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¡No te hagas nudos con los nudos!

Contenido Resumen ................................................................................................................................ 0

Introducción......................................................................................................................... 1

Justificación: ...................................................................................................................... 1

Objetivo: ............................................................................................................................ 2

Historia de los nudos. ............................................................................................................. 2

¿Qué es un nudo? .................................................................................................................. 3

Estudio de los nudos .............................................................................................................. 5

Diagramas de lazo .................................................................................................................. 7

ADN ...................................................................................................................................... 11

Conclusión ............................................................................................................................ 22

Trabajos citados: .................................................................................................................. 23

Resumen

¿Qué relación existirá entre un cordón de zapato (agujeta) con la estructura del ADN?

¿Cómo poder explicar la estructura en la que se encuentran las sustancias en el medio?

¿Todos los nudos se pueden deshacer? Estas y muchas más interrogantes pueden ser

contestadas mediante la Teoría de Nudos, en donde las matemáticas se mezclan con

demás disciplinas científicas para explicar, mediante modelos a base de nudos, algunas

de las cosas que nos rodean.

En esta compilación de datos y argumentos, se puede concebir de mejor forma el

fascinante mundo de los nudos y sus aplicaciones.

1

Introducción

Los nudos han sido parte de la historia del hombre hasta nuestros días. Nuestros

antepasados utilizaron nudos para la elaboración de las primeras herramientas

para auxiliarse en el armado de dichas armas, así como para trenzar lianas o el

pelo de los animales para construir cuerdas y luego redes para pescar sus

alimentos, se usan por los marineros y por los scouts quienes, de cierta manera

“son expertos en nudos”.

Los nudos han estado presentes también en esculturas, manuscritos y pinturas así

como muchas otras formas alrededor de todo el mundo.

Incluso cabe mencionar que existió un sistema de numeración llamado “quipu”

como lenguaje escrito para llevar las cuentas de la población que se basaba en

nudos.

Todo esto es sabido pero el estudio matemático de los nudos es relativamente

nuevo.

El principio u origen de tan bella teoría comienza con una hipótesis de cómo

podrían estar organizados los átomos de la materia.

Justificación:

La Teoría de los Nudos es un conocimiento relativamente nuevo, reciente; el cual,

podríamos decir que desconocemos en su gran mayoría, y que sin embargo con lo

que actualmente sabemos, ya podemos encontrar una gran utilidad para la

ciencia. La Teoría en mención, es de gran importancia, pues partir de ella se

pueden establecer modelos matemáticos a fin de explicar y entender de una

manera más precisa algunos fenómenos que ocurren, teniendo transversalidad

con disciplinas como la Biología, la Física o la Química.

Es por ello, que seleccionamos el tema y presentamos una compilación de datos

acerca de los Nudos y una de sus aplicaciones: modelar la estructura del ADN.

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Objetivo:

En el presente, pretendemos mostrar de una forma didáctica el concepto

matemático de nudo, así como resaltar la importancia que tiene la teoría dentro del

campo científico; de tal forma que sea posible comprender el por qué es necesario

desarrollar el conocimiento de esta teoría para ampliar la base de conocimientos

en cuanto a la representación mediante modelos de nuestra realidad.

Así mismo, nuestro principal argumento para fomentar el interés hacia este tópico,

a fin de ampliar la base de conocimientos que se tienen del mismo, es presentar

un compendio de datos interesantes, y lograr así que… ¡No te hagas nudos con

los nudos!

Historia de los nudos.

En el siglo XIX, los físicos se cuestionaban acerca de la naturaleza desconocida

de los átomos y fue Lord Kelvin, un físico muy importante en dicho siglo, quien

propuso en 1867 que los átomos eran vórtices tubulares de éter anudado, todo

esto apoyándose de una serie de argumentos:

Estabilidad: Decía que la estabilidad de los nudos, por su naturaleza topológica,

podría ser la explicación de la estabilidad de la metería.

