación oficiosa de países según el número de medallas conseguido, como expresión del uso político y nacionalista del deporte. Ahora es común ver en la prensa el medallero por países. Pero, obviamente, todos los países no tienen la misma población ni por lo tanto la misma cantera para obtener deportistas de élite.

Vamos a añadir al número total de medallas conseguido en los últimos Juegos (Pekín 2008) la población de cada país y luego sacaremos conclusiones:

País Total medallas Población Estados Unidos 110 313.085.000

China 100 1.347.565.000 Rusia 72 142.836.000

Reino Unido 47 62.417.000 Australia 46 22.606.000 Alemania 41 82.163.000 Francia 40 63.126.000

Corea del Sur 31 48.391.000 Italia 28 60.789.000

Ucrania 27 45.190.000 Japón 25 126.497.000 Cuba 24 11.254.000




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Comparemos Estados Unidos, líder de esta clasificación, con la pequeña Cuba. EE. UU. consigue un número de medallas 5 veces mayor, pero es que su población es casi 28 veces superior. O comparemos Reino Unido y Australia, dos países “empatados” en cuanto a medallas. El empate no es tal si se considera que la población del primer país casi triplica a la del segundo.

a) Te proponemos que elabores algún índice que relacione el número de medallas con la población y que después rehagas el medallero de acuerdo con los valores de ese índice. b) Sabiendo que en Pekín 2008 participaron 204 países y se entregaron 958 medallas, calcula qué porcentaje de medallas fue acaparado por los 12 primeros países del medallero. c) Considerando a los países restantes como “Resto del Mundo” y sabiendo que la población mundial se aproxima a los 7.000 millones de habitantes, sitúa al resto del Mundo en el segundo medallero, teniendo en cuenta su población. d) Ucrania obtuvo dos oros más que platas y triple número de bronces que de plata. ¿Cuántas medallas obtuvo de cada tipo?

Soluciones: a) 1 Cuba; 2 Australia; 3 Reino Unido; 4 Corea del Sur; 5 Francia; 6 Ucrania; 7 Rusia; 8 Alemania; 9 Italia; 10 EE.UU.; 11 Japón; 12 China. b) Ganaron el 60,65% de las medallas. c) El Resto del Mundo ocuparía la posición 11.ª de ese medallero. d) 7 oros; 5 platas; 15 bronces.

Actividad 28: Sprinters naturales. Deporte: Atletismo.


Contenidos: proporcionalidad directa; regla de tres.

El “hombre más rápido” según la IAAF (Federación Internacional de Atletismo), poseedor del Récord del Mundo de 100 m es el jamaicano Usain Bolt que en el Campeonato del Mundo de Berlín 2009 consiguió 9,58 s. Pero la velocidad más alta medida a un atleta fue la de Bob Hayes (EE. UU.) en la última posta de un relevo 4 x 100 m, cuando alcanzó los 41,66 km/h. Sin embargo, esto no se pudo considerar como récord de los 100 m porque en esta carrera se sale de parado y el relevo se toma en salida lanzada.

Fuera de los estadios, los antropólogos han registrado una velocidad aún mayor alcanzada por un humano. En 1963, durante una estancia en el Sahara, el explorador francés Jean Claude Armen aseguró haber seguido a un supuesto niño-gacela con un jeep a 54 km/h. A lo largo de la historia se han registrado medio centenar de casos de niños salvajes.

Pero los atletas sólo podrían competir con algunos animales hasta los 200 m. A partir de los 400 m son dos o tres veces más lentos que la mayoría de los mamíferos. Este es el ranking de algunos sprinters en el reino animal:

1.º Guepardo (115 km/h); 2.º Antílope americano (97 km/h); 3.º Caballo 69,6 km/h; 4.º Galgo (67 km/h); 5.º Liebre (64 km/h); 6.º Lobo de Mongolia (58 km/h); 7.º Gorila (48 km/h).

a) Calcula la velocidad (km/h) de Usain Bolt en su récord. b) Calcula el tiempo de los 100 m. de Bob Hayes en su relevo prodigioso. c) Transforma el anterior ranking de velocidades de animales en otro ranking de los tiempos de dichos animales en 100 m.



