Nociones de Topografia - Jorge Franco Rey

8/13/2019 Nociones de Topografia - Jorge Franco Rey

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1. Nociones de Topografa

1.1. Introduccin

Cuando hablamos de Topografa, nos encontramos ante una dis-

ciplina de vital importancia en todos los procesos relacionados con la

ingeniera en general. Tanto es as que se trata de una asignatura comn

en la gran mayora de las carreras tcnicas que se estudian en nuestro

pas. A nadie pasar desapercibido que en casi cualquier tipo proyecto o

estudio, ser necesario disponer de un modelo, a escala reducida, del

terreno sobre el que vamos a plasmar nuestras ideas, es decir, a cons-

truir. Posteriormente, la Topografa tambin ser nuestra fiel aliada para

materializar en el terreno todo aquello que hemos proyectado.

Queda claro, por tanto, que el conocimiento de las tcnicas y

mtodos disponibles para modelizar el terreno es necesario e impres-

cindible para todos los futuros ingenieros, sea cual sea la especialidad

en la que estos vayan a desarrollar su futura labor profesional.


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Nociones de Topografa, Geodesia y Cartografa

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Tradicionalmente se ha venido definiendo la topografa como

el conjunto de mtodos e instrumentos necesarios para representar

el terreno con todos sus detalles naturales o artificiales. Esta defini-

cin, sin embargo, resulta hoy en da un tanto parcial, debido principal-

mente al desarrollo experimentado por otras disciplinas anexas, como

es el caso de la Fotogrametra1. Este desarrollo ha venido marcado

bsicamente por la rapidez y precisin que ha supuesto la generacin de

planos topogrficos y mapas a partir de fotografas areas mediante los

aparatos denominados restituidores. Asimismo, es de gran inters lainformacin complementaria que aportan estas fotografas, muy difcil

de obtener mediante la utilizacin de otras tcnicas.

Uno de los mayores avances en este sentido ha sido la revolucin

de la informtica y de la electrnica en los ltimos aos. La combina-

cin de equipos informticos e instrumentos topogrficos, el desarrollo

de avanzados programas de clculos topogrficos y modelado digital deterrenos, la utilizacin ya generalizada de estaciones totales

2que per-

miten combinar una toma de datos automtica con programas de clculo

topogrfico y de CAD (Computer Aided Design, o diseo asistido por

ordenador), as como las gran revolucin que ha supuesto el sistema de

posicionamiento global (GPS, Global Positioning System), han aumen-

1Fotogrametra: Conjunto de tcnicas y mtodos que, mediante un proceso deno-minado restitucin fotogramtrica, que se lleva a cabo con aparatos restituidores; se

utilizan para obtener medidas reales del terreno y para elaborar mapas y planos a

partir de fotografas areas.2 Estacin total: equipo topogrfico electrnico que realiza todas las operaciones

de medicin y replanteo, sustituyendo las libretas de toma de datos por libretas

electrnicas que se conectan directamente con el ordenador para el tratamiento de

los datos con los programas adecuados.


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tado mucho el campo abarcado por la topografa, permitiendo unas pre-

cisiones antes slo alcanzables por mtodos geodsicos, pero que son

imprescindibles para las nuevas exigencias que plantea la ingeniera en

general.

No debemos perder de vista que la Topografa va a centrar su es-

tudio en superficies de extensin limitada, de manera que sea posible

prescindir de la esfericidad terrestre sin cometer errores apreciables.

Para trabajar con grandes superficies ser necesario recurrir a la Geo-

desia y a la Cartografa. Podramos decir que la Topografa acaba dondecomienza la Geodesia, aunque hoy da, con el empleo de aparatos cada

vez ms sofisticados, tambin es difcil precisar estos lmites de una

forma clara. En todo caso, en la mayor parte de trabajos, la Topografa

tendr que apoyarse en la Geodesia y en la Cartografa para obtener re-

sultados correctos.

Vemos, por lo tanto, que la Topografa no est sola, sino que seencuentra apoyada por otras ciencias que la complementan y amplan.

Entre todas ellas, nos permitirn llevar a cabo nuestros propsitos. Lo

veremos en pginas siguientes.

1.2. Unidades de medida empleadas en Topografa

Unidades de longitud: como puede imaginarse, la unidad delongitud ms empleada en Topografa es el metro. El metro

puede definirse como la longitud que adquiere, a una tempera-

tura de 0 centgrados, una regla de platino e iridio conservada

en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Breteuil, en

Pars. Sin embargo, podramos calificar a sta de definicin


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prctica, y en la actualidad ha sido sustituida por otras ms

exactas y rigurosas. En la Conferencia General de Pesas y

Medidasde 1960 (Pars), se acord que el metro es igual a

1.650.763,73 veces la longitud de onda en el vaco de la radia-

cin correspondiente a la transicin entre los niveles de

energa 2p10 y 5d5del tomo de criptn 86. Posteriormente,

se ha definido de nuevo basndose en la velocidad de la luz,

concluyendo que el metro es la longitud recorrida por un

rayo de luz en el vaco en un tiempo de 1/299792456 se-

gundos.

Unidades de superficie: en Topografa se trabaja con Hect-reas (10.000 m

2). A veces tambin se utilizan Km

2.

Unidades angulares: se trabaja con graduacin sexagesimal ocentesimal:

Graduacin sexagesimal: se considera, como ya sabe-mos, una circunferencia dividida en 360 partes iguales

denominadas grados. Cada grado se compone de 60 mi-

nutos y cada uno de estos en 60 segundos, escribindose

de la siguiente forma:

15 25 48 6

Graduacin centesimal: suele ser ms empleada por susencillez. La circunferencia est dividida en 400 grados

y cada uno de estos en 100 minutos. Los minutos, a su

vez, est formados por 100 segundos. Pueden escribirse

de dos formas equivalentes:


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5

25g68

m85

s8 o bien 25,68858

g

1.3. Sistema de representacin utilizado en Topogra-

fa

El problema que vamos a intentar resolver es el de representar

sobre un plano una serie de entidades tridimensionales o espaciales,

como es el caso de la superficie terrestre. Para ello, la Geometra Des-

criptiva nos brinda una serie de sistemas de representacin para diferen-

tes aplicaciones prcticas. De entre todos ellos, nosotros vamos a elegir

el sistema de planos acotados. En ste, cada punto de la superficie pue-

de representarse mediante su proyeccin sobre el plano y su altura o

elevacin (cota) sobre un plano de comparacin elegido arbitrariamente

(Fig. 1).

Vemos, por lo tanto, que la representacin podra reducirse a una

serie de puntos aleatorios del terreno, usualmente denominados puntos

sueltos, cada uno de ellos con su cota respectiva. Un nmero de puntos

pequeo ocasionar imprecisiones a veces inadmisibles, mientras que

un elevado nmero de ellos dificultar en gran medida la lectura e inter-

pretacin del plano final, aparte de necesitar clculos ms complejos3.

Con el fin de evitar estos problemas, suelen trazarse curvas que pasenpor puntos de igual cota. A estas curvas se las denomina curvas de nivel

3 La complejidad de los clculos es un factor cada vez de menor trascendencia,

dado el incremento de prestaciones, impensable tan slo hace unos pocos aos, que

estn adquiriendo los ordenadores personales. Basta mencionar que un PC (Perso-

nal Computer) estndar, con el software adecuado, es capaz, hoy en da, de tratar


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y tambin isohipsas. Un poco ms adelante hablaremos ms detenida-

mente sobre ellas.

nubes de 5.000 puntos en poco ms de 10 segundos.


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Fig. 1: Fundamento del sistema de planos acotados


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1.4. Los lmites en la percepcin visual y la escalas

Por convenio, se admite que la vista humana normal puede perci-

bir sobre el papel magnitudes de hasta de milmetro, con un error en

dicha percepcin menor o igual a 51 de milmetro.

Es muy importante tener esto en cuenta en la prctica, pues de-

pendiendo de la escala a la que estemos trabajando, deberemos adaptarlos trabajos de campo a la misma.

Por ejemplo: si estamos trabajando a escala 1/50.000, los 0,2

mm del plano (1/5 de mm) de error inevitable, estaran representados en

el terreno por 10 metros. Esto quiere decir que la determinacin en

campo de distancias con mayor precisin de 10 m. es del todo intil,

pues no lo podremos percibir correctamente en el plano.

Si, como es usual en muchos proyectos de ingeniera, trabajamos

a escala 1/1000, tendremos que los 0,2 mm del plano corresponden a

20 cm en el terreno, debiendo adaptar las medidas tomadas en campo a

esta ltima magnitud.

Est claro, por tanto, que debe evitarse un excesivo nivel de deta-

lle en los trabajos de campo, ya que luego no tendrn una representacin

en el plano final.

Este hecho es de considerable importancia a la hora de tomar los

datos de un tramo curvo como el de la Fig. 2. Supongamos que vamos a

realizar un determinado trabajo a escala 1/5.000. El producto del deno-


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minador de la escala (5.000) por la agudeza visual (0,2 mm) nos da una

longitud de 1 metro, que ser la magnitud que podremos despreciar en

el terreno. Si, como es el caso de la figura, tenemos una curva con una

flecha de 4 m., ser suficiente con tomar los puntos B, C y D.

