NÚMEROS REALES - ABCservicios.abc.gov.ar/lainstitucion/revista... · Divisibilidad Uno de los...

1 NÚMEROS REALES

Los números naturales, los

enteros, las fracciones y decimales

han sido objeto de estudio en

diferentes oportunidades. En este

caso se retoman esos conjuntos de

números pero prestando especial

atención a sus características y

propiedades.

A partir de las propiedades se

podrá profundizar en el estudio

de cuestiones más generales. Se

resolverán problemas que requieren

ampliar los conjuntos numéricos

conocidos.

CONTENIDOS

❚ Números naturales

❚ Números enteros

❚ Números racionales

❚ Números irracionales

❚ Números reales

Problema 1Indiquen en qué conjuntos numéricos pueden resolverse los siguientes problemas:

a. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado cuya área es 1 cm 2 ?

b. Encontrar todos los números que verifican que al multiplicarlos por su siguiente se

obtiene por resultado 20.

c. Si se conoce que 9 veces el cuadrado de un número es 4, ¿de qué número se trata?

d. ¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se

sabe que su área es 2,5 cm 2 ?

e. Encontrar, si existe, un número cuyo cuadrado sea –1.

Cada uno de los problemas anteriores apunta al estudio de un conjunto numérico

diferente orientado por las siguientes cuestiones:

❚ ¿Cuáles son los números que intervienen y cómo se opera entre ellos?

❚ ¿Qué otras cuestiones pueden estudiarse con ellos? ¿A qué problemas dan respues-

ta y cuáles no pueden resolverse?

❚ ¿Qué propiedades tienen? ¿Qué propiedades que valían en un conjunto numérico dejan

de valer en otro? ¿Qué propiedades que no valían en otro conjunto numérico ahora valen?

De todas estas cuestiones se tratará este capítulo.

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

10 Capítulo 1. Números Reales.

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NIP: 222503 - Pág.: 10 - MAT

*0000-222503-10-MAT-9*

en

El problema a. de la página anterior puede pensarse de la siguiente manera:

si un cuadrado de lado l tiene un área de 1 cm², entonces, para calcular el lado puede

plantearse la ecuación l 2 = 1.

Esta ecuación tiene dos soluciones l = 1 o l = –1; sin embargo en el contexto del pro-

blema la única solución posible es l = 1.

Dicho de otro modo; en el conjunto de los números naturales esta ecuación tiene por

solución l = 1 y en el conjunto de los números enteros tiene dos soluciones l = 1 y l = –1.

Este problema apunta entonces al estudio de los números naturales.

Los números naturales son los que se usan para contar. Suelen representarse con la

letra ¥, y pueden mostrarse por extensión (de manera incompleta) así:

¥ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ...}

Como hay infinitos números naturales, se dice que el conjunto de los números naturales

es un conjunto infinito. Todos los elementos de este conjunto son positivos (mayores que 0).

Tiene un elemento, el 1, que es el menor de todos; a este número se lo denomina el primer ele-

mento del conjunto. No hay ningún número natural que sea el mayor que todos, es decir, este

conjunto no tiene “último” elemento, pues es suficiente con sumar 1 para obtener uno mayor.

El resultado de sumar dos números naturales cualesquiera es siempre otro número natural, pero

esto no siempre sucede con la resta. Por ejemplo, no puede resolverse la operación 20 – 27.

En el conjunto de los números naturales todo elemento a tiene su siguiente a + 1 y todo

elemento b distinto de 1 tiene su anterior, b – 1.

El conjunto de los números

naturales está formado por

aquellos números que sirven para

contar ;

¥ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ...}

En ocasiones se considera al 0 como

número natural. En este caso, se lo

simboliza ¥0.

¥0 = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...}

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NIP: 222503 - Pág.: 11 - MAT

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El conjunto de los números enteros

Si se analiza ahora el problema 1.b. de la página 10:

Encontrar todos los números que verifican que al multiplicarlos por su siguiente se

obtiene por resultado 20.

Este problema puede traducirse a través de la ecuación x (x + 1) = 20.

Es sencillo reconocer que el número 4 verifica la ecuación porque 4 . 5 = 20. Con lo cual

en el conjunto de los números naturales el conjunto solución de la ecuación es: S = {4}.

Si solo se piensa en números naturales, la solución es única. Pero si se admite el uso de

números enteros, también ocurre que (–5) . (–4) = 20. Es decir, aparece otra solución x = –5.

El conjunto solución en el conjunto de los números enteros es S = {4 ; –5}

Problema 2¿Es posible encontrar un número que al restárselo a 20 dé por resultado 27?

Si se piensa este problema en términos de ecuaciones, la expresión que lo representa

es la siguiente: 20 – x = 27. No hay ningún número natural que, restado al 20 dé por resul-

tado 27. Esto quiere decir que no hay solución para esta ecuación dentro del conjunto de

números naturales. Luego S = ø.

Para encontrar la solución de esta ecuación es necesario definir un nuevo conjunto de

números, el de los enteros, que se simboliza ¢. Está formado por los números naturales, el

0 y los opuestos de los números naturales. Puede definirse:

¢ = { ... ; –3 ; –2 ; –1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ...}

enumerando sus elementos de manera incompleta. En este conjunto la solución es S = {–7}

El conjunto de los números enteros es también un conjunto infinito y no hay un núme-

ro entero que sea el menor de todos ni tampoco un número entero que sea el mayor de

todos. Es decir, en este conjunto no existen ni primer elemento ni último elemento.

Ubicación en la recta numérica

Problema 3En la siguiente recta numérica están ubicados

el 0 y el 8.

¿Dónde se ubica el número 5?¿Dónde se

ubican los números –1 y –2?

Para resolver este problema, una posibilidad es intentar ubicar el número 1. Para ello

es conveniente ubicar el 4, justo en el punto medio entre 0 y 8. Luego el 2 en el punto

medio entre 0 y 4 y finalmente el 1 entre 0 y 2. Determinada la posición del 1, es sencillo

señalar la ubicación del 5:

Se llama conjunto

solución de una ecuación

al conjunto formado por todas sus

soluciones. Se lo simboliza S.

Al número –a se lo llama

opuesto de a.

Por ejemplo:

–5 es el opuesto de 5;

7 es el opuesto de –7, porque

–(–7) = 7;

0 es el opuesto de 0, porque – 0 = 0;

– a es el opuesto de a y a es el

opuesto de – a.

El opuesto de un número es

negativo cuando ese número es

positivo; es positivo cuando ese

número es negativo y es 0 cuando

ese número es 0. 80 1 2 4 5

80

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Es decir, para ubicar los números naturales en una recta, basta con señalar el 0 y el

1, o sea, elegir una unidad en la recta, luego, el 2 se ubica a una unidad de distancia a la

derecha del 1, el 3 a una unidad de distancia a la derecha del 2, etcétera.

Para ubicar el número –1 en esta recta alcanza con tomar la misma unidad de medida

pero para la izquierda. Entonces:

En la recta puede observarse que dados dos números enteros distintos, el que está más a la

derecha en la recta numérica será el mayor. Por ejemplo, 5 está a la derecha de –2 y 5 > –2.

En el conjunto de los números naturales se puede observar que el más grande es el que

está más lejos del cero. Sin embargo, esta propiedad deja ser cierta en el conjunto de los

números enteros, ya que, por ejemplo, –10 está más lejos del 0 que 5.

En el conjunto de los números enteros todo elemento a tiene su siguiente o consecu-

tivo a + 1 y todo elemento b tiene su anterior, b – 1.

Por ejemplo: –6 es el siguiente de –7, y el anterior de –5; 450 es el anterior de 451 y

–123 es el anterior de –122.

Problema 4a. ¿Cuántos números enteros hay ente 10 y 14?

b. ¿Cuántos números enteros hay entre –303 y 304? ¿y entre –400 y –126?

c. ¿Hay alguna forma de calcular la cantidad de números enteros que hay entre dos

números enteros p y q?

Entre 10 y 14 están solamente los números enteros 11, 12 y 13, es decir hay tres

números enteros.

Para hallar los números enteros entre –303 y 304 hay que contar los números –302,

–301 … hasta 303. Para saber cuántos hay, se puede realizar la cuenta 304 – (–303) = 607.

Pero en este cálculo se está considerando el número –303, entonces hay que restarle uno:

607 – 1 = 606. Es decir, hay 606 números. Pueden resumirse los resultados en la siguiente tabla:

Para hallar los números enteros que hay entre p y q (p < q) se calcula la diferencia q – p y se

obtienen los números entre p y q, pero incluyendo a p. Al restar 1 se excluye al número p.

Puede deducirse entonces que entre dos números enteros cualesquiera, la cantidad de

números enteros que hay entre ellos es siempre finita y se calcula haciendo q – p – 1.

A partir de esta propiedad se dice que el conjunto de números enteros es un conjunto

discreto.

0–10 5

En el conjunto de los

números enteros, el mayor

entre dos números es el que está

ubicado en la recta numérica más a

la derecha.

