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FUNCIONES RACIONALES

Sec. 3.5

DOMINIO DE FUNCIONES

RACIONALES

Una función racional es una función que se puede

expresar de la forma

)(

)()(

xg

xfxp

donde f(x) y g(x) son

polinomios.

Ejemplos:

x3

x2)x(f

Funciones racionales

x9x

4x)x(g

3

2

4x3x

4)x(q

2

Ejemplos:

1

4)(

1

12)(

2

xxg

xxf

Toda función polinómica es una función

racional ya que se puede expresar con un

denominador igual a 1.

1

13)(

1

42)(

34

3

xxxq

xxxp

Funciones racionales

Dominio de funciones racionales

Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales una función está definida.

Una función, f(x), está definida en un valor de x si evaluar f(x) en ese valor produce un valor de y que es un número real.

En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.

Determinar el dominio de una función

racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

14

2)( )1

xxf

,4

1 cuando 014 xx

Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales exceptuando x = ¼.

,,- :Dom41

41

Determinar el dominio de una función

racional


4

5)( )2

2

x

xxf

os.factorizam ceros, losencontrar Para 042 x

Por lo tanto el dominio de f(x) es, el conjunto de los reales exceptuando x = 2 y x= - 2.

4x2

,22,22,:Dom

4x

2x

Determinar el dominio de una

función racional


012102 2 xx Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales exceptuando x =-3 y x= -2. 0)65(2 2 xx

2,-3,-2-,-3- :Dom

12102

9)3

2

2

xx

xxf

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 𝑥 =

−5 ± 52 − 4(1)(6)

2

3x 2x

INTERCEPTOS DE FUNCIONES

RACIONALES

Interceptos

Un intercepto en x de f(x) coincide con los ceros reales

de f(x).

Ambos se define como el (los) valor(es) de x para el

cual f(x) es igual a cero.

Para una función racional, los ceros reales (o los

interceptos en x) ocurren en el valor de x que hace que

el numerador de la función sea igual a cero.

El intercepto en y ocurre cuando el valor de x cero. Se

puede encontrar evaluando la función para x igual a

cero.

Interceptos

Hallar los interceptos de la función .2

1)(

xxf

(a) intercepto – y: b) intercepto - x

)0(f El numerador de f(x) es 1.

1 ≠ 0.

Por lo tanto, f(x) NO tiene

interceptos en x.

El intercepto en y es

(0, - ½ ).

2

1 -

20

1

Interceptos

Hallar los interceptos de cada función.


)0(fEl numerador de f(x) es 2x.

2x = 0 cuando x = 0.

Por lo tanto, f(x) tiene

intercepto en x en el punto

(0,0)

Coincide con el int-y.

x

xxf

3

2)(

El intercepto en y

es (0, 0).

0

3

0

03

02

Hallar los interceptos de la función

Interceptos

Hallar los interceptos de la función .9

4)(

3

2

xx

xxg


definido. está NO )0(

0

4

)0(9)0(

40)0(

3

2

g

g

El numerador de g(x) es x2 - 4.

x2 - 4 = 0

x = 2, x = -2

g(x) tiene dos int-x en los puntos

(2,0) y (-2, 0).

NO existe int-y.

4x

2x

Interceptos

Hallar los interceptos de la función


2

5)0( h

El numerador de h(x) es

2x2 +3x - 5 = 0

.2

532)(

2

2

x

xxxh

1,25 xx

h(x) tiene intercepto en x en los

puntos )0,1(y )0,(25

2)0(

5)0(302)0(

2

2

h

(Aplicar la fórmula cuadrática.)

). - (0, esy en intercepto El 25

Práctica

Hallar el dominio y los interceptos de cada una de

las siguientes funciones.

82

82)(

32

1)(

3

4842)(

2

2

2

2

xx

xxh

xx

xxg

x

xxxf

SOLUCIONES DE FUNCIONES

RACIONALES

Un par ordenado (a,b) es solución para una función f(x)

si f(a)=b.