Fig. 2: Toma de datos de un tramo curvo y su relacin con la escala

La explicacin es sencilla: las distancias b-b y c-c son de 1 m.,

como se deduce a travs del cuarto de flecha. Por tanto, los puntos b-b

y c-c se confundirn en el plano a escala 1/5.000, razn por la cual no

deberamos tomarlos en campo.

De la misma manera, debemos tener en cuenta estos factores

cuando efectuemos determinaciones angulares. No obstante, conviene

no equivocar los trminos y tener siempre clara la finalidad de nuestro

trabajo. Todo lo que hemos dicho en este apartado se verificar siempre

que nuestro objetivo sea plasmar la informacin en un plano a una de-

terminada escala. Por el contrario, si lo que deseamos es efectuar cl-

culos con los datos tomados en campo (determinacin de las coordena-

das cartesianas, medicin exacta de superficies, etc.), siempre nos con-


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vendr tomarlos con la precisin necesaria. Si posteriormente genera-

mos salidas grficas, la precisin ser la de la escala, pero tendremos

una serie de datos precisos que nos permitirn generar planos con ma-

yor detalle (a escalas mayores).

1.5. Distancia natural, geomtrica y horizontal (o re-

ducida).

En la Fig. 3 podemos ver de manera esquemtica el fundamento

de cada una de estas magnitudes.

Fig. 3: Distancia natural, geomtrica y reducida

Dn: Distancia natural: es la distancia entre dos puntos si-guiendo el relieve del terreno.

Dg: Distancia geomtrica : longitud del segmento de rectaque une los dos puntos.


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Dr: Distancia reducida: distancia sobre el plano horizontalentre los puntos A y B.

En realidad, las distancias que se determinan en campo, mediante

aparatos como el taqumetro o las ms modernas estaciones totales, son

las geomtricas. Para calcular las distancias reducidas, con las que tra-

bajaremos, es necesario tomar tambin el ngulo vertical (Fig. 4).

Fig. 4: Relaciones entre las distintas distancias, el desnivel y el ngulo verti-

cal

La distancia reducida ser:

)cos(= gr DD

Y el desnivel entre los puntos A y B:

)sen(= gBA Dd

La pendiente de la recta A-B, en tanto por ciento, ser:


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r

BA

D

dp =(%)

Hoy da, con el empleo de estaciones totales, no es necesaria la

aplicacin de estas frmulas, pues estos aparatos las tienen ya almace-

nadas en una memoria interna y son capaces de aplicarlas de forma au-

tomtica y presentarnos todos los resultados, tal y como veremos en

apartados posteriores.

1.6. Superficie agraria

Cuando hablamos de superficies, en lugar de distancias, ocurre lo

mismo que con stas ltimas. Podemos distinguir lasuperficie natural

y lasuperficie agraria(Fig. 5). En topografa slo vamos a trabajar con

distancias reducidas y con superficies agrarias, pues sobre los planos, al

ser una proyeccin ortogonal, no pueden medirse otras magnitudes queno sean stas.

De aqu se deduce que si tenemos dos parcelas de terreno, una de

ellas horizontal y la otra a media ladera, con la misma superficie agraria,

la superficie real o natural de la segunda ser mayor.

La denominacin de superficie agraria resulta clara si pensamosen que cualquier tipo de planta crecer en sentido vertical, y no perpen-

dicular al terreno, con lo cual la superficie efectiva para cultivos nunca

podr ser la natural.


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Fig. 5: Superficie natural (inferior) y agraria (superior).

1.7. Planimetra, Altimetra y Taquimetra. Levanta-

mientos topogrficos

Si recordamos la Fig. 1, vemos que en el sistema acotado, los

puntos vienen determinados por su proyeccin sobre el plano y por sucota. Del mismo modo, todo levantamiento topogrfico puede dividirse

en dos partes, la primera encargada de obtener, por diferentes mtodos,

la proyeccin horizontal sobre un plano. A sta se la denominaplanime-

tra. La segunda parte ser la encargada de obtener las cotas de los pun-

tos anteriores, denominndose altimetra.


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Los distintos mtodos de que disponemos para llevar a cabo es-

tas tareas se llaman mtodos planimtricosy altimtricos respectiva-

mente.

Hasta hace algn tiempo, era frecuente que ambos trabajos se

realizasen por separado, empleando para ello distintos instrumentos. Sin

embargo, mediante aparatos como los taqumetros (nombre que signifi-

ca medicin rpida), era posible realizar las operaciones planimtricas

y altimtricas simultneamente, lo que dio lugar a la taquimetra. Hoyda, las estaciones totales electrnicas todava nos facilitan mucho ms

el trabajo y la taquimetra es el mtodo general para abordar cualquier

levantamiento de cierta importancia.

Por otra parte, el trabajo topogrfico se dividir a su vez en traba-

jo de campo y de gabinete, siendo ambos claramente diferenciados y

necesitando, en muchas ocasiones, a tcnicos especializados en cadauno de ellos para llevar a cabo el trabajo de la mejor manera posible.

Por ltimo, un levantamiento topogrfico es el conjunto de

operaciones necesarias para obtener la representacin de un determina-

do terreno natural. Los levantamientos convencionales suelen llevarse a

cabo mediante topografa clsica o bien mediante la aplicacin de la

fotogrametra. Posteriormente veremos los conceptos relacionados con

ambos.


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1.8. Curvas de nivel

Pueden definirse las curvas de nivel como Isopletas4que, en

un mapa, representan la lnea de interseccin de un determinado

plano horizontal con la superficie del terreno, es decir, son curvas

que unen puntos del terreno con la misma altitud (Fig. 6). Tambin se

denominan isohipsasy, cuando representan el relieve submarino, cur-

vas batimtricas.

Fig. 6: Fundamento de las curvas de nivel

4 Isopleta: En un mapa, es la lnea formada por los puntos de igual valor en una

superficie estadstica continua. Es llamada tambin isolnea. La ms utilizada es la

referida a la altitud del territorio, denominada curva de nivel. Fuente: Enciclopedia

PlanetaDeAgostini.


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Las distancias a las que se siten los planos horizontales son las

que determinan los intervalos verticales entre las curvas, que pueden ser

fijos (equidistancia, caso ms usual) o variables. El nivel cero corres-

ponde al nivel del mar, correspondiendo a ste la lnea de nivel de cota

cero o lnea de costa. La altitud de los otros planos suelen correspon-

der a cifras redondeadas y suelen representarse de una manera jerrqui-

ca, dando lugar a curvas ordinarias(cada 1 m, por ejemplo) ycurvas

maestras, trazadas con un grueso destacado (cada 5 m), llevando indica-

do su valor.

El intervalo o equidistancia entre curvas de nivel sucesivas se

elige en funcin de la escala del plano o mapa y de la naturaleza del te-

rreno, segn las pendientes del mismo. Para realizar una representacin

clara es conveniente que la separacin grfica entre dos curvas consecu-

tivas sea mayor o igual a 1 mm, pudiendo llegar, en casos excepciona-

les, a 0,5 mm. En la tabla siguiente podemos ver algunos ejemplos.

Tabla 1: Relacin entre Escala, pendiente del terreno y separacin de

las curvas de nivel en el plano

Escala del

plano o mapa

Pendiente del

terreno

Equidistancia

elegida (m)

Separacin

curvas en el

terreno (m)

Separacin

curvas en el

plano (mm)

1 / 10.000 1 / 100 1 100 10

1 / 10.000 10 / 100 1 10 1

1 / 10.000 20 / 100 1 5 0,5

1 / 2.000 1 / 100 1 100 50

1 / 2.000 10 / 100 1 10 5

1 / 2.000 20 / 100 0,5 2,5 1,25

1 / 1.000 10 / 100 1 10 10

1 / 1.000 10 / 100 0,5 5 5


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En general, puede aplicarse la siguiente ecuacin:

1000

ES

p

d p =

donde:

d = equidistancia entre curvas de nivel (m)

p = pendiente del terreno (%)

Sp= separacin entre curvas de nivel en el plano (mm). Sp0,5E = denominador de la escala elegida (ej. 1/1.000E=1.000)

A continuacin se muestran un bacos, para facilitar la eleccin

de los distintos valores.

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00

Sp (mm)

0.00

1.00

2.00

3.00

4.005.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

15.00

16.00

17.00

18.00

19.00

20.00

d(m)

p = 1%

p = 10%

p = 20%

p = 30%

p = 40%p = 50 %

Escala 1/10.000

Fig. 7: Relacin entre la separacin de las curvas de nivel en el plano


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(Sp) y la equidistancia (d). Escala 1/10.000 y pendientes entre el 1 y el 50%

La utilizacin del baco anterior es muy sencilla. Conociendo la

escala a la que deseamos representar nuestro plano (en este caso

1/10.000) y las pendientes mximas del terreno, podemos evaluar la

equidistancia (d) teniendo en cuenta la separacin que posteriormente

tendrn las curvas en el plano (Sp). Como ya hemos dicho, esta separa-

cin debe ser, si es posible, mayor que 1 mm. De la misma manera, po-

demos construir bacos para distintas escalas, basndonos en la ecua-

cin anterior.

Por otra parte, con el fin de facilitar la lectura del relieve del

mapa, es frecuente la utilizacin de colores planos (Fig. 8) entre algu-

nos intervalos de curvas de nivel ( tintas hipsomtricas).

