“Nos sincronizamos,¿oqué onda?” - acmor.org.mx metrónomos 2013.pdf · 2 Podemos definir la...
Transcript of “Nos sincronizamos,¿oqué onda?” - acmor.org.mx metrónomos 2013.pdf · 2 Podemos definir la...
30 de mayo del 2013
“Nos sincronizamos, ¿o qué onda?”
Manuel Cortés Barrios, Axel Jonathan Esquivias Gómez, Nicole Frangie Aldave, Daniela Gómez Gamper Salazar,
Lenin Eduardo Vázquez Toledo
Colegio Marymount
Resumen
La sincronización es un fenómeno que se presenta en sistemas de entes con
características similares, gracias a la transferencia de energía entre ellos. Dicho
fenómeno también se presentar en sistemas con un proceso oscilatorio como el ajuste
en las escalas de tiempo de sus oscilaciones. Para este proyecto, realizamos un modelo
físico con dos metrónomos (aparato usado en música para marcar el tiempo de un
obra, que funciona con un péndulo) puestos a frecuencias dadas por tiempo de 5
minutos cada ronda, con 4 repeticiones y con diferencias de frecuencia diferentes.
Describimos el comportamiento de dicho experimento con una curva exponencial
decreciente que mejor se ajustaba a las observaciones obtenidas. Medimos el tiempo
que permanecían sincronizados midiendo los lapsos en que el retraso de cada golpe de
metrónomo era menor a 0.1 segundos con el editor de audio Audacity. Concluimos que
conforme la diferencia de frecuencia entre los dos metrónomos aumenta, el tiempo
que se mantienen sincronizados se reduce, y que los golpes dados por cada
metrónomo presentaban un comportamiento en el que el retraso de cada golpe se
hacía menor mientras se sincronizaban; sin embargo, nunca llegaba a ser cero.
Introducción
La sincronización es un fenómeno natural que se presenta en diversos ámbitos en formas variadas:
cuando dos corazones de dos cuerpos laten al mismo tiempo; cuando las luciérnagas durante la noche emiten
su luz al mismo tiempo (1); después de un concierto, durante los aplausos, cuando el público adopta
colectivamente un ritmo (2); o cuando las chicharras emiten sonidos que parecen convertirse en uno solo,
como si fuese emitido por un solo bicho; o en las hembras de ciertos mamíferos, como las humanas, las cuales
por la interacción constante entre ellas y por mecanismo en sus procesos de reproducción, sus ciclos
menstruales se sincronizan (3). Este fenómeno no ocurre por causas mágicas, ni por interacción de un tercer
ente, ni por azar, ni porque los sujetos de la naturaleza se proponen entre sí “Nos sincronizamos, ¿o qué
onda?”
2
Podemos definir la sincronización como un ajuste en las escalas de tiempo de sus oscilaciones debido a
la interacción entre los componentes del sistema en un proceso oscilatorio (4). Es decir, que por interactuar en
un mismo sistema, se pueden ajustar los tiempos en los procesos que efectúan aquellos elementos que
componen al sistema. Este fenómeno también ha sido registrado en el acoplamiento rítmico en metrónomos
(5). Un metrónomo es “un aparato cuyo mecanismo de relojería, indica el grado de velocidad de la ejecución
musical, por medio del movimiento oscilatorio y regulado de un péndulo, graduado de acuerdo a una tabla
numérica grabada detrás” (6). Es una máquina que suena cada vez que pasa por el centro, en una frecuencia
dada, determinada por la posición en el péndulo del apéndice (pequeña masa ubicada en el péndulo) (7). Es
usado comúnmente con propósitos musicales para marcar el tiempo en la interpretación de una obra. El
mecanismo de escape en estos aparatos permite proporcionar energía de forma constante al aparato para
mantener su ritmo, lo que lo hace entrar en la categoría de “osciladores autopropulsados” (osciladores
proporcionados de energía constante para continuar su ciclo). La sincronización entre dos osciladores, como
en los péndulos que componen a los metrónomos, es posible gracias al paso de energía entre ellos y sus
mecanismos de autopropulsión que mantienen la energía constante en sus sistemas (8). Este acoplamiento
sucede aunque estén fuera de fase, o sea, cuando no comienzan su ciclo en el mismo momento.
