oscilaciones amortiguadas

5/25/2018 oscilaciones amortiguadas

1/145

Osc. Ondas y Termodinmica

OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINMICA

MDULO ! OSCILACIONES

"i#$ras cedidas en %ar&e %or '.(. "reeman)'or&*, +$e %er&enecena i-ro "/sica, 0a. Ed.1, 2.A. Ti%er, Ed. Re3er&4


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Mdulo 1: Oscilaciones

Leccin 1. Movimiento Armnico Simple

(MAS o MHS)

. Cinem&ica de MAS..5 "$er6a es&ica. Dinmica de MAS..7 E8em%os de MAS.

9masa:m$ee, %4nd$os,sis&emas de m$ees, ...;

.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo

de ener#/a %o&encia..= M4&odo de a conser3aci>n de E.

Leccin 2. Oscilaciones amortiguadas

5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones

amor&i#$adas. "ac&or de caidad.5.< Amor&i#$amien&o cr/&ico y

so-reamor&i#$amien&o.

Leccin 3. Movimiento Armnico or!ado

7. Osciaciones ?or6adas. Ec. di?erencia.7.5 So$ci>n de a ec$aci>n di?erencia.

Es&ados &ransi&orio y es&acionario. 7.7 E8em%o! m+$inas #ira&orias.

7.0 Resonancia en am%i&$d y ener#/a. Im%edancia de osciador.

7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$ra

de a resonancia.

Leccin ". Superposicin de varios MAS

0. 2rinci%io de s$%er%osici>n.

Re%resen&aci>n ?asoria.0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.

0.7 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.

0.0 S$%er%osici>n de dos MAS dedirecciones %er%endic$ares.


3/145




(MAS o MHS)



.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo de ener#/a %o&encia.

.= M4&odo de a conser3aci>n de E.









7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$rade a resonancia.


0. 2rinci%io de s$%er%osici>n.

Re%resen&aci>n ?asoria.0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.




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Ocurre cuando sobre un oscilador acta una fuerza peridicaMuchas veces interesa forzar la oscilacin (sino se detendra)

Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado.


5/145



Leccin 3: Movimiento armnico #or!ado


6/145





7/145Osc. Ondas y Termodinmica







*&&%!))@@@.sc.e*$.es)s-@e-)?isica)
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/





*&&%!))@@@.yo$&$-e.com)@a&c*3B&+#3CNE

*&&%!))@@@.sc.e*$.es)s-@e-)?isica)
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0Ehttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E





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http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0Ehttp://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzUhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzUhttp://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E



3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.

Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; unafuerza elstica, unrozamiento viscosoy unafuerza oscilante:





Fel= k x





Fr= b v

Fel= k x

v





Fr= b v

Fel= k x

Fosc= FE cos t

v





Fr= b v

Fel= k x

Fosc= FE cos t

v

HEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente





Fr= b v

Fel= k xLa 2daley de Newton queda:

F= k xb x FE cos t = m x

Fosc= FE cos tHEs una expresin sencillaHSe puede generar fcilmente

v





Fr= b v



x b

m x

k

m x=

FE

m cos t

$c. di#erencial de lasoscilaciones #or!adas


v





Fr= b v



x b

m x

k

m x=

FE

m cos t

x 5

x

E

5x=

FE

m cos t

Donde: = b/2m es elparmetro de amortig.

!

2=k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante



v





Fr= b v



x b

m x

k

m x=

FE

m cos t

x 5

x

E

5x=

FE

m cos t

Es una ecuacin diferencialdesegundo orden" lineal"a coeficientes constantes#no homognea

Donde: = b/2m es elparmetro de amortig.

!