Variedad: Los diferentes tipos de nudos podrían explicar la gran diversidad de

elementos químicos existentes en la Tierra.

Espectro: Que las líneas espectrales de los átomos se explican por las

oscilaciones vibraciones de los vórtices tubulares.

Y si se retoma, en nuestra época y con los conocimientos que se tienen ahora y se

ignoraban anteriormente, este postulado, se podría agregar:

Transmutación: El corte y recombinación de los nudos está relacionado con la

habilidad de los átomos de transformarse en otros átomos a muy altas energías

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La teoría de Kelvin fue tomada con mucha

seriedad por aproximadamente 20 años hasta

ahora pero después de que se descartó su

teoría como teoría atómica, el estudio de los

nudos se convirtió en una rama esotérica de las

matemáticas puras.

Los matemáticos James Alexander y Kurt

Reidemeister son probablemente los dos

personajes más relevantes en la teoría de los

nudos.

La Teoría de Nudos se ha estado desarrollando durante más de 100 años,

estudiado por la topología y siendo una rama de la misma. Esta teoría es una

rama muy activa en la actualidad y tiene aplicaciones en el análisis de circuitos

eléctricos, o incluso la planeación de redes de avenidas y calles.

Más recientemente y de manera más reciente se encontró una conexión con la

rama de la física que se encarga de estudiar las partículas elementales y las

fuerzas que son los bloques de construcción del universo.

De igual manera y como ya se había mencionado antes, se relaciona con la

manera en que el ADN está a veces anudado y que los nudos podrían jugar un

papel en la biología molecular.

¿Qué es un nudo?

Para comprender qué es un nudo y su definición formal matemáticamente

hablando, se puede iniciar con la concepción que tenemos nosotros de nudo en la

vida diaria. Podemos visualizar el nudo de nuestros zapatos o simplemente

recordar nuestros audífonos, extensiones o series navideñas enredadas en una

maraña que parecieran ser imposibles de desanudar.

El siguiente paso es imaginar esos mismos nudos pero juntos por las puntas

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Ahora que se tiene una mejor concepción de nudo, se pueden observar que:

“Una superficie es una extensión de puntos en que se consideran sólo dos

dimensiones; un nudo se puede considerar como una curva cerrada

sencilla, hecha de goma y que se puede retorcer, alargar o deformar de

cualquier forma en un espacio tridimensional, aunque no se puede romper.”

(Zonechain, 2001)

“Un nudo es un bucle cerrado de cuerda en ” (Roberts, Motivation, basic

definitions and questions)

“Para un matemático, es una curva, una especie de trayectoria, cerrada en

el espacio. En términos un poco más técnico, un nudo es una variedad1 de

dimensión 1 compacta y sin fronteras” (Bautista)

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“El subconjuto es un nudo si existe un homeomorfismo del círculo

unitario en cuya imagen es K. Donde es el conjunto de puntos (x,y)

en el plano que satisfacen la ecuación ” (Molina, 2011)

“Dados ,se denota por [ ] al segmento determinado por p y q.

Definición 1.1.1 Sea ( un conjunto ordenado (con respecto al

subíndice) de puntos distintos en . A la unión de [ ],…, [ ]

y[ ] [ ] se le llama curva poligonal cerrada.

Si [ ] [ ]={ } para todo i { }y [ ] [ ]

{ }, entonce se dice que la curva poligonal es simple.

Definición 1.1.2 Un nudo es una curva poligonal simple cerrada en ”

(Vargas, 2009)

En todas las definiciones anteriores existe una coincidencia de que un nudo es

una curva cerrada presente en los .

Estudio de los nudos

Los nudos son estudiados con ayuda de la topología.

Topología es una rama muy joven de la matemática, contrastando con la teoría

de números, geometría y el álgebra, cuyas genealogías datan en tiempos

antiguos. Aparece en el siglo diecisiete con el nombre de analysis situs (análisis

de posición).