4

Todo número natural

tiene un siguiente, que

se obtiene al sumarle 1. Todos,

excepto el 1, tienen además un

elemento anterior que se obtiene

restando 1 al número.

En el caso de los números enteros,

todos tienen anterior y siguiente.

Dado un número entero a, su

anterior es a – 1 y su siguiente

a + 1.

Entre dos números enteros

a y b (b > a) hay siempre una

cantidad finita de números enteros

y ésta es exactamente b –a –1.

Si a = b, la cantidad de números

enteros entre ellos es 0.

Esta propiedad de los números

enteros se conoce con el nombre de

discretitud.

Si se quiere contar cuántos números

enteros hay desde a hasta b (es

decir, los que hay “entre” y también

a y b) esa cantidad es b – a + 1.

Si a = b, hay 1.

Entre ... hay ... ¿Cuántos son?

10 y 14 3 (11, 12 y 13) 14 – 10 = 4 ; 4 – 1 = 3 14 – 10 – 1 = 3

–303 y 304 606304 – (–303) = 607 607 – 1 = 606

304 – (–303 ) – 1 = 606

–400 y –126 273–126 – (–400) = 274

274 – 1 = 273–126 – (–400) – 1 = 273

–1–2 0 1 2 4 5 8

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Divisibilidad

Uno de los temas más importantes en el conjunto de los números enteros es el de la

divisibilidad, tal como se propone en el siguiente problema.

Problema 5Sean a y n números enteros tales que a = 25 . n + 7, hallar el resto de dividir a por 5.

Para resolver esta cuestión, una posibilidad es comenzar a explorar asignándole a n

algunos valores, tal como se muestra en la tabla:

Aparentemente el resto siempre es 2. Pero, ¿cómo se puede hacer para estar seguros de

que el resto siempre es 2?

Como a = 25 . n + 7 es posible transformar esta expresión en otra equivalente

a = 25 . n + 7 = 5 . 5 . n + 5 + 2 = 5 (5n + 1) + 2

La última expresión muestra que el número a es dos unidades mayor que un múltiplo

de 5. Y como al dividir un múltiplo de 5 por 5, su resto es cero, al dividir un número dos

unidades mayor que un múltiplo de 5, el resto es 2.

Problema 6¿Cuáles son los posibles restos que se obtienen al dividir un número entero a por:

a. 2? b. 3?

Si a es un número entero par, entonces al dividirlo por 2 se obtiene un cierto cociente

q y resto 0. Entonces a = 2 . q con q ∊ ¢.

Si a es un número entero impar, entonces al dividirlo por 2 se obtiene un cierto

cociente n y resto 1. Entonces a = 2 . n + 1 con n ∊ ¢.

Si a es divisible por 3, al dividir a a por 3 se obtiene un cociente m y resto 0.Enton-

ces a = 3 . m con m ∊ ¢.

Si a no es divisible por 3, al dividir a a por 3 se obtiene un cociente n y un resto que puede

ser 1 o 2. Entonces, puede ser que a = 3 . n + 1 con n ∊ ¢ o a = 3n + 2 con n ∊ ¢.

En general puede decirse que si a y b son números enteros entonces:

❚ a es divisible por b, si existe un número entero k tal que a = b . k.

❚ Si a no es múltiplo de b entonces existen números enteros q y r tales que:

a = b . q + r y 0 < r < b.

Dados dos números enteros

a y b (b distinto de 0), existen

únicamente dos números enteros

q y r, llamados respectivamente

cociente y resto, tales que

a = b . q + r,

siendo r mayor o igual que 0 y

menor que b.

n 25 . n + 7 Resto al dividirlo por 5

0 7 2

1 32 2

3 82 2

10 257 2

123 3082 2

Un número entero es par

cuando se lo puede escribir

como a = 2 . k, con k ∊ ¢ .

Un número entero es impar cuando

se lo puede escribir como a = 2 . k + 1,

con k ∊ ¢. múltiplo de 5

Un número entero es primo

cuando tiene exactamente

cuatro divisores: el 1, el –1, el

número y su opuesto.

Por ejemplo 13 es primo porque sus

únicos divisores son –1, 1, –13 y 13,

en cambio 4 no es primo porque,

además de –1,1,–4 y 4 tiene a –2

y 2 como otros divisores. 1 y –1 no

son números primos porque tienen

exactamente dos divisores: 1 y –1.

4

Si a = k . b con a, b, k ∊ ¢

entonces a es múltiplo de b o

b es divisor de a.

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

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NIP: 222503 - Pág.: 14 - MAT

*0000-222503-14-MAT-9*

Ecuaciones

Con los números enteros se pueden resolver algunas ecuaciones que no tenían solución en ¥.

Problema 7Para cada una de las ecuaciones siguientes, hallar el conjunto solución en ¥ y en ¢.

a. x + 5 = 1 b. 4x = –20 c. 2x = 3

d. x² = 100 e. x² = 64 f. x² = –4

g. x 4 = 16 h. x³ = 27 i. x³ = –64

La ecuación x + 5 = 1 no tiene solución en ¥ porque no existe ningún número natural

que sumado a 5 dé por resultado 1, luego S ¥ = ∅. Sin embargo, la ecuación tiene solución

en ¢ y es x = 1 – 5 = – 4 . S ¢ = {– 4}.

La ecuación 4x = –20 tiene solución en ¢ pero no en ¥ porque: x = –20 : 4 = –5 luego

S¢ = {–5} y S¥ = ∅.

La ecuación 2x = 3 no tiene solución en ¥ ni en ¢ porque ningún número entero mul-

tiplicado por 2 da 3. S¥ = S¢ = ∅.

La ecuación x2 = 100 tiene una única solución en ¥ que es 10. S¥ = {10}. Sin embargo,

tiene dos soluciones en ¢: 10 y –10, ya que 102 = 100 y (–10)2 = 100. S¢ = {–10 ; 10}.

Esta ecuación introduce un problema en los clásicos “despejes” usados al resolver

ecuaciones, que conviene analizar.

La resolución x2 = 100 ⇔ x = √____

100 ⇔ x =10 es válida para resolver la ecuación en

¥, pero no en ¢, ya que se pierde una solución.

En estos casos se debe tener presente que hay dos números enteros que elevados al

cuadrado dan 100 y estos números son 10 (la raíz cuadrada de 100) y –10 (el opuesto de

la raíz cuadrada de 100).

La ecuación x2 = 64 puede resolverse de la siguiente manera:

x2 = 64 ⇔ x = 8 o x = –8

Entonces S¥ = {8} y S¢ = {8 ; –8}

Cuando se intenta resolver la ecuación x 2 = –4, se observa que ningún número entero eleva-

do al cuadrado da negativo. Luego esta ecuación no tiene solución en ¥ ni en ¢. S¥ = S¢ = ∅.

La ecuación x4 = 16 ⇔ x = 2 o x = –2 porque 24 = 16 o (–2)4 = 16. Entonces S¥ = {2}

y S¢ = {2 ; –2}.

Las consideraciones anteriores son necesarias en los pasajes de potencias pares a raí-

ces; los que contienen potencias impares no tienen mayores dificultades.

x 3 = 27 ⇔ x = 3, dado que el único número entero que elevado al cubo da 27 es

3. S ¥ = S ¢ = {3}.

x 3 = –64 ⇔ x = –4 porque el único número entero que elevado al cubo da –64 es –4.

S ¥ = ∅, S ¢ = {–4}.

Se simboliza S¥ al

conjunto solución de

una ecuación en el conjunto de

los números naturales. De igual

forma S¢ es el conjunto solución

en el conjunto de los números

enteros.

4

Los números

pertenecientes a ¥0 que

tienen raíz cuadrada en ¥0 se

llaman cuadrados perfectos.

Por ejemplo: 36 es un cuadrado

perfecto porque √

___ 36 = 6.

Si a es un cuadrado perfecto,

entonces:

En ¥0 :

x2 = a ⇔ x = √

__ a

En ¢:

x2 = a, a ≥ 0 ⇔

x = √

__ a o x = –

√

__ a

ACTIVIDADES1. ¿Cuántos números enteros hay desde –154 hasta 5201?

2. Si a = 79, propongan un número entero b de forma tal que entre a y b

haya 53 números enteros. Expliquen cómo lo pensaron.

3. Decidan si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

Justifiquen la decisión.

a. La cantidad de números primos que hay entre 40 y 50 es la misma que

hay entre 70 y 80.

b. Todos los números enteros que terminan en 1 y son mayores que 10 y

menores que 50 son primos.

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 15 - MAT

*0000-222503-15-MAT-9*

El conjunto de los números racionales

Si se retoma el problema 1.c.

Si se conoce que 9 veces el cuadrado de un número es 4, ¿de qué número se trata?

Es posible traducir este problema con la ecuación 9x² = 4

Si x es un número entero, al elevarlo al cuadrado seguirá siendo entero y al multipli-

carlo por 9, el resultado será un múltiplo de 9, con lo cuál nunca da 4. Esta ecuación no

tiene solución en ¢.

