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Mecanica Analítica. Notas de Clase

Alexis Larrañaga

30 de julio de 2012

Índice general

1. Mecánica Newtoniana 51.1. Una Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Trabajo y Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Fuerzas Conservativas y Energía Potencial . . . . . . . . . 71.1.4. Constantes de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4.1. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4.2. Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4.3. Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. N-Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Posición del Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Momentum Lineal Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3. Momento Angular Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3.1. Momento Angular y Centro de Masa . . . . . . . 141.2.4. Trabajo y Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.4.1. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4.2. Energía Cinética y Centro de Masa . . . . . . . 171.2.4.3. Energía Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4.4. Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . 21

1.2.5. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Formulación de Lagrange 222.1. Espacio de Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1. Una Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2. N�Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1. Espacio de Configuración Accesible . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1. Desplazamientos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2. Principio del Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.3. Principio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4. Sistemas Holónomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4.1. Fuerzas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

ÍNDICE GENERAL 2

2.5. Fuerzas Conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1. Potencial Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5.2. Fuerza Electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.2.1. Potencial generalizado . . . . . . . . . . . . . . . 412.6. Fuerzas no-Conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7. Transformaciones de Coordenadas (Transformación de punto) . . 452.8. Transformaciónes de Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9. Forma General de la Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.9.1. Teorema de Euler sobre Funciones Homogéneas . . . . . . 502.10. Cantidades conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10.1. Momentum Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.10.2. Energía Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.10.3. Energía Mecánica Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.11. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.12. Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.12.1. Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.12.2. Segunda Forma de la Ecuación de Euler . . . . . . . . . . 702.12.3. Ecuación de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.12.4. Transformaciones de Calibración . . . . . . . . . . . . . . 76

2.13. Extensión del Principio de Hamilton para Sistemas no-Holónomos 76

3. Problema de la Fuerza Central 913.1. Cantidades Conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1.1. Lagrangiano en el Plano del Movimiento . . . . . . . . . . 943.1.2. Momento Angular y Ley de la Areas . . . . . . . . . . . . 943.1.3. Energía y Cuadraturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2. Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.1. Potencial Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.2. Ecuación de Lagrange Radial . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2.3. Simetria de la Trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.2.4. Trayectorias Acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.4.1. Teorema de Bertrand (Orbitas Cerradas) . . . . 1013.2.5. Ecuación Diferencial de la Trayectoria . . . . . . . . . . . 103

3.3. Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.3.1. Periodo de la Órbita Elíptica . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3.2. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.3.3. Tercera Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.4. Ecuación de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4. Dispersión por Campos Centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.4.1. Sección Eficaz Diferencial de Dispersión . . . . . . . . . . 1143.4.2. Dispersión de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

ÍNDICE GENERAL 3

4. Cinemática del Cuerpo Rígido 1204.1. Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2. Transformaciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.1. Representación Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4. Teorema de Euler para el Movimiento de un Cuerpo Rigido . . . 128

4.4.1. Transformación de Similaridad . . . . . . . . . . . . . . . 1314.5. Tensor de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.6. Rotaciones Infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.6.1. El pseudovector d~⌦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.7. Razón de Cambio de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.8. Velocidad Angular en términos de los angulos de Euler . . . . . . 139

4.8.1. Fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.9. Velocidad angular y origen del sistema de coordenadas . . . . . . 142

5. Dinámica del Cuerpo Rígido 1445.1. Momento Angular del Cuerpo Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.2. El tensor de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3. Energía Cinética de Rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.4. Diadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.4.1. Operaciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.5. La diada de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.6. Momentos de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.6.1. Teorema de los Ejes Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.6.2. Teorema de la Diada de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.7. Transformación del Tensor de Inercia a los Ejes Principales . . . 1545.8. Ecuaciones de Euler para el Cuerpo Rígido . . . . . . . . . . . . 1565.9. Cuerpo Rígido Libre Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.10. Construcción de Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.10.1. Elipsoide de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.10.2. Movimiento del Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6. Aplicaciones 1676.1. Trompo Simétrico Pesado con un Punto Fijo . . . . . . . . . . . 167

6.1.1. Análisis de la Energía Potencial Efectiva . . . . . . . . . . 1696.1.1.1. Caso Particular (!

3

= 0) . . . . . . . . . . . . . 1706.1.1.2. Caso Particular (!

3

6= 0) . . . . . . . . . . . . . 1716.2. Cilindro en un Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.3. Lamina con un punto fijo deslizando en un plano horizontal . . . 1836.4. Precesión de Partículas Cargadas en un campo Magnético. . . . . 186

7. Formulación Hamiltoniana 1887.1. Transformaciones de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.1.1. Transformación de Legendre Total . . . . . . . . . . . . . 1897.1.2. Transformación de Legendre Parcial . . . . . . . . . . . . 190

7.2. El Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

ÍNDICE GENERAL 4

7.3. Derivación de las Ecuaciones de Hamilton a partir de un PrincipioVariacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.3.1. Transformaciones de Calibración . . . . . . . . . . . . . . 197

7.4. Espacio de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1987.5. Principio de la Mínima Acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.6. Coordenadas Cíclicas y Método de Routh . . . . . . . . . . . . . 204

7.6.1. Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.6.1.1. Ecuaciones de Routh . . . . . . . . . . . . . . . 2067.6.1.2. Teoremas de Conservación . . . . . . . . . . . . 207

7.7. Ecuaciones de Hamilton en Forma Matricial . . . . . . . . . . . . 2077.8. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.8.1. Corchetes Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.9. Ecuaciones de Hamilton y Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . 209

7.9.1. Teorema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107.9.2. Corchetes de Poisson en Forma Matricial . . . . . . . . . 211

7.10. Paréntesis de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8. Transformaciones Canónicas 213

Capítulo 1

Mecánica Newtoniana

1.1. Una PartículaPara describir el movimiento de una partícula se utiliza el vector de posición,

denotado por ~r. A partir de él, se definen los vectores velocidad y aceleraciónmediante

~v =

d~r

dt=

˙~r (1.1.1)

~a =

d~v

dt=

˙~v. (1.1.2)

También se define el momentum lineal o cantidad de movimiento como

~p = m~v. (1.1.3)

Las leyes de Newton describen la dinámica de la partícula y pueden resumirsecomo

Ley de Inercia: ~p = cte (1.1.4)

Segunda Ley: ~F =

d~p

dt(1.1.5)

Ley de Acción y Reacción: ~F12

=

~F21

. (1.1.6)

En un sistema de coordenadas cartesianas, la segunda ley de Newton corres-ponde a las ecuaciones

8

>

<

>

:

mx = Fx (x, y, z, x, y, z, t)

my = Fy (x, y, z, x, y, z, t)

mz = Fz (x, y, z, x, y, z, t) .

(1.1.7)

5

CAPÍTULO 1. MECÁNICA NEWTONIANA 6

A partir de estas ecuaciones, se puede encontrar la ley de movimiento, esdecir ~r = ~r (t) y a partir de esta, la ecuación de la trayectoria. Por ejemplo, siel movimiento se realiza en un plano, la ley de movimiento se reduce a

(

x = x (t)

y = y (t)

y la ecuación de la trayectoria corresponde a la función y = y (x) .De forma similar, la segunda ley de Newton se puede plantear en otros

sistemas de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricasse tiene

8

>

>

>

<

>

>

>

:

mr = Fr

⇣

r, ✓,', r, ˙✓, ', t⌘

m¨✓ = F✓⇣

r, ✓,', r, ˙✓, ', t⌘

m' = F'⇣

r, ✓,', r, ˙✓, ', t⌘

.

(1.1.8)

1.1.1. ImpulsoSi la fuerza se considera como una función del tiempo, i.e. ~F =

~F (t) se tiene

d~p

dt=

~F (t) (1.1.9)ˆd~p =

ˆ~F (t) dt (1.1.10)

y con ello se define el impulso como el cambio de momentum,

I = ~p2

� ~p1

=

ˆ t2

t1

~F (t) dt. (1.1.11)

Ahora bien, si la fuerza depende además de la posición y de la velocidad, setiene en general

I = ~p2

� ~p1

=

ˆ t2

t1

~Fh

~r (t) , ˙~r (t) , ti

dt. (1.1.12)

1.1.2. Trabajo y Energía CinéticaEl trabajo que una fuerza realiza sobre una partícula para llevarla desde un

punto 1 hasta un punto 2 se define como

W12

=

ˆ2

1

~F · d~r. (1.1.13)

Si la partícula no cambia su masa durante el recorrido, i.e. su masa es cons-tante, se puede escribir


W12

=

ˆ2

1

d~p

dt· d~r = m

ˆ2

1

d~v

dt· d~r = m

ˆ2

1

d~v

dt· ~vdt, (1.1.14)

donde se ha utilizado la definición de velocidad. Ahora bien, recordando que

dv2

dt=

d (~v · ~v)dt

(1.1.15)

2vdv

dt= 2~v · d~v

dt, (1.1.16)

el trabajo se convierte en

W12

= m

ˆ2

1

vdv

dtdt =

m

2

ˆ2

1

dv2

dtdt =

m

2

ˆ2

1

dv2 (1.1.17)

W12

=

1

2

m�

v22

� v21

�

. (1.1.18)

Definiendo la Energía Cinética de la partícula como

T =

1

2

mv2, (1.1.19)

se obtiene el teorema del trabajo-energía,

W12

= T2

� T1

. (1.1.20)

1.1.3. Fuerzas Conservativas y Energía PotencialEl trabajo que realiza una fuerza para llevar una partícula desde un punto

inicial 1 hasta un punto final 2 depende, en general, de la trayectoria que se sigue.Ahora bien, si el trabajo que realiza una fuerza particular es independiente dela trayectoria, se dice que esta fuerza es conservativa. Matemáticamente estoequivale a decir que el trabajo a lo largo de cualquier camino cerrado es cero,i.e.

˛~F · d~r = 0. (1.1.21)

Aplicando el teorema de Stokes a esta integral se tiene˛

~F · d~r =

ˆ ˆ⇣

~r⇥ ~F⌘

· d ~A = 0, (1.1.22)

donde ~A es el vector de area para la superficie encerrada por la trayectoriaconsiderada para calcular el trabajo. Con ello se puede concluir que una fuerza~F es conservativa si satisface

~r⇥ ~F = 0. (1.1.23)


Ya que el rotacional de un gradiente siempre es cero, una fuerza conservativapuede obtenerse a partir de una función escalar U mediante

~F = �~rU. (1.1.24)

La función U = U (~r, t) se denomina energía potencial. Ahora bien, si se calculael trabajo que una fuerza conservativa ejerce sobre una partícula en una trayec-toria no cerrada, y la energía potencial correspondiente no depende del tiempo,U = U (~r), se puede escribir

W12

=

ˆ2

1

~F · d~r = �ˆ

2

1

~rU · d~r. (1.1.25)

En coordenadas cartesianas, el gradiente se escribe

~rU =

✓

@U

@x,@U

@y,@U

@z

◆

, (1.1.26)

y por ello, el trabajo resulta ser

W12

= �ˆ

2

1

✓

@U

@xdx+

@U

@ydy +

@U

@zdz

◆

(1.1.27)

W12

= �ˆ

2

1

dU (1.1.28)

W12

= U1

� U2

. (1.1.29)

1.1.4. Constantes de Movimiento1.1.4.1. Energía

Nótese que si la energía potencial asociada con una fuerza conservativa nodepende del tiempo, el teorema del trabajo energía permite escribir

W12

= T2

� T1

= U1

� U2

. (1.1.30)

Reordenando términos,

T1

+ U1

= T2

+ U2

= E, (1.1.31)

donde se ha definido la Energía Mecánica Total como la suma de energía cinéticay potencial, E = T + U , y resulta ser una constante de movimiento.