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.000.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.0050.00

55.00

60.00

65.00

70.00

75.00

80.00

85.00

90.00

95.00

100.00

Fig. 8: Plano topogrfico con curvas maestras y ordinarias cada 25 y 5 me-


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tros respectivamente. La escala de colores facilita su lectura e interpretacin

Las curvas de nivel cumplen una serie de propiedades (a veces

con excepciones) que, aunque de sobra conocidas, pasamos a repasar:

Dos curvas de nivel nunca pueden cortarse entre s o coincidir,salvo en el caso de acantilados rocosos o cornisas.

Las cotas de curvas sucesivas son crecientes o decrecientesde manera uniforme.

Salvo en depresiones u hoyas del terreno, las curvas de nivel

ms cerradas tienen mayor cota que las contiguas.

El nmero de extremos de curvas de nivel cortados por elmarco del plano o mapa debe ser par, ya que todas las curvas

de nivel deben ser cerradas, siendo muchas veces necesario

considerar un mapa global para apreciar esta propiedad.

El terreno, entre dos curvas, o entre dos puntos de cota cono-cida, se considera con pendiente uniforme.

1.9. Definicin del terreno comprendido entre dos cur-

vas de nivel. Las lneas de quiebro

La superficie comprendida entre dos curvas de nivel consecutivas

se denomina zona. Con la representacin mediante curvas de nivel, las

zonas comprendidas entre stas quedan indefinidas, pues no se muestra

ninguna informacin sobre ellas. Por ello, cuando acometemos un

trabajo topogrfico de cierta entidad, es importante tener claro que el

terreno no slo va a quedar definido mediante las lneas de nivel, sino

que ser necesaria informacin adicional que permita captar los quie-

bros del terreno, los puntos singulares del mismo, etc.


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En general, suele admitirse que una zonaest definida mediante

unasuperficie regladaentre las dos curvas de nivel, tal y como vemos

en la Fig. 9.

Este mtodo, como ya hemos dicho, presenta ciertas carencias y

debe ser complementado. Seguidamente veremos un ejemplo en el que

se muestra cmo la informacin suministrada por las curvas de nivel es

del todo insuficiente para la representacin de un perfil longitudinal.

Fig. 9: Superficie reglada entre dos curvas de nivel


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Si nos fijamos en la Fig. 10 veremos que el perfil longitudinal

obtenido mediante el corte con las lneas de nivel disponibles no se

ajusta a la realidad del terreno: tenemos una zona horizontal en lo que,

presumiblemente, es una vaguada. Est claro que el perfil debera mos-

trar un quiebro brusco en lugar de dicho tramo horizontal.

Fig. 10: Perfil longitudinal en una zona de vaguada obtenido mediante el

corte con las curvas de nivel

Para corregir esta situacin, es necesario definir, de la mejor

manera posible, los quiebros del terreno. De esta manera, llegamos al

concepto de lneas duras, tambin conocidas como lneas de quiebro

o de ruptura, porque precisamente nos informan sobre eso, es decir,


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sobre los cambios bruscos en el relieve. Ejemplos claros de lneas de

quiebro pueden ser las vaguadas, divisorias, etc.

Adems, es muy importante tambin la representacin de las l-

neas de planimetra, es decir, datos importantes del terreno de los cua-

les no nos interesa su cota, sino solamente su ubicacin en planta (co-

mo edificaciones, cerramientos, lmites de parcelas, monumentos, etc.).

Por tanto, y resumiendo lo anteriormente expuesto, un plano topogrfi-

co va a contar con la siguiente informacin:

Lneas de nivel: tienen coordenadas X,Y variables en todossus puntos, mientras que la cota (Z) permanece constante para

cada lnea.

Lneas de quiebro: tienen coordenadas X,Y,Z variables en to-dos sus puntos.

Lneas de planimetra: coordenadas X,Y variables en todossus puntos. No tienen ninguna cota asociada.

Adems, se incorporar otra informacin alfanumrica como r-

tulos(textos, etc.) y smbolos(puntos altimtricos, bases de replanteo,

etc.). Todos estos datos, correctamente estructurados y almacenados,

formarn nuestro modelo del terreno, el cual utilizaremos posterior-mente en el trabajo o proyecto que vayamos a realizar.

Los modernos programas de topografa y modelado digital de te-

rrenos nos permiten la definicin correcta de las lneas de quiebro. Lo

ms conveniente es tomarlas durante el levantamiento en campo, me-

diante la adquisicin de una serie de puntos suficientes para definirlas


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sin error apreciable y con la codificacin necesaria para identificarlas

de manera inequvoca a la hora de representarlas. En las pginas siguien-

tes veremos explicaciones ms detalladas que nos permitirn llevar a

cabo, con xito, estas operaciones.

En la Fig. 11 vemos cmo se ha definido la lnea de vaguada y

cmo se ha actualizado el perfil longitudinal, reflejando el quiebro del

terreno que estbamos buscando.

Fig. 11: Nuevo perfil longitudinal obtenido mediante el corte con las curvas

de nivel y con la lnea de quiebro definida por la vaguada


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1.10. Las formas del terreno y su representacin me-diante curvas de nivel. Superficies topogrficas

La representacin de la superficie natural del terreno mediante

mtodos propios de la topografa, se denominasuperficie topogrfica.

En las superficies topogrficas, representadas mediante curvas de

nivel, podemos distinguir una serie de aspectos importantes que pasa-

mos a describir a continuacin:

Lnea de mxima pendiente: normalmente, si intentamos deter-

minar la direccin de la mxima pendiente desde un punto P del terreno

(Fig. 12), obtendremos la direccin P-Q1, pues esta es la de menor lon-

gitud con respecto a otras posibles como P-A1 o P-B1. Lo mismo ocu-

rre con respecto a la curva inferior, obteniendo la direccin P-Q2. Lossegmentos P-Q1 y P-Q2, salvo excepciones, forman una recta, que lla-

maremos lnea de mxima pendienteque pasa por el punto P.

Fig. 12: Lnea de mxima pendiente


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Divisorias: son lneas que delimitan dos vertientes, es decir, que

las gotas de lluvia cadas sobre ellas, pueden ir por un lugar u otro, si-

guiendo las lneas de mxima pendiente del terreno a ambos lados (Fig.

13).

Fig. 13:Divisoria de aguas

Si nos fijamos en la Fig. 13 vemos que, partiendo del punto P y

en sentido ascendente, existe una lnea de mxima pendiente P-Q. Exis-

ten casos en los que, en sentido descendente, podemos encontrarnos

con dos soluciones para la lnea de mxima pendiente, tal y como vemosen la Fig. 13 (rectas P-Q1 y P-Q2). Esta situacin se da cuando hay dos

laderas que se cortan en el punto P. Todos los puntos cercanos a ste

cumplirn la misma propiedad, y se unirn formando una lnea aproxi-

madamente recta, a la que denominamos divisoria.


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Es importante fijarse tambin en que, si partimos de un punto de

la propia divisoria, sta ser la lnea de mxima pendiente subiendo, pe-

ro lo ser de mnima si bajamos, pues el punto R es el ms alejado de-

ntro del ngulo P-Q1-Q2.

Vaguadas: son zonas de las superficies topogrficas donde se

acumulan las aguas procedentes de la escorrenta superficial (Fig. 14).

De forma anloga, la vaguada ser la lnea de mnima pendiente subiendo

y de mxima si bajamos.

Fig. 14: Vaguada

Una conclusin muy importante se extrae si tenemos en cuenta

que en los puntos Q y R de las Figuras 13 y 14 el radio de curvatura es

mximo, por lo que deducimos que las divisorias y las vaguadas son l-

neas que pasan por los puntos de mayor curvatura de las lneas de nivel,


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lo cual nos facilitar el trazado de las mismas sobre cualquier plano o

mapa topogrfico5.

Collados: son depresiones montaosas suaves, situadas en las di-

visorias, por los que se puede pasar con facilidad. Tambin se denomi-

nanpuertos. En la Fig. 15 quedaran identificados por los puntos C y E,

es decir, los puntos de menor cota dentro de la divisoria (Fig. 16).

Fig. 15: Divisorias, vaguadas, collados y cumbres

5 En ocasiones, es de vital importancia saber trazar correctamente las divisorias,

como ppor ejemplo, en el caso de que necesitemos delimitar una determinada cuen-

ca aportadora y calcular su superficie para poder dimensionar una obra de fbrica.


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Fig. 16: Perfil longitudinal de la divisoria ABCDE

Cumbres: son los puntos ms altos de la divisoria (B y D). Se ca-

racterizan por curvas de nivel cerradas con cotas decrecientes progresi-

vamente (Fig. 15).

Fig. 17: Modelo Digital del Terreno con divisorias y vaguadas


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Simas: son los puntos ms bajos del terreno. Se caracterizan por

curvas de nivel cerradas y cotas progresivamente crecientes.

En la Fig. 17 podemos observar un Modelo Digital del Terreno

(MDT) que tiene marcadas las vaguadas y las divisorias, con el objeto de

facilitar su visualizacin, as como la del resto de formas del terreno

que hemos estado viendo en la Fig. 15. En captulos posteriores vere-

mos cmo puede realizarse un MDT a partir de la informacin de las

curvas de nivel utilizando software especializado para ordenadores per-

sonales.

Existen otros trminos geogrficos que hacen referencia a las

superficies topogrficas y que son de uso comn. Algunos de ellos los

describimos a continuacin6, por su importancia de cara a la interpreta-

cin de mapas.

Abra: abertura que presenta una costa. Baha, ensenada. Acantilado: costa cortada verticalmente, de forma que las su-cesivas curvas de nivel se colocan una sobre otra, confundin-

dose.