2=k/m es la frecuencia angular natural

del oscilador al cuadrado : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante



v



Busquemos la solucin de la Ec. diferencial:

3.2 Solucin de la ecuacin diferencial

x 5 x E5

x=F

E

m cos t




De la teora de ecuaciones diferenciales sabemos:


x 5 x E5

x=F

E

m cos t

Solucin de la

ec diferencial$omog%nea

Solucin particular

de la ec diferencialno $omogenea

Solucin general

de la ec diferencialno $omog%nea % &






x 5 x E5

x=F

E

m cos t

x 5 x E5

x= E

Solucin de la


Solucin particular


Solucin general







x 5 x E5

x=

FE

m cos t

x 5 x E5

x= E

x t=& e t

cos

t

Solucin de la


Solucin particular


Solucin general



25/145





x 5 x E5

x=

FE

m cos t

x 5 x E5

x= E

x t = & cos t

2ro-aremos con!

x t=& e t

cos

t

Solucin de la


Solucin particular


Solucin general



26/145





x 5 x E5

x=

FE

m cos t

x 5 x E5

x= E

x t = & cos t

2ro-aremos con!

x t=& e t

cos

t

Solucin de la


Solucin particular


Solucin general



27/145





x 5 x E5

x=

FE

m cos t

x 5 x E5

x= E

x t = & cos t

2ro-aremos con!

x t=& e t

cos

t

&

Solucin de la


Solucin particular


Solucin general



28/145





x 5 x E5

x=

FE

m cos t

x 5 x E5

x= E

x t = & cos t

2ro-aremos con!

x t=& e t

cos

t

$stadotransitorio

$stadoestacionario

&

Solucin de la


Solucin particular


Solucin general



29/145


Estado transitorio y estado estacionario.


&


30/145




&

l i d l i dif i l


31/145




&

$stadotransitorio

3 2 S l i d l i dif i l


32/145




&

$stadotransitorio

$stadoestacionario

x t = & cos t



33/145




&

$stadotransitorio

$stadoestacionario

x t = & cos t

HE es&ado &ransi&orio es m$ycom%e8o.



34/145




&

$stadotransitorio

$stadoestacionario

x t = & cos t


HTransc$rrido $n &iem%o ees&ado &ransi&orio desa%arece y

+$eda s>o e MAS es&acionario.

t


35/145




&

$stadotransitorio

$stadoestacionario

x t = & cos t


HTransc$rrido $n &iem%o ees&ado &ransi&orio desa%arece y

+$eda s>o e MAS es&acionario.

HLa ?rec$encia de MAS es&acionario es a misma +$e a de a ?$er6aoscian&e.

t


36/145


La solucin estacionaria del movimiento es:


x t = & cos t



37/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

EncontramosAy 'sustituyendo en la ec. diferencial.

3 2 Sol cin de la ec acin diferencial


38/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t


3 2 Solucin de la ecuacin diferencial


39/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t

x= & I cos t 5 [& sin t ] E5 [& cost]=

FE

mcos t




40/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t


FE

mcos t

cos t=cos tcos sin tsin

sin t=sin t coscos t sin




41/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t


FE

mcos t

usando: cos t=cos tcos sin tsin

sin t=sin t coscos t sin se llega a:


sin t&{E5

5sin 5 cos } cos t {& E55 cos5& sin FEm}= E



42/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t


FE

mcos t




(ara poder cumplir esta ecuacinen todo tiempo" lo )ue apareceentre corc$etes debe ser nulo

sin t&{E5




43/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t


FE

mcos t



&an = 5

E

5

5


(ara poder cumplir esta ecuacinen todo tiempo" lo )ue apareceentre corc$etes debe ser nuloFase inicial del mov

es el desfase entreF#x

sin t&{E5




44/145




x 5 x E5

x= F

E

m cos t

x t = & cos t

x =& cost

x= & sin t

x= & I cos t


FE

mcos t



&an = 5

E

5

5 &=

FE/ m

E5550 5 5


(ara poder cumplir esta ecuacinen todo tiempo" lo )ue apareceentre corc$etes debe ser nuloFase inicial del mov

es el desfase entreF#x &mplitud del mov

sin t&{E5




45/145




(MAS o MHS)



.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo de ener#/a %o&encia.

