Notas de Aula, Cálculo I

7/31/2019 Notas de Aula, Clculo I

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SMA 301 CALCULO I

Wagner V. L. Nunes

fevereiro de 2010


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2


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Sumario

1 Introducao 71.1 Cometarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Numeros Reais 132.1 Adicao e multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 A reta numerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Intervalos da reta R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Modulo ou valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Plano numerico R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Grafico de um equacao no plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.8 Ponto de acumulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 Resultados em Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10 Supremo e nfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Funcoes 393.1 Definicoes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Exemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Limites 1094.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2 Definicao de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Propriedades de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.5 1.o Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5 Funcoes Contnuas 155

5.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 Definicao de funcao contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.3 Operacoes com funcoes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.4 Continuidade a direita e a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.5 Funcoes contnuas em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6 Funcoes Diferenciaveis 1796.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.1.1 Velocidade instantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.1.2 Coeficiente angular da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2 Derivada de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.3 Exemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

3


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4 SUMARIO

6.4 Derivada das trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4.1 Funcao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4.2 Funcao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.4.3 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.4.4 Funcao cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.4.5 Funcao secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.4.6 Funcao cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.5 Diferenciabilidade da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.5.1 Funcao arco-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6.5.2 Funca o a r c o - c o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.5.3 Funcao arco-tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.5.4 Funcao arco-cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.5.5 Funcao arco-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.5.6 Funcao arco-cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.6 Funcao logartmo (natural) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.7 Funca o e x p o n e n c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.8 Funcao potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.9 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.10 Funcao potenciacao utilizando a regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.11 Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.11.1 Funcao seno-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.11.2 Funcao cosseno-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

6.11.3 Funcao tangente-hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.11.4 Funcao cotangente-hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.11.5 Funcao secante-hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.11.6 Funcao cossecangente-hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.12 Funcoes hiperbolicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.13 Funcao arco-seno-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.14 Funcao arco-cosseno-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.15 Funcao arco-tangente-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.16 Funcao arco-cotangente-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6.17 Funcao arco-secante-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.18 Funcao arco-cossecante-hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.19 Derivacao implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

7 Maximos e/ou Mnimos 2497.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.2 Maximos e/ou mnimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.3 Maximos e/ou mnimos globais (ou absolutos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.4 Resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.5 Funcoes crescente ou decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.6 Teste da 1.a derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

7.7 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.8 Teste da segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

7.9 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8 Limites no infinito e infinitos 3098.1 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

8.2 Propriedades de limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.3 Assntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

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SUMARIO 5

8.4 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.5 Assntota verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

8.6 Formas indeterminadas - Regra de LHospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

8.6.1 Forma indeterminada do tipo0

0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

8.6.2 Forma indeterminada do tipo : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.7 2.o Limite Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

8.8 Tracar graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

9 Diferenciais 379

10 Formula de Taylor 385

11 Integrais indefinidas 39311.1 Primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

11.2 Propriedades da primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

11.3 Integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39511.4 Propriedades da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

11.5 Tecnicas de integracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40111.6 Outra tecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

11.6.1 Integrais indefinidas envolvendo expressoes dos tipos: a2 x2, a2 + x2 ou x2 a2.41011.6.2 Integrais indefinidas do tipo:

1

x2 +p x + qdx ou

1

x2 +p x + qdx. . . . . 422

11.6.3 Integrais indefinidas do tipo:

mx + n

ax2 + b x + cdx ou

mx + n

ax2 + b x + cdx. . . . 425

11.6.4 Integrais indefinidas envolvendo potencias de funcoes trigonometricas . . . . . 428

11.6.5 Integrais indefinidas do tipo: 1

(x2 +px + q)kdx, p2 4q < 0, k = 2, 3, . . 438

11.6.6 Integrais indefinidas do tipo: ax + b

(x2 +px + q)kdx, p2 4q < 0, k = 2, 3, cdots 441

11.7 Integrais de funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

11.7.1 Caso que grau(p) < grau(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

11.7.2 Integrais indefinidas de funcoes racionais envolvendo seno e cosseno . . . . . . . 451

11.7.3 Integrais indefinidas do tipo

P( sen(), cos())

Q( sen(), cos())d . . . . . . . . . . . . . . . 453


P(x,

x2 +px + q)

Q(x,

x2 +px + q)dx . . . . . . . . . . . . . . 455

11.7.5 Integrais indefinidas do tipo P(x,

x2 +px + q)

Q(x,x2 +px + q) dx, com p2 + 4q > 0. . . . 457


P(x, (ax + b)

m1n1 , (ax + b)

m2n2 , , (ax + b)

mknk )

Q(x, (ax + b)m1n1 , (ax + b)

m2n2 , , (ax + b)

mknk )

dx 458

12 Integrais definidas 46112.1 Somatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

12.1.1 Propriedades do somatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

12.2 Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

12.3 S oma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

12.4 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

12.5 O Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48312.6 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491


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6 SUMARIO

12.7 Integracao por substituicao para integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

13 Aplicacoes de Integrais definidas 49913.1 Logartmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49913.2 Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

13.3 Metodo das fatias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51413.4 Solidos de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52113.5 Metodo dos cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53713.6 Comprimento de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54713.7 Area de superfcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

14 Integrais improprias 55914.1 Integrais improprias de 1.a especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55914.2 Integrais improprias de 2.a especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

15 Coordenadas Polares 59115.1 Coordenadas Polares no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

15.2 Grafico em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59515.3 Reta tangente em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61215.4 Area em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61615.5 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619


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Captulo 1

Introducao

1.03.2010 - 1.a

Estas notas tem com o objetivo ajudar os alunos a fixarem melhor o conteudo desenvolvido nadisciplina de Calculo I.

Ao longo do curso serao introduzidos varios conceitos importantes que serao uteis em outrasdisciplinas do curso de graduacao (por exemplo: Fsica I, Fsica II entre outras).

1.1 Cometarios

Como disse Galileo Galilei (1564-1642): O Grande Livro da Natureza esta escrito em smbolosmatematicos.

O Calculo e um ramo matematico cujo proposito primario e estudar movimentos e mudancas.

Sera uma ferramenta indispensavel em quase todos os campos das ciencias puras e aplicadas, porexemplo, na Fsica, Qumica, Biologia entre outras.

Por quaisquer criterios que usem, os metodos e aplicacoes do Calculo constituem uma das grandesrealizacoes intelectuais da nossa civilizacao.

Entre os elementos de nosso estudos no curso de Calcculo I estarao as funcoes (mais especificamente,as funcoes reais de uma variavel real).

Falaremos sobre estas mais adiante.

O curso de Calculo I e, em princpio, dividido em duas partes principais, a saber: o CalculoDiferencial e o Calculo Integral.

Um problema basico relacionado com o Calculo Diferencial e o problema da tangente, isto e,encontrar a inclinacao da reta tangente a uma curva plana num ponto P dado da mesma.

Suponhamos que a curva em questao seja o grafico de uma funcao f : I R R com xo I eP = (xo, f(xo)).

A questao tornar-se-a encontrar a tangente do angulo , onde o angulo e dado na figura abaixo.

7


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8 CAPITULO 1. INTRODUC AO

E

T

P

xo

f(xo)

' y = f(x)

Um problema basico relacionado com o Calculo Integral e o problema da area, isto e, calculara area da regiao plana R que fica abaixo do grafico de uma curva entre as retas x = a, x = b e acimado eixo Ox.

Vamos supor que a curva em questao seja o grafico de uma funcao f : [a, b] R R, ondef(x) 0 para todo x [a, b] (veja figura abaixo).

E

T

y = f(x)

R

a b

x

y

Para alguns tipos particulares de curvas sabemos responder as duas quest oes acima, como porexemplo, no caso da curva plana ser um segmento de reta contido no plano xOy, dado pela equacao

y yo = m(x xo), a x b

(veja figura abaixo).

E

Ty yo = m(x xo)

a bx

y


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1.1. COMETARIOS 9

No caso acima, para obter a inclinacao da reta tangente ao grafico da curva (que e um segmentode reta!) num ponto do grafico da curva, P = (x1, m(x1 xo) + yo), basta lembrar que

tg() = m,

onde o angulo e dado pela figura abaixo.

E

Ty yo = m(x xo)

a bx

y

P

x1

m(x1 xo) + yo

De modo semelhante, para encontrarmos a area A da regiao plana limitada, delimitada pelo graficoda curva acima (o segmento de reta), pelo eixo Ox, pelas retas x = a e x = b basta verificarmos quea regiao pode ser dividida em duas R1 e R2, cujas areas indicaremos por A1 e A2, respectivamente.

Assim teremos que R1 sera um retangulo (que tem como base o intervalo [a, b] e altura m(axo) +yo) e R2 sera um triangulo (que tem como base o intervalo [a, b] e altura [m(b xo) + yo] [m(a xo) + yo] = m(b a); vide figura abaixo).

E

Ty yo = m(x xo)

a b

R1

x

y

R2m(a xo) + yo

m(b xo) + yo

Assim a area A da regiao R sera dada por:

A = A1 + A2 = (b a).[m(a xo) + yo] + (b a).[m(b a)]2

.

Porem se a curva for mais complicada a dificuldade sera grande para resolvermos os dois prob-lemas acima.

So para ilustrar, pense em tentar resolver os dois problemas acima para o caso em que a curva eo grafico da funcao y = x2, x [0, 2].

Tente encontrar a inclinacao da reta tangente ao grafico da funcao acima no ponto P = (1, 1) e aarea da regiao limitada, delimitada pelo grafico da curva acima, pelo eixo Ox e pelas retas x = 0 ex = 2.

