No 5 Funcion de Segundo Grado

GRAFICA DE FUNCIONES.III. FUNCION DE SEGUNDO GRADO

y = ax² + bx + c

PREPARO: FERNANDO GAEKEL DTEL. 772-4919 / 9659-1623

[email protected] No 1 / 13

La función standard de la forma y = ax² + bx + c se le llama función cuadrática o de segundo grado.Si a > 0 entonces la grafica es cóncava hacia abajo y existe un punto mínimo.Si a < 0 entonces la grafica es cóncava hacia arriba y existe un punto máximo.Formas relacionadas:

1. Cuando a es un número real, b = 0 y c = 0. a) Graficar y = x², a = 1.

a > 0 es cóncava hacia abajo y existe un punto mínimo

Dom: RRg: [0, + ∞ [

Decrece: ] - ∞, 0]

Crece: [0, + ∞ [

b) Graficar y = -x², a = -1

a < 0 es cóncava hacia arriba y existe un punto máximo.

Dom: RRg:] -∞, 0]

Crece: ] - ∞, 0]

Decrece: [0, + ∞ [

x y=x²-3.00 9.00-2.00 4.00-1.00 1.000.00 0.001.00 1.002.00 4.003.00 9.00

y=x²

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

x y=-x²-3.00 -9.00-2.00 -4.00-1.00 -1.000.00 0.001.00 -1.002.00 -4.003.00 -9.00

y=-x²

-10.00

-9.00

-8.00

-7.00

-6.00

-5.00

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00


y = ax² + bx + c



2. Cuando a y c son números reales y b = 0.

a) Graficar y = 5x² - 4, donde a = 5 y c = -4

Intercepto en “x” cuando y = 0.y = 5x² - 4 factorizar como Diferencia de Cuadrados Perfectos0 = (√5x – 2) ( √5x + 2)(√5x – 2) ( √5x + 2) = 0

√5x – 2 = 0 y √5x + 2 = 0√5x = 2 y √5x = – 2x = 2/ √5 y x = -2 / √5x = 2√5 = 0.8944 y x = -2√5 = - 0.8944 5 5

Int x: (2√5, 0) y Int x: (-2√5, 0) 5 5

Intercepto en “y” cuando x = 0.y = 5x² - 4y = 5(0)² - 4y = -4Int y: (0, -4)

Eje de simetría cuando x = -b / 2a. Como a = 5, b = 0 y c = -4 entonces:x = -(0) / 2(5)x = 0

Vértice evaluar f(x) con x = -b / 2af(x) = 5x² - 4f (0) = 5(0)² - 4y = -4

Punto Mínimo:( x = -b / 2a, f(x = -b / 2a)) = (0, - 4)

Int en xInt en y. También punto mínimoInt en x

x y=5x²-4-2.00 16.00-1.50 7.25-0.89 0.000.00 -4.000.89 0.001.50 7.252.00 16.00


y = ax² + bx + c



Como a > 0 es cóncava hacia abajo y existe un punto mínimo

Dom: R

Rg: [ - 4, + ∞ [

Decrece: ] - ∞, 0]

Crece: [0, + ∞ [

b)Graficar y = -½πx² + 3, donde a = -½π, b = 0 y c = 3

y=5x²-4

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00


y = ax² + bx + c



Intercepto en “x” cuando y = 0.y = -½πx² + 30 = -½πx² + 3-½πx² + 3 = 0

-½πx² = 0 - 3-½πx² = -3x² = -3(-2) / πx² = 6 / πx = ± √( 6 / π ) = ±1.381966

Int x: (√(6 / π), 0) y Int x: (-√(6 / π), 0)

Intercepto en “y” cuando x = 0.y = -½πx² + 3y = -½π(0)² + 3y = 3Int y: (0, 3)

Eje de simetría cuando x = -b / 2a. Como a = 5, b = 0 y c = -4 entonces:x = 0 / 2(-½π)x = 0

Vértice evaluar f(x) con x = -b / 2af(x) = -½πx² + 3f (0) = -½π(0)² + 3y = 3

Punto Máximo:( x = -b / 2a, f(x = -b / 2a)) = (0, 3)

Int en x

Int en y. También Punto Máximo

Int en x

x y = -½πx² + 3-2.00 -3.28-1.50 -0.53-1.38 0.00-1.00 1.43-0.50 2.610.00 3.000.50 2.611.00 1.431.38 0.001.50 -0.532.00 -3.28

y = -½πx² + 3

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00


y = ax² + bx + c



Como a < 0 es cóncava hacia arriba y existe un punto máximo.

Dom: R

Rg: ] - ∞, 3]

Crece: ] - ∞, 0]

Decrece: [0, + ∞ [

3. Cuando a y b son números reales y c = 0.a) Graficar f(x) = 2x² - 5x, a = 2 y b = -5


y = ax² + bx + c



Intercepto en “x” cuando y = 0, para esto es conveniente factorizar para determinar los interceptos en “x”.y = 2x² - 5xy = x(2x – 5)0 = x(2x – 5)

x = 0 y 2x – 5 = 0Int x: (0, 0) y 2x = 5

x = 5/2Int x: (5/2, 0)

Intercepto en “y” cuando x = 0.y = 2x² - 5xy = 2(0)² - 5(0)y = 0Int y: (0, 0)

Eje de simetría cuando x = -b / 2a. Como a = 2 y b = -5 entonces:x = -(-5) / 2(2)x = 5 / 4x = 1.25

Vértice evaluar f(x) con x = -b / 2af(x) = 2x² - 5xf(1.12) = 2(1.25)² - 5(1.25)y = -3.125

Punto Mínimo:( x = -b / 2a, f(x = -b / 2a)) = (1.25, -3.125)

Int en “x” y “y”

Punto mínimo

Int en “x”

x y=2x²-5x-1.50 12.00-1.00 7.000.00 0.001.00 -3.001.25 -3.1252.00 -2.002.50 0.003.00 3.004.00 12.00


y = ax² + bx + c




Dom: R

Rg: [ -3.125, + ∞ [

Decrece: ] - ∞, 1.25] El eje de simetría determina el cambio de dirección.