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Soluciones: a) 37,578 km/h. b) 8,64 s. c) 1.º Guepardo 3,13 s; 2.º Antílope americano 3,71 s; 3.º Caballo 5,17 s; 4.º Galgo 5,37 s; 5.º Liebre 5,63 s; 6.º Lobo de Mongolia 6,21 s; 7.º Gorila 7,5 s.

Las anteriores actividades no son de alto vuelo matemático, ni lo pretenden. Son actividades para todo el alumnado, aplicables (y en su mayoría ya aplicadas) en clases reales con estudiantes sin seleccionar. Se ofrecen como unos elementos más, entre los muchos posibles, que pueden contribuir a la construcción de una imagen próxima y amena del conocimiento matemático… a través del deporte, como en cualquier otro contexto.

Bibliografía

Barrow, J. (2011) Maths and Sports. Fora TV [video en línea]. Recuperado el 31 de agosto de 2011 de http://fora.tv/2010/03/09/Professor_John_Barrow_Math_and_Sports Gorria, C. (2006). Las Matemáticas en el deporte. Divulgamat [en línea]. Recuperado el 31 de agosto

de 2011 de http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/.../PG00-01-gorria.pdf Web Matemáticas en tu mundo: http://catedu.es/matematicas_mundo Web Maths and Sport: Countdown to the Games: http://sport.maths.org/content/

José María Sorando Muzás, Catedrático de Matemáticas en el IES Elaios de Zaragoza. Sociedad Aragonesa “Pedro Sánchez Ciruelo” de Profesores de Matemáticas. Temas de interés: didáctica y divulgación. Algunas publicaciones, entre otras: La ciudad y las matemáticas, cuaderno del Día Escolar de las Matemáticas 2009. Artículos de la sección de cine CineMATEca de la Revista Suma. Web: http://catedu.es/matematicas_mundo. Email: [email protected]



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Educación matemática en contexto: de 3 a 6 años

Ángel Alsina

EDITORIAL HORSORI

ISBN: 9788496108950

222 páginas

Las actividades que provienen de la práctica que se presentan en este libro no transmiten necesariamente un conocimiento elaborado por otro, sino que son un andamio para construir o reconstruir el propio conocimiento (Alsina, 2011, p. 13).

La frase textual con la que comienzo esta reseña permite al lector hacerse una idea bastante apropiada sobre el contenido de este libro de Educación matemática en contexto, que se encuentra repleto de muestras de aplicaciones prácticas innovadoras, con niñas y niños de segundo ciclo de Educación Infantil.

Para introducir al lector en el tema, el autor expone el enfoque de la Educación Matemática Realista (Freudenthal, 1991) y explica lo que se entenderá por contexto y cuáles serían las razones para llevar a cabo una buena Educación matemática en contexto. Asimismo, realiza una interesante y singular analogía entre la Pirámide de la Alimentación y la Pirámide de la Educación Matemática (Alsina, 2010). En esta última se incluyen, en los distintos pisos o niveles, los materiales y recursos

Educación matemática en contexto: de 3 a 6 años. Ángel Alsina Reseña: A. Bosch Saldaña


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didácticos usualmente empleados en Educación Infantil, de modo que, mientras en la base aparecen las situaciones cotidianas, que habrían de consumirse diariamente, en la cúspide se sitúa, en solitario, el “manido” y, en ocasiones, casi “adorado”, libro de texto, que sin embargo habría que consumir sólo de vez en cuando.

Como el propio autor indica, el libro se estructura en cinco capítulos: Los cuatro primeros atienden a los distintos bloques de contenidos matemáticos que se trabajan en las primeras edades, esto es, Razonamiento lógico-matemático, Numeración y cálculo, Geometría y Medida, mientras que el quinto presenta un enfoque globalizado de la Educación Matemática en Educación Infantil.