La topología trabaja con figuras que permanecen invariantes, cuando se plegan,,

dilatan, contraen o deforman pero de modo tal que no aparezcan nuevos puntos, o

se hagan coincidir con puntos diferentes. Esta transformación permitida presupone

que haya una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura que se tenía

originalmente con la que ya se ha transformado, y que la deformación antes

mencionada hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. A la

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propiedad que se menciona al último se le denomina continuidad”, y lo que

requiere es que la transformación y su inversa sean continuas: se trabaja con

homeomorfismos.

“Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que

se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero mencionó la

otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibnz, el cual la llamó

geometría de posición. Leibniz determinó esta que esta parte tenía que

ocupar de la sola posición y de las propiedades provenientes de la posición

en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su

cálculo…Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que

parecía realmente pertenecer a la geometría pero estaba dispuesto de tal

manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución

mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la

posición…” L. EULER (Stadler, 2002)

La topología estudia los aspectos geométricos de las curvas simples cerradas,

llamadas nudos. Esta rama ha estado teniendo más participación en el estudio de

la Física, Química y Biología Molecular.

“La topología es una rama de las matemáticas que estudia ciertas propiedades de

las figuras geométricas. Se la llama a menudo geometría de la cinta elástica, de la

lámina elástica o del espacio elástico, pues se preocupa de aquellas propiedades

de las figuras geométricas del espacio que no varían cuando el espacio se dobla,

da la vuelta, estira o deforma de alguna manera” (Zonechain, 2001)

Las restricciones son que dos puntos distintos no pueden coincidir así como que

no se puede romper el espacio.

La topología se encarga sólo de propiedades como la posición relativa y la forma

general. Los topólogos están interesados en una variedad de superficies, tratar de

descubrir y comprender qué distingue una superficie de otra y entender la relación

que tiene alguna superficie con el espacio que está ocupando.

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La teoría de nudos es una rama de la topología que aún tiene varios problemas

para resolver. Uno de estos problemas es la clasificación; dice que dos nudos son

equivalentes si se puede deformar uno de ellos para lograr llegar al otro; si esto no

es posible, los nudos son distintos. En estos momentos aún no se ha establecido

un conjunto completo de características suficientes para poder distinguir o

diferenciar los distintos tipos de nudos.

Diagramas de lazo

Para el estudio de los nudos se utiliza una manera de representar que sea sencilla

y fácil la manera de diferenciar un nudo de otro. Los cruces se representan con un

pequeño espacio en blanco para indicar dicho cruce y si se encuentra por encima,

se considera un cruce positivo y si se encuentra por debajo, se considera un cruce

negativo. Estas especificaciones son útiles para la solución de problemas con

nudos.

Cruzamientos 1

Esta información acerca de los cruces se nos indica en un diagrama de lazo, el

cual nos proporciona, como información más importante, el patrón de enlace que

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sigue el nudo: El corte en el dibujo nos indica que la línea cortada está por debajo

de la continua, distinguiendo así los cruces positivos de los negativos.

Tabla con los nudos más simples 1

“Un segmento continuo en el diagrama es llamado arco, y los arcos se unen en los

cruzamientos. Todos los diagramas de nudos y lazos tienen un número finito de

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cruzamientos y los arcos sólo se unen en los cruzamientos. Los arcos de un

diagrama se dividen en clases diferentes llamadas componentes, éstas

corresponden intuitivamente a los diferentes trozos de cuerda que son utilizados al

realizar el nudo o lazo. Por definición el diagrama de nudo tiene una componente y

el de lazo tiene un número finito de componentes. La orientación en un diagrama

de lazo es la elección de una dirección para cada componente y ésta es indicada

en el diagrama por flechas, así:” (Zonechain, 2001)

Diagrama de flechas en nudos 1

Como menciona la autora, en los diagramas se procura de evitar la mayor

cantidad de ambigüedades para tener más clara la estructura del nudo; cómo está

“anudado”.

