Nicolás Bourbaki_el matemático que nunca existió.pdf

8/11/2019 Nicols Bourbaki_el matemtico que nunca existi.pdf

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Rev. Real Acad. Ci. Exact. Fis. Nat. (Esp)Vol. 105, N 1 (2011), 77-98.

XIII Programa de Promocin de la Cultura Cientfica y Tecnolgica.

NICOLS BOURBAKI: El Matemtico que nunca existi1

Fernando Bombal

Real Academia de Ciencias. Valverde 22, 28004 Madrid.

Universidad Complutense, 28040 Madrid.

Introduccin.

"Su nombre es griego, su nacionalidad francesa y su historia es curiosa. Esuno de los matemticos ms influyentes del siglo XX [...]Sus trabajos se leen

y citan extensamente en todo el mundo. [...] Tiene fervientes partidarios yacrrimos detractores en cualquier grupo de matemticos que se rena. Elhecho ms extrao sobre l, sin embargo, es que no existe.

As comienza en artculoNicols Bourbaki, publicado por el eminente ma-temtico Paul Halmosen la Revista Scientific Americanen mayo de 1957 ([Ha])sobre un grupo de matemticos, la mayora franceses, que bajo el seudnimo co-lectivo de Nicols Bourbakiy desde su nacimiento a mediados de los aos 1930hasta mediados de los aos 1970 influy decisivamente en el desarrollo y la evo-lucin de la matemtica contempornea.

1Este trabajo puede considerarse una versin muy ampliada, profundamente revisada yactualizada de [Bo1].


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(Imagen tomada del artculo Nicols Bourbakien Las Matemticas en elmundo Moderno. Ed. Blume, 1974.)

Hasta mediados de 1970 muchos de los alumnos de Matemticas y la ma-yora de los profesores compartiran la opinin de Halmos. En la actualidad, pro-

bablemente su nombre sea desconocido la mayora de los estudiantes de la Licen-ciatura de Matemticas y tambin para muchos de sus profesores, aunque cual-quier matemtico "profesional" de hoy en da ha sido ciertamente influenciado(quiz ms de lo que est dispuesto a admitir) por Bourbaki.

La influencia de Bourbaki ha ido mucho ms all de las matemticas, yaque jug el papel de intermediario cultural entre los distintos mbitos en los quese desarroll la amplia corriente de pensamiento que recibe el nombre de estruc-turalismo, desde la lingstica y la antropologa hasta la economa y la psicologa,como tendremos ocasin de ver ms adelante.

Nicolas Bourbakies el seudnimo colectivo de un grupo de matemticos,la mayora franceses, que se cre en la dcada de los 30 y se ha ido renovandocon el tiempo, y que es responsable de la publicacin de un monumental tratadoque, con el ttulo de Elments de Mathmatique, tena como objetivo la exposi-cin, de forma sistemtica y rigurosa, de las nociones y herramientas bsicas parael desarrollo de toda la Matemtica. El ttulo mismo de la obra muestra claramen-te el intento de emular el papel que tuvieron los Elementos de Euclides en laGeometra griega.

El grupo fue fundado a mediados de los aos 1930 por algunos jvenes ybrillantes matemticos (de edades comprendidas entre los 24 y 30 aos), la mayo-ra de ellos antiguos alumnos de L'cole Normale Superieur de Paris y pertene-cientes a promociones cercanas. Aunque, como veremos, el objetivo original de

los fundadores del grupo era muy modesto, no hay duda de que su actitud respon-da a un sentimiento de frustracin y protesta por la situacin de las Matemticasen Francia. En efecto, alrededor de 1900 la matemtica francesa estaba en unapoca de plenitud y, junto con la alemana, lideraba la matemtica mundial. Bri-llantes matemticos, la mayora analistas, como Henri Poincar, Jacques Ha-damard, mile Picard, Ren Baire o Henri Lebesgue estaban en su plenitudcientfica. Sin embargo, tras la Primera Guerra Mundial (1914-1918), se produceen Francia un declive progresivo de las matemticas y de otras disciplinas cient-ficas. Las causas de esta decadencia no estn del todo claras, aunque sin duda lasangra demogrfica causada por la guerra tiene mucho que ver2. En sus Memo-rias ([We]) Andr Weilse queja amargamente del dao causado a las Matemti-cas francesas por la guerra, que diezm a toda una generacin, mientras que losalemanes haban tomado medidas para salvaguardar a las lites de sus jvenescientficos de la matanza, destinndolos a puestos alejados del frente. En el mis-mo sentido se manifiesta Jean Dieudonn, durante muchos aos portavoz oficio-so del grupo Bourbaki, quien en una entrevista declaraba:Los matemticos muer-tos en la guerra son los que tenan que haber continuado los trabajos de Poinca-r o de Picard. Mi generacin se resinti duramente de las consecuencias de esta

2Segn el matemtico Martin Andler, de la Universidad de Versalles, la cuarta parte delos 331 alumnos de las promociones de 1900 a 1918 de la Escuela Normal, murieron en la guerra.

Ms an, la mitadde los alumnos de las promociones de matemticas de 1911 a 1914 fallecieronen el conflicto.


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interrupcin [] Mis profesores tenan veinte o treinta aos ms que nosotros,

conocan sobre todo las matemticas de su juventud y no nos enseaban las nue-vas teoras

Abundan entre las declaraciones de los primeros Bourbakistas referenciasa este retraso en la comunidad matemtica francesa. As, el mencionado JeanDieudonn narra que en los aos 1930 nadie conoca en Francia temas como lateora espectral de Hilbert-Riesz, la representacin de grupos o la teora de Lie(con la excepcin de Elie Cartan, que por entonces se encontraba totalmente ais-lado). Laurent Schwarz cita entre otros ejemplos ([Sch]) el caso de un SeminarioHadamard celebrado en 1924 en el que qued claro que ningn matemtico fran-cs asistente, ni siquiera los ms reputados, saba si el espacioL2de las funcionesmedibles cuyo cuadrado es integrable Lebesgue, era o no completo (lo que habasido demostrado en 1907 por Fischery Riesz). Lo curioso del caso es que entre

los asistentes figuraba un joven mate-mtico polaco, Stefan Banach quehaba presentado en 1920 su Tesis so-

bre la nocin de espacio normadocompleto (espacios de Banach), entrecuyos primeros y ms ilustres ejemplosse encuentraL2. Banach, por supuesto,saba perfectamente la respuesta, perono dijo una palabra, sin duda intimida-do por el auditorio.

Pero, junto a la sangra produci-da por la guerra entre los jvenes cien-tficos (que, aunque en menor medida,

tambin sufri Alemania), hay queaadir la excesiva rigidez y centralismode las instituciones cientficas france-sas, una financiacin insuficiente y unadocenamiento progresivo de la comu-nicad cientfica. La vida cientfica fran-cesa estaba dominada por dos o trescamarillas de acadmicos, ms preocu-

pados por conservar sus parcelas depoder e influencia que por el desarrollo

de la investigacin.

Y este es el panorama con el que se encontraron un grupo de jvenes e in-quietos egresados de Lcole Normale Superieur alrededor de 1925 y que a co-mienzos de los aos 1930 estaban comenzando su vida profesional dando clasesen distintas universidades de provincias.

El origen de Bourbaki.

Segn cuenta Andr Weil en su autobiografa ([We]; vase tambin[Ca2]), al regreso de sus vacaciones de verano de 1934 reanud sus tareas docen-tes en Estrasburgo junto con su colega y amigo Henri Cartan, ambos encargadosdel curso sobre Clculo Diferencial e Integral.


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Tradicionalmente se usaba como texto en el libro de Goursat, que nin-guno de los dos jvenesamigos encontraba espe-cialmente satisfactorio, porsu estilo demasiado prolijo,

con teoremas que se repe-tan a veces con hiptesissuperfluas y con ausenciasdestacadas, como la teorade integracin de Lebesgue.Esto daba lugar a continuasconsultas mutuas sobre c-mo desarrollar tal o cualtema. A finales de 1934,Weil crey tener una idealuminosa: Somos cinco o

seis amigos encargados dela misma asignatura en distintas universidades-le dijo a Cartan- Reunmonos yarreglemos esto de una vez por todas ([We ; P. 98]). Aunque ninguno de los doslo saba, acababa de nacer Bourbaki.