Entre outros, nosso objetivo sera resolver os dois problemas acima.Para tanto temos um longo caminho pela frente...Comecaremos pelo Calculo Diferencial e depois trataremos do Calculo Integral.

Observacao 1.1.1


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1. O modo como estudaremos o Calculo (Diferencial e Integral) foi concebido por Isaac Newton(1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

O Calculo, na verdade, e produto de um longo processo evolutivo iniciado na Grecia Antiga.

Uma das grandes contribuicoes de Newton e Leibniz foi reconhecer a conexao entre os dois

problemas acima colocados (da tangente e da area).

Eles foram os primeiros a entender o significado do Teorema Fundamental do Calculo que, decerto modo, relaciona o problema da tangente com o problema da area, como veremos ao longodo curso.

2. Na Roma Antiga, a palavra Calculus, significava pedra pequena ou seixo utilizado para contagemem jogos.

3. Vale observar que para encontrarmos a inclinacao da reta tangente poderamos agir da seguinte

forma:Escolha um numero real x > 0 (poderia ser negativo) e considere a reta secante ao graficoda curva (que vamos supor seja grafico de uma funcao y = f(x), x [a, b]) pelos pontos P =(x1, f(x1) e Px

.= (x1 + x, f(x1 + x)) (vide figura abaixo).

E

T

a b x

y

P = (x1, f(x1)

x1

f(x1)

Px.

= (x1 + x, f(x1 + ))

x1 + x

f(x1 + x)

Com isto podemos encontrar o coeficiente angular, mx , da reta secante ao grafico da funcao fpassando pelos pontos P = (x1, f(x1) e Px

.= (x1 + x, f(x1 + )) (tente encontrar!).

Podemos agora pensar em diminuir o acrescimo x > 0 cada vez mais.Provavelmente, quanto mais diminuirmos o acrescimo x > 0 mais proximo mx ficara docoeficiente angular, m, da reta tangente ao grafico da funcao f no ponto P = (x1, f(x1).

4. De modo semelhante, podemos pensar em tentar encontrar o valor da area A da regiao plana Rlimitada, delimitada pelo grafico da funcao y = f(x), x [a, b], pelo eixo dos xs, pelas retasx = a e x = b aproximando o valor da mesma por valores de areas de regioes planas que sabemoscalcular, por exemplo, retangulos!

Para isso, dividimos o intervalo [a, b] em varios sub-intervalos nao justapostos e com isto podemosdividir a regiao inicial em sub-regioes cujas areas serao aproximadas por areas de retangulos (vide

figura abaixo).


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1.1. COMETARIOS 11

E

T

a b x

y

a1 a2 a3 a4

f(a1)f(a2)

f(a3)

f(b)

Com isto sabemos calcular a soma das areas dos retangulos (que tem como bases os intervalos[aj1, aj ] e altura f(aj ), j = 1, 2, n).Assim obtemos uma aproximacao do valor da area da regiao incial.

Quanto maior for a divisao do intervalo [a, b] mais proximos ficara o valor da soma das areas

dos retangulos da area da regiao inicial.

5. A questao que surge e quando paramos os processos acima?

Devemos ficar o resto das nossas vidas dividindo, dividindo...sem nunca conseguir obter o valor

exato para os elementos que estamos interessados em encontrar?

6. Na verdade os dois processos dependem de um metodo de aproximacao.

Para nao ficarmos o resto de nossas vidas fazendo aproximacoes precisaremos desenvolver umateoria que possa nos ajudar a acelerar o processo.

Essa teoria e o que denominamos Teoria dos Limites que sera estudada logo a seguir e tera umpapel fundamental no dois processos acima, entre outras aplicacoes.

7. Como o instrumento basico do Calculo sao as funcoes, comecaremos nossos estudos por elas.

Antes porem falaremos um pouco sobre os numeros reais e suas propriedades.

As funcoes que serao consideradas ao longo deste curso serao reais de uma variavel real.

Depois passaremos ao estudo da Teoria dos Limites que sera a base para tratarmos dos doisproblemas iniciais.


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Captulo 2

Numeros Reais e Propriedades

3.03.2010 - 2.a

2.1 Adicao e multiplicacao no conjunto dos numeros reais

A introducao do conjunto dos numeros reais pode ser feita baseando-se na existencia dos numerosnaturais N, a saber:

N.

= {0, 1, 2, 3, }.A partir deste podemos construir os numeros inteiros Z, isto e,

Z.

= { , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }.

A seguir podemos considerar os numeros racionais, Q, a saber:

Q.

= {pq

: p, q Z, q= 0} = {numeros cuja representacao decimal e finita ou infinita e periodica}.

Por ultimo reunimos aos numeros racionais os numeros irracionais, isto e, I,

I.

= {numeros cuja representacao decimal e infinita e nao periodica}.

Assim definimos o conjunto dos reais, R, como sendo

R.

= Q I.

Podemos definir duas operacoes no conjunto dos numeros reais, a saber, uma denominada adicaode numeros reais

+ : R R R(a, b) a + b

que tem as seguintes propriedades:

A1. Comutativa da Adicao:

a + b = b + a, para todo a, b R;

A2. Associativa da Adicao:

(a + b) + c = a + (b + c), para todo a,b,c R;

13


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14 CAPITULO 2. NUMEROS REAIS

A3. Elemento Neutro da Adicao: existe um numero real, 0 (numero real zero), tal que

a + 0 = a, para todo a R.

O numero real 0 sera dito elemento neutro da adicao de numeros reais;

A4. Elemento Oposto da Adicao: dado um numero real, a, existe um numero real, que seraindicado por a, tal que

a + (a) = 0.

O numero real a sera dito elemento oposto do numero real a;a segunda operacao sera denominada multiplicacao de numeros reais

. : R R R(a, b) a.b

que tem as seguintes propriedades:

M1. Comutativa da Multiplicacao:

a.b = b.a, para todo a, b R;

M2. Associativa da Multiplicacao:

(a.b).c = a.(b.c), para todo a,b,c R;

M3. Elemento Neutro da Multiplicacao: existe um numero real, 1, tal que

a.1 = a, para todo a R.

O numero real 1 sera dito elemento neutro da multiplicacao de numeros reais;

M4. Elemento Inverso da Multiplicacao: dado um numero real, a, diferente de 0, existe umnumero real, que sera indicado por a1, tal que

a.(a1) = 1.

O numero real a1 sera dito elemento inverso do numero real a (diferente de 0).

M5. Distributiva da Adicao pela Multiplicacao:

(a + b).c = a.c + b.c, para todo a,b,c R

;

M6. a.0 = 0, para todo a R;M7. Se a.b = 0 entao ou a = 0 ou b = 0.

Observacao 2.1.1

1. Se x, y R definiremos:x y .= x + (y).

2. Com as propriedades acima podemos obter outras propriedades que sao uteis nas operacoes comnumeros reais que podem ser encontradas na O.a lista exerccio e cuja resolucao sera deixada acargo do leitor.

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2.2. AXIOMAS DE ORDEM 15

3. Nos casos em que formos simplificar expressoes algebricas com numeros reais devemos tomarmuito cuidado para evitar erros do seguinte tipo:

Se x = y = 0 (.x) x2 = xy (y2) x2 y2 = xy y2

(x + y)(x y) = (x y)y()

x + y = y x = 0,o que e um absurdo pois x = 0.Onde esta o erro?

O erro esta em (*) ja que na simplificacao que fizemos nao levamos em conta que como x = yentao x y = 0 e portanto nao podemos fazer a simplificacao (*).Portanto todo cuidado e pouco na hora de fazermos simplificacoes.

2.2 Axiomas de ordem no conjunto dos numeros reais

Para ordenarmos os elementos do conjunto dos numeros reais precisaremos introduzir o seguinteaxioma:

Axioma 2.2.1 Existe um subconjunto, nao vazio, dos numeros reais, que indicaremos por P, quesera denominado conjunto dos numeros reais positivos que tem as seguintes propriedades:

P1. Se a R entao ou a P, ou a Pou a = 0;P2. Se a, b Pentao a + b P;P3. Se a, b Pentao a.b P.

Com isto podemos introduzir a seguinte definicao:

Definicao 2.2.1 Diremos que um numero real a sera dito negativo se a P;

Observacao 2.2.1

1. Vamos fixar que 0 = 0 P, ou seja 0 nao e nem positivo, nem negativo.2. Deste modo podemos dividir o conjunto dos numeros reais (sem o zero) em dois conjuntos bem

definidos, a saber, os numeros reais positivos e os numeros reais negativos.

Com isto temos as seguintes definicoes:

Definicao 2.2.2 Sejam a, b R.1. Diremos que o numero real a e menor que o numero real b, indicando por a < b, se (ba) P;2. Diremos que o numero real a e menor ou igual que o numero real b, indicando por a b, se

a b, se (a b) P;4. Diremos que o numero real a e maior ou igual que o numero real b, indicando por a b, se

a > b ou a = b.

Podemos entao obter o seguinte resultado:

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Proposicao 2.2.1 Sejam a,b,c,d R.Temos que:

1. a > 0 se, e somente se, a P;

2. a < 0 se, e somente se, (a) P;3. Se a 0 entao a.c < b.c;

7. Se a b.c.

Demonstracao:

De 1.:

Da definicao (2.2.2) item 3. temos que a > 0 se, e somente se, (a 0) P, que e equivalente a,a P(pois a 0 = a), como queramos mostrar.

