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Estudio de Modelos de IntercambiosBilaterales y Leyes de Distribución.

José Maŕıa Miotto

Tesis de Licenciatura en Ciencias F́ısicas

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Noviembre 2011

TEMA: Modelos Multiagentes en Economı́a

ALUMNO: LU N°: 865/05

LUGAR DE TRABAJO: Departamento de F́ısica

DIRECTOR DEL TRABAJO: Mart́ın G. Zimmermann

FECHA DE INICIACION: Abril 2011

FECHA DE FINALIZACION: Noviembre 2011

FECHA DE EXAMEN:

INFORME FINAL APROBADO POR::

Autor Jurado

Director Jurado

Profesor de Tesis de Licenciatura Jurado

Índice

Resumen 1

Abstract 2

1 Introducción 5

2 Introducción al Estudio de las Distribuciones de Ingresos y Dinero 7

2.1 Origen Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fuentes de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Caracteristicas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Valores T́ıpicos del ı́ndice de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 Evolución Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Indicadores que miden la Desigualdad en una Distribución de Ingreso . . . . 13

2.4.1 Coeficiente de Gini y Curva de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2 Otros ı́ndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Distribuciones asociadas: Ingreso Familiar, Riqueza y Dinero . . . . . . . . 21

3 Modelos de Agentes Múltiples 25

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Modelos de Agentes Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Caracteŕısticas de los sistemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Evolución del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Ensambles, Equilibrios y Propiedad de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Intercambios Monetarios Directos 33

4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Intercambio Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.2 Solución Anaĺıtica para el Intercambio Aditivo . . . . . . . . . . . . 35

iv ÍNDICE

4.3 Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Caso Aditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2 Caso Multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.3 Intercambio Directo con Ahorro asegurado . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.4 Intercambio Directo con Consumo asegurado . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Intercambios Monetarios en Redes Simples 47

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Algunos Elementos de Teoŕıa de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 Representación matricial de un grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Definiciones y Propiedades de las Redes usadas . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.1 Redes de Erdős-Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.2 Redes de Watts-Strogatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.3 Redes de Barabási-Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4.1 Redes de Erdős-Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4.2 Redes de Watts-Strogatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.3 Redes de Barabási-Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Intercambios Monetarios en Redes Bipartitas 59

6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Grafos Bipartitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2.1 Red bipartita ER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3 Mecanismos de Reparto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4.1 Reparto Cooperativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4.2 Reparto con Dueño único . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Conclusiones 71

Resumen

Distintos problemas que surgen en la Economı́a pueden ser analizados usando conceptos

y métodos cuantitativos de la F́ısica. En este trabajo en particular, se exploran distintos

modelos de agentes múltiples aplicados al estudio de la distribución del ingreso y de la

riqueza.

En primer lugar se expone el objeto de estudio, la distribución del ingreso en la sociedad,

desde un punto de vista cuantitativo y detallando algunas cuestiones metodológicas; se

analiza además la relación entre la distribución de ingreso y la de riqueza y se hace una

reseña de los principales ı́ndices usados para determinar la distribución de la riqueza. Se

realiza una presentación, además, de los modelos de múltiples agentes en general.

Los modelos presentados son modelos computacionales de múltiples agentes donde se

simula un mercado de intercambios bilaterales donde la riqueza es conservativa. Se vieron

distintos tipos de sistemas según las restricciones a estos intercambios monetarios: el

primero, sin restricciones, el segundo, sobre redes simples de agentes, y el tercero, sobre

redes bipartitas, donde se introduce una segunda clase de agentes, las firmas.

Se analizaron distintas posibles variaciones de estos modelos con el objetivo de obtener una

distribución de ingresos o riqueza realistas haciendo uso de la menor cantidad de supuestos

posibles, y discutiendo la validez de estos supuestos.

Abstract

Several problems arising in Economics are analyzed using concepts and quantitative

methods from Physics. In this work in particular, are explored different multiple agents-

based models, applied to the study of the income and wealth distribution.

In the first place is shown the object of study, the income distribution of a society, from

a quantitative point of view and detailing some methodological issues; is also analyzed

the relation between the income and the wealth distribution and are summarized the

main indexes used to determinate the inequality of these distribucionts. Then there’s a

presentation of the multiple agents models in general.

The presented models are computational models of multiple agents where is simulated a

market of bilateral exchanges where the wealth is conserved. Different types of systems

are studied based on the restrictions imposed to these monetary exchanges: the first,

without restrictions, the second, with simple networks of agents, and the third, on bipartite

networks, where is introduced a second class of agents, the firms.

Are analyzed different possible variations of these models with the aim of obtaining

an income or wealth distribution realistic with the lesser quantity of assumptions, and

discussing the validity of these assumptions.

Caṕıtulo 1

Introducción

Existen diversas ramas de la Economı́a dedicadas a entender la desigualdad de ingreso

dentro de las distintas sociedades, sin embargo solo algunos economistas tratan la

desigualdad de ingreso desde un punto de vista cuantitativo, y los que aśı lo hacen, en

general se limitan a la descripción del fenómeno, recurriendo a consideraciones cualitativas

cuando se habla de la dinámica de la distribución de ingreso.

Las primeras consideraciones cuantitativas sobre el tema aparecieron solo a partir de

los inicios del siglo XX, gracias a Vilfredo Pareto [1], quien analizó registros de recaudación

impositiva para obtener las primeras descripciones de la desigualdad de ingreso. El

incremento de la intervención del estado en los páıses comunistas y capitalistas a partir

de la crisis del ’29, la Teoŕıa Estad́ıstica y, conjuntamente, la Macroeconomı́a, impulsó

a los estados más desarrollados a constituir organismos que censen la población no solo

demográficamente, sino también en sus indicadores económicos. A partir de entonces se

generó una enorme cantidad de datos al respecto (aśı como también de otros aspectos

de la realidad económica de los páıses). También se desarrollaron ı́ndices que midan la

distribución del ingreso, aśı como la desigualdad asociada mediante un único valor, lo cual

permitió comparar directamente la situación distintos páıses.

Luego de algunos trabajos aislados [2, 3], a finales de la década del ’90, un grupo

creciente de f́ısicos se empezó a dedicar al estudio de la distribución de ingresos desde

el punto de vista de la mecánica estad́ıstica. Este tipo de estudios prescinde de muchos

detalles en pos de una descripción sencilla. En particular, exploran la posible analoǵıa

entre las colisiones de un gas ideal con los intercambios monetarios que suceden en una

economı́a cerrada.

Esta tesis apunta a discutir estos modelos y extenderlos en algunas direcciones

no exploradas. Se utilizaron herramientas computacionales para resolver los modelos

propuestos y calcular las distribuciones de ingreso resultantes, dados distintos escenarios

de interaccion entre los agentes. Además, se desarrollaron otros modelos bajo los mismos

6 Introducción

axiomas de los modelos previamente citados, introduciendo, primero, redes simples de

intercambio entre agentes y, luego, redes bipartitas entre agentes y firmas.

Esta tesis comprende, además de este primer caṕıtulo introductorio, un segundo

caṕıtulo en el que se detallan las principales caracteŕısticas de la distribución de ingresos,

las limitaciones de su medición y se presentan los ı́ndices usuales para describirla.

El tercer caṕıtulo presenta los Modelos Agentes Múltiples en general, su aplicación a la

Economı́a (ACE ), las caracteŕısticas generales de los modelos propuestos en esta Tesis y

se mencionan algunas genralidades sobre la implementación computacional que se realizó.

En el cuarto caṕıtulo se introducen y discuten los principales modelos basados en

Agentes con Intercambio directo.

En el quinto y sexto caṕıtulo se presentan los modelos de intercambio entre Agentes

sobre redes simples y bipartitas (añadiendo las Firmas), respectivamente. También se

presentan los conceptos necesarios de Teoŕıa de Grafos.

Las conclusiones del trabajo se presentan en el caṕıtulo séptimo, aśı como las

indicaciones para futuros desarrollos en el campo.

Caṕıtulo 2

Introducción al Estudio de las

Distribuciones de Ingresos y

Dinero

2.1 Origen Histórico

El interés por las Distribuciones de Ingresos nace en la Segunda Revolución Industrial:

anteriormente, las principales corrientes de las Ciencias Económicas se focalizaron en el

estudio de otros problemas, tales como la determinación de los factores más importantes

en la producción y la interacción entre ellos, la determinación del precio de mercado o la

regulación del intercambio entre páıses.

Hacia finales del siglo XIX, dan a conocer sus trabajos un conjunto heterogéneo

de economistas que hacen un uso intensivo de la descripción matemática de distintos

problemas con el fin de realizar un análisis más acorde a los cánones cient́ıficos; este

cambio se manifiesta también mediante la adopción del término Economı́a en favor de

Economı́a Poĺıtica, usado para describir los estudios en el campo en el siglo XIX, a partir

de la publicación de Principles of Economics [4] de Alfred Marshall (1842-1924) en 1890.

Además de la aplicación de principios cient́ıficos más rigurosos al campo, parece relevante

en la motivación de la academia la cantidad de cambios que generó un siglo de Revolución

Industrial (en ese momento) en Europa y la generación de los partidos poĺıticos de masa,

que llevaron una enorme cantidad de personas a discutir sobre la forma de la sociedad, y

por lo tanto, sobre la producción de sus recursos y su distribución. En ese sentido, Karl

Marx (1818-1883) fue uno de los primeros economistas en detallar la creciente disparidad

entre los sectores sociales [5], si bien su estudio entra todav́ıa en el campo de la Economı́a

Poĺıtica.

Fundamentales fueron las contribuciones de Vilfredo Pareto (1848-1923) al estudio de

8 Introducción al Estudio de las Distribuciones de Ingresos y Dinero

las Distribuciones de Ingresos. En 1906 [1], Pareto publica su Manuale di Economia

Poĺıtica, donde, entre otras cosas, presenta sus conclusiones sobre la Distribución del

Ingreso.