Acirate: abancalamiento del terreno que muchas veces sirvecomo linde entre fincas.

Alcarria: terreno elevado y, en general, raso.

Alcor: colina o collado Alcudia: collado, cerro pequeo. Argayo: canchal. Masa de tierras y piedras desprendidas que

se deslizan por la ladera de un monte.

6Pueden encontrarse muchos ms trminos geogrficos con sus definiciones en el

vocabulario del libro Lectura de Mapas (v. bib.).


30/83


30

Badn: zanjas que se forman en el terreno como consecuenciadel paso de las aguas.

Cancho: peasco de notables dimensiones. Caada: espacio existente entre dos montaas cercanas. An-

tiguas vas por las que se conduca al ganado trashumante. Sue-

len denominarse as todos los caminos de ganado.

Carril: camino que solamente permite el paso de un carro.Denominacin muy utilizada popularmente.

Cerro: elevacin del terreno de menor entidad que la montaa.

Cubeta: Depresin en el relieve originada por fallas, plega-mientos, hundimientos tectnicos, etc.

Erial: tierra sin cultivar. Loma: suave, aunque prolongada, elevacin del terreno. Puede

presentarse en series lineales.

Marjal: terreno pantanoso. Mogote: montculo de forma cnica y coronacin ms o me-

nos redondeada.

Montaa: elevacin del terreno de grandes dimensiones. Monte: sinnimo de montaa. Poblado de rboles y matorra-

les.

Muela: Cerro escarpado en lo alto y con cima plana. Nava: terreno situado entre montaas, generalmente bajo y

pantanoso.

Puerto: garganta que permite el paso entre dos montaas.Pueden verse en los puntos C y E de la Fig. 15.

Rambla: es un lecho natural por el que circulan las aguas deescorrenta solamente cuando las lluvias son abundantes.


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Jorge Franco Rey

31

1.11. Trazado de las curvas de nivel

El trazado de curvas de nivel se ha realizado tradicionalmente por

interpolacin entre los puntos topogrficos representados en un plano

acotado. Hace tan solo unos aos, era este un trabajo tedioso que sola

realizarse de forma manual. En la Fig. 18 vemos un plano acotado resul-

tado del levantamiento taquimtrico de un terreno basado en la determi-

nacin de las cotas de los vrtices de una cuadrcula.

14.10 14.80 15.00 16.00 16.20 14.60 14.50 14.00 13.40 12.80

13.00 14.50 14.90 15.50 15.70 14.70 14.50 14.00 13.50 12.70

13.80 14.30 14.60 15.00 15.20 14.60 14.40 13.70 13.50 12.60

13.20 13.70 14.20 14.60 14.70 14.50 14.10 13.70 13.00 12.50

13.20 13.70 14.20 14.60 14.70 14.50 14.10 13.70 13.00 12.50

12.90 13.50 13.80 14.10 14.30 14.40 13.60 13.40 12.50 12.30

12.50 12.90 12.90 13.60 13.70 13.50 13.40 13.10 12.50 12.50

12.40 13.00 13.30 13.50 14.00 13.20 13.10 12.90 13.00 12.50

13.00 13.30 13.70 14.10 14.20 13.70 13.30 12.90 12.90 13.10

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.000.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

Fig. 18: Plano acotado, resultado del levantamiento taquimtrico de un


32/83


32

terreno

Generalmente, se estableca una cuadrcula de cara a facilitar la

introduccin de las coordenadas X e Y, que siempre contaban con in-

crementos del mismo valor. Sobre esta cuadrcula se efectuaba, ma-

nualmente, la interpolacin, uniendo los puntos con igual cota. En la

Fig. 19 vemos el resultado.

14.10 14.80 15.00 16.00 16.20 14.60 14.50 14.00 13.40 12.80

13.00 14.50 14.90 15.50 15.70 14.70 14.50 14.00 13.50 12.70

13.80 14.30 14.60 15.00 15.20 14.60 14.40 13.70 13.50 12.60

13.20 13.70 14.20 14.60 14.70 14.50 14.10 13.70 13.00 12.50

13.20 13.70 14.20 14.60 14.70 14.50 14.10 13.70 13.00 12.50

12.90 13.50 13.80 14.10 14.30 14.40 13.60 13.40 12.50 12.30

12.50 12.90 12.90 13.60 13.70 13.50 13.40 13.10 12.50 12.50

12.40 13.00 13.30 13.50 14.00 13.20 13.10 12.90 13.00 12.50

13.00 13.30 13.70 14.10 14.20 13.70 13.30 12.90 12.90 13.10

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.000.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.000.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

Fig. 19: Trazado de las curvas de nivel del ejemplo anterior. La equi-

distancia es de 0,2 metros


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Jorge Franco Rey

33

En la actualidad, gracias a los ordenadores y a la gran cantidad de

programas existentes, es posible generar un plano topogrfico con cur-

vas de nivel a intervalos predefinidos en muy poco tiempo.

A pesar de esto, no debemos caer en el error generalizado de

creer que el ordenador trabaja slo. Es necesario que controlemos

exactamente lo que deseamos obtener y le suministremos la informa-

cin debidamente ordenada y verificada. En ltimo trmino, siempre

debe prevalecer el buen criterio del tcnico sobre las soluciones, a ve-ces disparatadas, que podemos llegar a obtener con una computadora.

1.12. Influencia de la curvatura terrestre en la topogra-

fa. Lmites en las medidas lineales y superficiales

Ya hemos comentado anteriormente que la Topografa prescindede la esfericidad terrestre en sus aplicaciones. Para poder efectuar esta

simplificacin, debemos tener muy claros cules son los lmites al rea-

lizar las medidas. Por encima de estos lmites se considera que los

errores derivados de la curvatura de la Tierra son inadmisibles y debe-

ramos comenzar a considerar este efecto en nuestros clculos.

La curvatura terrestre influye de manera muy distinta en planime-tra y altimetra, como veremos a continuacin.

1.12.1. Planimetra

Consideraremos los casos de medidas radiales, perimetrales y

superficiales.


34/83


34

1.12.1.1.medidas radiales

Para este caso, podemos estudiar las diferencias entre las longi-tudes de la tangente y la cuerda de un determinado arco de la superficie

terrestre. Estas diferencias van a indicarnos el error cometido en la pro-

yeccin en la situacin considerada.

Supongamos (Fig. 20) un arco AB de crculo mximo de la esfera

terrestre7 y admitamos adems que el levantamiento de la superficie

correspondiente va a realizarse tomando como plano de proyeccin eltangente a su centro C y con direccin de proyeccin la de la vertical en

cada punto (indicada por la plomada), pues esta es la manera de estacio-

nar los aparatos topogrficos.

Fig. 20: Proyeccin de un arco de crculo mximo sobre un plano tangente

7Tomamos como superficie de referencia una esfera, pues como hemos dicho, en

Topografa se reemplaza el elipsoide de referencia por una esfera de radio medio

determinado.


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Jorge Franco Rey

35

En la Fig. 20 podemos ver como los puntos Ay Bde la superfi-

cie terrestre se proyectaran, segn el sistema acotado, en ay b. Si

efectuamos la proyeccin segn la vertical obtendremos los puntos ay

b. De esta manera, estamos cometiendo un error por exceso en las me-

didas radiales, siendo las magnitudes aay bblos errores cometidos,

que resultan de la diferencia entre la tangente (ab) y la cuerda (ab).

Las diferencias entre la tangente, el arco y la cuerda pueden con-

siderarse insignificantes dentro de unos ciertos lmites. Ve moslos:

El error radial ( e ) cometido al proyectar un arco de crculo

mximo terrestre AB sobre un plano tangente puede ser expresado me-

diante la siguiente frmula emprica:

eAB

R

R Km radio de la Tierra= ( )

. ( )

3

2

12

6400

En el grfico de la Fig. 21 puede apreciarse la evolucin de este

error. En abcisas se representan, en kilmetros, las distancias entre los

puntos extremos de un arco de crculo mximo (AB). En ordenadas se

indican los errores, en milmetros, que se cometen al efectuar la pro-

yeccin acotada.


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36

2.5 5.0 7.5 12.5 15.0 17.5 22.5 25.0 27.50.0 10.0 20.0 30.0

Distancias en Km

5.00E-6

1.00E-5

1.50E-5

2.50E-5

3.00E-5

3.50E-5

4.50E-5

5.00E-5

5.50E-5

0.00E+0

2.00E-5

4.00E-5

6.00E-5

Err

orenmm

Fig. 21: Error cometido en la proyeccin acotada de los puntos ex-

tremos de un arco de crculo mximo AB sobre un plano tangente.

La precisinen la medida de distancias se expresa como el co-

ciente entre la magnitud del error y la distancia medida. Por ejemplo, si

medimos una distancia de 100 metros y cometemos un error de 1 cm,

tendremos:

precisione

D

mm

mm= = =

10

10105

4


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Jorge Franco Rey

37

Se considera que mediciones con precisin de 10-6

son de alta

precisin. Con este dato podemos determinar la distancia mxima que

podemos medir en el terreno manteniendo dicha precisin:

precision = 10 6

precisione

D

e

D= = ; 10 6

eD

R

D e

D

D= =

=

=

3

2

3

6

2

6 612 49152 10 491 52 10

1

10, , ;

D Km= =491 52 22 17, ,

Por tanto, segn el grfico de la Fig. 21 estaramos al nivel de al-

ta precisin slo si las longitudes de arco (AB = D) son menores de 22

Km.