Dicho y hecho. Cartan y Weil se pusieron en contacto con algunos de suscompaeros normaliens y el 10 de diciembre de 1934 tuvo lugar una primerareunin de trabajo para intercambiar opiniones sobre el proyecto en el caf Grill-room A. Capoulade, una concurrida brasserie del boulevard Saint-Michel dePars, hoy desaparecida. Los integrantes del grupo eran Henri Cartan, ClaudeChevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonn, Ren de Possely Andr Weil, con-

siderados los padres fundadores del grupo. En esa reunin se fijaron ya algunosde los rasgos distintivos de Bourbaki. Weil, el impulsor de la idea, abri lareunin estableciendo claramente que el objetivo era fijar para los prximos 25aos los contenidos del certificado de clculo diferencial e integral, mediante laredaccin colectiva de un tratado de Anlisis, tan moderno como fuera posible

([Bea; p. 28]) La redaccin colectiva tena sentido, ya que la materia a tratar eramuy amplia (con el inconveniente de que se perdera toda traza de las contribu-ciones individuales). Y el nfasis en la modernidaddel tratado es tambin signifi-cativo de la intencin de ruptura del grupo con los textos usuales. La reunin con-tinu discutiendo la amplitud del proyecto (se mencion que no debera superarlas 1000 pginas), la forma de trabajar, contenidos concretos del tratado, distribu-

cin de tareas, etc. As los asistentes se constituyeron en Comit de redaccindel tratado de Anlisis y entre diciembre de 1934 y mayo de 1935 tuvieron 10reuniones, siempre los lunes y en el mismo lugar: el caf A. Capoulade. En enerode aaden al Comit Paul Dubreil, Jean Leray y Szolem Mandelbrojt, peroDubreil y Leray renunciarn a la empresa y sern sustituidos por Jean Coulomby Charles Ehresmann respectivamente. A lo largo de estas reuniones, poco a

poco se va convirtiendo en una tarea ms ambiciosa: En la segunda reunin, Weilenuncia ya que es necesario hacer un tratado til a todos: a los investigadores ylos profesores de enseanza pblica, a los fsicos y a los tcnicos. Es preciso,

pues, suministrar a los lectores potenciales una coleccin de herramientas mate-mticas tan robustas y tan universales como sea posible.El proyecto, modesto

al principio, se va complicando ms y ms: se proponen temas que van desde losfundamentos a las funciones analticas y las ecuaciones en derivadas parciales. A


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fin de fijar un plan global y discutir los informes previos con la amplitud necesa-ria, el Comit acord dedicar dos semanas de las vacaciones de verano para re-unirse en un lugar apropiado. Y as, del 10 al 17 de julio de 1935 tuvo lugar elPrimer Congreso fundacional del Bourbaki en unos confortables locales que laUniversidad de Clermont-Ferrand posea en Besse-en-Chandesse.

Estos fueron los asistentes, segn citaChevalley en [Gu]: Henri Cartan, ClaudeChevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonn,Andr Weil, Szolem Mandelbrojt y Rende Posel, aunque alguna vez se ha menciona-do tambin a Charles Ereshmann. Las ml-tiples reflexiones y amplias discusiones pre-vias haban hecho ampliar el objetivo inicial.Los temas que se prevea tratar eran todava

prcticamente los mismos, pero se pens ne-cesario incluir unos cuantos captulos msabstractos y novedoso donde se realizara unaexposicin abstracta y axiomtica de algunasnociones generales de lgebra, teora de con-

juntos o topologa (el paquete abstracto,como se design informalmente esta parte),

para poder realizar un desarrollo coherente delresto. Tambin de decidi adoptar como

nombre colectivo el de Bourbaki, un nombre que tiene sus races en la historiacolectiva de los alumnos de Lcole Normale y que todos los participantes en elCongreso conocan bien.

Al parecer, cuando Delsarte, Cartan y Weil eran estudiantes de primer aoen la Escuela Normal Superior fueron convocados, en impreso oficial, para asistira una conferencia que iba a dar un cierto Profesor Holmgren. El tal Profesor eraen realidad Raoul Husson, estudiante de los ltimos cursos quien, disfrazado conuna barba patriarcal y con un extrao acento, desarroll una pieza maestra detrabalenguas matemtico, que termin con un teorema de Bourbakique dej at-nito al auditorio.

Pero de donde sac Raoul Husson la idea del nombre de Bourbaki? Se-gn diversas declaraciones de los miembros del grupo, la eleccin del nombrecorresponde a la memoria de un general de Napolen III de origen griego, Char-

les Denis Sautier Bourbaki, que particip en la guerra de Crimea y en la guerrafranco-prusiana y en 1871 sufri una humillante derrota en Hricourt, lo que leoblig a retirarse atravesando Suiza, donde sus tropas fueron desarmadas. Pareceser que incluso intent suicidarse, pero obviamente fracas, ya que lleg a vivirhasta los 83 aos. El espritu antimilitarista que reinaba por entonces en la Escue-la puede ser el que impuls a Husson a atribuir el nombre de un teorema a un ge-neral conocido fundamentalmente como artfice de una retirada poco edificante

para el Ejrcito francs.

La farsa de Raoul Husson parece que fue del agrado de Andr Weil, puesdurante su estancia en la India (1930-1932) a cargo del Departamento de Matem-ticas de la Universidad Musulmana de Aligarh, sugiri a su amigo y colega D.Kosambique escribiera un artculo sobre los trabajos de un imaginario matemti-


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co de origen ruso, de nombre Bourbaki. Kosambi escribi, en efecto, un trabajomatemtico falso titulado Sobre la generalizacin del segundo teorema de Bour-baki, que consigui publicar en el Bulletin of the Academy of Sciences of the

provinces of Agra and Oudh Allahabad. Kosambi atribuy el teorema al casidesconocido matemtico ruso D. Bourbaki, a quien envenenaron durante la revo-

lucin. Se trata pues, de la primera publicacin de Bourbaki, aunque posterior-mente la inicial D. fue reemplazada por el nombreNicolas, y su Rusia natal por elpas imaginario dePoldavia (Vase [Ac; p. 66]).

Al revivir estas ancdotas, el grupo acord adoptar el nombre de Bourbakicomo autor de la futura obra. En cuanto al nombre de pila, la responsable de laeleccin fue Eveline de Possel, por entonces esposa de Ren de Possel y futuraesposa de Andr Weil.

El problema de elegir un nombre se haba hecho urgente a finales de 1935,cuando se decidi establecer de manera irrefutable la existencia de Bourbaki conla inmediata publicacin de una nota en los Comptes Rendusde la Academia de

Ciencias. Para ello, adems de un nombre completo, haca falta que un miembrode la Academia presentara el trabajo, avalando la seriedad de su contenido cient-fico, junto con algunos detalles de la biografa de su autor. El propio Weil se en-carg de escribir la nota y enviarla a Elie Cartan,padre de Henri Cartan, quienestaba al corriente de las actividades y proyectos del grupo, junto con una cartaexplicativa y una pequea biografa del autor, al que se atribua un origen pol-davo. Cartan aprovech una agradable y etlica sobremesa con algunos colegasacadmicos para conseguir su aceptacin.

Poldavia, patria de Bourbaki, tambin tiene su origen en una broma de losestudiantes de la Escuela Normal Superior: En 1910 los estudiantes se dedicaron a

recoger diversos individuos en los bares de Montparnasse y, a cambio de algunosconvites, les hicieron pasar por representantes de la nacin poldavaPreviamen-te se haban mandado cartas, dirigidas a personalidades de la poltica y la cultura,que comenzaban as: Seguramente Vd. no ignora las desventuras de la nacin

poldava...Se recibieron muchos testimonios de apoyo y simpata y en el momen-to oportuno se convoc un acto pblico de solidaridad, que termin con un emoti-vo discurso en el que el principal orador acab con estas palabras: ...y yo, Presi-dente del Parlamento poldavo, vivo ahora en el exilio, en una miseria tal que nisiquiera puedo comprarme pantalones.Y, efectivamente, subindose a la mesa,mostr al pblico asistente lo cierto de sus palabras. (Vase [We; pg. 106-107]).

Poldavia se convirti as en la patria de origen de muchos de los persona-jes inventados por los bromistas normaliens. Como ejemplo, podemos citar eldescrito por Halmosen [Ha, pg. 91]: Aproximadamente al mismo tiempo que

Bourbaki comenzaba, otro grupo de bromistas invent la figura de E.S. Pondic-zery,un supuesto miembro del Instituto Real de Poldavia... Su contribucin msimportante fue el nico uso conocido de un seudnimo de segundo orden. Al

presentar para su publicacin un artculo sobre la teora matemtica de la cazadel len a The American Matematical Monthly, Pondiczery peda en una cartaque se le permitiese usar un seudnimo, a causa de la naturaleza obviamente

poco habitual del tema. El editor estuvo de acuerdo y el artculo aparecin (en1938) bajo el nombre de H . Ptard."

Desde su fundacin, los integrantes del grupo Bourbaki siempre se han caracteri-zado por su carcter bromista y, a veces, irreverente. Con frecuencia han difundi-


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do historias sobre s mismos, muchas veces falsas y a menudo contradictorias.Tambin han intentado construir toda una historia ficticia sobre el personaje, alque dotaron de una hija, Betti, e incluso distribuyeron su participacin de matri-monio con el anteriormente citado H. Petard en 1939.

