Índice - Ediciones Norma
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Índice Fundamentación general ................................................. 3 Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) ..................... 3 Fundamentación del área de Matemáticas .............10 Planeación ............................................................................11 Sistema de evaluación continua ..................................52 Evaluaciones diagnósticas .............................................. 52 Pruebas Saber........................................................................... 60 Problemas de la semana .................................................76 Lectura crítica ......................................................................92 Autores libro del estudiante Luis Alejandro Fonseca Núñez Anderson Javier Mojica Vargas Sandra Milena Zárate Rincón Autor evaluaciones diagnósticas y pruebas Saber Luis Daniel León Barrera
Transcript of Índice - Ediciones Norma
ÍndiceFundamentación general ................................................. 3Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) ..................... 3Fundamentación del área de Matemáticas .............10Planeación ............................................................................11Sistema de evaluación continua ..................................52
Evaluaciones diagnósticas .............................................. 52Pruebas Saber ........................................................................... 60
Problemas de la semana .................................................76Lectura crítica ......................................................................92
Autores libro del estudianteLuis Alejandro Fonseca NúñezAnderson Javier Mojica Vargas
Sandra Milena Zárate Rincón
Autor evaluaciones diagnósticas y pruebas Saber
Luis Daniel León Barrera
Autores libro del estudiante• Luis Alejandro Fonseca Núñez
(Matemático. Universidad Nacional de Colombia).• Anderson Javier Mojica Vargas
(Maestría en Educación con énfasis en Educación Matemática. Universidad Distrital Francisco José de Caldas).
• Sandra Milena Zárate Rincón(Especialización en Pedagogía para la Formación de Jóvenes y Adultos. CREFAL).
Autor evaluaciones diagnósticas y pruebas Saber• Luis Daniel León Barrera
(Licenciatura en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional).
Director editorialJosé Tomás Henao
Editora jefe del área María Claudia Malaver Fuentes
Editor del libroHenry Alfonso León Torres
Dirección de Centro de DiseñoGloria Esperanza Vásquez Arévalo
Coordinación de arteDiego Alexander Ríos Botina
DiagramaciónMaría Victoria Mora Hernández
David Alzate Sepúlveda
Diseño de la serieDiego Alexander Ríos Botina
Diseño de cubiertaIgnacio Martínez-Villalba
IlustracionesMauricio Restrepo
Iván LizcanoViviana Castañeda
FotografíasArchivo Gráfico Educactiva S. A. S.
© Shutterstock 2018© Getty Images 2018
Adecuación a la equidad de género y diveresidad culturalFernando Carretero Socha
Investigación de campoÁrea de Mercadeo de Educactiva S. A. S.
Guía para docentes Exploradores Matemáticas 10© 2019 Educactiva S. A. S. Avenida El Dorado n.° 90 – 10 Bogotá, Colombia
Impreso por Carvajal Soluciones de Comunicación S. A. S. Impreso en Colombia – Printed in Colombia
Depósito legal. ISBN: 978-958-00-0702-9
Envíe sus comentarios al área de Matemáticas de Norma; [email protected]
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso de la Editorial.
El editor ha realizado una búsqueda minuciosa en la obtención de los derechos de autor necesarios para la realización de los actos de reproducción, distribución y comunicación pública. En caso de existencia de titulares legítimos de derechos pertenecientes a obras no identificadas incluidas en esta obra, y no amparadas por excepción o límite legal alguno, estos pueden contactar al editor a través del correo electrónico [email protected] para su oportuna identificación.
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1. Utiliza las propiedades de los números reales para justificar procedimientos y diferentesrepresentaciones de subconjuntos de ellos. Temas: 1, 2, 3, 4.
Evidencias de aprendizaje• Argumenta la existencia de los números irracionales.
• Utiliza representaciones geométricas de los números irracionales y los ubica en una rectanumérica.
• Describe la propiedad de densidad de los números reales y utiliza estrategias para calcular unnúmero entre otros dos.
2. Utiliza las propiedades algebraicas de equivalencia y de orden de los números reales paracomprender y crear estrategias que permitan compararlos y comparar subconjuntos de ellos (porejemplo, intervalos). Temas: 3, 5.
Evidencias de aprendizaje• Ordena de menor a mayor o viceversa números reales.
• Describe el “efecto’” que tendría realizar operaciones con números reales (positivos, negativos,mayores y menores que 1) sobre la cantidad.
• Utiliza las propiedades de la equivalencia para realizar cálculos con números reales.
Exploradores, el nuevo proyecto pedagógico de Norma para la educación básica primaria, es un aporte a la edu-cación de los niños, que desarrolla una propuesta para aprender a aprender.
Exploradores ofrece un Sistema de Evaluación Continua, tiene en cuenta los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) formulados por el Ministerio de Educación Nacional y es-tructura sus actividades de acuerdo con las matrices esta-blecidas por el ICFES para las pruebas Saber y el Día E.
Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA)
Exploradores Matemáticas es una propuesta acorde con las disposiciones legales que se plantean en los Estándares de Competencias en Matemáticas y los Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA) que se orientan desde el Ministerio de Educación Nacional.
A continuación se presentan los DBA para grado 10.
Fundamentación general
3. Resuelve problemas que involucran el significado de medidas de magnitudes relacionales(velocidad media, aceleración media) a partir de tablas, gráficas y expresiones algebraicas.Temas: 40 a 42.
Evidencias de aprendizaje• Reconoce la relación funcional entre variables asociadas a problemas.
• Interpreta y expresa magnitudes definidas como razones entre magnitudes (velocidad,aceleración, etc.), con las unidades respectivas y las relaciones entre ellas.
• Utiliza e interpreta la razón de cambio para resolver problemas relacionados con magnitudescomo velocidad, aceleración.
• Explica las respuestas y resultados en un problema usando las expresiones algebraicas y lapertinencia de las unidades utilizadas en los cálculos.
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7. Resuelve problemas mediante el uso de las propiedades de las funciones y usa representaciones tabulares, gráficas y algebraicas para estudiar la variación, la tendencia numérica y las razones de cambio entre magnitudes. Temas: 40 a 42.
Evidencias de aprendizaje• Utiliza representaciones gráficas o numéricas para tomar decisiones en problemas prácticos.
• Usa la pendiente de la recta tangente como razón de cambio, la reconoce y verbaliza en representaciones gráficas, numéricas y algebraicas.
• Utiliza la razón entre magnitudes para tomar decisiones sobre el cambio.
• Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.
4. Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones. Temas: 6 a 32.
Evidencias de aprendizaje• Reconoce el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo para
ángulos agudos, en particular, seno, coseno y tangente.
• Explora, en una situación o fenómeno de variación periódica, valores, condiciones, relaciones o comportamientos, a través de diferentes representaciones.
• Calcula algunos valores de las razones seno y coseno para ángulos no agudos, auxiliándose de ángulos de referencia inscritos en el círculo unitario.
• Modela fenómenos periódicos a través de funciones trigonométricas.
6. Comprende y usa el concepto de razón de cambio para estudiar el cambio promedio y el cambio alrededor de un punto y lo reconoce en representaciones gráficas, numéricas y algebraicas. Temas: 40 a 42.
Evidencias de aprendizaje• Utiliza representaciones gráficas o numéricas para tomar decisiones, en la solución de problemas.
• Determina la tendencia numérica en relación con problemas prácticos como predicción del comportamiento futuro.
• Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.
5. Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones. Temas: 33 a 39.
Evidencias de aprendizaje• Localiza objetos geométricos en el plano cartesiano.
• Identifica las propiedades de lugares geométricos a través de su representación en un sistema de referencia.
• Utiliza las expresiones simbólicas de las cónicas y propone los rangos de variación para obtener una gráfica requerida.
• Representa lugares geométricos en el plano cartesiano, a partir de su expresión algebraica.
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8. Selecciona muestras aleatorias en poblaciones grandes para inferir el comportamiento de las variables en estudio. Interpreta, valora y analiza críticamente los resultados y las inferencias presentadas en estudios estadísticos. Temas: 43, 44.
Evidencias de aprendizaje• Define la población de la cual va a extraer las muestras.
• Define el tamaño y el método de selección de la muestra.
• Construye gráficas para representar las distribuciones de los datos muestrales y encuentra los estadígrafos adecuados. Usa software cuando sea posible.
• Hace inferencias sobre los parámetros basadas en los estadígrafos calculados.
• Hace análisis críticos de las conclusiones de los estudios presentados en medios de comunicación o en artículos científicos.
9. Comprende y explica el carácter relativo de las medidas de tendencia central y de dispersión, junto con algunas de sus propiedades, y la necesidad de complementar una medida con otra para obtener mejores lecturas de los datos. Temas: 45, 46.
Evidencias de aprendizaje• Encuentra las medidas de tendencia central y de dispersión, usando, cuando sea posible,
herramientas tecnológicas.
• Interpreta y compara lo que representan cada una de las medidas de tendencia central en un conjunto de datos.
• Interpreta y compara lo que representan cada una de las medidas de dispersión en un conjunto de datos.
• Usa algunas de las propiedades de las medidas de tendencia central y de dispersión para caracterizar un conjunto de datos.
• Formula conclusiones sobre la distribución de un conjunto de datos, empleando más de una medida.
10. Propone y realiza experimentos aleatorios en contextos de las ciencias naturales o sociales y predice la ocurrencia de eventos, en casos para los cuales el espacio muestral es indeterminado. Temas: 47 a 50.
Evidencias de aprendizaje• Plantea o identifica una pregunta cuya solución requiera de la realización de un experimento
aleatorio.
• Identifica la población y las variables en estudio.
• Encuentra muestras aleatorias para hacer predicciones sobre el comportamiento de las variables en estudio.