Una manera más sencilla de definir un diagrama de lazo es viéndolo como una

manera de atar uno o más círculos en tres dimensiones

Semejanzas

Un nudo podría ser exactamente el mismo que otros (nudos equivalentes), por

ejemplo si se tienen dos nudos frente a nosotros y a simple vista se ven diferentes

pero observando con detenimiento que si se “desenrolla” uno, se obtiene el otro.

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Esto se puede observar si se miran los nudos siguientes.

Nudos equivalentes 1

El nudo de la izquierda representa al ya conocido “nudo cero”, sin ningún cruce y

el de la derecha es exactamente el nudo cero pero está enrollado. Nótese que se

puede regresar a la forma original sin ser cortado y desanudado, sólo necesita ser

desenrollado.

Dos nudos NO son equivalentes si se necesita cortar uno para desanudarse y

llegar al otro.

Entrando de lleno a los nudos, se puede continuar mencionando que existen

nudos que pueden llamarse “semejantes” debido a que se considera que un nudo

es igual al otro si tienen el mismo número de cruces. Tal vez no se vea la

semejanza a primera vista pero si se observa que se modificó la orientación,

proyección o incluso si se coloca la imagen del nudo como si estuviera frente a un

espejo, se puede comprobar que existe una semejanza y, por lo tanto, se trata del

mismo nudo.

Un modo de clasificar los nudos es mediante el número de entrecruces que

tengan. El mínimo número de entrecruzamientos es de 3. Sólo existe un tipo de

nudos que tienen 3 y 4 cruzamientos, hay nudos que tienen 5 cruzamientos y 3

tipos de nudos con 6 cruces.

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ADN

El ADN, una macromolécula que se encuentra en gran parte de los núcleos

celulares, se considera como el destinado a dirigir y regular las actividades

principales de cada célula de cualquier organismo como la síntesis de proteínas,

además permite transmitir información genética con precisión de una generación a

otra.

El ADN es un ácido nucléico constituido por la unión de varias unidades llamadas

nucleótidos. Cada nucleótido consta de tres partes:

1. Un grupo fosfato

2. Un azúcar llamado desoxirribosa

3. Una de cuatro bases nitrogenadas (adenina, guanina, timina o cistosina

:A,G,T y C respectivamente); Las cuales se fijan al carbono uno de la

desoxirribosa, mientras que el grupo fosfato se une a la desoxirribosa en el

carbono cinco.

Nucleótido 1

Una cadena de nucleótidos, llamada polinucleótido, se hace mediante la unión del

carbono tres de azúcar de un nucleótido con el grupo fosfato de otro nucleótido, a

esta unión se le llama puente 3´-5´fosfodiéster, y se dice que lleva una dirección

5´-3´

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a) polinucleótido, b)forma B del ADN 1

Topología en enzimología

La estructura del ADN, cuyo descubrimiento se otroga a J.D. Watson y F.H.C.

Crick en 1953 es llamada la forma B del ADN, en ésta la molécula del ADN está

conformada por dos largas cadenas de polinucleótidos alineadas de forma

antiparalela (3´-5´) mientras que la otra cadena tiene dirección opuesta (3´-5´).

Ambas cadenas se enrollan y forman una doble hélice alrededor de un eje central

imaginario y se unen por dos enlaces de hidrógeno entre las adeninas de una

cadena y las timinas de otra cadena y por tres enlaces de hidrógeno entre las

guaningas de una cadena y las citosinas de la otra cadena. Además, estas bases

son perpendiculares a el eje de la hélice y por cada enrollamiento de la hélice

existen 10 pares de bases, la distancia entre cada vuelta alrededor del eje

imaginario es de 3.4 nanómetros (nm) mientras que el ancho es de 2nm.