As, tenemos que se cumple esta condicin para los vrtices de la

Red Geodsica Nacional de tercer orden (ver captulo 2), que tienen un

espaciamiento comprendido entre 5 y 10 Km. Como veremos ms ade-

lante, la triangulacin de tercer orden considera como planos a los

tringulos determinados por los vrtices, efectuando los clculos co-

rrespondientes con esta premisa. En las triangulaciones de primero y

segundo orden los tringulos se consideran elipsodicos.

Esta conclusin es muy importante, pues nos lleva a que si en-

marcamos el trabajo topogrfico dentro de dicha red de tercer orden,


38/83


38

podemos despreciar la influencia de la esfericidad terrestre en el levan-

tamiento planimtrico.

Si la superficie considerada es de mayores dimensiones y supo-

nemos que estacionamos en los puntos E1, E2 , E3, (Fig. 22) siendo

siempre las distancias ABmenores de los 22 Km. determinados ante-

riormente, lo que hacemos al operar es proyectar el terreno levantado

en cada estacin sobre el respectivo plano tangente (determinado por la

lnea abpara la estacin E1, etc.). As, el arco inicial ECqueda sustitui-

do por la poligonal Eabc. Posteriormente, al representar el plano y des-preciar la esfericidad terrestre haremos algo como girar la lnea bcal-

rededor de bhasta que el punto cpase a ocupar la posicin cen pro-

longacin de ab. Despus giraramos la lnea acalrededor de a hasta

que cpase a la posicin cy ba b; y as sucesivamente. Por tanto, lo

que hemos hecho ha sido sustituir el arco inicial ECpor la lnea en el

plano Ec, tangente en E.

Fig. 22: Influencia de la esfericidad terrestre en planimetra.


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39

Como vimos anteriormente, los errores que hemos cometido son

los derivados de que se ha efectuado la proyeccin radial segn la di-

reccin de la plomada en lugar de cumplir las condiciones del sistema

acotado. Sin embargo, segn las condiciones de precisin establecidas

hemos llegado a la conclusin de que la tangente, el arco y la cuerda

tienen longitudes prcticamente iguales ( y ms teniendo en cuenta que

las distancias EE1, E1E2, siempre van a ser considerablemente me-

nores de este caso extremo de 22 Km). Por lo tanto, puede afirmarse

que el radio Ecdel levantamiento es equivalente al arco ECrectifica-do.

De aqu obtenemos de nuevo una importante conclusin prctica:

cuando se realiza un levantamiento lineal, como una carretera, un ferro-

carril o un canal, no se comete error apreciable al prescindir de la esfe-

ricidad terrestre y, por tanto, los mtodos topogrficos no tienen lmite

en cuanto a la longitud de un posible levantamiento.

1.12.1.2.medidas perimetrales

Cuando se trata de medir el permetro de la zona de estudio no

ocurre exactamente lo mismo que en las medidas radiales.

En el casquete esfrico de polo C(Fig. 23), con base la circunfe-

rencia de radio DB, se representar esta ltima en el plano por una cir-cunferencia de radio Cb(pues es sta la obtenida al estacionar los apa-

ratos en vertical, como ya hemos visto). La proyeccin acotada corres-

pondera a una circunferencia de radio DB=Cb.


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40

Fig. 23: Error perimetral en planimetra


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41

El error relativo perimetral cometido ser el expresado por:

eCb DB

DB

Cb

DB=

= 2 2

21

( ) ( )

( )

Como vimos en el apartado anterior, puede considerarse que la

longitud Cb es equivalente al arco CB, dentro de las condiciones de

precisin establecidas, con lo que la frmula anterior se expresara:

eCB

DB= 1

Llegamos as a la conclusin de que los mtodos exclusivamente

topogrficos slo sern aplicables en medidas perimetrales si la rela-

cin semiarco - semicuerda, correspondiente a la superficie de estu-dio, puede considerarse la unidad, pues el error sera nulo. Por tanto, si

la distancia entre puntos extremos A-Bde arcos de crculo mximo es

mayor de 22 Km., no estaremos cumpliendo los requisitos de precisin

establecidos y ser necesario construir un Mapa Topogrfico fundamen-

tado en la Geodesia.

1.12.1.3.medidas superficiales:En el caso de medidas de superficies tendremos que la superficie

agraria (en proyeccin acotada) del casquete del ejemplo anterior viene

dada por la expresin (DB)2, mientras que la determinada con la topo-grafa ser igual a (Cb)2. El error relativo cometido en la evaluacindel rea de dicha superficie ser:


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42

e

Cb DB

DB

Cb

DB=

=

( ) ( )

( )

2 2

2

2

2 1

Como hemos considerado CbCB, tendremos:

eCB

DB=

2

2 1

En este caso, la limitacin de los planos planimtricos con rela-

cin a la medida de superficies viene determinada por la relacin entre

los cuadrados del semiarco y la semicuerda. Siempre que dicha relacin

pueda considerarse igual a la unidad estaremos dentro de la precisin

requerida.

Como resumen de todo lo expuesto en cuanto a levantamientos

planimtricos, podemos decir que los mtodos topogrficos deben apli-

carse en aquellas superficies limitadas por los vrtices de la red geod-

sica de tercer orden, y que las redes topogrficas subsecuentes deben

incluir siempre los vrtices geodsicos, con el objeto de aprovechar las

correcciones arco-cuerda.

1.12.2. Al timetra

La influencia de la curvatura terrestre en las operaciones altim-

tricas es mucho mayor que en las planimtricas antes descritas. Esto

obliga a la modificacin del sistema de proyeccin acotado general.

Supongamos (Fig. 24) que el punto Aes el central del levanta-

miento. Las cotas de los puntos By Creferidas al plano tangente a este


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Jorge Franco Rey

43

punto sern las distancias Bby Ccrespectivamente, pues son las per-

pendiculares desde dichos puntos al plano de comparacin.

Fig. 24: Influencia de la curvatura terrestre en altimetra

La altitud de un punto cualquiera de la superficie terrestre suele

referirse con respecto al nivel medio del mar. Pero en topografa, cuan-do realizamos una nivelacin geomtrica, basada en visuales horizonta-

les, obtenemos desniveles aparentes, representados por los segmentos

Bb y Cc en la Fig. 24.

Los desniveles verdaderosno pueden determinarse de este mo-


44/83


44

do. Posteriormente veremos que el Geoide es una superficie equipoten-

cial imaginaria, basada en el campo gravitatorio terrestre, que representa

el nivel de los mares en calma prolongado por debajo de los continen-

tes. Las aguas adaptan su equilibrio a esta superficie y no a la del plano

de comparacin. Por lo tanto, ser necesario sustituir este plano por una

superficie de comparacin concntrica al Geoide que pase por el punto

A, central del levantamiento. De esta manera podemos ligar el despla-

zamiento que sufren las aguas a lo largo del planeta con el concepto de

altimetra.

Como hemos dicho, el Geoide est basado en el campo gravitato-

rio terrestre, luego las distancias bajadas a su superficie, o a una con-

cntrica, deben llevar la direccin de la gravedad, es decir, de la vertical,

dirigida siempre hacia el centro de la Tierra. Por lo tanto, los desniveles

verdaderos sern las distancias Bb y Cc (Fig. 24). La diferencia entre

estos y los desniveles aparentes nos indicar el error cometido.

e b b= ' (1)

por otra parte:

b b b b' ' ' ' ' '= + (2)

en el tringulo OAb de la Fig. 24 tenemos:

cos' ' '

' ' 'cos

( )

=+

+ +=

+ +

R h

R h b bb

R hR h ; b

(3)

y en el tringulo Bbb:


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Jorge Franco Rey

45

cos''

' 'cos

= =Bb

Bb

Bb ; Bb

(4)

sustituyendo en (2):

BbBb R h

R h'cos cos

( )= ++

+

(5)

sustituyendo en (1):

eBb R h

R h Bb R h Bb= ++

+ =

+ +cos cos

( )cos

cos( )

e

1

(6)

Llamando Da la distancia de nivelacin, tenemos:

D Ab b b= +' ' ' ' (7)

en el tringulo OAb:

tg( )' '

' ' ( ) tg( ) =+

= + Ab

R hR h A b

(8)

y en el Bbb:

tg( )' '

' ' tg( ) = = b b

Bbb Bb b

(9)

sustituyendo los valores de Ab y bb en (7), tendremos:


46/83


46

D R h Bb R h BbD

= + + + + =tg( ) ( ) ( )tg( )

(10)

y sustituyendo en (6):

eD

=

1 cos( )

cos( ) tg( )

(11)

e D=

tg

2

(12)

Con esta ltima expresin tenemos el error cometido en funcin

de la distancia reducida entre dos puntos de una nivelacin y del ngulo

que forman entre s las verticales que pasan por dichos puntos.

Por ejemplo, tomando la distancia de 22 Km. determinada ante-riormente para el caso de la planimetra, correspondiente a la longitud

de un arco de crculo mximo entre dos puntos A y B, tendramos que el

valor del ngulo sera:

L R ;= = = =L

R ; 0,0034375 radianes 12'

22

6400

Con los valores D=22.000 m. y (/2)=6obtenemos segn (12):

e = 38,397 metros

Este error es inadmisible, y demuestra la mayor influencia de la


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47

curvatura terrestre en las operaciones altimtricas, en las que muchas

veces es necesario afinar hasta el milmetro.