Autgrafo de Bourbaki (1939)

han difundido historias sobre s mismos, muchas veces falsas y a menudo contra-dictorias. Tambin han intentado construir toda una historia ficticia sobre el per-sonaje, al que dotaron de una hija, Betti, e incluso distribuyeron su participacinde matrimonio con el anteriormente citado H. Petard en 1939.

Anuncio de la Boda de Betti Bourbaki con Hector Petard (1939)

Pero, como en los mejores folletines, a veces aparecen parientes inespera-dos. Y esto le ocurri a Bourbaki en 1948. Mientras Henri Cartan desayunaba, suesposa le pas el telfono dicindole: Bourbaki quiere hablar contigo. En eltelfono Cartan oy una voz que le deca: Me llamo Bourbaki y deseo hablar conVd. Pensando que se trataba de una broma, Cartan contest a su vez: Sin dudatiene Vd. una gran barba blanca, no? La respuesta, en un tono bastante enfada-

do, fue no, no tengo barba e insisto en encontrarme con Vd. cuanto antes. Es-camado, Cartan concert una cita con su interlocutor. A la hora prevista, vio apa-


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recer un caballero de porte distinguido que puso sobre la mesa un pasaporte di-plomtico a nombre de Nicolaides Bourbaki, agregado comercial de la embajadade Grecia en Pars. Explic que haba rastreado el origen de su familia hasta llegara dos hermanos que se distinguieron en Creta en el siglo XVII, en la lucha contralos turcos. En la expedicin a Egipto, Napolen tuvo por piloto un Bourbaki. Su

hijo lleg a ser oficial francs y de l descenda el general de Napolen III quecita la historia. Nicolaides Bourbaki tuvo conocimiento, a travs de un artculo deAndr Lichnerowicz en una Revista cultural, de la existencia de un grupo de

personas que haban tomado el nombre de Bourbaki para publicar una serie delibros de matemticas, y quera pedir explicaciones. Cartan le puso en contactocon el grupo y, desde entonces y durante bastantes aos, Nicolaides se convirtien miembro honorario del grupo y particip en las cenas con las que terminabacada Congreso.

Desarrollo y organizacin.

Andr Weil haba realizado un viaje por Espaa en agosto y septiembre de

1934, y qued tan impresionado que decidi volver en la primavera de 1936, estavez acompaado de su futura esposa, que estaba en trmites de divorciarse. Comocuenta en sus Memorias, deslumbrado por El Escorial, hice todo lo posible paraque Bourbaki pudiera celebrar su Congreso de verano en un instituto prximo almonasterio ([We]). Obviamente, el estallido de la guerra civil espaola frustreste proyecto. En el ltimo momento, la madre de Chevalley ofreci al grupo lacasa que posea en Chanays en Touraine, cerca de Vouvrai, donde tambin secelebr el siguiente Congreso.

Para el momento del segundo congreso, el propsito original del grupo se

haba quedado pequeo. El paquete abstracto, es decir, los prerrequisitos nece-sarios para la exposicin de los temas clsicos de Anlisis, no cesaba de crecer,


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transformndose por momentos en una parte predominante y original del tratado.Ante esta evidencia, los primeros Bourbakistas abandonaron su idea original deescribir un libro de texto para la enseanza universitaria y se propusieron, encambio, un objetivo mucho ms ambicioso: en palabras de A. Weil,

Se trataba de construir una base suficientemente amplia y slida para

sustentar lo esencial de las matemticas modernas".

Como puntualiza J. Dieudonn [D2], se decidi elaborar un tratado quecontuviera, de forma clara, precisa y sistemtica, los teoremas y resultados bsi-cos para todas las teoras existentes en matemtica pura. Aparentemente, no setrat nunca la posibilidad de incluir la matemtica aplicada (segn Dieudonn,

por la falta de inters y competencia en el tema de los colaboradores, aunque enalgn momento se consider la idea de incluir teora de probabilidad y anlisisnumrico, pero pronto se desech.)

A lo largo de estos dos congresos se fij el mtodo de trabajo. Una vezelegido un tema, sobre la base de un informe preliminar y tras su discusin en elCongreso, se designaba a uno de los miembros para realizar una primera redac-cin, que se enviara a los dems.. En elsiguiente Congreso, esta redaccin seradiscutida y criticada sin piedad y sufrira

profundas modificaciones o incluso, enalgunos casos, sera rechazada en su tota-lidad. Con las conclusiones obtenidas, seencargaba una segunda redaccin, posi-

blemente a un miembro diferente, y elproceso se repeta hasta alcanzar la una-

nimidad (otra de las reglas del grupo). Elmtodo pone de manifiesto la imposibili-dad de atribuir un texto cualquiera deBourbaki a uno o varios de sus miembros.Como dice Weil en [We] sin duda se

precisaba un gran acto de fe para pensarque este proceso iba a converger; peronosotros tenamos fe en Bourbaki. Noobstante, quedamos muy sorprendidos la

primera vez que logramos aprobar untexto para su impresin; se trataba del

fascicule de rsultatsde la teora de conjuntos aparecido en 1939.El texto co-rrespondiente, encargado a Cartan para la conferencia de El Escorial, haba sidorechazado, por lo que el grupo decidi publicar una especie de resmen de la teo-ra de conjuntos, sin incluir demostraciones, en el que se fijara las notaciones yrecogiera los principales resultados que se iban a usar en los captulos venideros.Por cierto, para ese libro Weil cre la notacin universal que utilizamos actual-mente para el conjunto vaco: .

Tambin en el segundo Congreso se fijaron a grandes rasgos las normas deredaccin (incluyendo la presentacin tipogrfica): las demostraciones se inclui-ran en su totalidad y con la mayor precisin. La terminologa y las notaciones

seran uniformes a lo largo de toda la obra. Cada captulo finalizara con una seriede ejercicios y tambin (a propuesta de Weil) con una discusinhistrica. Por


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ltimo, se decidi incluir en cada volumen un folleto suelto de instrucciones deuso, que son un conjunto de indicaciones para la utilizacin adecuada del tratado.Incluye los prerrequisitos necesarios, la organizacin de los libros en captulos ysu mutua interdependencia.

Por otro lado, la magnitud de la obra emprendida haca que el nombre ini-cial de Tratado de Anlisis le quedara corto, por lo se acord adoptar el ttulodeElments de Mathematique, sin s, para indicar, por una parte, la amplitud dela obra, dedicada a la matemtica como un todo, y por otro la analoga con losclebres Elementos de Euclides, que significaron en su poca el compendio detodo el saber de los griegos en geometra. Haba que repensar de nuevo la mate-mtica, dejando atrs los clichs antiguos y encontrar una nueva organizacin delas mismas, basadas en un punto de vista innovador3

Los jvenes integrantes del grupo eran conscientes de la importancia de latarea que haban emprendido, pero tambin tenan una confianza absoluta en sus

posibilidades, como confiesa Chevalley en una entrevista realizada en 1985

([Gu]) Yo senta que estbamos sacando al mundo (de las matemticas, claroest) de la oscuridady, ms adelante insiste en que esa sensacin iba acompa-ada de la absoluta certeza de que ramos superiores a otros colegas, de quenuestro trabajo tena un nivel mayor que el del resto de los matemticos de nues-tro tiempo.

Una consecuencia de esa idea de mantener siempre un espritu innovador,

fue la de fijar como edad lmite de permanencia en el grupo los 50 aos, condi-cin que fue respetada por todos los miembros que se fueron incorporando poste-riormente. Bien es verdad que varios miembros han abandonado prematuramenteel grupo, a veces por desacuerdos con la orientacin del grupo (por ejemplo, P.Dubreil y Jean Leray abandonaron el grupo muy pronto), y otras por razones ms

personales, como es el caso de Ren de Possel (su esposa Eveline se convirti,tras su divorcio en 1937, en Eveline Weil). En cuanto a la incorporacin de nue-vos miembros, el proceso utilizado es tambin singular: Con frecuencia se invita a

3En este sentido, los jvenes bourbakistas son claros hijos de su tiempo, caracterizado por un

intento de romper con lo antiguo y crear nuevos paradigmas tanto en la ciencia como en el arte, lapsicologa, la semntica, o la antropologa. Ms adelante volveremos sobre este punto.


