Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado 27 411 x x · 2.1 Ecuaciones lineales con dos...

Nivel I: Ecuaciones y sistemas de primer grado

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7. Ecuaciones y sistemas de primer grado

1. Ecuaciones 1.1. Ecuaciones de primer grado 1.2. Transposición de términos

2. Sistemas de ecuaciones lineales 2.1. Ecuaciones lineales con dos

incógnitas.

2.2. Sistemas lineales 3. Resolución de problemas mediante

ecuaciones o sistemas. 4. Soluciones de los ejercicios de la

unidad

1. Ecuaciones

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Las igualdades algebraicas son de dos tipos:

Identidades. Igualdades que son ciertas para cualquier valor que se les dé a las letras.

Ecuaciones. Igualdades que son ciertas sólo para algunos valores de las letras o incógnitas.

Por ejemplo, la expresión es una identidad. Si se sustituye por

diferentes valores siempre se verifica la igualdad. Sin embargo, la expresión solo es cierta para . Se trata de una ecuación.

Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de la igualdad. A la expresión de la izquierda se le suele denominar primer miembro y a la expresión de la derecha segundo miembro. Por ejemplo

4 12 7 1segundo miembrprimer miembro o

x x

Cada sumando de una ecuación se llama término. Los términos que solo contienen números, sin parte literal, se denominan términos independientes. Los números de los términos que tienen parte literal se denominan coeficientes. Las letras son las incógnitas. El grado de una ecuación es el máximo exponente con el que figura la incógnita una vez reducidos los términos semejantes.

Ejemplos

es una ecuación de primer grado

es una ecuación de segundo grado pues si realizamos las

operaciones indicadas se obtiene:

Resolver una ecuación es encontrar los valores numéricos de la incógnita que verifican la igualdad.

Ejemplo

Comprobar que x=6 es solución de la ecuación:

Si sustituimos en la ecuación, se obtiene:

Como la ecuación se ha convertido en una igualdad, concluimos que es

solución de la ecuación.


©C.E.P.A. de COSLADA - Fernando Moya

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pasa restando

pasa dividiendo

pasa sumando

1.1 Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión que se puede reducir a la forma , siendo . La solución general de una ecuación de este

tipo es .

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Ejemplo Las ecuaciones y son equivalentes porque ambas tienen como solución

1.2 Transposición de términos

La transposición de términos es una técnica básica que permite manipular las ecuaciones llevando los términos de un miembro a otro de la igualdad. La transposición de términos se basa en el siguiente principio:

Al sumar, restar, multiplicar o dividir el mismo número en los dos miembros de una ecuación se obtiene otra ecuación equivalente.

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de la incógnita x que convierten la ecuación en una igualdad. Para resolver una ecuación de primer grado, es necesario despejar la incógnita mediante una serie de pasos en los que se transforma la

ecuación en otra equivalente en la que está más próxima a ser despejada. Recordemos algunas reglas:

Es decir,


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Veamos cómo proceder con ecuaciones que tienen un aspecto complicado. Por ejemplo:

Los pasos a seguir son:

1º) Quitar paréntesis, si los hay:

2º) Quitar denominadores, si los hay, multiplicando los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente su mínimo común

múltiplo:

Multiplicamos por el

Efectuamos las operaciones indicadas:

3º) Trasponer los términos semejantes y reducir:

5º) Despejar , obteniendo la solución:

Para despejar x, restamos 2 en ambos miembros o lo que es lo mismo, pasamos el 2

del primer miembro restando al segundo:

Para despejar x, sumamos 5 en ambos miembros o lo que es lo mismo, pasamos el -5

del primer miembro sumando al segundo:

Para despejar x, dividimos entre 4, o sea, pasamos el 4, que está multiplicando en

el primer miembro, al segundo miembro dividiendo:

En este caso pasamos el 2 multiplicando al segundo miembro:



4

Ejercicios

7.1 Resuelve estas ecuaciones: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) 17) ; 18) ;

19) 20) 21)

2. Sistemas de ecuaciones lineales

2.1 Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas e es una igualdad algebraica de la forma

donde , y son números reales. Una solución es cada par de valores que verifican

la igualdad. En general, hay infinitas soluciones.

