Nivelacion y ejercicios resueltos de fisica ii y electricidad y electrotecnia

Profesor: Julio C. Barreto G. 1 Escuela: 73,79

NIVELACIÓN DE FÍSICA II Y DE ELECTRICIDAD Y ELECTROTECNIA

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los

siguientes tipos de ángulo:

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que están al mismo lado de las paralelas y

al mismo lado de la transversal.

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que están entre las paralelas a distinto

lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que están "fuera" de las paralelas a

distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2) Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3) Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.


TIPOS DE ÁNGULOS FORMADOS

Ángulos correspondientes entre paralelas.

1 = 5

2 = 6

3 = 7

4 = 8

Ángulos alternos entre paralelas.

Externos

1 = 7

2 = 8

Internos

3 = 5

4 = 6

Son

suplementarios

(suman 180°)

Ángulos contrarios o

conjugados.

1 6

2 5

3 8

4 7

Ángulos colaterales.

1 8

2 7

3 6

4 5


OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas

opuestas a los lados del otro. En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice.

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

Realice las siguientes demostraciones:

1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

2. Si dos ángulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ángulos

alternos internos también lo son.

3. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son

suplementarios. Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas

paralelas, son suplementarios.

4. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos externos congruentes.

5. Toda transversal forma con dos paralelas ángulos alternos internos congruentes

6. La suma de los ángulos interiores de un triángulo, es igual a dos rectos (180º).

7. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º.

8. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es la suma de las medidas de los

ángulos internos no contiguos.

9. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo

interior no adyacente.

10. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos

(360º).


LEY DE LOS COSENOS

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados

por el coseno del ángulo que forman, así:

Cos Ac b - + c = ba 2222

Cos Bc a - + c = ab 2222

Cos Cb a - + b = ac 2222

De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener:

ba

cbaCCos

ca

bcaBCos

cb

acbACos

222

222222222

Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos (L-A-L).

Se conocen los tres lados (L-L-L).

LEY DE LOS SENOS

En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos

de los ángulos opuestos así:

triángulodelladoscbayángulossonCBADondec

CSeno

b

BSeno

a

ASeno,,,,,

Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L–A).

Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L–L–A).

Ejemplos:

1) Resuelve el siguiente triángulo: .60,3,2 0 ba Según la figura:

Solución: Usando la ley del coseno


7

7

613

2

11294

60cos32232cos2

2

2

2

222222

c =

= c

- = c

- + = c

° - + c) (ab - + b = ac

Determinemos los ángulos y .

°.=

=

= α

+= α

+= α

bc

- a + c b=α αbc+c=ba

940

7

2cos

7

2cos

732

479cos

732

273cos

2coscos2 : Para

1

222

222222

°.=

=

=

+=

+=

ac

- b + c a=ac+c=ab

179

72

1cos

72

1cos

74

974cos

722

372cos

2coscos2 : Para

1

222

222222


Note que la suma de los tres ángulos es 180°.

.18060179940 °° = ° + .° + . α+ β + γ =

2) Resuelva el triángulo presentado en la figura. Dado: α = 35°, β =15° y c = 5. Según la

figura:

Solución: De acá tenemos que:

°

°°

°°

° = ° + ° + ° α+ β + γ =

130

50180

18050

1801535180

Luego, usando la ley del seno:

5

sinsinsin

ba

De aquí, tenemos que:

.74,3130sin

35sin5

sin

sin5

5

sinsin0

0

aaaa

.69,1130sin

15sin5

sin

sin5

5

sinsin0

0

bbbb

Nota: La fórmula para la ley de senos es: cba

sinsinsin no hay

diferencia si la tomas así: sinsinsin

cba pero no las puedes mezclar.


Ejercicio:

I. A partir de la figura dada determine los elementos restantes del triángulo

teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas:

a) 65 , 50 , 12b

b) 60 , 7a , 7c

c) a=7, b=9, c=12

d) '3056 , 10b , 5c

e) 120 , 4a , 8c

f) 5c , 3b , 6a

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados las longitudes de los catetos.