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asistir a los Congresos del grupo a una o dos personas ajenas al mismo. A vecesse trata de un cobaya, es decir, un candidato potencial a ser miembro del grupo,que es sometido a prueba. Y, como a los cobayas en la investigacin biolgica, seles somete a todos los virus. Si supera el examen, ser invitado a integrarse en elgrupo. Uno de estos cobayas, Armand Borel,despus miembro activo del grupo

durante 25 aos, narra as su impresin al asistir a su primer Congreso en 1949:Una sesin tpica podra consistir en la lectura del borrador de algn

captulo de un libro o de un informe preliminar sobre un tema para suposible inclusin. Se lea en voz alta, lnea a lnea, por uno de losmiembros del grupo; cualquier otro poda interrumpir (y de hecho lohacan!) en todo momento para comentar, preguntar o criticar.[]Amenudo la reunin se converta en un intercambio catico de gritos []En particular, Dieudonn, con su voz estentrea y sus opinionestajantes, contribua no poco a elevar el volumen de decibelios de laconversacin ([Bo]).

Este carcter anrquico y catico de las reuniones era cuidadosa y delibera-damente cultivado por el grupo, pensando que cualquier esfuerzo de organizacinms racional conducira inevitablemente a la elaboracin de un tratado conven-cional, anlogo a los ya existentes.

A partir de 1948 el grupo organiz de manera sistemtica sus reuniones, di-vidindolas entre el Seminario Bourbaki, con tres reuniones anuales, destinado adiscutir y exponer los desarrollos recientes en las distintas reas de la Matemtica ylos Congresos, en los que se decida el contenido de los libros a publicar.

De izquierda a derecha: Roger Godement, Jean Dieudonn, AndrWeil, Saunders Mac Laney Jean Pierre Serre.

Otra caracterstica del grupo es su secretismo. Como sabemos, al principiono fue as, pero a medida de que el grupo creca en importancia e influencia, se fueinstaurando unos comportamientos propios de una sociedad secreta. Ninguna per-sona exterior al grupo conoce la composicin del mismo, ni sus actividades, ni lasfechas o lugar de sus Congresos. Los miembros del grupo deben ocultar su perte-

nencia al mismo. Se sabe que losfundadoresfueron abandonando el grupo al llegara la edad lmite, que el nmero de sus miembros parece variar entre 10 y 15 y que,


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segn mis noticias, ninguna mujer ha pertenecido al grupo. Segn declara P. Car-tieren una entrevista concedida en 1997 (vase [Se]) los integrantes de las prime-ras tres generaciones de Bourbaki (obviamente, con solapamiento entre ellas) son:

Primera generacin(Padres Fundadores):

Andr Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudo-nn.

(Como sabemos, hubo otros participantes en el grupo al comienzo, comoSzolem Mandelbrojt, Ren de Possel yCharles Ereshmann,pero lo abandonaron

posteriormente).

Segunda generacin(invitados tras la segunda guerra mundial):

Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Pierre Samuel, Jean-Louis Koszul,Jacques Dixmier, Roger Godement ySamuel Eilenberg.

Tercera generacin:

Armand Borel, Alexander Grothendieck, Franois Bruhat, Pierre Cartier,Serge Lang yJohn Tate.

En todo caso, la composicin exacta en cada momento es casi imposible deconocer. Casi todos los miembros son franceses o de origen francs, con la notableexcepcin de Samuel Eilenberg (creador, con Saunder MacLanede la teora decategoras), americano de origen polaco, experto en topologa algebraica y conoci-do por sus amigos de juventud con S2P2(es decir, Smart Sammy, the Polish Prodi-

ge). Se sabe que han sido miembros del grupo matemticos como A. Connes, A.Douady, Ch. Pisot, M. Demazure, F. Bruhat, etc.

En la dcada de 1960 se incorpor al grupo la cuarta generacin, integrada

fundamentalmente por ex alumnos de Grothendieck.ste haba sido miembro deBourbaki durante unos 10 aos, pero lo abandon por discrepancias con la filosofadel mismo y por su dedicacin a su propio proyecto sobre la refundacin de laGeometra Algebraica.

A raz del xito de ventas de los volmenes de loslments, el grupo se do-ta de una estructura oficial para gestionar los diversos problemas prcticos: la Aso-ciacin de Colaboradores de Nicolas Bourbaki, creada en 1952 con domicilio so-cial en el de Jean Delsarte, y despus en el de Jean-Pierre Serre. A partir de 1972 seestablece en un despacho de la Escuela Normal Superior, donde contina en la ac-tualidad.

Finalmente digamos que, en principio, no existen jerarquas en el grupo, sibien hay que decir que el impulsor e idelogo principal durante la primera pocafue, sin duda, Andr Weil, mientras que Jean Dieudonn tom cada vez ms prota-gonismo como portavoz oficioso (incluso despus de su retirada del mismo porhaber alcanzado la edad tope de 50 aos.) En pocas ms recientes, se citan como

personajes motores del grupo a Jean Pierre Serre, Michel Demazure, y Pierre Car-tier, entre otros.


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Bourbaki con lo que se conoce como filosofa estructural de las matemticas.6Pero, qu significa esto?

A partir de Gauss, cada vez se hace ms evidente que la clasificacin tra-dicional de las Matemticas resultaba inadecuada. En efecto, el punto de vistaclsico distingua las distintas ramas de las matemticas segn la naturaleza de losobjetos que estudiaban: La aritmtica era la ciencia de los nmeros; la geometraestudiaba los objetos en el espacio; el anlisis estudiaba las funciones, etc. Sinembargo, cada vez con mayor frecuencia, tcnicas y resultados de una de estasparcelas de las matemticas, se mostraban tiles en otra parcela. De esta for-ma, a lo largo del siglo XIX fue ponindose en evidencia que lo relevante no erala naturaleza de los objetos estudiados, sino las relaciones entre ellos. As vansurgiendo, no sin dificultad, las primeras estructuras algebraicas(grupos, anillos,cuerpos, espacios vectoriales), que permiten agrupar bajo una misma denomina-cin conjuntos formados por elementos de naturaleza muy distinta, pero que go-zan de una serie de relaciones y propiedades comunes. Estas nociones permitentambin explicar las grandes semejanzas advertidas entre teoras aparentementemuy distintas.

Antes de Bourbaki ya haban aparecido algunos textos en reas concretasde la matemtica redactados con esta visin estructuralista. Uno de ellos, congran influencia en el desarrollo posterior del Anlisis Funcional, es Thorie des

Oprations Linaires, publicado en 1932 por Stefan Banach7, en el que se reco-gen los desarrollos fundamentales de la teora de espacios normados en la dcadade 1920-1930 ([Ba]). Pero la obra que ms influy en los primeros bourbakistasfue, sin duda, Moderne Algebrade B. L. van der Waerden, aparecida en 1930,obra que tuvo un enorme impacto y contribuy decisivamente a la adopcin casi

universal del punto de vista estructural en la organizacin y desarrollo del lge-bra.8Los jvenes fundadores de Bourbaki eran, como hemos dicho, admiradoresde la escuela alemana de matemticas y conocan y admiraban el libro de van derWaerden, hasta el punto de que lo tomaron como modelo para su estilo de redac-cin (vase [D2]; pg. 619])9.

El objetivo de Bourbaki fue extender esta forma de exposicin y organiza-cin a toda la matemtica. Para ello, distingue tres tipos bsicos de estructuras

fundamentales: Las estructuras algebraicas, las de ordeny las topolgicas, yendode menor a mayor grado de abstraccin necesario para la formulacin de susaxiomas. A partir de estos tres tipos de estructuras, pueden crearse estructuras

6Son muchos los matemticos e historiadores de las matemticas que han aceptado laidentificacin de las estructuras matemticas con Bourbaki. Por ejemplo, en el artculo [Se] laautora atribuye directamente a Bourbaki el descubrimiento de la nocin de estructura matemtica.En [Co; pg. 294 y sigs.] pueden verse otras citas y referencias en este sentido.

7En el prlogo, dice Banach: Es interesante ver como ciertos teoremas dan resultadosen disciplinas muy alejadas entre s. As, por ejemplo, el teorema de extensin de un funcionaladitivo resuelve simultneamente el problema general de la medida, el problema de los momentos

y el de la existencia de un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incgnitas.8Vase [Co] para una amplia discusin sobre la influencia de la obra de van der Waerden

en el desarrollo del lgebra.9P. Cartier, en la entrevista [Se] dice: Su objetivo era claro [Bourbaki] tena que someter

todas las matemticas al esquema de Hilbert. Lo que van der Waerden haba hecho con el lge-bra tena que hacerse con el resto de las matemticas.


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compuestaspor una o ms estructuras simplessobre un mismo conjunto, rela-cionadas a travs de ciertos axiomas de compatibilidad. As aparecen las estructu-ras de grupo, anillo, cuerpo y espacio vectorialtopolgico,la de espacio de medi-da o la devariedad diferenciable,por poner algunos ejemplos.