2.2 Fuentes de los datos

La determinación de la Distribución de Ingresos es realizada en general por organismos

gubernamentales, de distintas maneras y en general con diversos objetivos, principalmente

en dos formas.

Una primera medición las realizan las distintas agencias nacionales de censos, a través

de campañas de encuestas, muchas veces permanentes; en la Argentina este rol lo cumple

la Encuesta Permanente de Hogares (EPH), a cargo del Instituto Nacional de Estad́ısticas

y Censos (INdEC). Los objetivos de estas encuestas son por lo general de orden sociológico

(estad́ısticas laborales sobre todo).

Una segunda medición se puede obtener a través del registro impositivo, realizado por

los organismos a cargo de la recaudación fiscal. La ventaja que tienen los registros obtenidos

de esta manera es que se trata de registros que cubren toda la población económicamente

activa, al mismo tiempo que por lo general se trata de registros relativamente precisos: a

pesar de que no cubren la población que se encuentra en una situación impositiva regular

(es decir la mayor parte de los casos de trabajo informal, las declaraciones fraudulentas de

ganancias, etc.), la información sobre el ingreso individual es registrada de manera exacta.

Al tratarse de una gran cantidad de datos, es posible obtener una distribución con detalles

mucho más finos que la obtenida usualmente a través de las encuestas generales, que poseen

solo pocas categoŕıas, con función indicativa. Otro factor a tener en cuenta es que el interés

del estado en este tema es relativamente reciente, sin embargo las declaraciones impositivas

pueden ser muy antiguas (existen algunos registros que datan inclusive de la época feudal

[6]).

Por lo general no es común tener acceso al registro detallado de los datos que realizan

las distintas agencias (lo que es conocido como Microdata), teniendo en cuenta además que

se trata de una cantidad inmensa de información (122 millones de contribuyentes en el caso

de EE.UU. [7], 27 millones en Alemania [8], 51 millones en Japón [9] por ejemplo), por lo

general no ordenada: en el caso de los registros impositivos, por ejemplo, al haber distintos

tipos de impuestos no es trivial amalgamar los datos. Existe una bibliograf́ıa especifica

sobre la compilación de estos datos y su posterior analisis descriptivo, que sera detallada

mas adelante y que por lo general es realizada con participación de especialistas del rubro.

2.3 Caracteristicas generales 9

2.2.1 Definición

En un sentido amplio, el ingreso por habitante es en śı el equivalente monetario (comercial)

de todo lo que éste produce. Es decir, cada persona produce una determinada cantidad

de bienes y/o servicios adquisibles en el mercado, a un determinado precio; el valor de

mercado de todo lo que esta persona produce es el ingreso de la misma. Esta definición

tiene en cuenta los ámbitos de producción informales, como puede ser el trabajo que se

realiza dentro de la casa, como tareas hogareñas o cultivar una huerta propia.

Es claro que una medición del ingreso según la previa definición resultaŕıa muy compleja

y extensa. Los distintos páıses en general miden lo que es el ingreso de una persona generado

por un intercambio comercial: de todo lo que esta persona produce, se considerará ingreso

solamente aquello que efectivamente se vende en el mercado. Estas ventas (que puede ser

la venta de un bien o servicio realizado por esta persona o simplemente tener un contrato

en relación de dependencia), en general están registradas por el estado (en general con

fines impositivos), lo que hace posible su medición.

2.3 Caracteristicas generales

Las caracteristicas generales de las distribuciones de ingresos parecen ser comunes a

distintos paises y epocas, con muy pocas excepciones sobre el total de los casos.

En las Fig. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 se pueden ver las distribuciones de ingresos

de EE.UU. [7], el Reino Unido [7], Japon [9], Australia [10], Italia [11] y Argentina [12]

respectivamente. Se trata en todos los casos de histogramas realizados a partir de registros

impositivos de los respectivos páıses.

Vilfredo Pareto es el primero en sugerir [1] que la distribución de ingresos se comporta

como una ley de potencias; esta afirmación no ha sido falseada por ningun estudio, y

parece valer en una gran variedad de casos, no solo geograficamente [7], sino también

temporalmente [13, 7, 14] y vale también si se consideran distintos sectores sociales o

rubros [15], [16]. Por más asombrosa que parezca la presunta universalidad de estos

resultados, hace falta decir que solamente valen para un pequeño porcentaje de la población

(t́ıpicamente el 1-3%), y esa fracción se encuentra siempre al tope de la distribución, es

decir que se trata de los más ricos. La distribución de Pareto es entonces

P (r) ∼ r−α (2.1)

donde α es el ı́ndice de Pareto.

El grueso de la población (el 97-99% más pobre) se encuentra distribuido en cambio en

alguna distribución con un decaimiento significativamente más rápido. Existen diferencias

a la hora de dar una descripción exacta, vista la similaridad entre las diversas distribuciones


Figura 2.1: Distribución Acumulada delIngreso (en k$ de EE.UU.) en los EE.UU.,año 1997 [7], con escala logaŕıtmica en ambosejes, donde la parte de mayores ingresos dela distribución muestra una clara tendenciapotencial (distribución de Pareto); en elrecuadro, con escala log-linear, se muestra laparte inferior de la distribución, que muestrauna clara tendencia exponencial.

Figura 2.2: Distribución Acumulada delIngreso (en k£) en el Reino Unido, año1994-99 [7], con escala logaŕıtmica en am-bos ejes, donde la parte superior de ladistribución muestra una clara tendenciapotencial (Distribución de Pareto); en elrecuadro inferior, con escala log-linear, semuestra la parte inferior de la distribución,que muestra una clara tendencia exponencial.Los distintos colores de los puntos indican losaños correspondientes a los datos; los ingresosde las distribuciones fueron normalizadospreviamente por un factor Ri/R0 igual alcociente entre el PBI per cápita del año i-ésimo y el del año 1994.

Figura 2.3: Distribución Acumulada delIngreso en Japón, año 1998 [9], con escalalogaŕıtmica en ambos ejes.

Figura 2.4: Distribución Acumulada delIngreso en Australia, años 1989-2000 [10],con escala logaŕıtmica en ambos ejes. Losdistintos colores de los puntos indican losaños correspondientes a los datos; los ingresosde las distribuciones fueron normalizadospreviamente por un factor R igual al PBI percápita del año respectivo.

2.3 Caracteristicas generales 11

Figura 2.5: Distribución Acumulada delIngreso (en k£ italianas) en Italia, año 1998[11], con escala logaŕıtmica en ambos ejes (sibien los ejes son lineales, están graficados loslogaritmos de los datos originales).

Figura 2.6: Distribución Acumulada delIngreso (en $ argentinos) en Argentina, años2000-09 [12], con escala logaŕıtmica en ambosejes; las distintas formas de los puntoscorresponden a distintos años. Notar queestas distribuciones no fueron normalizadaspor ningún factor.

propuestas: exponencial [7], log-normal [11],[9], Weibull [17], Gompertz [14], k-generalizada

[18], etc. También hay que decir que no todas las distribuciones en la parte de bajos

ingresos son similares (cfr. la situación de Brazil [14]: posee una distribución simil a

la exponencial solo desde el año 1985), por lo cual no habŕıa que por que esperar que

un mismo modelo ajuste en todas. Sin embargo, muchas de las economı́as más grandes

comparten distribuciones muy similares, lo que hace suponer que si bien no se trata

de un rasgo universal, es común a las economı́as que comparten modelos con premisas

económicas similares; probablemente estas sean las poĺıticas económicas neoliberales. En

el citado trabajo sobre la situación de Brazil se puede ver la evolución de la forma de

las distribuciones de ingresos desde 1978, en pleno peŕıodo del gobierno de la dictadura,

que finalizó solo en 1985; la distribución cambia en ese peŕıodo, después de lo cual parece

haberse estabilizado en la forma descripta para los demás páıses mencionados.

La existencia de dos distribuciones distintas para los rangos descriptos sugiere la

distinción entre dos clases sociales, los paretianos, que siguen la distribución de Pareto,

y los no-paretianos, que siguen otra distribución. Está claro de todas maneras que estas

dos clases se solapan, con lo cual el valor del ingreso que distingue las dos clases, lo

llamaremos r0, en la distribución de ingresos es algo inexacto, ya que se determina por

inspección ocular en la distribución de ingresos.

2.3.1 Valores T́ıpicos del ı́ndice de Pareto

Se presentan a modo indicativo algunos valores t́ıpicos para el ı́ndice de Pareto en la

Tabla 2.1.


Páıs o conjunto Año Índice de Pareto

EE.UU 1997 1.7 [7]

EE.UU 1935 1.63 [19]

Reino Unido 1997 2.1 [7]




Sajonia 1880 1.58 [9]

Prusia 1881 1.73 [9]

Japón 1998 2.05 [9]

Japón 1944-98 1.35-2.6 [9]

Forbes 400 1999 1.36 [20]

Tabla 2.1: Valores de los ı́ndices de Pareto para distintos páıses y años (provenientes de distintasfuentes). Se incluyen algunos valores correspondientes a otros peŕıodos históricos y el ı́ndicecorrespondiente a los 400 hombres más ricos del mundo según la revista Forbes; lo llamativo deeste último caso es que se trata de un ı́ndice global, no designado a un territorio fijo; a la vez es laprueba definitiva de que la cola de la distribución es Pareto.