El ADN no es una molécula rígida, la temperatura, el pH y la acción de algunos

compuestos químicos provocan alteraciones en la forma del ADN y puede adoptar

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diferentes estructuras como juntura de Holliday, en forma de cruz, forma circular,

también puede unirse a otra cadena de ADN originando un truplete, unirse a otra

hélice o simplemente diferentes formas helicoidales, donde las bases cambian su

ubicación con respecto al eje imaginario de la hélice. Se sabe también que el ADN

dada la unión de sus bases tiene cierta curvatura y flexibilidad en todas

direcciones, de manera que el ADN pueda doblarse

¿Cómo se enrolla el ADN?

Sabiendo las propiedades y características del ADN anteriormente mencionadas,

se puede explicar que el ADN tiene la capacidad de adoptar diversas formas,

especialmente la de adquirir una forma circular; para lo cual, ambos finales de la

doble hélice se unen por medio de dos puentes 3´-5´fosfodiéster, es decir el grupo

fosfato y el carbono tres (en el cual el grupo fosfato y el carbono tres pertenecen a

diferente cadena) de un final se unen al carbono tres y al grupo fosfato (ambos

siendo de diferente cadena) del otro final respectivamente. Esta unión no se da de

otra manera, es por ello que si el ADN se enrolla sobre sí mismo antes de

cerrarse, este enrollamiento debe ser de 360°.

De manera que el introducir o quitar enrollamientos al ADN antes de cerrarlo

incrementa o reduce los giros de la doble hélica al tiempo de cerrarla, es decir, el

sobre-enrollamiento afecta al número de enlace del ADN y éste a su vez afecta la

forma geométrica del ADN. Para ADN en forma circular se define el

entrelazamiento o twist del ADN, denotado por , la descripción cuantitativa de

cómo las dos cadenas de ADN se enrollan entre sí con respecto al eje imaginario,

y el retorcimiento o “writhe” del ADN, denotado por , a la descripción cuantitativa

de cómo se enrolla al eje imaginario en el espacio.

Hay enzimas que se ubican en los cruces del nudo formado por la molécula, y la

cambian de alguna manera. Estas enzimas cambian la topología de la molécula

pero no cambian su química, es decir, generan isómeros, de ahí el nombre de

topoisomerasas. En general hay diferentes enzimas con distintos efectos en la

molécula; y por experiencia no se sabe qué efecto tienen una cierta enzima, por lo

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que se requiere de resultados matemáticos no triviales para poder determinar el

tipo de “x” enzima.

Cambio de la enzima 1

“Se sabe que en cada reacción que se efectúa en un sistema biológico, existe una

intervención de las enzimas, éstas son proteínas que tienen la función de actuar

como catalizadores biológicos, es decir, aumentan la velocidad con que una

reacción química se lleva a cabo y a demás no se consumen en las reacciones

que promueven permaneciendo sin cambio alguno.” (Vargas, 2009)

Las enzimas tienen un alto grado de especificidad con respecto a los tipos de

sustrato, puesto que catalizan, a lo mucho, algunos cuantos tipos de reacciones

químicas, por lo general sólo participan en una reacción en la que intervienen una

o dos moléculas específicas.

Las enzimas tienen una zona llamada “sitio activo” en el cual se pueden entrar las

moléculas de los reactivos, llamadas sustratos. Es sitio activo de cada enzima

tiene una forma y distribución de cargas eléctricas diferentes que se

complementan con las de sustrato.

Teniendo la gran cantidad de nudos y enlaces que existen, es posible recopilar

más información de una enzima a partir del tipo de nudo o enlace resultante en los

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productos obtenidos de la recombinación producida por la enzima en una

estructura primaria. El proceso, mejor conocido como topología enzimática,

consiste básicamente en:

a) Se separa un sutrato circular (desanudado) en el cual actuará una enzima

b) Dicha reacción produce un espectro de nudos y enlaces deADN,

fraccionándose por electroferesis en gel.

c) Se recubren las moléculas para hacerlas perceptibles en microscopio

electrónico, y se micro fotografían.

d) Se utiliza la topología y geometría para realizar un análisis de la reacción

efectuada.