• Usa la probabilidad frecuencial para interpretar la posibilidad de ocurrencia de un evento dado.
• Infiere o valida la probabilidad de ocurrencia del evento en estudio.
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“Antes de enseñar algo a alguien, es necesario al menos conocerlo. ¿Quién se presenta hoy en la escuela, en el cole-gio...?” dice Michel Serres al comienzo de su libro Pulgarcita (2013). De sus respuestas, hay dos aspectos que viene al caso destacar. Primero, los estudiantes a los que nos diri-gimos conocen de otro modo, porque llevan parte de la cabeza en el bolsillo: parte de su memoria y de su razona-miento se encuentran en los computadores, los celulares y las tabletas que cargan entre su bolsillo o en su maleta. Se-gundo, estos estudiantes quieren ser conductores activos y no pasajeros que solo esperan ser guiados por otros en la autopista del conocimiento. Su relación con el aprendizaje es activa.
Esta propuesta se dirige a estudiantes que comparten estas características. Estudiantes curiosos, que preguntan, que buscan explicaciones y les interesa aprender por su cuenta. Por eso, hemos llamado Exploradores a este proyecto.
Para saber a quiénes nos dirigimos, también es convenien-te tener en cuenta a Zygmunt Bauman. En Los retos de la educación en la modernidad líquida (2009), Bauman plantea que un reto de la educación frente a la inmensa cantidad de datos de la que disponemos es asignar importancia a las diversas porciones de información y, más aún, asignar a algunas más importancia que a otras. Es decir, formar el cri-terio de los estudiantes para que manejen adecuadamente el exceso de información existente.
¿De qué manera práctica y eficaz podemos responder a esta situación en los salones de clase? No es suficiente dar-les, saberes a los estudiantes. También, queremos enseñar-les a aprender por su cuenta. Nos interesa orientarlos para que sean capaces de aprender a aprender.
Para que este propósito pueda cumplirse realmente, en Exploradores proponemos tres ámbitos de trabajo, aplica-bles a todas las áreas del currículo:
1. Vocabulario académico básicoA muchos estudiantes se les dificulta la comprensiónde textos académicos, porque no manejan el vocabu-lario propio del área o confunden el significado acadé-
mico con el significado coloquial de algunos términos. Este ámbito de trabajo busca atender esta dificultad, fa-miliarizando a los estudiantes con una selección de tér-minos propios de cada área curricular. Por ejemplo, en Matemáticas, manejamos en el vocabulario académico básico términos como diagrama de Venn, diferencia, conmutativo, minuendo, sustraendo, entre otros.
¿Cómo trabajar el vocabulario académico básico en el salón de clases?
Robert Marzano y Debra Pickering (Building Academic Voca-bulary. Teacher’s Manual, ASCD, Alexandria, 2006) explican que trabajar el vocabulario académico básico no consiste solamente en elaborar un glosario a partir del diccionario. Se trata de darles múltiples oportunidades a los estudian-tes a lo largo del año, para que descubran los significados de ciertos términos y logren su comprensión profunda me-diante su uso y su aplicación. Proponen hacer una lista de términos para cada grado y trabajarlos durante el año, con estos seis pasos:
a. Ofrecer una descripción, explicación o ejemplo delnuevo término. Mejor si no es una definición de dic-cionario.
b. Pedirles a los alumnos que presenten una descrip-ción, explicación o ejemplo con sus palabras.
c. Pedirles que elaboren una imagen, símbolo o repre-sentación gráfica del término.
d. Proponer actividades periódicas en los cuadernosque ayuden a sus estudiantes a ampliar el conoci-miento de los términos.
e. Pedirles a los estudiantes periódicamente que dis-cutan unos con otros sobre los términos.
f. Proponer juegos periódicamente que les permitana los estudiantes aplicar los términos.
A lo largo de los libros de Exploradores se encuentra la sección Vocabulario académico en la que se trabaja un término mencionado en el tema y las actividades corres-pondientes. Los términos trabajados en Matemáticas son:
Exploradores 6
Naturales, ecuación, radicación, logaritmación, polinomio, comprensión, extensión, disjunto, unión, intersección, primo, fracción, razón, periodo, base, signado, absoluto, perpendicular, para-lelo, colineal, regular, altura, cuadrilátero, cuadrante, traslación, reflexión, perímetro, área, inscrito, volumen, kilo, frecuencia, escala, dispersión, moda, probabilidad.
Exploradores 7Clausurativa, lenguaje matemático, jerarquía, irreducible, fracciones homogéneas, inverso, coeficiente, razón, magnitud, simple, escala, cuadrilátero, paralelepípedo, radio, término, interva-lo, media, equiprobable.
Una propuesta para aprender a aprender
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Generatriz, racional, intervalos, absoluto, opuestas, recíproco, potencia, radical, variable lineal, grado, términos, distribuir, conjugado, expansión, algoritmo, sintética, notable, primo, binomio, cuadrático, diferencia, cubo, inducción, axioma, transversal, congruente, razón, sólidos, revolu-ción, área, volumen, capacidad, tendencia, conteo, experimento, probabilidad, excluyente.
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Irracional, inecuación, producto, índice, racionalización, imaginario, vector, pendiente, variable, determinante, raíz, factorizar, binomio, discriminante, dominio, recorrido, constante, biyectiva, ordenada, parábola, tendencia, biunívoca, logaritmo, argumento, semejante, arroba, sólido, rapi-dez, velocidad, energía, arco, cuerda, tangente, inscrito, bigote, permutación, combinación.
Exploradores 10
Irracional, real, densidad, consistencia, radián, cateto, hipotenusa, razón, depresión, elevación, se-mejanza, tangente, secante, periódico, identidad, solución, semiperímetro, pendiente, parábola, foco, conjugado, eje, origen, razón, instantáneo, secante, nivel de confianza, cartogramas, media, medidas de dispersión, posible, seguro, favorable, imposible, dependiente, independiente.
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Campo, positivo, densidad, abierto, cerrado, absoluto, factores, función, dominio, pendiente, raí-ces, racional, radical, composición, reflexión, límite, conjugado, asíntota, continua, derivada, cón-cava, convexa, crítico, inflexión, cadena, implícita, discreta, dispersión.
2. Actividades para comprender a través del diálogo con los textos
La lectura de textos (en libros, páginas web, medios de comunicación, lugares públicos, etc.) es una de las estrategias más frecuentes del aprendizaje autónomo. Para que sea eficaz, es necesario que la lectura sea cons-ciente y comprensiva. Una diferencia fundamental en-tre los lectores expertos y los novatos consiste en que los primeros van haciéndose preguntas y reflexiones mentales mientras leen, es decir, establecen un diálogo con los textos. Emilio Sánchez Miguel (Comprensión y redacción de textos. Madrid: Edebé, 1998.) explica que con estas preguntas, por ejemplo, van construyendo relaciones, elaborando la estructura implícita o explícita del texto y, sobre todo, van monitoreando su compren-sión sobre lo que leen. En cambio, los lectores novatos no se formulan estas preguntas.
¿Cómo trabajar el diálogo con los textos en el salón de clases?
Hay dos estrategias:a. En los libros de Exploradores proponemos activi-
dades y preguntas a los estudiantes al final de párra-fos o cuando se termina de explicar una idea. Estas actividades aparecen bajo el nombre Para com-prender y tienen como propósitos:
• Recapitular lo más importante.
• Relacionar lo leído con realidades particulares (solicitando ejemplos, pidiendo explicaciones de situaciones específicas con base en lo aprendido, preguntando por relaciones entre los ejemplos y los conceptos vistos...).
• Evidenciar lo que se va entendiendo (parafrasear, decir con las propias palabras, explicar a otro...).
• Relacionar datos que se encuentran en diferentes lugares del texto.
• Inferir el significado de términos y expresiones.
• Estas preguntas no tienen el propósito de evaluar a los estudiantes. Les facilitan la comprensión y los habitúan a su formulación. Por eso, cuentan con las respuestas como una forma de retroalimenta-ción inmediata en su proceso metacognitivo.
b. Sugerimos a los docentes que pidan a los estudian-tes verbalizar en voz alta las preguntas, las dudas y las conclusiones que les van surgiendo mientras leen. En particular, qué van entendiendo y qué no. Esta actividad debe hacerse en un comienzo con la asistencia del profesor o de otro adulto que ayude a los estudiantes a aclarar sus dudas y, si viene al caso, detecte problemas de comprensión. La clave reside en que el adulto no dé respuestas a las pre-guntas de los estudiantes, sino que los oriente para encontrarlas. Luego, cada estudiante debe seguir haciendo las preguntas en voz alta sin la asistencia del adulto. Por último, lo hará mentalmente.
3. Herramientas para aprender Desde cuando Joseph Novak y Bob Gowin usaron la
expresión Learning how to learn para introducir el ma-nejo de mapas conceptuales en la enseñanza, mu-chos autores, en distintos momentos y desde dife-rentes perspectivas, se han referido a la necesidad de desarrollar en los estudiantes capacidades para gestio-nar sus aprendizajes. Por ejemplo, Richard Mayer (Lear-ning and Instruction. Columbus: Merrill Prentice Hall, 2003.) alude a “enseñar guiando los procesos cogniti-vos”; Juan Ignacio Pozo y Carles Monereo (El aprendizaje estratégico. Madrid: Santillana, 2002.) se refieren a “en-señar a aprender desde el currículo”; y Robert Marzano,
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Debra Pickering y Jane Pollock (Classroom Instruction that Works. Virginia: ASCD, 2001.) proponen ocho estrategias basadas en la investigación para mejorar el desempeño de los estudiantes. Todos comparten una preocupación: ofrecer a los estudiantes estrategias, técnicas y métodos para que aprendan los con-tenidos curriculares. Es decir, herramientas para aprender.