Para dar respuesta a problemas como éste se define otro conjunto de números.

El conjunto de números racionales, que se simboliza ¤ , es el conjunto formado por

todos los números que pueden ser expresados como fracción, es decir, como cociente de

dos números: a entero y b natural.

¤ = { x/x = a __ b , con a ∊ ¢ y b ∊ ¥ }.

En este conjunto numérico la ecuación 9x² = 4 tiene dos soluciones 2 __ 3 y – 2 __ 3 . Lue-

go S¤ = { 2 __ 3 ; – 2 __ 3 }.

Así como los números enteros son una “extensión” de los naturales (porque los con-

tienen), los racionales son una “extensión” de los enteros, ya que todo número entero

puede ser pensado como una fracción con denominador 1.

El conjunto de los números racionales es también un conjunto infinito y no hay un

número racional que sea el menor de todos ni tampoco un número racional que sea el mayor

de todos; es decir, como ocurre con los enteros, no hay ni primer ni último elemento.

Problema 8Si a es un número racional, ¿es cierto que no existe ningún otro número racional

entre a y a + 1?

Si a es un número entero, a + 1 es el entero siguiente a a y no existe otro número

entero entre ellos.

Pero, a diferencia de los enteros, en ¤ no tiene sentido hablar de siguiente ni de

anterior. Por ejemplo, 2 __ 3 es un número racional, pero 2 __ 3 + 1 = 5 __ 3 no es su siguiente porque

hay otros números racionales que están entre ellos, como 7 __ 6 que se obtiene al sumar 2 __ 3 con 1 __ 2 .

Como 1 __ 2 es menor que 1 y mayor que cero, entonces 7 __ 6 está entre 2 __ 3 y 5 __ 3 .

Los números racionales no van “saltando de a 1” en la recta como los enteros.

EL conjunto de los números

racionales es:

¤ = {x/x = a __ b

, con a ∊ ¢ y b ∊ ¥}.

Puede pensarse también que

el denominador es un número

entero, sin embargo

– a __ b

= –a ___ b

= a ___ –b

S¤ es el conjunto solución

en ¤.

¤

¢ ¥

Los números enteros son

fracciones de denominador

1, lo que demuestra que el

conjunto de los números enteros

está incluido en el de los racionales.

Además, el conjunto de los

naturales está incluido en el de los

enteros. Simbólicamente:

¥ ⊂ ¢ ⊂ ¤

En un diagrama de Venn, puede

mostrarse esta relación entre los

conjuntos:

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NIP: 222503 - Pág.: 16 - MAT

*0000-222503-16-MAT-9*


Los números racionales también pueden ubicarse en la recta numérica, como se mues-

tra a continuación.

Problema 9Ubicar el número – 1 __ 3 en la siguiente recta numérica.

Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una es señalar la ubicación de

– 1, como opuesto de 1, para luego dividir en tres la distancia entre 0 y – 1.

Otra forma es dividir en tres partes iguales la distancia entre 0 y 1, marcar 1 __ 3 para lue-

go ubicar – 1 __ 3 como opuesto de 1 __ 3 :

En la siguiente recta se pueden ubicar también otros números racionales, por ejemplo:

Se puede observar que los números racionales están más “apretados” en la recta que los

enteros.

Números decimales

Los números racionales pueden también expresarse como decimales, como propone el

siguiente problema.

Problema 10¿Qué números van en las casillas libres en las siguientes tablas?

Realizar el pasaje de la expresión fraccionaria a decimal es sencillo. Por ejemplo, la

escritura decimal de 1 __ 4 es 0,25 porque 1 dividido 4 da 0,25; la escritura decimal de 5 __ 2 es

2,5, pues basta con hacer la cuenta.

10

0–1 – 1 __ 3 1 _ 2 1 5 __ 4 7 _ 4 32 8 __ 3

Las expresiones decimales

de todas las fracciones

siempre tienen parte decimal finita

o tienen parte decimal periódica.

El período no tiene que empezar

necesariamente en la primera

cifra decimal. En el caso en que

el período no comienza en la

primer cifra decimal se dice que la

expresión decimal es mixta.

10–1 – 1 __ 3

10–1 – 1 __ 3 1 __ 3

Fracción Decimal

1 __ 4 ...

... 3, ͡5

Fracción Decimal

5 __ 2 ...

... 0,23

... 2,26 ͡1

Fracción Decimal

... 1,3

... 0,25 ͡

11 ___ 90

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 17 - MAT

*0000-222503-17-MAT-9*

¿Cómo se pasará de una expresión decimal a su equivalente fraccionaria?

Para realizar este proceso pueden presentarse distintos casos, como se muestra en la

siguiente tabla.

Ahora es posible completar la tabla

Pasaje de decimal a

fracción:

1. Para números racionales cuyo

desarrollo decimal es finito

como por ejemplo x = 2,461, se

multiplica por la unidad seguida de

ceros hasta que quede un número

entero.

En este caso

1000 . x = 2461 ⇒ x = 2461 ____ 1000

2. Para números racionales cuyo

desarrollo decimal es periódico no

mixto, como x = 5,)3 , se multiplica

por la unidad seguida de ceros

hasta que quede un número

decimal con el mismo período

que el original. En este ejemplo

se multiplica por 10 y se obtiene

10 x = 53, )3 . Luego se restan las

ecuaciones obtenidas, y queda una

ecuación cuyos coeficientes son

todos enteros.

10 x – x = 53, )3 – 5,

)3 ⇔

9 x = 48 ⇔ x = 48 ___ 9 = 16 ___ 3

3. Para números decimales

periódicos mixtos, como por

ejemplo x = 2,38 )4 , se multiplica la

ecuación dos veces por la unidad

seguida de ceros hasta obtener

números racionales con igual

desarrollo decimal periódico, no

mixto. En este caso se multiplica

por 100 y por 1000 y se obtiene:

100 x = 238, )4

1000 x = 2384, )4

Se restan luego ambas igualdades

obtenidas y quedan expresadas

solo con números enteros.

1000 x – 100 x = 2384, )4 – 238,

)4

⇔ 900 x = 2146 ⇔

x = 2146 ____ 900 = 1073 _____ 450

Números decimales con ...

parte

decimal ...

parte entera ...

igual a cero distinta de cero

finita

x = 0,23100 x = 23

x = 23 ____ 100

x = 1,310 x = 13

x = 13 ___ 10

periódica

x = 0, º 25 (1)

Se multiplican ambos miembros por 100. 100 . x = 25,º 25 (2)

Se restan las ecuaciones (2) y (1) : 100 x – x = 25,º 25 – 0,º 25 99 . x = 25

x = 25 ___ 99

x = 3,º5 (1)

Se multiplican ambos miembros por 10. 10 x = 35,º5 (2)

Se restan las ecuaciones (2) y (1) 10 x – x = 35,º5 – 3,º5 9 x = 32

x = 32 ___ 9

mixta

x = 2,26 )1 (1)

Se multiplican ambos miembros por 1000.1000 . x = 2261,

)1 (2)

Se multiplican ambos miembros de (1) por 100.100 . x = 226,

)1 (3)

Se restan las ecuaciones (2) y (3) :1000 x – 100 x = 2261,

)1 – 226,

)1

900 x = 2035

x = 2035 ____ 900 = 407 ____ 180

Fracción Decimal

1 __ 4 0,25

32 ___ 9 3, ͡5

Fracción Decimal

5 __ 2 2,5

23 ____ 100 0,23

407 ____ 180 2,26 ͡1

Fracción Decimal

13 ___ 10 1,3

25 ___ 99 0,2͡ 5

11 ___ 90 0,12͡

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 18 - MAT

*0000-222503-18-MAT-9*

la

Problema 11¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 2?

Unos cuantos de ellos pueden listarse fácilmente: 1,3 ; 1,8 ; 1,25 ; 1,761 ; etc. Pero,

para poder decidir cuántos hay, se propone el siguiente razonamiento:

Se calcula el promedio entre el 1 y el 2, luego entre el 1 y el promedio anterior y así siguiendo:

De esta manera se han encontrado 5 números racionales entre 1 y 2. Pero el proceso de pro-

mediar al 1 con el promedio obtenido en el paso anterior puede continuarse indefinidamente.

Puede pensarse que, en algún momento, se llegará al 1, sin embargo, esto no es así

porque, en cualquier paso, el promedio se realiza entre el 1 y el promedio del paso ante-

rior (que es mayor que 1), obteniéndose un número que está entre ambos, por lo que es

cada vez más próximo a 1, pero mayor que él.

Como este proceso puede seguir indefinidamente, hay infinitos números racionales

entre 1 y 2.

De igual manera puede procederse con cualquier par de números racionales distintos;

por lo tanto el conjunto de los números racionales no es discreto sino denso.

¿Cuántos números racionales hay entre 0,) 9 y 1?