2.3.2 Evolución Temporal

La Fig. 2.7 es particularmente interesante: muestra la evolución temporal de la distribución

de ingresos para EE.UU., compilada por Yakovenko [13]: el autor describe la zona no-

paretiana de la distribución como una exponencial con un coeficiente R (ver Caṕıtulo

4), con lo cual la distribución de ingresos para él se puede describir enteramente por

tres parámetros: el coeficiente R recién mencionado, el ı́ndice de Pareto α y el valor de

solapamiento r0. En la Fig. mencionada, la distribución de ingresos en los distintos años se

encuentra normalizada, usando como valor de la abscisa r/Ri, donde Ri es el ingreso medio

en ese año (PBI per cápita). Los datos de la distribución exponencial colapsan, lo que indica

que esta fase de la sociedad evoluciona de manera compacta; no lo hacen aśı los datos de

las distribuciones de Pareto, lo que indica que vaŕıan en el tiempo independientemente del

resto de la sociedad.

Existen distintas propuestas para explicar este hecho en la literatura econof́ısica [21, 16],

pero pareciera la más coherente la que supone que los mecanismos por los cuales percibe

ingresos las dos partes de la sociedad son fundamentalmente distintos [7, 13]: mientras la

gran mayor parte de la población económicamente activa es asalariada, existe una pequeña

porción que en cambio recibe ganancias de manera variable, ya sea por ser independiente

o ser el dueño de algún negocio, emprendimiento, inversión financiera, etc. Este supuesto

implica que la primera parte de la población acumula dinero de manera aditiva, mientras la

segunda parte no; en particular, es probable que lo haga de manera multiplicativa, ya que

2.4 Indicadores que miden la Desigualdad en una Distribución de Ingreso 13

Figura 2.7: Distribución de Ingresos de los EE.UU., con ingresos normalizados por Ri, el PBI percápita del i-ésimo año, 1983-2001 [13]. Notar que si bien los datos colapsan en la zona que el autorsostiene que cumple una distribución exponencial, no lo hacen en la zona de Pareto.

aśı es como crece el capital: basta pensar que la base del sistema capitalista, el préstamo,

requiere un pago que aumenta exponencialmente con el tiempo. Si la empresa que contrae

el préstamo está aumentando su ganancia es esperable que trate de hacerlo, al menos, con

la misma tasa a la que pidió el prestamo.

En la Fig. 2.8 se muestran los valores del Índice de Pareto de EE.UU. a lo largo de los

años en comparación al ı́ndice Standard & Poors 500, uno de los ı́ndices de capitalización

más conocidos de EE.UU., y otros indicadores. Es visible una relación entre el ingreso

acumulado en la zona de Pareto y el S&P500 (aunque no exacta), lo que refuerza la idea

que relaciona la fase paretiana de la sociedad con la especulación (en el sentido amplio de

la palabra) financiera [22].

2.4 Indicadores que miden la Desigualdad en una Dis-

tribución de Ingreso

Los economistas suelen usar indicadores que miden la desigualdad en una distribución

de ingresos, de manera tal que un solo número resume la información que contiene

toda la distribución. Estos indicadores tienen que cumplir algunos requisitos básicos,

fundamentalmente que sean independientes del tamaño de la población, de la riqueza

absoluta de esta población (es decir, si todos los habitantes aumentan su ingreso en un

mismo factor, la métrica se verá invariada) y además deben ser formulaciones que muestren

una variación monótona de sus valores si alguien que tiene mayor ingreso lo pierde en


Figura 2.8: (a) Índice de Pareto, (c) fracción del ingreso total recibida por la población en la zonade Pareto, (d) fracción de la población total en la zona de Pareto y (e) ı́ndice S&P500, años 19-2000[22].


función de que alguien que tiene menor ingreso lo gane. Esta última condición es lo que

hace que la métrica propuesta para la medir la desigualdad de una distribución de ingresos

sea efectivamente una medida de la desigualdad.

2.4.1 Coeficiente de Gini y Curva de Lorenz

El ı́ndice más usado por los economistas a la hora de medir la desigualdad en una

distribución de ingresos es el Coeficiente de Gini, definido por el sociologo y demógrafo

Corrado Gini en 1912.

Definición

El Coeficiente de Gini suele definirse tomando como base lo que se conoce como Curva de

Lorenz, construida por Max Lorenz en 1905, la cual se aplica en una variedad de sistemas

distintos. Se trata de una curva que se construye usando como valor en las abscisas el

valor acumulado de la población de un sistema y en las ordenadas el correspondiente valor

acumulado de la variable cuya desigualdad se desee medir. En la Fig. 2.9 se puede ver un

ejemplo concreto, correspondiente a la distribución de ingresos en los EE.UU. Es notable

que esta curva no depende de los valores absolutos que va tomando la distribución, ni del

tamaño del sistema, visto que se usan variables acumuladas en los dos ejes. Este hecho hará

que cualquier medida tomada sobre esta curva sea a su vez independiente de estos factores,

lo que permite comparaciones entre distintos sistemas eventualmente muy diversos.

Se suele graficar junto a la Curva de Lorenz la recta identidad, que representa la

igualdad total entre los componentes del sistema y se denomina Ĺınea de Perfecta Igualdad :

nunca la Curva podrá encontrarse por encima de esta ĺınea; además, hay que notar que

por definición esta curva es siempre convexa. Si se desea construir la curva a partir de

la distribución de ingresos, se lo puede hacer fácilmente de manera paramétrica. Si la

distribución de ingresos es P (r) y se denomina la Curva de Lorenz como el conjunto de

pares de coordenadas F,L(r), se tendrá que

{F,L}(r) ={∫ t

0P (r′) · dr′,

∫ t0 r′ · P (r′) · dr′∫∞

0 r′ · P (r′) · dr′

}(2.2)

siendo r el valor del ingreso hasta el que se integra, r ∈ [0,∞), y a su vez el parámetro deesta función.

El Coeficiente de Gini se define como el área que se encuentra encerrada entre la Curva

de Lorenz y la Ĺınea de Perfecta Igualdad. Es visible que el Coeficiente de Gini es muy

simple desde el punto de vista del cálculo, a la vez que recurre a la idea de distancia entre


Figura 2.9: Curva de Lorenz para la Distribución de Ingresos individual, EE.UU., años 1979-1996[7].


funciones conocida en el cálculo tradicional. Formalmente,

G = 2

∫ 10F − L(F )dF (2.3)

con L(F ) la segunda coordenada de la Curva de Lorentz en función de la primera. El

coeficiente además se normaliza por su máximo valor posible (si se calcula toda el área por

debajo de la Ĺınea de Perfecta Igualdad, resulta 1/2), de manera que su valor se encuentra

siempre entre 0 y 1 (mı́nima y máxima desigualdad respectivamente.

Cálculo para la Distribución de Boltzmann-Gibbs

Se puede calcular el Coeficiente de Gini para distribuciones particulares, como por ejemplo

la distribución exponencial, o de Boltzmann-Gibbs, que ajusta considerablemente bien para

distintas distribuciones de ingresos casos [7], sin tener en cuenta sus colas. Si la distribución

de ingresos fR(r) se escribe como

fR(r) = e−r/R/R (2.4)

la Curva de Lorenz será

{F,L}(r) ={

1− exp(−r/R), F (r)− rRexp(−r/R)

}(2.5)

Para calcular el Coeficiente de Gini despejamos L en función de F :

L(F ) = F + (1− F ) ln(1− F ) (2.6)

Esta Curva de Lorenz, no depende del parámetro T . Esto indica que, si se acepta que la

distribución de ingresos está bien representada por la distribución exponencial, las posibles

variaciones en el valor del Coeficiente de Gini no se deben a movimientos o cambios del

conjunto general de la población, sino que solamente representa cambios en la influencia

de la cola paretiana con respecto al total del sistema. El valor del Coeficiente de Gini para

la distribución de Boltzmann-Gibbs, resultado de la integración es 1/2.

Valores T́ıpicos

Se presentan algunos valores t́ıpicos para el Coeficiente de Gini en la Tabla 2.2. Notar que

en esta tabla se reportan los valores correspondientes a las distribuciones de ingreso por

familia, que son en general el interés real de las estad́ısticas gubernamentales. Como se

indica más adelante, se puede aproximar esta distribución a partir de la distribución de

ingresos individual.


ı́ndices de Gini Ratios 90/10

Páıs 1973/74 1980/81 1900/91 2000 1973/74 1980/81 1900/91 2000

Canadá 0.289 0.284 0.281 0.305 4.27 4.05 3.78 4.13

Finlandia 0.210 0.247 2.63 2.90

Alemania 0.271 0.244 0.247 0.252 3.22 2.89 2.94 3.18

Italia 0.306 0.290 0.333 4.05 3.76 4.48

Holanda 0.260 0.266 0.248 2.94 3.02 2.98

Noruega 0.223 0.231 0.251 2.79 2.80

Polonia 0.274 0.293 3.42 3.59

Rusia 0.393 0.434 6.66 8.37

Suecia 0.215 0.194 0.229 0.252 2.73 2.43 2.78 2.96

Reino Unido 0.268 0.270 0.336 0.345 3.41 3.53 4.67 4.58

EE.UU. 0.318 0.301 0.336 0.368 4.92 4.67 5.55 5.45

España 0.340 0.333 0.320 0.325 4.74 4.58 4.24 4.07

Boltzmann-Gibbs 0.378

Tabla 2.2: Valores de los ı́ndices de Gini y Ratio 90/10 de las distribuciones de ingreso familiarespara distintos páıses y años [23].

2.4.2 Otros ı́ndices

Coeficiente de Asimetŕıa de Lorenz

A pesar de ser un ı́ndice simple de calcular, el Coeficiente de Gini no es considerado como

un indicador de lo más confiable. Uno de los motivos es que a que distintas Curvas de

Lorentz dan lugar al mismo Coeficiente de Gini (una situación análoga a la correlación y

el cuarteto de Anscombe [24]); se puede ver esto pensando en Curvas de Lorenz que sean

asimétricas con respecto a la recta 1− F .Como complemento, y para subsanar esta deficiencia, a veces se indica también el

Coeficiente de Asimetŕıa de Lorenz [25], definido como

S = F (r̄) + L(r̄) (2.7)

donde F y L son las componentes de la Curva de Lorenz y r̄ es el ingreso promedio.