¿Cómo trabajar herramientas para aprender en el salón de clases?
Para que la enseñanza de estas herramientas sea eficaz, han de cumplirse dos condiciones: primero, in-tegrarlas a las áreas del currículo, es decir, su enseñanza debe realizarse en conjunto con los contenidos curriculares y no como un programa aislado; segundo, aprenderlas mediante la aplicación y el uso. Por eso, en Exploradores incluimos la sección Herramientas para aprender de manera continua, con el fin de que los estudiantes las apliquen mientras aprenden los contenidos propios del área.
En Exploradores Matemáticas, trabajamos las siguientes herramientas de aprendizaje:
Exploradores 6
Ubicar números en una recta numérica, organizar información de un problema en una tabla, seguir pasos en la solución de un problema, usar símbolos equivalentes, resaltar expresiones, verificar la res-puesta, descomponer un número en sus factores primos, usar signos de agrupación, usar diagramas de Venn, hacer organizadores gráficos, elaborar tablas, comparar métodos, elaborar gráficos, usar la recta numérica, representar situaciones con dibujos, interpretar símbolos, reescribir expresiones, ela-borar una tabla de valor posicional, multiplicar por potencias de 10, usar siglas, establecer patrones, elaborar un mapa conceptual, trazar las diagonales para clasificar polígonos, revisar definiciones, usar tablas de unidades, utilizar aproximaciones, usar herramientas tecnológicas, elaborar diagramas de árbol.
Exploradores 7
Trazar una recta numérica, representar expresiones claves, representar en una recta numérica la adi-ción de enteros, identificar la pregunta que enuncia un operador, ubicar en la recta numérica un número decimal infinito periódico, descomponer en factores primos dos o más números para hallar su m. c. m., organizar datos en una tabla, dividir fracciones usando producto cruz, hallar la raíz n de un número descomponiéndolo en factores primos, utilizar formulas, comparar razones, aplicar las pro-piedades de las proporciones, usar una escala, construir un mapa mental, usar notación para incluir o no los datos extremos de un intervalo, usar diagramas para analizar datos, plantear un diagrama de árbol dado un experimento aleatorio.
Exploradores 8
Relacionar conceptos geométricos y numéricos, elaborar diagramas de Venn, asociar valores con puntos en la recta numérica, interpretar símbolos, reconocer diferentes símbolos para una operación, utilizar potencias de 10, interpretar operaciones, abreviar notación, plantear ecuaciones, reconocer formas sintéticas de escritura, realizar un esquema, resaltar atributos de un mismo objeto, encontrar regularidades, simplificar algoritmos, interpretar arreglos, organizar información en tablas, reducir a un caso particular, relacionar expresiones algebraicas y objetos geométricos, escribir de diferentes maneras una expresión, simplificar expresiones, transferir propiedades, identificar un plan de acción, identificar patrones, elaborar mapas mentales, asociar variables, abreviar expresiones, elaborar tablas, hacer marcas en figuras, usar símbolos, reducir a casos conocidos, elaborar un organizador gráfico, descomponer una figura, medir indirectamente, inferir información de gráficas, dividir en casos sen-cillos, escribir equivalencias, elaborar tablas de frecuencias, elaborar diagramas de árbol.
Exploradores 9
Representar una situación, elaborar una tabla, buscar expresiones equivalentes, interpretar fracciones y signos, identificar formas equivalentes, reconocer el significado de una variable, asociar acciones con operaciones, identificar el método más conveniente, interpretar en contexto, modelar situacio-nes con ecuaciones cuadráticas, identificar el método de solución de una ecuación cuadrática, reco-nocer funciones gráficamente, trazar gráficas en un mismo plano, relacionar conceptos geométricos y gráficos, reconocer características de rectas, asociar elementos numéricos y gráficos, relacionar fun-ciones, asociar logaritmos y potencias, organizar información en tablas de afirmación – razón, dividir el problema en partes, identificar algoritmos de cálculo, reconocer significados de razones, inferir información, interpretar datos.
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Trabajar de forma permanente y consistente en estos tres ámbitos –el vocabulario académico básico, las acti-vidades para comprender en diálogo con el texto y las herramientas para aprender– hará que los estudiantes estén debidamente preparados para aprender a aprender.
En Exploradores entendemos la evaluación como un proceso mediante el cual se recoge información de forma permanente con el fin de tomar decisiones para mejorar la enseñanza y el aprendizaje. Para atender a lo anterior, proponemos la evaluación en tres momentos con diferentes herramientas.
Exploradores 10
Crear un mapa conceptual, usar una representación gráfica, usar convenciones, clasificar, aprender a deducir, interpretar geométricamente, elaborar un diagrama, usar recursos geométricos, usar una calculadora, afirmar – justificar, interpretar, establecer relaciones, formular preguntas, establecer co-nexiones lógicas, hacer una tabla de resumen, dividir un problema en partes, hacer analogías, elabo-rar un diagrama de flujo, elaborar una red conceptual.
Exploradores 11
Crear un mapa mental, crear un mapa conceptual, crear fichas de memoria, usar una representación gráfica, usar convenciones, clasificar, aprender a deducir, interpretar geométricamente, elaborar un diagrama, usar recursos geométricos, usar una calculadora, afirmar – justificar, interpretar, establecer relaciones, formular preguntas, establecer conexiones lógicas, hacer una tabla de resumen, dividir un problema en partes, hacer analogías, elaborar un diagrama de flujo, elaborar un mapa conceptual, elaborar una red conceptual.
Momento Herramientas Características
Comienzo de la unidad
Evaluación diagnóstica
• Busca detectar los conocimientos previos de los estudiantes.
• Se encuentra en la guía del docente y en la plataforma digital.
¿Estás listo?
• Busca que los estudiantes identifiquen y repasen aprendizajes previos fundamentales de manera autónoma.
• Se encuentra en el libro del estudiante.
• Incluye información para repasar contenidos fundamentales.
Desarrollo de la unidad
Taller de competencias
• Busca hacer un seguimiento del aprendizaje durante todo el proceso.
• Se encuentra en páginas debidamente identificadas a lo largo de la unidad.
Prepara tu prueba Saber
• Busca familiarizar a los estudiantes con las pruebas nacionales de evaluación.
• Se encuentran al final de los Talleres de actividades en todos los temas, en el libro del estudiante.
Final de la unidad
Evaluación acumulativa
• Busca evaluar los contenidos fundamentales de la unidad.
• Hay pruebas de este tipo en el libro del estudiante (al final de cada unidad).
Prueba Saber• Busca evaluar las competencias de acuerdo con los criterios de las pruebas Saber.
• Se encuentra en la guía del docente y en la plataforma digital.
Sistema de Evaluación Continua
Fundamentación del área de Matemáticas
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El enfoque pedagógico de la serie Exploradores Matemá-ticas contempla los lineamientos curriculares, la nueva vi-sión de la matemática escolar, la evaluación por competen-cias, los Derechos básicos de aprendizaje y la organización de los contenidos de acuerdo con los cinco pensamientos propuestos en los estándares de competencias planteados por el Ministerio de Educación Nacional.
Exploradores Matemáticas ofrece:
• Organizadores gráficos en cada unidad, con los con-ceptos desarrollados en ella.
• Situaciones cercanas a la realidad del estudiante para explicar los conceptos.
• Explicaciones en un lenguaje claro, ameno y dinámi-co que orienta al alumno en la construcción de co-nocimiento.
• Herramientas para facilitar la interpretación, com-prensión y aprendizaje del contenido.
• Preguntas relacionadas con las explicaciones que in-vitan al estudiante a cuestionarse y medir su nivel de comprensión sobre el concepto trabajado.
• Énfasis en la comprensión y el uso del lenguaje mate-mático, que permiten que el estudiante comunique ideas y consolide su pensamiento.
• Datos históricos destacando que la matemática es una construcción humana, social y cultural que per-mea a todos y hace parte del conocimiento necesa-rio para reconocer cómo funciona el entorno.
• Ejemplos resueltos paso a paso, para promover la apropiación de los conceptos matemáticos y los pro-cedimientos propios del área.
• Análisis de situaciones que guían al alumno en la re-solución de problemas.
• Actividad de cierre para el estudiante como parte del desarrollo temático y conceptual que permite refor-zar lo aprendido.
• Variedad y abundancia de actividades que incluyen ejercicios y problemas relacionados con los concep-tos y procedimientos matemáticos desarrollados.
• Relaciones de la matemática con otras áreas del co-nocimiento y del medio.
• Uso de la tecnología.
• Usos de la matemática en contextos financieros.
• Actividades para la preparación de la prueba Saber.
Exploradores Matemáticas promueve la participación ac-tiva del alumno a través de:
• La exploración de saberes previos (Pruebas diagnós-ticas por unidad, ¿Estás listo? y Saberes previos por tema).
• La construcción de su conocimiento y conceptuali-zación (desarrollo de contenidos y consolidación de conocimiento en Ahora es tu turno).
• La ejercitación y la aplicación de conceptos en la so-lución de problemas (Actividades de aprendizaje y Taller de actividades).
• El desarrollo de habilidades de pensamiento como comunicar, razonar y resolver problemas.
• Un sistema de evaluación continuo (Saberes previos, Actividades y Talleres de aprendizaje, Talleres de com-petencias y Evaluaciones acumulativas).
• Actividades de aplicación de la matemática en con-textos de tipo científico, cotidiano y tecnológico (Aplicación en . . . y Lectura crítica).
• La orientación hacia el desarrollo de las competen-cias matemáticas y la consecución de niveles acadé-micos superiores (Prueba Saber).