Ejemplo es una ecuación lineal. Esta ecuación tiene infinitas soluciones. Para obtener una

de ellas puedes ser de utilidad despejar una de las incógnitas, y por ejemplo y dar un valor arbitrario a x (por ejemplo x=1) obteniendo el correspondiente valor de y:

.

Por tanto, una solución es x=1; y=4 (1,4) . Otras soluciones:

Ejercicios

7.2 Comprueba si x=-1 e y=8 son soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) ; b) 7 ; c) ; d)

7.3 Completa la siguiente tabla con soluciones de la ecuación

0 2 -2 0 -1 3

2.2 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales o de primer grado con dos incógnitas e es un

conjunto de dos ecuaciones en las que las incógnitas representan a los mismos valores en ambas ecuaciones. Cuando dos ecuaciones forman un sistema, las ponemos de esta forma:

Ejemplo:

-2 -1 0 1 2 3 10 8 6 4 2 0


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Métodos de resolución algebraica de un sistema

Existen tres métodos algebraicos que permiten resolver estas ecuaciones:

Método de sustitución Primero se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una incógnita.

Una vez resuelta se calcula el valor de la otra incógnita con la ecuación despejada inicialmente.

Despejamos y de la primera ecuación:

Sustituimos este valor en la segunda ecuación:

Resolvemos la ecuación resultante:

Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:

Método de igualación Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se iguala el resultado para obtener una ecuación con una incógnita. Se resuelve ésta y se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas

inicialmente.

Igualamos: . Resolvemos esta ecuación:

Sustituimos este valor en una de las ecuaciones que despejamos inicialmente para obtener el valor de y:

Método de reducción Se multiplican las dos ecuaciones por los números adecuados de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales. Al restarlas, se obtiene una

ecuación con una incógnita. Se resuelve. El valor de la otra incógnita puede obtenerse también por reducción o sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema.

Reducimos x:

Reducimos y:



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Ejercicios

7.4 Resuelve por sustitución:

a) ; b) ; c) ; d)

7.5 Resuelve por igualación:

a) ; b) ; c) ; d)

7.6 Resuelve por reducción:

a) ; b) ; c) ; d)

7.7 Resuelve por el método que creas más adecuado:

a) ; b) ; c)

6. Resolución de problemas con ecuaciones o sistemas

Para resolver problemas mediantes ecuaciones y sistemas conviene proceder de la siguiente manera: 1º) Identificar las incógnitas y los datos en el enunciado del problema; 2º) Relacionar incógnitas y datos y expresarlos mediante una o dos ecuaciones; 3º) Resolver la ecuación (o el sistema de ecuaciones); 4º) Comprobar la validez de las soluciones de la ecuación en el contexto del problema.

Ejemplos

Calcular un número tal que su triple menos 2 sea igual a 13.

Sea x el número buscado. El planteamiento es:

El número buscado es 5

Un señor compra 6 kg de arroz y 5 kg de judías por 19€ en total. Su vecina adquirió 2 kg de arroz y 2 kg de judías por 7€. Calcula a qué precio han pagado el kilo de cada uno de los productos.

euros que cuesta un kilo de arroz euros que cuesta un kilo de arroz

Con los datos del problema podemos plantear el siguiente sistema que resolveremos,

en este caso por el método de reducción (aunque puede resolverse por cualquiera de los métodos estudiados):

Despejamos x de la segunda ecuación del sistema inicial y sustituimos el valor de y:

Por tanto, el arroz cuesta 1,5 €/kg y las judías 2 €/kg


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Ejercicios

7.8 La edad actual de Pedro es 60 años y la de su hija 24. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era cuatro veces la de su hija?

7.9 Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.

7.10 Un comerciante dispone de dos tipos de té: uno de Ceilán a 5,20€ el kilogramo y otro de la India a 6€ el kilogramo. Si quiere obtener 100 kg de té cuyo precio sea 6€, ¿cuántos kilos ha de mezclar de cada tipo?

7.11 Luis ha leído 216 páginas de un libro en cuatro días. Cada día lee 12 páginas más que el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó el primer día?

7.12 Hace cinco años Juan tenía el triple de edad que Pablo y, dentro de un año, su edad sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de ambos en la actualidad?

7.13 El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm. Si duplicamos el lado desigual, se obtiene un triángulo equilátero. ¿Cuánto miden los lados del triángulo inicial?