Es importante notar que si la energía potencial depende del tiempo, U =

U (~r, t), la energía mecánica total no se conserva, ya que

@U

@xdx+

@U

@ydy +

@U

@zdz 6= dU (1.1.32)

en la ecuación (1.1.27).


Figura 1.1.1: Posición y Momentum referidos a un punto Q

1.1.4.2. Momentum

El momentum lineal de una partícula se conserva si no actúan fuerzas sobreella (primera ley de Newton),

Si ~F = 0 =) ~p = cte. (1.1.33)

1.1.4.3. Momentum Angular

El momentum angular de una partícula se define como

~l = ~r ⇥ ~p. (1.1.34)

De la Figura 1.1.1 se puede observar que esta cantidad depende del origende coordenadas que se este utilizando y por ello se denotará como subíndice elpunto con respecto al cual se evalua, i.e.

~lQ = ~rQ ⇥ ~p. (1.1.35)

De la misma forma, el torque es una cantidad que depende del punto conrespecto al cual se calcula y está dado por

~NQ = ~rQ ⇥ ~F . (1.1.36)

Si se utiliza la segunda ley, se tiene

~NQ = ~rQ ⇥d~p

dt. (1.1.37)

Ahora bien, nótese que


d

dt(~r ⇥ ~p) =

d~r

dt⇥ ~p+ ~r ⇥ d~p

dt(1.1.38)

= ~v ⇥ ~p+ ~r ⇥ d~p

dt(1.1.39)

= ~r ⇥ d~p

dt, (1.1.40)

debido a que ~v y ~p son paralelos. Por ello el torque resulta ser

~NQ =

d

dt(~rQ ⇥ ~p) =

d~lQdt

. (1.1.41)

Esta ecuación permite concluir que el momentum angular de una partículase conserva si no actúan torques sobre ella,

Si ~NQ = 0 =) ~lQ = cte. (1.1.42)

1.1.5. NotasEn una dimensión una partícula que esta sujeta a una enrgía potencial que

no depende del tiempo U = U (x) siente una fuerza dada por

~F = �dU

dxˆi. (1.1.43)

La relación entre trabajo y energía potencial es

�U = �ˆ x2

x1

F (x) dx. (1.1.44)

Si se toma un punto de referencia xref para medir la energía potencial, se definela función energía potencial en cada punto mediante

U (x) = �ˆ x

xref

F (x0) dx0. (1.1.45)

La energía mecánica total de la partícula será entonces

E =

1

2

mv2 + U (x) . (1.1.46)

A partir de esta relación, se puede encontrar

v2 =

2

m[E � U (x)] (1.1.47)

dx

dt=

r

2

m[E � U (x)], (1.1.48)


es decir,dx

q

2

m [E � U (x)]= dt. (1.1.49)

Se dice entonces que el problema se llevo a su primera cuadratura, dada porr

m

2

ˆ x

x0

dxp

E � U (x)= t� t

0

(1.1.50)

la cual permite, en principio, obtener la ecuación de movimiento x = x (t).

1.2. N-PartículasSi se tiene un sistema de N�partículas, las fuerzas que actúan sobre una de

ellas, por ejemplo sobre la i�esima partícula, se pueden clasificar en:

Furzas externas, denotadas por ~F (E)

i

Fuerzas internas, denotadas por ~Fji con i 6= j. (nótese que ~Fii = 0).

La ecuación de movimiento para la i�esima partícula será

d~pidt

=

~F (E)

i +

NX

j=1

~Fji. (1.2.1)

Al sumar sobre todas las partículas del sistema se tiene

NX

i=1

d~pidt

=

NX

i=1

~F (E)

i +

NX

i=1

NX

j=1

~Fji. (1.2.2)

Debido a la tercera ley de Newton, el último término de la derecha es cero y porello se puede escribir

NX

i=1

d~pidt

=

~F (E), (1.2.3)

donde ~F (E)

=

PNi=1

~F (E)

i es la fuerza total externa que actua sobre el sistema.Si la masa de cada una de las partículas no cambia, esta ecuación se convierteen

NX

i=1

d~pidt

=

NX

i=1

d (mi~vi)

dt=

NX

i=1

mid2~ridt2

=

~F (E) (1.2.4)

d2

dt2

"

NX

i=1

mi~ri

#

=

~F (E). (1.2.5)


1.2.1. Posición del Centro de MasaLa posición del centro de masa se define mediante

~R =

PNi=1

mi~riPN

i=1

mi

=

PNi=1

mi~riM

,

donde M =

PNi=1

mi es la masa total del sistema. De esta forma, la ecuaciónde movimiento del sistema (1.2.5) describe el movimiento del centro de masa,

d2

dt2

h

M ~Ri

=

~F (E). (1.2.6)

1.2.2. Momentum Lineal TotalEl momentum total del sistema se define en términos de la masa total del

sistema y de la velocidad del centro de masa como

~P = M ~V = Md~R

dt. (1.2.7)

De esta forma, la ecuación de movimiento del centro de masa resulta ser

d2

dt2

h

M ~Ri

=

d

dt

"

Md~R

dt

#

=

~F (E) (1.2.8)

d~P

dt=

~F (E). (1.2.9)

Es decir, que el movimiento del centro de masa depende únicamente delas fuerzas externas que actuan sobre el sistema. Esto permite concluir que sila fuerza total externa que actua sobre un sistema de N�partículas es cero,entonces su momentum lineal total se conserva,

Si ~F (E)

= 0 =) ~P = cte. (1.2.10)

1.2.3. Momento Angular TotalEl momento angular medido con respecto a un punto Q para una de las

partículas del sistema está dado por

~liQ = ~riQ ⇥ ~pi. (1.2.11)

Si se suma sobre todas las partículas, se obtiene el momento angular total delsistema,

~lQ =

NX

i=1

(~riQ ⇥ ~pi) . (1.2.12)


Ahora bien, multiplicando la ecuación (1.2.1) por la posición ~riQ de lai�esima partícula se tiene

~riQ ⇥d~pidt

= ~riQ ⇥ ~F (E)

i + ~riQ ⇥NX

j=1

~Fji, (1.2.13)

que puede re-escribirse como

d

dt(~riQ ⇥ ~pi) = ~riQ ⇥ ~F (E)

i +

NX

j=1

⇣

~riQ ⇥ ~Fji

⌘

. (1.2.14)

Al sumar sobre todas las partículas del sistema se tiene

d

dt

NX

i=1

(~riQ ⇥ ~pi) =NX

i=1

⇣

~riQ ⇥ ~F (E)

i

⌘

+

NX

i=1

NX

j=1

⇣

~riQ ⇥ ~Fji

⌘

(1.2.15)

d~lQdt

=

NX

i=1

⇣

~riQ ⇥ ~F (E)

i

⌘

+

NX

i=1

NX

j=1

⇣

~riQ ⇥ ~Fji

⌘

. (1.2.16)

Definiendo el torque externo total del sistema mediante

~N (E)

Q =

NX

i=1

⇣

~riQ ⇥ ~F (E)

i

⌘

, (1.2.17)

se tiene

d~lQdt

=

~N (E)

Q +

NX

i=1

NX

j=1

⇣

~riQ ⇥ ~Fji

⌘

. (1.2.18)

La tercera ley de Newton (~Fji = �~Fij) permite escribir

~riQ ⇥ ~Fji + ~rjQ ⇥ ~Fij = ~riQ ⇥ ~Fji � ~rjQ ⇥ ~Fji (1.2.19)

= (~riQ � ~rjQ)⇥ ~Fji. (1.2.20)

Definiendo ~rij = ~riQ � ~rjQ se tiene

~riQ ⇥ ~Fji + ~rjQ ⇥ ~Fij = ~rij ⇥ ~Fji. (1.2.21)

Con esta relación es posible definir dos variantes para la tercera ley de New-ton. Se dice que la Tercera Ley de Newton Fuerte se cumple si ~rij ⇥ ~Fji = 0.Por otro lado se dice que la Tercera Ley de Newton Débil se cumple aún si~rij ⇥ ~Fji 6= 0. La diferencia entre estas dos versiones de la Tercera Ley se puedecomprender mediante la Figura 1.2.1.


Figura 1.2.1: a) Fuerzas que obedecen la tercera ley fuerte. b) Fuerzas que obedecenúnica-mente la tercera ley débil.

De esta forma, si el sistema de N�partículas satisface la tercera ley fuerte,la ecuación (1.2.18) resulta ser

d~lQdt

=

~N (E)

Q , (1.2.22)

y bajo esta suposición podemos afirmar que el momento angular total depen-de únicamente de los torques externos que actuan sobre el sistema. Esto per-mite concluir que si el torque externo total que actua sobre un sistema deN�partículas es cero, entonces su momentum angular total se conserva,

Si ~N (E)

Q = 0 =) ~lQ = cte. (1.2.23)

Nótese que para la conservación del momentum lineal ~P es necesario quese cumpla solamente la tercera ley débil, mientras que para la conservación delmomento angular ~l es necesario que se cumpla la tercera ley fuerte.

1.2.3.1. Momento Angular y Centro de Masa

Como se dijo arriba, el momento angular total de un sistema depende delpunto con respecto al cual se calcula. Si se define ~R como la posición del centrode masa, la posición de la partícula mi con respecto al centro de masa, ~r0i, y conrespecto a otro punto Q cualquiera, ~riQ, se relacionan mediante (ver Figura 2.)

~riQ = ~r0i + ~R. (1.2.24)

Derivando con respecto al tiempo se tiene

~viQ = ~v0i + ~V . (1.2.25)

De esta forma, el momento angular total del sistema será


Figura 1.2.2: Posición de una partícula referida a un punto Q y al centro de masa (CM)

~lQ =

NX

i=1

(~riQ ⇥ ~pi) (1.2.26)

=

NX

i=1

h⇣

~r0i + ~R⌘

⇥mi

⇣

~v0i + ~V⌘i

(1.2.27)

=

NX

i=1

h

~r0i ⇥mi~v0i + ~r0i ⇥mi

~V +

~R⇥mi~v0i +

~R⇥mi~Vi

. (1.2.28)

Sin embargo, nótese que debido a la definición del centro de masa

NX

i=1

~R⇥mi~v0i =

~R⇥NX

i=1

mi~v0i =

~R⇥ d

dt

NX

i=1

mi~r0i = 0 (1.2.29)

y también

NX

i=1

~r0i ⇥mi~V =

NX

i=1

mi~r0i ⇥ ~V = 0. (1.2.30)

Por ello, el momento angular total del sistema resulta ser


~lQ =

NX

i=1

h

~r0i ⇥mi~v0i +

~R⇥mi~Vi

(1.2.31)

=

NX

i=1

(~r0i ⇥mi~v0i) +

~R⇥

NX

i=1

mi

!

~V (1.2.32)

=

NX

i=1

(~r0i ⇥ ~p0i) + ~R⇥M ~V (1.2.33)

=

NX

i=1

(~r0i ⇥ ~p0i) + ~R⇥ ~P . (1.2.34)

El primer término puede identificarse como el momento angular total medidocon respecto al centro de masa, por lo que se tiene finalmente

~lQ =

~l0 + ~R⇥ ~P . (1.2.35)

1.2.4. Trabajo y EnergíaEl trabajo realizado sobre un sistema de N�partículas puede escribirse como

la superposición de los trabajos hechos sobre cada una de las partículas,

W12

=

NX

i=1

ˆ2

1

~Fi · d~ri (1.2.36)

W12

=

NX

i=1

ˆ2

1

2

4

~F (E)

i · d~ri +NX

j=1

~Fji · d~ri

3

5 , (1.2.37)

donde el primer término representa las contribuciones de las fuerzas externas yel segundo término las contribuciones de las fuerzas internas.