De 2.:

Da definicao (2.2.2) item 1. temos que a < 0 se, e somente se, 0 a P, que e o mesmo que,a P(pois 0 a = a), como queramos mostrar.

De 3.:

Da Definicao (2.2.2) item 1., temos que se a < b e b < c entao b a Pe c b P.Do Axioma (2.2.1) item 2. segue que (b a) + (c b) P, isto e, (c a) P.Logo, da Definicao (2.2.2) item 1., segue que a < c, como queramos mostrar.

De 4.:Da Definicao (2.2.2) item 1., se a < b entao (b a) P.Mas, (b + c) (a + c) = b a, ou seja, (b + c) (a + c) P.Logo, da Definicao (2.2.2) item 1., segue que a + c < b + c, como queramos mostrar.

De 5.:

Da Definicao (2.2.2) item 1., se a < b entao (b a) P.De modo analogo, se c < d entao (d c) P.Do Axioma (2.2.1) item 2. segue que (b a) + (d c) P, isto e, [(b + d) (a + c)] P.Logo, da definicao (2.2.2) item 1. segue que a + c 0 entao (c

0)

P.

Do Axioma (2.2.1) item 3. segue que [(b a).c] P, isto e, (c.b c.a) P.Logo, da Definicao (2.2.2) item 1., segue que c.a < c.b, como queramos mostrar.

De 7.:

Da Definicao (2.2.2) item 1., se a < b entao (b a) Pe se c < 0 entao c P.Do Axioma (2.2.1) item 3. segue que [(b a).(c)] P, isto e, (c.a c.b) P.Logo, da Definicao (2.2.2) item 1., segue que c.b < c.a, como queramos mostrar.

Observacao 2.2.2

1. As propriedades 3., 4. e 5. valem se substituirmos < por

.

As demonstracoes desses casos serao deixadas como exerccio para o leitor.

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2.3. A RETA NUMERADA 17

2. As propriedades 6. e 7. valem se substituirmos < por e > por 0.As demonstracoes desses casos serao deixadas como exerccio para o leitor.

3. Como as operacoes acima podemos colocar o conjunto dos numeros reais em ordem, ou seja,podemos ordena-lo completamente.

Isto sera de grande valia na proxima secao.

2.3 A reta numerada

Observemos que o conjunto dos numeros reais esta em correspondencia bijetora (injetora e sobre-jetora) com os pontos de uma reta geometrica, isto e, a cada numero real podemos fazer corresponderum unico ponto da reta e reciprocamente, a cada ponto da reta correspondera um unico numero real.

Para vermos isto fixemos uma reta r e uma unidade de comprimento u (que denominaremos de

unidade).Sobre a reta r, que sera denominada eixo, fixemos um ponto O que sera dito origem.

Ao numero real 0 associaremos o ponto O da reta fixado acima e reciprocamente.

Podemos supor, sem perda de generalidade que a reta esta na posicao horizontal.

A seguir diremos como associar a cada numero real a um unico ponto da reta r (e reciprocamente).

Dado um numero real a diferente de 0 se ele for positivo, associaremos a este um ponto A sobre areta r que dista a unidades da origem O (isto e, d(O, A) = a) e esta a direita da mesma (vide figuraabaixo).

O A

a E'

r

Se o numero real a for negativo, associaremos a este um ponto A sobre a reta r que dista aunidades da origem O (isto e, d(O, A) = a) e esta a esquerda da mesma (como a e negativo temosque a e positivo; vide figura abaixo).

OA

a E'r

Deste modo identificamos a cada numero real a um ponto da reta r e reciprocamente, a cadaponto da reta podemos associar um numero real (por exemplo, se A e um ponto da reta r diferenteda origem, calculando-se a distancia do mesmo a origem O, que indicaremos por d(O, A) e ele estivera direita da origem o numero real sera a

.= d(O, A) e se estiver a esquerda da origem o numero real

sera a.

= d(O, A)).

Notacao 2.3.1 A reta assim obtida daremos o nome de reta numerada.

Observacao 2.3.1 Devido a relacao acima obtida entre o conjunto dos numeros reais e pontos dareta r nos referiremos ao conjunto dos numeros reais como sendo a retaR (sem nos preocupar com

as diferencas entre ambos, isto e, pontos da reta e numeros reais).

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2.4 Intervalos da reta R

Introduziremos, a seguir, uma serie de subconjuntos da reta R que serao de grande importancia nodesenvolvimento dos proximos captulos, a saber, os intervalos da reta.

Definicao 2.4.1 Sejam a, bR com a < b.

Definimos:

1. o intervalo aberto de extremos nos pontos a e b, indicado por (a, b), como sendo o seguintesubconjunto da retaR:

(a, b).

= {x R : a < x < b},cuja representacao geometrica e dada pela figura abaixo:

Ea b

2. o intervalo fechado de extremos nos pontos a e b, indicado por [a, b], como sendo o seguintesubconjunto da retaR:[a, b]

.= {x R : a x b},

cuja representacao geometrica e dada pela figura abaixo:

Ea b

3. o intervalo semi-aberto a direita de extremos nos pontos a e b (ou intervalo semi-fechado a esquerda de nos pontos extremos a e b), indicado por [a, b), como sendo oseguinte subconjunto da retaR:

[a, b).

= {x R : a x < b},


Ea b

4. o intervalo semi-aberto a esquerda de extremos nos pontos a e b (ou intervalo semi-fechado a direita de extremos nos pontos a e b), indicado por (a, b], como sendo o seguintesubconjunto da retaR:

(a, b]

.

= {x R

: a < x b},cuja representacao geometrica e dada pela figura abaixo:

Ea b

5. o intervalo aberto(, b) .= {x R : x < b},


Eb

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2.5. MODULO OU VALOR ABSOLUTO 19

6. o intervalo fechado(, b] .= {x R : x b},


Eb

7. o intervalo aberto(a, ) .= {x R : x > a},


Ea

8. o intervalo fechado

[a, ).

= {x R : x a},cuja representacao geometrica e dada pela figura abaixo:

Ea

9. o intervalo aberto(, ) .= R,


E

5.03.2010 - 3.a

2.5 Modulo ou valor absoluto de um numero real

Podemos definir uma outra operacao sobre os numeros reais, a saber:

Definicao 2.5.1 Seja a R.Definimos o modulo ou valor absoluto do numero real a, indicado por |a|, como sendo

|a| .=

a, se a 0a, se a < 0 .

Exemplo 2.5.1 E facil ver que|5| = 5 e | | = .

Com isto temos as seguintes propriedades relacionadas ao modulo de numeros reais:

Proposicao 2.5.1 Sejam a,b,c R com a > 0.Entao:

1. |a| 0;

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2. | a| = |a|;3. |a| b ou a por ;5. |a| a |a|;6. |a + b| |a| + |b|;7. |a b| |a| + |b|;8. ||a| |b|| |a b|;9. |a| =

a2;

10. |a.b| = |a|.|b|.Demonstracao:

De 1.:Observemos que se a 0 entao |a| = a 0.Por outro lado, se a < 0 entao |a| = a > 0.Logo, podemos concluir que |a| 0 para todo a R, como queramos mostrar.

De 2.:Se a 0 entao a < 0 logo |a| = a e | a| = (a) = a, isto e, | a| = |a|.Por outro lado, se a < 0 entao a > 0 logo |a| = a e | a| = a, isto e, | a| = |a|.Logo, podemos concluir que

|a|

=|

a|

para todoinR, como queramos mostrar.

De 3.:Suponhamos que |a| < b.Para a 0 temos que a = |a| < b, logo a < b.Como a > 0 > b, segue que b < a < b.Para a < 0 temos que a = |a| < b, logo a b.Mas a < 0 < b, logo b < a < b.Suponhamos agora que b ()< a ()< b.Para a 0 segue de (**) que |a| = a < b, logo |a| < b.Para a < 0 segue de (*) e da Proposicao (2.2.1) item 7. que |a| = a < (b) = b.Logo |a| b, logo a > b.Para a < 0 temos que a = |a| > b, logo a > b e da Proposicao (2.2.1) item 7. segue que a < b.Logo ou a > b ou a < b.Suponhamos agora que b

()< a ou a

()< b.

Para a

0 segue de (*) que|a|

= a > b, logo|a|

> b.Para a < 0 segue de (**) e da Proposicao (2.2.1) item 7. que |a| = a > (b) = b.


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Logo |a| > b para todo a, b R , como queramos mostrar.Vale o mesmo trocando-se

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Exemplo 2.5.2 Encontre o conjunto solucao da equacao

|x 5| = 7,

isto e, o conjunto formado por todos os numeros reais x que satisfazem a equacao acima.

Resolucao:Temos duas possibilidades:

1. Sex 5 0 ()

entao a equacao que teremos que resolver sera

x 5 = |x 5| = 7,

ou seja,x 5 = 7

que nos fornece x = 12.

Observemos que x = 12 satisfaz a condicao (*) (pois, 12 5 0).Logo x = 12 pertence ao conjunto solucao da equacao, que indicaremos por S, ou seja,

12 S.

2. Por outro lado, sex 5 < 0 ()

entao a equacao que teremos que resolver sera

(x 5) = |x 5| = 7,ou seja,

x + 5 = 7que nos fornece x = 2.Observemos que x = 2 satisfaz a condicao (**) (pois, 2 5 = 7 < 0).Logo x = 2 pertence ao conjunto solucao da equacao, ou seja,

2 S.

Logo o conjunto solucao da equacao acima sera

S= {2, 12}.

