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LA INTEGRAL DEFINIDA

NAUDY HERNANDEZ UNIVERSIDAD FERMIN TORO

1

Derivada Recta tangente

Integral Área

Entendemos:

Área de una función f : región comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

2

3

Pensemos en como obtener el área bajo la función f

f(x)

Sabemos calcular el área de polígonos…

4

Podríamos …

x0 x1x

f(x)

x2 x3 x4

Nosotros construiremos rectangulos!!!

5

En realidad…

Este es un problema muyantiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los quelo resuelven).

Idea: Construirrectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos

rectangulos.

Sea [a,b] un intervalo cerrado. Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos

no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:

x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn

Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]

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Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que:

Δx1 = x1 – x0Δx2 = x2 – x1…Δxi = xi – xi-1…Δxn-1 = xn-1 – xn-2Δxn = xn – xn-1

Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectangulo.

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A la longitud del sub-intervalo (o sub-

intervalos) más largo de la partición P se

llama norma de la partición y se le denota

||P||.

Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

8

Ejemplo:

Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

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Pensar en una partición para [a,b] Geométrica:

a, ar, ar2,… arm, donde r 0

Aritmética:

a, a+d, a+2d, … a+md

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PARTICIÓN GEOMÉTRICA

Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a

Se tiene: xi= x0*rn

Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .

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PARTICIÓN ARITMÉTICA

Se define d=(b-a)/n

Se tiene: xi= x0+id

Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.

Por esto, denotamos Δx=d.

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Pensemos en la altura de cada rectángulo…

Sea f : [a,b] una función acotada

P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b]

Para i = 1, . . . ,n denotamos:

mi = inf { f (x) : x [xi-1 , xi ] }

Mi = sup { f (x) : x [xi-1 , xi ] }

Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

13

14

DEF:SUMA INFERIOR de f asociada a P

i

n

1i

iΔxm),( Pfs

x1x2 … xn-1 b=xn

a=x0

f

15

DEF:SUMA SUPERIOR de f asociada a P

i

n

1i

iΔxM),( PfS

x1x2 … xn-1 b=xn

a=x0

f

Ejemplo:

Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2

Usando una partición con n=4.

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Proposición:

Para cada partición, se verifica:

s(f,P) ≤ S(f,P)

Dem:

mi ≤ Mi mi Δxi ≤ Mi Δxi

mi Δxi ≤ Mi Δxi

s(f,P) ≤ S(f,P)

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Proposición:

P1 P2 s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)

Dem:

Pensar en agregar puntos (de a uno a la partición P1).

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Corolario:

Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces:

m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)

Además, si P= P1 P2 , entonces:

s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

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DEF:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

b]}[a, de sparticione P:P), sup{s(f)(

b

a

dxxf

20

DEF:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

b

a

dxxf b]}[a, sparticione P:P), inf{S(f)(

21

OBS:

b

a

dxxf )(

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

22

DEF:

f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:

Se escribe:

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b

a

dxxf )(

23

Pensar en…

Alguna función que NO sea Riemannintegrable.

24

Ejemplo:

Calcular la integral de Riemann para f(x)=x en [a,b].

Considerando las particiones aritméticas:

Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n}

Se tiene que:

25

n

ababPfs n

2

)(

2),(

222

n

ababPfS n

2

)(

2),(

222

Pensar…

¿qué debe suceder para que …

??????26

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

Teorema

27

),(lim),(lim0||||0||||

nP

nP

PfSPfsnn

Si la norma de la partición Pn se aproxime a cero, la suma inferior y superior coinciden.

Esto es

Notar que es equivalente a decir:

),(lim),(lim||

nn

nn

PfSPfs

OBS:

28

Si hacemos que la norma de la partición Pn se aproxime a cero.

Entonces, la suma de Riemann se aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.

n = 3 rectángulos

Veamos esto geometricamente…

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

La integral definida plantea el límite de una

suma de áreas.

b

a

dxxfÁrea )(

Interpretación …

Teorema Considere una sucesión de particiones Pn de

un intervalo [a,b] tales que:

y,

Entonces, f es Riemann integrable,

0||||lim Pnn

0)},(),({lim PnfsPnfSn

b

ann

dxxfPnfsPnfS )(),(lim),(lim

36

Ejercicios:

1. Construir 10 sub-intervalos para [0,1] usando la partición:

2. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo. Encontrar las sumas de riemann.

37

Definición:

Sea f : [a,b] una función acotada

P una partición de [a,b]

Una SUMA DE RIEMANN para la función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

38

],[;Δx)(),,( 1i

n

1i

i iiii xxfPfS

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En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo.

x1x2 … xn-1 b=xn

a=x0

f

0

y

x

y = f(x)

x0=a xn=bx1 x2 xn-1xixi-1

• • • • • • • • • •

Δ1x Δ2x Δix ΔnxΔn-1x… …

•

••

•

•

••

•

••

w1 w2 wi wn-1 wn

Otra grafica…

Ejemplo:

Calcular la suma de riemann en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2

Usando una partición con n=4.

41

OBS:

Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann.

Escribimos:

Para denotar que:

42

LPfS in

),,(lim

|),,(|||||..,0,0 LPfSPqt i

Propiedades:

Sean f,g : [a,b] acotadas e integrables.

Se cumple:

43

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

44

Rdxxfdxxf

b

a

b

a

,)()(

0)(0)(

b

a

dxxfxf

b

a

b

a

dxxgdxxfbaxxgxf )()(],[),()(

b

a

b

a

dxxfdxxf |)(|)(

Proposición(Aditividad):

Si f : [a,b] es acotada e integrable, y para todo c [a , b] .

Se cumple:

f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b].

Además se verifica el reciproco.

45

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Ejercicio

Sea f una función continua en 1, 5 , si:

5

1

3

17)(4)( dxxfydxxf

Determine el valor de:

5

3)( dxxf

Definición:

Sea f : [a,b] acotada e integrable.

Definimos:

47

0)(

a

a

dxxf

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

Teorema:

S f : [a,b] es monótona entonces f es integrable.

48

Observación

Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos.

Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones

elementales como por ejemplo ex , lnx,arctanx,etc.

49

Teorema:

S f : [a,b] es continua entonces f es integrable.

50

Teorema:

Si f : [a,b] es continua en [a , b] excepto

en x0 , x1 , x2 , …, xn

Entonces, f es integrable en [a,b].

Además, se verifica:

51

o

o n

x

a

x

x

b

x

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxf1

)(...)()()(