Neira Fernandez Veronica Articulo

7/25/2019 Neira Fernandez Veronica Articulo

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Comunicacin XIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015.

Vinculacin de la matemtica con administracin

mediante problemas contextualizadosVernica NeiraFernndezPontificia Universidad Catlica del Per-PUCPUniversidad Peruana de Ciencias AplicadasPer

[email protected] V. FloresSalazar1Pontificia Universidad Catlica del Per/[email protected] Politcnico [email protected]

Resumen

El objetivo de esta comunicacin es identificar algunas deficiencias que presentan losestudiantes al modelar problemas contextualizados de la matemtica en el contextode la administracin, mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.Nuestro marco terico es la Matemtica en el Contexto de las Ciencias (MCC)centrndonos en la Fase Didctica de la teora y como metodologa recurriremos a lametodologa propia de la Fase Didctica. Nuestra investigacin se realiz con nueveestudiantes del primer ao de Ciencias Administrativas de la Universidad Peruana deCiencias Aplicadas de Lima-Per. Se elaboraron tres paquetes con problemascontextualizados, los cuales estn estructurados segn la categorizacin de problemasque se explica en la teora. Como uno de los resultados sealamos la importancia de

la etapa de la traduccin del lenguaje natural al lenguaje matemtico para lamodelacin de problemas que vinculan la matemtica con la administracin mediantesistemas de ecuaciones lineales con dos variables.

Palabras clave: matemtica contextualizada, modelacin, categorizacin, problemascontextualizados, administracin.

1Pos-doctorado en el Programa de Estudios Pos-graduados en Educacin Matemtica de la Pontificia UniversidadCatlica de Sao Paulo. PDJ-CNPq/Brasil.


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Vinculacin de la matemtica con administracin mediante problemas contextualizados


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Introduccin

A partir de nuestra experiencia observamos que los estudiantes del curso de MatemticasBsicas del primer ao de Ciencias Administrativas de una Universidad Peruana de CienciasAplicadas de Lima, Per, muestran dificultades en la modelacin de sistemas de ecuacioneslineales no homogneos con dos variables, es decir, cuando se les presenta un problema

matemtico contextualizado en la administracin para que elaboren el sistema de ecuacioneslineales no homogneo asociado al problema.

En vista de esta problemtica, se investigaron algunos problemas que se encontraban en sulibro texto Nivelacin Matemtica para Administradores que se utiliza en la Universidad

Peruana de Ciencias y Aplicadas, estos problemas fueron clasificados segn la categorizacin deproblemas contextualizados de la teora Matemtica en el Contexto de las Ciencias.

Marco terico

Para llevar a cabo esta investigacin tomamos aspectos de la Teora de la Matemtica en elContexto de las Ciencias (MCC) desarrollada por Camarena (1984) y para analizar algunosconflictos cognitivos de los estudiantes utilizaremos la Teora de Registros de RepresentacionesSemiticas de Duval (1999). Adems de la teora presentamos la metodologa didctica propia dela MCC.

La Teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias es una lnea de investigacinestablecida desde hace treinta aos en Mxico. La filosofa educativa de esta teora es que elestudiante est capacitado para hacer la transferencia del conocimiento de la matemtica a lasreas que la requieren y con ello las competencias profesionales y laborales se vean favorecidas.Esta teora contempla cinco fases:

1. Fase curricular iniciada desde 1982.2. Fase epistemolgica que se aborda desde 1988.3. Fase docente definida desde 1990.

4.

Fase cognitiva desarrollada desde 1992.5. Fase didctica que se establece desde 1987.

En este trabajo nos enfocaremos en la fase didctica, ya que nos interesa elaborar unapropuesta didctica para mejorar el aprendizaje en el modelamiento de problemas dematemticas contextualizados en la administracin mediante sistemas de ecuaciones lineales condos variables. Este trabajo fue aplicado a estudiantes que culminaron el primer ao de estudiosen la carrera de Administracin y por ello slo utilizaremos la primera etapa de esta Fase.