El mtodo axiomtico y la organizacin en trminos de estructuras mate-mticas permiten al matemtico una considerable economa de pensamiento. Tan

pronto como se reconoce que los objetos bajo estudio satisfacen los axiomas deuna cierta estructura, se dispone inmediatamente del arsenal completo de resulta-dos generales conocidos para esa estructura, sin tener que demostrarlos de nuevoen cada caso particular. Sin embargo, nada ms lejos de la concepcin de Bourba-ki que reducir las matemticas a un

...juego puramente mecnico de frmulas aisladas; ms que nunca, laintuicin domina en la gnesis de los descubrimientos. Pero, adems,[el matemtico]dispone ahora de la poderosa maquinaria suministrada

por la teora de los grandes tipos de estructuras; con una sola ojeada,

barre inmensos dominios, unificados ahora por el mtodo axiomtico, enlos que antes pareca reinar el caos ms completo.[B2;, pg. 228].

Para Bourbaki,

El matemtico no trabaja como una mquina o como un obrero en unacadena de montaje. Nunca se insistir demasiado en el papel fundamentalque juega en sus investigaciones una forma especial de intuicin, que no eslo que vulgarmente se entiende por esta palabra, sino ms bien una especiedeadivinacin (ms all de todo razonamiento) del comportamiento nor-mal que se puede esperar de los entes matemticos...Y cuando el investiga-dor descubre sbitamente una estructura en los fenmenos que est estu-

diando, es como una modulacin repentina que orienta de golpe en una di-reccin inesperada el curso intuitivo de su pensamiento, e ilumina con unanueva luz el paisaje matemtico en el que se mueve."[B2; pg. 227].

Bourbaki es tambin consciente del rechazo que muchos matemticossienten contra el mtodo axiomtico, al que acusan de estril y poco motivador.Sin embargo mantiene que, a pesar de algunos excesos, el desarrollo del mtodoha mostrado claramente su potencia y utilidad, y la oposicin que todava recibede vez en cuando, slo puede explicarse por la natural dificultad de la mente aadmitir que en el estudio de problemas concretos, pueda resultar tremendamente

fructfera una forma especial de intuicin que no viene sugerida directamente por

los elementos considerados, y que a menudo slo se adquiere tras un profundo ya veces difcil proceso de abstraccin."[B2, pg. 230].

Una vez establecido el marco del tratado, su esqueleto, por as decir, habaque decidir quesubstanciadeba rellenar este molde. Rechazadas desde el princi-

pio las tentaciones enciclopdicas, haba que elegir el repertorio ptimo de lasdefiniciones y teoremas (con demostraciones completas, como ya dijimos) que elmatemtico profesional poda necesitar, es decir, qu incluir en el juego de he-rramientasque pretenda ser el tratado.

Como reconoce Dieudonn en [D2], la elaboracin de cada Captulo de loslments ha originado muchas y duras discusiones entre los colaboradores de

Bourbaki, y a menudo el acuerdo no se ha logrado hasta despus de varios aosde polmica. Pero estas discusiones nunca han trascendido al mundo exterior. No


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existe, por tanto, un pronunciamiento oficial del grupo sobre los criterios de se-leccin del material incluido en el tratado. Sin embargo, podemos hacernos unaidea bastante aproximada a travs de las opiniones (puramente personales, comoreiteradamente declara) de J. Dieudonn en [D2]. En su opinin, los avances sig-nificativos en Matemticas se deben siempre a un porcentaje muy reducido de los

matemticos profesionales. Por ello, un elemento decisivo para decidir si una de-terminada herramienta debe ser incluida en la obra, es si ha sido utilizada porgrandes matemticos y qu importancia le han atribuido.

Como ya dijimos, los fundadores bourbakistas eran admiradores de Dede-kind, Hilbert y, en general, la escuela alemana de lgebra y teora de nmeros delos 1920. El comn denominador de estos matemticos es el uso sistemtico denuevos conceptos y mtodos abstractospara resolver problemas clsicos; y staes para Dieudonn la idea central de Bourbaki.

Por otro lado, la declarada vocacin de utilidad, hace que no se incluyanen la obra resultados y teoremas que representan esencialmente el final de una

teora, sin previsibles nuevas aplicaciones. Como ejemplo de esto, Dieudonnmenciona el criterio de Galois de resolucin por radicales de una ecuacin alge-

braica (que fue el objetivo fundamental por el que Galois invent su teora). Esteresultado resuelve un antiguo e importante problema, pero no se le han encontra-do nuevas aplicaciones significativas. Por tanto, se opt por no incluirlo en el tra-tado de lgebra, aunque por supuesto la teora de Galois se estudia en profundi-dad, como instrumento bsico que es en teora de nmeros y geometra algebrai-ca. En resumen, no se incluyen en el tratado de Bourbaki:

a) Las teoras abstractas sin motivacin, dejadas de lado por los grandesmatemticos (la basura axiomtica, en palabras de Dieudonn.)10

b) Los productos finales de teoras, que no constituyen a su vez nuevas he-rramientas.

c) Aquellas teoras, activas y muy importantes en opinin de los grandesmatemticos, pero que todava no admiten una clara descripcin en trminos derelaciones entre estructuras significativas; como ejemplos Dieudonn pone la teo-ra de grupos finitos o la teora analtica de nmeros.

d) Aquellas teoras en pleno desarrollo y ebullicin, con incorporacinconstante de nuevas ideas y mtodos, que no admiten el menor intento de organi-zacin sistemtica; son ejemplos la topologa diferencial y algebraica, la geome-tra algebraica, los sistemas dinmicos, etc.

e) Finalmente, se han dejado de lado la mayor parte de las matemticasaplicadas(en sentido amplio): el anlisis numrico, la teora de probabilidades, lainformtica terica, la teora de optimizacin, etc. Esta omisin es comprensible,

10Sobre la dificultad del proceso de eleccin se manifiesta H. Cartan del siguientemodo:No existe una regla general en matemticas que permita juzgar lo que es interesante ylo que no lo es. Solo una comprensin completa de las teoras existentes, una evaluacin crti-

ca de los problemas considerados o un repentino e inesperado golpe de intuicin, puede per-mitir al investigador elegir un sistema apropiado de axiomas [Ca1; pg. 177].


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pues la mayor parte de estos temas no se prestan demasiado a un desarrollo axio-mtico y estructural11.

As pues, el alcance del tratado de Bourbaki se ha ido reduciendo, aunquean supone una obra monumental: esencialmente, se centra en el estudio de lastres estructuras bsicas: de orden, algebraicas y topolgicas, junto con algunas desus combinaciones (grupos y espacios vectoriales topolgicos, por ejemplo), lateora de integracin y los mtodos fundamentales del clculo. Posteriormente seincluy el lgebra conmutativa, lgebras y grupos de Lie y algo de teora espec-tral. Tambin ha aparecido un fascculo de resultados sobre variedades y pareceque se estuvo considerando la posibilidad de incluir parte de la geometra analti-ca.

Por otro lado, la insistencia de Bourbaki de mantener siempre una termi-nologa rigurosamente correcta a lo largo de toda su obra, conduce con frecuenciaa una cierta pedantera e ilegibilidad del texto. Este aspecto quiz excesivamenteformal y abstracto, buscando siempre el rigor extremo y la mxima generalidad,

es una de las acusaciones que se hacen frecuentemente a los lments. Pero noolvidemos que la motivacin inicial del grupo era romper con la forma de hacerde los tratados usuales de matemticas de comienzos del siglo XX. Adems, unarpida excursin a cualquier biblioteca de matemticas nos ensear que hay enella muchos libros considerablemente ms formales que los de Bourbaki, con unadensidad de smbolos por decmetro cuadrado mucho ms elevada12. En cuanto ala generalizacin, citemos estas palabras de A. Borel:

Contrariamente a mis primeras impresio-nes [] el objetivo del tratado no era lamxima generalidad, sino la ms eficaz

para responder a las necesidades de losusuarios potenciales en distintas reas. Losrefinamientos de teoremas que parecan

sobre todo atraer a los especialistas, sinaparentemente aumentar sustancialmente eldominio de las aplicaciones, eran con fre-cuencia descartados. [Bo; pg. 376]).

Y tambin se ha producido un cambio enla forma de redaccin a lo largo de los

A, Borel (1923-2003) aos.

Como seala Pierre Cartier:Los ltimos volmenes sobre Grupos de Lie contienen captulos que no

parecen de Bourbaki. Se hacen ms y ms explcitos, aparecen tablas y dibujos.

11Obviamente, varios de estos criterios son dinmicos y parte de las excepciones citadashan dejado de serlo, como muestra por ejemplo la sistematizacin de la Geometra Algebraicallevada a cabo por A. Grothendieck, uno de los ms brillantes miembros de Bourbaki. Por otrolado,l desinters de Bourbaki por la matemtica aplicada ha sido considerado uno de los principa-les motivos del retraso del desarrollo de estas disciplinas en Francia (aunque no hay que olvidarque J .L. Lions, considerado como el fundador de la brillante etapa de la matemtica aplicadamoderna actual en Francia, fue alumno de L. Schwartz, quien tambin dirigi los trabajos de doc-torado de especialistas como J. P. Kahaneo B. Malgrange.)