Crece: [1.25, + ∞ [

b) Graficar f(x) = -3x² + 2x, a = -3 y b = 2

y=2x²-5x

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00


y = ax² + bx + c



Intercepto en “x” cuando y = 0, para esto es conveniente factorizar para determinar los interceptos en “x”.y = -3x² + 2xy = x(-3x + 2)0 = x(-3x + 2)

x = 0 y -3x + 2 = 0Int x: (0, 0) y -3x = -2

x = 2/3Int x: (2/3, 0)

Intercepto en “y” cuando x = 0.y = -3x² + 2xy = -3(0)² + 2(0)y = 0Int y: (0, 0)

Eje de simetría cuando x = -b / 2a. Como a = -3 y b = 2 entonces:x = -( 2 ) / 2( -3 )x = 1 / 3x = 0.3333333

Vértice evaluar f(x) con x = -b / 2af(x) = -3x² + 2xf(1/3) = -3(1/3)² + 2(1/3)y = 1/3

Punto Máximo:( x = -b / 2a, f(x = -b / 2a)) = (0.33, 0.33)

Int en “x” y “y”Punto MáximoInt en x

x y=-3x²+2x-1.00 -5.000.00 0.000.33 0.330.67 0.001.00 -1.001.60 -4.48


y = ax² + bx + c



Como a < 0 es cóncava hacia arriba y existe un punto máximo

Dom: R

Rg:] - ∞, 1/3]

Crece:] - ∞, 1/3] El eje de simetría determina el cambio de dirección.

Decrece: [1/3, + ∞ [

4. Cuando a, b y c son números reales.a) Graficar f(x) = x² + 5x – 6, a = 1, b = 5 y c = -6

y=-3x²+2x

-6.00

-5.00

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00


y = ax² + bx + c



Intercepto en “x” cuando y = 0, para esto es conveniente factorizar para determinar los interceptos en “x”.y = x² + 5x – 6y = (x + 6) (x – 1) 0 = (x + 6) (x – 1)(x + 6) (x – 1) = 0

x + 6 = 0 y x - 1 = 0x = -6 y x = 1Int x: (-6, 0) y Int x: (1, 0)

Intercepto en “y” cuando x = 0.y = x² + 5x – 6y = (0)² + 5(0) – 6y = -6Int y: (0, -6)

Eje de simetría cuando x = -b / 2a. Como a = 1 y b = 5 entonces:x = -(5) / 2(1)x = -5 / 2x = -2.5

Vértice evaluar f(x) con x = -b / 2af(x) = x² + 5x – 6f(-2.5) = (-2.5)² + 5(-2.5) – 6y = -12.25

Punto Mínimo:( x = -b / 2a, f(x = -b / 2a)) = (-2.5, -12.25)

Int en x: (-6,0)

Pto mínimo: (-2.5, -12.25)

Int en y: (0, -6)Int en x: (1, 0)

f(x) = x² + 5x – 6

x y=x²+5x–6-7.00 8.00-6.00 0.00-4.00 -10.00-2.50 -12.25-1.00 -10.000.00 -6.001.00 0.002.00 8.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

-8.00 -6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00


y = ax² + bx + c




Dom: R

Rg: [ -12.25, + ∞ [

Decrece: ] - ∞, -2.5] El eje de simetría determina el cambio de dirección.

Crece: [-2.5, + ∞ [

b) Graficar f(x) = 4 – 7x – 2x² , a = -2, b = -7 y c = 4

Intercepto en “x” cuando y = 0, para esto es conveniente factorizar para determinar los interceptos en “x”. (Auxiliarse por la fórmula de la cuadrática)

y = 4 – 7x – 2x²


y = ax² + bx + c



y = (1 – 2x) (4 + x) 0 = (1 – 2x) (4 + x)(1 – 2x) (4 + x) = 0

1 – 2x = 0 y 4 + x = 01 = 2x y x = -4x = 1/2Int x: (1/2, 0) y Int x: (-4, 0)

Intercepto en “y” cuando x = 0.y = 4 – 7x – 2x²y = 4 – 7(0) – 2(0)²y = 4Int y: (0, 4)

Eje de simetría cuando x = -b / 2a. Como a = -2 y b = -7 entonces:x = -(-7) / 2(-2)x = -7 / 4x = -1.75

Vértice evaluar f(x) con x = -b / 2af(x) = 4 – 7x – 2x²f(-1.75) = 4 – 7(-1.75) – 2(-1.75)²y = 10.125

Punto Máximo:( x = -b / 2a, f(x = -b / 2a)) = (-1.75, 10.125)

Int en x: (-4, 0)

Pto máximo: (-1.75, 10.125)

Int en y: (0, 4)Int en x: (1/2, 0)

x y = 4-7x-2x²-5.00 -11.00-4.00 0.00-3.00 7.00-1.75 10.125-0.50 7.0000.00 4.000.50 0.001.00 -5.001.50 -11.00

y=4-7x-2x²

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

-6.00 -4.00 -2.00 0.00 2.00


y = ax² + bx + c



Como a < 0 es cóncava hacia arriba y existe un punto máximo

Dom: R

Rg:] - ∞, 10.125]

Crece:] - ∞, -1.75] El eje de simetría determina el cambio de dirección.

Decrece: [-1.75, + ∞ [

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