Los títulos de los cuatro primeros capítulos mantienen un paralelismo con los bloques de contenido tradicionales, pero introducen una terminología novedosa y original, al tiempo que tratan de enfatizar las estructuras matemáticas que se ponen en juego cuando se trabaja con cualidades sensoriales, cantidades, posiciones y formas, y atributos mensurables, respectivamente. Obsérvese cómo se pone de manifiesto esta intención en la tabla siguiente, sita en la página 22 del libro.

Título del capítulo Bloque de contenido

matemático

Objeto matemático con el que se trabaja

Relaciones y cambios cualitativos

Razonamiento lógico-

matemático

Cualidades sensoriales: color, textura, etc.

Relaciones y cambios cuantitativos

Numeración y cálculo

Cantidades: continuas (cuantificadores) y discretas (numerales)

Relaciones y cambios de posiciones y formas

Geometría

Posiciones. Formas: líneas, figuras planas y cuerpos geométricos

Relaciones y cambios entre atributos mensurables

Medida

Atributos mensurables o magnitudes: longitud, masa, capacidad, etc.

Al inicio de cada uno de estos capítulos, dedicados a los bloques de contenido, el autor propone y expone, como referencia internacional, los últimos estándares editados por el National Council of Teachers of Mathematics (sociedad de profesores norteamericana, referente mundial en Educación Matemática). En el grueso del capítulo, el autor analiza los conocimientos, tanto disciplinares como didácticos, que considera imprescindibles para el propio desarrollo profesional, lo que demuestra el interés de este docente universitario comprometido con la formación, tanto inicial como permanente, del profesorado de Educación Infantil. Y como cierre, el autor ofrece una serie de criterios de evaluación para cada bloque de contenidos, listado que en muchos casos mejora y completa la perspectiva que ofrecen los documentos curriculares oficiales al respecto.

Una de las excelencias del libro, a mi entender, es la profunda reflexión que realiza el autor sobre el ingente tiempo que se dedica, en las aulas de Educación Infantil, a numerosas enseñanzas mecánicas, que, en ocasiones, se encuentran en disonancia con la capacidad motriz del alumnado infantil, y que suelen dificultar que los niños y niñas puedan realizar otro tipo de aprendizajes, más relevantes y significativos para ellos. Dicha reflexión la realiza a partir de la exposición breve de algunos resultados de investigación sobre cada tópico, y entra de lleno mediante el enunciado de interesantes preguntas que animan al lector a replantearse ciertas “inercias educativas” que se

Educación matemática en contexto: de 3 a 6 años. Ángel Alsina Reseña: A. Bosch Saldaña



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producen en nuestro país, y que dan fe de una realidad alejada de la que propugnan como deseable las y los investigadores actuales.

Por ejemplo, en lo que se refiere a la enseñanza de la grafía de los números, el autor plantea las cuestiones siguientes: ¿La Educación Infantil es la etapa óptima para que los niños y niñas aprendan la representación notacional de las cantidades, es decir, los números escritos?, ¿qué tiempo dedicamos a enseñar la representación notacional de las cantidades?, ¿qué dejamos de hacer cuando invertimos demasiado tiempo en la escritura de los números?, ¿aprender los números significa saberlos escribir? (Alsina, 2011, p. 64)

Otra de las bondades del libro, a mi juicio, es la gran cantidad de propuestas didácticas concretas, implementadas en varios centros educativos, de distintos puntos de la geografía española, experiencias que el autor describe de forma exhaustiva y amena. Y vienen siempre acompañadas de simpáticas fotos a color en las que se puede observar a niñas y niños de 2º ciclo de Educación infantil, en el transcurso de las actividades llevadas a cabo en Girona, Sevilla, Pamplona o Lleida. Ello corrobora el dilatado y fructífero trabajo que el Profesor Alsina viene realizando con maestras y maestros en activo, en toda España.