Proceso de topología enzimática 1

Un ejemplo de esto se es cuando en E.coli, se puede elaborar un sustrato en el

laboratorio, dicho sustrato es una molécula de ADN circular, y busca en este dos

sitios en los que se realice la recombinación. Después, se manipula físicamente

junto. En la configuración se hace actuar la enzima en los sitios preseleccionados

y se obtiene una nueva molécula, que es el producto, luego de la acción de la

enzima. Esta nueva molécula producto es químicamente igual al sustrato original,

pero con un tipo topológico diferente.

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Se sabe que para algunos procesos el sobre-eenrollamiento del ADN es necesario

para que tenga lugar la reacción, sin embargo para otros procedimientos como la

transcripción, el sobre-enrollamiento es una consecuencia del a reacción que se

tiene para controlar. En la transcripción se genera sobre-enrollamiento tanto

positivo como negativo y en la recombinación el ADN tiende a anudarse, este tipo

de conversiones se deben controlar par que el ADN siga funcionando

normalmente, de manera que las topoisomerasas rompen y unen una o ambas

cadenas de doble hélice del ADN de forma que éste pueda replicarse, combinarse

o traducirse.

Reacciones de topoisomerasas 1

Se tienen la idea de que las topoisomerasas rompen una cadena o ambas de la

doble hélice permitiendo a la cadena o cadenas libres rotar con respecto al eje

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imaginario de la hélice y luego uniendo de nuevo a la cadena o cadenas, este

proceso puede cambiar el número de enlace, un mecanismo alterno del

funcionamiento de las topoisomerasas es que éstas dividen una o ambas cadenas

de la doble hélice, luego un segmento de ADN se pasa por la abertura, puede ser

un segmento de cadena o segmentos de ambas cadenas de la hélice para luego

cerrarse.

Otra forma de verlo es, primeramente, tomando en cuenta que la naturaleza doble

hebra del ADN tiene varias implicaciones para su función biológica, como la

replicación, que se facilita debido a que la información genética está codificada por

duplicado en la estructura del ADN.

“También, las limitaciones impuestas por la naturaleza de doble hélice en el DNA

implica que muchos eventos que involucran desenrollamiento (relajación causan

tensión en la molécula” (depa.fquim.unam.mx)

ADN de forma súper-enrollada a relajada 1

El ADN que se encuentra súper-enrollado tiene la capacidad de viajar más

rápidamente que una molécula relajada del mismo tamaño.

El ADN separado solamente difiere en su topología, es por esta razón que a las

distintas formas se les llama topoisómeros.

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Electroforesis en geles agarosa 1

La electroforesis en geles agarosa permite ver las

diferentes tipos de bases en una sección de ADN con

ayuda de la electricidad y el gel, los cuales permiten

“atraparlo” y separarlas para distinguirlas por pesos

mediante un proceso parecido a la filtración en el que

se distinguen mediante los pesos y qué tanto pasaron por alguna etapa.

Partiendo desde el conocimiento de que muchos eventos metabólicos del ADN

requieren la apertura de la doble hélice, se puede decir que:

1. La apertura de la doble hélice está restringida puesto que las hebras que se

separan no tienen rotación libre. El desenrollamiento de las dos hebras se

convierte en un evento topológicamente imposible

2. A un segmento de ADN que está constituido en la rotación de los extremos,

se le denomina dominio topológico

3. Un ejemplo de un dominio topológico es un ADN circular, que es típico en

bacterias y genomas, cloroplastos, mitocondria o los plásmidos.

“Aunque los cromosomas eucariontes son lineales, forman asas de ADN

que están unidas a la matriz nuclear.

Estas asas representan dominios topológicos que son equivalentes a los

dominios de ADN circular” (depa.fquim.unam.mx)

Ecuaciones

Los micrográficos electrónicos del compuesto enzima-ADN muestran la enzima

como un grupo, con el ADN formando lazos en su exterior.