Antecedentes
La investigación sobre la sincronización de dos osciladores acoplados idénticos comenzó en el siglo XVII
con el físico holandés Christiaan Huygens (9), quien nació en el año de 1629 y fue inventor del reloj de
péndulo, así como de su sistema de escape, que permitía el control del ritmo en su movimiento, fundamental
para el funcionamiento del reloj (10). Gracias a sus estudios en dinámica, determinó que la relación entre la
frecuencia de un péndulo simple (péndulo con un movimiento entre solo dos puntos), donde T es periodo, y g
es gravedad, es (11):
𝑇 = 2𝜋 ∗ 1𝑔
Dentro de sus observaciones constató que si las agujas de sus relojes tenían la misma frecuencia, estos
llegaban a sincronizarse. Huygens ilustró este fenómeno al suspender dos relojes mecánicos sobre un soporte
que a su vez se sostenía sobre dos sillas (12).
El invento del metrónomo se atribuye al inventor de origen alemán Johann Mäzel en 1812. El resultado
de su estudio estaba basado en investigaciones previas acerca de aparatos parecidos al metrónomo (13). El
más famoso de estos casos, es el del inventor Dietrich Nikolaus Winkel, quien fuera el inventor legítimo del
metrónomo, lo que sugiere que Mäzel lo copió antes de que Winkel lo publicara (13). Mäzel lo que hizo fue
3
juntar todos los conocimientos de proyectos anteriores y darlos a conocer bajo un solo nombre, el
metrónomo (13); el metrónomo es similar a los relojes de péndulo, debido a que estos funcionan con
movimientos como los observados por Huygens (13).
Hipótesis
El tiempo que tardan sincronizados dos metrónomos decrece exponencialmente conforme la
diferencia de frecuencia entre los dos metrónomos es mayor
El retraso de sonido entre los metrónomos conforme estos se sincronizan decrece exponencialmente
con un comportamiento asintótico que tiende a 0.
Objetivos
Construir un modelo físico para ilustrar el fenómeno de sincronización en osciladores autopropulsados
usando metrónomos.
Determinar el modelo matemático del tiempo que tarda la sincronización entre los metrónomos,
respecto a la diferencia de frecuencia.
Metodología
El experimento que decidimos hacer consistió en ver qué tan diferentes podían ser los componentes de
un sistema antes de que dejaran de mostrar un comportamiento sincronizado, o que no les permitiera tenerlo
o mantenerlo. Nuestro sistema fueron dos metrónomos suspendidos en una tabla y la manera de hacerlos
diferentes uno del otro, con una cualidad que nosotros podíamos controlar, fue la frecuencia a la que
golpeaban los metrónomos. Usamos dos metrónomos mecánicos de la marca Joyo, una tabla de madera y dos
latas de refresco de 600 ml.
Lo primero que hicimos fue definir qué base íbamos a usar para nuestro experimento; nos decidimos
por una tabla de madera de un ancho de ½ pulgada con un largo de 70 cm y un ancho de 33 cm. Después
colocamos dos latas de refresco debajo de la tabla para poder crear nuestra base. Colocamos cada lata a una
distancia equidistante del centro de aproximadamente 5.5cm. Finalmente con la base colocamos cada
metrónomo a una distancia de 17.5 del extremo de la tabla (Fig. 1).