Teniendo en cuenta la correccin arco-cuerda podemos afirmar

que la distancia D es igual a la longitud de un arco de crculo mximo de

radio R=6400 Km y ngulo en el centro . Por tanto:

D R ;D

R

D

R= =

=

=

D

R ;

2 2 2 2tg tg

(13)

sustituyendo en la expresin (12) obtenemos:

e DD

R=

tg2

(14)

Sabiendo que R=6400 metros, podemos representar un grfico

que nos indique el error cometido en funcin de la distancia de nivela-

cin que vayamos a ejecutar (Fig. 25).


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48

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00

Distancia de nivelada (D) en m.

0.50

1.50

2.50

3.50

4.50

5.50

6.50

7.50

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

Errorenmm.

Fig. 25: Error cometido en el clculo de desniveles altimtricos

En el grfico anterior podemos apreciar que si queremos errores

del orden de 1 mm., la mxima distancia nivelada debe ser de unos 110

metros, lo cual pone en evidencia la necesidad de considerar la esferi-

cidad terrestre en altimetra, as como la de modificar el concepto de

proyeccin topogrfica, tal y como se dijo al principio de este apartado.


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Jorge Franco Rey

49

1.12.3. Resumen. La proyeccin topogrfica

De todo lo que se ha expuesto en este apartado deducimos varias

consecuencias:

1.- En Planimetra prescindimos de la esfericidad terrestre. Al

estacionar el aparato en los sucesivos puntos, se proyectan los levanta-

dos desde cada una de las estaciones sobre el respectivo plano tangente

a las mismas. De esta forma, de forma automtica, estamos sustituyendo

la superficie terrestre por otra superficie poliedral circunscrita con tan-

tas caras como estaciones tenga el levantamiento. En el gabinete, estas

caras se giran en torno a las aristas de interseccin formando al final un

nico plano (Fig. 22) en el que estarn aumentados el rea y, sobre todo,

el permetro. Los lmites en los planos que podemos confeccionar con

este mtodo ya los hemos visto. Para mayores extensiones habr que

recurrir a las tcnicas de la Geodesia y de las proyecciones cartogrfi-

cas.

2.- En Altimetra no podemos prescindir de la curvatura de la

Tierra sino solamente en distancias muy pequeas. Adems, suele ser

necesario considerar el efecto de la refraccin atmosfrica. Teniendo

en cuenta estos dos factores calcularemos las cotasreferidas a una su-

perficie de nivel cualquiera concntrica al Geoide o bien las altitudes,

en caso de que las refiramos a la superficie del nivel del mar (cota ce-ro). Las curvas de nivel estarn definidas entonces por las interseccio-

nes de la superficie terrestre con superficies de nivel concntricas al

Geoide.


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50

1.13. Conceptos bsicos para la realizacin de un le-vantamiento topogrfico mediante estacin total

En este apartado se pretende ofrecer una visin general, mediante

un ejemplo prctico, sobre la realizacin de un levantamiento topogrfi-

co mediante la utilizacin de una estacin total y el posterior tratamien-

to informtico de los datos obtenidos.

1.13.1. La estacin total. Generalidades

Se trata de uno de los aparatos topogrficos de mayor difusin en

la actualidad. Su potencia, flexibilidad, precisin, sencillez de manejo y

posibilidades de conexin con ordenadores personales son los principa-

les factores que han contribuido a su gran aceptacin.

Las estaciones totales han venido, desde hace ya varios aos, a

facilitar enormemente la toma de datos en campo, mediante procedi-

mientos automticos. Todo ello ha contribuido a una notable mejora en

las condiciones de trabajo de los topgrafos, as como a un mayor ren-

dimiento en los levantamientos y el replanteo posterior.

Existen muchos modelos de estaciones totales, de distintos fa-

bricantes, con diferentes funcionalidades y, sobre todo, con distinta

precisin y, obviamente, precio.

A la hora de elegir una estacin total debemos tener en cuenta

nuestras necesidades actuales y futuras, as como la rentabilidad que


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52

tros o los teodolitos. La gran diferencia es que ahora se aprovechan ms

las grandes posibilidades que nos brinda la microelectrnica. De esta

manera, la medida indirecta de distancias se convierte en un proceso

sencillo en el que basta pulsar una tecla tras haber hecho puntera sobre

un prisma situado en el punto de destino. Tampoco es necesario efec-

tuar tediosos clculos para determinar las coordenadas cartesianas de

los puntos tomados en campo, sino que, de forma automtica, la esta-

cin nos proporcionar dichas coordenadas.

Para realizar todas estas operaciones, las estaciones totales dis-ponen de programas informticos incorporados en el propio aparato.

Todas las funciones del mismo, as como la informacin calculada, son

visibles a travs de una pantalla digital y un teclado como los que se

muestran en la Fig. 27.

Fig. 27: Pantalla digital y teclado de una estacin total. Fuente:

http://www.sokkia.com

Mediante una estacin total podremos determinar la distancia ho-

rizontal o reducida, la distancia geomtrica, el desnivel, la pendiente en


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ordenadas X,Y,Z (Fig. 29), que en la denominacin americana se deno-

minanEasting(E),Northing(N) y Elevation(Z), respectivamente, pu-

diendo presentarse en el orden (E,N,Z) o (N,E,Z), ambos de frecuente

utilizacin.

Fig. 29: En la pantalla vemos la coordenada N (Northing = Y), E

(Easting = X) y Z (cota), adems de la distancia reducida (S), el ngulo verti-

cal (ZA) y el horizontal (HAR). Fuente: http://www.sokkia.com

Los resultados obtenidos no es necesario transferirlos a la tradi-

cional libreta de campo, pues sta se ha visto sustituida por una libretaelectrnica o colector de datosque se encarga de ir almacenando, de

forma automtica, toda la informacin necesaria. Los colectores de da-

tos pueden ser externos (Fig. 30), o internos (Fig. 31).

Los primeros han sido profusamente utilizados durante mucho

tiempo, pues a sus funciones propias como sistema de almacenamiento

de los datos procedentes de la estacin, se aadan otras prestacionespropias de una calculadora programable avanzada. Estos colectores se

montan sobre el trpode y se conectan a la estacin mediante un cable

especial (Fig. 33). Posteriormente, ya en gabinete, es posible transferir

la informacin desde el colector a un ordenador personal, en el que po-

dremos realizar el tratamiento de los datos mediante software especfi-


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co, del que hablaremos ms adelante.

Fig. 30: Colector de datos de tipo externo. Fuente:

http://www.sokkia.com

Actualmente son ms frecuentes las estaciones que incluyen un

sistema de almacenamiento interno, que podramos asemejar a un pe-

queo disco duro. En realidad se trata de tarjetas de memoria del tipo

PCMCIA (ampliamente utilizadas en ordenadores porttiles). La capaci-

dad de las mismas suele medirse en funcin de los puntos que pueden

almacenar, pudiendo oscilar esta cifra entre 1000 a 5000 puntos, ms

que suficiente para varias jornadas de trabajo. Este sistema evita la ne-

cesidad de otro aparato externo, y permite la conexin directa de la es-

tacin al ordenador.


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Fig. 31: Tarjeta de memoria de tipo PCMCIA, que se utiliza como co-

lector de datos interno. Fuente: http://www.leica.com

Lgicamente, cada vez que se realiza la descarga de datos al PC,

es posible borrar la informacin almacenada en la tarjeta, con lo que de

nuevo estar dispuesta para comenzar el trabajo.

Fig. 32: Estacin total con colector externo situado sobre el trpode.

Fuente: http://www.sokkia.com


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Fig. 34: Estacin total equipada con plomada lser. Fuente: http://www. le i-

ca.com

Cuando se ha conseguido centrar el nivel esfrico, debemos ase-

gurarnos de que la estacin sigue estando en la vertical del punto de es-

tacin. Lo ms normal es que se haya desplazado ligeramente. Para co-

rregir este desplazamiento, aflojaremos el tornillo de fijacin entre el

aparato y el trpode y desplazaremos el primero sobre la plataforma ni-

velante hasta conseguir de nuevo la verticalidad.

El nivel esfrico debe seguir en su posicin, con lo que solamen-

te ser necesario actuar sobre los tornillos de nivelacin (Fig. 26) y

equilibrar el nivel trico.


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resto de puntos representativos de la zona que se va a estudiar.

A la hora de fijar el sistema de referencia, podemos elegir dos

mtodos:

1.13.4.1. Trabajo en coordenadas relativas rectangulares

planas

Asignamos al punto de estacin (primera base de nuestro levan-

tamiento) unas coordenadas arbitrarias (p.ej: 5.000, 5.000), de manera

que, por simplicidad, no obtengamos posteriormente coordenadas nega-

tivas. Al mismo tiempo, orientamos el aparato con respecto a alguna

seal, monumento, hito, etc., permanente del terreno (uno de los bordes

de la torre de una iglesia, casa, etc.). Esta orientacin nos marcar el

origen en la medida de ngulos.

Una vez colocado el aparato con la visual del punto de orienta-

cin, podemos asignar los valores de las coordenadas del punto en el

que estamos, as como el valor del ngulo (normalmente asignaremos el

valor 0gal punto de orientacin, aunque a veces puede interesarnos otro

valor).