A seguir temos o seguinte exerccio resolvido:

Exerccio 2.5.1 Encontre o conjunto solucao da equacao

|3x 6| = |x + 8|,

isto e, o conjunto formado por todos os numeros reais x que satisfazem a equacao acima.

Resolucao:Temos as seguintes possibilidades:

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1. Se

3x 6 0 (1)(isto e, x 2) entao a equacao que teremos que resolver sera

3x

6 =

|3x

6

|=

|x + 8

|,

ou seja, deveremos resolver a equacao

3x 6 = |x + 8|.

Para isto temos duas possibilidades:

(a) Se

x + 8 0 (1a)(isto e, x 8) entao a equacao que teremos que resolver sera

3x 6 = |x + 8| = x + 8,


3x 6 = x + 8,

isto e,

2x = 14,

ou seja, uma possvel solucao sera x = 7.

Precisamos verificar se x = 7 satisfaz as condicoes (1) e (1a).

Como 3.7 6 = 15 0 (isto e, x = 7 satisfaz a condicao (1)) e 7 + 8 = 15 0 (isto e, x = 7satisfaz a condicao (1a)) temos que x = 7 pertencera ao conjunto solucao, que indicaremospor S, associado a equacao do exemplo, isto e,

7 S.

(b) Por outro lado, se

x + 8 < 0 (1b)

(isto e, x < 8) entao a equacao que teremos que resolver sera

3x 6 = |x + 8| = (x + 8),ou seja, deveremos resolver a equacao

3x 6 = x 8,

isto e, 4x = 2, ou seja, uma possvel solucao sera x = 12

.

Observemos que as condicoes (1) e (1b) nos fornecem o conjunto vazio (pois x 2 ex < 8).Assim nao existira solucao que satisfaz a estas duas condicoes.

Logo nao temos nenhuma equacao para resolver e nenhuma nova solucao ocorrera nestecaso.

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2. Por outro lado, se

3x 6 < 0 (2)(isto e, x < 2) entao a equacao que teremos que resolver sera

(3x

6) =

|3x

6

|=

|x + 8

|,


3x + 6 = |x + 8|.


(a) Se

x + 8 0 (2a)(isto e, x 8) entao a equacao que teremos que resolver sera

3x + 6 = |x + 8| = x + 8,


3x + 6 = x + 8,

isto e, 4x = 2, ou seja, uma possvel solucao sera x = 12

.

Precisamos verificar se x = 12

satisfaz as condicoes (2) e (2a).

Como 3.(12

) 6 = 92

< 0 (isto e, x = 12

satisfaz a condicao (2)) e 12

+ 8 =15

2 0

(isto e, x = 12

satisfaz a condicao (2a)) temos que x = 12

pertencera ao conjunto solucao,

que indicaremos por S, associado a equacao do exemplo, isto e,

12

S.

(b) Por outro lado, se

x + 8 < 0 (2b)

(isto e, x < 8) entao a equacao que teremos que resolver sera

3x + 6 = |x + 8| = (x + 8),ou seja, deveremos resolver a equacao

3x + 6 = x 8,

isto e, 2x = 14, ou seja, uma possvel solucao sera x = 7.

Precisamos verificar se x = 7 satisfaz as condicoes (2) e (2b).

Como 3.7 + 6 = 15 < 0 (isto e, x = 7 satisfaz a condicao (2)) e 7 8 = 15 < 0(isto e, x = 7 satisfaz a condicao (2b)) temos que x = 7 pertencera ao conjunto solucao,que indicaremos por S, associado a equacao do exemplo, isto e,

7 S.


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Logo o conjunto solucao da equacao acima sera

S= {12

, 7}.

Observacao 2.5.1 Vale observar que no exemplo acima x = 7 aparece duas vezes como solucao das

equacoes envolvidas na resolucao do problema.

Exerccio 2.5.2 Encontre o conjunto solucao da inequacao

|x + 4| |2x 6|,

isto e, o conjunto formado por todos os numeros reais x que satisfazem a inequacao acima.

Resolucao:Temos as seguintes possibilidades:

1. Se

x + 4 0 (1)(isto e, x 4) entao a inequacao que teremos que resolver sera

x + 4 = |x + 4| |2x 6|,

ou seja, deveremos resolver a inequacao

x + 4 |2x 6|.


(a) Se2x 6 0 (1a)

(isto e, x 3) entao a inequacao que teremos que resolver sera

x + 4 |2x 6| = 2x 6,

ou seja, deveremos resolver a inequacao x + 4 2x 6, isto e, 10 x (*).Precisamos atender as condicoes (1) e (1a) alem da condicao (*), ou seja precisamos fazera interseccao dos seguintes tres conjuntos:

S1 .= [4, ), S2 .= [3, ) e S3 .= [10, ).

Para isto vejamos o diagrama abaixo:

(*)

E

E

E

E

4

3

10

10

(1.)

(1.a)

S1

S2

S3

S1 S2 S3 = [10,)

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Logo[10, ) S (I).

(b) Se2x 6 < 0 (1b)

(isto e, x < 3) entao a inequacao que teremos que resolver sera

x + 4 |2x 6| = (2x 6),

ou seja, deveremos resolver a inequacao

x + 4 2x + 6,

isto e, x 23

(**).

Precisamos atender as condicoes (1) e (1b) alem da condicao (**), ou seja precisamos fazera interseccao dos seguintes tres conjuntos:

S1 .= [4, ), S4 .= (, 3) e S5 .= (, 23

].


E

E

E

E

4

3

23

(1.)

(1.b)

(**)

S1

S4

S5

S1 S4 S5 = [4, 23 ]

Logo

[4, 23

] S (II).

2. Sex + 4 < 0 (2)


(x + 4) = |x + 4| |2x 6|,ou seja, deveremos resolver a inequacao

x 4 |2x 6|.


(a) Se2x 6 0 (2.a)

(isto e, x 3) entao a inequacao que teremos que resolver sera

x 4 |2x 6| = 2x 6,

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ou seja, deveremos resolver a inequacao x 4 2x 6, isto e, 23

x (*).Precisamos atender as condicoes (2) e (2a) alem da condicao (*), ou seja precisamos fazera interseccao dos seguintes tres conjuntos:

S1

.= (

,

4),

S2

.= [3,

) e

S3

.= [

2

3

,

)

que nos da o conjunto vazio (III).


E

E

E

E

4

3

23

(2.)

(2.a)

(*)

S1

S2

S3

S1 S2 S3 =

(b) Se2x 6 < 0 (2b)


x 4 |2x 6| = (2x 6),ou seja, deveremos resolver a inequacao

x 4 2x + 6,

isto e, x 10 (*).Precisamos atender as condicoes (2) e (2b) alem da condicao (*), ou seja precisamos fazera interseccao dos seguintes tres conjuntos:

S1 .= (, 4), S4 .= (, 3) e S5 .= (, 10).Para isto vejamos o diagrama abaixo:

E

E

E

E

4

3

10

(2.)

(2.b)

(*)

S1

S4

S5

S1 S4 S5 = (,4)

Logo(, 4) S (IV).

Logo dos itens 1. e 2. (isto e, de (I), (II), (III) e (IV)) temos que o conjunto solucao asscociado ainequacao dada sera

S= (, 4) [4,2

3 ] [10, ) = (,2

3 ] [10, ).


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2.6 Plano numerico R2

Nesta secao relembraremos um outro conceito que sera de grande importancia no estudo dos captulosque virao a seguir.

Definicao 2.6.1 Denotemos por R2 o conjunto formado por todos os pares ordenados de numerosreais, isto e,

R2.

= {(a, b) : a, b R},

que sera denominado plano numerico.

Observacao 2.6.1 Assim como no caso do conjunto dos numeros reaisR, podemos identificar o plano

numerico R2 com o conjunto dos pontos de um plano geometrico.

Para isto escolhamos num plano uma reta horizontal, que denotaremos por eixo dos xs ou Ox,e uma reta vertical, que denotaremos por eixo dos ys ou Oy, perpendiculares entre si.

O ponto de interseccao dessas duas retas sera indicado por O e denominado origem.

A cada par ordenado do plano numerico, (a, b) R2, iremos associar um ponto do plano geometricoque contem as duas retas acima da seguinte forma:

Fixemos uma unidade de comprimento u e encontremos sobre, o eixo Ox, o unico ponto, quechamaremos de X, associado ao numero real a (como na secao 2.3).

De modo analogo, encontremos sobre, o eixo Oy, o unico ponto, que chamaremos de Y, associado

ao numero real b (como na secao 2.3 - vide figura abaixo).

E

T

x

y

X

Y

Tracemos pelos pontos X e Y retas paralelas aos eixos Ox e Oy, respectivamente.

O ponto P obtido da interseccao das retas acima sera associado ao par ordenado (a, b)R2 (veja

figura abaixo).


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2.7. GRAFICO DE UM EQUAC AO NO PLANOR2 29

E

T

x

y

Y

X

P

Deste modo podemos associar a cada par ordenado do plano numerico um unico ponto do planogeometrico e reciprocamente, a cada ponto do plano geometrico (fixadas as duas retas perpendiculares)temos associado um unico par ordenado de numeros reais (basta tracar as retas perpendiculares peloponto do plano geometrico, encontrar suas interseccoes com os eixos Ox e Oy e encontrar os numerosreais que estao associados a cada um desses pontos sobre as respectivas retas e, finalmente, construiro par ordenado do plano numerico).

Em geral vamos identificar o plano geometrico com o plano numerico (sem nos esquecer, quandonecessario, que na verdade sao objetos diferentes).