Índice de Hoover

El Índice de Hoover [26] viene a ser un ı́ndice muy relacionado con el de Gini, siendo la

mayor distancia entre la Curva de Lorenz y la Ĺınea de Máxima Igualdad,

H = maxF − L(F ) (2.8)

A partir de bases completamente distintas se pueden definir otros ı́ndices que indican

la desigualdad en la distribución del ingreso. Los más usados en el campo, además de Gini,

son los que se relacionan con la noción de Entroṕıa.

Índices de Entroṕıa Generalizada

Sobre una base teórica distinta al Coeficiente de Gini se definieron otros indicadores que

toman como fundamento la entroṕıa de la distribución de ingresos.

Henri Theil [27] enfoca la desigualdad en una distribución como un subproducto del

contenido de información presente en la estructura de la Distribución de Ingresos. Para

llevar adelante su idea, habiendo definido previamente un espacio de probabilidades, Theil

recurre a la función de Información de Kullback,

I(X) = −log(p(x)) (2.9)

y a la Entroṕıa de Shannon [28],

H(X) = E(I(X)) (2.10)

es decir la esperanza de la función de información de X, I(X), donde X es la variable

aleatoria cuya distribución se quiere analizar. La idea de Theil no es analizar simplemente

la entroṕıa del ingreso que recibe una persona, sino la entroṕıa de la proporción del ingreso

total que recibe una persona. Esto hace que su ı́ndice sea independiente de la escala general

de los ingresos del sistema. Theil define dos medidas:

T (X) =∑i

xix̄

log(xix̄

)p(xi) (2.11)

y

MLD(X) = −∑i

log(xix̄

)p(xi) (2.12)

donde

x̄ =∑i

p(xi)xi (2.13)

Al primer ı́ndice se lo llama ı́ndice de Theil o Primer ı́ndice de Theil y al segundo Desv́ıo


Logaŕıtmico Medio, o Segundo ı́ndice de Theil.

Se ha vuelto una práctica común [29] ver estos dos indicadores como casos particulares

de una clase más general de medidas, a partir de lo que se conoce como Entroṕıa

Generalizada.

El ı́ndice de Entroṕıa Generalizada [30, 31] se define como

GEα(X) =1

α(α− 1)∑i

[(xix̄

)α− 1]p(xi) (2.14)

donde α es un parámetro que hace el indicador sensible a distintas zonas de la distribución

según su valor. Si α toma valores 1 o 0, se recuperan los dos ı́ndices de Theil

respectivamente. En el contexto de la Teoŕıa de la Información, se la puede entender

como una medida de la redundancia de información en un mensaje. Esta comparación no

es ociosa, de hecho, Theil mismo define desde un principio su ı́ndice como la esperanza

del contenido de información del mensaje indirecto que transforma fracciones (shares)

de población como probabilidades a priori a fracciones de ingresos como probabilidades a

posteriori [27].

Desde otra base teórica, en cambio, Atkinson [32] define su ndice como

Aε(y1, . . . , yN ) =

1− 1x̄(∑

i p(xi)x1−εi

)1/(1−ε)para ε ∈ [0, 1) ∪ (1,+∞)

1− 1x̄ (∏i xi)

p(xi) para ε = 1,(2.15)

Se puede probar que para ε = 0, A(X; 0) = 1− e−T (X; 1). La variación del parámetro ε esinversa a la del parámetro α, de manera que si ε es cercano a 1, tendrá más peso la parte

de la distribución más pobre, mientras que cerca de 0 se da más peso a la parte más rica.

Ratio 90/10

Otra clase de indicadores que suelen usar los economistas son los Ratios, razones entre lo

que ganan dos sectores de la población. Lo que se conoce como Ratio 90/10 es la razón

entre el porcentaje del ingreso que tiene el 90% de la población más pobre con respecto al

10% más pobre:

Ratio 90/10 =L(0.9)

L(0.1)(2.16)

En la Tabla 2.2 se muestran algunos valores para este indicador.

2.5 Distribuciones asociadas: Ingreso Familiar, Riqueza y Dinero 21

2.5 Distribuciones asociadas: Ingreso Familiar, Riqueza y

Dinero

De manera conjunta a la determinación de la distribución del ingreso aparecen dos

elementos asociados.

El primero es la distribución del Ingreso Familiar. Si uno posee una descripción

relativamente buena de la distribución de ingresos de un sistema, para calcular esta

distribución es necesario solamente conocer la cantidad de familias con distinto número

de trabajadores (en general se trata de uno o dos adultos). Si la distribución de ingresos

para un adulto es P1(r) (igual a la previamente definida P (r), la distribución para dos

adultos iguales será

P2(r) =

∫ r0P1(r)P1(r − r′)dr′ (2.17)

Se ha visto [7] que una combinación lineal de P1(r) y P2(r), en las proporciones de la

cantidad de familias con uno o dos adultos puede proveer una descripción adecuada de

la distribución de ingresos familiar, como se puede ver en la Fig. 2.10. El Coeficiente de

Gini correspondiente a este modelo, teniendo como distribución de ingresos individual la

de Boltzmann-Gibbs, resulta 3/8.

Figura 2.10: Distribución del ingreso familiar, EE.UU., 1996 [7].

En segundo lugar, se tiene la distribución de Riqueza, cuya compilación puede requerir

un esfuerzo impensable. Esto es por que haŕıa falta conocer todos los bienes poseidos

por el individuo con la tasación correcta, además de los posibles capitales y dinero en

efectivo. Sin embargo existen en algunos páıses los impuestos de tipo patrimonial, es decir,

los que gravan sobre la riqueza, no sobre el ingreso ni sobre la ganancia. En la Fig. ?? se

muestran datos compilados por la agencia impositiva del Reino Unido, que reconstruyó la

distribución de la riqueza a partir del impuesto a la herencia, impuesto que se considera


muy respetado, visto que la evasión perjudica directamente al interesado.

Figura 2.11: Distribución acumulada de la riqueza en el Reino Unido, 1996 (según la IR, InlandRevenue [7]).

Se puede ver que la distribución de riqueza respeta la misma forma funcional que

la distribución de ingresos (ver Fig. 2.2), aunque con distintos parámetros. Este hecho

indica una relación intŕınseca entre las dos distribuciones, que muchos autores consideran

equivalentes (como se verá en el Caṕıtulo 4), aunque no lo sean, y en ningún momento

se plantean esta equivalencia, dada por sentada. Desde un punto de vista económico

se suele decir que “el rico se vuelve más rico” (rich gets richer), dando la idea de una

proporcionalidad entre el ingreso y la riqueza.

Existe muy poca bibliograf́ıa que trate de manera exacta la relación entre la distribución

de ingresos y la de la riqueza. El factor que tal vez más dificulta la tarea es que la riqueza

no es solamente el dinero, que es lo relativamente más fácil de registrar, aunque se entiende

que las dos cosas están relacionadas. Uno de estos trabajos es el de Ishikawa [15], donde se

explora el capital de las empresas de Japón por rubro en función de sus ganancias; llega a

la conclusión de que el ı́ndice de Pareto de cada sector industrial es una función del capital

promedio de las empresas de ese mismo sector,

α ' −0.31 log(K̄) + 2.7 (2.18)

donde K̄ es el capital promedio del rubro. Además, también se logra una expresión de lo

que Ishikawa llama escala t́ıpica de la distribución, que es una escala que regula la extensión

de la zona no-paretiana, en función del valor mı́nimo del capital del conjunto de empresas

que se considera,

W ' 4.1K0.91min (2.19)

No está determinado si estas relaciones son comunes a todos los sistemas, pero indican que

2.5 Distribuciones asociadas: Ingreso Familiar, Riqueza y Dinero 23

no es incorrecto a priori asumir la forma de una distribución de ingresos a partir de una

de riquezas o viceversa. Esta hipótesis es muy fuerte y merece una discusión mucho más

profunda de la que se presenta aqúı, además de un extenso estudio emṕırico; a lo largo de

este trabajo se considerará una hipótesis válida.

Caṕıtulo 3

Modelos de Agentes Múltiples

En la primera parte de este caṕıtulo se discute brevemente el origen de los modelos de

agentes múltiples como una alternativa a los modelos tradicionales en la economı́a, basados

en el principio de maximización del beneficio. Luego se introducen las caracteŕısticas

generales de los modelos que se discutirán en los caṕıtulos subsiguientes. Se finaliza con

un breve comentario sobre la implementación computacional de estos modelos.

3.1 Introducción

Un Sistema Económico, se puede pensar como un conjunto de agentes, un conjunto de

recursos que estos agentes poseen y un conjunto de reglas mediante las cuales estos recursos

pueden circular entre esos agentes. Uno de los problemas centrales de la Economı́a es el de la

optimización: cada agente de este sistema tratará de maximizar su beneficio, pero a su vez

cabe preguntarse si el sistema optimiza globalmente el beneficio o no lo hace. Para resolver

esta cuestión, los economistas han recurrido a distintos enfoques, con máyor o menor éxito,

pero siempre bajo la hipótesis de que cada agente resuelve en la práctica un problema de

optimización. Esta hipótesis limita notablemente la generalidad de los resultados, visto que

restringe los escenarios posibles a los que poseen formulaciones de optimización resolubles

por el analista [33], es decir preestablecidas. Además, se dejan afuera del análisis procesos

t́ıpicos de los sistemas sociales, por ejemplo todos los que derivan de suponer un posible

aprendizaje por parte de los agentes, lo que incluye posiblidades de adaptación. De la

misma manera se exluyen las preguntas acerca de la pertinencia de las condiciones de

equilibrio [34, 35], o la consistencia de planes, expectativas o una posible coordinación

entre las acciones de los agentes del sistema [36, 34].