Esta asignacin se realiza de manera electrnica, como si se tra-tase de una calculadora avanzada, almacenndose en la memoria interna

de la estacin. La manera de hacerlo es diferente para estaciones de dis-

tintos fabricantes, pero no presenta mayor complicacin que la de leer

detenidamente los manuales de instrucciones del aparato8.

8Es ms que frecuente comenzar a trabajar con un aparato desconocido del que


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A partir de este punto, podemos indicar a nuestro ayudante que se

site con el prisma en cualquier parte, siendo necesario solamente

hacer puntera sobre el prisma y presionar el botn correspondiente

para iniciar la medicin. En muy pocos segundos tendremos el resulta-

do, con las coordenadas rectangulares planas del punto deseado ya cal-

culadas (stas se calculan mediante rutinas internas que parten del valor

medido de los ngulos horizontal y vertical, de la distancia geomtrica,

etc.), las cuales se presentarn en pantalla y, si lo queremos, se almace-

narn automticamente en memoria, para poder ser descargadas al finalde la jornada en nuestro ordenador personal.

No es necesario decir que las diferencias en la metodologa de

trabajo con respecto a otros aparatos ms antiguos son ms que nota-

bles. Ya no es necesario medir manualmente ngulos y tomar lecturas

con los hilos del retculo, para luego en gabinete efectuar una serie de

pesados clculos y determinar las coordenadas cartesianas. La estacinhace todo el trabajo por nosotros, que solamente tenemos que apuntar y

disparar.

Los ltimos modelos de estaciones totales incluyen un sistema

todava ms impresionante: se trata del seguimiento automtico del

nadie sabe el paradero de su manual de instrucciones. La verdad es que con unpoco de habilidad pueden descubrirse algunas funciones, pero en absoluto es reco-

mendable realizar un trabajo de importancia sin antes dominar por completo el apa-

rato que se est utilizando. Por ello, si no resulta posible encontrar el manual, una

buena opcin es consultar las pginas Web que todos los fabricantes importantes de

instrumental topogrfico tienen en Internet. Seguramente en ellas encontremos

informacin adicional, y si no, seguro que podremos solicitar el manual de instruc-

ciones de nuestro aparato.


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y localizacin del vrtice, as como sus coordenadas geogrfi-

cas, altitud, coordenadas UTM y huso correspondiente, con-

vergencia de meridianos y factor de escala11.

11 Pueden verse ejemplos de estos documentos en el captulo de Geodesia, en el

apartado correspondiente a la Red Geodsica Nacional.


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Tras haber elegido los vrtices que nos van a servir como refe-

rencia, estacionaramos el aparato en cada uno de ellos, asignando las

coordenadas X,Y,Z correspondientes (suministradas), y orientando, por

ejemplo, hacia otro vrtice. Posteriormente lanzaramos visual al punto

que constituir la primera base de nuestro trabajo. As, determinaremos

las coordenadas de esta primera base con respecto a las del vrtice esta-

cionado.

Sucesivamente, segn vayamos colocando nuevas bases, ser

conveniente realizar cierres con los vrtices ms cercanos o accesibles,lanzando visual a los mismos y comprobando las coordenadas obtenidas

con la estacin con las suministradas previamente (Fig. 36).

Fig. 36: Levantamiento basado en la Red Geodsica


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En la Fig. 36 se describe el mtodo de operacin para realizar un

levantamiento apoyado en la Red Geodsica:

En primer lugar marcaremos en el terreno el punto desde elcual queremos partir (B1).

A continuacin, estacionaremos el aparato en el vrtice geo-dsico (V) cuyas coordenadas (X,Y,Z) son conocidas, asig-

nndoselas a la estacin.

Hacemos puntera sobre el prisma situado en B1 y asignamosel valor del ngulo horizontal (Hz), pues esta ser siempre la

orientacin elegida. Normalmente, elegiremos que el ngulo

horizontal Hz(V,B1) sea igual a 200g, pues as cuando nos si-

tuemos en la primera base de nuestro trabajo (B1), apuntare-

mos al vrtice (V) y fijaremos a cero el valor de Hz(B1,V).

Una vez orientado el aparato y asignadas las coordenadas delpunto de estacin, podemos iniciar la medicin. En breves se-

gundos aparecern en la pantalla todos los valores deseados.

En concreto, los tres datos imprescindibles son los ngulos

horizontal y vertical, y la distancia geomtrica. Partiendo de

ellos pueden calcularse los dems, incluidas la distancia redu-

cida, el desnivel y las coordenadas rectangulares. La determi-nacin del desnivel es la del existente entre el eje del aparato

y el prisma, no entre los dos puntos del terreno, razn por la

cual ser necesario conocer las alturas del aparato y del pris-

ma. Esto se ilustra en la Fig. 37.


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No debemos pensar que es necesario aplicar esta expresin

para cada uno de los puntos que vayamos tomando. Si nos fi-

jamos, el valor de la altura del aparato permanecer constante

dentro de una misma estacin, y en general, la altura del pris-

ma tambin ser constante12

, salvo en caso de puntos dificul-

tosos en los que puede interesar aumentarla o disminuirla para

lograr la puntera.

Teniendo en cuenta que estas dos magnitudes suelen permane-

cer constantes, podemos introducirlas en la memoria del apa-rato y obtener gran cantidad de puntos por radiacin desde la

misma sin ningn tipo de clculo adicional. Cuando cambie-

mos de estacin bastar con medir de nuevo la altura del

aparato13

y tener constancia de la altura a la que colocamos el

prisma.

Ya tenemos las coordenadas de nuestra primera base (B1) re-feridas a la Red Geodsica, con lo cual cogeremos el aparatoy pasaremos a estacionarnos en dicho punto (B1). El proceso

se repite. En esta ocasin asignaremos a la estacin las coor-

denadas recin calculadas de B1, apuntaremos a V y pondre-

mos a cero el valor del ngulo horizontal. De esta forma, el

aparato est preparado para tomar todos los puntos de relleno

necesarios, calculando sus coordenadas en funcin de las pre-

12

El jaln portaprismas suele ser de aluminio, muy ligero y extensible, con lo cual

puede colocarse a distintas alturas. Incluye una escala graduada que nos permite en

todo momento saber cul es la altura a la que est situado el prisma sobre el terre-

no.13

Las estaciones totales suelen incluir un flexmetro integrado en el chasis que

permite medir la altura del aparato.


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viamente asignadas de B1.

Por tanto, desde B1 haremos una radiacin lanzando visualesal prisma, que se ir situando sucesivamente en puntos del te-

rreno aleatorios, aunque elegidos con destreza, para represen-

tar el terreno con la mayor fidelidad, sin necesidad de exce-

derse en el nmero de puntos tomado. Como regla general

conviene tomar todos los puntos notables del terreno, que en

su mayor parte sern los constituyentes de las lneas de quie-

bro (vaguadas, bordes de caminos, pies de talud, etc.). Adicio-nalmente, tomaremos los puntos de relleno que consideremos

necesarios14

.

Cuando finalicemos el trabajo desde B1, debemos situar unanueva base en el terreno que nos permita continuar el trabajo

desde ella. Para ello, materializaremos sta en el terreno y

lanzaremos visual sobre ella, calculando sus coordenadas

14La toma de puntos no debe realizarse a discrecin sin tomar precauciones. Por

ejemplo, si estamos tomando todos los puntos del borde derecho de un camino, y les

asignamos un cdigo que nos permita saber posteriormente que todos dichos puntos

deben ir unidos por una lnea de quiebro, ahorraremos gran cantidad de tiempo. La

codificacin de los puntos se ha convertido hoy en una poderosa herramienta que,

unida a los ms recientes programas de ordenador con funciones de autocroquiza-

do, permite obtener planos muy aceptables de forma totalmente automtica, enla-zando de forma inteligente los puntos del mismo cdigo, insertando bloques predise-

ados (rboles, etc.) en puntos con cdigos especficos, etc. Las posibilidades son

muy interesantes y merece la pena dedicar un tiempo a investigar el software dis-

ponible y as planificar un mtodo de trabajo lo ms eficiente posible. Uno de los

programas ms interesante de este tipo analizados es Inroads Survey, de la em-

presa Intergraph. Pueden obtenerse copias de evaluacin de este programa en la

direccin de Internet http://www.intergraph.com.


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(Xb2, Yb2).

Recogemos el aparato y estacionamos en B2. Como siempre,lo primero es asignar las coordenadas recin calculadas y

orientar el aparato. Lo primero es inmediato. Para lo segundo,

haremos puntera sobre el prisma situado en B1 y fijaremos el

ngulo horizontal de B2 a B1 [Hz(B2,B1)], cuyo valor ser el

mismo que el de B1 a B2 [Hz(B1,B2)] ms 200 grados cente-

simales. Por tanto:

)2,1(200)1,2( BBHzBBHz g +=

Nuevamente tenemos el aparato orientado, con lo cual pode-mos comenzar a radiar hasta que necesitemos una nueva base.

Y as sucesivamente hasta completar el trabajo.

Como vemos el modo de operar es sencillo, no obstante, no de-

bemos perder de vista los errores que conlleva todo proceso de medida.

Para ir testeando los errores cometidos y, en su caso, efectuar las co-

rrecciones oportunas, debemos ir comprobando la fidelidad de las co-

ordenadas obtenidas cerrando desde cada base con el vrtice inicial o

con otro que est visible. Si desde B2 lanzamos visual a V, deberemos

obtener en pantalla las coordenadas de V. Normalmente siempre habralguna desviacin con respecto a las originales. Teniendo en cuenta las

tolerancias establecidas, sabremos si es necesario efectuar corecciones

o no. Tambin debemos comprobar el cierre angular.