• El desarrollo de actividades relacionadas con ingenio matemático y calculo mental (Problemas de la semana).
• La serie se fundamenta en el desarrollo de habilidades para aprender a aprender y tiene en cuenta los intere-ses, las habilidades y las destrezas de los estudiantes en cada nivel. Para ello fomenta el uso de herramien-tas de aprendizaje, de preguntas claves como opor-tunidad de cuestionarse sobre lo comprendido y del lenguaje propio de las matemáticas y su relación con lo cotidiano.
• Para responder a la necesidad de alfabetización eco-nómica, financiera y de emprendimiento, el texto del alumno se complementa, con una sección por uni-dad, que desarrolla temas de Educación Financiera.
Bibliografía
• 12 principios básicos para incorporar alfabetismo en medios y pensamiento crítico en cualquier currículo. [En línea]. [Consultado el 30 de mayo de 2018]. Disponible en <http://www.ithaca.edu/looksharp/>.
• Derechos básicos de aprendizaje V.2. Matemáticas. [En línea]. [Consultado el 25 de abril de 2018]. Disponible en
<http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/DBA_Matem%C3%A1ticas.pdf>.
• La Evaluación: una estrategia a nivel internacional para el mejoramiento de la calidad educativa. [En línea]. [Consul-tado el 10 de mayo de 2018]. Disponible en <http://www.eduteka.org/EvaluacionBogota.php>.
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iant
es.
Tiempo: 1 semana
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acio
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r.
2.
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eros
real
es•
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13
Tiempo: 1 semana
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max
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ot
ras s
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s, po
r eje
mpl
o, c
omo
una
herr
amie
nta
de v
erifi
caci
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e re
spue
stas
o e
n el
des
arro
llo d
e pr
oyec
tos d
e pr
ogra
mac
ión.
14
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rove
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cció
n de
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abul
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dém
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para
disc
utir
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ient
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ra co
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ende
r, pr
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en d
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s núm
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raci
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s den
so, e
s dec
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dos
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Indí
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que,
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que
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en
con
los 5
prim
eros
térm
inos
de
la su
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n da
da, e
n ge
nera
l, es
te ti
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tos.
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Max
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ra a
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po
sible
s pro
blem
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udia
ntes
, com
o el
uso
de
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cter
es re
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(por
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mpl
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nga
en c
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epre
sent
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spue
sta
a la
pre
gunt
a de
la se
cció
n Pr
epar
a tu
pru
eba
Sabe
r.
Tiempo: 1 semana
4.
Ope
raci
ones
co
n nú
mer
os
real
es
• D
escr
ibe
el ‘e
fect
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s con
nú
mer
os re
ales
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vos,
nega
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, m
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que
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na c
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ades
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cia
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resp
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las
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mpl
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re la
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n ha
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y c
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ntos
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or e
l uso
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cont
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pera
cion
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jerc
icio
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cont
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e ^
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e a
**.
Indí
quel
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serv
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uso
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para
la d
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n de
func
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s. Ac
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que
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que
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com
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bi
naria
s, es
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rpre
tars
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mbi
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on la
no
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refij
a; p
or e
jem
plo:
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, b) =
a +
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que
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ició
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es d
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act
ivid
ad e
s co
nsist
ente
con
la n
oció
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nera
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n.
15
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rmúl
eles
pre
gunt
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laci
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jem
plo:
¿qu
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terp
reta
ción
geo
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dad
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iva
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y ¿q
ué in
terp
reta
ción
pu
ede
tene
r la
prop
ieda
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nmut
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ra la
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(Sug
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terp
reta
ción
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ente
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pone
ntes
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onal
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jem
plo,
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lique
la
igua
ldad
160,
25 =
2. C
ontin
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xplic
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ón c
ient
ífica
, y q
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mac
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mac
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pres
ione
s dec
imal
es; p
or e
jem
plo,
una
apr
oxim
ació
n al
núm
ero
r e
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dist
anci
a a
r e
s men
or q
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úmer
o 3,
141
dist
a de
r m
enos
de
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1,
etcé
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s pre
gunt
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ompa
ren
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45 =
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est
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pre
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terp
reta
ción
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ica
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o L2,
45.
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, pro
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l Tal
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spue
sta
a la
pre
gunt
a de
la se
cció
n Pr
epar
a tu
pru
eba
Sabe
r.
5.
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ldad
es
en n
úmer
os
real
es
• Re
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uald
ades
en
los n
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ma
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tivo.
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s pr
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la se
cció
n pa
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stud
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es si
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núm
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o cu
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axio
mas
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orde
n.•
Des
arro
llo d
el c
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robl
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ones
, y tr
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cept
o de
con
junt
o so
luci
ón, t
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form
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ca c
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rma
gráf
ica
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rcic
ios 1
a 6
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las
desig
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ades
con
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bsol
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rcic
ios 7
y 8
). •
Cier
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la se
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Uso
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ados
) y d
e ap
roxi
mac
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s a la
s ra
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.
16
Des
taqu
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con
teni
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e la
secc
ión
Her
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ient
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nder
, acl
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robl
emas
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ón
exac
ta p
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ser d
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halla
r, pe
ro fá
cil d
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timar
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tonc
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n la
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ctic
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sión
en
pro
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tiem
po d
e so
luci
ón.
• Ci
erre
la e
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n pr
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s est
udia
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com
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o. P
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y pí
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s que
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Prop
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r de
com
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s qu
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los t
emas
1 a
5. T
enga
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cuen
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valú
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s des
empe
ños d
e su
s est
udia
ntes
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part
ir de
situ
acio
nes c
onte
xtua
lizad
as.
Tiempo: 1 semana
6.
Ángu
los y
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tem
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• Re
cono
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icas
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. Pre
gúnt
eles
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la
cant
idad
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ángu
los d
e 45
° cen
trad
os e
n el
orig
en d
el
plan
o ca
rtes
iano
, lue
go p
or la
can
tidad
de
ángu
los d
e 45
° con
lado
inic
ial e
n el
eje
X (d
istin
ga e
ntre
el q
ue
tiene
45°
y o
rient
ació
n po
sitiv
a, d
el q
ue m
ide
45° y
tie
ne o
rient
ació
n ne
gativ
a).
• D
esar
rollo
del
con
teni
do: p
ropó
ngal
es a
sus
estu
dian
tes l
a sit
uaci
ón q
ue a
bre
el te
ma
y pa
se a
de
finir
el á
ngul
o en
pos
ició
n no
rmal
. Ind
ique
que
to
do á
ngul
o de
l pla
no e
uclíd
eo e
stá
repr
esen
tado
po
r un
ángu
lo e
n po
sició
n no
rmal
(ten
ga e
n cu
enta
qu
e es
to e
xplic
a qu
e la
s fun
cion
es tr
igon
omét
ricas
pu
eden
ser r
efer
idas
a u
n nú
mer
o re
al).
Los e
jem
plos
1
y 2
intr
oduc
en e
l sig
nific
ado
de lo
s áng
ulos
pos
itivo
s, de
los n
egat
ivos
y d
e lo
s cot
erm
inal
es. A
prov
eche
la
secc
ión
Para
com
pren
der,
a fin
de
expl
icar
les c
ómo
las
dist
inta
s uni
dade
s de
med
ida
se re
laci
onan
med
iant
e pr
opor
cion
es y
pon
ga e
n pr
áctic
a es
ta o
bser
vaci
ón
desa
rrolla
ndo
los e
jem
plos
3, 4
y 5
. Apr
ovec
he la
grá
fica
de la
figu
ra 5
par
a ex
plic
ar la
s equ
ival
enci
as d
e la
se
cció
n Pa
ra co
mpr
ende
r.
• A
ctiv
idad
es d
e ap
rend
izaj
e: e
stos
eje
rcic
ios t
iene
n co
mo
prop
ósito
que
sus e
stud
iant
es se
fam
iliar
icen
co
n la
med
ida
de á
ngul
os e
n el
sist
ema
sexa
gesim
al
(eje
rcic
ios 1
a 3
); re
laci
onen
la m
edid
a an
gula
r con
la
med
ida
del á
rea
de se
ctor
es c
ircul
ares
(eje
rcic
io 4
): co
mpr
enda
n la
rela
ción
de
la m
edid
a en
radi
anes
con
la
s otr
as m
edid
as a
ngul
ares
(eje
rcic
io 5
); ve
rifiq
uen
su
com
pren
sión
de la
noc
ión
de á
ngul
os c
oter
min
ales
(e
jerc
icio
6);
se fa
mili
aric
en c
on c
onte
xtos
en
los q
ue
se u
san
las m
edid
as a
ngul
ares
(eje
rcic
io 7
); re
suel
van
situa
cion
es q
ue in
volu
cren
el u
so d
e lo
s rad
iane
s (e
jerc
icio
s 8 a
10)
; rea
licen
con
vers
ione
s ent
re lo
s di
fere
ntes
sist
emas
de
med
idas
ang
ular
es (e
jerc
icio
11)
. •
Cier
re d
el te
ma:
díg
ales
a su
s est
udia
ntes
que
en
la
secc
ión
Uso
de
la te
cnol
ogía
van
a h
acer
una
prá
ctic
a co
n M
axim
a qu
e ilu
stra
cóm
o ef
ectu
ar c
onve
rsio
nes
entr
e un
idad
es d
e m
edid
a de
form
a ef
icie
nte.
La
prop
orci
ón e
ntre
dos
med
idas
equ
ival
ente
s ind
ica
que
las d
os m
edid
as se
rela
cion
an d
e fo
rma
func
iona
l, po
r lo
que
tien
e se
ntid
o de
finir
una
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ión
que
tran
sfor
me
el v
alor
de
una
unid
ad d
e m
edid
a en
el v
alor
de
otra
. Com
o pr
áctic
a ad
icio
nal,
pída
les q
ue a
verig
üen
cóm
o se
def
ine
el g
rado
cen
tesim
al y
píd
ales
que
de
finan
func
ione
s en
Max
ima
que
conv
iert
an g
rado
s ce
ntes
imal
es e
n gr
ados
sexa
gesim
ales
, rad
iane
s y g
iros.