.222 cba

Inversamente: Si en un triángulo cuyos lados miden ba, y c se verifica

que: .222 cba Entonces el triángulo es rectángulo.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa:

22222 cbacba

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto

mide la hipotenusa?

ab

cA B

C


ma

mmamma

5

434322222

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto:

22

22222

cab

baccba

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto

mide otro cateto?

mc

mmccmm

4

353522222

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Sea el triángulo rectángulo ,ABC en donde A y B son ángulos agudos y

el ángulo C es rectángulo, y además los lados “ a ” y “b ” Se llaman catetos y el lado

“ c ” se llama hipotenusa. En función del ángulo ,A el lado “a ” se llama cateto opuesto y

el lado “b ” cateto adyacente. Veamos la figura:


Luego:

El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre

el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

c

a x sen x

hipotenusa

a opuesto Cateto

El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto

adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.

c

b x x

hipotenusa

a adyacente Catetocos

La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el

cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.

b

a

x

x tag x

aadyacente Cateto

a opuesto Cateto

La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el

cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.

a

b

x

x ctg x

a opuesto Cateto

a adyacente Cateto

La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa (c) y el

cateto adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.

b

c

x

x

a adyacente Cateto

hipotenusasec

La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la

hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.

a

c

x

x

a opuesto Cateto

hipotenusacsc


COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO.

Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se

les denomina componentes.

.

Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama componentes

rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.

Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones

asena

aa

y

x

cos

Teniendo en cuenta que:

x

y

yx

a

a

aaa

tan

22

Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector

a. y Las 2 últimas son para hallar el vector a (Teorema de Pitágoras a partir de sus

componentes rectangulares. La última ecuación es para hallar la dirección del vector a

(ángulo) con la función trigonométrica tangente.


Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y dirección igual a 240º.

Encuentre las componentes rectangulares y represéntelas en un plano cartesiano.

NsenF

NF

y

x

6.82400.10

0.5240cos0.100

0

El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene módulo

igual a 5.00 N y apunta en dirección negativa del eje X. La componente en Y tiene módulo

igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y.

Esto se ilustra en la figura:

Y la dirección es 00001 8.2391808.59180

0.5

6.8tan

en sentido Oeste-

Sur.

EJERCICIOS RESUELTOS DE LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO

1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vértices de un

triángulo recto, como se muestra en la figura:


Solución:

Datos e incógnitas

C = q

C = q

C = -q

70

50

80

3

2

1

2

29109

c

mNewk

c = AB

cm = AC

40

30

?qF 3

Transformaciones

CC

CC = q

CC

CC = q

CC

CC = q

66

3

66

2

66

1

10701

1070

10501

1050

10801

1080

m,cm

mcm = AB

m,cm

mcm = AC

40100

140

30100

130

Hallemos la separación entre 3q y 1q se obtiene usando el Teorema de Pitágoras:

m,= CB

m,= CB

m,= CB

m, m,= CB

m),+ ( m),= (CB AB + AC= CB

50

250

250

160090

4030

2

22

222

222222

Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las líneas que unen a cada par

de cargas puntuales.

La fuerza que 1q ejerce sobre ,3q ,13F es de atracción.

La fuerza que 2q ejerce sobre ,3q ,23F es de repulsión.


Análisis Vectorial

Las fuerzas 13F y 23F tienen las direcciones que se indican en la figura de abajo:

Calcular la fuerza sobre la carga 3q debida a las cargas 1q y .2q

Las magnitudes de tales fuerzas son:

New , = F

m.

Cx Cx

C

mNew x = F

--

6201

50

10701080109

13

2

66

2

29

13

New = F

m.

Cx Cx

C

mNew x = F

--

350

30

10701050109

23

2

66

2

29

23


Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica en la figura, con el origen

en la carga donde deseamos calcular la fuerza resultante, en este caso en .3q

Llamando 3qF a la fuerza resultante sobre ,3q entonces:

. + F= FqF 23133

Luego, en términos de componentes x e :y

x xx + F = FqF 23133

yyy F = FqF 23133

De acuerdo con la figura:

Luego:

New; . = F

,

, New. =Fθ = FF

x

xx

3161

50

406201cos

13

131313


New; = F

,

,New. = Fsenθ = FF

y

yy

121

50

306201

13

131313

New; = F x 023

.3502323 New = FF y

De acá tenemos:

New; New = New + = qFx

3,16103,1613

New; New = New = qFy

2291213503

La magnitud de la fuerza neta 3qF se obtiene de aplicando el teorema de Pitágoras

en el triángulo resultante:

New = qF

New = qF

New = qF

New + New = qF

New + New = qF

q + Fq = FqFyx

280

69,78458

69,78458

5244169,26017

2293,161

2

3

2

3

22

3

222

3

222

3

2

3

2

3

2

3

El ángulo de esta fuerza se obtiene de


0

3

3

54,8

1.42 arctg=

421

3161

229

.tgθ

New.