Notacao 2.6.1 Utilizaremos as seguintes notacoes para os elementos do plano geometrico acima men-cionado:

E

T

x

y

Y

X

P

O

Origem

w

Eixo das Abscissas

qEixo das Ordenadas

2.7 Grafico de um equacao no plano R2

Lembremos que

Definicao 2.7.1 O grafico de uma equacao e o conjunto formado por todos os pontos do plano

numerico R2 cujas coordenadas dos mesmos satisfazem a equacao dada.


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Observacao 2.7.1 Podemos representar, geometricamente, o grafico de uma equacao do plano numericoR2 no plano geometrico.

A seguir exeibiremos um exemplo desta situacao.

Exemplo 2.7.1 Consideremos a equacao emR2 dada por

y2 (x2 + 2x)y + 2x3 = 0.

Observemos que a equacao acima pode ser colocada na seguinte forma

(y 2x).(y x2) = 0 y 2x = 0 ou y x2 = 0.

Logo o grafico da equacao dada sera o conjunto

{(x, y) : y = 2x ou y = x2}.

No plano geometrico, temos uma reta, a saber y = 2x, e uma parabola, a saber y = x2 e assimpodemos representar a equacao acima (que e dada no plano numerico), geometricamente (no plano

geometrico).A figura abaixo e a representacao grafica do grafico da equacao dada.

E

Ty = 2x

y = x2

x

y

2.8 Pontos de acumulacao de subconjuntos de R

A seguir introduziremos alguns conceitos que sao fundamentais no estudo da Teoria de Limites quesera tratada em um captulo mais a frente.

Comecaremos pela:

Definicao 2.8.1 Sejam a R e > 0 fixados.

1. Daremos o nome de vizinhanca de centro no ponto a e raio , que sera denotada porV(a),como sendo o intervalo aberto

V(a).

= (a , a + ).

Eaa a +


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2.8. PONTO DE ACUMULAC AO 31

2. Daremos o nome de vizinhanca a esquerda de centro no ponto a e raio , que seradenotada por V(a), como sendo o intervalo semi-aberto a esquerda

V(a).

= (a , a].

Ea a

3. Daremos o nome de vizinhanca a direita de centro no ponto a e raio , que sera denotadapor V+ (a), como sendo o intervalo semin-aberto a direita

V+ (a).

= [a, a + ).

Ea a +

Exemplo 2.8.1 Se a = 1 e =

1

2 entao teremos que:

V(a) = V12

(1) = (1 12

, 1 +1

2) = (

1

2,

3

2);

V(a) = V12

(1) = (1 12

, 1] = (1

2, 1]

V+ (a) = V12

+ (1) = [1, 1 +1

2) = [1,

3

2).

Com isto temos o seguinte conceito que sera de grande importancia no desenvolvimento da Teoriados Limites, a saber:

Definicao 2.8.2 Sejam A R e xo R.Diremos que o ponto xo e ponto de acumulacao do conjunto A se, para cada > 0, a

vizinhanca de centro no ponto xo e raio , V(xo), interceptar o conjunto A em, pelo menos, um pontodiferente do ponto xo (caso xo pertenca ao conjunto A), isto e, para cada > 0 temos:

V(xo) A \ {xo} = .

Exoxo xo +

c

Ponto de A diferente do ponto xo

8.03.20101 - 4.a

Observacao 2.8.1 Observemos que se o ponto xo R e um ponto de acumulacao do conjunto Aentao qualquer vizinhanca do ponto xo possuira infinitos pontos distintos do conjunto A.

De fato, se tomarmos = 1 > 0, da definicao do ponto xo R ser um ponto de acumulacao doconjunto A, segue que existe x1 R tal que

x1 A V1 (xo) \ {xo}.

Exo xo + 1xo 1

c

x1 A, x1 = xo

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Como x1 = xo temos, tomando-se

0 < 2.

= |x1 xo| < 1que, da definicao do ponto xo R ser um ponto de acumulacao do conjunto A, segue que existe x2 R

tal que x2 A V2 (xo) \ {xo}.

Exo xo + xo

xo + 2xo 2

T

x2 A, x2 = xo

Em particular, x2 = x1 (pois se x2 V2 (xo) entao |x2 xo| < 2 = |x1 xo|, logo x2 = x1).Como x2 = xo temos que tomando-se

0 < 3.

=

|x2

xo

|< 1, 2,

da definicao do ponto xo R ser um ponto de acumulacao do conjunto A, segue que existe x3 R

x3 A V3 (xo) \ {xo}.

Em particular, x3 = x2 (pois se x3 V3 (xo) entao |x3 xo| < 3 = |x2 xo|, logo x3 = x2, alemdisso, x3 = x1 pois |x3 xo| < 3 |x2 xo| < 2 = |x1 xo|, assim x3 = x1).

Prosseguindo o processo acima podemos obter uma colecao infinita de pontos distintos de A, asaber

{x1, x2, x3, } Atal que todos esses pontos estao na vizinhanca V

(x

o).

Exemplo 2.8.2

1. Consideremos A.

= (1, 2].Afirmamos que todo ponto do conjunto A e ponto de acumulacao do conjunto A.

De fato, pois sexo A e > 0 entao toda vizinhanca do ponto xo de raio intercepta o conjuntoA em, pelo menos, um ponto, x1, diferente de xo (figura abaixo).

Exo1 2

xo xo +

T

x1 A diferente de xo

Observemos que1 A mas tambem e ponto de acumulacao do conjunto A, pois toda vizinhancado ponto 1 de raio intercepta o conjunto A em, pelo menos, um ponto x1, diferente de 1(figura abaixo).

E1 2

1 1 +

T

Pertence ao conjunto A e e diferente de 1

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2.8. PONTO DE ACUMULAC AO 33

Conclusao o conjuto formado por todos os pontos de acumulacao do conjunto A sera o intervalofechado [1, 2].

2. Consideremos A.

= (1, 2] {3}.Do exemplo acima segue que todo ponto do conjunto [1, 2] \ {3} sera ponto de acumulacao doconjunto A.Observemos que o ponto 3 nao e ponto de acumulacao do conjunto A pois se tomarmos

.= 1

temos queV1(3) A \ {3} = .

Logo o conjunto formado por todos os pontos de acumulacao do conjunto A e o intervalo fechado[1, 2] (isto e, e o mesmo do exemplo anterior).

E1 2 3

3. Consideremos A

.

= {1

n : n N}.Afirmamos que o unico ponto de acumulacao do conjunto A e 0.

De fato, primeiro vejamos que 0 e ponto de acumulacao do conjunto A.

Para isto dado > 0 observemos que toda vizinhanca do ponto 0 de raio intercepta o conjuntoA em, pelo menos, um ponto diferente de xo, isto e, existe no N tal que

0 0 existe a A tal que S < a.

ES e limitant e superiorS

c

Existe a A

2. Consideremos A

R nao vazio e limitado inferiormente emR.

Entao s = infA se, e somente se, as seguites condicoes estao satisafeitas:

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s1: s e um limitante inferior do conjunto A;

s2: Dado > 0 existe a A tal que a < s + .

Es + s e limitant e inferior

c

Existe a A

Demonstracao:Mostraremos o item 1..A verificacao do item 2. sera deixada como exerccio para o leitor.Mostremos primeiramente que se S = sup A entao S1 e S

2 serao verdadeiras.

Como S = sup A temos que S e um limitante superior em R do conjunto A, isto e S1 e verdadeira.Dado > 0, temos que S < S, logo S nao podera ser limitante superior em R do conjunto

A (pois S e o menor limitante superior do conjunto A em R).Assim, deve existir a A tal que S < a, isto e, S2 e verdadeira.

Mostremos agora que se S1 e S2 sao verdadeiras entao S = sup A.Para isto observemos que de S1 temos que S e um limitante superior em R do conjunto A.Suponhamos que S < S e mostremos que S nao pode ser limitante superior do conjunto A em R.Para isto consideremos

.= S S > 0.

De S2 segue que existe a A tal que S < a, isto e, a > S = S (S S) = S, ou seja, Snao e limitante superior do conjunto A em R.

Portanto S e o menor limitante superior do conjunto A em R, ou seja, S = sup A, como queramosdemonstrar.

Observacao 2.10.3 No Exemplo (2.10.1) item 1. temos que sup A = 4 A e infA = 0 A.Quando o supremo (ou nfimo) de um conjunto pertence ao mesmo daremos um nome especial,

a saber:

Definicao 2.10.6 Seja A R nao vazio, limitado superiormente emR.Se S = sup A pertence ao conjunto A diremos que S e o maximo do conjunto A emR e escreve-

remos max A = S, isto e,max A = sup A.

De modo analogo temos: seja A R nao vazio, limitado inferiormente emR.Ses = infA pertence ao conjunto A diremos ques e o mnimo do conjunto A emR e escreveremos

min A = s, isto e,min A = infA.

Observacao 2.10.4 O Exemplo (2.10.1) item 1. temos que sup A = 4 A e infA = 0 A, isto e, oconjunto A tem maximo em R mas nao tem mnimo em R.


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Captulo 3

Funcoes Reais de Uma Variavel Real

Neste captulo trataremos de um dos elementos que serao a base de todo o estudo que faremos maisadiante, a saber, as funcoes reais de uma variavel real, isto e f : A R R.

Relembraremos alguns conceitos importantes associados a estas e definiremos algumas novas fun coes

que servirao em aplicacoes num futuro proximo.

3.1 Definicoes e exemplos

Comecaremos considerando um exemplo simples porem interessante.

Exerccio 3.1.1 Suponhamos que um homem esta num barco de um rio a 2 kms ao leste de sua casa,que situa-se em uma das margens desse rio.