4
Después, ajustamos
los dos metrónomos a una
frecuencia de 178 golpes por
minuto. Luego fuimos
ajustando la frecuencia de
uno de los dos metrónomos
para que se generara una
diferencia de frecuencias, es
decir, que si el primer
metrónomo se encontraba a
178 golpes por minuto, el
segundo le subiríamos la
frecuencia dos golpes por minuto para que quedara en 180 golpes por minuto. Por lo tanto la probamos con
diferencias de 0, 2, 4, 6 y 8 golpes por minuto. Cambiamos la frecuencia del segundo metrónomo 5 veces, dos
golpes por minuto cada vez, esto hacia que la diferencia de frecuencia se fuera haciendo más amplia. Cada
experimento con las diferentes frecuencias se llevó a cabo cuatro veces. Cada prueba duraba 5 minutos.
Podemos observar (Anexo 1) una de las cuatro grabaciones, donde no hay diferencia de frecuencia entre los
dos metrónomos. Para poder recabar neustra información utilizamos un formato que nos preguntaba el tiempo en que
estaban sincronizados y el tiempo en que no (Anexo 2).
ara poder analizar nuestros experimentos teníamos que grabar el audio de cada una de la pruebas para
poder analizarlas posteriormente. Grabamos las pruebas con una computadora y utilizamos el programa
editor de audio Audacity (14), para poder escuchar las pruebas y tener una representación visual del sonido.
Nos repartimos las grabaciones entre los integrantes del equipo y cada uno analizó una parte de las
grabaciones obtenidos de los 5 experimentos anteriormente realizados, hay que recordar que en cada
experimento fueron 4 pruebas y cada prueba fue el sonido de ambos metrónomos a distintas frecuencias
funcionando. Lo que tratamos de definir con cada prueba era cuanto tiempo estaban sincronizados los
metrónomos durante 5 minutos. Para poder empezar a escuchar las grabaciones, primero teníamos que
definir un tiempo de retraso entre los metrónomos. Esto lo decidimos ya que el retraso de tiempo nunca es 0,
y esto fue un punto importante ya que al introducir nuestras grabaciones al programa de computadora y ver el
sonido en forma de onda, nos dimos cuenta que efectivamente nunca es 0. El tiempo de retraso por el que
optamos para poder trabajar y definir en qué punto estaba sincronizado, fue de 0.1 segundos (Fig. 2), ese
Figura 1. Medidas del soporte del experimento.
5
tiempo lo definimos al ver que el sonido en forma de olas ya parecían prácticamente juntos antes de ese
tiempo. En la Figura 2 podemos ver lo que veíamos nosotros al medir los lapsos que se mantenían
sincronizados. Habíamos muchas posibles maneras de medirlo, pero optamos por seleccionar el lapso de
tiempo sincronizado, veíamos el cuánto duraba, y al final sumamos todo para saber el tiempo total
sincronizado. Podemos observar (Anexo 1) una de las 4 grabaciones, donde no hay diferencia de frecuencia
entre los dos metrónomos.
Una vez que todos los integrantes del equipo terminaron de analizar sus datos, todos hicimos una tabla
donde se indicaba, por cada prueba, cuánto tiempo (en segundos) el retraso de tiempo era menor a 0.1
segundos, o bien, se encontraba sincronizado. Para ejemplificar (usar Anexo 2), el segundo intento con la
diferencia de 4 golpes por minuto entre los metrónomos vertió que el tiempo que se mantuvieron
sincronizados los metrónomos fue de 1 minuto con 37 segundos. Puede consultarse la Figura 3 para comparar
los resultados y observar las diferencias que hubo entre cada uno de los intentos en cada una de las
diferencias de frecuencia.
Se obtuvo una media del tiempo que estuvo sincronizado de cada experimento. También se encontró
su desviación estándar, que fueron 54.8 seg, 19.08 seg, 13.9 seg, 22.6 seg y 6.6 seg en las diferencias de 0, 2,
4, 6 y 8 respectivamente. Ya con los datos (en promedio y dados en segundo) pudimos procesar los datos en el
programa de Excel ajustar una ecuación con los datos. Excel aproxima una ecuación con los datos que le
viertes, y en este caso, pusimos la media de cada una de las cinco rondas.