Fase didctica

Esta fase contempla un modelo didctico para el desarrollo de las competenciasprofesionales referidas a la resolucin de problemas contextualizados, con ello pretende fomentar

el desarrollo de las habilidades para la transferencia el conocimiento, ste incluye tres etapas(Camarena, 2000):1. Usar la estrategia didctica de la Matemtica en Contexto en el ambiente de

aprendizaje.2. Implantar cursos extracurriculares en donde se llevan a cabo actividades para el

desarrollo de habilidades del pensamiento, habilidades meta cognitivas y habilidades paraaplicar heursticas al resolver problemas, as como actividades para bloquear creenciasnegativas.


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3. Implantar un taller integral e interdisciplinario en los ltimos semestres de losestudios del alumno, en donde se resuelvan eventos reales de la industria.

A continuacin se presentar en la tabla 1, las caractersticas de la primera etapa(Camarena, 2000):

Tabla 1Primera etapa de la Fase didctica

Primera etapa Caractersticas

Uso de la estrategiadidctica de laMatemtica enContexto.

Planteamiento del problema de las disciplinas el contexto o vidacotidiana (problemas reales).

Determinacin de las variables y de las constantes delproblema.

Inclusin de los temas y conceptos matemticos necesarios parael desarrollo del modelo matemtico y la solucin del mismo.

Determinacin del modelo matemtico.

Solucin matemtica del problema.

Determinacin de la solucin requerida por el problema en elmbito de las disciplinas del contexto.

Interpretacin de la solucin en trminos del problema y reade las disciplinas del contexto.

Presentacin de una matemtica descontextualizada.

Fuente: Tesis Neira (2012)

En la teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias se concibe a la modelacinmatemtica como el proceso cognitivo que se tiene que llevar a cabo para llegar a la

construccin del modelo matemtico de un problema u objeto del rea del contexto (Camarena,2009).

Este proceso cognitivo consta de tres momentos, los que constituyen los indicadores de lamodelacin matemtica:

1. Identificar variables y constantes del problema, se incluye la identificacin de lo quevara y lo que permanece constante, tanto implcito como explcito.

2. Establecer relaciones entre stas a travs de los conceptos involucrados en el problema,implcita o explcitamente, ya sean del rea de la matemtica o del contexto.

3. Validar la relacin matemtica que modela al problema, lo cual se hace a travs de

regresarse y verificar que involucre a todos los datos, variables y conceptos del problema.Dependiendo del problema, algunas veces se puede validar el modelo matemtico a travs de versi la expresin matemtica predice la informacin otorgada o la informacin experimental. Enotros casos, para validar el modelo, es necesario dar la solucin matemtica para ver que sepredicen los elementos involucrados.

La teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias incluye una clasificacin para losmodelos matemticos, establecida a travs de cuatro generaciones (Camarena, 2009), de talforma que cuando los modelos matemticos describen problemas de la ingeniera, stos se


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pueden clasificar en modelos de primera generacin, los cuales se obtienen de datosexperimentales de la ingeniera, como por ejemplo determinar la ley de Ohm; tambin seincluyen en este tipo de modelos los fenmenos de la ingeniera como la carga de uncondensador, la cada libre de un cuerpo, el movimiento de un pndulo, etc. En general sonrelaciones matemticas que dan origen a leyes o teoremas de la fsica, la cual es el cimiento de la

ingeniera, ya que para el caso de estas ingenieras se pueden considerar que son fsica aplicada.Se denominan modelos de segunda generacin, cuando requieren hacer uso de expresiones

matemticas ya elaboradas, como los modelos de primera generacin, adems, el rea cognitivaque representan son las ciencias bsicas de la Ingeniera (en nuestro caso: Administracin). Si apartir de estas ecuaciones construimos nuevos modelos, como por ejemplo sistemas deecuaciones que modelan una red de circuitos elctricos, entonces tenemos los llamados modelosde tercera generacin.