A margem e do rio e reta e vai do sentido norte-sul.

Ele deseja ir a um armazem que fica a 3 kms ao sul de sua casa, na margem do rio que esta a sua

casa.Sademos que ele pode remar a uma velocidade (constante) de

2

3km/h e pode correr a uma velocidade

(constante) de 6 km/h.

Pergunta-se: quanto tempo ele levara para chegar ao armazem se ele remar diretamente ate umponto Q (fixado) da margem que esta a x kms (fixado) ao sul de sua casa e correr pela margem ate oarmazem?

Para ilustrar veja a figura abaixo:

Casa Armazem Q

c

T

2 kms

E' 3 kms

N S

L

O

Barco

E' x kms

Resolucao:

39


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40 CAPITULO 3. FUNC OES

Primeiramente fixemos um sistema de coordenadas nos quais poderemos escrever equa coes quedescrevem o nosso problema.

Para facilitar escolheremos o eixo Oy como sendo a reta que une a casa e o barco (orientado nosentido oeste-leste).

O eixo Ox correspondera a reta determinada pela margem do rio (perpendicular a outra reta e

orientado no sentido norte-sul).Deste modo a casa ficara na origem do sistema de coordenadas (cartesianas).Veja figura abaixo:

E

T

0

P = (0, 2)

R = (3, 0)Q = (x, 0)

eixo dos xs

eixo dos ys

jCasa

a

Barco

c

Armazem

Denotemos por x a distancia do ponto que ele vai chegar a margem (isto e, o ponto Q) a sua casa.Sejam t1 e t2 os tempos que ele levara para ir do barco (ponto P) ate o ponto da margem (ponto

Q) e desse ponto da margem (ponto Q) ate o armazem (ponto R), respectivamente.Queremos encontrar uma expressao para o t

.= t1 + t2, isto e, o tempo que o homem levara para

percorrer a poligonal P QR.

Observemos que t1 e t2 (e portanto t) devem depender de x (isto e, do ponto Q), como ficara maisclaro a seguir.

Da Mecancia temos que (movimento retilneo uniforme cuja velocidade e dada por2

3km/h)

P Q =2

3t1,

Logo

t1 =P Q

23

=3

2P Q. (3.1)

Observemos que o triangulo P OQ e retangulo logo

(P Q)2 = 22 + x2,

ou seja,

P Q =

x2 + 4. (3.2)

Logo substituindo (3.2) em (3.1) obtemos

t1 = t1(x) =3

2

x2 + 4. (3.3)

De modo semelhante, temos que da Mecancia temos que (movimento retilneo uniforme cuja ve-locidade e dada por 6 km/h)

QR = 6t2.


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3.1. DEFINIC OES E EXEMPLOS 41

Logo

t2 =QR

6. (3.4)

MasQR = 3 x,

logo substituindo esse valor de QR em (3.4) obteremos

t2 =3 x

6. (3.5)

Portanto de (3.3) e (3.5) segue que o tempo total para percorrer a poligonal P QR sera dado por:

t = t(x) = t1(x) + t2(x) =3

2

x2 + 4 +

3 x6

,

que, como previmos, dependera de x (ou seja, do ponto Q).Observemos que para o problema devermos ter x [0, 3].

Observacao 3.1.1

1. A questao que poderamos colocar e a seguinte: qual a posicao do ponto Q para que o tempogasto para percorrer a poligonal P QR seja o menor possvel?

A resposta a este problema sera dada mais adiante (no Calculo Diferencial).

Para os curiosos, o ponto Q devera situar-se a

20

20kms ao sul da casa.

2. O problema acima nos motiva a estudar com mais detalhes um conceito que sera nosso com-panheiro ao longo de todo o desenvolvimento do curso, a saber, as Funcoes.

Sejam A, B R nao vazios.Definicao 3.1.1 Umafuncao definida no conjunto A assumindo valores no conjunto B e uma relacaoque associa a cada elemento x A um, e somente um, elemento y B que sera indicado por f(x).

Denotaremos tal funcao por:

f : A B ou A f B.Se x A, o elemento y = f(x) B sera dito valor da funcao f em x ou imagem do valor x

pela funcao f.O conjunto A sera dito domnio da funcao f e indicado por Dom(f).O conjunto B sera dito contra-domnio da funcao f.O conjunto formado por todos os elementos de B que sao imagem de valores da funcao f sera dito

(conjunto) imagem da funcao f e indicado por Im(f), isto e,

Im(f).

={

y

B : y = f(x) para algum x

A}

.

Definicao 3.1.2 Podemos olhar o seguinte diagrama

A

B

x y = f(x)

Cada x A esta associado a um, e somente um , y = f(x) B

G

Domnio de f

Cont ra-domnio de f


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Consideremos alguns exemplos

Exemplo 3.1.1

1. Para o problema que iniciou este captulo temos que a funcao que descreve o problema e aseguinte: t : A

B, onde A

.= [0, 3], B

.= R e

t(x).

=3

2

x2 + 4 +

3 x6

, x A.

2. Um outro exemplo, f : R R dada porf(x) = x3, x R.

Neste caso A = B.

= R.

3. Ou ainda, f : (0, ) R dada porf(x) =

x, x (0, ).

Neste caso A = (0, ) e B .= R.4. Ou f : R \ {0} R dada por

f(x) =1

x, x R \ {0}.

Neste caso A = R \ {0} e B .= R.Temos tambem a:

Definicao 3.1.3 Seja f : A B uma funcao dada.Definimos o grafico da funcao f, denotado porG(f), como sendo o conjunto dos pontos do plano

R

2

que sao da forma (x, f(x)) para x A, isto e,G(f)

.= {(x, f(x)) : x A}.

Observacao 3.1.2 Tendo o grafico da funcao f podemos representa-lo geometricamente no planogeometrico (que e identificado com o plano numerico R2) como mostram os exemplos abaixo:

Exemplo 3.1.2

1. Se f : R R e dada porf(x) = x3, x R

entao a representacao geometrica do grafico da func ao f sera dada pela figura abaixo.

E

T

x

y

(x, f(x)) = (x, x3)

x

x3


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3.2. OPERAC OES COM FUNC OES 43

2. Se f : [0, ) R e dada porf(x) =

x, x R

entao a representacao geometrica do grafico da funcao f sera dada pela figura abaixo.

E

T

x

y

(x, f(x)) = (x,

x)

x

x

3. e f : R \ {0} R e dada porf(x) =

1

x, x R \ {0}

entao a representacao geometrica do grafico da funcao f sera dada pela figura abaixo.

E

T

x

y

(x, f(x)) = (x, 1x

)

x

1x

3.2 Operacoes com funcoes reais de uma variavel real

Podemos fazer as seguintes operacoes com funcoes reais de uma variavel real:

Definicao 3.2.1 Sejam f, g : A R duas func oes funcoes reais de uma variavel real definidas nummesmo subconjunto A da retaR.

Com isto podemos definir as seguintes funcoes:

1. a adicao da funcao f com a funcao g, indicada por f + g, como sendo a funcao real de umavariavel real f + g : A R dada por

(f + g)(x) .= f(x) + g(x), x A;


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2. a diferenca da funcao f com a funcao g, indicada por f g, como sendo a funcao real de umavariavel real f g : A R dada por

(f g)(x) .= f(x) g(x), x A;

3. a multiplicacao (ou produto) da funcao f com a funcao g, indicada por f.g, como sendo afuncao real de uma variavel real f.g : A R dada por

(f.g)(x).

= f(x).g(x), x A;

4. a divisao (ou quociente) da func ao f com a funcao g, indicada porf

gou f /g, como sendo a

funcao real de uma variavel realf

g: A \ {x : g(x) = 0} R dada por

(f

g)(x)

.=

f(x)

g(x), x A \ {x : g(x) = 0}.

Observacao 3.2.1 Vale observar que todas as quatro funcoes acima estao bem definidas nos seusrespectivos domnios.

Uma outra operacao importante e dada pela

Definicao 3.2.2 Consideremos duas funcoes reais de uma variavel real f : A R e g : B R.Definimos a funcao composta da func ao f pela funcao g, indicada porfg, como sendo a sequinte

funcao real de uma variavel real: f g : C R onde

C.

= {x B : g(x) A}(f g)(x)

.= f(g(x)), x C

Observacao 3.2.2 O diagrama abaixo ilustra a definicao acima:

B

Eg

A

Ef

TR

C

x

g(x)

(f g)(x) = f(g(x))

g

f

f g

Considereremos alguns exerccios:

Exemplo 3.2.1 1. Sejam f, g : R R duas funcoes reais de uma variavel real dadas por

f(y) .= |y|, y R e g(x) .= 8x + 1, x R.


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3.3. EXEMPLOS IMPORTANTES 45

Entao a funcao composta f g : R R esta bem definida e(f g)(x) = f(g(x)) = f(8x) = |8x + 1|, x R,

isto e,(f

g)(x) =

|8x + 1

|, x

R.

Observemos que podemos considerar a funcao composta g f : R R que sera dada por(g f)(y) = g(f(y)) = g(|y|) = 8|y| + 1, y R,

isto e,(g f)(x) = 8|y| + 1, y R.

2. Sejam f : R \ {0} R e g : [0, ) R duas funcoes reais de uma variavel real dadas por

f(y).

=2

y, y R \ {0} e g(x) .= x, x [0, ).

Entao a funcao composta f g : (0, ) R esta bem definida e

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x) = 2x

, x (0, ),

isto e,

(f g)(x) = 2x

, x (0, ).