7.14 La cifra de las decenas de un número es el triple que la cifra de sus unidades; además si se invierte el orden de las cifras de este número, el número de partida disminuye en 36 unidades. Halla ambos números. (Ayuda: Un número de dos cifras se escribe )

7.15 Dos recipientes, A y B, contienen 20 l de agua entre los dos. Si de A sacamos 3 l y los vertemos en B, en A queda la tercera parte de agua que ahora hay en B. ¿Cuántos litros de agua había inicialmente en cada recipiente? Plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resuélvelo por el método de sustitución.

7.16 Dos números pares consecutivos suman 324. ¿Cuáles son?

7.17 Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que fabrica, pero

pierde 2,5€ por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha producido en una jornada, si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de 382€?

7.18 En las rebajas compré tres camisas y dos pantalones por 126€. El precio de un pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Cuál es el precio de cada cosa?

7.19 Un hortelano planta dos tercios de su huerta de tomates y un quinto de pimientos. Si aún le quedan 400 sin cultivar, ¿cuál es la superficie total de la huerta?

7.20 Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que ancha y que el perímetro mide 210 metros.



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4 Soluciones de los ejercicios de la unidad

7.1 Resuelve estas ecuaciones:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)


9

7.2 Comprueba si x=-1 e y=8 son soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) ;

b) 7 ;

c) ;

d) ;

7.3 Completa la siguiente tabla con soluciones de la ecuación

4 0 2 2 -2 10 0 -2 -1 -1 -3 3

7.4 Resuelve por sustitución:

a)





Solución: .

b)





Solución: .



10

c)

Despejamos x de la primera ecuación:



Como se ve, se obtiene un resultado que es cierto siempre independientemente de los valores de las incógnitas. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones: cualquier par de valores que satisfaga una de las ecuaciones. Estos sistemas se denominan compatibles indeterminados y gráficamente están representados por dos rectas que se superponen.

Solución: Tiene infinitas soluciones que verifican la ecuación . Por ejemplo (3,0), (1,1), (-1,4)...

d)





Solución: .

7.5 Resuelve por igualación:

a)

Igualamos y resolvemos:

Sustituimos este valor en una de las ecuaciones que despejamos inicialmente para obtener el valor de x:

Solución: .


11

b)



Solución: .

c)



Solución: .

d)


Como se ve, se obtiene un resultado que es cierto siempre independientemente de los valores de las incógnitas. Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones: cualquier par de valores que satisfaga una de las ecuaciones. Estos sistemas se denominan compatibles indeterminados y gráficamente están representados por dos rectas que se superponen.

Solución: Tiene infinitas soluciones que verifican la ecuación . Por ejemplo (0,2), (5,0), ...

7.6 Resuelve por reducción:

a)



12

Reducimos x:

Reducimos y:

Solución: .

b)

Reducimos x:

Reducimos y:

Solución: .

c)

Reducimos x:

Reducimos y:


13

Solución: .

d)

Reducimos x:

Reducimos y:

Solución: .

7.7 Resuelve por el método que creas más adecuado:

a)

Resolvemos por reducción, multiplicando la primera ecuación por -1:

Sustituimos este valor en la primera ecuación para obtener el valor de x:

Solución: .

b)

Despejamos x de la segunda ecuación:

Sustituimos este valor en la primera ecuación:



14

Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de x:

Solución: .

c)


Sustituimos este valor en la 2ª ecuación:

Sustituimos este valor en la ecuación que despejamos inicialmente para obtener el valor de x:

Solución: .

7.8 La edad actual de Pedro es 60 años y la de su hija 24. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era cuatro veces la de su hija?

x → número de años que hace que la edad de Pedro era cuatro veces la de su hija

Solución: hace 12 años la edad de Pedro (48 años) era cuatro veces la de la hija (12 años).

7.9 Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 10.

x → número

Solución: el número pedido es 2.

7.10 Un comerciante dispone de dos tipos de té: uno de Ceilán a 5,20€ el kilogramo y otro de la India a 6€ el kilogramo. Si quiere obtener 100 kg de té cuyo precio sea 6€, ¿cuántos kilos ha de mezclar de cada tipo?

x → kilos de té de Ceilán en la mezcla


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y → kilos de té de la India en la mezcla

Planteamos el sistema. La mezcla es de 100 kg:

La mezcla se vende a 6 euros el kilo:

Despejamos x de la primera ecuación y sustituimos en la segunda:

Sustituyendo este valor en la primera ecuación se obtiene el valor de x:

Solución: la mezcla se forma con 0 kg de té de Ceilán y 100 kg de té de la India.