17
• Ex
pliq
uele
s que
en
la c
onve
rsió
n en
tre
grad
os c
on
part
e de
cim
al y
gra
dos,
min
utos
y se
gund
os, l
a id
ea d
e se
para
r una
med
ida
en p
arte
ent
era
y pa
rte
deci
mal
obe
dece
a q
ue la
par
te d
ecim
al re
pres
enta
un
a pa
rte
de la
uni
dad,
de
la m
isma
form
a en
la q
ue
un su
bmúl
tiplo
de
una
unid
ad e
s par
te d
e la
uni
dad.
Ac
láre
les q
ue la
s con
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ione
s de
este
tipo
no
siem
pre
son
exac
tas (
los s
egun
dos p
uede
n te
ner p
arte
dec
imal
).•
Cier
re la
exp
licac
ión
prop
onié
ndol
es a
sus e
stud
iant
es la
ac
tivid
ad d
e Ah
ora
es tu
turn
o, p
ara
repa
sar l
a co
nver
sión
de u
nida
des d
e m
edid
a de
áng
ulos
.
• Fi
nalm
ente
, pro
póng
ales
a su
s est
udia
ntes
el d
esar
rollo
de
l Tal
ler d
e ac
tivid
ades
cor
resp
ondi
ente
, y d
iscut
a co
n el
los l
a re
spue
sta
a la
pre
gunt
a de
la se
cció
n Pr
epar
a tu
pru
eba
Sabe
r.
7.
Triá
ngul
os
rect
ángu
los
• Re
cono
ce la
s ca
ract
eríst
icas
de
los
triá
ngul
os re
ctán
gulo
s.•
Util
iza
el te
orem
a de
Pitá
gora
s en
la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
re
laci
onad
os c
on
triá
ngul
os re
ctán
gulo
s.
• Pr
oble
mas
de
la s
eman
a: d
ediq
ue lo
s prim
eros
m
inut
os d
e su
cla
se p
ara
disc
utir
con
sus e
stud
iant
es e
l pr
oble
ma
del d
ía re
spec
tivo.
•
Sabe
res
prev
ios:
pro
póng
ales
a su
s est
udia
ntes
la
preg
unta
de
la se
cció
n y
que
just
ifiqu
en lo
s pas
os
para
lleg
ar a
la so
luci
ón. B
usqu
e qu
e su
s est
udia
ntes
af
irmen
que
la a
ltura
sobr
e la
hip
oten
usa
del t
riáng
ulo
rect
ángu
lo d
eter
min
a do
s triá
ngul
os se
mej
ante
s al
triá
ngul
o da
do. E
xplíq
uele
s que
est
a es
una
ca
ract
eríst
ica
espe
cial
de
los t
riáng
ulos
rect
ángu
los.
• D
esar
rollo
del
con
teni
do: i
ntro
duzc
a el
tem
a,
prop
onié
ndol
es la
situ
ació
n su
gerid
a. E
xpliq
ue q
ue
uno
de lo
s obj
etiv
os d
e la
trig
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etría
es r
esol
ver
cual
quie
r triá
ngul
o co
n un
mín
imo
de in
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ació
n y
que
el p
rimer
pas
o es
est
udia
r los
triá
ngul
os
rect
ángu
los.
Des
arro
lle lo
s pas
os d
e la
dem
ostr
ació
n de
l teo
rem
a de
Pitá
gora
s, so
licitá
ndol
es a
sus
estu
dian
tes q
ue le
ayu
den
a ju
stifi
carlo
s. Co
mén
tele
s qu
e ha
y fo
rmas
de
com
prob
ar fí
sicam
ente
el t
eore
ma
de P
itágo
ras.
Por e
jem
plo,
al c
onst
ruir
cual
quie
r tr
iáng
ulo
de la
dos a
, b y
c c
m se
pue
den
cons
trui
r ca
jas d
e al
tura
1 c
m y
bas
es a
2, b
2 y
c 2
. El t
eore
ma
se
com
prue
ba a
l lle
nar l
a ca
ja d
e vo
lum
en c
2 cm
3 par
a po
ster
iorm
ente
repa
rtir
su c
onte
nido
en
las o
tras
dos
ca
jas.
Inví
telo
s a q
ue re
alic
en e
l exp
erim
ento
.•
Cier
re la
exp
licac
ión
prop
onié
ndol
es a
sus e
stud
iant
es la
ac
tivid
ad d
e Ah
ora
es tu
turn
o, p
ara
aplic
ar e
l teo
rem
a de
Pi
tágo
ras.
• A
ctiv
idad
es d
e ap
rend
izaj
e: e
stos
eje
rcic
ios t
iene
n co
mo
prop
ósito
que
sus e
stud
iant
es re
pase
n el
uso
del
te
orem
a de
Pitá
gora
s (ej
erci
cios
1 a
3);
com
pren
dan
el
uso
del t
eore
ma
de P
itágo
ras e
n el
cál
culo
de
dist
anci
as
en e
l pla
no c
oord
enad
o (e
jerc
icio
4);
y re
suel
van
situa
cion
es p
robl
ema
en la
s que
el u
so d
el te
orem
a de
Pi
tágo
ras n
o es
tan
inm
edia
to (e
jerc
icio
s 5 a
8).
• Ci
erre
del
tem
a: d
esta
que
la im
port
anci
a de
la
func
ión
de d
istan
cia
en m
atem
átic
as, e
indí
quel
es a
su
s est
udia
ntes
que
la p
ráct
ica
de la
secc
ión
Uso
de
la
tecn
olog
ía a
punt
a al
uso
sist
emát
ico
de la
func
ión
de
dist
anci
a en
Max
ima.
Exp
líque
les q
ue la
mism
a fu
nció
n se
pue
de d
efin
ir de
var
ias f
orm
as, c
omo
di
st(u
,v):=
(r: u
-v, s
qrt(r
[1]*
*2+
r[2]*
*2)).
•
Fina
lmen
te, p
ropó
ngal
es a
sus e
stud
iant
es e
l des
arro
llo
del T
alle
r de
activ
idad
es c
orre
spon
dien
te, y
disc
uta
con
ello
s la
resp
uest
a a
la p
regu
nta
de la
secc
ión
Prep
ara
tu p
rueb
a Sa
ber.
18
Tiempo: 1 semana8.
Ra
zone
s tri
gono
mét
ricas
de
triá
ngul
os
rect
ángu
los
• D
efin
e la
s raz
ones
tr
igon
omét
ricas
de
triá
ngul
os re
ctán
gulo
s, a
part
ir de
las r
azon
es
entr
e la
s lon
gitu
des d
e un
triá
ngul
o re
ctán
gulo
.•
Reco
noce
las r
azon
es
trig
onom
étric
as d
e tr
iáng
ulos
rect
ángu
los.
• Re
cono
ce e
l sig
nific
ado
de la
s raz
ones
tr
igon
omét
ricas
en
un
triá
ngul
o re
ctán
gulo
pa
ra á
ngul
os a
gudo
s, en
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rtic
ular
seno
, cos
eno
y ta
ngen
te.
• Pr
oble
mas
de
la s
eman
a: d
ediq
ue lo
s prim
eros
m
inut
os d
e su
cla
se p
ara
disc
utir
con
sus e
stud
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es e
l pr
oble
ma
del d
ía re
spec
tivo.
•
Sabe
res
prev
ios:
use
el e
jerc
icio
de
esta
secc
ión
para
re
cord
arle
s a su
s est
udia
ntes
la n
oció
n de
sem
ejan
za
de tr
iáng
ulos
, y c
ómo
la se
mej
anza
se tr
aduc
e en
re
laci
ones
de
prop
orci
onal
idad
.•
Des
arro
llo d
el c
onte
nido
: use
la si
tuac
ión
de
com
ienz
o de
tem
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ra e
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s est
udia
ntes
qu
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ngul
o ag
udo
defin
e se
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zone
s, cu
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de
uno
de
sus l
ados
se b
aja
una
perp
endi
cula
r del
lado
fin
al a
l lad
o in
icia
l y q
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s raz
ones
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inde
pend
ient
es
del t
riáng
ulo
(no
impo
rta
si la
hip
oten
usa
se e
scog
e,
por e
jem
plo,
de
long
itud
1). U
se la
figu
ra 3
par
a de
stac
ar q
ue se
aco
stum
bra
nom
brar
los c
atet
os
de u
n tr
iáng
ulo
refe
ridos
a su
pos
ició
n re
spec
to a
al
guno
de
sus á
ngul
os. U
se la
tabl
a 2
para
def
inir
las
razo
nes t
rigon
omét
ricas
del
áng
ulo
a y
la se
cció
n Pa
ra
com
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plo.
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sugi
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zón
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étric
amen
te. D
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s est
udia
ntes
hal
len
la so
luci
ón a
l pro
blem
a m
uést
rele
s que
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lqui
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iáng
ulo
rect
ángu
lo e
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que
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al á
ngul
o A
y la
hip
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ntre
n en
razó
n 2
: 3 si
rve
para
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cion
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l eje
rcic
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esta
que
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pcio
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la
prim
era
el tr
iáng
ulo
rect
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lo A
BC c
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, y la
segu
nda
b32
= y
c =
1. I
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de d
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tidad
x
x1=
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a; p
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jem
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el
mism
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cos A
= 0
,12.