Dicho de otra forma, (a,b) es solución si al evaluar f para

x=a el resultado es y=b.

Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5

12)(

x

xxf

)6(f

(6, 1) SI es una solución de la función.

Soluciones de funciones racionales

1)6( f

1y

Conclusión: Si x =6, entonces y=1. Por

lo tanto…

11

11

11

112

5)6(

1)6(2

Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de

3

23)(

2

2

x

xxxf

(- 2, - 16) NO es una solución de la función.

)2(f

34

2212)2(f


16y

3)2(

2)2()2(32

2

161

16

Conclusión: Si x =-2, entonces y=16.

Por lo tanto…

Ej. Determinar el valor de x tal que y = 4 si

(determinar x tal que (x, 4) es una solución de)

x

xxf

3

25)(

(14,4) es una solución de f (x).

43

25

x

x

xx 3425

xx 41225

21245 xx

14x


Conclusión: Si y =4, entonces x=14.

Por lo tanto…

Multiplicar en ambos lados por el denominador.

Ej. Determinar el valor de x tal que y = -3 si

(determinar x tal que (x, -3) es una solución de)

23

7)(

x

xxf

(0.1, -3) es una solución de f (x).

2337 xx

697 xx

679 xx

110 x


Conclusión: Si y =-3, entonces

x=0.1. Por lo tanto…

Multiplicar en ambos lados por el denominador. 323

7

x

x

1.010

1x

Práctica

Para las siguientes funciones, hallar el valor de x, si

existe, tal que (x,1) es una solución de f(x).

(Hallar el valor de x si y =1.)

34

2)(

3

94)(

2

xx

xxg

x

xxf

Soluciones

x

xxf

3

94)(

13

94

x

x

(9,1) es una solución de f(x) (-3,1) y (1,1) son soluciones de f(x)

4𝑥 − 3𝑥 = 9

GRAFICAS DE FUNCIONES

RACIONALES

Consideremos la función racional: 2

1)(

xxf

Hasta ahora sabemos que:

• El dominio de f(x) es D:

• Intercepto en x:

• Intercepto en y:

2

No podemos trazar la gráfica correctamente con

un sólo punto.

Gráficas de funciones racionales

NO tiene

y = - ½.

Aunque x=2 NO

pertenece al dominio

podemos observar lo

que ocurre con valores

que están muy cerca de

x=2 (un poco mayor o

un poco menor).

2

1)(

xxf

Grafiquemos algunos puntos

Estos puntos los

podemos unir con

curvas, separadas y

suaves, que se

extienden en

direcciones opuestas.

Los puntos se acercan a

esta línea vertical

entrecortada, x=2, por

ambos lados, pero

extendiéndose en

direcciones opuestas.

La línea vertical, x=2,

separa la gráfica en dos

partes disyuntas.

x=2 se llama una

asíntota vertical

Veamos que ocurre con

los valores de la

gráfica a medida que x

se hace muy grande o

muy pequeño.

(Comportamiento en

los extremos)

2

1)(

xxf

, Cuando x 0y

, Cuando x 0y

En este caso, la línea

y=0 se llama una

asíntota horizontal,

porque los valores de

la función se quedan

bien cerca de esta línea

a medida que x

aumenta o disminuye

grandemente.

2

1)(

xxf

Hallar las asíntotas de funciones

racionales

Una función racional tiene una asíntota vertical

cuando el denominador de la función simplificada

es igual a 0.

Una función racional está simplificada si NO

existen factores comunes, distintos de uno, entre

el numerador y denominador.

Asíntotas Verticales

Determinar la(s) asíntotas verticales

153

3)(

xxf

Igualar el denominador a 0.