Cuando el ingeniero est en ejercicio de su labor profesional, requiere de modelos quedescriben problemas complejos, los cuales puede trabajar de forma ms eficiente a travs de lapaquetera de software existente denominada de simulacin, a esto modelos se les denomina decuarta generacin. Es decir, los modelos de cuarta generacin son aquellos modelos querequieren de varios de tercera generacin o que por su complejidad no es suficiente lacombinacin de modelos de tercera generacin, en algunas ocasiones tienen la posibilidad de sersimulados a travs de la computadora, con lo cual se construye una familia de modelosmatemticos sobre el mismo elemento.

En relacin a los problemas, la teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias, seestablecen tres categoras (Olazbal, 2005). Problemas con enunciado literal correspondiente a laprimera categora, se refiere a problemas en los que se puede hacer una traduccin literalde lossignificados, del lenguaje comn al lenguaje algebraico. La segunda categora la definenProblemas con enunciado evocador; son problemas cuyo enunciado no es suficiente paraestablecer el modelo matemtico que permite resolverlo a travs de las situaciones, objetos y/o

fenmenos y las relaciones entre ellos que expresa literalmente, sino que son necesarios otrosmodelos que evoca el mismo enunciado, nombrndolos, describindolos o refirindose a ellos enforma indirecta; el problema sirve de puente entre la informacin del enunciado y la traduccinfinal al modelo representativo del problema. Mientras que la tercera categora corresponden aProblemas con enunciado complejo, son problemas en los que se puede o no llevar a cabotraducciones literales (1 categora) y/o traducciones con evocacin de enunciado (2 categora)pero lo que los caracteriza es que la expresin matemtica necesaria para relacionar lossignificantes no emana del enunciado, como en las categoras anteriores, sino de la estructuracognoscitiva del individuo.

Adems, en nuestra investigacin se hacen conversiones del registro verbal al algebraico ydel registro algebraico al grfico, tratadas conforme a la Teora de Registros de Representaciones

Semiticas de Duval (1999), como lo muestra la tabla 2 a seguir.

Tabla 2Sistema de ecuaciones con dos variable

Registro Verbal Registro

Algebraico

Registro Grfico


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Un fabricante produce modelos I y II delmparas. Durante la produccin se requieredel uso de dos mquinas A y B. El nmero dehoras necesarias para la produccin de unalmpara est indicado en la siguiente tabla:

Mqu

ina A

Mqu

ina BModelo I 2 1Modelo II 2 3

Si cada mquina puede utilizarse 24 horaspor da, cuntas lmparas de cada modelo seproducen al da?

Fuente: Tesis Neira (2012)

Aspectos metodolgicos

Esta investigacin se llev a cabo con nueve estudiantes que culminaron el primer ao deestudios de la carrera de Administracin y por ello slo se trabajaron los modelos matemticos

de primera y segunda generacin en las dos primeras categoras de los problemas.Como es de nuestro inters enfocarnos en la Fase Didctica de la MCC identificaremos los

problemas de matemticas contextualizados en la administracin relacionados con un sistemasde ecuaciones lineales con dos variables presentes en el libro texto Nivelacin Matemtica paraAdministradores,para ello se hace un anlisis de los contenidos de cada rea bsica, tantoexplcitos como implcitos, en los cursos especficos de la ingeniera (Camarena, 2000). Ennuestra investigacin, el anlisis del contenido Sistemas de ecuaciones lineales con dos variablesse hace con base en el libro texto.