Newtgθ

F

Ftgθ

x

y

Con sentido Este-Norte.

CAMPO ELÉCTRICO

q

FE

2r

kQE

Donde:

:E Campo eléctrico, intensidad del Campo eléctrico.

:F Fuerza eléctrica.

:q Carga, magnitud de la carga colocada en el Campo eléctrico.

Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio en la cual una carga

eléctrica experimentará una fuerza eléctrica. La magnitud de la intensidad del campo

eléctrico ( E ) se da por la fuerza ( F ) por unidad de carga ( q ).

Si q es (+): E y F tendrán

la misma dirección.

Si q es (-) la fuerza (F) estará

dirigida opuestamente a E.

Ejercicios:

1) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2m de una carga de

C12 ?


Datos e incógnitas

?E

mr 2

2

29109

C

mNewk

CQ 12

Transformación

CC

CCQ 6

6

10121

1012

Análisis vectorial

Luego:

.1027

2

1012109 3

2

6

2

29

2 C

New

m

C

C

mNewE

r

kQE

2) Dos cargas puntuales C =Q 61 y C=Q ,62 están separadas 12 cm, como se

muestra en la figura:

Determínese el campo eléctrico en el punto A y en el punto B.


Solución:

Datos e incógnitas

?AE

?BE

cmd 12

2

29109

C

mNewk

C =Q 61

C=Q ,62

Transformación

CC

CCQ

CC

CCQ

99

2

99

1

1061

106

1061

106

Nota: Realizar las transformaciones de las distancias.

Análisis Vectorial

Esta dado en la figura del enunciado.

Calculemos el Campo eléctrico en punto A:

El campo eléctrico en A debido a :1Q

.1038,3

04,0

106109 4

2

9

2

29

2

11

C

Newx

m

Cx

C

mNewx

r

kQE

(Izquierda)

Y en punto A:

El campo en A debido a :2Q

.1043,8

08,0

106109 34

2

9

2

29

2

22

C

Newx

m

Cx

C

mNewx

r

kQE

(Izquierda)


Puesto que los vectores tienen la misma dirección y sentido, la intensidad resultante

en A es:

.1022,41043,81038,3 4344

21C

New

C

Newx

C

NewxEEEA (Izquierda)

El campo B ejercido por 1Q y ,2Q se sigue del análisis vectorial:

Luego:

C

Newx

m

Cx

C

mNewx

r

kQE

C

Newx

m

Cx

C

mNewx

r

kQE

3

2

9

2

29

2

22

3

2

9

2

29

2

11

104,215,0

106109

.1066,609,0

106109

La ∑ vectorial del campo eléctrico :E

C

NewEEE xx

3030

22 1092,137cos104,237cos

C

NewE

C

New,,EE

E

y

y

y3

1

3030

22

10666

1044137sin104237sin

De donde se puede comprobar que: C

NewEy

310220,5 y así:

Módulo:

C

New

C

New

C

NewEEE yxy

3

2

3

2

3221056,510220,51092,1


Dirección: .80,69

1092,1

10220,50

3

3

C

NewC

New

arctgR Con sentido Este-Norte.

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ángulos

Funciones

0°

90°

180°

270°

360°

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 No 0 No 0

Cotangente No 0 No 0 No

Secante 1 No -1 No 1

Cosecante No 1 No -1 0

VALORES NOTABLES

Ángulos

Razones

30º 45º 60º

Seno

2

1

2

2

2

3

Coseno

2

3

2

2

2

1

Tangente

3

3

1 3

Cotangente 3 1

3

3

Secante

3

3 2

2 2

Cosecante 2 2

3

3 2

Sistema Sexagesimal (DEG): Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60. La

unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1/3600 ava parte

de la circunferencia de un círculo. Un minuto ( ) es la 60

1 ava parte de un grado; un segundo (”)

es la 60

1 ava parte de un minuto, o sea

3600

1 ava parte de un grado.

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