3x-15 = 0

Resolver para x:

x = 5 (es la ecuación de la

asíntota vertical)

16

1)(

2

x

xxg

Igualar el denominador a 0.

x2-16 = 0

Resolver para x:

x = -4 y x = 4 (son las

ecuaciones de las asíntotas

verticales)

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre

una de las siguientes condiciones:

Caso 1. El grado del numerador es menor que el

grado del denominador. En este caso, la asíntota

es la recta horizontal y = 0.

16

1)(

153

3)(.

2

x

xxg

xxfEj El eje de x (y=0) es la

asíntota horizontal de las

gráficas de f(x) y g(x)


Caso 2. El grado del numerador es igual al grado del

denominador. En este caso, la asíntota es la recta

horizontal y =𝑎

𝑏, donde a es el coeficiente

principal del numerador y b es el del

denominador.

2

2

16

14)(

153

19)(.

x

xxg

x

xxfEj

La asíntota horizontal de

la gráfica de

f(x) es

g(x) es

33

9y

41

4

y


Caso 3:

Cuando el grado del numerador es mayor que el

grado del denominador la función NO tiene asíntota

horizontal.

1

16)(

153

745)(.

2

3

x

xxg

x

xxxfEj Las gráficas de f(x) y g(x)

NO tienen asíntota

horizontal


Para trazar gráficas de funciones racionales podemos

seguir los siguientes pasos:

•Determinar asíntotas verticales.

•Determinar asíntotas horizontales.

•Determinar interceptos.

•Determinar comportamiento alrededor de las

asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos

puntos adicionales.

•Unir puntos con curvas suaves que se acercan a

las asíntotas y se extienden hacia el infinito.

Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)

asíntota(s) vertical(es) si existe(n).

x

xxf

22

52 .1

Calculamos el valor de x que hace el

denominador igual a cero:

2 + 2x = 0 x = -1

La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la

función.

Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)

asíntota(s) horizontal(es) si existe(n).

x

xxf

22

52 .1

El grado del numerador y del denominador es 1,

así que estamos en el caso 2.

La asíntota horizontal de la f(x) es la recta

2

5

n

n

b

a

25y

Trazar la gráfica de funciones

racionales

x

xxf

22

52


Los interceptos

quedan en un

mismo pedazo

de la gráfica.

Podemos unir

esto dos puntos

con una curva

suave que se

acerca a las

asíntotas.

x

xxf

22

52


Debemos evaluar

la función en

algunos otros

puntos para

localizar la otra

parte de la

gráfica.

x

xxf

22

52

2f

222

252

62

12


Debemos evaluar

la función en

algunos otros

puntos para

localizar la otra

parte de la

gráfica.

x

xxf

22

52

)6,2(

Trazar la gráfica de: x

xxf

3

2)(

Intercepto - y:

Intercepto - x

03

0

03

02)0(

f

)0,0(

0

02

03

2

x

x

x

x

Asíntota vertical:

Calculamos los valores de x que

hacen el denominador igual a

cero: 3 – x = 0 x = 3

(ecuación de la asíntota)

Asíntota horizontal(caso 2)

n

n

b

ay

2y(ecuación de la asíntota)

21

2

Puntos adicionales

x

-5

0

2.5

3

3.5

5

10

50

x

xy

3

2

-10/8 = -1.25

0

5/.5 = 10

No está definido

7/-.5 = -14

10/-2 = -5

20/-7 = -2.86

100/-47= -2.13

Trazar la gráfica de:

Intercepto - y:

Intercepto - x

20

30)0(

f

03 x

Asíntota vertical:

Calculamos el valor de x que

hace el denominador igual a

cero: x – 3 = 0 x = 3

(ecuación de la asíntota)

Asíntota horizontal:

n

n

b

ay

1y(ecuación de la asíntota)

111

3( )

2

xf x

x

5.12

3

3x

)0,3(

)5.1,0(

Trazar la gráfica de

1. Vertical Asymptote

x = 2

2. Horizontal Asymptote

y = 1

3. x-intercept

(3, 0)

4. y-intercept

(0, 3/2)

5. f(-4)= 7

2= 3.5

3( )

2

xf x

x

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