La configuración del ADN dentro del grupo, no puede ser determinada por el

microscopio electrónico. Por lo que muchas veces, se utiliza la teoría matemática

de nudos para determinar dicha configuración.

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ADN dentro del grumo 1

Si se piensa en la molécula circular de ADN antes

de la reacción (Substrato) como si estuviera hecha

de dos enredos: el enredo substrato (S), que no

sufre cambios por la acción de la enzima, y el

enredo de posición (P), donde actúa la enzima.

Sustitución de enredo de posición P-R 1

Ésa enzima sustituye el enredo de posición por un nuevo enredo llamado el

enredo de recombinación R y asumimos que sabemos cuál es el nudo que

conforma el substrato, y podemos señalar cuál es el nudo que resulta como

producto. Las tres variables incógnitas son los tres enredos S, P y R.

Si denotamos por N(Q) el nudo o enlace que obtenemos al unir entre sí los dos

extremos superiores y uniendo entre sí los dos extremos inferiores de un enredo

Q. O bien, N (Q) es el nudo o enlace asociado a Q.

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Q y N (Q) 1

Dados dos enredos Q y V, definíamos la suma de Q y V como el enredo obtenido

uniendo el externo superior derecho de Q con el extremo superior izquierdo de V,

y uniendo el extremo inferior derecho de Q con el extremo inferior izquierdo de V;

y la denotamos Q+V

Q+V 1

Con la notación anterior, explicada por (Vargas, 2009) se puede ver que el hecho

de que el substrato esté conformado por los enredos S y P, y los productos S y R,

se expresa como:

Substrato y Producto 1

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Lo anterior es lo que comúnmente conocemos como un sistema de ecuaciones

con tres incógnitas: S, P y R. (Dos nudos serán iguales topológicamente hablando)

Debido a que se tienen más variables que ecuaciones, no se puede determinar en

general S, T y R conociendo únicamente el anudamiento del substrato y del

producto.

Sin embargo, si se conoce uno de los tres enredos, se pueden determinar los

otros dos.

(Vargas, 2009) propone un ejemplo en el que encuentra fácilmente la solución a

dos ecuaciones:

Ejemplo de ecuación 1

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En el ejemplo se necesita observar cómo están anudados los lados P y R para

poder determinar el nudo S, y de esa manera averiguar la solución a la ecuación.

Es un ejemplo sencillo, pues se trabaja con el nudo cero y el nudo trébol, así que

se usa la imaginación para averiguar la respuesta, en este caso, se trata de la

estructura del substrato.

Metodología y análisis de resultados.

En la elaboración de este proyecto de investigación consultamos diferentes

fuentes y procesamos la información necesaria para comprender un nuevo tema

para poder incentivar a la comunidad universitaria e incluso externa a que se

muestre un mayor interés por este tema y poder lograr que se encuentren más

aplicaciones en la vida para beneficio del ser humano o simplemente por amor a la

ciencia.

Dentro del presente trabajo se muestra la manera en la que las ideas convergen o

divergen dependiendo de cada investigador, demostrando que la mente humana

trabaja diferente en cada individuo y así se logra una mayor aportación al

conocimiento científico.

Conclusión

La Teoría de los Nudos es un paso más, dentro del amplio desarrollo que las

matemáticas experimentan con el paso del tiempo, y es sin duda, una de las

contribuciones cuya multifuncionalidad y transversalidad con otras disciplinas, le

han dado una importancia dentro del campo científico.

El comprender el concepto de un nudo, nos ayuda a comprender cada vez más y

mejor nuestra realidad, y explicar cómo es que está conformado lo que nos rodea

o lo que implican los fenómenos que diariamente vivimos.

Fomentar el estudio del mismo, es forjar y consolidar beneficios para la ciencia y,

por ende, para la humanidad.

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Trabajos citados:

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http://www.conamat.edu.pe/upload/topicos/nudosypolinomios.pdf

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