UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ANALISIS NUMERICO

NAUDY LOPEZ

Eliminación de Gauss-Jordan

En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

Índice

1 Antecedentes 2 Análisis de Complejidad 3 Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan 4 Ejemplo 5 Forma escalonada y escalonada reducida 6 Otras aplicaciones

o 6.1 Encontrando la inversa de una matriz 7 Referencias 8 Véase también

Antecedentes

El método de eliminación de Gauss aparece en el capítulo ocho del importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, con dos a cinco ecuaciones. La primera referencia al libro por este título data desde 179 dC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan temprano como aproximadamente alrededor de 150 aC.1 2 Fue comentado por Liu Hui en el siglo tercero.

Análisis de Complejidad

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el número de operaciones requeridas es n3 si el tamaño de la matriz es n × n.

Algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro

que no lo tenga3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando

múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz

restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma de escalón)

5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida

Ejemplo

Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:

Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.

En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:

Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: , es decir, que no tiene solución.

Forma escalonada y escalonada reducida

Artículo principal: Matriz escalonada.

Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

1. Todas las filas 1 están en la parte inferior de la matriz.2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, éste es llamado

"pivote"; éstos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra en la forma reducida de renglón escalón o tan solo en forma escalonada reducida.

1. Todos los elementos delanteros ("pivotes") son iguales a 12. Todos los elementos por encima de los pivotes son nulos.

Cuando una matriz representa a un sistema de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de las componentes, por ejemplo y+z=0). Así la matriz

también es una matriz escalonada.

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

1. Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).

2. En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

Otras aplicaciones

Encontrando la inversa de una matriz

Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:

se construiría

y ahora se realizan las operaciones elementales sobre las filas de la matriz aumentada que sean necesarias para obtener la forma escalonada reducida de la matriz A; sumando tanto a la segunda como a la tercera fila la primera obtenemos

multiplicamos la segunda fila por -1 y la intercambiamos con la primera

ya tenemos el pivote de la primera fila que usamos para hacer ceros debajo

ahora usamos el pivote de la segunda fila

y por último cambiamos de signo la tercera fila y usamos el pivote correspondiente

El proceso ha finalizado porque en la parte izquierda tenemos la forma escalonada reducida de A y puesto que ésta es la matriz identidad, entonces A tiene inversa y su inversa es la matriz que aparece a la derecha, en el lugar que al principio ocupaba la identidad. Cuando la forma escalonada reducida que aparece no es la identidad es que la matriz de partida no tiene inversa.

LA FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY

JUAN CAMILO MUÑOZ CASTELBLANCO

257120

 

 

Resumen

 

La factorización de Cholesky es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales, tenemos la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones, llamada A. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz A admita factorización de Cholesky es que sea simétrica y definida positiva. Si cumple podemos tratar de factorizarla la forma A = L*LT, cuando la tenemos factorizada ya podemos resolver el sistema de ecuaciones.

 Desarrollo

 Sea el sistema de ecuaciones lineales A x = b, donde A es simétrica y definida positiva, entonces el método de Cholesky para la resolución del sistema A x = b está basado en la descomposición de la matriz A como sigue:

donde L es una matriz triangular inferior de orden n, es decir, L tiene la siguiente forma:

Descompuesta de esta forma la matriz A, la resolución del sistema A x = b queda dada por la resolución de dos sistemas triangulares. En efecto,

Si hacemos,

entonces :

el cual resulta un sistema triangular inferior en y, con:

de fácil resolución con:

En forma general, tenemos:

Una vez que se resuelve (1.9), procedemos a resolver el sistema (1.8), que es un sistema triangular superior

Es decir, los valores de    quedan dados por:

De  (1.6) se obtienen las siguientes ecuaciones para el cálculo de los

elementos de la matriz L ( ):

Se mencionó anteriormente que para la aplicación de este método la matriz A debe ser simétrica y definida positiva. A continuación se enuncian ciertos teoremas al respecto.

Observación: Es necesario verificar que ningún elemento de la diagonal principal sea cero.