Observemos que podemos considerar a funcao composta g f : (0, ) R que sera dada por

(g

f)(y) = g(f(y)) = g(

2

y

) = 2y , y (0, ),isto e,

(g f)(y) =

2y

, y (0, ).

Observacao 3.2.3 Observemos que nos dois exemplo acima as funcoes f g e g f sao diferentes.

3.3 Exemplos importantes de funcoes reais de uma variavel real

A seguir exibiremos uma lista de exemplos importantes de funcoes reais de uma variavel real que seraoutilizados ao longo de todo o desenvolvimento destas notas.

1. Funcao constante:

Uma funcao sera denominada funcao constante se ela puder ser escrita da seguinte forma:f : A R R dada por

f(x) = C, x A,onde C R esta fixado.

Exemplo 3.3.1 A funcao f : R R dada porf(x)

.= 2, x R

e uma funcao constante (no caso C = 2).


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Observacao 3.3.1 A representacao geometrica do grafico de uma funcao constante e um seg-mento (ou uma reta) horizontal (veja figura abaixo).

E

T

x

y

x

j

f(x) = C

(x, f(x)) = (x, C)

2. Funcao polinomial:

Uma funcao sera denominada funcao polinomial se ela puder ser escrita da seguinte forma:f : A R R dada por

f(x) = ao + a1x + a2x2 + + anxn, x A,

onde ao, a1, a2, an R e n N estao fixos.

Exemplo 3.3.2 A funcao f : R R dada por

f(x).

= 3 2x + x2

, x Re uma funcao polinomial (no caso ao = 3, a1 = 2, a2 = 1).Neste caso temos que a representacao geometrica do grafico da funcao f sera dado pela figuraabaixo.

E

T

x

y

1 3

x

f(x) = 3 2x + x2 (x, f(x)) = (x,3 2x + x2)

Observacao 3.3.2 Vale

(a) Uma func ao e uma funcao polinomial se, e somente se, sua lei de associacao for dada porum polinomio.


47/622


(b) Observar que toda funcao constante e uma funcao polinomial (basta considerar ao = C ea1 = a2 = = an = 0).

(c) Se uma funcao polinomial p : R R e dada por

p(x).

= ao + a1x, x

R

(neste caso a2 = a3 = an = 0) ela sera denominada funcao linear afim (se ao = 0 elasera dita linear).

(d) Se uma funcao polinomial p : R R e dada por

p(x).

= ao + a1x + a2x2, x R

(neste caso a3 = a4 = an = 0) ela sera denominada funcao quadratica.(e) Se uma funcao polinomial p : R R e dada por

p(x).

= ao + a1x + a2x2 + a3x

3, xR

(neste caso a4 = a5 = an = 0) ela sera denominada funcao cubica.

3. Funcao racional:

Uma funcao sera denominada funcao racional se ela puder ser escrita na seguinte forma:f : A R R dada por

f(x) =p(x)

q(x), x A .= {x A : q(x) = 0},

onde p e q sao funcoes polinomiais.

Exemplo 3.3.3 A funcao f : A.

= R \ {1, 3} R dada por

f(x).

=1 3x + x2 10x3

3 2x + x2 , x A

e uma funcao racional (basta considerar p, q : R R dadas por

p(x) = 1 3x + x2 10x3 e q(x) = 3 2x + x2, x R

que sao funcoes polinomiais).

Observacao 3.3.3 Vale observar que toda funcao polinomial e uma funcao racional (basta con-siderar a funcao q : R R dada por q(x) = 1, para todo x R).

10.03.2001 - 5.a

4. Funcao par:

Uma funcao sera denominada funcao par se ela ela tem a seguinte propriedade: f : A R Re se para todo x A tal que x A temos

f(x) = f(x).


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f(x).

= |x|, x R

e uma funcao par, pois

f(x) = | x| = |x| = f(x), x R.

Observacao 3.3.4 Vale observar que a representacao geometrica do grafico de uma funcao parasera simetrico em relacao ao eixo dos Oy (como se o eixo dos )y fosse um espelho).

No exemplo acima temos que a representacao geometrica do grafico da funcao f sera dado pelafigura abaixo:

E

T

x

y

xx

f(x) = |x| = | x|(x, f(x)) = (x, |x|)(x, f(x)) = (x, | x|)

5. Funcao mpar:

Uma funcao sera denominada funcao mpar se ela ela tem a seguinte propriedade: f : A R R e se para todo x A tal que x A temos

f(x) = f(x).


f(x) .= x3, x Re uma funcao mpar, pois

f(x) = (x)3 = (1)x3 = x3 = f(x), x R.

Observacao 3.3.5 Vale observar que a representacao geometrica do grafico de uma funcao parae simetrico em relacao a origem O = (0, 0).



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E

T

x

y

x

x

f(x) = x3 (x, f(x)) = (x, x3)

f(x) = x3(x, f(x)) = (x,x3)

6. Funcao periodica:

Uma funcao sera denominada funcao periodica se ela ela tem a seguinte propriedade: f : AR R e se existe T > 0 tal que para todo x A tal que x + T A temos

f(x + T) = f(x) ().

Exemplo 3.3.6 Seja f : R R a funcao dada por:

f(x).

= 1, se x [1, 0)f(x)

.= 1, se x

[0, 1)

f(x + 2) = f(x), para todo x R.

Observemos que a funcao f e uma funcao periodica (basta, por exemplo, considerar T = 2).

Observacao 3.3.6 Notemos que se uma funcao e peri odica existira um menor valor de T > 0para os quais (*) sera verdade.

Este valor de T > 0 sera dito perodo fundamental da funcao periodica f e, neste caso,diremos que a funcao f e T-periodica.

No exemplo acima a funcao f e 2-periodica.

Observacao 3.3.7 Vale observar que a representacao geometrica do grafico de uma funcaoperiodica repete-se indefinidamente, ou melhor, se conhecermos a representacao geometrica dografico de uma funcao periodica num intervalo de comprimento T entao poderemos encontrara representacao geometrica do grafico da funcao em todo o seu domnio (para este fim bastaratransladar, a direira, ou a esquerda, a representacao geometrica do grafico da funcao f nointervalo de comprimento T dado inicialmente).

No exemplo acima temos que a representacao geometrica do grafico da funcao f sera dado por:

50/622


E

T

x

y

1 2 312

(x, f(x)) = (x, 1)

1

x

7. Funcao maior inteiro:

A funcao f : R R e dada porf(x) = [x], x

R,

onde[x]

.= n se x [n, n + 1), para n Z

sera denominada funcao maior inteiro (menor que).

Observacao 3.3.8 Vale observar que dado um numero realx sempre existira um numero inteiron tal que

n x < n + 1.Deste modo a relacao acima definide uma funcao.

Em particular temos que:

[x] = 0, se 0 x < 1 (neste caso n = 0)[x] = 1, se 1 x < 2 (neste caso n = 1)[x] = 2, se 2 x < 3 (neste caso n = 2),

Segue, na figura abaixo, a representacao geometrica do grafico da funcao maior inteiro:

E

T

x

y

1 2 312

1

2

1

2

x

(x, f(x)) = (x, 1)

51/622


Observacao 3.3.9 O nome dado a funcao acima e por que ela associa a cada numero real x omaior inteiro menor do que x, ou ainda, se x possue uma representacao decimal entao [x] nosda o numero inteiro da representacao decimal do numero real x (por exemplo: se x = 3, 141617entao [x] = 3).

8. Funcao sobrejetora:Uma funcao sera denominada funcao sobrejetora se seu contra-domnio for igual ao seu con-

junto imagem , isto e, se f : A R B R entaof(A) = B.

Exemplo 3.3.7 Seja f : R [0, ) dada porf(x) = x2, x R.

Entao a funcao f sera uma funcao sobrejetora, pois se y

[0,

) (contra-domnio) entao

tomando-sex

.=

y R

temos quef(x) = f(

y) = [

y]2 = |y| = y,

mostrando que todo elemento do contra-domnio da funcao f (que e [0, )) e imagem de algumelemento do domnio da funcao (que e a retaR).

Observacao 3.3.10 Do ponto de vista da representacao geometrica do grafico, uma funcao esobrejetora se, e somente se, toda reta horizontal y = c que intercepta o contra-domnio da

funcao intercepta a representacao geometrica do grafico da funcao em, pelo menos, um ponto.


E

T

x

y

x =

y

y (x, f(x)) = (

y, y)

Observacao 3.3.11 Todo cuidado na analise da situacao acima!

Observemos que a funcao g : R R dada porf(x)

.= x2, x R

nao e sobrejetora, pois seu contra-domnio e a retaR e assim se tomarmos y < 0 (que esta nocontra-domnio) nao existira x R (domnio da funcao) tal que f(x) = y!Veja figura abaixo: uma reta horizontal que intercepta o eixo negativo dos Oy nao interceptaraa representacao geometrica do grafico da funcao f.

52/622


E

T

x

y

y < 0

x

f(x) (x, f(x)) = (x, x2)

Observemos que a funcao g acima e diferente da funcao f do exemplo acima.

9. Funcao injetora:

Uma funcao f : A R B R sera denominada funcao injetora se dados x1, x2 A,

x1 = x2 entao f(x1) = f(x2).

De modo equivalente, se f(x1) = f(x2) para x1, x2 A entao, necessariamente, deveremos terx1 = x2.

Exemplo 3.3.8 Seja f : [0, ) R dada por

f(x) = x2, x R.

Entao a func ao f sera uma funcao injetora, pois se

x1, x2 [0, ), x1 = x2 teremos f(x1) = x21 = x22 = f(x2).