12Ciertamente, quiz debido a la influencia de la propia obra de Bourbaki!


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Creo que se debe bsicamente a la influencia deuna sola persona: Armand Borel. [Se: pg. 24]

Desde el punto de vista tcnico, las crticasms fuertes a la obra de Bourbaki se refieren a loscontenidos de teora de conjuntos y fundamentos delas matemticas. Recordemos que el primer volu-men publicado por el grupo fue precisamente elfascculo deResultadossobre Teora de Con-

Pierre Cartier (1932- )

juntos, tras cuatro aos de discusin, dejando el textocompleto para ms adelante.La idea era que los lectores pudieran comprender las ideas de la teora que se-ran utilizadas constantemente por Bourbaki[Gu, p. 20]. En un trabajo que llevael contundente ttulo de The Ignorance of Bourbaki[Ma], A. R. D. Mathias haceuna feroz crtica de estos aspectos de la obra de Bourbaki, basada fundamental-mente en la falta de referencias al importante trabajo de Gdel, la eleccin porBourbaki de la axiomtica de Zermelo, en lugar de la de Zermelo- Fraenkel (msel axioma de eleccin) para la teora de conjuntos y, en general el desinters deBourbaki por la lgica matemtica. En el trabajo citado se dan abundante razonestcnicas para sustentar el fuerte tono crtico del mismo, pero la opinin del autorqueda bastante bien reflejada en esta frase (refirindose a la impresin producidaal leer el volumen de Thorie des Ensembles: Pareca la obra de alguien quehubiera ledo Grundzge der Mathematikde Hilbert y Ackermann, y Leons surles nombres transfinisde Sierpinski, ambos publicados antes de 1928, pero nadams.([Ma, p. 5]. Y contina ms adelante ([Ma, p. 9]: Mi impresin es que...los Bourbakistas no estaban dispuestos a aceptar la posibilidad, fuertemente su-

gerida por los trabajos de Gdel, de que no existenfundamentos de las matem-ticas en el sentido propuesto por Hilbert y adoptado por Bourbaki....

Algunas de estas objeciones no parecen concordar con las palabras deDieudonn: Entre los distintos sistemas lgicos... el que pareca adaptarse mejoral tratado era la teora axiomtica de conjuntos definida por Zermelo y comple-tada por Fraenkel y Skolem...Y respecto a la actitud de Bourbaki hacia el pro-

blema de los fundamentos dice que puede describirse como de total indiferen-cia. Lo que Bourbaki considera importante es la comunicacin entre matemti-cos...[D2, p. 618]. Por ello no es de extraar que la opinin de Bourbaki sobrela lgica y la teora de conjuntos sea la de incluir en el tratado lo menos posible,esto es, lo que sea absolutamente necesario para las demostraciones de lo que

Bourbaki considera teoremas importantes...[D2, p. 622]13.

Tampoco hay que ocultar que la obra de Bourbaki ha influido en la formade ensear matemticas, con resultados no siempre positivos. Sin embargo, no pa-rece que ello sea debido a una postura deliberada del grupo. Como seala Dieudo-nn, nunca se pronunci Bourbaki a favor de que los conceptos descritos en su tra-tado pudieran introducirse a un nivel inferior al de graduado universitario, y mu-

13Hay muchos testimonios de esta posicin de los bourbakistas ante el problema de los

fundamentos. Por ejemplo, en una conferencia dada en 1948 Weil manifest que si la lgica esla higiene del matemtico, no es la que le da de comer; el pan cotidiano del que vive son los

grandes problemas. (lo que implica que ninguna de las cuestiones estudiadas por los lgicosconstituye un gran problema de las matemticas.)


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cho menos en la escuela primaria o secundaria. En palabras de Dieudonn: No sepuede hacer responsable a un autor por el uso que algunas personas hayan hechode su obra, para justificar teoras o acciones que l nunca defendi. ([D2], pg.623). Podemos aadir estas palabras de Chevalley en una entrevista realizada en1981:

Siempre tuvimos muy claro que nadie estaba obligado a leer a Bourbaki.Creamos sinceramente que si alcanzbamos el xito sera slo por el valor in-trnseco de nuestro texto y no se convertira su lectura en una obligacin, como

parece que es ahora... [Gu, p. 20].De todas formas, no se puede negar la in-fluencia que ha tenido Bourbaki en la evolucin de los contendidos de los pro-gramas de matemticas en los distintos niveles educativos. En el caso de la ense-anza universitaria, es claro que este objetivo estaba ya presente desde la mismacreacin del grupo, y los miembros iniciales se dedicaron intensamente a tratar demodernizar la enseanza de las matemticas en las universidades francesas. Pero

probablemente la influencia ms importante en este sentido vino de la mano de G.Choquet (que nunca fue miembro de Bourbaki), impulsor de un importante pro-grama de renovacin de contenidos en la enseanza de las matemticas en la Uni-versidad a partir de finales de los 1950, seguido por la labor de L. Schwartz (que

s era miembro de Bourbaki) en la Escuela Politcnica en la dcada siguiente(vase los comentarios al respecto en [Sch]). En todo caso, la contribucin deBourbaki en la renovacin de la enseanza de las matemticas en los estudiosuniversitarios no fue tanto como grupo, sino por parte de la actividad individual,de sus miembros14

La influencia de Bourbaki en la introduccin en la enseanza elemental denociones muy abstractas, generalmente intiles a ese nivel (lo que se conoce pe-yorativamente en la enseanzaprimaria como nuevas matemticaso matem-

tica moderna) es mucho menos evidente. Pero probablemente no hay que desde-ar la influencia indirecta, sobre todo a nivel de la filosofa subyacente en losnuevos programas de matemticas.

Hay que tener en cuenta el gran predicamento entre los psico-pedagogosde la poca de las ideas de Jean Piaget, quien lleg a la conclusin de que existeuna correspondencia muy estrecha entre los procesos del desarrollo psicolgicoespontneo de la mente infantil, por medio de la cual el nio interacta con elmundo, y las nociones de estructuras madre de las que hablaban los bourbakis-tas. As pues, las estructuras mentales que permiten que los seres humanos puedan

pensar de forma lgica tomaran como modelo estructuras matemticas (vase

[Pi]).Por otro lado, a partir de los 1950 se produce en el mundo una serie de

grandes cambios culturales, acompaados por un enorme desarrollo de la cienciay la tecnologa, junto con el acceso masivo a la enseanza de las nuevas genera-ciones. La idea de que las matemticas, como lenguaje cientfico por excelencia,est por todas partes y son esenciales para la formacin y la cultura general decada uno, hace que se plantee la tarea de transmitir una matemtica universal ydemocrtica, sin atender a prerrequisitos de orden cultural.

14Obviamente, no hay que minusvalorar la influencia de loslmentsentre el profesora-do universitario, como profesionales de la matemtica, tanto en Francia como en otros pases.


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Libro VI: Integracin.: 9 Captulos en 5 volmenes (1959-1969). 900 pgi-nas

Grupos y lgebras de Lie: 9 Captulos en 4 volmenes (1968-1982). 1170pginas.

lgebra Conmutativa: 10 Captulos en 4 volmenes (1964-1998). 1.111 p-ginas.

Teora Espectral: 2 Captulos en 1 volumen (1967). 168 pginas.

Variedades diferenciales y analticas: Fascculo de resultados, sin demostra-ciones. (1967), 198 pginas.

Como ya hemos dicho, cada uno de los libros finaliza habitualmente con unasnotas histricas que intentan dar cuenta de la de laevolucin de la materia consi-derada en l. La inclusin de estas notas debe mucho a la insistencia de Weil yDieudonn, que tenan gran inters en la historia de su ciencia. Posteriormente,estas notas han sido reunidas formando un volumen titulado lments dhistoire

des mathematiques16. Tambin se incluye en cada Captulo una buena cantidad deejercicios (muchos de ellos redactados por Dieudonn, que ha merecido por ello unhomenaje casi oficial por parte del grupo. As, en la segunda edicin del volumende topologa, Bourbaki escribe: Je tiens galement remercier mon fidle adju-dant, qui je dois notamment, comme toujours, la plupart des exercices.)

El orden de aparicin de los captulos no corresponde necesariamente consu orden lgico en los Libros. Por ejemplo, los dos primeros captulos de la Teorade Conjuntos aparecieron en 1954, cuando ya se haban publicado varios de losCaptulos de lgebra y Topologa. Tambin ha habido numerosas reimpresiones yreediciones, algunas con versiones muy modificadas. Hay traducciones al ruso,

ingls, alemn, polaco, japons e italiano. El ltimo libro original (el Captulo 10del Libro de lgebra Conmutativa) apareci en 1998. De hecho, la ltima de las129 citas que aparecen enMathScinetsobre N. Bourbaki, corresponde a una reim-

presin de este ltimo volumen.