Factorización QR

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En álgebra lineal, la descomposición o factorización QR de una matriz es una descomposición de la misma como producto de una matriz ortogonal por una

triangular superior. La descomposición QR es la base del algoritmo QR utilizado para el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz.

Índice

1 Definición 2 Cálculo de la descomposición QR

o 2.1 Mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt 2.1.1 Ejemplo

o 2.2 Mediante el uso de reflexiones de Householder 2.2.1 Ejemplo

o 2.3 Mediante rotaciones de Givens 2.3.1 Ejemplo

3 Relación con el determinante

Definición

La descomposición QR de una matriz cuadrada real A es

donde Q es una matriz ortogonal (QTQ = I ) y R es una matriz triangular superior.

Cálculo de la descomposición QR

Mediante el método de ortogonalización de Gram-Schmidt

Recurriendo al método de ortogonalización de Gram-Schmidt, con las columnas de A como los vectores a procesar.

. Entonces

Naturalmente, utilizamos los ais de A para obtener:

Ahora estas ecuaciones pueden ser escritas en forma matricial de esta manera:

 :::::::::

El producto de cada fila con cada columa de las matrices de arriba, nos da la respectiva columna de A con la que comenzamos y, por tanto, dada la matriz A, la hemos factorizado en una matriz ortogonal Q (la matriz de eks), aplicando el proceso de Gram-Schmidt, y la matriz resultante triangular superior es R.

Alternativamente, la matriz puede clacularse de la siguiente manera:

Recordemos que: Entonces, tenemos

Note que y , entonces

.

Ejemplo

Si se considera la descomposición de

Se busca la matriz ortogonal tal que

Por lo que calculamos mediante Gram-Schmidt como sigue:

Por lo tanto, tenemos

Considerando errores numéricos de operar con precisión finita en MATLAB, tenemos que

Mediante el uso de reflexiones de Householder

Una transformación de Householder o reflexión de Householder es una transformación que refleja el espacio con respecto a un plano determinado. Esta propiedad se puede utilizar para realizar la transformación QR de una matriz si tenemos en cuenta que es posible elegir la matriz de Householder de manera que un vector elegido quede con una única componente no nula tras ser transformado (es decir, premultiplicando por la matriz de Householder). Gráficamente, esto significa que es posible reflejar el vector elegido respecto de un plano de forma que el reflejo quede sobre uno de los ejes de la base cartesiana.

La manera de elegir el plano de reflexión y formar la matriz de Householder asociada es el siguiente:

Sea un vector columna arbitrario m-dimensional tal que || || = |α|, donde α es un escalar; (si el algoritmo se implementa utilizando aritmética de coma flotante, entonces α debe adoptar el signo contrario que 1 para evitar pérdida de precisión).

Entonces, siendo el vector (1,0,...,0)T, y ||·|| la norma euclídea, se define:

es un vector unitario perpendicular al plano de reflexión elegido. es una matriz de Householder asociada a dicho plano.

Esta propiedad se puede usar para transformar gradualmente los vectores columna de una matriz A de dimensiones m por n en una matriz triangular superior. En primer lugar se multiplica A con la matriz de Householder Q1 que obtenemos al elegir como vector la primera columna de la matriz. Esto proporciona una matriz QA con ceros en la primera columna (excepto el elemento de la primera fila).

el procedimiento se puede repetir para A′ (que se obtiene de A eliminando la primera fila y columna), obteniendo así una matriz de Householder Q′2. Hay que tener en cuenta que Q′2 es menor que Q1. Para conseguir que esta matriz opere con Q1A en lugar de A′ es necesario expandirla hacia arriba a la izquierda, completando con un uno en la diagonal, o en general:

Tras repetir el proceso veces, donde ,

es una matriz triangular superior. De forma que tomando

es una descomposición QR de la matriz .

Este método tiene una estabilidad numérica mayor que la del método de Gram-Schmidt descrito arriba.

Una pequeña variación de este método se utiliza para obtener matrices semejantes con la forma de Hessenberg, muy útiles en el cálculo de autovalores por acelerar la convergencia del algoritmo QR reduciendo así enormemente su coste computacional.