Figura 2. El sonido generado por los metrónomos visto en el programa Audacity.
6
Resultados
Los resultados finales se ilustran en la Figura 3. Podemos observar que el tiempo en que están
sincronizados los metrónomos decrece conforme fue mayor la diferencia de frecuencia entre los metrónomos.
El modelo matemático que representa el comportamiento de los metrónomos está dado por la ecuación:
𝑦 = 196.31𝑒 .
Podemos observar que existe un comportamiento asintótico de una curva exponencial decreciente
que se ajusta a los resultados que obtuvimos. Es la aproximación más cercana con la que describimos el
comportamiento que tiene al variar
las características de los
metrónomos, que eran lo que
conformaban el sistema con el que
trabajábamos. Aunque en algunos
puntos era muy grande la diferencia
que había entre el tiempo que
tardan sincronizados uno y otro
metrónomo como en la parte en la
que la frecuencia no es diferentes,
de todas formas el comportamiento
es modelable, y presentó un
comportamiento que pudo
describirse con la ecuación que
obtuvimos. En la gráfica cada tipo
de marca representa el
experimento 1, 2, 3, o 4 de cada ronda, y las marcas de cruz azul son las medias a las que se ajustó la recta.
Agregamos los números 1, 3, 5, 7 y 9 para comodidad del lector, sin embargo no tienen significado en el
experimento, porque no utilizamos esas frecuencias para medir
Conclusiones
El tiempo que se mantienen sincronizados decrece exponencialmente conforme la diferencia entre los
metrónomos es mayor. Dicho comportamiento puede representarse con un modelo matemático. La
Figura 3. Grafica de los resultados de tiempo de sincronización.
7
sincronización se presenta en el retraso de los golpes de los metrónomos como un comportamiento asintótico
que efectivamente tiende a 0.
La importancia de nuestro experimento nos presenta la posibilidad de comprender otros fenómenos
similares en la naturaleza y muestra que sí es posible modelar matemáticamente comportamientos naturales
y que responden a comportamientos predecibles.
Bibliografía
(1). CASE, J. F. & HANSON, F. E. (2004) The Luminous World of John and Elisabeth Buck. Integr. Com.
Biol. 44: 197-202; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://icb.oxfordjournals.org/content/44/3/197.full
(2). NÉDA, Z., RAVASZ, E., VICSEK, T., BRECHET, Y., & BARABÁSI, A. L. (2000) Focus: Applause Physics
Phys. Rev. Focus 5, 27; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://physics.aps.org/story/v5/st27
(3). United States Department of Agriculture, National Institute of Food and Agriculture (2009)
Synchronization of Reproductive Cycles; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://www.csrees.usda.gov/nea/animals/in_focus/reproduction_if_synchronization.html
(4). BALANOV, A., JANSON, N., POSTNOV, D., & SOSNOVTSEVA, O. (2009) Syncronization. Springer
Berlin Heidelberg, pp. 9-19; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-72128-4_2
(5). PANTALEONE, J. (2002) Syncronization of metronomes; Department of Physics University of
Alaska; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en http://salt.uaa.alaska.edu/dept/metro.pdf
(6). GARCÍA, F. (1964) Teoría de la Música. Editorial Framong, México; pp. 121-122.