1.2.4.1. Energía Cinética

La ecuación (1.2.36) se puede reescribir como

W12

=

NX

i=1

ˆ2

1

~Fi · d~ri =NX

i=1

ˆ2

1

mi˙~ iv · d~ri =

NX

i=1

mi

ˆ2

1

˙~ iv · ~vidt. (1.2.38)

Utilizando el resultado ˙~v · ~v = vv, mostrado antes, se tiene

W12

=

NX

i=1

mi

ˆ2

1

vividt =NX

i=1

mi

ˆ2

1

vidvi (1.2.39)


W12

=

NX

i=1

1

2

mi v2

i

�

�

2

1

. (1.2.40)

Definiendo la energía cinética del sistema como

T =

NX

i=1

1

2

miv2

i (1.2.41)

se obtiene el teorema del trabaj-energía para un sistema de N�partículas,

W12

= T2

� T1

. (1.2.42)

1.2.4.2. Energía Cinética y Centro de Masa

Considerando de nuevo el centro de masa y un punto cualquiera Q, lasposiciones y velocidades se relacionan mediante las ecuaciones (1.2.24) y (1.2.51).Con ello, la energía cinética del sistema medida con respecto al punto Q se puedereescribir como

T =

NX

i=1

1

2

miv2

iQ =

NX

i=1

1

2

mi

⇣

~v0i + ~V⌘

·⇣

~v0i + ~V⌘

(1.2.43)

T =

NX

i=1

1

2

mi

h

v02i + 2~v0i · ~V + V 2

i

. (1.2.44)

Sin embargo, debido a la definición del centro de masa,

NX

i=1

1

2

mi

⇣

2~v0i · ~V⌘

=

NX

i=1

mi~v0i

!

· ~V = 0. (1.2.45)

De esta forma, la energía cinética es

T =

NX

i=1

1

2

miv02i +

NX

i=1

1

2

miV2 (1.2.46)

T =

NX

i=1

1

2

miv02i +

1

2

MV 2. (1.2.47)

El primer término en esta expresión es la energía cinética del sistema medidacon respecto al centro de masa, mientras que el segundo término corresponde ala energía cinética del Centro de Masa.


1.2.4.3. Energía Potencial

Si las fuerzas externas que actuan sobre un sistema son todas del tipo con-servativo se pueden definir las energías potenciales correspondientes y escribir

NX

i=1

ˆ2

1

~F (E)

i · d~ri = �NX

i=1

ˆ2

1

~riUi · d~ri. (1.2.48)

En coordenadas cartesianas se tiene

NX

i=1

ˆ2

1

~F (E)

i · d~ri = �NX

i=1

ˆ2

1

@Ui

@xidxi +

@Ui

@yidyi +

@Ui

@zidzi

�

. (1.2.49)

Si las energías potenciales no dependen del tiempo, dUi =@U

i

@xi

dxi +@U

i

@yi

dyi +@U

i

@zi

dzi, y con ello

NX

i=1

ˆ2

1

~F (E)

i · d~ri = �NX

i=1

ˆ2

1

dUi, (1.2.50)

es decir

NX

i=1

ˆ2

1

~F (E)

i · d~ri = �NX

i=1

Ui

�

�

�

�

�

2

1

. (1.2.51)

Por otro lado, si las fuerzas internas ~Fji son conservativas se pueden escribiren términos de funciones de energía potencial,

~Fji = �~riUji. (1.2.52)

Si se cumple la tercera ley fuerte, se tiene

~Fji = �~riUji =~rjUij = �~Fij , (1.2.53)

per para que esto sea cierto debe cumplirse

Uji = Uij . (1.2.54)

Con ello, concluimos que la energía potencial Uji dependerá únicamente dela distancia entre las partículas involucradas en la interacción, esto es

Uji = Uji (|~rj � ~ri|) = Uji (s) , (1.2.55)

dondes =

q

(xj � xi)2

+ (yj � yi)2

+ (zj � zi)2. (1.2.56)


EjemploSi consideramos el caso particular

U21

= U12

= U = s2 = (x2

� x1

)

2

+ (y2

� y1

)

2

+ (z2

� z1

)

2

se tiene

~F21

= �~r1

U21

= �✓

@U

@x1

î+@U

@y1

ˆj +@U

@z1

ˆk

◆

= �2h

(x2

� x1

)

î+ (y2

� y1

)

ˆj + (z2

� z1

)

ˆki

~F21

= �2 (~r2

� ~r1

) .

De forma similar,

~F12

= �~r2

U12

= �✓

@U

@x2

î+@U

@y2

ˆj +@U

@z2

ˆk

◆

= 2

h

(x2

� x1

)

î (y2

� y1

)

ˆj + (z2

� z1

)

ˆki

~F12

= 2 (~r2

� ~r1

) .

Con ello, se comprueba que en este caso particular

~F21

= �~r1

U21

= �2 (~r2

� ~r1

) =

~r2

U12

= �~F12

.

De esta forma, en el trabajo hecho por las fuerzas internas aparecerán parejasde términos de la forma

ˆ2

1

~Fji · d~ri +ˆ

2

1

~Fij · d~rj .

Si estas fuerzas son conservativas y se cumple la tercera ley fuerte, se tiene


ˆ2

1

~Fji · d~ri +ˆ

2

1

~Fij · d~rj = �ˆ

2

1

~riUji · d~ri �ˆ

2

1

~rjUij · d~rj

= �ˆ

2

1

~riUji · d~ri +ˆ

2

1

~riUji · d~rj

= �ˆ

2

1

~riUji · (d~ri � d~rj) . (1.2.57)

Definiendo ~rij = ~ri � ~rj , se puede escribirˆ

2

1

~Fji · d~ri +ˆ

2

1


2

1

~riUji · d~rij . (1.2.58)

Ahora bien, si se define el operador diferencial ~rij con derivadas con respecto a

xij = xi � xj

yij = yi � yj

zij = zi � zj ,

se tiene

~rijUji =~riUji = �~rjUji. (1.2.59)

De esta forma,ˆ

2

1

~Fji · d~ri +ˆ

2

1


2

1

~rijUji · d~rij , (1.2.60)

y si las energias potenciales no dependen del tiempo,ˆ

2

1

~Fji · d~ri +ˆ

2

1


2

1

dUji = � Uji|21

. (1.2.61)

El trabajo hecho por las fuerzas internas se obtiene al sumar sobre todaslas contribuciones que tienen esta forma. por ello, teniendo en cuenta que noexisten contribuciones con i = j y además que en la suma aparecen las parejasde términos descritas, se obtiene

X

i 6=j

~Fji · d~ri = �1

2

X

i 6=j

Uji

�

�

�

�

�

�

2

1

. (1.2.62)

La Energía Potencial del sistema se obtiene sumando las energias potencialesdebidas a las fuerzas externas (1.2.51) y las debidas a las fuerzas internas,

U |21

=

NX

i=1

Ui

�

�

�

�

�

2

1

+

1

2

X

i 6=j

Uji

�

�

�

�

�

�

2

1

. (1.2.63)


1.2.4.4. Conservación de la Energía

A partir del teorema de trabajo-energía (1.2.42) se tiene

W12

= T2

� T1

(1.2.64)

y de la ecuación (1.2.36),

W12

= � U |21

= �NX

i=1

Ui

�

�

�

�

�

2

1

� 1

2

X

i 6=j

Uji

�

�

�

�

�

�

2

1

. (1.2.65)

Por lo tanto

W12

= T2

� T1

= U1

� U2

, (1.2.66)

con lo que se puede definir la cantidad conservada denominada energía mecánicatotal,

E = T1

+ U1

= T2

+ U2

. (1.2.67)

1.2.5. NotasEn el caso particular del cuerpo rígido la distancia entre las diferentes par-

ticulas es siempre constante, esto es

rij = constante (1.2.68)

y ya que

~rij · ~rij = r2ij = cte. (1.2.69)

entonces

~rij · d~rij = 0. (1.2.70)

Con ello podemos concluir que

~Fij · d~rij = 0, (1.2.71)

es decir que para el cuerpo rígido, las fuerzas internas no hacen trabajo.

Capítulo 2

Formulación de Lagrange

2.1. Espacio de Configuración

2.1.1. Una PartículaComo es conocido, para describir la posición de una partícula se necesitan

tres números, (x1

, x2

, x3

). Si se está trabajando con un sistema de coordenadascartesiano los tres números son las coordenadas (x, y, z) y con ello la posiciónestará dada por el vector

~r = xˆi+ yˆj + zˆk. (2.1.1)

Si se trabaja en coordenadas esféricas, los tres números que definen la posi-ción de la partícula son las coordenadas (r, ✓,'). Existe una relación entre losdos sitemas de coordenadas dada por

8

>

<

>

:

x = r sin ✓ cos'

y = r sin ✓ sin'

z = r cos ✓

(2.1.2)

o por su inversa8

>

>

<

>

>

:

r =

p

x2

+ y2 + z2

✓ = tan

�1

�

yx

�

' = tan

�1

✓px2

+y2

z

◆

.

(2.1.3)

En general, si se utiliza el conjunto de coordenadas (x1

, x2

, x3

) y otro con-junto (q

1

, q2

, q3

) denominadas coordenadas generalizadas, se puede escribir larelación entre los dos sistemas como

xi = xi (q1, q2, q3, t) con i = 1, 2, 3. (2.1.4)

La transformación inversa

22

CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN DE LAGRANGE 23

qj = qj (x1

, x2

, x3

, t) con j = 1, 2, 3 (2.1.5)

existe si el jacobiano tiene un determinante diferente de cero, i.e.

det |J | = det

�

�

�

�

�

�

�

@x1@q1

@x1@q2

@x1@q3

@x2@q1

@x2@q2

@x2@q3

@x3@q1

@x3@q2

@x3@q3

�

�

�

�

�

�

�

6= 0, (2.1.6)

o en notación más corta

det |J | = det

�

�

�

�

@xi

@qj

�

�

�

�

6= 0. (2.1.7)

2.1.2. N�PartículasPara describir la posición de N�partículas se necesitan 3N números

x1

, x2

, x3

, ..., x3N

o N vectores,

~r1

,~r2

, ...,~rN . (2.1.8)

En general, se puede definir un conjunto de coordenadas generalizadas, re-lacionadas mediante la transformación

xi = xi (q1, q2, ..., q3N , t) con i = 1, 2, ..., 3N. (2.1.9)

De nuevo, la transformación inversa

qj = qj (x1

, x2

, ..., x3N , t) con j = 1, 2, ..., 3N (2.1.10)

existe si el jacobiano tiene un determinante diferente de cero, i.e.

det |J | = det

�

�

�

�

@xi

@qj

�

�

�

�

6= 0. (2.1.11)

Estas transformaciones también se pueden escribir en forma vectorial

~ri = ~ri (q1, q2, ..., q3N , t) con i = 1, 2, ..., N. (2.1.12)

El espacio de configuración es aquel espacio que permite describir la posicióndel sistema de N�partículas. Por lo tanto es un espacio de 3N dimensiones, yel estado del sistema se da por una 3N�upla,

{x1

, x2

, ..., x3N} 2 R3N (2.1.13)

{q1

, q2

, ..., q3N} 2 R3N . (2.1.14)


Ahora bien, si para el instante t = 0 el sistema se encuentra en la configura-ción

~x (t = 0) = {(x1

)

0

, (x2

)

0

, ..., (x3N )

0

}

entonces la Ley de Muto establece que para un tiempo posterior su configuraciónestará dada por

~x (t) = {x1

(t) , x2

(t) , ..., x3N (t)} .