Además, destaco especialmente, como docente de Pensamiento Geométrico en Educación Infantil, la visión dinámica que ofrece Àngel Alsina sobre la Geometría, al considerar el movimiento como actividad básica para interiorizar conceptos geométricos, máxima que comparto y rubrico firmemente en clase.

Por buscar un punto oscuro, en esta reseña bibliográfica, comentaré que lo que el autor denomina definiciones accesibles de distintas nociones matemáticas y didáctico-matemáticas, reflejan un esfuerzo serio de conceptualización de las mismas y pueden resultar muy útiles desde un punto de vista divulgativo o pedagógico, pero considero que en ocasiones distan de poder ser consideradas como tales definiciones, desde un punto de vista estricta y científicamente riguroso.

De cualquier modo, recomiendo este interesante y completo manual, cargado de ejemplos de buenas prácticas en Educación Infantil, tanto a estudiantes de “Magisterio” como a maestras y maestros titulados, bien los que ya ejercen, bien los que lo harán próximamente. Asimismo, lo recomiendo a las profesoras y profesores universitarios de Educación Matemática y/o Educación Infantil.

Y lo hago sinceramente convencida de que el libro no defraudará a ninguno de sus potenciales lectores.

Bibliografía

Alsina, À. (2010). La “pirámide de la educación matemática”. Una herramienta para ayudar a desarrollar la competencia matemática. Aula de Innovación Educativa, 189, 12-16.

Alsina, À. (2011). Educación matemática en contexto: de 3 a 6 años. Cuadernos de educación nº 62. Barcelona: Horsori.

Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Asunción Bosch Saldaña (Universidad de Almería)



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Los números primos: un largo camino al infinito

Enrique Gracián

EDITORIAL RBA

ISBN: 9788498678185

144 páginas

Los números primos han ejercido una gran fascinación en los matemáticos de todos los tiempos. Aunque se trata de un concepto fácil de entender, que incluso se enseña a edades tempranas, las grandes preguntas sobre cómo están distribuidos entre los números enteros permanecen sin respuesta hoy en día, a pesar del esfuerzo de eminentes matemáticos a lo largo de la historia.

En este libro, el autor tiene como objetivo dar una visión de la distribución de los números primos asequible para un amplio público. Así, se van analizando algunas de las propiedades de estos números, que van desde la demostración de su infinitud, proporcionada por Euclides, hasta el teorema del número primo. En el camino, se describe la célebre criba de Eratóstenes, se prueba el teorema fundamental de la aritmética, se habla de distintos tipos de números primos, como los de Mersenne y Fermat, los primos gemelos y su no probada infinitud y se enuncia la (tampoco probada aún) conjetura de Goldbach. Como colofón, el último capítulo está dedicado a explicar el papel de los números primos en criptografía y a discutir otros tipos de números relacionados con los primos como los pseudoprimos y los números de Carmichael. Se incluye además en este capítulo la interesante criba geométrica de Matiyasevich y Stechkin.

Los números primos: un largo camino al infinito. Enrique Gracián Reseña: Jorge García Melián

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La exposición es en muchos puntos lúcida. Sirva como ejemplo el Capítulo 4, donde se introducen los logaritmos y su conexión con los números primos, cuya principal muestra es el teorema del número primo. Este teorema, uno de los primeros grandes logros en la llamada actualmente Teoría analítica de números, establece que, si )(xπ denota la cantidad de números primos menores o iguales que x, entonces

x

xx

log~)(π

cuando x tiende a infinito (en el sentido de que el cociente entre las cantidades que aparecen a ambos lados del signo ~ converge a uno cuando x tiende a infinito). Conjeturado por Legendre y Gauss, fue probado independientemente por Hadamard y de la Vallée-Poussin en 1896, aunque ilustres matemáticos como Riemann o Tchebysheff también contribuyeron sin éxito a su demostración. Ésta se basa en la llamada función zeta de Riemann, dada para números complejos s con parte real mayor que uno por

∑∞

=

=1

1)(

nsn

sζ .