7.11 Luis ha leído 216 páginas de un libro en cuatro días. Cada día lee 12 páginas más que

el día anterior. ¿Cuántas páginas leyó el primer día?

Llamamos x al número de páginas leídas el primer día.

El segundo día leyó x+12

El tercero x+24

El cuarto x+36

Como el total de páginas leídas es de 216:

Solución: El primer día leyó 36 páginas.

7.12 Hace cinco años Juan tenía el triple de edad que Pablo y, dentro de un año, su edad sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de ambos en la actualidad?

Llamamos x a la edad que tiene Juan e y a la edad de Pablo e imponemos las condiciones del problema:

Igualando ambas expresiones:

Sustituyendo este valor en la primera ecuación:



16

Solución: La edad de Juan es de 23 años y la de Pablo 11.

7.13 El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm. Si duplicamos el lado desigual, se obtiene un triángulo equilátero. ¿Cuánto miden los lados del triángulo inicial?

Llamamos x a los lados iguales e y al lado desigual e imponemos las condiciones del problema:

Sustituimos el valor de x de la segunda ecuación en la primera:

Es decir:

Solución: Los lados del triángulo son: 6 cm, 6 cm y 3 cm respectivamente.

7.14 La cifra de las decenas de un número es el triple que la cifra de sus unidades; además si se invierte el orden de las cifras de este número, el número de partida disminuye en 36 unidades. Halla ambos números. (Ayuda: Un número de dos cifras se escribe )

Llamamos x a la cifra de las unidades e y la cifra de las decenas e imponemos las condiciones del problema:

Sustituimos el valor de y de la primera ecuación en la segunda:

Es decir,

Solución: El número es 62.


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7.15 Dos recipientes, A y B, contienen 20 l de agua entre los dos. Si de A sacamos 3 l y los vertemos en B, en A queda la tercera parte de agua que ahora hay en B. ¿Cuántos litros de agua había inicialmente en cada recipiente? Plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resuélvelo por el método de sustitución.

Llamamos x al número de litros del recipiente A e y al de B.

Despejamos x de la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda:

Solución: El recipiente A contiene 12 litros de agua y el recipiente B 8 litros.

7.16 Dos números pares consecutivos suman 326. ¿Cuáles son?

Llamamos 2x a uno de los números pares. Su siguiente será 2x+2.

Solución: Los números son 2·81 y 2·81+2, es decir, 162 y 164.

7.17 Un taller de confecciones gana 0,75 € por cada par de calcetines que fabrica, pero pierde 2,5€ por cada par defectuoso. ¿Cuántos pares válidos y cuántos defectuosos ha

producido en una jornada, si en total ha fabricado 700 pares y ha obtenido una ganancia de 382€?

Llamamos x al número de pares de calcetines válidos e y al de defectuosos.

Como fabrica 700 pares en total:

Aplicando las ganancias y las pérdidas:


Sustituimos en la segunda y resolvemos:

Por tanto,

Solución: El taller fabrica 656 pares de calcetines válidos y 44 defectuosos.



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7.18 En las rebajas compré tres camisas y dos pantalones por 126€. El precio de un pantalón era el doble que el de una camisa. ¿Cuál es el precio de cada cosa?

Llamamos x al precio de una camisa e y al precio de los pantalones.

3 camisas y dos pantalones costaron 126€:

Como el precio de un pantalón es el doble del de una camisa: . Sustituimos este valor en la ecuación anterior:

Solución: El precio de una camisa es de 18€ y el de unos pantalones 36€

7.19 Un hortelano planta dos tercios de su huerta de tomates y un quinto de pimientos. Si aún le quedan 400 sin cultivar, ¿cuál es la superficie total de la huerta?

Llamamos x a la superficie total de la huerta:

Solución: La huerta es 3000 : 2000 los cultivó de tomates, 600 de pimientos y le quedan 400 sin cultivar.

7.20 Calcula las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que ancha y que el perímetro mide 210 metros.

Llamamos x al ancho de la parcela. El largo será x+25.

El perímetro:

Solución: Las dimensiones de la parcela son 40x90

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