2.2. LigadurasLas ligaduras son restricciones geométricas o cinemáticas que limitan el mo-

vimiento del sistema. Algunos ejemplos sonLigaduras GeométricasLigaduras Cinemáticas

Adx+Bdy + Cdz +Ddt = 0. (2.2.1)

Las ligaduras geométricas dependen únicamente de la posición y del tiempoy se clasifican en ligaduras holónomas cuando pueden escribirse como

h (~x, t) = 0 (2.2.2)

y ligaduras no-holónomas si se escriben como

h (~x, t) � 0. (2.2.3)

Las ligaduras cinemáticas dependen de la posición, de la velocidad y deltiempo. También se clasifican en ligaduras holónomas si pueden escribirse como

h⇣

~x, ˙~x, t⌘

= 0 (2.2.4)

y ligaduras no-holónomas si se escriben como

h⇣

~x, ˙~x, t⌘

� 0. (2.2.5)

Si una ligadura depende explícitamente del tiempo,

@h

@t6= 0 (2.2.6)

se dice que esta es una ligadura reónoma. Por otro lado, si una ligadura NOdepende explícitamente del tiempo,

@h

@t= 0 (2.2.7)

se dice que esta es una ligadura esclerónoma.


2.2.1. Espacio de Configuración AccesibleLa existencia de ligaduras restringe el espacio de configuración de un siste-

ma ya que los estados posibles son solo aquellos que satisfacen las ligaduras.Matemáticamente, el espacio de configuración accesible será

�

~x 2 R3N�~x sean compatibles con las ligaduras

. (2.2.8)

En general, esto hace que el espacio de configuración accesible tenga una dimen-sión 3N .

Dos dificultades que se introducen al considerar ligaduras son1. Las ligaduras hacen que las coordenadas xi no son todas independientes2. Las fuerzas de ligadura son desconocidas (es decir que son nuevas incog-

nitas)Para resolver la primera dificultad se utilizan las coordenadas generalizadas,

ya que estas pueden definirse de tal forma que todas ellas sean independientes.

EjemploN�partículas �!Espacio de Configuración: R3N

ligaduras holónomasDimensión del espacio de configuración accesible: 3N � {x

1

, x2

, ..., x3N}: no todas son independientes

{q1

, q2

, ..., q3N�}: todas son independientes

Transformación de coordenadas:~ri = ~ri (q1, q2, ..., q3N�, t) con i = 1, 2, ..., N

Las ligaduras no-holónomas no permiten eliminar coordenadas. Usualmenteeste tipo de ligaduras se resuelven (integran) después de solucionar el problema.

2.3. Trabajo Virtual

2.3.1. Desplazamientos VirtualesSuponga que ahora se tiene un sistema con:N�partículas �!Espacio de Configuración: R3N

l ligaduras geométricas holónomasm ligaduras cinemáticas holónomas = l +m ligaduras holónomas en totalLas ligaduras se pueden escribir como

(

h↵ (x1

, ..., x3N , t) = 0 con ↵ = 1, 2, 3, ..., l

h� (x1

, ..., x3N,x1

, ..., , x3N , t) = 0 con � = 1, 2, 3, ...,m.

(2.3.1)


Si las ligaduras cinemáticas se escriben de la forma

3NX

i=1

ai� (x1

, ..., x3N , t) xi + b� (x1

, ..., x3N , t) = 0, (2.3.2)

entonces

(

P

3Ni=1

@h↵

@xi

xi +@h

↵

@t = 0 con ↵ = 1, ..., lP

3Ni=1

ai� (x1

, ..., x3N , t) xi + b� (x1

, ..., x3N , t) = 0 con � = 1, ...,m.

(2.3.3)Estas constituyen relaciones entre las velocidades. Una configuración de

velocidad esta dada por

˙~x = {x1

, x2

, ..., x3N} (2.3.4)

la cual se puede escribir como

˙~xdt = d~x, (2.3.5)

donded~x = {dx

1

, dx2

, ..., dx3N} (2.3.6)

corresponde a los desplazamientos posibles para el sistema. De esta forma seobtiene

(

P

3Ni=1

@h↵

@xi

dxi +@h

↵

@t dt = 0

P

3Ni=1

ai�dxi + b�dt = 0.(2.3.7)

Ahora bien, si se considera un instante de tiempo fijo, t = tfijo estas condi-ciones serán

(

P

3Ni=1

@h↵

@xi

�xi = 0

P

3Ni=1

ai��xi = 0,(2.3.8)

donde los �xi se denominan desplazamientos virtuales.

2.3.2. Principio del Trabajo VirtualN�partículas �!Espacio de Configuración: R3N

ligaduras holónomas en totalSobre la partícula j�ésima actua una fuerza total ~Fj . La segunda ley asegura

que

~Fj = mj¨~rj . (2.3.9)

Ahora bien, la fuerza total puede descomponenrse en fuerzas aplicadas y fuerzasde ligadura,


~Fj =~F (a)j +

~fj , (2.3.10)

y por ello

~F (a)j +

~fj = mj¨~rj . (2.3.11)

Si el sistema se encuentra en equilibrio, ~Fj = 0 para j = 1, 2, ..., N , el trabajovirtual sobre cada partícula será cero. Esto es

�Wj =~Fj · �~rj = 0. (2.3.12)

Si estos trabajos virtuales se suman, se obtiene el trabajo virtual total del sis-tema,

W =

NX

j=1

~Fj · �~rj = 0

W =

NX

j=1

⇣

~F (a)j +

~fj⌘

· �~rj = 0

W =

NX

j=1

~F (a)j · �~rj +

NX

j=1

~fj · �~rj = 0.

Se dice que las ligaduras del sistema son ideales si sus correspondientesfuerzas no hacen trabajo. Un ejemplo claro de este tipo de fuerzas es la normal.A partir de este momento, se asumirá que todas las ligaduras consideradas sonideales, y por ello, si el trabajo total es nulo,

(

PNj=1

~fj · �~rj = 0

PNj=1

~F (a)j · �~rj = 0 =

P

3Ni=1

F (a)i �xi.

(2.3.13)

Nótese que la segunda ecuación no implica que las fuerzas aplicadas sean ceroya que los �~rj no son todos independientes.

De esta forma, es posible enunciar el principio del trabajo virtual como:La configuración ~x

0

= {(x1

)

0

, (x2

)

0

, ..., (x3N )

0

} representa un sistema enequilibrio si y solo si la suma de los trabajos virtuales de las fuerzas aplicadasen dicha configuración (y compatibles con la configuración) es igual a cero.

2.3.3. Principio de D’AlambertEl principio de D’Alambert asegura que,Cualquier configuración de un sistema en un instante dado puede conside-

rarse como una configuración de equilibrio si se tienen en cuenta, además delas fuerzas aplicadas, las fuerzas de inercia.

Si se consideran las fuerzas de inercia, el trabajo virtual para un sistema conligaduras ideales será


NX

j=1

⇣

~F (a)j �mj

¨~rj⌘

· �~rj = 0 =

3NX

i=1

⇣

F (a)i �mixi

⌘

�xi. (2.3.14)

Los �xi (es decir los �~rj) no son todos independientes ya que existen = l+mrelaciones de ligadura, dadas por

(

P

3Ni=1

@h↵

@xi

�xi = 0 con ↵ = 1, ..., lP

3Ni=1

ai��xi = 0, con � = 1, ...,m(2.3.15)

es decir que existen solamente 3N� desplazamientos virtuales independientes.

2.4. Sistemas HolónomosSuponga que se tiene un sistema conN�partículas �!Espacio de Configuración: R3N

ligaduras geométricas holónomas, escritas de la forma

h↵ (~x, t) = 0 con ↵ = 1, ..., (2.4.1)

Los grados de libertad del sistema son n = 3N � (en general n 3N).Se definen n coordenadas generalizadas, q

1

, q2

, ..., qn. De esta forma, la con-figuración del sistema se puede escribir como

~x = {x1

, ..., x3N} 2 R3N (2.4.2)

o como

~q = {q1

, ..., qn} 2 Rn. (2.4.3)

La transformación de coordenadas que relaciona estas dos representacionesse puede escribir como

~rj = ~rj (q1, ..., qn, t) con j = 1, ..., N (2.4.4)

o como

xi = xi (q1, ..., qn, t) con i = 1, ..., 3N. (2.4.5)

De esta forma se tiene

xi =

nX

k=1

@xi

@qkqk +

@xi

@t(2.4.6)

donde las qk se denominan velocidades generalizadas.Ahora bien, ya que

xi =@xi

@q1

q1

+ ...+@xi

@qnqn +

@xi

@t(2.4.7)


es claro que

@xi

@qk=

@xi

@qk. (2.4.8)

Por otro lado, a partir de la ecuación (2.4.6), se puede escribir

dxi =

nX

k=1

@xi

@qkdqk +

@xi

@tdt (2.4.9)

y por ello, considerando un instante de tiempo fijo, se obtiene una relación entrelos desplazamientos virtuales �xi y �qk,

�xi =

nX

k=1

@xi

@qk�qk. (2.4.10)

2.4.1. Fuerzas GeneralizadasUtilizando la relación (2.4.10), el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas será

3NX

i=1

F (a)i �xi =

3NX

i=1

F (a)i

nX

k=1

@xi

@qk�qk =

nX

k=1

"

3NX

i=1

F (a)i

@xi

@qk

#

�qk. (2.4.11)

Al término entre paréntesis se le denomina fuerza generalizada,

Qk =

3NX

i=1

F (a)i

@xi

@qk, (2.4.12)

o también

Qk =

NX

j=1

~F (a)j · @~rj

@qk. (2.4.13)

De esta forma, el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas será

3NX

i=1

F (a)i �xi =

nX

k=1

Qk�qk. (2.4.14)

Por otro lado, el trabajo virtual de las fuerzas de inercia es

3NX

i=1

mixi�xi =

3NX

i=1

mixi

nX

k=1

@xi

@qk�qk =

nX

k=1

"

3NX

i=1

mixi@xi

@qk

#

�qk. (2.4.15)

Ahora bien,


d

dt

✓

xi@xi

@qk

◆

= xi@xi

@qk+ xi

d

dt

✓

@xi

@qk

◆

. (2.4.16)

Además,

d

dt

✓

@xi

@qk

◆

=

nX

l=1

@

@ql

✓

@xi

@qk

◆

ql +@

@t

✓

@xi

@qk

◆

(2.4.17)

d

dt

✓

@xi

@qk

◆

=

nX

l=1

@

@qk

✓

@xi

@ql

◆

ql +@

@qk

✓

@xi

@t

◆

(2.4.18)

d

dt

✓

@xi

@qk

◆

=

@

@qk

"

nX

l=1

@xi

@qlql +

@xi

@t

#

(2.4.19)

d

dt

✓

@xi

@qk

◆

=

@xi

@qk. (2.4.20)

Reemplazando esta relación en (2.4.16) se obtiene

d

dt

✓

xi@xi

@qk

◆

= xi@xi

@qk+ xi

@xi

@qk, (2.4.21)

es decir

xi@xi

@qk=

d

dt

✓

xi@xi

@qk

◆

� xi@xi

@qk. (2.4.22)

Utilizando la ecuación (2.4.8) en el primer término de la derecha,

xi@xi

@qk=

d

dt

✓

xi@xi

@qk

◆

� xi@xi

@qk(2.4.23)

xi@xi

@qk=

d

dt

✓

1

2

@x2

i

@qk

◆

� 1

2

@x2

i

@qk. (2.4.24)

Al reemplazar esta expresión en la ecuación para el trabajo virtual de lasfuerzas de inercia, (2.4.14), se tiene

3NX

i=1

mixi�xi =

nX

k=1

3NX

i=1

mi

d

dt

✓

1

2

@x2

i

@qk

◆

� 1

2

@x2

i

@qk

�

�qk (2.4.25)

3NX

i=1

mixi�xi =

nX

k=1

3NX

i=1

d

dt

✓

@

@qk

✓

1

2

mix2

i

◆◆

� @

@qk

✓

1

2

mix2

i

◆�

�qk (2.4.26)

3NX

i=1

mixi�xi =

nX

k=1

"

d

dt

@

@qk

3NX

i=1

1

2

mix2

i

!