Si se supone que 0,) 9 es menor que 1, entonces deberían existir infinitos números

racionales entre ellos, como entre cualquier par de racionales distintos. Pero es imposible

encontrar tan siquiera uno que sea mayor que 0,) 9 y menor que 1. Esto no contradice la

propiedad de densidad de este conjunto dado que si se escribe el número 0,) 9 en su forma

fraccionaria se obtiene que x = 0,) 9 (1)⇔ 10 x = 9,

) 9 (2) ⇔ restando (2) – (1) 9 x = 9 ⇔ x = 1.

Luego 0,) 9 = 1 y entonces estos dos números son iguales.

El promedio entre dos

números distintos a y b es

el número a + b ____ 2 . Este número es

distinto de a y de b y está ubicado

entre ambos en la recta numérica.

Promedio entre ... Resultado

1 y 2 1,5

1 y 1,5 1,25

1 y 1,25 1,125

1 y 1,125 1,10625

1 y 1,0625 1,03125

1,25 21 1,5

1,1251,0625

1,03125


racionales no es un conjunto

discreto como ¢ sino que es un

conjunto denso dado que entre

dos números racionales distintos

siempre es posible encontrar

infinitos números racionales.

Otra forma de ver que 0,)9 = 1

es:

0,)9 = 3 . 0,

)3 =

Como 0,)3 = 1 __ 3

0,)9 = 3 . 1 __ 3 = 1

Lo mismo sucede con todos los

decimales con período 9.

Por ejemplo: 7,)9 = 8; 26,5

)9 = 26,6.

4

ACTIVIDADES4. Hallen cuatro números racionales entre 9,)7 y 9,8. Expresen a dos de

ellos como fracción y a los otros dos como decimal.

5. Ordenen de menor a mayor a cada una de las dos listas siguientes de

números racionales:

a. 8,)9 ; 8,9 ; 8,º98 ; 8,º89 ; 8,

)8 ; 9 ; 8,98 ; 8,99.

b. –2, ͡528 ; –2,52)8 ; –2,5º28 ; –2,528

6. ¿Los números 2,5͡2 y 2,52͡5 son iguales? Justifiquen sus respuestas

desde la expresión decimal y desde la expresión fraccionaria de ambos

números.

7. Resuelvan las siguientes ecuaciones. Indiquen su conjunto solución en ¤:

a. 3 x – 4 = –5x + 1 b. 2 . (x + 3) = 1 – 4x c. – 2 __ 3 (1 – x) = –3

d. x2 = 144 e. x2 = 121 ____ 64 f. x3 = – 27 ___ 8

8. Sin resolverlas, indiquen cuáles de las siguientes ecuaciones tienen

solución en ¥ y en ¢.

a. x – 100 = 43 b. 20 + x = 10 c. 4x = 18

d. x : 3 = 4 e. x + 10 = 3 f. 12x = 1

g. –4x = –16 h. x : (–3) = 4

9. Resuelvan las siguientes ecuaciones en ¢. Escriban el conjunto solución.

a. 2x – 1 = 5 b. –4 . (x + 3) = 12

c. –5x + 1 ______ 2 = 8 d. x 2 = 121

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

19



NIP: 222503 - Pág.: 19 - MAT

*0000-222503-19-MAT-9*

El conjunto de los números irracionales

Si se retoma el problema 1.d de la página 10:

¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se sabe

que su área es 2,5 cm²?

Como el triángulo es rectángulo isósceles, sus dos catetos son iguales.

Como además el área es 2,5 cm², queda expresada la ecuación:

x . x ____ 2 = 2,5 ⇔ x² = 5

Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números racionales porque no

existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé por resultado 5.

Aparece entonces un nuevo conjunto numérico, el de los números irracionales.

El desarrollo decimal de los números racionales, es finito o periódico. Quedan fuera

de este tipo de números aquellos cuyo desarrollo decimal es infinito pero no periódico,

como por ejemplo:

5,10110111011110...

π = 3,14159265...

–108,414243444546...

Estos números son números irracionales. El lado del triángulo anterior mide √__

5 y es

un número irracional. Otros números irracionales son √__

2 ; 3 √__

7 y 42/3.


Los números irracionales también tienen lugar en la recta.

Problema 12¿Dónde estará ubicado el número √

__ 5 en la recta numérica?

Para ubicar el número √__

5 es posible realizar lo que sigue:

x

x

Las raíces cuadradas de

números primos son

siempre irracionales.


irracionales es aquel

cuyos elementos tienen desarrollo

decimal infinito, no periódico.

Dicho conjunto se simboliza con

la letra .

Definición de potenciación:

❚ con exponente natural:

Siendo a ∊ ¡ y N ∊ ¥0: a . a . ... a si N > 1 N veces

a N = a si N = 1

1 si N = 0 y a ≠ 0

no está definida si N = 0 y a = 0

❚ con exponente entero negativo:

a ∊ ¡ y N ∊ ¥: a – N = ( 1 __ a ) N

❚ con exponente fraccionario:

Si a ∊ [0 ; +∞) y M __ N es una fracción:

aM/N = ( N √__

a ) M = N √

___ a M

Se construye sobre la recta numé-

rica un triángulo rectángulo cuyos

catetos tengan longitud 2 y 1.

Por el Teorema de Pitágoras la

hipotenusa del triángulo mide √__

5 .

Con un compás se hace centro en el

0 y, con radio igual a la hipotenusa,

se traza un arco que interseque a la

recta. Ese valor de intersección es la

ubicación de √__

5 .

⎧ ⎨ ⎩

M: 10826 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 20 - MAT

*0000-222503-20-MAT-9*

El conjunto de los números reales

El conjunto formado por todos los números racionales y todos los números irraciona-

les se denomina conjunto de los números reales.

En el siguiente diagrama de Venn se pueden observar las relaciones de inclusión entre

los distintos conjuntos numéricos.

Este conjunto tiene la propiedad de “llenar” la recta numérica. Cada número real es

un punto en la recta numérica y cada punto de la recta numérica es un número real. Al

conjunto de los números reales se lo simboliza ¡.

El conjunto de los números reales es también un conjunto denso, es decir, entre dos núme-

ros reales distintos siempre hay infinitos números reales (tanto racionales como irracionales).

Por ejemplo, en el intervalo (0 ; 2) hay infinitos números racionales y también hay infinitos

números irracionales. Allí se ubican los números de la forma 1 __ n √__

2 , siendo n cualquier natural.

Con la incorporación de los números irracionales pueden resolverse ecuaciones que no

tienen solución en ¤ como por ejemplo:

x2 = 7 ⇔ x = √__

7 o x = – √__

7 . Entonces S ¡ = { √__

7 ; – √__

7 }

x2 = 5 __ 9 ⇔ x = √___

5 __ 9 = √__

5 ____ 3 o x = – √__

5 ___ 3 . Entonces S ¡ = { √__

5 ___ 3 ; – √__

5 ___ 3 }

No obstante, hay ecuaciones que no tienen solución en ¡.

Si se retoma el problema 1. e.

Encontrar, si existe, un número cuyo cuadrado sea –1.

En este problema queda planteada la ecuación x2 = –1. Sin embargo cuando se mul-

tiplica un número real por sí mismo el resultado siempre es positivo. No existe entonces

ningún número real que elevado al cuadrado dé –1. Luego S ¡ = ∅.


reales es el que está

formado por todos los números

racionales y todos los números

irracionales.

¡ = ¤ U

¥ ⊂ ¢ ⊂ ¤ ⊂ ¡ , ¤ U = ¡¤

¢ ¥

¡

Si a y b dos números reales,

con a < b:

❚ para nombrar a todos los números

reales que están entre a y b se usa la

notación (a ; b), que se lee “intervalo

abierto ab”

( ) a b


desde a hasta b inclusive, se usa

[a ; b], y se lee “intervalo cerrado ab”

[ ] a b


reales mayores que a se usa (a ; +∞).

( a


reales menores que a se usa (–∞ ; a).

) a

////////

////////

///////////

///////////

S ¡ es el conjunto solución de

una ecuación en el conjunto

de los números reales.

ACTIVIDADES10. De la siguiente lista de números, indiquen cuáles son irracionales:

12 ___ 5 ; 4π ; 2 1 __ 4 ; –5 ; 2,1234... ; 7–1 ; 6,1 ;

√____

150 ; 82/3 ; 21,)6 ;

3 √___

27 ___ 8 ; 9,12) 4; ( 1 __ 4 )

11. ¿Cuántos números hay en el intervalo [–5 ; 1] que sean:a. naturales? b. enteros? c. racionales?

d. irracionales? e. reales?

En los casos en que haya una cantidad finita, muéstrenlos a todos; si

son infinitos, muestren cuatro de ellos.

12. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen su conjunto

solución en ¡.

a. x2 = 8 b. x3 = 64 ___ 27 c. x4 = 16 ___ 81 d. x4 = –81

13. Completen el cuadro colocando una cruz cuando el número que

encabeza la fila pertenece al conjunto numérico que encabeza la columna:

¥ ¢ ¤ ¡–3

–34,2345

√____

101

23,21

12 ___ 5

M: 10826 C1: 20565 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

21



NIP: 222503 - Pág.: 21 - MAT

*0000-222503-21-MAT-9*

⎮5⎮= 5

⎮–3⎮= 3

Módulo o valor absoluto de un número real

Un concepto importante en el conjunto de los números reales es el de módulo o valor

absoluto.

El módulo o valor absoluto de un número real x es la distancia que hay en la recta

numérica entre 0 y x. Se lo simboliza ⎪x⎪.

Por ejemplo:

Otros ejemplos son: ⎪–5,34⎪= 5,34 ; ⎪0⎪= 0 ; ⎪π⎪= π.

Por ser una distancia, el módulo de cualquier número real es siempre positivo o cero.

Problema 13Encuentren, en cada caso, todos los números reales que verifiquen lo pedido.

a. Su módulo es 4.

b. Su módulo es menor que 5.

c. Su distancia al cero es mayor que dos.

Como se ve en la figura,

hay dos números cuyo módulo es 4: 4 y – 4.

En términos de ecuaciones, esta situación puede ser representada de la siguiente manera:

| x⎪ = 4 cuyo conjunto solución es S ¡ = {4 ; –4}.

Hay dos números cuyo módulo es 5: 5 y –5. Todos los números que estén entre ellos

dos tendrán una distancia al 0 menor que 5.

Si x ∊ ¡:

x si x ≥ 0

⎪x⎪ =

–x si x < 0

Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+ U {0}:

ΙxΙ= a ⇔ x = a o x = –a

Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+

ΙxΙ< a ⇔ – a < x < a ⇔

x ∊ (– a ; a)

Si x ∊ ¡ y a ∊ ¡+:

ΙxΙ > a ⇔ x > a o x < – a ⇔

x ∊ (–∞ ; – a) ∪ (a ; +∞)

0 5

5 ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0

3

–3

⎧⎪⎨⎪⎩

–4 40

4 4⎧⎪⎨⎪⎩ ⎧⎪⎨⎪⎩

En términos de ecuaciones esta situación puede plan-tearse así: ⎮x⎮< 5 cuya solución es S = (–5 ; 5) es decir, el intervalo abierto (–5 ; 5).

Hay dos números cuyo módulo es 2: 2 y –2. Todos los números que son mayores que 2 están a una distancia al 0 mayor que 2. Pero también los números menores que –2 están a una distancia del 0 mayor que 2.Una vez más, en términos de ecuaciones, la situación puede escribirse así:⎮x⎮> 2 y tiene,entonces, solución S = (–∞ ; –2) ∪ (2 ; +∞)

(////////////////////////)–5 50

(///////–2 20

////////)

⎧⎨⎩ ⎧⎨⎩2 2

ACTIVIDADES 14. Resuelvan las siguientes ecuaciones e indiquen su conjunto solución:

a. |x| = 10 b. |x| = –4 c. |x| = 0 d. |x| = 5,1

15. Resuelvan las siguientes inecuaciones, dando su conjunto solución:

a. |x| ≤ 6 b. |x| > 1 c. |x| ≥ 8 d. |x| < 2,3

M: 10826 C1: 20565 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 22 - MAT

*0000-222503-22-MAT-9*

Operaciones con números reales

Para resolver situaciones que involucran números irracionales que son raíces de

números enteros, la única manera de escribirlos en forma exacta es expresándolos como

radicales, ya que es imposible anotar sus infinitas cifras decimales no periódicas. Se

trabajará ahora, sobre la operatoria con este tipo de números.

Problema 14En la figura se ven dos cuadrados de áreas 8 cm2 y 2 cm2 respectivamente.

Calcular el perímetro de la figura sombreada.

Como el área del cuadrado grande es 8 cm², entonces:

__

ac = __

cg = __

gf = __

fa = √__

8 cm

Como el área del cuadrado chico es 2 cm², luego:

__

ab = __

be = __

ed = __

da = √__

2 cm

Para calcular la longitud del segmento bc hay que encontrar el resultado de √__

8 – √__

2 .

Luego __

bc = √__

2 cm. De la misma forma __

df = √__

2 cm.

El perímetro de la figura sombreada es:

__

bc + __

cg + __

gf + __

fd + __

de + __

eb = ( √__

2 + √__

8 + √__

8 + √__

2 + √__

2 + √__

2 )cm =

( √__

2 + 2 √__

2 + 2 √__

2 + √__

2 + √__

2 + √__

2 ) cm = 8 √__

2 cm.

Para resolver otros cálculos se puede proceder como en este ejemplo.

Problema 15Comparar, en cada caso, los siguientes números.

a. 3 ____ √__

2 con 3 __ 2

√__

2 b. 2 _______ √__

2 + 2 con 2 –

√__

2

c. ( √__

2 – √__

3 )2 – (3 √__

2 + 4 √__

3 )2 con –26 √__

6

La potenciación y la

radicación son distributivas

respecto de la multiplicación y de

la división. Simbólicamente:

Si a, b ∊ ¡ y n ∊ ¥, b ≠ 0, se cumple

que:

(a . b) n = a n . b n

(a : b) n = a n : b n

Si a ≥ 0, b > 0 y n ∊ ¥ , n > 1, se

cumple que:

n √

____ a . b =

n √

__ a .

n √

__ b

n √__

a __ b

= n √

__ a ___

n √

__ b

√__

8 – √__

2 = √____

4 . 2 – √__

2 Se escribe al 8 como 4 . 2.

√__

8 – √__

2 = √__

4 . √__

2 – √__

2 Se aplica la propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación.

√__

8 – √__

2 = 2 √__

2 – √__

2 Se resuelve la raíz exacta.

√__

8 – √__

2 = √__

2 Se opera.

a b c

gf

d e

M: 10826 C1: 20565 C2: 10830 C3: 10000 C4: 10000

23



NIP: 222503 - Pág.: 23 - MAT

*0000-222503-23-MAT-9*

En una expresión algebraica

o en un número que tenga

por divisor a un radical puede

multiplicarse dividendo y divisor

por otro radical conveniente, de

modo de obtener una expresión

equivalente que tenga por

divisor un número racional.

Esta transformación se llama

racionalización.

(a + b) (a – b) = a 2 – b 2

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

Expresiones que tengan

por divisor una suma

compuesta por uno o dos radicales

(de índice 2) pueden racionalizarse

multiplicando el numerador y

denominador por la resta de esos

radicales.

Para poder comparar los números planteados en a. es conveniente transformar las

expresiones en otras equivalentes.

Para lograrlo, es posible realizar lo siguiente:

Entonces, 3 ____ √__

2 = 3 __ 2 √

__ 2 lo que indica que ambos números son iguales.

Si se trata de comparar 2 _______ √__

2 + 2 con 2 – √

__ 2 se puede recurrir a la siguiente técnica:

Entonces, 2 _______ √__

2 + 2 = 2 – √

__ 2 .

Si se trata de comparar a los números ( √__

2 – √__

3 ) 2 – (3 √__

2 + 4 √__

3 ) 2 y –26 √__

6 se puede

pensar de la siguiente manera:

Se desarrollan los cuadrados de los binomios y queda:

( √__

2 – √__

3 ) 2 – (3 √__

2 + 4 √__

3 ) 2 = [ ( √__

2 ) 2 – 2 √__

2 √__

3 + ( √__

3 ) 2 ] – [ (3 √__

2 ) 2 + 2 . 3 √__

2 . 4 √__

3 + (4 √__

3 ) 2]

( √__

2 – √__

3 ) 2 – (3 √__

2 + 4 √__

3 ) 2 = (2 – 2 √__

6 + 3) – (9 . 2 + 24 √__

6 + 16 . 3)

( √__

2 – √__

3 ) 2 – (3 √__

2 = 4 √__

3 ) 2 = 5 – 2 √__

6 – 18 – 24 √__

6 – 48 = –61 – 26 √__

6

Como ( √__

2 – √__

3 ) 2 – (3 √__

2 + 4 √__

3 ) 2 = –61 – 26 √__

6 , el resultado es menor que –26 √__

6 , ya

que se le resta 61.

Entonces: ( √__

2 – √__

3 ) 2 – (3 √__

2 + 4 √__

3 ) 2 < –26 √__

6 .