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Se entiende que si el trabajo no est orientado con la Red Geod-

sica la nica variacin del procedimiento expuesto ser el hecho de que

a la base B1 le asignaremos unas coordenadas arbitrarias, de las cuales

se derivarn el resto.

1.13.5. Trabajos de gabinete

Una vez finalizados los trabajos de campo comienza una de las ta-

reas ms interesantes. Se trata del anlisis, interpretacin y tratamiento

de los datos obtenidos para conseguir un buen modelo del terreno obje-

to de estudio.

Cuando digo que se trata de una de las tareas ms interesantes es-

toy pensando en las posibilidades que las nuevas herramientas inform-

ticas nos brindan.

Lejos quedan ya aquellos tiempos en los que era necesario tomar

la libreta de campo y ponerse a calcular coordenadas a partir de los da-

tos de ngulos y distancias, para luego representarlos manualmente en

un plano y dibujar las curvas de nivel interpolando cotas de la mejor ma-

nera posible. Efectivamente, era un trabajo extremadamente tedioso que

consuma bastante tiempo.

Hoy da, todo es ms sencillo y a la vez ms interesante. Cuandolleguemos al despacho con nuestra estacin total no tendremos ms que

extraer el colector de datos y transferir estos a nuestro ordenador per-

sonal. Posteriormente, con el software apropiado abriremos dichos fi-

cheros y, con un poco de experiencia, no ser necesario mucho tiempo

para tener en pantalla un modelo digital del terreno que podremos visua-


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lizar al modo tradicional (con curvas de nivel) o bien elegir la represen-

tacin tridimensional basada en tringulos o en malla cuadriculada.

Posteriormente efectuaremos la revisin (siempre necesaria), el

dibujo de detalles, y la confeccin de los planos finales. Pero todo ello

lo haremos con un sistema de diseo asistido por ordenador (CAD) que

nos facilitar enormemente la tarea (aunque requerir un tiempo consi-

derable de aprendizaje previo, pues se trata de programas muy elabora-

dos y complejos con infinidad de funciones) y nos har pasar un rato

muy agradable delante del ordenador, convirtiendo lo que antes era untrabajo arduo en una gratificante experiencia, al comprobar cmo el tra-

bajo realizado en campo se materializa en gabinete con rapidez y efecti-

vidad15

.

A continuacin se muestran una serie de imgenes que describen

el proceso de trabajo en gabinete.

15En estos momentos, son dos las aplicaciones de CAD ms extendidas en el uni-

verso informtico. Por un lado est el tan conocido AutoCAD, y por otro su compe-

tencia directa, MicroStation. Existen programas especializados para los fines que

estamos tratando que se integran con ambos programas, permitiendo realizar todo eltrabajo sin necesidad de pasar por varias aplicaciones distintas. Entre stas pode-

mos mencionar SiteWorks, originalmente diseada para MicroStation pero ya dis-

ponible tambin para AutoCAD y TerraModeler, para MicroStation. La primera es

de Intergraph y puede obtenerse copia de evaluacin en las pginas que esta multi-

nacional tiene en Internet (http://www.intergraph.com). La segunda puede adquirir-

se a travs de Bentley Systems Ibrica, junto al programa MicroStation completo,

en versin educativa, al precio de 13.000 ptas.


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re generar el modelo digital del terreno

Fig. 39: La fase de triangulacin es previa a la generacin de curvas de ni-

vel. Los tringulos constituyen un MDT en s mismos, pues todos sus vrtices

tienen coordenadas X,Y,Z, e interiormente las coordenadas estn interpola-


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Fig. 41: Representacin del modelo digital del terreno mediante curvas de

nivel


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Una vez que se ha generado y revisado el modelo digital del te-

rreno, tenemos a nuestra disposicin una base de datos con la que po-

demos efectuar todos los clculos necesarios aparte de las lgicas re-

presentaciones que hemos visto. Por ejemplo, es posible dibujar perfi-

les longitudinales, secciones trasnversales, calcular movimientos de

tierra, proyectar plataformas, obras lineales, etc. Todo tendr como base

el MDT generado previamente, razn por la cual se le ha concedido tan-

ta importancia, pues ya se ve que es la base de multitud de proyectos y

trabajos relacionados con la ingeniera.

1.13.6. Ejemplo de apli cacin

Supongamos que sobre el terreno que acabamos de modelizar

queremos proyectar una urbanizacin como la que se ve en la Fig. 43.

Supongamos tambin que hemos diseado ya los perfiles longitudinales

de las distintas calles, adptandonos lo mejor posible a la superficie del

terreno existente (Fig. 44), como el terreno original es accidentado,

queremos efectuar un movimiento de tierras para suavizarlo, de forma

que el modelo del terreno final est basado en los puntos definitorios

de los bordes izquierdo y derecho de cada una de las calles, con la cota

resultante del perfil longitudinal respectivo.

Para modelizar el terreno final tendremos que partir de una nueva

nube de puntos, que obtendremos escogiendo una serie de puntos repre-sentativos en cada borde de las calles y determinando sus cotas respec-

tivas acudiendo al perfil longitudinal (Fig. 44) diseado.

Una vez que tengamos esta nube de puntos, es sencillo generar el

nuevo MDT, que puede coexistir en la memoria de nuestro programa


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junto con el anterior16

, y lo que es ms importante, pueden realizarse

clculos entre los dos MDT (o entre ms si fuera necesario).

Una vez que tenemos almacenados los dos modelos del terreno,

ya es posible calcular el movimiento de tierras comprendido entre am-

bas superficies.

Si tuviramos que efectuar este trabajo por mtodos tradiciona-

les, lo ms lgico sera colocar una serie de secciones transversales

uniformemente espaciadas y en cada una de ellas, dibujar los dos terre-nos (Fig. 42).

Fig. 42: Seccin transversal con los dos MDT

16 No todas las aplicaciones de software permiten manejar ms de un MDT al

mismo tiempo, siendo esta una caracterstica de aplicaciones avanzadas del tipo

SiteWorks o TerraModeler, a las que se las suele denominar multisuperficie, ya que

permiten gestionar hasta 10 MDT diferentes (caso de TerraModeler) y un nmero

ilimitado (caso de SiteWorks). Es extremadamente importante esta caracterstica,

pues nos permitir acometer trabajos de cualquier nivel de complejidad.


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Posteriormente mediramos las superficies de cada seccin

transversal y aplicaramos las ya conocidas frmulas para determinar los

correspondientes volmenes. No puede negarse que se tratara de un

trabajo extremadamente engorroso.

El mtodo de clculo que utilizan las aplicaciones de que habla-

mos va todava ms lejos y, aparte de una mayor rapidez, tambin obten-

dremos mayor precisin. Si antes nos basbamos en una serie de sec-

ciones transversales con un intervalo de 10 20 metros entre ellas (pa-

ra no eternizar la fase de dibujo y medicin de reas), ahora el programaparte de una matriz de puntos o malla con un espaciamiento elegido por

el usuario. En cada uno de estos puntos la aplicacin calcula el desnivel

entre una y otra superficie. El volumen final se determina en funcin de

los resultados en todos los puntos de la malla. No cabe duda de que a

mayor densidad de malla, mayor ser tambin la precisin del clculo.

Esto resulta tan interesante que es posible, en el caso prcticoque presentamos, establecer el paso de malla en 0,5 metros y obtener el

resultado final (Fig. 45) en poco ms de 20 segundos17

.

17 Estos resultados han sido obtenidos en un ordenador PC convencional con un

procesador Pentium MMX a 200 MHz, es decir, un equipo que hoy pertenece a la

gama baja, teniendo en cuenta que ya circulan por el mercado modelos equipados

con procesadores Pentium II a 450 MHz a precios ms que razonables.


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Fig. 43: Planta de la urbanizacin proyectada


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Fig. 45: Medicin del movimiento de tierras con el programa SiteWorks, bajo

MicroStation

Para finalizar este captulo, es necesario indicar que el modelado

digital de terrenos no es una tarea trivial. Por mucho que los actuales

ordenadores simplifiquen los clculos y los trabajos reiterativos, esnecesario actuar con cautela y, en todo caso, con un conocimiento exac-

to de lo que estamos haciendo. Debemos recordar y tener siempre pre-

sente que el ordenador no piensa por s mismo (al menos por el mo-

mento), as que tendremos que suministrarle la informacin de una de-

terminada manera que pueda entender. El conseguir esto necesita un

cierto entrenamiento y un perodo de aprendizaje que puede variar entre

cada persona, pero que en todo caso deber ser medianamente razona-ble. En caso contrario, es muy posible que obtengamos resultados no

deseados que nos ocasionen grandes problemas y quebraderos de cabe-

za. En este sentido, no ser de extraar que en las primeras ocasiones

tardemos ms tiempo en completar un trabajo utilizando el PC que rea-

lizndolo por mtodos convencionales. Esto es normal y no debe cau-

sarnos desazn, pues con un poco de paciencia y buena voluntad, ense-


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guida comenzaremos a ver los resultados, y en poco tiempo el ordena-

dor ser nuestro compaero de trabajo inseparable, eso es seguro.

Nociones de Topografia - Jorge Franco Rey

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