.= M4&odo de a conser3aci>n de E.









7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$rade a resonancia.


0. 2rinci%io de s$%er%osici>n. Re%resen&aci>n ?asoria.

0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.



3 3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%


46/145


Ocurre cuando en una mquina hay algn elemento que gira yno est euli!rado!un motor, ruedas del coche, ... ".

3.3 E"em#lo$ Muinas &iratorias



47/145




Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,-



48/145




Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,- b v

k x



49/145




La mquina, de masa totalM, realiza unafuerza 'sobre m:

Es e)uivalente a una masa m)ue reali*a un +,- b v

k x

F= m d.

dt. x x /

2dale# de 0e1ton



50/145




F= m d.

dt. x x /



2dale# de 0e1ton

F= m xm d.

dt. a cos t

b v

k x



51/145




F= m d.

dt. x x /



2dale# de 0e1ton

F= m xm d.dt.

a cos t F= m xm a 5

cos t Fuerza de lamquina sobrem

b v

k x



52/145




F= m d.

dt. x x /



(or la #raley de $e%ton,sobreM-macta una fuerza:

2dale# de 0e1ton

F= m xm d.dt.

a cos t F= m xm a 5


F= m x m a 5

cos tFuerza demsobreM-m

b v

k x

3.3 E"em#lo$ %Muinas &iratorias%


53/145




F= m d.

dt. x x /




2dale# de 0e1ton

F= m xm d.dt.

a cos t F= m xm a 5


)finalmente, la ec. diferencial del movimiento deM-m es:F= k x b x [ m x m a 5 cos t ] = +m x

F= m x m a 5


b v

k x



54/145




F= m d.

dt. x x /




2dale# de 0e1ton

F= m xm d.dt.

a cos t F= m xm a 5



F= m x m a 5


b v

k x



55/145




F= m d.

dt. x x /




2dale# de 0e1ton

F= m xm d.dt.

a cos t F= m xm a 5



F= m x m a 5

cos t

x b

+ x

k

+x=

m a 5

+cos t

Fuerza demsobreM-m

HEs una oscilacin for*ada conHMes la masa total de la m)uina

Hm es la masa del rotor descentrado

FE = m a 5

b v

k x



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E"ercicio *#ro!. 2+,$despu&s de colocar un motor el&ctrico demasa m'()*g sobre una viga horizontal, &sta se fle+iona un

+'mm. -eterminar:a" elocidad angular !en rpm" que debemos evitar para que elsistema no entre en resonancia.

b" /i el rotor del motor tiene una masa 0')*g y est descentrado

una distancia a'1.2cm, 3qu& amplitud tendrn las oscilaciones dela viga cuando el motor gire a #21 rpm4 !suponer 55 1"

Solucin:

= 7J= rpm &= .E7 cm



57/145



E"ercicio *#ro!. 2+,$despu&s de colocar un motor el&ctrico demasa m'()*g sobre una viga horizontal, &sta se fle+iona un

+'mm. -eterminar:a" elocidad angular !en rpm" que debemos evitar para que elsistema no entre en resonancia.

b" /i el rotor del motor tiene una masa 0')*g y est descentrado

una distancia a'1.2cm, 3qu& amplitud tendrn las oscilaciones dela viga cuando el motor gire a #21 rpm4 !suponer 55 1"

Solucin:

= 7J= rpm &= .E7 cm

FE = m a

5

&= F

E/ m

E5550 5 5



58/145




(MAS o MHS)



.0 Ener#/a %o&encia es&ica..< Osciaciones arededor de $n m/nimo

de ener#/a %o&encia..= M4&odo de a conser3aci>n de E.









7.< 2o&encia a-sor-ida %or e osciador.7.= "ac&or de caidad y anc*$ra

de a resonancia.



0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.



3. /esonancia en am#litud y ener&0a.