ACTIVIDADES 16. Realicen las siguientes operaciones e indiquen el resultado en

forma simplificada:

a. √__

3 – 4 √___

12 b. 4 √____

125 – 7 √___

20 c. ( √__

7 –2) 2 – 1 __ 2 (8 – 2 √__

7 )

17. Comparen los siguientes pares de números:

a. √__

7 y 1 ___ √

__ 7 b. 1 ______

√__

2 – 3 y √

__ 2 + 3

c. (4 – √__

3 ) 2 y (2 – √__

3 ) . (2 + √__

3 ) d. 1 ___ √

__ 3 +1 y √

__ 3 ___ 2 – 1

18. Escriban una expresión equivalente a cada una de las dadas donde

los radicales estén en el numerador.

a. 1 ___ √

__ 5 b. 1 _______

√__

2 – √__

3 c. 2 ___

√__

2 + 3 ___

√__

3

3 ____

√

__ 2 = 3 ___

√

__ 2 .

√

__ 2 ___

√

__ 2 Se multiplican el numerador y denominador por

√

__ 2 .

3 ____

√

__ 2 = 3

√

__ 2 _____

( √

__ 2 )2

= 3 √

__ 2 _____ 2 = 3 __ 2

√

__ 2 Se opera, simplificando la expresión obtenida.

2 ______

√

__ 2 + 2

= 2 ______

√

__ 2 + 2

. √

__ 2 – 2 ______

√

__ 2 – 2

Se multiplican el numerador y denominador por √__

2 –2.

2 . ( √__

2 – 2) ______________ (

√

__ 2 + 2)(

√

__ 2 – 2)

= 2 . ( √__

2 – 2) _________ ( √

__ 2 ) 2 – 4

Se opera utilizando la propiedad de diferencia de cuadrados.

2 . ( √__

2 – 2) _________ 2 – 4 = 2 . ( √__

2 – 2) _________ – 2 = – √__

2 + 2 Se opera.

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 24 - MAT

*0000-222503-24-MAT-9*

Resolución de ecuaciones

Problema 16a. ¿Es cierto que x = √

__ 3 es solución de la ecuación – x 2 + 2 . (1 – x) 2 = 5 – 4x?

b. ¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación anterior?

Para saber si un número es solución de una ecuación puede reemplazarse la variable por

ese número y ver si la verifica, es decir, si se convierte en una igualdad numérica verdadera.

Como se ha llegado a una igualdad verdadera (5 – 4 √__

3 = 5 – 4 √__

3 ), √__

3 es solución de

la ecuación.

¿Es x = √__

3 la única solución de la ecuación?

Para responder a esta pregunta no alcanza con lo realizado en a., ya que eso no permite

saber si algún otro número verifica la ecuación. Para saber si es la única solución, debe

resolverse la ecuación.

– x 2 + 2(1 – x) 2 = 5 – 4x ⇔ – x 2 + 2 . (1 – 2x + x 2 ) = 5 – 4x ⇔

⇔ – x 2 + 2 – 4x + 2 x 2 = 5 – 4x ⇔ x 2 –4x + 4x = 5 – 2 ⇔ x 2 = 3 ⇔ x = √__

3 o x = – √__

3 .

Entonces, √__

3 no es la única solución. El conjunto solución es S ¡ = { √__

3 ; – √__

3 }

Hay propiedades de los números reales que son útiles para encontrar soluciones a

diferentes tipos de ecuaciones. Sobre el análisis de esas propiedades y cómo resolver esas

ecuaciones tratan los siguientes problemas.

Problema 17¿Qué valores de x verifican las siguientes ecuaciones?

a. (x – 1) . (x + 5) = 0 b. x.( x 2 –1) . (2x + 3) = 0 c. x 2 – 2x = 0

d. x 2 – 4 _____ x + 2 = 0 e. 4x – 2 ______ 2x – 1 = 1

Como en la ecuación (x – 1) . (x + 5) = 0 se trata de un producto entre dos expre-

siones (x – 1) y (x + 5), dicho producto es 0 cuando alguna de ellas sea 0. Es decir cuando

x – 1 valga 0 o cuando x + 5 valga 0. Entonces:

(x – 1) . (x + 5) = 0 ⇔ x – 1 = 0 o x + 5 = 0 ⇔ x = 1 o x = –5

Luego, S ¡ = {1 ; –5}.

– ( √__

3 ) 2 + 2 . (1 – √

__ 3 ) 2 5 – 4 √

__ 3 Se reemplaza x por √

__ 3 cada vez que aparece.

–3 + 2 [1 – 2 √__

3 + ( √__

3 ) 2 ] 5 – 4 √__

3 Se desarrolla el cuadrado del binomio y se opera.

–3 + 2 (1 – 2 √__

3 + 3) =–3 + 2 – 4 √

__ 3 + 6 =

5 – 4 √__

3 5 – 4 √

__ 3

Se simplifica, se aplica la propiedad distributiva y se opera.

– x 2 es equivalente a –( x 2 ), es

decir que primero se eleva

al cuadrado al número y luego se

obtiene su opuesto, por lo que el

resultado será siempre negativo

o cero.

Si a ∊ ¡ y b ∊ ¡:

a . b = 0 ⇔ a = 0 o b = 0

En matemática decir a = 0 o b = 0

equivale a decir que a vale 0, b vale

0 o ambos valen 0.

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

25



NIP: 222503 - Pág.: 25 - MAT

*0000-222503-25-MAT-9*

Para encontrar la solución de la ecuación x . ( x 2 – 1) . (2x + 3) = 0 se puede pensar de

manera similar al caso anterior:

x . ( x 2 – 1) . (2x + 3) = 0

2x + 3 = 0 ⇔ x = – 3 __ 2

x 2 – 1 = 0 ⇔ x = 1 o x = –1

x = 0

Con lo cual, S ¡ = {0 ; 1 ; –1 ; – 3 __ 2 }.

El modo de trabajo utilizado en la resolución de las ecuaciones anteriores es fértil

para resolver una ecuación como: x 2 – 2x = 0

La expresión x 2 – 2x puede transformarse en otra equivalente extrayendo factor común

x. Así, quedará expresada como un producto igual a 0.

x 2 – 2x = 0 ⇔ x . (x – 2) = 0 ⇔ x = 0 o x – 2 = 0 ⇔ x = 0 o x = 2.

S ¡ = {0 ; 2}

Pero hay que ser un poco más cuidadoso si se trata de buscar las soluciones de una

ecuación como la siguiente: x 2 – 4 _____ x + 2 = 0

x 2 – 4 _____ x + 2 = 0 ⇔ x 2 – 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = 2 o x = – 2.

Pero la solución x = –2 anula al divisor, pues – 2 + 2 es 0; por lo tanto, x = –2 no puede

formar parte de la solución. Luego, S ¡ = {2}.

La ecuación 4x – 2 ______ 2x – 1 = 1 puede ser tratada de la siguiente manera:

4x – 2 ______ 2x – 1 = 1 ⇔ 4x – 2 = 1 . (2x–1) ⇔ 4x – 2 = 2x – 1 ⇔ 2x = –1 + 2 ⇔ x = 1 __ 2

Pero x = 1 __ 2 es el valor que anula el denominador, pues 2 . 1 __ 2 –1 es 0. Entonces x = 1 __ 2 no

puede ser solución. Como es la única que surgió de la resolución, entonces S ¡ = ø.

Esto sucedió porque a = c . b y a __ b = c son expresiones equivalentes excepto cuando b

vale 0. Por ejemplo: 0 = 1 . 0 es una igualdad, pero no existe 0:0.

Problema 18¿Es lo mismo elevar un número al cuadrado y luego extraer su raíz que extraer su raíz

y luego elevarlo al cuadrado?

Elevar un número al cuadrado y luego extraer su raíz se representa √__

x 2 .

Si se prueba para algunos valores, por ejemplo:

x = 3 ⇒ √__

3 2 = √__

9 = 3 o x = –4 ⇒ √_____

(–4) 2 = √___

16 = 4

En el primer caso, se obtiene el mismo número. Esto ocurre para todos los valores de x

mayores o iguales que 0. Es decir: si x ≥ 0, √__

x 2 = x (puede simplificarse cuadrado y raíz).

En el segundo caso, se obtiene el número opuesto. Esto ocurre con todos los valores de x

que son negativos; es decir, si x < 0, √__

x 2 = –x (no puede simplificarse cuadrado y raíz).

Sintetizando lo anterior, elevar al cuadrado a un número y luego extraerle raíz cuadra-

da equivale a calcular el módulo de dicho número.

Definición de división:

Dados dos números reales a

y b, b distinto de 0,

a : b = c ⇔ a = b . c

0 : 5 = 0, porque 0 = 5 . 0;

¿Por qué la definición pide que el

divisor no sea 0?

7 : 0 no se puede resolver porque si

existe un c ∊ ¡ tal que

7 : 0 = c ⇒ 7 = c . 0, luego 7 = 0 y

esto es imposible.

0 : 0 tampoco se puede resolver

porque la operación no tendría

solución única.

Si a ∊ ¡ y b ∊ ¡ con b ≠ 0:

a __ b

= 0 ⇔ a = 0.

Definición de radicación:

❚ Dados a ∊ ¡ y n un número

natural impar mayor que uno:

n √

__ a = b ⇔ b n = a

❚ Dados a ∊ ¡+ U {0}, b ∊ ¡ + U {0} y n

un número natural par:

n √

__ a = b ⇔ b n = a

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 26 - MAT

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En cambio, extraer la raíz de un número y luego elevar al cuadrado se escribe: ( √__ x ) 2

Si se prueba con algunos valores se obtiene:

x = 9 ⇒ ( √__

9 ) 2 = 3 2 = 9 o x = –4 entonces , ( √___

–4 ) 2 que no se puede resolver porque no

está definida la raíz cuadrada de un número negativo.