• A
ctiv
idad
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e ap
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e: e
stos
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rcic
ios t
iene
n co
mo
prop
ósito
que
sus e
stud
iant
es a
pliq
uen
las
defin
icio
nes d
e la
s raz
ones
trig
onom
étric
as (e
jerc
icio
s 1
a 3)
; se
apro
xim
en a
la n
oció
n de
iden
tidad
tr
igon
omét
rica
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rcic
io 4
); se
apr
oxim
en a
la n
oció
n de
func
ión
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étric
a, y
par
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solv
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s es
nece
sario
que
sus e
stud
iant
es p
lant
een
la p
osib
ilida
d de
var
iaci
ón d
el á
ngul
o; a
dem
ás, s
e ap
roxi
men
a la
s pr
opie
dade
s alg
ebra
icas
de
las r
azon
es tr
igon
omét
ricas
(e
jerc
icio
s 5 a
9);
apliq
uen
las r
azon
es tr
igon
omét
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con
text
o no
geo
mét
rico
(eje
rcic
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0 y
11).
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del
tem
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secc
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la se
cció
n Pr
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pru
eba
Sabe
r.
19
9.
Razo
nes
de á
ngul
os
espe
cial
es
• Re
cono
ce lo
s áng
ulos
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Unidad 1
Lee con atención las siguientes preguntas y enunciados. En cada caso, encierra la respuesta correcta.
1. Si se organizaran los números 2 1+ , 2 1- ,
1 2- y 2 21+ de menor a mayor, el que
ocupa el tercer lugar es:
a. 2 1+
b. 2 1-
c. 1 2-
d. 2 21+
2. Ten en cuenta que el teorema de Pitágoras establece que las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo tienen como suma el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triángulo. El perímetro del cuadrilátero ABCD es:
Figura 1a. 3 2+
b. 3 3+
c. 3 2 3+ +
d. 3 5+
3. Un número que se encuentra entre 0,3 y 31 es:
a. 0,33b. 0,34c. 0,3d. No hay ningún número, porque son iguales.
4. Para cualquier par de números a, b ∈ R se
define m a b2= + . El número m no cumple
que:
a. ( a − m ) + ( b − m ) = 0b. m − a = m − b
c. m b a a2- - =
d. m b a b2+ - =
5. Un avión debía viajar al norte de la ciudad A para llegar a la ciudad B; sin embargo, por una tormenta fue necesario iniciar el viaje con un desvío de 10° con respecto a la dirección original. Luego de pasar la tormenta, el piloto corrigió su rumbo con un giro de 25°. ¿Cuál es la medida del ángulo formado por la ciudad A, la ciudad B y el punto de corrección del rumbo?
a. 145°b. 5°c. 165°d. 15°
Dos triángulos son semejantes si tienen ángulos correspondientes congruentes y las medidas de sus lados correspondientes son proporcionales.
Figura 2
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Puntos Evidencias de aprendizaje Sí No
1 Ordeno números empleando la ubicación en la recta numérica.
2 Aplico el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
3 Comparo números racionales.
4 Simplifico expresiones algebraicas o numéricas.
5 Empleo la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo en la solución de problemas.
6 Aplico las propiedades de la semejanza de triángulos en distintos contextos.
7 Aplico las propiedades de la semejanza de triángulos en distintos contextos.
8 Aplico las propiedades de la semejanza de triángulos en distintos contextos.
9 Simplifico expresiones algebraicas o numéricas.
10 Resuelvo ecuaciones fraccionarias.
6. En el triángulo ABC de la figura 3, los segmentos BC y DE son paralelos. ¿Cuál es el valor de x?
Figura 3a. 10,5 cmb. 14 cmc. 5,5 cmd. 9,5 cm
7. De un triángulo ABC se sabe que su área tiene un valor de a. También se conoce que es semejante al triángulo STU y que ST = 2 AB. ¿Cuál es el valor del área del triángulo STU?a. ab. 2ac. 4ad. 6a
8. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 4, se trazó una de las alturas. ¿Cuál es el valor de x?
Figura 4a. 6 cmb. 5 cmc. 4 cmd. 3 cm
9. ¿Cuál es la factorización de a 2 − b 2 + a 2 + 2 ab + b 2?a. 2a (a + b)b. (a + b)3 (a − b)c. (a + b)2 (a − b)d. a (2a + b )
10. Si xx
xx
22 1
2 43 1
+- = +
+ , ¿cuál es el valor de x?
a. x = −2b. x = 3 o x = −2c. x = 3d. x no es un número real.
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Unidad 1
Lee cada pregunta y selecciona la opción que consideres correcta. Márcala en la hoja de respuestas, que se encuentra al final de la prueba, rellenando completamente el círculo correspondiente.
1. Para realizar un diseño se cortaron tres baldosas de cada tipo por la diagonal, y luego 3 piezas de cada tipo de baldosa se alinearon de tal manera que sus hipotenusas formaron un segmento de recta.
Figura 1
¿Cuál es la longitud del segmento de recta del diseño?
A. ( 9 2 6 3+ ) dmB. 3 30 dmC. ( 6 3 6+ ) dmD. 6 30 dm
2. Un robot automatizado se programó con la secuencia que aparece en la figura 2.
Figura 2
¿Cuántos decímetros en total recorre el robot en una secuencia?
A. ( 3 5 4 2- ) dmB. 13 dmC. ( 3 10 8- ) dmD. ( 6 5 8 2- ) dm
3. Se debe cubrir la pared de un pasillo de 12 metros de largo con un papel de colgadura que tiene 5 metros de ancho, como se indica en la fotografía. ¿Cuál es el menor número de hojas de papel de colgadura que se requiere para cumplir con la labor?A. 3 hojas B. 4 hojasC. 5 hojas D. 6 hojas
dm
Baldosa 1 Baldosa 2
18
dm12
Repetir
veces
Avanzar dm
Retroceder dm
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4. Se tienen dos circunferencias tangentes como las de la figura 3. El radio de la circunferencia interna es un tercio del radio de la circunferencia más grande. Si se traza un ángulo central de 45° en cada circunferencia, ¿cuál es la relación entre las medidas de los arcos de circunferencia que determina cada ángulo?
Figura 3
A. El arco de la circunferencia interna es un doceavo del arco de la circunferencia más grande.
B. El arco de la circunfencia más grande es tres veces el arco de la circunferencia interna.
C. Los dos arcos de circunferencia son iguales. D. El arco de la circunferencia más grande es seis veces el arco de
la circunferencia interna.
5. En un programa de diseño se encuentra un cursor que simula la punta de un lápiz. Inicialmente el cursor se ubica en el origen del plano cartesiano y desde allí se desplaza en sentido del eje X positivo; además sus giros siempre son en sentido positivo. En la figura 4 se muestra un programa para generar una sucesión de trazos con el cursor. ¿El programa podrá dibujar un triángulo equilátero?A. No, porque el lápiz no regresaría a su punto inicial.B. Sí, porque los recorridos son todos de la misma distancia.C. No, porque haría falta programar el botón del tercer ángulo.D. Sí, porque si el último giro fuera de 60° se completarían las
condiciones.
6. En una rutina de patinaje artístico, María avanzó 8 m, dio un giro de 90° en sentido positivo y avanzó otros 6 m. Según la rutina debe regresar al punto en el que inició. ¿Qué giro requiere dar para lograrlo?
A. Suplementario del ángulo i, tal que tan 34
i = .
B. Ángulo i, tal que tan 43
i = .
C. Suplementario del ángulo i, tal que tan 43
i = .
D. Ángulo i, tal que tan 34
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Figura 4
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7. Para el examen de trigonometría, Sofía tiene una calculadora que solo trabaja medidas de ángulos en grados. Si debe calcular las
razones trigonométricas para un ángulo de 5r radianes, ¿qué
valor deberá registrar en su calculadora?A. 36°B. 72°C. 18°D. 54°
8. Recuerda que un ángulo exterior a un polígono es el ángulo que se forma entre un lado del polígono y la extensión de su lado adyacente. De esta manera, el ángulo exterior al polígono y el ángulo del polígono forman un par lineal. ¿Es posible que un triángulo rectángulo tenga un ángulo exterior de 120° y otro de 150°?A. No, porque la suma de las medidas de los ángulos interiores de
un triángulo es 180° y estos suman más.B. Sí, porque los suplementos de estos dos ángulos permiten que
el tercer ángulo sea recto.C. No, porque sin conocer la medida de los lados no se puede
afirmar si el triángulo será rectángulo.D. Sí, porque 120 + 150 − 90 = 180, lo que hace que el tercer
ángulo sea recto.
9. Una escalera extensible se apoya en el suelo a 1,50 metros de la base de una pared vertical y forma con el suelo un ángulo de 50°. Estando en el mismo punto, aproximadamente ¿cuánto se requiere alargar la escalera de modo que el ángulo aumente 10°?A. 2,333 mB. 3 mC. 0,226 mD. 0,666 m
10. Un artista pintó un cuadro con una perspectiva específica, de modo que si un observador desea apreciar la obra tal como el artista la imaginó, deberá poner sus ojos en un punto en el que el ángulo marcado en la figura 5 sea de 50°. Si el cuadro está a 5 metros de altura y el observador mide 1,80 m, ¿cuál deberá ser la distancia aproximada del observador a la pared?A. 3,813 mB. 0,372 mC. 2,685 mD. 2,056 m
Figura 5
Sistema de evaluación
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Puntos Evidencias de aprendizaje (Afirmación) Componente Competencia Sí No
1Aplicar la simplificación de expresiones que involucran números reales en situaciones contextualizadas.
Numérico – variacional
Nivel: satisfactorioResolución de problemas
2Aplicar la simplificación de expresiones que involucran números reales en situaciones contextualizadas.