� @

@qk

3NX

i=1

1

2

mix2

i

#

�qk. (2.4.27)


Identificando la energía cinética,

T =

3NX

i=1

1

2

mix2

i , (2.4.28)

el trabajo virtual de las fuerzas de inercia es

3NX

i=1

mixi�xi =

nX

k=1

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� @T

@qk

�

�qk. (2.4.29)

A partir del principio de D’Alambert (2.3.14), los trabajos virtuales (2.4.14)y (2.4.29) dan finalmente

3NX

i=1

⇣

F (a)i �mixi

⌘

�xi =

nX

k=1

Qk�qk �nX

k=1

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� @T

@qk

�

�qk = 0 (2.4.30)

nX

k=1

Qk �d

dt

✓

@T

@qk

◆

+

@T

@qk

�

�qk = 0. (2.4.31)

Ya que los desplazamientos virtuales en las coordenadas generalizadas, �qk, sontodos independientes se concluye que

Qk �d

dt

✓

@T

@qk

◆

+

@T

@qk= 0, (2.4.32)

con lo que se obtienen finalmente las Ecuaciones de Lagrange de Primera Espe-cie,

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� @T

@qk= Qk, (2.4.33)

con k = 1, 2, ..., n.

EjemploPendulo Simple


Pendulo Simple

Espacio de Configuración: R3

Ligaduras

(

z = 0

x2

+ y2 = l2

Grados de Libertad: n = 3N � = 3� 2 = 1

Coordenada Generalizada: q = ✓Transformación de coordenadas:

x = l cos ✓

y = l sin ✓.

De esta forma, las velocidades serán

x = l ˙✓ sin ✓

y = l ˙✓ cos ✓.

La energía cinética es

T =

1

2

m�

x2

+ y2�

=

1

2

m

✓

⇣

�l ˙✓ sin ✓⌘

2

+

⇣

l ˙✓ cos ✓⌘

2

◆

T =

1

2

ml2 ˙✓2.

Por otro lado, la fuerza generalizada viene dada por

Q✓ =~F (a) · @~r

@✓,

donde la fuerza aplicada es el peso,

~F (a)= mgî,

y ya que

~r = l cos ✓î+ l sin ✓ˆj

entonces

@~r

@✓= �l sin ✓î+ l cos ✓ˆj.

De esta forma,

Q✓ =

⇣

mgî⌘

·⇣

�l sin ✓î+ l cos ✓ˆj⌘


Q✓ = �mgl sin ✓.

Por otro lado, se tienen las derivadas

@T

@✓= 0

@T

@ ˙✓= ml2 ˙✓

d

dt

✓

@T

@ ˙✓

◆

= ml2¨✓.

De esta forma, la ecuación de Lagrange resulta ser

d

dt

✓

@T

@ ˙✓

◆

� @T

@✓= Q✓

ml2¨✓ = �mgl sin ✓

¨✓ +g

lsin ✓ = 0.

Desplazamientos virtuales en el péndulo simple.

En la Figura 3a. puede observarse la representación de un desplazamien-to virtual �x y su relación con el desplazamiento virtual de la coordenadageneralizada �✓. Con ello se nota inmediatamente que el trabajo virtual será

�W = �mg�x

�W = �mgl sin ✓�✓.

El término que acompaña a �✓ corresponde a la fuerza generalizada, es decirQ✓ = �mgl sin ✓.


EjemploPendulo Compuesto

Pendulo Compuesto

Número de Partículas: 2Espacio de Configuración: R6

Ligaduras

8

>

>

>

<

>

>

>

:

z1

= 0

z2

= 0

x2

1

+ y21

= l21

(x2

� x1

)

2

+ (y2

� y1

)

2

= l22


Coordenadas Generalizadas:

(

q1

= ✓1

q2

= ✓2

Transformación de coordenadas:8

>

<

>

:

x1

= l1

cos ✓1

y1

= l1

sin ✓1

z1

= 0

8

>

<

>

:

x2

= l2

cos ✓2

+ l1

cos ✓1

y2

= l2

sin ✓2

+ l1

sin ✓1

z2

= 0

De esta forma, las velocidades serán8

>

<

>

:

x1

= �l1

˙✓1

sin ✓1

y1

= l1

˙✓1

cos ✓1

z1

= 0

8

>

<

>

:

x2

= �l2

˙✓2

sin ✓2

� l1

˙✓1

sin ✓1

y2

= l2

˙✓2

cos ✓2

+ l1

˙✓1

cos ✓1

z2

= 0



T =

1

2

m1

�

x2

1

+ y21

+ z21

�

+

1

2

m2

�

x2

2

+ y22

+ z22

�

T =

1

2

m1

l21

˙✓21

+

1

2

m2

⇣

l21

˙✓21

+ l22

˙✓22

+ 2l1

l2

cos (✓1

� ✓2

)

˙✓1

˙✓2

⌘

T =

1

2

(m1

+m2

) l21

˙✓21

+

1

2

m2

l22

˙✓22

+m2

l1

l2

cos (✓1

� ✓2

)

˙✓1

˙✓2

Por otro lado, las fuerzas generalizadas vienen dadas por(

Q1

=

~F (a)1

· @~r1@✓1+

~F (a)2

· @~r2@✓1

Q2

=

~F (a)1

· @~r1@✓2+

~F (a)2

· @~r2@✓2

donde las fuerzas aplicadas son los pesos,

~F (a)1

= m1

gî

~F (a)2

= m2

gî

y ya que

~r1

= l1

cos ✓1

î+ l1

sin ✓1

ˆj

~r2

= (l2

cos ✓2

+ l1

cos ✓1

)

î+ (l2

sin ✓2

+ l1

sin ✓1

)

ˆj

entonces

@~r1

@✓1

= �l1

sin ✓1

î+ l1

cos ✓1

ˆj

@~r1

@✓2

= 0

@~r2

@✓1

= �l1

sin ✓1

î+ l1

cos ✓1

ˆj

@~r2

@✓2

= �l2

sin ✓2

î+ l2

cos ✓2

ˆj

De esta forma,


Q1

=

⇣

m1

gî⌘

·⇣

�l1

sin ✓1

î+ l1

cos ✓1

ˆj⌘

+

⇣

m2

gî⌘

·⇣

�l1

sin ✓1

î+ l1

cos ✓1

ˆj⌘

Q1

= � (m1

+m2

) gl1

sin ✓1

,

y

Q2

=

⇣

m1

gî⌘

· (0) +⇣

m2

gî⌘

·⇣

�l2

sin ✓2

î+ l2

cos ✓2

ˆj⌘

Q2

= �m2

gl2

sin ✓2

.

Por otro lado, se tienen las derivadas

@T

@✓1

= �m2

l1

l2

sin (✓1

� ✓2

)

˙✓1

˙✓2

@T

@ ˙✓1

= (m1

+m2

) l21

˙✓1

+m2

l1

l2

cos (✓1

� ✓2

)

˙✓2

ddt

⇣

@T@ ˙✓1

⌘

=

(m1

+m2

) l21

¨✓1

+m2

l1

l2

h

cos (✓1

� ✓2

)

¨✓2

� sin (✓1

� ✓2

)

˙✓2

⇣

˙✓1

� ˙✓2

⌘i

.

De esta forma, la primera ecuación de Lagrange resulta ser

d

dt

✓

@T

@ ˙✓1

◆

� @T

@✓1

= Q1

(m1 +m2) l21¨✓1+m2l1l2 cos (✓1 � ✓2) ¨✓2+m2l1l2 sin (✓1 � ✓2) ˙✓22 = � (m1 +m2) gl1 sin ✓1

De forma similar se tiene

@T

@✓2

= m2

l1

l2

sin (✓1

� ✓2

)

˙✓1

˙✓2

@T

@ ˙✓2

= m2

l22

˙✓2

+m2

l1

l2

cos (✓1

� ✓2

)

˙✓1

ddt

⇣

@T@ ˙✓2

⌘

= m2

l22

¨✓2

+m2

l1

l2

h

cos (✓1

� ✓2

)

¨✓1

� sin (✓1

� ✓2

)

˙✓1

⇣

˙✓1

� ˙✓2

⌘i

.

Así, la segunda ecuación de Lagrange resulta ser

d

dt

✓

@T

@ ˙✓2

◆

� @T

@✓2

= Q2

m2

l22

¨✓2

+m2

l1

l2

cos (✓1

� ✓2

)

¨✓1

�m2

l1

l2

sin (✓1

� ✓2

)

˙✓21

= �m2

gl2

sin ✓2

.


Desplazamientos virtuales en el pendulo compuesto

En las Figuras puede observarse la representación de los desplazamientosvirtuales �x

1

y �x2

, al igual que su relación con los desplazamientos virtualesde las coordenadas generalizadas, �✓

1

y �✓2

. Con ello, es inmediato que lostrabajos virtuales serán

�W2

= �m2

g�x2

�W2

= �m2

gl2

sin ✓2

�✓2

�W1

= �m1

g�x1

�m2

g�x1

�W1

= �m1

gl1

sin ✓1

�✓1

�m2

gl1

sin ✓1

�✓1

�W1

= � (m1

+m2

) gl1

sin ✓1

�✓1

.

Los términos que acompañan a los �✓ corresponden a las fuerzas generali-zadas, es decir

Q2

= �m2

gl2

sin ✓2

Q1

= � (m1

+m2

) gl1

sin ✓1

.

Caso Particular.Nótese que en el caso particular de masas iguales, m

1

= m2

= m, ycuerdas del mismo tamaño, l

1

= l2

= l, las ecuaciones de Lagrange paraeste sistema se reducen a

(

2ml2¨✓1

+ml2 cos (✓1

� ✓2

)

¨✓2

+ml2 sin (✓1

� ✓2

)

˙✓22

= �2mgl sin ✓1

ml2¨✓2

+ml2 cos (✓1

� ✓2

)

¨✓1

�ml2 sin (✓1

� ✓2

)

˙✓21

= �mgl sin ✓2

Si se asumen pequeñas oscilaciones, i.e. se desprecian ordenes cuadráti-cos y superiores,


sin ✓i ⇡ ✓i

cos ✓i ⇡ 1

✓1

✓2

⇡ 0

✓2i ⇡ 0,

las ecuaciones se reducen a(

¨✓1

+

1

2

¨✓2

= � gl ✓1

¨✓2

+

¨✓1

= � gl ✓2.

2.5. Fuerzas ConservativasSi todas las fuerzas aplicadas son del tipo conservativo, i.e. se pueden escribir

en términos de una función potencial V = V (x1

, ..., x3N , t) de la forma

~F (a)j = �~rjV, (2.5.1)

entonces el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas será

Qk =

NX

j=1

~F (a)j · @~rj

@qk= �

NX

j=1

~rjV · @~rj@qk

(2.5.2)

o también,

Qk = �3NX

i=1

@V

@xi

@xi

@qk(2.5.3)

Qk = � @V@qk

. (2.5.4)

De esta forma, la ecuación de Lagrange para el sistema será

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� @T

@qk= Qk = � @V

@qk(2.5.5)

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� @ (T � V )

@qk= 0. (2.5.6)

Ahora bien, ya que el potencial no depende de las velocidades generalizadas qk,se puede escribir

d

dt

✓

@ (T � V )

@qk

◆

� @ (T � V )

@qk= 0. (2.5.7)


Así, si se define la función de Lagrange o Lagrangiano, mediante

L = T � V, (2.5.8)

se obtiene la Ecuación de Lagrange de Segunda Especie,

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= 0. (2.5.9)

EjemploPendulo CompuestoYa que las fuerzas involucradas en este ejemplo son conservativas, se

puede definir el potencial total del sistema, el cual será la suma de lospotenciales de cada una de las dos partículas,

V = V1

+ V2

con

V1

= m1

g (l1

+ l2

� l1

cos ✓1

) (2.5.10)V2

= m2

g (l1

+ l2

� l1

cos ✓1

� l2

cos ✓2

) . (2.5.11)

La ecuación (2.5.4) permite calcular las fuerzas generalizadas como

Q1

= � @V@✓

1

= � (m1

gl1

sin ✓1

+m2

gl1

sin ✓1

)

Q1

= � (m1

+m2

) gl1

sin ✓1

y

Q2

= � @V@✓

2

= � (m2

gl2

sin ✓2

)

Q2

= �m2

gl2

sin ✓2

.