59/145


-nalicemos la ecuacin que nos da la amplitud del movimiento

# y &

&= FE/ mE

5550 5 5



60/145



# y &

&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero



61/145



# y &

&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero

H2ara &iende a F!/m02

=F!/k

E



62/145



# y &

&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero


=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimo

E



63/145



# y &

&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero


=F!/kH Tiene +$e eKis&ir $n mKimo c$ando e denominador 9o s$ c$adrado; se *ace m/nimoHSi3dismin$ye, e mKimo de-e crecer

E



64/145



# y &

&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero



FE

k

E

&



65/145



# y &

&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero



Buscamos la que hace m+imaA:

FE

k

E

&



66/145



&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero



Buscamos la que hace m+imaA:D

5 = E

555 0 5 5

FE

k

E

&



67/145



&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero




5 = E

555 0 5 5

d D5

d = 5

E

5

5

5 J 5

= E

FE

k

E

&



68/145



&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero




5 = E

555 0 5 5

d D5

d = 5

E

5

5

5 J 5

= E

E55 5 5 = E FE

k

E

&



69/145



&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero




5 = E

555 0 5 5

d D5

d = 5

E

5

5

5 J 5

= E

E55 5 5 = E

max=E5

5 5

FE

k

E

&



70/145



&= FE/ mE

5550 5 5

H2ara &iende a cero




5 = E

555 0 5 5

d D5

d = 5

E

5

5

5 J 5

= E

E55 5 5 = E

max=E5

5 5

FE

k

E

&

H"rec$encia %ara a +$e&es mKima.4resonancia en amplitud5

HSi E maxE



71/145


(ara la velocidad del 067 tenemos:

x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t



72/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5



73/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5



74/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5



75/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5

=

5

siendo

v t =& cos t

Velocidad del MAF



76/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5

=

5

siendo

Hes e des?ase en&reFy vv t =& cos t

Velocidad del MAF



77/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5

er que adems se cumple:

&an = &an

5

=

5

siendo


Velocidad del MAF



78/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5


&an = &an 5

=

&an

=

5

siendo


Velocidad del MAF



79/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5


&an = 5

E

55

&an = &an 5

=

&an

&an =

5

E5

5

=

5Hes e des?ase en&reFy v

siendo

v t =& cos t

Velocidad del MAF



80/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5


&an = 5

E

55

&an = &an 5

=

&an

&an =

5

E5

5

=

5Hes e des?ase en&reFy v

siendo

v t =& cos t

Velocidad del MAF



81/145



x t = & cos t

v t = dx

dt = & sin t

v t =& cos t

sin a = cosa /5

sin t = cos t /5


&an = 5

E

55

&an = &an 5

=

&an

&an =

5

E5

5

=

5Hes e des?ase en&reFy vHes cero si = !

Velocidad del MAF

siendo

3. /esonancia en am#litud y ener&0a. E=

5m v

E

5


82/145


v t = & cos t

La energa del 067 se puede analizar a partir de la v2max

(v20)


5m v

E

5


83/145


v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


84/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


85/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


86/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

6= m

E

55 5

0 5

Definimos:Impedancia del oscilador

vE

v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


87/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

6= m

E

55 5

0 5 6=

m 5

k

5

b5

e7ercicio: E5=

k

m " 5 =

b

m


vE

v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


88/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

6= m

E

55 5

0 5 6=

m 5

k

5

b5

e7ercicio: E5=

k

m " 5 =

b

m

vE

= F

E

6


v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


89/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

6= m

E

55 5

0 5 6=

m 5

k

5

b5

e7ercicio: E5=

k

m " 5 =

b

m

vE

= F

E

6


v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


90/145


vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

6= m

E

55 5

0 5 6=

m 5

k

5

b5

e7ercicio: E5=

k

m " 5 =

b

m

vE

= F

E

6


6 8iene un m9nimopara=

!96

minB b5

&dems se cumple:

e7ercicio

v t = & cos t

vE


(v20)


5m v

E

5


91/145


v t = & cos t


(v20)

vE= & =

FE

mE5

5

50

5

5

vE=

FE

m

E

5

5

5

0 5

vE

5

65

E

6= m

E

55 5

0 5 6= m 5k

5

b5

e7ercicio: E5=

k

m " 5 =

b

m

vE

= F

E

6


v!es mximo

cuando = EvE

6 8iene un m9nimopara=

!96

minB b5

&dems se cumple:

e7ercicio

v t = & cos t

vE



92/145


/esonancia (en energa)


i


93/145



Decimos )ue un oscilador armnico for*ado

est en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a


i


94/145





de la fuer*a impulsora = !