Numérico – variacional
Nivel: mínimoResolución de problemas
3Aplicar propiedades de los números reales en situaciones contextualizadas.
Numérico – variacional
Nivel: satisfactorioResolución de problemas
4Establecer medidas de arcos de circunferencia de acuerdo con algunas condiciones dadas.
Geométrico – métrico
Nivel: mínimoResolución de problemas
5Emplear las características de los triángulos para dar o justificar afirmaciones geométricas.
Geométrico – métrico
Nivel: satisfactorioResolución de problemas
6Emplear las características de los triángulos para dar o justificar afirmaciones geométricas.
Geométrico –métrico
Nivel: satisfactorioResolución de problemas
7Aplicar la conversión entre sistemas de medición de ángulos en situaciones contextualizadas.
Geométrico – métrico
Nivel: satisfactorioResolución de problemas
8Determinar la veracidad de afirmaciones referidas al ángulo exterior de un triángulo.
Geométrico – métrico
Nivel: satisfactorioRazonamiento
9Aplicar las razones trigonométricas en situaciones contextualizadas.
Geométrico – métrico
Nivel: avanzadoResolución de problemas
10Aplicar las razones trigonométricas en situaciones contextualizadas.
Geométrico –métrico
Nivel: avanzadoResolución de problemas
Formato de respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
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A
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A
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C
D
A
B
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A
B
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D
A
B
C
D
Problemas de Lunes Martes Miércoles
Determina el valor de x en la siguien-te figura.
Determina 4 valores de x para queel � ABC sea rectángulo.
En un campeonato de fútbol hay nequipos inscritos. Si en la primera ron-da cada equipo debe jugar con to-dos los demás dos veces, expresa entérminos de n el número de partidosque se jugarán en la primera ronda.
¿Es posible construir un rectángulo
con área igual a 24 cm2 y cuyo perí-metro sea 18 cm? Justifica tu res-puesta.
Si el área de la región coloreada en
la siguiente figura corresponde a π4
del área del cuadrado, determina losvalores de x y y .
Considera la siguiente sucesión denúmeros enteros: 1, – 2, 3, – 4, 5,
– 6… Encuentra una fórmula quecorresponda al valor de la suma delos n primeros términos suponiendoque n es par. ¿Qué pasa si n esimpar?
Para construir un paralelepípedocomo el de la figura se han usado34 cm de alambre.
Un camión de distribución lleva 200artículos entre televisores y aparatosde DVD. El camión completamentecargado pesó 3383,333 kg, aproxi-madamente un 75% más de lo quepesa sin carga. ¿Cuál es el peso delcamión? ¿Cuántos televisores y apa-ratos de DVD lleva el camión si elpeso de estos es 10 kg y 4,5 kg res-pectivamente.?
Con una barra de plastilina como lade la figura, se ha construido unaesfera. Un estudiante afirma quecomo la cantidad de plastilina utili-zada es la misma, entonces las dosfiguras tienen el mismo volumen eigual área superficial.¿Está en lo cierto esteestudiante? Explica.
Encuentra el valor de a si sabes que
el DE es paralelo al AB .
Un tanque de agua tiene en el fondouna pequeña grieta por la cual se fil-
tran 30 cm3 de agua cada hora. Si eltanque se llena a razón de 1 galónpor minuto, ¿cuál es la altura del aguadespués de dos ho-ras de iniciado elproceso de llenado?Supón que inicial-mente el tanque es-taba vacío.
En un campeonato de voleibol deplaya se ha determinado que cadaequipo debe tener exactamente 4integrantes, incluyendo suplentes.¿De cuántas maneras se podría for-mar un equipo a partir de un grupode 6 personas?
Determina los valores de b y c si el
volumen del prisma es 15 cm3 .
x
35º
1
1
x
A C
B
10
4
L
x
y
y x
L
c
b
2 8 cm
1 cm
3
4
1
BA
D E
C
a
h
1m
la semanaJueves Viernes Sábado/Domingo
Encuentra valores para a y b talesque el siguiente sistema deecuaciones tenga por solución a
x = 15 , y = 20.
ax y+ =3 4
2 1x by– =
Se afirma que es imposible doblarmanualmente una hoja por la mitaduna y otra vez más de 9 veces. (Hazel experimento.) Si el grosor de unahoja es 0,1 mm, calcula el grosor delpapel que se debería doblar en el 9o.doblez.
Un estudiante conoce 5 de las 6 no-tas finales alcanzadas por él. Conesta información ha calculado su pro-medio y ha obtenido un valor de 2,9.¿Cuál es la nota mínima que necesi-ta en la última materia para tener unpromedio de notas igual o mayor que3,0? ¡Nota que la respuesta no es 3,1!
Juan nació cuando su padre, Matu-salén, tenía 22 años. ¿Cuántos añostendrá Juan cuando Matusalén ledoble la edad? ¿Cuántos años debe-ría tener Juan para que su edad co-rresponda al 90% de la edad deMatusalén? ¿Cuántos para el99,99%?
Determina la distancia entre A y B . ¿Cuántas soluciones reales diferen-
tes tiene la ecuación x xn = , con
n ∈ Z , n > 0?
Dos relojes como los de la figura seatrasan 15 minutos cada hora. Si alas 8:00 p. m. del lunes los dos relo-jes están en la hora exacta, ¿cuándovolverá a indicar cada reloj la horacorrectamente?
Los miembros de una tribu aumen-tan su expectativa de vida un 10%generación tras generación. Si la ex-pectativa de vida de un aborigen era50 años, ¿cuál era la vida de su pa-dre? ¿Cuál será la de sus tataranie-tos?
Encuentra el perímetro del rectángu-lo ABCD de la figura.
¿Es posible construir una pirámide debase cuadrada, cuya altura mida lomismo que su apotema? Explica turespuesta.
¿Es posible construir una esfera cuyovolumen, medido en centímetros cú-bicos, sea un número entero? Expli-ca tu respuesta.
Un corredor sale las 10:00 a. m. desu casa hacia la cima de una monta-ña y decide acampar allí. Al día si-guiente resuelve regresar a su casaa las 10:00 a. m. siguiendo el mismocamino que el día anterior. ¿Existealgún punto del recorrido por el cualel corredor haya pasado exactamen-te a la misma hora los dos días? Ex-plica tu respuesta.
A
C
E B
D
6
21 = 25º
α
α
B
CD
A
30º
30º
55
767676
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Problemas de Lunes Martes Miércoles
Determina el valor de x en la siguien-te figura.
Determina 4 valores de x para queel � ABC sea rectángulo.
En un campeonato de fútbol hay nequipos inscritos. Si en la primera ron-da cada equipo debe jugar con to-dos los demás dos veces, expresa entérminos de n el número de partidosque se jugarán en la primera ronda.
¿Es posible construir un rectángulo
con área igual a 24 cm2 y cuyo perí-metro sea 18 cm? Justifica tu res-puesta.
Si el área de la región coloreada en
la siguiente figura corresponde a π4
del área del cuadrado, determina losvalores de x y y .
Considera la siguiente sucesión denúmeros enteros: 1, – 2, 3, – 4, 5,
– 6… Encuentra una fórmula quecorresponda al valor de la suma delos n primeros términos suponiendoque n es par. ¿Qué pasa si n esimpar?
Para construir un paralelepípedocomo el de la figura se han usado34 cm de alambre.
Un camión de distribución lleva 200artículos entre televisores y aparatosde DVD. El camión completamentecargado pesó 3383,333 kg, aproxi-madamente un 75% más de lo quepesa sin carga. ¿Cuál es el peso delcamión? ¿Cuántos televisores y apa-ratos de DVD lleva el camión si elpeso de estos es 10 kg y 4,5 kg res-pectivamente.?
Con una barra de plastilina como lade la figura, se ha construido unaesfera. Un estudiante afirma quecomo la cantidad de plastilina utili-zada es la misma, entonces las dosfiguras tienen el mismo volumen eigual área superficial.¿Está en lo cierto esteestudiante? Explica.
Encuentra el valor de a si sabes que
el DE es paralelo al AB .
Un tanque de agua tiene en el fondouna pequeña grieta por la cual se fil-
tran 30 cm3 de agua cada hora. Si eltanque se llena a razón de 1 galónpor minuto, ¿cuál es la altura del aguadespués de dos ho-ras de iniciado elproceso de llenado?Supón que inicial-mente el tanque es-taba vacío.
En un campeonato de voleibol deplaya se ha determinado que cadaequipo debe tener exactamente 4integrantes, incluyendo suplentes.¿De cuántas maneras se podría for-mar un equipo a partir de un grupode 6 personas?
Determina los valores de b y c si el
volumen del prisma es 15 cm3 .
x
35º
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A C
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2 8 cm
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la semanaJueves Viernes Sábado/Domingo
Encuentra valores para a y b talesque el siguiente sistema deecuaciones tenga por solución a
x = 15 , y = 20.
ax y+ =3 4
2 1x by– =
Se afirma que es imposible doblarmanualmente una hoja por la mitaduna y otra vez más de 9 veces. (Hazel experimento.) Si el grosor de unahoja es 0,1 mm, calcula el grosor delpapel que se debería doblar en el 9o.doblez.
Un estudiante conoce 5 de las 6 no-tas finales alcanzadas por él. Conesta información ha calculado su pro-medio y ha obtenido un valor de 2,9.¿Cuál es la nota mínima que necesi-ta en la última materia para tener unpromedio de notas igual o mayor que3,0? ¡Nota que la respuesta no es 3,1!
Juan nació cuando su padre, Matu-salén, tenía 22 años. ¿Cuántos añostendrá Juan cuando Matusalén ledoble la edad? ¿Cuántos años debe-ría tener Juan para que su edad co-rresponda al 90% de la edad deMatusalén? ¿Cuántos para el99,99%?