2.5.1. Potencial GeneralizadoLa ecuación de Lagrange de segunda especie se puede escribir también en

términos de un potencial generalizado, U = U (q, q, t), de tal forma que el la-grangiano sea

L = T � U. (2.5.12)

Si este es el caso, la ecuación de Lagrange será,


d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= 0 (2.5.13)

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� d

dt

✓

@U

@qk

◆

� @T

@qk+

@U

@qk= 0, (2.5.14)

y de acuerdo con la ecuación de Lagrange de primera especie, podemos escribirfinalmente

d

dt

✓

@T

@qk

◆

� @T

@qk=

d

dt

✓

@U

@qk

◆

� @U

@qk= Qk. (2.5.15)

2.5.2. Fuerza ElectromagnéticaPara ilustrar el análisis de fuerzas conservativas, se considerará el caso del

campo electromagnético, representado por las conocidas ecuaciones de Maxwell,

~r · ~E = 4⇡⇢ (2.5.16)~r · ~B = 0 (2.5.17)

~r⇥ ~E = �1

c

@ ~B

@t(2.5.18)

~r⇥ ~B =

4⇡

c~J +

1

c

@ ~E

@t, (2.5.19)

y la ecuación de movimiento (Fuerza de Lorentz),

~F = q

~E +

1

c~v ⇥ ~B

�

. (2.5.20)

La ecuación (2.5.17) dice que la divergencia de ~B siempre es cero, y por elloel campo magnético puede escribirse como el rotacional de un potencial vectorial~A,

~B =

~r⇥ ~A. (2.5.21)

Reemplazando esta expresión en la ecuación (2.5.18), se tiene

~r⇥ ~E = �1

c

@

@t

⇣

~r⇥ ~A⌘

(2.5.22)

~r⇥ ~E = �1

c~r⇥ @ ~A

@t(2.5.23)

~r⇥

~E +

1

c

@ ~A

@t

!

= 0. (2.5.24)


Esta ecuación asegura que el término entre paréntesis siempre tiene un rotacionalnulo, y por ello esta expresión puede escribirse como el gradiente de un potencialescalar �,

~E +

1

c

@ ~A

@t= �~r�. (2.5.25)

Tanto el potencial vectorial como el escalar son, en general, funciones de laposición y del tiempo,

~A =

~A (x, y, z, t) (2.5.26)� = � (x, y, z, t) . (2.5.27)

La fuerza de Lorentz se puede escribir en términos de los potenciales,

~F = q

"

�~r�� 1

c

@ ~A

@t+

1

c~v ⇥

⇣

~r⇥ ~A⌘

#

. (2.5.28)

2.5.2.1. Potencial generalizado

Para identificar el potencial generalizado consideraremos la componente xde la fuerza de Lorentz,

Fx = q

�@�@x� 1

c

@Ax

@t+

1

c

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x

�

. (2.5.29)

El último término del lado derecho resulta serh

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x= vy

⇣

~r⇥ ~A⌘

z� vz

⇣

~r⇥ ~A⌘

y, (2.5.30)

y ya que las componentes y y z del rotacional de ~A son

⇣

~r⇥ ~A⌘

y=

@Ax

@z� @Az

@x(2.5.31)

⇣

~r⇥ ~A⌘

z=

@Ay

@x� @Ax

@y, (2.5.32)

se tiene

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x= vy

✓

@Ay

@x� @Ax

@y

◆

� vz

✓

@Ax

@z� @Az

@x

◆

(2.5.33)

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x= y

@Ay

@x� y

@Ax

@y� z

@Ax

@z+ z

@Az

@x. (2.5.34)

Si se considera la derivada total de Ax con respecto al tiempo,


dAx

dt=

@Ax

@xx+

@Ax

@yy +

@Ax

@zz +

@Ax

@t(2.5.35)

�@Ax

@yy � @Ax

@zz = �dAx

dt+

@Ax

@xx+

@Ax

@t, (2.5.36)

se tiene

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x= y

@Ay

@x+ z

@Az

@x� dAx

dt+

@Ax

@xx+

@Ax

@t. (2.5.37)

Esta expresión se puede escribir como

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x= x

@Ax

@x+ y

@Ay

@x+ z

@Az

@x� dAx

dt+

@Ax

@t(2.5.38)

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x=

@

@x(xAx + yAy + zAz)�

dAx

dt+

@Ax

@t(2.5.39)

h

~v ⇥⇣

~r⇥ ~A⌘i

x=

@

@x

⇣

~v · ~A⌘

� dAx

dt+

@Ax

@t. (2.5.40)

De esta forma, la componente x de la fuerza de Lorentz toma la forma

Fx = q

�@�@x� 1

c

@Ax

@t+

1

c

@

@x

⇣

~v · ~A⌘

� dAx

dt+

@Ax

@t

��

(2.5.41)

Fx = q

"

@

@x

~v · ~Ac� �

!

� 1

c

dAx

dt

#

. (2.5.42)

Por otro lado, ya que ~v · ~A = xAx + yAy + zAz, se tiene

@⇣

~v · ~A⌘

@x= Ax, (2.5.43)

y por lo tanto

�1

c

dAx

dt= �1

c

d

dt

2

4

@⇣

~v · ~A⌘

@x

3

5 . (2.5.44)

Así se obtiene

Fx = q

2

4

@

@x

~v · ~Ac� �

!

� 1

c

d

dt

0

@

@⇣

~v · ~A⌘

@x

1

A

3

5 (2.5.45)


y ya que � no depende de las velocidades, se puede introducir esta función enel segundo término,

Fx = q

"

@

@x

~v · ~Ac� �

!

� d

dt

@

@x

~v · ~Ac� �

!!#

(2.5.46)

o mejor

Fx =

d

dt

✓

@

@x

⇣

q�� q

c~v · ~A

⌘

◆

� @

@x

⇣

q�� q

c~v · ~A

⌘

. (2.5.47)

Si se compara esta expresión con la ecuación (2.5.15),

Fx =

d

dt

✓

@U

@x

◆

� @U

@x, (2.5.48)

se puede identificar el potencial generalizado electromagnético como

U = q�� q

c~v · ~A. (2.5.49)

Finalmente, el Lagrangiano de una partícula cargada en un campo electromag-nético será

L =

1

2

mv2 � q�+

q

c~v · ~A. (2.5.50)

2.6. Fuerzas no-ConservativasSi además de fuerzas conservaticvas, existen fuerzas aplicadas no-conservativas

(i.e. que no provienen de un potencial), la ecuación de Lagrange puede genera-lizarse mediante

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= Qk (2.6.1)

donde Qk representa las fuerzas generalizadas que no provienen de potenciales.

EjemploFuerza de FricciónSi se considera una fuerza de fricción que depende de la velocidad, esta

se puede modelar de la forma

~f = �⇣

bxvxˆi+ byvyˆj + bzvzˆk⌘

Aún cuando esta fuerza no se puede obtener a partir de una función poten-cial, si es posible definir la función de disipación de Rayligh,

F =

1

2

X

i

�

bxx2

i + by y2

i + bz z2

i

�

,


a partir de la cual se puede definir la fuerza de fricción como

~fi = �~r~vF = �⇣

bxxiî+ by yiˆj + bz ziˆk

⌘

.

De esta forma, la fuerza generalizada asociada con la fuerza de fricciónpuede escribirse como

Qk =

NX

j=1

~F (a)j · @~rj

@qk= �

NX

j=1

~r~vF · @~rj@qk

Qk = �NX

j=1

~r~vF · @˙~rj

@qk

Qk = � @F@qk

.

De esta forma, la ecuación de Lagrange toma la forma

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= � @F

@qk.

Por otro lado, el trabajo hecho en contra de la fuerza de fricción tambiénpuede escribirse en términos de F . Para ello nótese que

dW = �X

i

~fi · d~ri = �X

i

~fi · ~vidt

dW = �X

i

⇣

bxxiî+ by yiˆj + bz ziˆk

⌘

·⇣

xiî+ yiˆj + ziˆk

⌘

dt (2.6.2)

dW = �X

i

�

bxx2

i + by y2

i + bz z2

i

�

dt (2.6.3)

es decir

dW = �2Fdt, (2.6.4)

o

dW

dt= �2F . (2.6.5)


2.7. Transformaciones de Coordenadas (Transfor-mación de punto)

Considere un transformación que lleva del conjunto de coordenadas gene-ralizadas qk al conjunto de coordenadas generalizadas sl, representada por larelación

qk = qk (s1, ..., sl, t) . (2.7.1)

Bajo este cambio de coordenadas, el lagrangiano del sistema quedará repre-sentado por una función con argumentos

¯L (s, s, t) = L [q (s, t) , q (s, s, t) , t] . (2.7.2)

Nótese que las velocidades generalizadas qk dependen de las velocidades sl.Esto se observa fácilmente en la relación

qk =

X

l

@qk@sl

sl +@qk@t

. (2.7.3)

Si todas las fuerzas que actuan son conservativas, la ecuación de Lagrangeque obedece L es

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= 0. (2.7.4)

Ahora se calculará cuál es la ecuación que satisface ¯L. Para ello nótese que

@ ¯L

@sk=

nX

l=1

✓

@L

@ql

@ql@sk

+

@L

@ql

@ql@sk

◆

. (2.7.5)

Además,

@ ¯L

@sk=

nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

, (2.7.6)

y por ello

d

dt

✓

@ ¯L

@sk

◆

=

d

dt

nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

=

nX

l=1

d

dt

✓

@L

@ql

◆

@ql@sk

+

@L

@ql

d

dt

✓

@ql@sk

◆�

. (2.7.7)

Utilizando la ecuación del Lagrange de L, (2.7.4), se puede reemplazar el primertérmino de la derecha,

d

dt

✓

@ ¯L

@sk

◆

=

nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

+

@L

@ql

d

dt

✓

@ql@sk

◆�

, (2.7.8)

y debido a (2.4.8),


d

dt

✓

@ ¯L

@sk

◆

=

nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

+

@L

@ql

d

dt

✓

@ql@sk

◆�

(2.7.9)

d

dt

✓

@ ¯L

@sk

◆

=

nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

+

@L

@ql

@ql@sk

�

. (2.7.10)

De esta forma, la ecuación de Lagrange para ¯L se obtiene a partir de (2.7.5) y(2.11.4),

d

dt

✓

@ ¯L

@sk

◆

� @ ¯L

@sk=

nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

+

@L

@ql

@ql@sk

�

�nX

l=1

@L

@ql

@ql@sk

+

@L

@ql

@ql@sk

�

(2.7.11)

d

dt

✓

@ ¯L

@sk

◆

� @ ¯L

@sk= 0. (2.7.12)

Esta relación indica que la ecuación de Lagrange es invariante bajo trans-formaciones de coordenadas.