Esta función, así como su conexión con los números primos (discutida en el capítulo 6 del presente libro), fue introducida por Euler para valores reales de s y considerada como una función de variable compleja por Riemann en su famoso artículo de 1859. Aunque se conocen muchísimas de sus propiedades, la conocida como hipótesis de Riemann permanece aún sin probar, y es uno de los grandes retos de la Matemática actual. (Se recomienda al lector interesado en este tema la lectura del libro de Marcus du Sautoy “La música de los números primos”, ya reseñado en el número 78 de esta revista).

Personalmente haría una pequeña crítica a los contenidos del libro: hay algunos resultados destacables en la teoría elemental de los números primos de los que no se habla, como el conocido postulado de Bertrand (enunciado por Bertrand en 1845 y probado por Tchebysheff en 1850) que afirma que dado un número entero positivo n, siempre existe un primo en el intervalo (n,2n). Otra de las ausencias significativas en el texto es el insigne matemático alemán Dirichlet, uno de los padres de la Teoría analítica de números, primero en probar el celebérrimo teorema que hoy lleva su nombre: en una progresión aritmética donde el primer término y la diferencia son primos entre sí existen infinitos números primos. En mi opinión, un resultado tan elegante y fácil de enunciar debe incluirse en cualquier texto divulgativo sobre los números primos.

En conclusión, el libro es ameno y fácil de leer para un público con conocimientos elementales de matemáticas. Quizás el lector pueda sentirse distraído por frecuentes disquisiciones, algunas de ellas de corte filosófico, aunque otras ciertamente informativas (como la relacionada con la biblioteca de Alejandría), pero sin duda las explicaciones son siempre claras y concisas, lo que hace que el libro sea recomendable como lectura introductoria a las propiedades de los números primos para alumnos de enseñanza secundaria.

Jorge García Melián (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de La Laguna)



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Congresos

The 12 International Congress on

Mathematical Education

Fecha: 8-15 de julio del 2012 Organiza: International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) Lugar: COEX, Seul, Korea. Información: http://www.uv.es/puigl/tsg09icme12.html

26 Reunión Latinoamericana de

Matemática Educativa

(Relme 26) Fecha: 23 al 27 de julio de 2012 Convoca: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Lugar: Ouro Preto. Mina Gerais. Brasil. Información: www.clame.org.mx

Conferencia Latinoamericana Geogebra

Fecha: 2 al 4 de agosto de 2012 Convoca: Instituto Geogebra de Medellín. Lugar: Medellín. Colombia Información: http://geogebra.itm.edu.co/index.html

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X Conferencia Argentina de Educación

Matemática

Fecha: 6, 7 y 8 de septiembre de 2012. Lugar: Buenos Aires. Argentina. Información: http://www.soarem.org.ar/XCAREM_Inicio.htm

Fecha: 19 al 21 de septiembre de 2012 Convoca: La sociedad de educación matemática Uruguaya. Información: http://www.semur.edu.uy/curem/home.php

XVI Simposio de la Sociedad Española de Investigación y Educación Matemática

Fecha: 20 al 22 de septiembre del 2012 Lugar: Jaén, España Información: http://www.seiem.es/


de Profesores de Matemáticas Vol. 79 marzo de 2012

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Fecha: 2 al 5 de julio del 2013 Lugar: Palma, España. Convoca: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas. Organiza: Societat Balear de Matemàtiques Información: http://xvi.jaem.es/jaem/presentacion-de-las-xvi-jaem-palma.html

Fecha: 16 al 20 de septiembre del 2013 Lugar: Montevideo, Uruguay. Información: http://www.cibem7.semur.edu.uy/home.php


http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 80, julio de 2012, página 231

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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

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autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

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