La actividad ms regulardel grupo es la organizacin de losSeminarios Bourbaki, que, comodijimos, comenz en 1948 y con-tina en la actualidad (por ejem-

plo, la expos n 1028, titulada

Sieve in expansin fue impartidapor Emmanuele Kowalskiy tuvolugar en noviembre de 2010). LasConferencias tienen lugar en elInstituto Henri Poincar y por lhan pasado algunos de los msfamosos matemticos del mundo. De 1948 a 1968 las Conferencias desarrolladasen el Seminario fueron publicadas por W. Benjamin. Dese el curso 1968/69 al1980/81, aparecieron en la coleccinLecture Notes in Mathematics de Springer. A

partir del curso 1981/82 su publicacin ha tenido lugar en la coleccin Asterisque

16Hay versin espaola: Elementos de historia de las matemticas. Alianza Universidad,1976.


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de la Socit Mathmathique de France. Por supuesto, tanto el contenido como enenfoque del Seminario han ido evolucionando desde la poca de su fundacin: seha abierto a temas menos puros y ahora recibe una subvencin del CNR.

Bourbaki fue pionero en la obra de sistematizar y ordenar una gran cantidadde informacin aparecida a lo largo de muchos aos, en muchas revistas y en idio-mas diferentes. Tambin present el primer tratamiento sistemtico de algunostemas, como son el lgebra multilineal y exterior, los espacios uniformes, la teorade filtros, los grupos topolgicos(y, en general, el primer tratado moderno de topo,loga general, incluyendo en l la teora de filtros de H. Cartan, las estructuras uni-

formes de A. Weil, o los espacios paracompactosde J. Dieudonn). El volumen deBourbaki sobre espacios vectoriales topolgicosfue tambin el primer texto sobreespacios localmente convexos, incluyendo gran parte de las nociones y notacionesusuales de la teora. Esto explica, en parte, el gran xito alcanzado por estas publi-caciones, que ha sorprendido incluso a sus propios autores.

Pero, adems, Bourbaki es responsable de la popularizacin de algunas de

las notaciones hoy universalmente aceptadas, como , , y , el uso de las no-taciones x y y x y para los productos tensorial y exterior, respectivamente, lanotacin para designar formas bilineales o (E,F) para denotar la topologadbil. Aunque van der Waerden ya empleaba las letras N, Z, R y C para designarlos conjuntos de nmeros naturales, enteros, reales y complejos, respectivamente,Bourbaki propugn el uso de estas letras en negrita, y aadi a la lista la letra Q

para designar el conjunto de nmeros racionales. El uso de la convencin japone-sapara designar negritas en manuscritos o notas mimeografiadas, ha conducido a

la notacin , . , , etc., hoy comnmente aceptada. Otro buen hallazgo de

Bourbaki es la utilizacin en los mrgenes de unas curvas muy visibles en forma de

Z(curva peligrosa) para advertir al lector un punto especialmente delicado o resba-ladizo:

Menos xito han tenido las propuestas de notacin para denotar la com-plementacin de conjuntos o pr1, pr2para las proyecciones sobre un espacio pro-ducto.

La actitud de Bourbaki es radical en cuanto a seguir siempre una terminolo-ga rgida, sustituyendo el lenguaje informal y las abreviaturas por trminos tcni-cos precisos. Eso le ha llevado a veces a introducir, con mayor o menor xito, unanueva terminologa. Entre los xitos deben apuntarse nociones como anillo noethe-riano, artiniano, de Dedekind o factorial, la de lgebra sobre un anillo,y las deespacio paracompacto, espacio tonelado o espacio bornolgico, por citar algunade ellas. Tambin se debe a Bourbaki el uso generalizado del trmino compacto, enlugar del antiguo de bicompacto, o la distincin entre bola abierta, bola cerradayesferaen espacios mtricos, as como la introduccin de las palabras suprayectivay biyectiva para complementar la ya existente notacin de inyectiva, referida a

aplicaciones.


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Bourbaki y el Estructuralismo.

El primer tercio del siglo XX contempl una gran cantidad de cambios pro-fundos en muchos aspectos de la vida cultural y cientfica, caracterizados por la

bsqueda de nuevos paradigmas y la ruptura con la historia anterior: La imagen deluniverso sufre un cambio radical con la aparicin de la Teora de la Relatividad yla Mecnica cuntica; en la pintura, el cubismo y otros movimientos artsticos pre-tenden romper con los principios de la forma, centrndose en las relacionesentrelos elementos de un tema y desarrollando as una nueva forma artstica.

La revolucin artstica se ha resumido as:

Destruir el nuevo mundo y reconstruirlo como un mundo moderno.

Dejar de lado la antigua humanidad para avanzar hacia una nueva. Des-mantelar la Academia para instituir un nuevo estado de la mente. se fueel programa propuesto por el arte moderno(C. Grenier; cita tomada de[Ac], p. 75.)

Esta revolucin afect tambin a la escultura, la msica, la arquitectura, yse extendi a campos tan diversos como la antropologa, la lingstica , la psicolo-ga o la economa. Y se mismo espritu es el que inicialmente gua a Bourbaki.

Como agudamente seala P. Cartier en la entrevista tantas veces citada:Si se pone el manifiesto de los surrealistas al lado de la introduccin de

Bourbaki o de otros muchos manifiestos de la poca, veremos que se pare-cen mucho []En la ciencia, el arte, la literatura, la poltica, la economa,haba el mismo espritu. El objetivo declarado de Bourbaki era crear unasnuevas matemticas. Bourbaki no citaba ningn otro texto matemtico.

Bourbaki era autosuficiente []Era la poca de la ideologa: Bourbaki ibaa ser el nuevo Euclides y escribira un texto para los prximos 2000 aos.[Se; p. 27]

La continua ruptura con el pasado y el nfasis puesto en el estudio de las re-

laciones de interdependencia entre los elementos que forman parte de una disciplinadio origen a una nueva corriente de pensamiento que fue dominante en Occidente a

LesDemoiselles dAvignon, Pablo Picasso, 1907.


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mediados del siglo XX: ElEstructuralismo. Esta filosofa propone encontrar la es-tructuraoculta de los datos o fenmenos estudiados, en lugar de dar una mera des-cripcin de los mismo. Lo relevante para el estructuralismo es el simbolismo y lasrelaciones entre las entidades estudiadas, y no las propias entidades Tiene sus or-genes en la lingstica, con los trabajos iniciales de Jakobsony el Crculo Lings-

tico de Praga, pero pronto se extendi a muchas otras reas y disciplinas. Pero es alantroplogo francs Claude Lvi-Straussa quien se le considera el padre del es-tructuralismo Su Tesis Las estructuras elementales del parentesco, publicada en1943, es un verdadero clsico. En ella se estudian los sistemas de parentesco enalgunas tribus de aborgenes australianos que mantenan un cdigo estricto de nor-mas que regulaban las posibilidades de matrimonio entre las distintas tribus. LeviStrauss trat de aplicar los principios del anlisis lingstico estructural a la antro-

pologa, asimilando los trminos de parentesco con el sistema de fonemas de unalengua, pero el resultado no fue muy satisfactorio. Por ello pens en pedir ayuda aun matemtico, y as fue a ver a J. Hadamard, quien por entonces estaba en NuevaYork. Pero Hadamard no le prest ninguna ayuda17. Ante la negativa, Levi-Strauss

se dirigi a A. Weil, que tambin estaba en Nueva York, y aqu el resultado fuemuy diferente: Weil se puso a estudiar el problema con mtodos algebraicos, y loresolvi, descubriendo una estructura degrupoque rega el proceso. Sus resultadosaparecen en el apndice de la Tesis de Levi-Strauss.

Weil explic a Levi-Strauss que haba resuelto el problema haciendo casoomiso de los elementos reales del mismo, y centrndose en las relaciones entre losmatrimonios. As descubri una estructuraoculta que explicaba el problema, y queno poda haberse descubierto por los mtodos estructurales menos formales de loslingistas. Este hecho fascin a Levi-Strauss, quien a partir de entonces se dedic a

promocionar el uso de los mtodos estructurales rigurosos, en el sentido indicado

por Weil. Y esta es la idea bsica del estructuralismo: lo importante no son los ele-mentos estudiados, sino las relaciones entre ellos.

Es evidente la conexin entre el anlisis estructural promovido por Levi-Strauss y la idea de estructura matemtica que es medular en la obra de Bourbaki.