El Anlisis

Esta prueba se aplic a un grupo de treinta y dos estudiantes, de ellos se escogieron slo a

nueve estudiantes por tratarse de estudiantes que haban llevado un curso previo de Matemtica.Luego se dividi al grupo en tres subgrupos y a cada subgrupo se le entreg un paquete diferentede problemas para evitar que los estudiantes se distraigan entre ellos con preguntas, sin embargolos problemas considerados en los tres paquetes fueron seleccionados del libro texto que utilizanlos estudiantes en el primer ciclo de la carrera de Administracin. Cada paquete incluye unproblema de las dos primeras categoras y adems un problema que nos permita identificar sirealmente hubo un aprendizaje que les permita hacer uso del cambio de registros, del registrogrfico al registro algebraico. Los tres problemas estn relacionados con el tema de sistemas deecuaciones lineales con dos variables. Estos problemas se le presentan ordenados segn lasmismas categoras.

Para el presente artculo mostramos slo los problemas del modelo de segunda generacin

y la segunda categora vistos en cada uno de los tres paquetes con sus respectivos anlisis,considerando el desarrollo de los estudiantes Tiffany, Geraldo y Claudia en sus paquetesrespectivos.

Paquete 1

La empresa TK planea fabricar y vender un nuevo modelo de lapiceros. El costo deproducir 300 lapiceros es S/.1 000 y el costo de producir 200 lapiceros es de S/.700.Cada unidad ser vendida a S/. 5


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a)Determine la ecuacin del Costo total, Ingreso y Utilidad, en trminos delnmero de lapiceros fabricados y vendidos.

b) Grafique las ecuaciones encontradas en la parte anterior.

Figura 1. Desarrollo de Tiffany

En este problema, el objetivo era que el estudiante logre comprender el significado de lostrminos para la traduccin con evocacin, pues los modelos matemticos son:

Y adems esperbamos que hicieran el conversin del registro algebraico al registrogrfico, pero esto se poda lograr slo si hacan la parte a).

Tiffany (figura 1), tuvo dificultad para reconocer los datos que se brindaban en el problemay adems reconocer que puntos de paso de la funcin costo. Vemos que en su desarrollo muestra

un tratamiento en el registro algebraico equivocado.Se esperaba que pudiera hallar dicha funcin ya que se le ense a determinar la ecuacin

de una recta utilizando dos puntos de paso. Sin embargo, record los modelos matemticos queestaban en juego y logr modelar la funcin ingreso. Tampoco realiz la grfica que se le pedaya que no tena las funciones para que las graficara.

De acuerdo con nuestra teora, en la fase didctica, Tiffany no pudo traducir el problemacontextualizado, del lenguaje verbal al algebraico, pues no logr: ni identificar las variables, niestablecer una relacin entre las variables.

Ella coloc como un comentario: No puedo resolverlo porque no me acuerdo,observndose la forma frecuente de proceder de los estudiantes, recurrir al recuerdo en vez del

razonamiento.Paquete 2

Al taller de carpintera Creaciones Miguelito le cuesta fabricar cada mesa S/50,

los gastos fijos son de S/3 000. Si cada mesa cuesta S/100.a) Determinar las ecuaciones del costo total y del ingreso.b) Graficar el costo total y el ingreso.


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Figura 2. Desarrollo de GeraldoEn este problema, el objetivo era que el estudiante logre comprender el significado de los

trminos para la traduccin con evocacin, pues los modelos matemticos son:

Y adems esperbamos que hicieran el cambio del registro algebraico al registro grfico,pero esto se poda lograr slo si hacan la parte (a). Describiremos el desarrollo que Geraldorealiz (figura 2):

En la parte (a) se observa que el estudiante identific lo que debera evocar y se ve

reflejado en la funcin costo e ingreso que modela en su desarrollo, sin embargo, no identificalas constantes ni las variables. Por lo tanto no realiz la traduccin correctamente lo que indicaque no concluy con la fase didctica.

L no complet la parte (b) porque slo muestra la intencin de graficar el plano pero nografic las funciones encontradas en la parte (a). Geraldo coment: No recuerdo

Geraldo no pudo hacer la conversin del lenguaje algebraico al grfico.