Para abordar estas cuestiones anaĺıticas y el rango de fenómenos representables, los

economistas recurrieron a enfoques y procedimientos alternativos.

Una de las ĺıneas de investigación al respecto es la denominada Economı́a del

26 Modelos de Agentes Múltiples

Comportamiento (Behavioural Economics), la cual trata de entender la naturaleza de

las decisiones económicas de los individuos (y los conjuntos de ellos, aglomerados en

instituciones o empresas) usando factores sociales, cognitivos, emocionales, muchas veces

considerando el posible sustrato neurológico de las conductas. Esta ĺınea tiene que ver más

que nada con el estudio del ĺımite de la racionalidad de los agentes involucrados en un

sistema.

Esta ĺınea está en el extremo opuesto a los modelos con Agentes Representativos,

modelos donde todos los agentes de un mismo tipo son idénticos, o la suma de sus

comportamientos es equivalente al comportamiento de un solo agente equivalente, o

justamente, representativo. Desde hace mucho tiempo que esta idea ha sido utilizada,

por ejemplo, en el marco de la Teoŕıa del Equilibrio General, por Marshall [4] y Edgeworth

[37], entre otros. La Cŕıtica de Lucas [38], cambió el panorama del estudio macroeconómico

en parte: Lucas sostuvo que los modelos macroeconómicos (de su época) diseñados

para realizar predicciones en realidad no pueden proveer ninguna información útil en la

evaluación de las consecuencias de eventuales poĺıticas económicas alternativas. El núcleo

de su tesis reside en la siguiente idea. Supongamos una economı́a caracterizada por una

función de evolución

yt+1 = F (yt,xt, θ, �t) (3.1)

donde y es el conjunto de las variables de estado que definen esta economı́a, x es el

conjunto de las fuerzas económicas exógenas al sistema, θ es un conjunto de parámetros

que tiene el sistema y � son posibles externalidades azarosas. Encontrar esta función F y

sus parámetros θ puede ser muy complicado, sin embargo, subyace la hipótesis de que estos

elementos van a quedar invariados ante cualquier cambio de x. Si se obtienen {F, θ}, nonecesariamente este modelo va a reflejar consistentemente las consecuencias de una poĺıtica

económica arbitraria, definida por externalidades x.

A partir de esta cŕıtica, se vio la necesidad de desarrollar microfundaciones, es decir, un

modelo de las interacciones de los agentes individuales, en vistas de analizar el sistema desde

un punto de vista macroscópico. Realizar estos modelos permite definir el sistema a través

de parámetros profundos [38], que regulan las interacciones reales entre los agentes del

sistema. La teoŕıa más importante que se ha generado a partir de estas consideraciones es

la del Equilibrio General Dinámico Estocástico (DSGE, su sigla en inglés), una metodoloǵıa

de agregación de comportamientos individuales con microfundaciones aplicada a la Teoŕıa

del Equilibrio General.

3.1.1 Modelos de Agentes Múltiples

Los métodos tradicionales descriptos en la sección anterior se focalizan sobre las car-

acteŕısticas del individuo, más que en sus interacciones con los demás agentes. Una

alternativa, no muy explorada por la economı́a tradicional, es invertir esto y focalizarse

3.1 Introducción 27

sobre las interacción más que sobre el individuo. A este tipo de modelos se los conoce como

Modelos de Agentes Múltiples. No cabe duda que los comportamientos individuales pueden

ser importantes, pero dependiendo del foco que se quiera hacer, para describir efectos

agregados (como la distribución de ingresos), pueden ser más importantes las interacciones

entre individuos, mientras que los comportamientos individuales contribuyen en un efecto

estocástico, o baño térmico.

Para estos modelos, estas reglas están bien definidas y a su vez definen la representación

del sistema estudiado y su evolución, más que las estrategias y/o elecciones que tomará un

agente determinado (dentro de las posibilidades definidas por estas reglas). Para los mod-

elos de agentes múltiples, los agentes pueden hasta comportarse de manera completamente

aleatoria, es decir con inteligencia cero [39]; en general, los comportamientos individuales

suelen modelarse en base a procedimientos simples, ya que el énfasis del modelo está puesto

en la especificación de los mecanismos y procesos de interacción.

Los Modelos de Agentes Múltiples permiten la descripción de fenómenos caracteŕısticos

de los sistemas complejos, que se resumen bajo el lema “Más es Diferente”. Esta frase hace

referencia a que este tipo de modelos no cuenta con un sistema que se comporta al igual que

un individuo (a menos de un factor de proporcionalidad), sino que son modelos dirigidos

a presentar propiedades emergentes, es decir rasgos de funcionamiento, que derivan de

procesos de organización, resultado de acciones e interacciones (heterogéneas en general)

de los distintos agentes. Muchas veces son estos hechos estilizados, el carácter cualitativo

del sistema, más que el ajuste cuantitativo, el resultado importante que puede proporcionar

uno de estos modelos, y lo que los diferencia fenomenológicamente.

Desde el punto de vista de la Economı́a, los Modelos de Agente Múltiples permiten

analizar el rol de situaciones complejas que de otra manera no se podŕıan analizar, en

particular, situaciones donde los componentes del sistema evolucionan, se adaptan, se

coordinan, o se reparten tareas, carácteristicas comunes a todo sistema económico realista.

Por lo general este tipo de sistemas no presenta soluciones anaĺıticas: se trata de

sistemas dinámicos, por lo general no lineales, donde la acción de los agentes está definidia

fundamentalmente por algoritmos (es decir el conjunto de reglas del sistema), los cuales

pueden tener componentes estocásticas. Al no poder acceder a herramientas anaĺıticas

para estudiar estos sistemas, se recurre por lo general a simulaciones computacionales.

El origen de estos sistemas se remonta a la década del ’70 con el modelo de segregación

de Schelling [40], [41], o el de contagios sociales de Granovetter [42], y la economı́a se

hizo eco bastante tiempo después [43] formando lo que hoy en d́ıa es conocido como ACE

(Economı́a Computacional basada en Agentes, Agent-based Computational Economics).


3.2 Caracteŕısticas de los sistemas propuestos

Este trabajo presenta una serie de modelos de múltiples agentes con el fin de cuantificar la

robustez o estabilidad de las distribuciones de ingreso resultantes, dados distintos escenarios

de interacción. Los modelos están compuestos porN agentes y reglas que quedan invariadas

a medida que evoluciona el sistema. En estos mercados los distintos agentes “ganan” y

“pierden” dinero; el dinero poseido por el agente es su propiedad más importante.

Un elemento importante de estos modelos es que son estocásticos. La componente

aleatoria que se introduce, reemplaza algun tipo de comportamiento complejo de modelar

y que, en muchos casos, parece razonable suponer que dicho elemento es no-determinista.

Teniendo en cuenta que se trata de modelar una economı́a como un mercado de agentes

interactuantes, se enumerarán las caracteŕısticas salientes de los modelos propuestos, que

serán descriptas más abajo, definidas fundamentalmente para aportar simplicidad:

El sistema está definido solamente por las interacciones posibles entre los agentes; esto

quiere decir que no se contemplarán las posibles estrategias que puedan desarrollar:

contemplar estas estrategias requeriŕıa un modelo de las mismas (que probablemente

involucre Teoŕıa de Juegos, o Teoŕıa de las Decisiones) cuya complejidad dirigiŕıa el

objeto de las conclusiones hacia ellas. En esta situación, se ha preferido introducir un

factor estocástico independiente de los demás, que representa la posibilidad que tiene

un agente de elegir cualquier estrategia en cualquier momento, independientemente

del estado del sistema.

No hay bienes y servicios, solo dinero; estos bienes y servicios se consideran impĺıcitos

en las interacciones propuestas. El criterio usado es el mismo que anteriormente:

existe en la realidad una infinidad de productos, con distintos precios que evolucionan

en el tiempo, aśı como existe una infinidad de maneras en las cuales se puede gastar

el dinero. Esos complejos mecanismos se reemplazan con un proceso aleatorio que

determina que cantidad de dinero se intercambiará. De esta manera también se

excluye del problema la determinación del precio de compra-venta de un producto y

su cantidad.

Las interacciones son bilaterales; es decir que el intercambio de dinero involucra solo

dos agentes por intercambio.

Las interacciones son conservativas; esto es que la cantidad total de dinero que poseen

los agentes antes y después del intercambio es la misma. Esta consideración puede

parecer obvia, visto que el dinero en una compra-venta solo cambia de manos (no se

crea ni se destruye), pero apunta a la distinción entre el dinero y la riqueza. Mientras

el dinero es el mismo, la riqueza puede variar arbitrariamente: si un objeto cambia

de precio entre una compra y una subsiguiente venta, por ejemplo, la riqueza no se

3.3 Ensambles, Equilibrios y Propiedad de Markov 29

conservó, pero śı lo hizo el dinero. Visto que no hay bienes ni servicios, de acá en

adelante se usará indistintamente riqueza o dinero.

Complementariamente a estas consideraciones, sobre el intercambio monetario en śı

hay que el intercambio máximo posible para un agente será el total de su dinero. No se

considerará entonces la posibilidad de contraer deuda.

3.2.1 Evolución del Sistema

El sistema se inicializa en un determinado estado, definido por el valor del conjunto de

propiedades de los N agentes; luego, se realizan los distintos algoritmos que definen la

evolución del sistema. A cada paso de esta evolución se eligen agentes que interactúan,

mediante las reglas definidas del sistema. Esta evolución ocurre entonces de manera serial.