Determina la distancia entre A y B . ¿Cuántas soluciones reales diferen-
tes tiene la ecuación x xn = , con
n ∈ Z , n > 0?
Dos relojes como los de la figura seatrasan 15 minutos cada hora. Si alas 8:00 p. m. del lunes los dos relo-jes están en la hora exacta, ¿cuándovolverá a indicar cada reloj la horacorrectamente?
Los miembros de una tribu aumen-tan su expectativa de vida un 10%generación tras generación. Si la ex-pectativa de vida de un aborigen era50 años, ¿cuál era la vida de su pa-dre? ¿Cuál será la de sus tataranie-tos?
Encuentra el perímetro del rectángu-lo ABCD de la figura.
¿Es posible construir una pirámide debase cuadrada, cuya altura mida lomismo que su apotema? Explica turespuesta.
¿Es posible construir una esfera cuyovolumen, medido en centímetros cú-bicos, sea un número entero? Expli-ca tu respuesta.
Un corredor sale las 10:00 a. m. desu casa hacia la cima de una monta-ña y decide acampar allí. Al día si-guiente resuelve regresar a su casaa las 10:00 a. m. siguiendo el mismocamino que el día anterior. ¿Existealgún punto del recorrido por el cualel corredor haya pasado exactamen-te a la misma hora los dos días? Ex-plica tu respuesta.
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A. S
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repr
oduc
ción
.
Pens
amie
ntos
mét
rico
y e
spac
ial
Lectura crítica 1
Sonido Do Re Mi Fa Sol La Si Do
Frecuencia (Hz) 262 294 330 349 392 440 494 523
Tabla 1.1Excepto la frecuencia 440 de la nota la, las demás son aproximaciones a números enteros de las frecuen-cias reales, las cuales están dadas por números irracionales.Al presionar las teclas de un piano se producen sonidos de diferentes alturas. El intervalo entre un so-
El sonido se produce por oscilaciones periódicas de las mo-léculas de aire. Todo proceso periódico puede expresarse
mediante lo que se conoce como aproximaciones de Fourier. Este matemático francés (1768-1830)
estableció que cualquier función periódica f(t) puede escribirse como la suma de una
sucesión de armónicos simples de forma que todas las frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental del sonido.Una nota musical al igual que cualquier
sonido se distingue por los elementos bá-sicos: tono, intensidad y timbre. El tono se
mide con el número de oscilaciones en una unidad de tiempo. La nota la en la quinta octa-
va de un piano es un fenómeno oscilatorio de 440 vibraciones por segundo. El oído humano es capaz de
percibir sonidos cuyas frecuencias de oscilación están entre 16 y 20 000 Hz.
La frecuencia de cada una de las notas de la octava central de un piano se muestra en la tabla 1.1.
Analiza y resuelveDe acuerdo con la lectura anterior, responde.
1. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación de la nota la?
a. 262 Hz.
b. 440 Hz.
c. 565 Hz.
d. 626 Hz.
2. La única frecuencia que corresponde a un númeroentero es la de la nota:
a. Sol
b. Fa
c. La
d. Re
3. El intervalo entre dos sonidos de frecuencias f y 2f sedenomina:
a. Escala
b. Octava
c. Armónico
d. Monocordio
4. Si la frecuencia de la nota do es 523 Hz, la frecuenciade la quinta es:
a. 653
b. 784
c. 345
d. 562
5. El dispositivo que convierte ondas sonoras en impul-sos eléctricos se llama:
a. Clavicordio
b. Monocordio
c. Osciloscopio
d. Sonoscopio
6. Un sonido simple es un sonido que se emite con:
a. Un solo timbre.
b. Una sola intensidad.
c. Un solo armónico.
d. Una sola frecuencia.
Razones trigonométricas
0,001
T = 0,0038167
0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008
1
�1
�2
2
nido dado de frecuencia f y otro de frecuencia 2f se llama octava. Los sonidos de las notas do (262) y do (523) tienen diferentes alturas, pero corresponden al mismo tono.Mediante un osciloscopio es posible convertir ondas de so-nido en impulsos eléctricos y representarlos en una pan-talla.Casi todos los sonidos emitidos por los instrumentos mu-sicales, incluyendo la voz humana, se componen de varios sonidos simples. Un sonido simple se emite en una sola frecuencia, en música, por ejemplo, un acorde está com-puesto por varias notas, generalmente tres, que suenan al mismo tiempo y producen un sonido agradable.Estos sonidos agradables se producen cuando la longitud de la cuerda equivale a ciertas partes de la cuerda.Supongamos que la nota original dada por una cuerda es una nota do. Así, el primer armónico, llamado tercera, se
encuentra cuando la longitud es 45
de la longitud inicial,
tiene una frecuencia igual a 54
de f y corresponde a la nota
mi; el tercer armónico, llamada quinta, se encuentra cuan-
do la longitud es 23
de la longitud inicial, tiene una fre-
cuencia de 32
de f y corresponde a la nota sol; y el próximo
armónico se presenta cuando la longitud de la cuerda es exactamente la mitad de la original, corresponde nueva-mente a un do pero de frecuencia el doble de la primera. Esta nota se encuentra en la siguiente octava. En la figu-ra 1.1 se puede apreciar que el sonido representado por la curva verde es la suma de la curva roja f t t1 4 262( ) ( )= ×sen π , y de la curva azul f t t2 2 262( ) ( )= ×sen π y que ésta tiene una
frecuencia de 262 10 0038167
=,
. Este sonido equivale a tocar
dos notas: do y el do de una octava arriba.
Figura 1.1
929292
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Lectura crítica 1
Sonido Do Re Mi Fa Sol La Si Do
Frecuencia (Hz) 262 294 330 349 392 440 494 523
Tabla 1.1Excepto la frecuencia 440 de la nota la, las demás son aproximaciones a números enteros de las frecuen-cias reales, las cuales están dadas por números irracionales.Al presionar las teclas de un piano se producen sonidos de diferentes alturas. El intervalo entre un so-
El sonido se produce por oscilaciones periódicas de las mo-léculas de aire. Todo proceso periódico puede expresarse
mediante lo que se conoce como aproximaciones de Fourier. Este matemático francés (1768-1830)
estableció que cualquier función periódica f(t) puede escribirse como la suma de una
sucesión de armónicos simples de forma que todas las frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental del sonido.Una nota musical al igual que cualquier
sonido se distingue por los elementos bá-sicos: tono, intensidad y timbre. El tono se
mide con el número de oscilaciones en una unidad de tiempo. La nota la en la quinta octa-
va de un piano es un fenómeno oscilatorio de 440 vibraciones por segundo. El oído humano es capaz de
percibir sonidos cuyas frecuencias de oscilación están entre 16 y 20 000 Hz.
La frecuencia de cada una de las notas de la octava central de un piano se muestra en la tabla 1.1.
Analiza y resuelveDe acuerdo con la lectura anterior, responde.
1. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación de la nota la?
a. 262 Hz.
b. 440 Hz.
c. 565 Hz.
d. 626 Hz.
2. La única frecuencia que corresponde a un númeroentero es la de la nota:
a. Sol
b. Fa
c. La
d. Re
3. El intervalo entre dos sonidos de frecuencias f y 2f sedenomina:
a. Escala
b. Octava
c. Armónico
d. Monocordio
4. Si la frecuencia de la nota do es 523 Hz, la frecuenciade la quinta es:
a. 653
b. 784
c. 345
d. 562
5. El dispositivo que convierte ondas sonoras en impul-sos eléctricos se llama:
a. Clavicordio
b. Monocordio
c. Osciloscopio
d. Sonoscopio
6. Un sonido simple es un sonido que se emite con:
a. Un solo timbre.
b. Una sola intensidad.
c. Un solo armónico.
d. Una sola frecuencia.
Razones trigonométricas
0,001
T = 0,0038167
0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008
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nido dado de frecuencia f y otro de frecuencia 2f se llama octava. Los sonidos de las notas do (262) y do (523) tienen diferentes alturas, pero corresponden al mismo tono.Mediante un osciloscopio es posible convertir ondas de so-nido en impulsos eléctricos y representarlos en una pan-talla.Casi todos los sonidos emitidos por los instrumentos mu-sicales, incluyendo la voz humana, se componen de varios sonidos simples. Un sonido simple se emite en una sola frecuencia, en música, por ejemplo, un acorde está com-puesto por varias notas, generalmente tres, que suenan al mismo tiempo y producen un sonido agradable.Estos sonidos agradables se producen cuando la longitud de la cuerda equivale a ciertas partes de la cuerda.Supongamos que la nota original dada por una cuerda es una nota do. Así, el primer armónico, llamado tercera, se
encuentra cuando la longitud es 45
de la longitud inicial,
tiene una frecuencia igual a 54
de f y corresponde a la nota
mi; el tercer armónico, llamada quinta, se encuentra cuan-
do la longitud es 23
de la longitud inicial, tiene una fre-
cuencia de 32
de f y corresponde a la nota sol; y el próximo
armónico se presenta cuando la longitud de la cuerda es exactamente la mitad de la original, corresponde nueva-mente a un do pero de frecuencia el doble de la primera. Esta nota se encuentra en la siguiente octava. En la figu-ra 1.1 se puede apreciar que el sonido representado por la curva verde es la suma de la curva roja f t t1 4 262( ) ( )= ×sen π , y de la curva azul f t t2 2 262( ) ( )= ×sen π y que ésta tiene una
frecuencia de 262 10 0038167
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. Este sonido equivale a tocar
dos notas: do y el do de una octava arriba.
Figura 1.1
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