De outro modo, se tivermos

x21 = f(x1) = f(x2) = x22 entao x

21 = x

22, mas x1, x2 [0, ) logo x1 = x2,

mostrando que f e uma funcao injetora.

Observacao 3.3.12 Do ponto de vista a representacao geometrica do grafico, uma funcao serainjetora se, e somente se, toda reta horizontal y = c intercepta a representacao geometrica dografico da funcao em, no maximo, um ponto.

Geometricamente, o exemplo acima tem a representacao geometrica do grafico dada pela figuraabaixo:


53/622


E

T

x

y

x

f(x) = x2 (x, f(x)) = (x, x2)

Observacao 3.3.13 Observemos que se g : R R e dada porg(x)

.= x2, x R

entao a funcao g nao sera uma funcao injetora (pois, por exemplo, g(1) = 1 = g(1)).Notemos que a funcao g acima e diferente da funcao f do exemplo acima.

10. Funcao bijetora:

Uma funcao f : A R B R sera denominada funcao bijetora se ela for sobrejetora einjetora.

Exemplo 3.3.9 Seja f : R \ {0} R \ {0} dada por

f(x) =1

x, x R \ {0}.

Entao funcao f sera uma funcao bijetora.A demonstracao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Observacao 3.3.14 Do ponto de vista a representacao geometrica do grafico, uma funcao ebijetora se, e somente se, toda reta horizontal y = c que intercepta o contra-domnio da funcaointerceptar a representacao geometrica do grafico da funcao em um unico ponto.

Geometricamente, o exemplo acima tem a representacao geometrica do grafico dada pela figuraabaixo:

E

T

x

y

x

(x, f(x)) = (x 1x

)

O


54/622


11. Funcao inversa associada a uma funcao:

Seja f : A R B R uma funcao dada.Se existir uma funcao g : B A tal que

(f

g)(y) = y para todo y

B (

)

e(g f)(x) = x para todo x A ()

diremos que a funcao f admite uma funcao inversa.

Observacao 3.3.15 Se a funcao f : A R B R admite uma funcao inversa g : B Aentao a func ao g sera a unica funcao com as propriedades (*) e (**).

Deixarem a demonstracao deste fato como exerccio para o leitor.

No caso acima, a funcao g sera denominada funcao inversa da funcao f e indicada por f1,isto e, tal funcao tera as seguintes propriedades:

f1 : B A(f f1)(y) = y, y B,(f1 f)(x) = x, x A.

Observacao 3.3.16 O diagrama abaixo ilustra a situacao:

E

'

A

B

x = f1(y) y = f(x)f1

f

Exemplo 3.3.10 Seja f : R R dada por

f(x) = x3, x R.

Entao a func ao f admite uma funcao inversa.

De fato, se considerarmos a funcao g : R R dada por

g(y).

= 3

y, y R

entao teremos:(f g)(y) = f(g(y)) = f( 3y) = [ 3y]3 = y,


55/622


para todo y R.Por outro lado,

(g f)(x) = g(f(x)) = g(x3) = 3

x3 = x,

para todo x R.Logo podemos concluir que a funcao f admite uma funcao inversa e que a funcao inversa asso-ciada a funcao f sera a funcao f1 : R R onde

f1(y) .= 3

y, y R.

No exemplo acima temos, geometricamente que:

E

T

x

y

x = f1(y) = 3

y

y = f(x) = x3 (x, f(x)) = (x, x3)'c

(y, f1(y) = (y, 3y)

Observacao 3.3.17 Do ponto de vista do grafico, uma funcao admite funcao inversa se pu-dermos escrever, na equacao y = f(x), a variavel x em termos da variavel y, ou seja,x = f1(y).

Alem disso, como f e uma funcao, toda reta vertical que intercepta o domnio da funcao f deveinterceptar a representacao geometrica do grafico da mesma em um unico ponto.

Para que a todo y do contra-domnio da funcao f esteja associado um unico x do domnio damesma (lembre-se que f1 deve ser funcao) podemos concluir que se f admite funcao inversaentao ela devera ser bijetora.

Na verdade os dois conceitos sao equivalentes, isto e, temos o seguinte resultado:

Proposicao 3.3.1 Uma funcao f : A R B R admite funcao inversa se, e somente se, afuncao f e bijetora.

Demonstracao:

Suponhamos que f : A R B R admite funcao inversa.Mostremos que f deve ser bijetora.

De fato, se y B sabemos que f1(y) = x A e alem disso,

f(x) = f(f1(y)) = (f f1)(y) = y,


56/622


logo y devera pertencer ao conjunto imagem da funcao f, assim a funcao f sera sobrejetora.

Por outro lado, se f(x1) = f(x2) entao f1(f(x1)) = f1(f(x2)), isto e,

x1 = (f1 f)(x1) = f1(f(x1)) = f1(f(x2)) = (f1 f)(x2) = x2,

ou seja, x1 = x2 mostando que a funcao f sera injetora.

Portanto a funcao f e bijetora.

Suponhamos agora que a funcao f : A R B R e bijetora.Mostremos que a funcao f admite funcao inversa.

Para istro consideremos g : B A dada por:g(y) = x (),

onde y = f(x) para algum x A .Observemos que f sendo bijetora, sera sobrejetora logo exitira um x A com a propriedade (*);do fato que f e injetora tal x

A devera ser unico, deste modo a relacao (*) define uma funcao.

De (*) temos que(f g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y,

para todo y B e(g f)(x) = g(f(x))) = g(y) = x,

para todo x A, mostrando que a funcao f e uma funcao que admite funcao inversa.

Observacao 3.3.18 Tendo a representacao geometrica do grafico da funcao f e sabendo-se queela e bijetora para tracarmos a representacao geometrica do grafico da funcao inversa da funcao

f bastara refletirmos a representacao geometrica do grafico da funcao em torno da reta y = x.A representacao geometrica do grafico obtido sera a representacao geometrica do grafico da

funcao inversa da funcao f (onde trocamos os nomes dos eixos, isto e, o eixo horizontal sera oeixo Oy e o eixo vertical sera o eixo Ox).

No exemplo acima temos a seguinte situacao geometrica:

E

T

x

y

(x, f(x))

[(y, f1(y)]

y = x

[y]

[x]


57/622


Cuidado para nao confundir a funcao inversa, f1, de uma funcao dada f com o inverso da

funcao f, isto e,1

f(caso existam).

12.03.2010 - 6.a

12. Funcao limitada:

Uma funcao f : A R R sera denominada funcao limitada (no conjunto A) se existiremM, m R tais que

m f(x) M, x A.

Observacao 3.3.19

(a) Uma outra caracterizacao equivalente a dada acima e: a funcao f sera uma funcao limitada(no conjunto A) se existir L > 0 tal que

|f(x)

| L, x

A.

A demonstracao da equivalencia desta caracterizacao com a definicao acima sera deixadacomo exerccio para o leitor.

(b) Geometricamente, uma funcao sera limitada se a representacao geometrica do grafico dafuncao f estiver contido em uma faixa horizontal de largura finita.

Exemplo 3.3.11 A funcao f : R R dada por:

f(x).

= 1, se x [1, 0)f(x) .= 1, se x [0, 1)f(x + 2) = f(x), para todo x R.

e uma funcao limtada emR pois, se considerarmos M = 1 e m = 1 teremos que

m = 1 f(x) 1 = M, x R.

Geometricamente temos:

E

T

x

y

1 2 312

(x, f(x)) = (x, 1)

1

x

Outra classe que sera importante e dada pela:

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Definicao 3.3.1 Sejam A R, a A.Diremos que a funcao f : A \ {a} R e limitada no ponto x = a se pudermos encontrar > 0 e M, m R tal que

m f(x) M

para todo x A \ {a} tais que 0 < |x a| < (ou seja, a < x < a + , x A e x = a).

Observacao 3.3.20

(a) A definicao acima nos diz que uma funcao e limitada num ponto se ela for limitada pertodo ponto em questao (observe que a funcao nao precisa, necessariamente, estar definida noponto em questao).

(b) A definicao acima nos diz que uma funcao f e limitada no ponto x = a se, e somente se,existir > 0 tal que a funcao f seja limitada no conjunto (a , a + ) \ {a}.

(c) Observemos que uma funcao e limitada no ponto x = a se, e somente se, existirem L, > 0

tais que|f(x)| L para 0 < |x a| < .

De fato, se existirem L, > 0 tais que

|f(x)| L para 0 < |x a| <

segue que

L f(x) L para 0 < |x a| < ,e assim tomando-se m

.= L e M .= L teremos que

m f(x) M para 0 < |x a| < .

Por outro lado, se

m f(x) M para 0 < |x a| < ,tomando-se L

.= max{|M|, |m|} 0 temos que

M L () e L m. ()

Assim se 0 < |x a| < teremos que

L () m f(x) () M L, isto e, |f(x)| L,

como queramos mostrar.

Temos o

Exerccio 3.3.1 A funcao f : R R dada por

f(x) = x2 + 2x, x R

e limitada em x = 1.

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Resolucao:

De fato, se tomarmos, .

= 1, M = 2, m = 0 temos que

0 = m f(x) 8para todo x

(1

, 1 + ) = (0, 2) (neste caso, a funcao esta definida no ponto x = 1).

A verificacao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Geometricamente temos:

y = x2 + 2x

E

T

x

y

20

1

1

3

Observacao 3.3.21 Na verdade, no exemplo acima, temos que a fun cao f sera limitada emx = a, para cada a R, ou seja, para cada x = a existirao La, a > 0 tais que

|f(x)| La para |x a| < a.

A verificacao deste fato

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