Este cálculo contiene las mismas operaciones que el anterior pero en distinto orden;

es sustancialmente distinto: solo está definido para valores positivos o cero.

Es posible concluir entonces que √__

x 2 no es lo mismo que ( √__ x ) 2 .

El análisis anterior permite pensar en la búsqueda de soluciones de distintas ecuaciones.

Problema 19Buscar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a. x 2 = 81 b. (x + 3 ) 2 = 81 c. √_____

x – 5 = 2 d. √______

2x + 5 = x + 1

Una forma de resolver la primera ecuación es pensar en cuáles son los números que

elevados al cuadrado dan 81. De allí se obtiene que,

x 2 = 81 ⇔ x = 9 o x = –9

Otra forma de resolverla es:

Para resolver (x + 3) 2 = 81 se puede proceder de manera similar:

(x + 3) 2 = 81 ⇔ √_______

(x + 3) 2 = √___

81 ⇔ ⎮x + 3⎮= 9 ⇔ x + 3 = 9 o x + 3 = –9 ⇔ x = 6 o x = –12

Para resolver √_____

x – 5 = 2 el primer paso puede consistir en tratar de deshacerse de la

raíz cuadrada para lo cual se elevan ambos miembros al cuadrado. Hay que tener en cuen-

ta que para que la raíz cuadrada esté definida debe cumplirse que x – 5 ≥ 0:

x – 5 = 2 2 ⇔ x – 5 = 4 ⇔ x = 4 + 5 ⇔ x = 9

Y para resolver la ecuación √______

2x + 5 = x + 1 se puede pensar en el siguiente recorrido:

2x + 5 = (x + 1) 2 ⇔ 2x + 5 = x 2 + 2x + 1 ⇔ x 2 + 2x – 2x + 1 – 5 = 0 ⇔ x 2 – 4 = 0

⇔ x = 2 o x = –2

Sin embargo, x = 2 verifica la ecuación inicial, pero x = –2 no pues:

si x = 2 ⇒ √________

2 . 2 + 5 = 2 + 1 ⇔ 3 = 3, si x = –2 ⇒ √__________

2.(– 2) + 5 = –2 + 1 ⇔ 1 = –1

Esto se debe a que la expresión √__

a = b no es equivalente a la expresión a = b 2 . Con

un valor negativo de b, puede ser cierta una de las igualdades y no la otra. Por ejemplo:

9 = (– 3) 2 pero √__

9 ≠ –3.

Por lo tanto, este método de resolución puede usarse, pero teniendo en cuenta que

pueden aparecer resultados que no son soluciones y que deben ser descartados.

Para evitar ese inconveniente puede plantearse inicialmente la condición que debe

cumplir x + 1. En este caso, x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ –1.

Así, solo queda por ver que los resultados de la ecuación cumplan la condición; x = 2 la

cumple (por eso es solución) y x = –2 no (por eso no lo es).

x 2 = 81 ⇔ √__

x 2 = √___

81 Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros.

⎮x⎮ = 9 Se usa la propiedad anterior.

x = 9 o x = –9 Se usa la definición de módulo.

Si a ∊ ¡, b ∊ ¡, a ≥ 0 y b ≥ 0:

√__

a = b ⇔ a = b 2 .

Si x ∊ ¡:

x si x ≥ 0

√__

x 2 =

–x si x < 0

Dicho de otra manera:

√__

x 2 = ⎮x⎮

Si x ∊ ¡+ U {0} : ( √__

x ) 2 = x

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 27 - MAT

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Sean a, b y x números reales:

x + a < b ⇔ x < b – a

x + a > b ⇔ x > b – a

a . x < b, a>0 ⇔ x < b __ a

a . x < b, a<0 ⇔ x > b __ a

Inecuaciones

Inecuaciones lineales

Problema 20Encontrar todos los números que son solución de las siguientes inecuaciones:

a. 2x + 3 > 5 b. – 2 __ 3 x – 1 ≤ 2 c. –7 < –4x + 1 ≤ 9

Para encontrar la solución de la primera inecuación se puede proceder de la siguiente manera:

2x + 3 > 5 ⇔ 2x > 5 – 3 ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 2 : 2 ⇔ x > 1

La inecuación tiene infinitas soluciones, todos los valores de x que verifican x > 1.

Para indicar el conjunto solución se puede escribir el intervalo correspondiente S = (1 ; +∞)

o representarlos en la recta numérica:

Al resolver la segunda inecuación se obtiene:

– 2 __ 3 x – 1 ≤ 2 ⇔ – 2 __ 3 x ≤ 2 + 1 ⇔ – 2 __ 3 x ≤ 3 ⇔ x ≥ 3 : ( – 2 __ 3 ) ⇔ x ≥ – 9 __ 2

El cambio del signo de la desigualdad ocurre porque – 2 __ 3 es un número negativo.

El conjunto solución es: S = [– 9 __ 2 ; +∞) y su representación en la recta numérica:

La tercera inecuación es un ejemplo de una inecuación doble.

–7 < –4x + 1 ≤ 9 ⇔ –7 < –4x + 1 y –4x + 1 ≤ 9 , quedan por resolver dos inecuaciones:

Las dos condiciones deben cumplirse en simultáneo porque están conectadas por “y”,

por lo que debe realizarse la intersección entre ellas:

El conjunto solución es: S = [–2 ; 2)

(///////////////////////10

0

– 9 __ 2 [////////////////////////

a < x < b ⇔ a < x y x < b

–7 < –4x + 1 y –4x + 1 ≤ 9

–7 – 1 < –4x y –4x ≤ 9 –1

–8 < –4x y –4x ≤ 8

–8 : (–4) > x y x ≥ 8 : (–4)

2 > x y x ≥ –2

x < 2 y x ≥ –2

0 [–2

//////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\) 2

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 28 - MAT

*0000-222503-28-MAT-9*

Inecuaciones cuadráticas

Problema 21a. ¿Cuáles son los números reales que verifican la inecuación: x 2 ≤ 4?

b. ¿Cuáles son los números reales que verifican la inecuación: x 2 > 3?

Existen distintas formas de resolver la primera inecuación.

Una forma, es pensar en qué números elevados al cuadrado dan menores o iguales que 4.

Estos números deben ser menores que 2, pero también mayores que –2. Entonces S = [–2 ; 2].

Otra forma de hacerlo es:

x 2 ≤ 4 ⇔ √__

x 2 ≤ √__

4 ⇔ ⎮x⎮ ≤ 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 2. Luego, S = [–2 ; 2]

Los números que elevados al cuadrado dan mayores que 3 verifican:

x 2 > 3 ⇔ √__

x 2 > √__

3 ⇔ ⎮x⎮ > √__

3 ⇔ x > √__

3 o x < – √__

3

La solución es S = (–∞ ; – √__

3 ) ∪ ( √__

3 ; +∞).

Problema 22¿Para qué valores de x se verifica (x + 3).(x – 5) > 0?

Como un producto de dos números es positivo cuando ambos números tienen el mismo signo:

(x + 3).(x–5) > 0 ⇔

Luego: S = (–∞ ; –3) ∪ (5 ; +∞).

Problema 23¿Cuáles son los números que verifican la inecuación: x + 2 _____ x – 4 < 0?

Como un cociente es negativo cuando el dividendo es positivo y el divisor es negativo

o viceversa: x + 2 _____ x – 4 < 0 ⇔

Luego: S = (–2 ; 4)

La regla de los signos

de la multiplicación y

de la división puede ser escrita

simbólicamente de la siguiente

manera:

a ∊ ¡ y b ∊ ¡:

a . b > 0 ⇔ (a>0 y b>0) o (a<0 y b<0)

a . b < 0 ⇔ (a>0 y b<0) o (a<0 y b>0)

Si además b ≠ 0:

a __ b

> 0 ⇔ (a>0 y b>0) o (a<0 y b<0)

a __ b

< 0 ⇔ (a>0 y b<0) o (a<0 y b>0)

Es decir, el producto y el cociente

de dos números reales son

positivos cuando ambos números

tienen el mismo signo y son

negativos cuando ambos números

tienen distinto signo.

x + 3 > 0 y x – 5 > 0 o x + 3 < 0 y x – 5 < 0

x > –3 y x > 5 o x < –3 y x < 5

S1 = (5 ; +∞) S2 = (–∞ ; –3)

5–3\\\)/////////////////)

5–3(////////////(\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

x + 2 > 0 y x – 4 < 0 o x + 2 < 0 y x – 4 > 0

x > –2 y x < 4 o x < –2 y x > 4

o

S 1 = (–2 ; 4) o S 2 = ø

4//////) (\\\\\\\\

–2–2 4(////////////////////\\\\\\\\\\\\\\\\\\)

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 29 - MAT

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19. Decidan cuál de los siguientes números es mayor:

a = √____

144 – 10 o b = ( 3 4 – 4 3 ) – ( 4 2 – 2 4 ).