Paquete 3

Una compaa de refinamiento de maz produce gluten de maz para alimento deganado, con un costo variable de $76 la tonelada. Si los costos fijos son de $11 000por mes y el precio de venta es de $126 la tonelada.

a) Determine la ecuacin del Costo total, Ingreso y Utilidad, en trminos delnmero toneladas de gluten de maz.b) Grafique las ecuaciones encontradas en la parte anterior.


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Figura 3. Desarrollo de Claudia

En este problema, el objetivo era que el estudiante logre comprender el significado de lostrminos para la traduccin con evocacin, pues los modelos matemticos son:

Y adems esperbamos que hicieran el cambio del registro algebraico al registro grfico,pero esto se poda lograr slo si hacan la parte (a).

Claudia (figura 3), en la parte (a) logra identificar cada uno de los datos del problema perono puede relacionarlos para que luego realice la traduccin final al modelo representativo delproblema. No pudo concluir la fase didctica de nuestra teora.

En la parte (b), no grafic las funciones que se le pedan porque no las encontr en la parte(a).

En los tres problemas que se escogieron para esta categora, la traduccin toma un papelclave en el entendimiento, planteamiento y resolucin de los mismos. En los tres paquetes serequera evocar los siguientes modelos:

Desde el momento en que se eligieron estos problemas para la puesta a prueba de lacategorizacin se hizo en un campo delimitado de la matemtica: Matemtica Bsica.

En nuestra investigacin confirmamos que los problemas de esta categora requieren de lacomprensin de los conceptos: funcin costo total, funcin ingreso y funcin utilidad.Estimamos que su resolucin refuerza su conocimiento, ya que cuando el estudiante utiliza lasfrmulas entendiendo las leyes a las que representa, les est dando sentido verdadero de modelomatemtico y no de recetas algebraicas.


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Conclusiones

Se pudo observar en este anlisis que los estudiantes no validan la relacin matemtica quemodela al problema, ni verifican o interpretan los resultados. Esto se observa en el desarrollo deKatherine, donde todo el desarrollo parece mecnico sin la verificacin ni la interpretacin desus resultados.

Tambin observamos que a medida que aumenta la categora de los problemascontextualizados, el nmero de estudiantes que entienden y traducen del lenguaje natural almatemtico, dichos problemas, disminuye. Esta conclusin es porque se observ que la mayorade estudiantes hicieron los problemas de la primera categora pero ya no hicieron los problemasde la segunda categora.

Adems pudimos constatar, como lo establece la MCC, que el conocimiento del contextojuega un papel primordial para el xito de la resolucin de situaciones contextualizadas.

Referencias y bibliografa

Camarena, G. P. (1984). El currculo de las matemticas en ingeniera. Memorias de las Mesas

Redondas sobre Definicin de Lneas de Investigacin en el IPN (pp. 21-25). Mxico,Mxico: Instituto Politcnico Nacional.

Camarena, P. (2000) La Matemtica en el Contexto de las Ciencias: Modelo Didctico.

Documento de trabajo de la Red Internacional de Investigacin MaCoCiencias. Captulo:Fase Didctica del libro: La Matemtica en el Contexto de las Ciencias, EditorialESIME-IPN.

Camarena G. Patricia (2009). Mathematical models in the context of sciences. IMFUFA,Matematik og Fysik. Nr. 461 2009, pp. 117-132. Mathematical applications andmodelling in the teaching and learning of mathematics. Denmark.

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semiticos y aprendizajes

intelectuales. Bogot, Colombia: Universidad del Valle.

Neira, V. (2012). Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables: Traduccin de problemas

contextualizados del lenguaje verbal al matemtico con estudiantes de Ciencias

Administrativas. Tesis del grado de Magster en Enseanza de las Matemticas de laPontificia Universidad Catlica del Per.

Olazbal, A. (2005). Categoras en la traduccin del lenguaje natural al algebraico de la

matemtica en contexto. Tesis de Maestra en Ciencias en el rea de EducacinMatemtica del Instituto Politcnico Nacional, Mxico.
http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/olazabal_2005.pdfhttp://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/olazabal_2005.pdf

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