Se trata de otra caracteŕıstica del modelo explicitamente diferente a la realidad, donde las

personas o entidades comerciales interactuan en paralelo. Para sormontar esta diferencia,

no se registrará el estado del sistema en todos los pasos de la evolución del mismo, sino

que se tomarán datos de manera lo suficientemente espaciada como para suponer que en

promedio todos los agentes interactúan al menos una vez (es decir, como mı́nimo N pasos).

No se puede decir entonces que la evolución del sistema es una evolución propiamente

temporal, cosa que ocurre en muchos otros sistemas computacionales.

3.3 Ensambles, Equilibrios y Propiedad de Markov

A pesar de que cada agente est’a caracterizado principalmente por una sola variable (el

dinero que posee), si esta variable está determinada, el estado en el que se encuentra está

degenerado en todas las variables que se mencionaron que se dejan afuera anteriormente;

estos posibles estados se tratarán como microestados que son equiprobables, con lo que

esta situación es prácticamente un ensamble microcanónico. Al considerar la variación en

la cantidad de dinero que posee cada agente, se tendrá entonces un ensamble canónico, con

una temperatura asociada.

De estas consideraciones se desprende que se puede pretender del tipo de sistemas

definidos una eventual situación de equilibrio térmico, donde no haya un flujo neto de las

variables consideradas dentro del sistema.

Cabe preguntarse si esta situación corresponde a una situación realista. La evolución de

la distribución de ingresos en el tiempo, vista en el Caṕıtulo 2 muestra que la distribución

es estable para la mayor parte de la población a menos de una transformación de escalas,

que tiene que ver con el crecimiento del sistema en su conjunto, por lo cual pensar en

un modelo en equilibrio no es descabellado. De hecho, un modelo de estas caracteŕısticas

requerirá que la escala global del sistema no cambie.


Además, es un resultado esperable del sistema si se lo define con la propiedad de

Markov. Un Proceso de Markov posee una distribución estacionaria, o medida invariante,

tal que la aplicación de un operador de evolución sobre esta distribución resulta ella misma.

Sea fX(x; t) la densidad de probabilidades del sistema en función de la variable x en

el tiempo t. Un proceso cuenta con la Propiedad de Markov cuando un la probabilidad

de que un agente se encuentre en un dado estado futuro depende solamente del estado

presente:

fX(x; t+ ∆t | xt; t, xt−∆t; t−∆t, . . . , x0; 0) = fX(x; t+ ∆t | xt; t) (3.2)

Existirá una probabilidad de que un agente del sistema pase de un estado x a otro y

definida como p(x, y) = f(y; t + ∆t | x; t). Esta probabilidad es invariante en el tiempo.La densidad de probabilidades del sistema para el tiempo t+∆t es entonces, por el Teorema

de la Probabilidad Total,

f(x; t+ ∆t) =∑y

p(x, y)f(y; t) (3.3)

donde la suma da lugar a una integral si la cantidad de estados es infinita. Si lo que se

busca es una distribución estacionaria, se planteará

f(x) =∑y

p(x, y)f(y) (3.4)

visto que la distribución de partida y de llegada son las mismas.

A lo largo de este trabajo, se asegurará que los procesos sean

irreducibles, es decir que un agente puede pasar de un estado del sistema a cualquier

otro en una cantidad finita de pasos;

compuestos por estados que sean recurrentes en su totalidad, es decir que un agente

pueda volver a un estado dado en una cantidad finita de pasos;

aperiódicos, es decir que el máximo común divisor entre los tiempos que tarda un

agente en regresar a un estado dado es 1.

Si se dan estas propiedades, se puede establecer que el sistema es ergódico; esto implica

que el promedio de una variable sobre largos intervalos de tiempos es igual al promedio

de una variable sobre una gran cantidad de estados. Esta propiedad permite definir una

medida adecuada de las variables en consideración en las simulaciones a realizar.

Volviendo a la perspectiva termodinámica, realizar mediciones en la distribución

estacionaria del sistema es equivalente a realizar mediciones en el equilibrio térmico del

mismo.

3.4 Implementación 31

3.4 Implementación

Los sistemas basados en agentes que se proponen en esta Tesis fueron implementados

mediante rutinas escritas enteramente en el lenguaje Python. Se tomó esta elección por

que este lenguaje provee un entorno muy favorable para el trabajo con agentes múltiples.

Esto se debe principalmente a que es un lenguaje que naturalmente soporta la existencia

de objetos. En el contexto computacional esto quiere decir que se pueden definir clases,

una plantilla que sirve para crear instancias, u objetos, que a su vez poseen distintas

propiedads. Cada clase está definida con una serie de funciones, métodos, que definen

el comportamiento posible de estos objetos. Es visible como este tipo de construcción

coincide con los elementos que forman un sistema de agentes múltiples.

Los algoritmos implementados personalmente incluyen tanto los que definen el sistema

y su evolución como los algoritmos necesarios para realizar las mediciones pertinentes, ya

sea algoritmos para realizar histogramas como para ajustar por el método de cuadrados

mı́nimos un conjunto de datos. Además, se usó una libreŕıa nativa (PyX) para visualizar

la información obtenida.

Caṕıtulo 4

Intercambios Monetarios Directos

4.1 Introducción

Existe una creciente bibliograf́ıa que trata de modelar el mercado para obtener una

distribución de ingresos en la ĺınea descripta en el Caṕıtulo 3; podŕıamos definir dos

tendencias principales en esta ĺınea de investigación.

Una primera tendencia seŕıa la iniciada por Angle ([16], [44]) y recuperada por

Dragulescu y Yakovenko [45], [46], [7],[47], [22], [13], [48] y casi inmediatamente retomada

por Chakraborti y otros [49], [50], [51], [52]. Estos modelos toman ideas de la teoŕıa cinética

y las aplican haciendo una analoǵıa entre el intercambio de enerǵıa cuando colisionan

part́ıculas y el intercambio monetario cuando se encuentran dos agentes en un mercado,

donde se conserva la cantidad de dinero total. El planteo despertó interés en el problema

de la distribución de ingreso y a partir de aqúı se multiplicaron los trabajos en el tema.

Una segunda tendencia surgió al mismo tiempo, con un art́ıculo de Bouchaud y Mezard

[53], y fue continuada por varios otros autores [54, 55]. Estos modelos se basan en una

Ecuación Maestra por ellos definida que tiene un término que representa la ganancia o

pérdida por inversiones y un segundo término que da cuenta del intercambio entre dos

agentes dados. Los autores resuelven esta ecuación considerando el campo medio para el

intercambio entre los agentes, obteniendo una distribución que es un producto entre una

ley de potencias y un decaimiento exponencial. Este planteo se encuentra sin embargo en

el terreno de los sistemas fuera del equilibrio, y de hecho no conserva la cantidad de dinero

total.

Adicionalmente se han presentado trabajos que tratan de mejorar los dos tipos de

modelos usando carácteŕısticas de ambos [56, 57, 58]. Por otra parte, existe una última

categoŕıa de trabajos donde se tiene el mismo objetivo pero con métodos distintos

[59],[60],[61],[62],[63]: en general se trata de modelos aislados.

Se estudiaron en detalle modelos propuestos que pertenecen al primer conjunto, bajo

34 Intercambios Monetarios Directos

los siguientes supuestos:

cada agente puede interactuar con cualquier otro;

la cantidad total de dinero se conserva en la interacción;

el sistema está aislado.

Se reproducirán sus principales resultados y se estudiarán las caracteŕısticas sobresalientes

de los mismos; en los siguientes caṕıtulos se trabajará sin el primero de estos supuestos.

4.2 Intercambio Simple

4.2.1 Descripción

Dragulescu [45] discute una posible descripción del intercambio monetario haciendo uso de

algunas herramientas de la Teoŕıa Cinética de Gases, en la cual los agentes actúan como

part́ıculas y el dinero es tratado como equivalente a la enerǵıa. El art́ıculo plantea que se

puede lograr una distribución estacionaria de Gibbs mediante intercambios monetarios con

simetŕıa temporal; una ruptura en esta simetŕıa da lugar a otro tipo de distribuciones.

El modelo es muy simple. Se tiene un sistema aislado, con N agentes. Estos agentes

llevan consigo una cantidad wi de riqueza, donde el ı́ndice indica un agente dado. La

dinámica temporal es la siguiente: se eligen dos agentes al azar y uno le da al otro una

cantidad ∆ de su dinero, siempre y cuando la tenga (esto indica una restricción, w > 0).

En caso contrario, la operación no se realiza. Esta será la base del intercambio monetario

a lo largo de toda la tesis prácticamente.

Desde el punto de vista económico hay que hacer algunas observaciones. El modelo que

propone Dragulescu simplifica drásticamente las decisiones que toma un individuo, dejando

en manos del azar y la restricción w > 0 su futuro económico. Se verá que con solo estos

supuestos se obtiene una distribución no-paretiana muy razonable, y con un fundamento

para los parámetros de la misma. Hay que notar que respeta la idea general descripta en

el Caṕıtulo 3.

Una temprana cuestión que puede surgir es la forma del intercambio ∆. Se estudiarán

dos tipos de intercambio, aditivo y multiplicativo.

Definimos como intercambio aditivo el intercambio en el que el monto no depende de

la riqueza del agente; esto seŕıa ∆ = γ · w̄, donde γ es un número tal que 0 < γ < 1.aqúı hay dos variantes: si γ es un parámetro fijo, se tendrá un monto fijo; si en

cambio es una variable aleatoria uniforme γ ∼ U(0, 1), el monto será aleatorio.

4.2 Intercambio Simple 35

Como intercambio multiplicativo se define el intercambio en el que el monto śı depende

de la riqueza de los agentes involucrados, es decir que ∆ = γ · wi para el agente i-ésimo. De vuelta aqúı se puede tener a γ como un valor fijo o como una variable

aleatoria uniforme.