/ i


95/145






vE

5

65

E


/ i


96/145



= E

En resonancia se cumple:




vE

5

65

E


/ i


97/145



6= m

E

555

0

5 = E





vE

5

65

E


/ i ( )


98/145



6= m

E

555

0

5 = E





6= m 5 =b

vE

5

65

E


/ i ( )


99/145



6= m

E

555

0

5 = E





6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

vE

5

65

E


/esonancia ( )


100/145



6= m

E

555

0

5 = E





6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

vE

5

65

E


/esonancia ( )


101/145



6= m

E

555

0

5 = E


Decimos )ue un oscilador armnico for*adoest en resonancia si oscila a la frecuenciapara la )ue %ste tiene la mxima energ9a


6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5

vE

5

65

E


/esonancia ( )


102/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

vE

5

65

E


/esonancia ( )


103/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

v= F

E

6cos t

vE

5

65

E




104/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




105/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




106/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




107/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




108/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cos E t 5

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




109/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cos E t 5F= F

Ecos

Et

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




110/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cos E t 5F= F

Ecos

Et

F

Representacin fasorial

'esonancia

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




111/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cos E t 5F= F

Ecos

Et

v

F


'esonancia

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




112/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cos E t 5F= F

Ecos

Et

v

xF


'esonancia

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




113/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cosE t 5F= F

Ecos

Et

F


oresonancia

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




114/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cosE t 5F= F

Ecos

Et

x

F


oresonancia

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

vE

5

65

E




115/145



6= m

E

555

0

5 = E




6= m 5 =b

&an = 5

E

5

5=

=

5

= 5 = E

v= F

E

6cos t v=

FE

b cos

Et

x= & cos t

&= F

E/ m

E5

5

5

0 5

5&=

FE

m 5 E

= F

E

b E

x= F

E

b E

cosE t 5F= F

Ecos

Et

v

x

F


5=

oresonancia

vE

5

65

E

E"ercicios

E"ercicio$ un ob8eto de masa m'9*g oscila su8eto a un muelle de


116/145


E"ercicio$un ob8eto de masa m'9*g oscila su8eto a un muelle deconstante *')11 $m y con un parmetro de amortiguamiento'1.( s(. /i aplicamos al sistema una fuerza oscilante

7!t"'92cos!(1t" !en unidades /


117/145


Leccin 1. Movimiento Armnico Simple(MAS o MHS)



.0 Ener#/a %o&encia es&ica.

.< Osciaciones arededor de $n m/nimo de ener#/a %o&encia..= M4&odo de a conser3aci>n de E.


5. "$er6a de ?ricci>n 3iscosa.

5.5 Ec. di?erencia de as osc. amor&.5.7 Osciaciones d4-imen&e amor&i#$adas.5.0 Ener#/a de as osciaciones







7.< 2o&encia s$minis&rada a osciador.

7.= "ac&or de caidad y anc*$rade a resonancia.



0.5 S$%er%osici>n de dos MAS! I#$a direcci>n y ?rec$encia.0.7 S$%er%osici>n de dos MAS!

I#$a direcci>n di?eren&e ?rec$encia.0.0 S$%er%osici>n de dos MAS de

direcciones %er%endic$ares.

3. (otencia suministrada al oscilador.


118/145



En el estado estacionario la energa del oscilador es cte


119/145


HEn el estado estacionario la energa del oscilador es cte.