20. Escriban una fórmula que permita obtener a todos los múltiplos de

8. Muestren, usándola, que el número 808 es uno de ellos.

21. ¿Cuál es el resto de dividir 24 n + 17 por 4? ¿Y por 6?

22. Resuelvan las siguientes inecuaciones e indiquen su conjunto solución:

a. ⎮x⎮ ≤ 10 b. ⎮x⎮ > 2 c. ⎮x⎮ ≥ 3,1

d. ⎮x⎮ < √__

2 e. ⎮x⎮ < 0 f. ⎮x⎮ ≥ 0

g. ⎮x⎮ ≥ –5 h. ⎮x⎮ < –2 i. ⎮x⎮ < 6,1

23. La escuela pitagórica estuvo compuesta por un grupo de

matemáticos griegos liderados por Pitágoras (siglo V a.C.). Se atribuye

a ellos la clasificación de los números naturales (mayores que 1) en

perfectos, abundantes y deficientes. A cada número se le calcula la

suma de sus divisores positivos (sin contarlo a él). El número es perfecto

cuando la suma de esos divisores coincide con él, es deficiente cuando

es menor que él y es abundante cuando es mayor que él.

a. Clasifiquen a los siguientes números naturales: 4, 6 y 36.

b. Hallen los dos primeros números naturales que sean perfectos.

24. Los pitagóricos también estudiaron a aquellos pares de números

naturales en los que la suma de los divisores positivos de uno (sin

contarlo a él mismo) coincide con el otro y viceversa. Llamaron amigos

a estos pares de números.

a. 12 y 15 no son números amigos. Verifíquenlo.

b. 220 y 284 son números amigos. Prueben esta afirmación.

c. Thabit Ibn-Qurra (siglo IX) fue un matemático árabe, que se ocupó

de realizar traducciones del griego y del sirio. Al traducir una de las

obras de los pitagóricos, realizó un aporte valioso: halló una forma de

generar pares de números amigos, que es la siguiente.

Si p, q y r son números primos positivos tales que p = 3 . 2 n – 1,

q = 3 . 2 n – 1 – 1 y r = 9 . 2 2n – 1 – 1 (con n ε ¥ y n > 1), entonces los

números x = 2 n . p . q e y = 2 n . r son pares de números amigos.

Muestren que el par de números amigos indicados en b. son el menor

posible y encuentren el próximo par de amigos.

25. Los pitagóricos propusieron una forma de obtener ternas de

valores enteros que cumplan el que hoy se conoce como Teorema de

Pitágoras. Sin embargo, esta versión parece una modificación de lo que

ya conocían los babilonios, por lo que es posible que no sea un aporte

totalmente original de los griegos. Las ternas propuestas tienen la

forma p, p 2 – 1

_____ 2 y p 2 + 1

_____ 2 , siendo p un natural impar mayor que 1.

a. Hallen cuatro ternas pitagóricas. Verifiquen que cumplen el

Teorema de Pitágoras.

b. Encuentren ahora dos ternas pitagóricas que contengan a algún

número irracional. Verifiquen que cumplen el Teorema de Pitágoras.

26. Se supone, sin certeza, que los griegos fueron quienes tuvieron los

primeros acercamientos con los números irracionales. Ellos hablaron

de segmentos inconmensurables (hoy se diría segmentos de longitud

irracional). En un diálogo entre Teeteto, amigo de Platón, y Sócrates

(en la primera mitad del siglo IV a.C.) discutían sobre los números

inconmensurables: observaron que distintos pares de números eran

inconmensurables y que la razón de sus cuadrados podía o no serlo

(aclaración: la razón entre dos números es el cociente entre ellos).

a. √______

1 + √__

3 y √______

1 + √__

5 son irracionales. ¿Cómo es la razón de sus

cuadrados?

b. √__

3 y √__

5 también son irracionales. ¿Cómo es la razón de sus cuadrados?

27. Escriban una fórmula que genere a todos los números enteros que

tienen resto 3 al dividirlos por 4. Justifiquen, usando la fórmula, que 75

tiene resto 3 al dividirlo por 4 y que 53, no.

28. Propongan tres pares de números a y b que cumplan que entre

ambos haya 36 números enteros y a y b sean ...

I. positivos. II. negativos. III. uno positivo y otro

negativo.

29. Hallen dos números racionales y dos irracionales que estén entre:

a. 3 __ 8 y 0,37 b. √

__ 3 y

√

__ 6 c. 7 ___ 10 y 7 __ 9

30. En una calculadora se dividieron dos números enteros. En la

pantalla apareció escrito: 6,618025751. El cociente entre los dos

números elegidos, ¿es racional o irracional? Justifiquen.

31. Las siguientes afirmaciones son falsas. Justifíquenlas.

a. Cualquiera sea a ∊ ¡, el número –a es negativo.

b. Cualquiera sea a ∊ ¡, el número (–a) 2 es negativo.

c. Si a = – √

__ 6 , el número ( 1 __ a – a ) 2 es irracional.

32. Hallen el valor de la expresión – x 2 + 3x – 1 cuando x = 2 + √

__ 5 .

33. Indiquen el conjunto solución de las siguientes ecuaciones e

inecuaciones:

a. 3 + 4 ____ x + 3 = –1 b. (–2x + 1) . (x – 5) . x = 0 c. –3x + 4 ______ 2 > –5

d. ⎮x⎮ ≥ 9 e. √______

x 2 + 5x = x f. 4 + (x + 2) 2 = 13

g. 1 – 3x _____ 4 ≥ –2 h. –2 (x + 5) > – x +3 i. 2x – 4 _____ x – 1 < –3

j. x 2 + 6 ≥ 0

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000




NIP: 222503 - Pág.: 30 - MAT

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AUTOEVALUACIÓNElijan, en cada caso, las alternativas correctas:

1. A. x = 4 es una solución de la ecuación

x – 4 ______ x 2 – 16

= 0 x 2 – 16 ______ x + 4 = 0

1 __ x = 4 1 _____ x – 4 = 0

B. Una ecuación cuya solución es S = ø es ...

1 __ x = 5 1 __ x = √

__ 2

1 __ x = 0 Ninguna de las anteriores.

C. a __ b

= 0 es equivalente a ...

a = 0 y b = 0 a = 0 y b ≠ 0

a ≠ 0 y b = 0 a ≠ 0 y b ≠ 0

D. Una ecuación que tiene solución en ¢ es ...

x 2 = 1 __ 4 x 3 = 8

x 2 = 5 x 4 = –1

2. Las afirmaciones verdaderas son:

Cualquiera sea el número real x, se cumple que √__

x 2 = ( √

__ x ) 2 .

Existen números reales para los cuales la expresión √__

x 2 no

está definida.

Cualquier número irracional elevado al cuadrado da por

resultado un número racional.

Hay ecuaciones que no tienen solución en el campo de los

números reales.

Existen números racionales que son enteros.

El siguiente de 2,3 es 2,4.

3. El único número que cumple simultáneamente las siguientes

condiciones: es primo, pertenece al intervalo (–80 ; –70), la suma de las

cifras de su módulo es un cuadrado perfecto, es:

–77 –73

–71 –79

4. √__

x 2 = ( √__

x ) 2

Cualquiera sea el valor real de x.

Solo cuando x es mayor o igual que 0.

Solo cuando x es menor que 0.

Solo cuando x es entero.

5. La expresión √__

x 2 está definida:

Cualquiera sea el valor real de x.

Solo cuando x es mayor o igual que 0.

Solo cuando x es menor que 0.

Solo cuando x es entero.

6. Cualquier número irracional elevado al cuadrado da por

resultado un número:

Entero. Racional.

Irracional. Real.

7. Entre 4,51 y 4,52 ...

No hay números racionales.

No hay números irracionales.

Hay infinitos números irracionales.

Hay números enteros.

8. El conjunto solución de la ecuación 6 – x ______ 36 – x 2

= 0 es …

{6} {–6}

{6 ; –6} ø

9. El conjunto solución de la inecuación –2x _____ x – 1 < 0 es: (–∞ ; 0) ∪ (1 ; +∞) (1 ; +∞)

(0 ; +∞) (0 ; 1)

10. Una solución de la ecuación 4x + (x– 2) 2 = 11 es:

1 __ 2 √__

7 – √__

7

–2 √__

7 2 √__

7

11. Una solución común a las inecuaciones ⎮x⎮ ≥ 3 __ 2 y 2 x 2 + 8 < 16 es: 2 – 7 __ 4

–2 – √__

2

a b

c d

a b

c d

a

b

c

d

e

f

a b

a

b

c

d

a

b

c

d

a b

c d

a

b

c

d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a b

c d

c d

a b

c d

M: 10826 C1: 10830 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NÚMEROS REALES - ABCservicios.abc.gov.ar/lainstitucion/revista... · Divisibilidad Uno de los...

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