(7). GRIMES, G. (2013) How Metronomes Work; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://electronics.howstuffworks.com/gadgets/audio-music/metronome.htm
(8). New York University (2013) Coupled Pendulums; Physics Department New York University;
Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://physics.nyu.edu/~physlab/Misc_Labs/Coupled_Pendulums.pdf
(9). TITHOF, J. (2011) The Time to Synchronization for N Coupled Metronomes, School of Physics,
Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia 30332, USA; Consultado en el 28 de febrero del 2013
en http://nldlab.gatech.edu/w/images/8/8d/Tithof_Metronomes.pdf
(10). Science Museum (2013) Huygen’s Clock. Science Museum; Consultado en el 28 de febrero del
2013 en http://www.sciencemuseum.org.uk/onlinestuff/stories/huygens_clocks.aspx?page=2
8
(11). TIPPENS, P. E. (2011) Física Conceptos y Aplicaciones; Editorial Mc Graw Hill, México; pp. 2019
(12). WARD, T. O. (2006) Design and experimental results of synchronizing metronomes, inspired by
Christiaan Huygens; Consultado en el 28 de febrero del 2013 en
http://alexandria.tue.nl/repository/books/626694.pdf
(13). PÉREZ, J. (2012) El metrónomo: Origen y evolución. Sinfonía Virtual; Consultado en el 28 de
febrero del 2013 en http://www.sinfoniavirtual.com/revista/022/metronomo_origen_evolucion.php
(14). AUDACITY (2013) Acerca de Audacity; Consultado en el 6 de marzo del 2013 en
http://audacity.sourceforge.net/about/
11
Anexo 2 (Mediciones de las grabaciones de los experimentos)
Frecuencia: 168-168 bpm Grabación: 1 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total:3:30 Tiempo no sincronizados total: 1:30
Frecuencia: 168-168 bpm Grabación: 2 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total: 4:42 Tiempo no sincronizados total: 00:18
Frecuencia: 168-168 bpm Grabación: 3 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total: 3:08 Tiempo no sincronizados total: 1:52
Frecuencia: 168-168 bmp Grabación: 4 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total:2:32 Tiempo no sincronizados total: 2:28
Frecuencia: 168-170 Grabación: 2 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 2:23 Tiempo no sincronizados total: 2:37
Frecuencia: 168-170 Grabación: 3 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 2:45 Tiempo no sincronizados total: 2:15
Frecuencia: 168-170 Grabación: 4 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 2:02 Tiempo no sincronizados total: 2:58
Frecuencia: 168-172 bpm Grabación: 1 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total: 1:35 Tiempo no sincronizados total: 3:25
Frecuencia: 168-172 bpm Grabación: 2 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total: 1:37 Tiempo no sincronizados total: 3:23
Frecuencia: 168-170 Grabación: 1 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 2:05 Tiempo no sincronizados total: 2:55
12
Frecuencia: 168-172 bpm Grabación: 3 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total: 1:56 Tiempo no sincronizados total: 3:04
Frecuencia: 168-172 bpm Grabación: 4 Tiempo total: 5 min
Tiempo sincronizados total: 2:04 Tiempo no sincronizados total: 2:56
Frecuencia: 168-174 Grabación: 1 Tiempo total: 5 minutos
Tiempo sincronizados total: 1:01 Tiempo no sincronizados total: 3:56
Frecuencia: 168-174 Grabación: 2 Tiempo total: 5 minutos
Tiempo sincronizados total: 1:17 Tiempo no sincronizados total: 3:33
Frecuencia: 168-174 Grabación: 3 Tiempo total: 5 minutos
Tiempo sincronizados total: 1:23 Tiempo no sincronizados total: 3:37
Frecuencia: 168-174 Grabación: 4 Tiempo total: 5 minutos
Tiempo sincronizados total: 1:55 Tiempo no sincronizados total: 3:05
Frecuencia: 168-176 Grabación: 2 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 1:23 Tiempo no sincronizados total: 4.37
Frecuencia: 168-176 Grabación: 3 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 1.12 Tiempo no sincronizados total: 3:48
Frecuencia: 168-176 Grabación: 4 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 1:03 Tiempo no sincronizados total: 3:57
Frecuencia: 168-176 Grabación: 1 Tiempo total: 5min
Tiempo sincronizados total: 1.19 Tiempo no sincronizados total: 3.41