En todos los casos, el intercambio propuesto es

[wi, wj ]→ [wi −∆, wj + ∆] (4.1)

La distribución para ambos mecanismos de intercambio no será la misma. A un

nivel microscópico se puede ver esto fácilmente: mientras un intercambio adititvo entre

dos agentes si se revierte se recupera la situación original, eso no puede ocurrir con un

intercambio multiplicativo. Si además, se le agrega la componente aleatoria al monto, se

tendrá otro factor que influye en la distribución.

Además, para los intercambios multiplicativos, no existe en realidad una restricción

w > 0, pues el agente, al entregar una fracción dada de su riqueza, nunca se encuentra

en la situación de tener que entregar una cantidad mayor a la que posee, siempre puede

afrontar el pago. Esto hace que la probabilidad de riqueza nula para el caso multiplicativo

sea distinta al caso aditivo, que se verá luego.

4.2.2 Solución Anaĺıtica para el Intercambio Aditivo

Es posible encontrar una solución anaĺıtica para este sistema en el caso aditivo. Se plantea

una ecuación de Boltzmann (de hecho es su Stosszahl Ansatz original) para el intercambio

monetario entre dos agentes de riqueza w y w′ respectivamente, pensados como colisiones:

dP (w)

dt=

∫ ∞0

∫ ∞0{−Ω[w,w′]→[w−∆′,w′+∆′]P (w)P (w′)

+Ω[w−∆′,w′+∆′]→[w,w′]P (w −∆′)P (w′ + ∆′)} dw′ d∆′ (4.2)

El factor Ω[w,w′]→[w−∆′,w′+∆′] es la tasa de transferencia de una cantidad de dinero ∆′ de

un agente con dinero w a otro de dinero w′. Los ĺımites de integración son los presentados

por que se presupone w′ > 0 (condición económica) y ∆′ > 0.

Además, hace falta imponer las condiciones de contorno de manera tal que la riqueza

no pueda ser negativa: una ya se impuso (w′ > 0). Además, hay que imponer que w > ∆′,

es decir que un agente que no posee una riqueza mayor a ∆′ va a terminar la interacción

con dinero negativo.

El caso aditivo se da si pedimos que ∆′ sea un valor fijo; en este caso, el modelo tiene

simetŕıa de inversión temporal, entonces los factores Ω en la ecuación de Boltzmann son


iguales. Tendremos que

dP (w)

dt=

∫ ∫Ω(w,w′,∆′) · {P (w −∆′)P (w′ + ∆′)− P (w)P (w′)} dw′ d∆′ (4.3)

Siendo ∆′ una cantidad fija, Ω(w,w′,∆′) = Ω(w,w′) · δ∆,∆′ . Como además buscamos ladistribución estacionaria, la integral debe resultar nula. Como eso debe valer para todos

los integrandos,

P (w −∆) · P (w′ + ∆) = P (w)P (w′) (4.4)

Ésta es una condición de balance térmico; se puede llegar a la misma conclusión pidiendo la

condición de balance detallado. Es fácil ver que la distribución que cumple esta condición

es

P (w) = Ae−w/T (4.5)

donde por la normalización de la distribución, A = 1/T . La simpleza de este sistema reside

en la eliminación del factor w, con lo cual no hace falta calcularlo.

La constante T es igual a la riqueza promedio, T = w̄. Dragulescu interpreta la

constante T como una temperatura del sistema, vista la analoǵıa con la distribución de

Gibbs de las enerǵıas. Sin embargo, no hay que entender esta temperatura en el sentido

que le da usualmente en los textos económicos: una economı́a caliente no es una economı́a

rica, sino que es una economı́a que crece con una alta velocidad, mientras una economı́a fŕıa

es una economı́a que crece poco o inclusive decrece (de aqúı proviene el término ”enfŕıar

la economı́a”). Hay que notar que en los sistemas que analizamos se conserva en todas las

interacciones el dinero, por lo cual se conserva globalmente, aśı que no puede existir un

crecimiento o decrecimiento de la economı́a en términos absolutos.

A su vez, este parámetro T es relacionable con los valores por los cuales se hacen

colapsar distintas distribuciones de ingresos que vaŕıan en el tiempo (ver Fig. 2.2, por

ejemplo), es decir el valor promedio de este ingreso, el PBI per cápita. El hecho de que

este parámetro aparezca naturalmente es importante, visto que relaciona directamente un

modelo muy simple y abstracto con un valor real, lo cual aumenta la confianza en este tipo

de modelos.

4.3 Simulaciones

A continuación se dará una descripción de como fueron realizadas las simulaciones y luego

sus resultados.

Las simulaciones realizadas se inicializan fijando una cantidad de dinero w0 = 100,

igual para todos los agentes, salvo donde se indica caso contrario. Como la cantidad total

de dinero no vaŕıa, la riqueza promedio w̄ será siempre igual a w0. Además, la cantidad de

agentes fue fijada en N = 1000. Todas las distribuciones que se muestran son estacionarias,

4.3 Simulaciones 37

salvo donde se especifica el caso contrario. Para determinar que el sistema se encontraba

estable, se analizó la entroṕıa, y se vio que se manteńıa estable. Se la definió como

H(W ) = −n∑i=1

p(wi) · ln(p(wi)) · dwi (4.6)

que es la Entroṕıa de Shannon [28] con una ligera modificación, donde se suma sobre las

clases del histograma correspondiente a la distribución que se quiere analizar. dwi es el

ancho de cada clase: se agrega este factor para poder comparar numéricamente con la

entroṕıa diferencial,

h(W ) = −∫ ∞−∞

f(w) · ln(f(w))dw (4.7)

que se usará para evaluar la entroṕıa de las distribuciones dadas por funciones cont́ınuas

f(w). Hay que tener en cuenta que a causa de ese factor, si se pide que toda la distribución

de W está contenida dentro de una clase, el valor de la entroṕıa será H(W ) = dwi, donde

i es el ı́ndice de la clase en cuestión; éste es el caso de las distribuciones de riqueza iniciales

en las que todos los agentes poseen el mismo dinero w0.

Una vez que la distribución ha llegado al estacionario, se mide su distribución distintas

veces de manera espaciada, y el resultado que se toma es el promedio de estas mediciones

(en número generalmente promedian las 100). Esto se hace sobre la base de la hipótesis

ergódica como se muestra en el Caṕıtulo 3.

4.3.1 Caso Aditivo

10−5

10−4

10−3

10−2

0 250 500 750 1000

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

P(w

)

0 200 400 600 800 1000

w

Figura 4.1: Distribución de Riqueza paraintercambios fijos (∆ = 5). La ĺınea sólidarepresenta la función P (w) = exp(−w/T )/Tcon T = 100 = w̄. En el recuadro, se usa ejelogaŕıtmico para la ordenada.

10−5

10−4

10−3

10−2

0 250 500 750 1000

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

P(w

)

0 200 400 600 800 1000

w

Figura 4.2: Distribución de Riqueza paraintercambios al azar (∆ = γ · 100 con γ ∼U(0, 1)). La linea sólida representa la funciónP (w) = exp(−w/T )/T con T = 100. Enel recuadro, se usa eje logaŕıtmico para laordenada.

Comenzamos con las simulaciones del modelo de intercambios aditivos, ∆ = γ · w̄, condos variantes, γ fijo y aleatorio, γ ∼ U(0, 1). En la Fig. 4.1 se muestra la distribuciónresultante para el intercambio fijo y la Fig. 4.2 para intercambios al azar con distribución


uniforme. Como se esperaba, las distribuciones convergen a la distribución exponencial

con parámetro T = w̄.

La Fig. 4.3 muestra la evolución de la entroṕıa en los distintos casos. Tal como esperado

la entroṕıa resultante es la de la distribución exponencial. Es visible que para el caso

aleatorio la entroṕıa converge más velozmente que para el intercambio fijo, por lo que a lo

largo de la tesis se preferirá el intercambio aleatorio. En la Fig. 4.4 se muestra la evolución

de la distribución de riqueza en el tiempo para intercambios fijos: aqúı es visible que el

proceso de intercambio es puramente difusivo. Estas simulaciones se realizaron por un

tiempo T = 4000 ·N .

2

3

4

5

6

Sw[nats]

0 20 40 60 80 100

Tiempo [N pasos]

∆ = 5∆ = ǫ · 100

Figura 4.3: Evolución de la Entroṕıa dela Distribución de Riqueza para intercambiosfijos (ĺınea sólida) y al azar (ĺınea punteada).La ĺınea punteada se estabiliza sobre el valorde la entroṕıa asociada a la distribuciónP (w) = exp(−w/T )/T (si T = 100, S(W ) ∼5.60). El eje temporal representa la cantidadde ciclos sobre el total de los agentes.

10−4

10−3

10−2

10−1

50 75 100 125 150

0

0.05

0.1

0.15

0.2

P(w

)

50 75 100 125 150 175 200

w

t = 0.1 ·Nt = Nt = 5 ·Nt = 10 ·N

Figura 4.4: Evolución de la Distribuciónde Riqueza para los tiempos t = {102 ·N, 103 ·N, 0.5 · 104 ·N, 105 ·N}, intercambiosfijos. En el recuadro, con eje logaŕıtmicosobre la ordenada, se puede ver que se tratade distribuciones gaussianas, propias de unproceso difusivo.

Podemos ver que el proceso con intercambio al azar es equivalente al de intercambios

fijos, pero converge más rápidamente al estacionario. También se vio que se obtiene el

mismo resultado al cambiar el valor fijo de γ y los ĺıimites de su distribución en el caso

aleatoro (es decir el valor del intercambio en el caso fijo y el valor máximo del intercambio

en el caso al azar).