2.8. Transformaciónes de CalibraciónLa ecuación de Lagrange es también invariante bajo transformaciones de

calibración, es decir transformaciones en las que el lagrangiano L se redefine enla forma

L0= L+

dF

dt, (2.8.1)

donde F = F (q1

, ..., qn, t) es una función escalar de las coordenadas y del tiem-po. Para comprobar que, en efecto, la ecuación de Lagrange es invariante, nóteseque

d

dt

✓@L0

@qk

◆�

@L0

@qk

=

d

dt

✓@L

@qk

◆+

d

dt

✓@

@qk

✓dF

dt

◆◆�

@L

@qk

�@

@qk

✓dF

dt

◆(2.8.2)

=

d

dt

✓@L

@qk

◆�

@L

@qk

+

d

dt

✓@

@qk

✓dF

dt

◆◆�

@

@qk

✓dF

dt

◆. (2.8.3)

Los dos primeros términos de la derecha cooresponden a la ecuación delagrange para L y por esta razón desaparecen. De esta forma,

d

dt

✓

@L0

@qk

◆

� @L0

@qk=

d

dt

✓

@

@qk

✓

dF

dt

◆◆

� @

@qk

✓

dF

dt

◆

. (2.8.4)

Ahora bien, ya que F depende únicamente de las coordenadas y del tiempo,


dF

dt=

nX

l=1

@F

@qlql +

@F

@t, (2.8.5)

y por ello

@

@qk

✓

dF

dt

◆

=

@F

@qk. (2.8.6)

De esta forma, finalmente se tiene

d

dt

✓

@L0

@qk

◆

� @L0

@qk=

d

dt

✓

@F

@qk

◆

� @

@qk

✓

dF

dt

◆

(2.8.7)

d

dt

✓

@L0

@qk

◆

� @L0

@qk= 0. (2.8.8)

2.9. Forma General de la Energía CinéticaLa energía cinética para un sistema con N partículas se definió como (2.11.4)

T =

1

2

NX

j=1

mjv2

j =

1

2

NX

j=1

mj~vj · ~vj =1

2

NX

j=1

mj˙~rj · ˙~rj . (2.9.1)

Si el sistema tiene n grados de libertad, las velocidades se pueden escribir

˙~rj =nX

l=1

@~rj@ql

ql +@~rj@t

, (2.9.2)

y de esta forma,

T =

1

2

NX

j=1

mj

nX

l=1

@~rj@ql

ql +@~rj@t

!

·

nX

k=1

@~rj@qk

qk +

@~rj@t

!

(2.9.3)

T =

1

2

NX

j=1

mj

"

nX

k=1

nX

l=1

@~rj@ql

· @~rj@qk

qk ql + 2

nX

k=1

@~rj@qk

· @~rj@t

qk +

@~rj@t

· @~rj@t

#

.

(2.9.4)Si se define el término cuadrático en la velocidad

T2

=

1

2

nX

k=1

nX

l=1

Tklqk ql (2.9.5)

con


Tkl =

NX

j=1

mj@~rj@ql

· @~rj@qk

, (2.9.6)

el término lineal en la velocidad

T1

=

nX

k=1

Tk qk (2.9.7)

con

Tk =

NX

j=1

mj@~rj@qk

· @~rj@t

, (2.9.8)

y el término independiente

T0

=

1

2

NX

j=1

mj@~rj@t

· @~rj@t

=

1

2

NX

j=1

mj

✓

@~rj@t

◆

2

,

la energía cinética se escribirá en términos de las velocidades generalizadas enla forma

T =

1

2

nX

k=1

nX

l=1

Tklqk ql +nX

k=1

Tk qk + T0

(2.9.9)

T = T2

+ T1

+ T0

. (2.9.10)

Nótese que la existencia del término lineal en la velocidad, T1

, y del términoindependiente, T

0

, depende de si la transformación ~r = ~r (q1

, ..., qn, t) contieneexplícitamente al tiempo o no. En general, se puede decir que cuando el sistemaposee ligaduras holónomas esclerónomas, estos dos términos son nulos (T

1

=

T0

= 0) y en ese caso la energía cinética solo posee el término cuadrático en lasvelocidades generalizadas.

Ahora bien, el lagrangiano para un sistema completamente general tomarála forma

L = T2

+ T1

+ T0

� V. (2.9.11)

Finalmente, cuando Tkl = 0 para k 6= l se dice que se utilizan coordenadasortogonales.

EjemploParticula en una barra


Partícula en una barra.

Considere el sistema que se muestra en la Figura 5 y que consta de unaparticula puntual de masa m que se mueve junto con una barra que rotacon velocidad angualr !. Si se utilizan coordenadas cilindricas, (r, ✓, z), lasligaduras del sistema se pueden escribir

z = 0

✓ � !t = 0.

La energía cinética de la partícula será

T =

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

=

1

2

m�

r2 + r2!2

�

.

Aqui es posible identificar dos términos en la energía cinética,

T2

=

1

2

mr2

T0

=

1

2

mr2!2.

Por otro lado, la energía potencial de la partícula inmersa en el campogravitacional será

V = mgy = mgr sin ✓ = mgr sin (!t) .

Así, el lagrangiano en este caso es

L = T2

+ T0

� V

L =

1

2

mr2 +1

2

mr2!2 �mgr sin (!t) .


Cuando el lagrangiano se define en términos de un potencial generalizadoU = U (q, q, t), este también puede escribirse en terminos de tres funciones dela forma

L = T � U = L2

+ L1

+ L0

, (2.9.12)

donde L2

es cuadrático en las velocidades, L1

es lineal en la velocidad y L0

esun término independiente

2.9.1. Teorema de Euler sobre Funciones HomogéneasUna función F (x

1

, ..., xn) se denomina homogénea de grado m si satisface

F (�x1

, ...,�xn) = �mF (x1

, ..., xn) . (2.9.13)

Considere el caso de una función de dos variables, F (x1

, x2

), homogénea degrado m, es decir que satisface

F (�x1

,�x2

) = �mF (x1

, x2

) . (2.9.14)

Si se definen las variables y1

= �x1

y y2

= �x2

, se tiene entonces que

dF (�x1

,�x2

)

d�=

@F

@y1

@y1

@�+

@F

@y2

@y2

@�= m�m�1F (x

1

, x2

) (2.9.15)

@F

@y1

x1

+

@F

@y2

x2

= m�m�1F (x1

, x2

) . (2.9.16)

Ya que � es arbitrario, se puede tomar el caso particular � = 1, con lo quese obtiene

@F

@x1

x1

+

@F

@x2

x2

= mF (x1

, x2

) (2.9.17)

2

X

j=1

@F

@xjxj = mF (x

1

, x2

) . (2.9.18)

La generalización de este resultado a funciones de n variables se conoce comoTeorema de Euler para funciones homogéneas y asegura que para toda funciónhomogénea de grado m, se cumple

nX

j=1

@F

@xjxj = mF. (2.9.19)

Si este teorema se aplica a la energía cinética de un sistema se tiene que

nX

k=1

@T

@qkqk = 2T

2

+ T1

, (2.9.20)


ya que

nX

k=1

@T2

@qkqk = 2T

2

(2.9.21)

nX

k=1

@T1

@qkqk = 1T

1

(2.9.22)

porque T2

es una función homogénea de grado 2 en las velocidades, T1

es unafunción homogénea de grado 1 y T

0

no depende de las velocidades (homogéneade grado 0).

2.10. Cantidades conservadas

2.10.1. Momentum ConjugadoSe dice que una coordenada qk es cíclica si el lagrangiano no depende explí-

citamente de ella, i.e.

@L

@qk= 0. (2.10.1)

En este caso, la ecuación de Lagrange se reduce a

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= 0 (2.10.2)

d

dt

✓

@L

@qk

◆

= 0, (2.10.3)

y por esta razón, el momento conjugado pk a la coordenada qk, definido por

pk =

@L

@qk= cte. (2.10.4)

es constante.

2.10.2. Energía GeneralizadaConsidere la derivada total con respecto al tiempo del lagrangiano L =

L (q, q, t),

dL

dt=

nX

k=1

@L

@qkqk +

nX

k=1

@L

@qkqk +

@L

@t. (2.10.5)

Ya que


d

dt

✓

@L

@qkqk

◆

=

d

dt

✓

@L

@qk

◆

qk +

@L

@qkqk, (2.10.6)

se tiene

@L

@qkqk =

d

dt

✓

@L

@qkqk

◆

� d

dt

✓

@L

@qk

◆

qk, (2.10.7)

y por ello

dL

dt=

nX

k=1

@L

@qkqk +

nX

k=1

d

dt

✓

@L

@qkqk

◆

�nX

k=1

d

dt

✓

@L

@qk

◆

qk +

@L

@t(2.10.8)

dL

dt= �

nX

k=1

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk

�

qk +

nX

k=1

d

dt

✓

@L

@qkqk

◆

+

@L

@t. (2.10.9)

Debido a la ecuación de Lagrange para L, el primer término de la derechaes nulo,

dL

dt=

nX

k=1

d

dt

✓

@L

@qkqk

◆

+

@L

@t(2.10.10)

dL

dt�

nX

k=1

d

dt

✓

@L

@qkqk

◆

=

@L

@t(2.10.11)

d

dt

nX

k=1

@L

@qkqk � L

!

= �@L@t

. (2.10.12)

La cantidad entre paréntesis se define como la energía generalizada, h,

h =

nX

k=1

@L

@qkqk � L, (2.10.13)

y con ello

dh

dt= �@L

@t. (2.10.14)

Si la coordenada temporal es cíclica, es decir L no depende explícitamentedel tiempo, la energía generalizada es constante,

Si@L

@t= 0 =) dh

dt= 0 =) h = cte. (2.10.15)


2.10.3. Energía Mecánica TotalConsidere un sistema cuyo lagrangiano sea

L = T � V = T2

+ T1

+ T0

� V (2.10.16)

con V = V (q, t). La energía generalizada (2.10.13) para este sistema es

h =

nX

k=1

@L

@qkqk � L (2.10.17)

h =

nX

k=1

@T2

@qkqk +

nX

k=1

@T1

@qkqk +

nX

k=1

@T0

@qkqk � (T

2

+ T1

+ T0

� V ) . (2.10.18)

Por el teorema de Euler para funciones homogéneas se tiene

h = 2T2

+ T1

� (T2

+ T1

+ T0

� V ) (2.10.19)

h = T2

� T0

+ V. (2.10.20)

Como ya se presentó, si t es cíclica, @L@t = 0, la energía generalizada se

conserva, i.e.

h = T2

� T0

+ V = cte. (2.10.21)

Por otro lado, si las ligaduras son esclerónomas, xj = xj (q1, ..., qn), entoncesT0

= T1

= 0, y la cantidad conservada es

h = T2

+ V = E = cte (2.10.22)

y se denomina en este caso Energía Mecánica Total.

EjemploParticula en un campo gravitacionalEl lagrangiano de una partícula de masa m dentro de un campo gravi-

tacional es

L =

1

2

m�

x2

+ y2 + z2�

�mgz.

Ya que las coordenadas x y y son cíclicas, se tienen las cantidades conser-vadas

px =

@L

@x= mx = cte

py =

@L

@y= my = cte.


Por otro lado, la energía generalizada es

h =

nX

k=1

@L

@qkqk � L

h =

@L

@xx+

@L

@yy +

@L

@zz � 1

2

m�

x2

+ y2 + z2�

+mgz

h = mx2

+my2 +mz2 � 1

2

m�

x2

+ y2 + z2�

+mgz

h =

1

2

m�

x2

+ y2 + z2�

+mgz.

Comparando con la expresión h = T2

� T0

+ V se nota que T0

= 0, y porello la energía geenralizada corresponde a la energía mecánica total,

h =

1

2

m�

x2

+ y2 + z2�

+mgz = E.

En el caso en el que el lagrangiano proviene de un potencial generalizadoU = U (q, q, t), se tiene

L = L2

+ L1

+ L0

(2.10.23)

y la energía generalizada será

h =

nX

k=1

@L

@qkqk � L (2.10.24)

h =

nX

k=1

@L2

@qkqk +

nX

k=1

@L1

@qkqk +

nX

k=1

@L0

@qkqk � (L

2

+ L1

+ L0

) .(2.10.25)

Debido al teorema de Euler para funciones homogéneas,

h = 2L2

+ L1

� (L2

+ L1

+ L0

) (2.10.26)

h = L2

+ L0

. (2.10.27)

EjemploPéndulo Esférico


Pendulo Esférico.