Ejemplo

Vamos a calcular la descomposición de la matriz

En primer lugar necesitamos encontrar una reflexión que transforme la primera

columna de la matriz A, vector , en

usando la expresión,

y

en nuestro caso :

y

Por lo tanto

y , entonces

Ahora observamos:

con lo que ya casi tenemos una matriz triangular. Sólo necesitamos hacer cero en el elemento (3,2).

Tomando la submatriz bajo el (1, 1) y aplicando de nuevo el proceso a

Mediante el mismo método que antes obtenemos la matriz de Householder

Finalmente obtenemos

La matriz Q es ortogonal y R es triangular superior, de forma que A = QR es la descomposición QR buscada.

Mediante rotaciones de Givens

Las descomposiciones QR también puden calcularse utilizando una serie de rotaciones de Givens. Cada rotación anula (hace cero) un elemento en la subdiagonal de la matriz, formando de este modo la matriz R. La concatenación de todas las rotaciones de Givens realizadas, forma la matriz ortogonal Q.

En la práctica, las rotaciones de Givens no se utilizan en la actualidad para construir una matriz completa y realizar un producto de matrices. En su lugar, se utiliza un procedimiento de rotación de Givens, que es equivalente a la multiplicación reducida de matrices de Givens, sin el trabajo extra de manejar los elementos reducidos. El procedimiento de rotación de Givens es útil en situaciones donde sólo pocos elementos fuera de la diagonal necesitan ser anulados y es más fácil de paralelizar que las transformaciones de Householder.

Ejemplo

Calculemos la descomposición de

Primero, necesitamos formar una matriz de rotación tal que hagamos cero el elemento más inferior a la izquierda, . Construimos esta matriz empleando el método de la rotación de Givens y llamamos la matriz resultante .

Rotamos primero el vector , representándolo a lo largo del eje X. Este

vector forma un ángulo . Creamos la matriz ortogonal de rotación de Givens, :

Y el resultado de tiene ahora un cero en el elemento.

Procedemos análogamente con las matrices de Givens y , que hacen cero los elementos subdiagonales y , formando una matriz triangular . La

matriz ortogonal es formada a partir del producto en cadena de todas las

matrices de Givens . Luego tenemos , y la descomposición QR es .

Relación con el determinante

Es posible utilizar la descomposición QR para encontrar el valor absoluto del determinante de una matriz. Suponiendo que una matriz se descompone según

. Entonces se tiene

Puesto que Q es unitaria, . Por tanto,

donde son los valores de la diagonal de R.

METODO DE GAUSS SENDEL

Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las técnicas que se usan en los métodos anteriores para obtener raíces. Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor inicial a  partir del cual, mediante una técnica sistemática  se obtiene una mejor aproximación a la raíz.La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada. Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede a las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente.  Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones diferenciales parciales.

Historia:  Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es llamado de esa manera en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel. El método es similar al método de Jacobi. Es un método indirecto, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón.

Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución.

Finalmente, aunque un sistema no cumpla con la condición de ser diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que sí se cumpla con esta condición mediante un intercambio de renglones.

En que consiste?

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:    

El método de iteración Gauss-Seidel es:     Donde:A=N-P  definimosM=N-1P Yc=N-1bdonde los coeficientes de la matriz N se definen como nij = aij si , nij = 0 sino.

Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que        i= 1, ..., n. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método   

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.El método de Gauss-Seidel proporciona una solución más rápida que Jacobi ya que usa valores recién calculados en la solución de las incógnitas a calcular.

Algoritmo:

¥   Se debe despejar de cada ecuación la variable sobre la diagonal principal.¥   Dar un valor inicial a las incógnitas (generalmente se establecen ceros).

¥    Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para obtener un nuevo valor para la primera incógnita.

¥    Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la siguiente  incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener los nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.

¥    Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas hasta que la solución converja bastante cerca de la solución real, según la tolerancia establecida para el método.

¥ La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal  

¥   Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q