notación_matricial01

8/18/2019 notación_matricial01

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Notación Matricial

PL

Dra. Lupe Pizan Toscano


2/10

x x 11 …… x x mm x x m+1m+1 …… x x nn x 11 ... x 1m x 1m+1 … x 1n

x 21 … x 2m x 2m+1 … x 2n .. . .

.

x m1 ...

x mm x mm+1 …

x mn

P P 11 …… P P mm P P m+1m+1 …… P P nn

a11 ... a1m a1m+1 a1n a21 … a2m a2m+1 a2n .. . . am1 ... amm amm+1 … amn

AA

=

NN

NN

Quadro Simplex

Inicio:

Las columnas del cuadro Simplex corresponden a los vectores P j de la

matriz de restricciones

BB

BB

Matriz A do problema de PL

Matriz A & Quadro Simplex.


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x 21 … x 2m x 2m+1 … x 2n .. . .

.

x m1 ...

x mm x mm+1 …

x mn

P P 11 …… P P mm P P m+1m+1 …… P P nn


AA

= x BB

-1-1

NN

NN

Quadro Simplex


matriz de restricciones multiplicados por la inversa de la base B

representan los componentes de estos vectores cuando estan expresados en

!unci"n de esta base.

BB-1-1B= IB= I

BB-1-1B= IB= IBB

BB BB-1-1NN

BB-1-1NN




4/10

Representación de los ectores de

la matriz en !unción de la "ase.

P#

#

$

%

P

$

P%

#

$

$

P'

$

#

$

P(

$

$

#

x x## ++ x x ++ x x%% ++ x x'' ++ x x(( ==

P$

'

#

#)

Maximizar Z= 3 x 1 + 5 x 2

sujeito a

x1 * x# = ' x2 * x$ = #

% x1 * x2 * x% = #)

x1 & x2 & x# & x$ & x%≥$

Maximizar Z= 3 x 1 + 5 x 2

sujeito a

x1

* x#

= '

x2 * x$ = # % x1 * x2 * x% = #)

x1 & x2 & x# & x$ & x%≥$


5/10

+xemplo , S-A inicial $

P# P P% P' P(

# $ # $ $

$ $ # $

% $ $ #

x#

x

x%

x'

x(

P$

'

# #)

==

La SB' inicial ( )* )& )& $& 12& 1,- corresponde al extremo '*)&)-

P%

#

$

$

P'

$

#

$

P(

$

$

#

'' ++ ## ++ #)#) ==

P$

'

#

#)

Base

'' P% ++ ## P' ++ #)#) P( == P$


6/10

Representación de los ectores de

la matriz en !unción de -$.

P%

#

$

$

P'

$

#

$

P(

$

$

#

## ++ $$ ++ %% ==

P#

#$

%

P# = # P% + $ P' + % P(

P3 , P4 , P5 son L.I. Constituyendo una base en ℜ3. Todos losvectores de la matriz A pueden ser expresados en unci!n deesta base"

P = $ P% + P' + P(

P% = # P% + $ P' + $ P(

P' = $ P% + # P' + $ P(

P(

= $ P%+ $ P

'+ # P

(

epresentaci"n de los

vectores de la matriz ' delas restricciones en

!unci"n de la base

P# P P% P' P(

# $ # $ $

$ & $ # $

% & $ $ #

N$

NN$$ B$

BB$$

expresando P 1 en

!unci"n de esta base


7/10

+xemplo , /am"io de $ para #.

P# P P% P' P(

# $ 1 0 0

$ 0 1 0

% 0 0 1

#xisten $ vectores uera de la basecandidatos a entrar" esco%er entre P& o P$

NN$$NN$$

BB$$BB$$

representando losvectores de la

matriz de

restricciones en

!unci"n de B

P# = #= # P% ++ $$ P' ++ %% P(

P = $= $ P% ++ P' ++ P(

P% = #= # P% ++ $$ P' ++ $$ P(

P' = $= $ P% ++ ## P' ++ $$ P(

P( = $= $ P% ++ $$ P' ++ ## P(


8/10

Las columnas del Ta"lero Simplex ...

3

4

6

6

x 3

x 2

x 5

0

5

0

3 5 0 0 0c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 01

20

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

5

2

5

2-3

4

6

6

x 3

x 2

x 5

0

5

0

3 5 0 0 0c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 01

20

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

5

2

5

2-

4

6

6

x 3

x 2

x 5

0

5

0

3 5 0 0 03 5 0 0 0c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bbbb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 01

200 1 0

1

20

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1

5

2

5

2

5

2-

5

2-

P% P P( # $ $

$ $

$ #

- =# $ $

$ #0 $

$ 1# #

-1# =

--

1#1#

x A =

valores de las var.

b/sicas i0uales a B1b'ultiplicando la matriz A por la inversa de la

base se obtiene las columnas del tab.(implex"

# $ $

$ #0 $$ 1# #

P# P P% P' P(# $ # $ $

$ $ # $

% $ $ #

# $ # $ $

$ # $ #0 $

% $ $ 1# #

=

--1#1#

x " =# $ $

$ #0 $

$ 1# #

'

#

#)

=

'

2

2

olumnas del 3ab.

simplex


9/10

Representación ectores de la

matriz en !unción de la "ase -#.

P# = #= # P% ++ $$ P ++ %% P(

P = $= $ P% ++ ## P ++ $$ P(

P% = #= # P% ++ $$ P ++ $$ P(

P' = $= $ P% ++#0#0 P 4 4 ## P(

P( = $= $ P% ++ $$ P ++ ## P(

Representación vectores de a matriz en Representación vectores de a matriz en !"nción de a #ase $ !"nción de a #ase $11

3

4

6

6

x 3

x 2 x

5

0

50

3 5 0 0 0c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0

1

2 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

5

2

5

2-3

4

6

6

x 3

x 2 x

5

0

50

3 5 0 0 0c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0

1

2 0

1 0 1 0 0

3 0 0 -1 1

5

2

5

2-

4

6

6

x 3

x 2 x

5

0

50

3 5 0 0 03 5 0 0 0c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bb

c j

XXBB

CCBB

x x 11

x x 22

x x 33

x x 44

x x 55

z z j j

cc j j -- z z j j

bbbb

3000 5 0 0

0 0 0

0 1 0

1

2 00 1 0

1

2 0

1 0 1 0 01 0 1 0 0

3 0 0 -1 13 0 0 -1 1

5

2

5

2

5

2-

5

2-

%a#ero simpex correspondiente%a#ero simpex correspondientea &$' ( a &$' ( 11

5n las columnas correspondientes a las variables de

6ol0ura donde& en el tablero inicial& se encontraba

la matriz identidad se encuentra la inversa de la

base B1 correspondiente a la soluci"n b/sica actual


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x 21 … x 2m x 2m+1 … x 2n .. . .

.

x m1

...

x mm x mm+1 …

x mn

P P 11 …… P P mm P P m+1m+1 …… P P nn


AA= x BB

-1-1

NNNN

Quadro Simplex


matriz de restricciones multiplicados por la inversa de la base B

representan los componentes de estos vectores cuando estan expresados en

!unci"n de esta base.

BB-1-1B= IB= IBB

-1-1B= IB= IBBBB BB

-1-1NNBB

-1-1NN



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