El anlisis estructural se extendi a muchos otros campos, como la psicolo-ga (J. Piaget, ya citado y, sobre todo, J. Lacan) o la economa, a travs de la intro-duccin de modelos estructuralistas economtricos (G. Debreu, W. Leontief,etc.)18 Y en todos los casos, Bourbaki y su enfoque estructural de la matemtica seconvirti en el referencial bsico y el intermediario cultural entre las distintas reasen las cuales el estructuralismo haba tenido xito19, aunque en muchos casos, la

nocin de estructura matemtica de Bourbaki no fue utilizado de forma efectiva ydirecta por la mayor parte de los estructuralistas. De todas formas, es cuanto menosllamativo que la decadencia del estructuralismo a comienzo de los aos 1970 coin-cida con el declive de la era Bourbaki.

17Al parecer, Hadamard dijo a Levi-Strauss: la matemtica tiene cuatro operaciones, yel matrimonio no est entre ellas.

18El lector interesado puede consultar en [Ac] una amplia panormica del estructuralismoen las distintas reas.

19As, por ejemplo, el historiador Franois Dosseafirma que la ideologa de Bourbaki

ha hecho una gran aportacin a la mentalidad y la actividad del estructuralismo (citado en [Ac;p. 114).


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Triunfo y decadencia.

Como hemos dicho ms arriba, el xito de ventas de los primeros volme-nes de los lments sorprendi a sus propios autores. Cada nuevo volumen eraadquirido no slo por las bibliotecas de los departamentos universitarios de ma-temticas, sino por gran nmero de profesionales y estudiantes. En las dcadassiguientes a su fundacin, los libros de Bourbaki se convirtieron en clsicos enmuchas reas de la matemtica pura. La labor de sistematizacin y presentacinordenada de una gran cantidad de informacin preexistente fue muy positivamen-te valorada por la mayor parte de los especialista concernidos20. Los conceptos,nomenclatura y el peculiar estilo de Bourbaki se convirtieron en estndares uni-versalmente aceptados. A partir de 1950 y durante dos dcadas, Bourbaki fue unade las figuras dominantes en el mundo de las matemticas21. Su influencia en laactividad matemtica durante los 50 aos siguientes a su fundacin fue enorme-mente significativa, tanto por el nmero de referencias explcitas a sus libros, co-mo por la forma en que ha inspirado un determinado estilo de hacer y escribirmatemticas.

Indudablemente, el xito de Bourbaki est ligado en parte a la calidadcientfica de sus miembros. Todos ellos han sido matemticos excelentes, con una

produccin cientfica propia muy destacada. Cinco de ellos han obtenido una Me-dalla Fields,el reconocimiento internacional ms importante a la excelencia enMatemticas, otorgado en los Congresos Internacionales de Matemticos que secelebran cada cuatro aos: Laurent Schwartz (en 1950), Jean Pierre Serre (en1954), Alexander Grothendieck (en 1966), Alain Connes (en 1982) y Jean-Christophe Yoccoz (en 1994)22.

Pero entonces, Por qu se produce un rpido declive en la influencia y

popularidad de Bourbaki a partir de mediados de los 1970? Las razones son mu-chas y variadas. Por un lado, en gran parte Bourbaki cumpli su objetivo: Su esti-lo y forma de presentar las matemticas han calado profundamente en la comuni-dad matemtica, de modo que, a partir de los aos 1970 gran parte de los libros dereferencia en muy distintas reas estn redactados la Bourbaki.

Por otro lado, en esa poca se produce de nuevo una verdadera explosinen la produccin de matemticas. Si hemos dicho que cuando se cre Bourbaki(1935) el ndice del Zentralblatt recoga 68 disciplinas y 197 sub-disciplinas enmatemticas, en 1979 la clasificacin del Mathematical Reviews registraba 61disciplinas y 3.400 subdisciplinas! Una estimacin de Ulam, citada en [DH, p.33] cifraba en ms de 200.000 teoremas nuevosanuales los aparecidos en mate-mticas en los aos 1970. Como se preguntan Davisy Hersh en la obra citada,cmo reconciliar este hechocon la creencia de que la matemtica sobrevivircomo ciencia nica y unificada? En matemtica uno llega a casarse con la mi-nscula parcela que es la propia especialidad. Obviamente esta necesidad de

20Pueden verse en [Co; Ch. 7] alguno de los informes laudatorios sobre diversas obras deBourbaki y abundantes referencias al respecto.

21En palabras de S.Mac Lane, uno de los fundadores de la teora de categoras, una ge-neracin completa de estudiantes fue entrenada para pensar como Bourbaki.

22Hay tambin excelentes matemticos franceses que no han formado parte del grupo,

como Ren Thom (medalla Fields en 1958), Gustave Choquet, Jean Leray, F. L. Lions, oP.L. Lions (medalla Fields en 1994), entre otros.


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especializacin y puesta al da constante tuvo que afectar tambin a los miembrosindividuales del grupo, unido a la creciente actividad investigadora de muchos deellos. As, el tiempo dedicado a la obra colectiva, cada vez poda ser menor.

Adems, la analoga que tanto gustaba a los bourbakistas de comparar lamatemtica a un frondoso rbol, con sus races bien establecidas en la teora deconjuntos, ha dejado de ser verosmil. Hoy en da se podra comparar las matem-ticas ms bien con un bosque o una poblacin de setas con un amplio y variadomicelio23. La frontera entre la matemtica pura y la aplicada se ha hecho ms yms difusa: campos como la geometra, los fractales y la topologa tienen fuertesinterrelaciones con la fsica terica, el tratamiento de imgenes o la inteligenciaartificial. Incluso campos tan abstractos y puroscomo la teora de nmeros y lageometra algebraica tienen hoy importantes aplicaciones en criptografa y en latransmisin de informacin. En fin, el paisaje matemtico ha cambiado mucho. Yno es en absoluto fcil establecer un desarrollo sistemtico de todas las herra-mientas necesarias para el desarrollo de todos sus aspectos. Esta opinin est re-frendada, incluso, por varios ilustres ex-miembros del grupo:

[Bourbaki]consigui su objetivo de proporcionar los fundamentos detodas las matemticas existentes. Pero tambin, si uno tiene un formato de-masiado rgido, es muy difcil incorporar nuevos desarrollos. [Se; p. 26].

Y

Lo novedoso de la obra [de Bourbaki]es la precisin con la que se defi-ne la estructura, que aparece como el hilo conductor que da coherencia atodo el tratado. Pero []despus de la dcada de 1950 la idea de estructu-ra pas de moda, superada por el influyo de los nuevos mtodos categoria-les en alguna de las reas ms activas de la matemtica, como la topologa

o la geometra algebraica. As, la nocin de toposse resiste a formar partede la bolsa de estructuras de Bourbaki [] Al tomar a sabiendas la deci-

sin de no realizar esa revisin, Bourbaki renuncia a su propsito inicial decontribuir a la formulacin de los fundamentos y el lenguaje bsico de todala matemtica moderna. (A. Grothendieck. Memorias:Promenade traverune oeuvre ou lenfant et la mre. La cita se ha tomado de [Ac; p. 166])

A todas estas circunstancias se suman el grave problema que surgi en1980 con la Editorial Hermann, hasta entonces la encargada de publicar los l-ments,por cuestiones sobre derechos de autor para las traducciones y publicacinen el extranjero. El grupo contrat un excelente (y caro) abogado (el mismo que

asesor a los herederos de Picasso) y se embarc en una larga y costosa batallalegal, que finalmente gan, pero tambin lo dej exhausto. El grupo se dedic arevisar ampliamente los antiguos textos para realizar reediciones con otra edito-rial, lo que prcticamente les ocup todo su tiempo.

En resumen, la era de Bourbaki tuvo su poca de esplendor y puede decir-se que cumpli con creces sus objetivos iniciales. Hoy es opinin generalizada

23La vieja esperanza de los bourbakistas de ver surgir las estructuras matemticas dela jerarqua de los conjuntos, de sus subconjuntos y de su combinatoria, es sin duda alguna unaquimera. (R. Thom: Les mathmatiques modernes: une erreur pdagogique et philosophique?.En LAge de la Science, 3 (1970), 225-236. Y tambin: La unidad de las matemticas no est

fundamentada sobre una sla raz, la teora de conjuntos, como propugnaban los bourbakistas,sino sobre el hecho de que las difrerentes ramas comunican entre s. (J. P. Kahane).


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que Bourbaki est prcticamente muerto. No hay miembros del grupo entre loscuarenta matemticos ms importantes de Francia y el colectivo no publica ape-nas nada (salvo lasExposs de los Seminarios que se siguen realizando en el Ins-tituto Henri Poincar) .

Con sus luces y sombras, Bourbaki ha sido una referencia fundamental enel desarrollo de las matemticas del siglo XX que, para bien o para mal, serancompletamente distintas de lo que son sin su existencia.


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