120/145



HLa Frozdisipa toda la potencia de la fuerza impulsora




121/145


(otencia suministrada al oscilador:

(s= Fv




H En el estado estacionario la energa del oscilador es cte


122/145



(s = Fv= FEcos tF

E

6cos t






123/145



(s = Fv= FEcos tF

E

6cos t



(s =

FE

5

6 cos cos5

t sin cos t sin t

cosab = cos a cosb sin a sin b




124/145



(s = Fv= FEcos tF

E

6cos t



(s =

FE

5

6 cos cos5

t sin cos t sin t

(s = F

E

5

6cos cos5 t

5 sin

5sin 5 t


cos5 a=

cos 5a

5

sin 5a =5 sin a cosa




125/145



(s = Fv= FEcos tF

E

6cos t



(s =

FE

5

6 cos cos5

t sin cos t sin t

(s = F

E

5

6cos cos5 t

5 sin

5sin 5 t

( s = F

E

5

5 6 cos cos cos5 t sin sin 5 t


cos5 a=

cos 5a

5





126/145



(s = Fv= FEcos tF

E

6cos t



(s =

FE

5

6 cos cos5

t sin cos t sin t

(s = F

E

5

6cos cos5 t

5 sin

5sin 5 t

( s = F

E

5

5 6 cos cos cos5 t sin sin 5 t

( s = F

E

5

5 6 cos cos 5 t


cos5 a=

cos 5a

5


otencia suministrada aloscilador por unidad de tiempo

La magnitud realmente interesante es la



127/145


g

Potencia promediosuministrada al oscilador:




128/145



(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt




129/145



(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt

(s = 5

FE

5

5 6[

E

5 /

cosdt E

5 /

cos5 tdt]




130/145

Osc Ondas y Termodinmica


(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt

(s = 5

FE

5

5 6[

E

5 /

cosdt E

5 /

cos5 tdt]

(s = 5

FE5

cos5 6

E

5 / dt




131/145



(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt

(s = 5

FE

5

5 6[

E

5 /

cosdt E

5 /

cos5 tdt]

(s = 5

FE5

cos5 6

E

5 / dt

(s = F

E

5cos

5 6




132/145



(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt

(s = 5

FE

5

5 6[

E

5 /

cosdt E

5 /

cos5 tdt]

(s = 5

FE5

cos5 6

E

5 / dt

(s = F

E

5cos

5 6

(s = F

E

5b

5 65

cos =b / 6

otencia promedio




133/145



(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt

(s = 5

FE

5

5 6[

E

5 /

cosdt E

5 /

cos5 tdt]

(s = 5

FE5

cos5 6

E

5 / dt

(s = F

E

5cos

5 6

(s

El comportamiento de C(ses similar al de laE

(s = F

E

5b

5 65

cos =b / 6

otencia promedio




134/145



(s = 8E5

/ FE5

5 6 cos cos 5 t dt

(s = 5

FE

5

5 6[

E

5 /

cosdt E

5 /

cos5 tdt]

(s = 5

FE5

cos5 6

E

5 / dt

(s = F

E

5cos

5 6

6= b " =E

(s =

5

FE

5

b

(s

El comportamiento de C(ses similar al de laE

(s = F

E

5b

5 65

cos =b / 6

$n resonancia es m*+ima(s

otencia promedio

(odemos representar normalizada.

3. -nc4ura de la resonancia.

(s


135/145


es mKima

(s ;ES (s

(s;ES

es&arnormai6ada



(s


136/145


es mKima

(s ;ES (s

(s;ES

es&arnormai6ada



(s


137/145


es mKima

(s ;ES (s

(s;ES

es&arnormai6ada

& medida )ue disminu#e laresonancia se $ace ms estrec$a



(s


138/145


es mKima

(s ;ES (s

(s;ES

es&arnormai6ada

& medida )ue disminu#e laresonancia se $ace ms estrec$a

-nchura de la resonancia

Es a anc*$ra de %ico %ara(s

(s ;ES= E.

oscilaciones amortiguadas

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