4.3.2 Caso Multiplicativo

Con respecto al caso multiplicativo, se simuló un intercambio proporcional a la riqueza,

ajustado por un parámetro γ ya sea fijo o aleatorio (γ ∼ U(0, 1)). Como se puede ver enla Fig. 4.5, el parámetro γ ∈ (0, 1) fijos hace variar la forma de la distribución, que fueajustada por una distribución Gamma. La distribución Gamma sigue la ecuación

fW (w) =wk−1 exp(−w/θ)

Γ(k)θk(4.8)

4.3 Simulaciones 39

de donde, si k = 1 se recupera la distribución exponencial. La esperanza de la distribución

es igual a kθ, y en nuestras simulaciones ese valor es el valor medio de la riqueza, w̄ = 100,

con lo cual, k y θ son inversamente proporcionales. Hay que notar que la ecuación de la

distribución posee una parte exponencial y otra potencial. Además, el parámetro θ es el

análogo al T definido para el modelo aditivo.

10−6

10−4

10−2

100 1000

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

P(w

)

0 500 1000 1500 2000

w

γ =0.1γ =0.2γ =0.3γ =0.4γ =0.5γ =0.6γ =0.7γ =0.8γ =0.9

Figura 4.5: Distribuciones de Riqueza para intercambios multiplicativos con parámetro fijo, ∆ =γ · w̄ con γ ∈ (0, 1), con eje logaŕıtmico en la ordenada. En el recuadro, se usan ejes logaŕıtmicospara ambos ejes.

En la Fig.4.6 se puede ver la relación entre el parámetro de la cola exponencial, θ,

y el valor de γ. Si bien no se pudo ajustar con éxito esta relación, se puede ver una

clara proporcionalidad. El aumento en el valor de θ, a su vez, define el rango donde el

comportamiento exponencial domina: es por eso que en las distribuciones al aumentar γ,

y θ por ende, se ve cada vez más una ley de potencias; luego, invariablemente, domina el

decaimiento exponencial.

La estimación de los parámetros se realizó calculando el promedio y el desv́ıo de los

datos (no se usaron los estimadores de máxima verosimilitud pues no hay una fórmula

cerrada para ellos en esta distribución).

En la Fig. 4.7 en cambio se muestra la distribución para γ aleatorio. Se puede ver que

ajusta casi perfectamente con la distribución correspondiente a γ = 0.7.

En cuanto a la diferencia con la distribución encontrada para el caso aditivo, hay que

decir que en realidad, no hay más agentes pobres que en el caso aditivo (ver escalas), pero

el decaimiento es más rápido, lo que hace que el parámetro de la exponencial que ajusta

sea más grande.


0

200

400

600

800

1000

θ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

γ

Figura 4.6: Relación entre el γ y θ. Se puede ver una proporcionalidad aunque no se pudo ajustarla relación.

10−6

10−4

10−2

100 1000

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

P(w

)

0 500 1000 1500 2000

w

γ = 0.7γ ∼ U(0, 1)

Figura 4.7: Distribución de Riqueza para intercambios multiplicativos al azar (∆ = γ · wi conγ ∼ U(0, 1)). La linea sólida representa la distribución correspondiente a γ = 0.7. En el recuadro,se usa eje logaŕıtmico para la ordenada.

4.3 Simulaciones 41

4.3.3 Intercambio Directo con Ahorro asegurado

Una interesante variante del modelo de Intercambio Directo es el que propone un coeficiente

de ahorro [49]. Se define para cada agente un coeficiente de ahorro λ. Este coeficiente puede

estar entre 0 y 1 y se mantiene fijo en el tiempo; representa la fracción que el agente i-ésimo

no está dispuesto a intercambiar, es decir el ahorro. Chakraborti propone una dinámica

en la cual cada agente pone a disposición una cantidad máxima de dinero a intercambiar

(1− λi) ·mi y luego se reparte esa cantidad de manera aleatoria, es decir:

[mi,mj ]→ [mi · λi + � ·∆,mj · λj + (1− �) ·∆] (4.9)

con � ∼ U(0, 1) y ∆ = mi · (1− λi) +mj · (1− λj).

10−4

10−3

10−2

0 200 400

0

0.005

0.01

0.015

0.02

P(w

)

0 100 200 300 400 500

w

λ = 0.1λ = 0.2λ = 0.3λ = 0.4λ = 0.5λ = 0.6λ = 0.7λ = 0.8λ = 0.9

Figura 4.8: Distribución de Riqueza para intercambios multiplicativos con ahorro asegurado paraλ = 0.1, ..., 0.9. Ver que para λ → 0, la distribución se parece cada vez más a una exponencial,recuperando el caso de intercambios sin ahorro. En el recuadro, se usa eje logaŕıtmico para laordenada.

La forma más fácil de implementar esta modificación es asignándole el mismo valor de

λ a todos los agentes: el resultado de estas simulaciones se puede ver en la Fig. 4.8. Es

visible el parecido con el caso multiplicativo sin ahorro: de hecho la gran diferencia entre

los dos casos es que aqúı se establece un ĺımite (relativo) al intercambio, lo que da lugar a

distintas distribuciones; notablemente, estas distribuciones tienen la forma de las Γ, donde

se deja fija el esperanza y se va agrandando la varianza. Para λ → 0 se puede ver unatendencia a la distribución exponencial, recuperando el caso de intercambios sin ahorro.

Es interesante notar que a ahorro uniforme, un mayor ahorro implica una mayor equidad

dentro de este modelo.

Otra posibilidad es que λi sea una variable aleatoria, λi ∼ U(0, 1), la primera variantedel modelo de Intercambio Directo que lleva a una distribución de riqueza paretiana, o ley


de potencias 1. En la Fig: 4.9 se puede ver el resultado de la simulación con λi ∼ U(0, 1),obteniendo una ley de potencias P (w) ∼ w−2. En el la Fig 4.11 se muestra la relaciónentre el ingreso promedio de los agentes y el coeficiente de ahorro que tienen: podemos

ver claramente que los agentes de mayor ahorro son los que en promedio poseen mayor

ingreso. El gráfico es coherente con lo que uno puede esperar en primera medida, es decir

que la fracción de agentes con muy alto ahorro acumule dinero indefinidamente (λ→ 1⇒w̄ → ∞). Teniendo en mente esta última observación, resulta interesante saber que pasasi se excluyen los agentes con acumulación indefinida (o sea λ ∼ 1). En la Fig. 4.10 semuestra el resultado de las simulaciones incializadas con una distribución λi ∼ U(0, 0.9), yefectivamente se ve que la distribución decae exponencialmente, visto que no hay agentes

que puedan quedarse con la enorme mayoŕıa de la riqueza (en el caso con λi ∼ U(0, 1), el5% más rico posee el 57% del total de la riqueza).

w−2

10−5

10−4

10−3

10−2

10 100 1000

0

0.005

0.01

0.015

0.02

P(w

)

0 200 400 600 800 1000

w

Figura 4.9: Distribución de Riqueza paraintercambios multiplicativos con ahorro ase-gurado distribuido uniformemente entre 0y 1; se muestra además, la función x−2

como referencia. En el recuadro, se usa ejelogaŕıtmico para la abscisa y la ordenada.

10−5

10−4

10−3

10−2

10 100 1000

0

0.005

0.01

0.015

0.02

P(w

)

0 200 400 600 800 1000

w

Figura 4.10: Distribución de Riqueza para in-tercambios multiplicativos con λi ∼ U(0, 0.9)(ćırculos) y λi ∼ U(0, 1) (ĺınea). En elrecuadro, se usa eje logaŕıtmico para laabscisa.

Un análisis ulterior de lo que ocurre en el sistema con ahorro distribuido es pensar al

conjunto de agentes como si estuviera dividido en capas, según el ahorro que tienen, lo que

determina la riqueza promedio que tiene cada segmento según la Fig. 4.11. Se sabe que un

conjunto de agentes con riqueza promedio T tendrá una distribución P (m) = e−m/T /T ; si

uno tiene distintos conjuntos a distintas ”temperaturas”, se puede ver la distribución total

sumando las distribuciones de cada capa; la clave aqúı está en que la existencia de distintos

λ impide que los agentes se entremezclen. La Fig. 4.12 muestra las distintas distribuciones

a T = w̄(λ) y la suma de ellas. Se puede ver que la suma coincide con el resultado de la

simulación.

Cambiando la distribución de los λi, se pueden obtener mejores resultados inclusive,

fundamentalmente la recuperación de la franja con distribución Gamma; un caso posible

es fijar por ejemplo para el 60% de los agentes un λ = 0.6 y para el resto distribuirlos como

1Chatterjee [21], propone además otras distribuciones del coeficiente de ahorro, entre otras ρ(λ) ∼|λ0 − λ |δ, de la cual la distribución uniforme es el caso particular de δ = 0

4.3 Simulaciones 43

10

20

50

100

200

500

1000

2000

w̄

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

λ

Figura 4.11: Relación entre la riqueza promedio, w̄, y el ahorro asignado, λ.

10−5

10−4

10−3

10−2

10 100 1000

10−5

10−4

10−3

10−2

P(w

)

0 200 400 600 800 1000

w

Figura 4.12: Distribuciones de agentes segmentados según T = w̄(λ) con su suma (ĺıneas) y elresultado de la simulación (ćırculos); se muestra además, la función w−2 como referencia. En elrecuadro, se usa eje logaŕıtmico para la abscisa y la ordenada.


λ ∼ U(0, 1)[21]. De cualquier manera, no se está ganando mucho a nivel teórico, dado queen términos de elementos que constituyen el modelo, se está construyendo una distribución

de λ para explicar la distribución de w, y la propuesta no está motivada económicamente.

4.3.4 Intercambio Directo con Consumo asegurado

Una variante inmediata del modelo con Ahorro asegurado es agregar un coeficiente de

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