Ligaduras r � l = 0



(

q1

= '

q2

= ✓Transformación de coordenadas:

x = l sin ✓ cos'

y = l sin ✓ sin'

z = l cos ✓.

De esta forma, las velocidades serán

x = l ˙✓ cos ✓ cos'� l' sin ✓ sin'

y = l ˙✓ cos ✓ sin'+ l' sin ✓ cos'

z = �l ˙✓ sin ✓.


T =

1

2

m�

x2

+ y2 + z2�

T =

1

2

ml2⇣

˙✓2 + '2

sin

2 ✓⌘

.

El potencial se define con respecto al plano xy,

V = �mgz = �mgl cos ✓,

y con ello el lagrangiano es


L =

1

2

ml2⇣

˙✓2 + '2

sin

2 ✓⌘

+mgl cos ✓.

A partir de este puede observarse que la coordenada ' es cíclica y porello existe una cantidad conservada,

p' =

@L

@'= ml2' sin

2 ✓ = cte.

Por otro lado, la coordenada temporal también es cíclica y por ello laenergía generalizada se conserva. Nótese que en este caso T

0

= T1

= 0 ypor ello la energía generalizada coincide con la energía mecánica total,

h = T2

+ V = E =

1

2

ml2⇣

˙✓2 + '2

sin

2 ✓⌘

�mgl cos ✓.

Ya que se tienen dos grados de libertad (n = 2), existen dos integralesprimeras. Una de ellas corresponde a la energía, la cual se puede escribir,utilizando el momentum conservado p', como

E =

1

2

ml2

˙✓2 +⇣ p'ml2 sin ✓

⌘

2

�

�mgl cos ✓

E +mgl cos ✓ =1

2

ml2 ˙✓2 +1

2

p2'ml2 sin2 ✓

o despejando ˙✓,

˙✓2 =

2

ml2

"

E +mgl cos ✓ � 1

2

p2'ml2 sin2 ✓

#

.

Definiendo la función

f (✓) =1

2

p2'ml2 sin2 ✓

�mgl cos ✓

se tiene

˙✓2 =

2

ml2[E � f (✓)]

d✓

dt=

r

2

ml2[E � f (✓)],

con lo que se obtiene la integral primeraˆ

d✓q

2

ml2 [E � f (✓)]= t� t

0

,

que permite encontrar, en principio, la función ✓ = ✓ (t).


Por otra parte, de la definición del momentum conservado p' se tiene

' =

p'ml2 sin2 ✓ (t)

,

de donde se obtiene la integral

'� '0

=

ˆp'

ml2 sin2 ✓ (t)dt,

que permite encontrar la función ' = ' (t). A partir de la ley de movimiento,es decir de las funciones ✓ (t) y ' (t) es posible deducir la ecuación de latrayectoria, es decir la función ✓ = ✓ ('), con lo que quedaría completamenteresuelto el problema.

Nótese que las condiciones iniciales del ejercicio, que se suelen escribircomo {~r

0

,~v0

}, están representadas aquí por las constantesn

✓0

,'0

, ˙✓0

, '0

o

ó equivalentemente mediante las constantes {E, p', ✓0, t0}.

EjemploPéndulo con punto de apoyo móvil

Pendulo con el punto de apoyo móvil.


Ligaduras

8

>

>

>

<

>

>

>

:

z1

= 0

z2

= 0

y1

= 0

(x1

� x2

)

2

+ (y1

� y2

)

2

= l2



(

q1

= x1

= x

q2

= ✓


Transformación de coordenadas:8

>

<

>

:

x1

= x

y1

= 0

z1

= 0

8

>

<

>

:

x2

= l sin ✓ + x

y2

= l cos ✓

z2

= 0.

De esta forma, las velocidades serán8

>

<

>

:

x1

= x

y1

= 0

z1

= 0

8

>

<

>

:

x2

= l ˙✓ cos ✓ + x

y2

= �l ˙✓ sin ✓z2

= 0.

La energía cinética está dada por

T =

1

2

m1

�

x2

1

+ y21

+ z21

�

+

1

2

m2

�

x2

2

+ y22

+ z22

�

T =

1

2

m1

x2

+

1

2

m2

⇣

l2 ˙✓2 + x2

+ 2l ˙✓x cos ✓⌘

T =

1

2

(m1

+m2

) x2

+

1

2

m2

l2 ˙✓2 +m2

l ˙✓x cos ✓.

El potencial se define como cero en y = �l, y de esta forma

V = m1

gl +m2

g (l � l cos ✓)

V = (m1

+m2

) gl �m2

gl cos ✓.

Ya que el primer término es constante y en última solo importarán los cam-bios de potencial, se puede considerar que el potencial relevante se reducesimplemente a

V = �m2

gl cos ✓



L =

1

2

(m1

+m2

) x2

+

1

2

m2

l2 ˙✓2 +m2

l ˙✓x cos ✓ +m2

gl cos ✓.

A partir de este puede observarse que la coordenada x es cíclica y porello existe una cantidad conservada,

px =

@L

@x= (m

1

+m2

) x+m2

l ˙✓ cos ✓ = cte.

Si se supone que una de las condiciones iniciales es px = 0 (i.e. el puntode apoyo del péndulo no está en movimiento incialmente), esta ecuación deconservación permite escribir

x = � m2

l ˙✓ cos ✓

(m1

+m2

)

.

Por otro lado, la coordenada temporal también es cíclica y por ellola energía generalizada se conserva. Al igual que en el ejemplo anterior,T0

= T1

= 0 y por ello la energía generalizada coincide con la energíamecánica total,

h = T2

+ V = E =

1

2

(m1

+m2

) x2

+

1

2

m2

l2 ˙✓2 +m2

l ˙✓x cos ✓ �m2

gl cos ✓.

Ya que se tienen dos grados de libertad (n = 2), existen dos integralesprimeras. Una de ellas corresponde a la energía,

E =

1

2

(m1 +m2)

✓m2l ˙✓ cos ✓(m1 +m2)

◆2

+

1

2

m2l2˙✓2+m2l ˙✓

m2l ˙✓ cos ✓(m1 +m2)

cos ✓�m2gl cos ✓

E =

1

2

m2

2

l2 ˙✓2 cos2 ✓

(m1

+m2

)

+

1

2

m2

l2 ˙✓2 � m2

2

l2 ˙✓2 cos2 ✓

(m1

+m2

)

�m2

gl cos ✓

E =

1

2

m2

l2 ˙✓2 � 1

2

m2

2

l2 ˙✓2 cos2 ✓

(m1

+m2

)

�m2

gl cos ✓

E =

1

2

m2

l2 � 1

2

m2

2

l2 cos2 ✓

(m1

+m2

)

�

˙✓2 �m2

gl cos ✓

o despejando ˙✓,

˙✓2 =

E +m2

gl cos ✓

f (✓),


donde se ha definido la función

f (✓) =1

2

m2

l2

1� m2

(m1

+m2

)

cos

2 ✓

�

.

Así se tiene

d✓

dt=

s

E +m2

gl cos ✓

f (✓),

con lo que se obtiene la integral primera

ˆ s

f (✓)

E +m2

gl cos ✓d✓ = t� t

0

,

que permite encontrar la función ✓ = ✓ (t).Por otra parte, de la ecuación para el momentum conservado junto con

la condición inicial px = 0 se tiene

x = � m2

l ˙✓ cos ✓

(m1

+m2

)

.


x� x0

=

m2

l

(m1

+m2

)

ˆ˙✓ (t) cos ✓ (t) dt,

que permite encontrar la función x = x (t).

EjemploParticula en una barra rotante

Péndulo en una barra rotante.



Ligaduras

(

z = 0

sin ✓ = sin!t = ypx2

+y2


Coordenadas Generalizadas: q1

= rNótese que la segunda ligadura puede escribirse también como:

h1

= ✓ � !t = 0.

Transformación de coordenadas:(

x = r cos!t

y = r sin!t.

De esta forma, las velocidades son(

x = r cos!t� r! sin!t

y = r sin!t+ r! cos!t.


T =

1

2

m�

x2

+ y2�

=

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

=

1

2

m�

r2 + r2!2

�

Ya que no existe potencial en este caso,V = 0, el lagrangiano es

L =

1

2

m�

r2 + r2!2

�

.

La coordenada temporal es cíclica y por ello la energía generalizada seconserva,

h =

nX

k=1

@L

@qkqk � L

h = mr2 � 1

2

m�

r2 + r2!2

�

h =

1

2

m�

r2 � r2!2

�

= cte.

La integral de la energía resulta ser en este caso

2h

m= r2 � r2!2

r2 =

2h

m+ r2!2


dr

dt=

r

2h

m+ r2!2,

con lo que se obtiene la integral primeraˆ

drq

2hm + r2!2

= t� t0

,

que permite encontrar la función r = r (t). Al realizar la integral se obtiene

1

!ln

"

2m!

r

2h

m+ r2!2

+ r!

!#

= t� t0

r

2h

m+ r2!2

+ r! =

1

2m!e!(t�t0).

Si se toma el caso partícular h = 0, la integral resulta ser

r = e!(t�t0).

2.11. Teorema de NoetherEl teorema de Noether (1918) asegura que a cada simetría del lagrangiano

le corresponde la existencia de una constante de movimiento. Para comprobaresto, suponga un sistema holónomo con lagrangiano L = L (q, q, t). Definimosun nuevo sistema de coordenadas generalizadas,

(

Qk = Qk (q, q, t, ✏)

T = T (q, q, t, ✏) ,(2.11.1)

donde ✏ es un parámetro continue e independiente tal que(

Qk|✏=0

= qkT |✏=0

= t.(2.11.2)

Con esta definición es claro que para todo k se cumple

dQk

dT=

dQk

dtdTdt

=

˙Qk

˙T. (2.11.3)

TeoremaSea ˙F la derivada total con respecto a t de una cierta función suave F =

F (q, q, t). Si se puede establecer una transformación de coordenadas de la forma(2.11.1) con las propiedades (2.11.2), tal que


⇢

@

@✏

L

✓

Q,dQ

dT, T

◆

˙T

��

✏=0

=

˙F , (2.11.4)

entonces, la cantidad

L (q, q, t)

✓

@T

@✏

◆

✏=0

�F+

X

k

@L (q.q, t)

@qk

✓

@Qk

@✏

◆

✏=0

� qk

✓

@T

@✏

◆

✏=0

�

(2.11.5)

es una integral primera del movimiento.Para comprobar este teorema son necesarios algunas relaciones intermedia. Paraellas se utilizará la notación

Ak =

✓

@Qk

@✏

◆

✏=0

(2.11.6)

B =

✓

@T

@✏

◆

✏=0

. (2.11.7)

De esta forma, se tiene

Qk = Qk|✏=0

+

✓

@Qk

@✏

◆

✏=0

✏+ .... = Qk|✏=0

+Ak✏+ .... (2.11.8)

T = T |✏=0

+

✓

@T

@✏

◆

✏=0

✏+ .... = T |✏=0

+B✏+ .... (2.11.9)

es decir que a primer orden en ✏,

Qk = qk +Ak✏ (2.11.10)T = t+B✏, (2.11.11)

y por ello

˙Qk = qk +

˙Ak✏ (2.11.12)˙T = 1 +

˙B✏. (2.11.13)

Así,

dQk

dT=

˙Qk

˙T=

qk +

˙Ak✏

1 +

˙B✏, (2.11.14)

y por lo tanto al derivar con respecto a ✏,


@

@✏

✓

dQk

dT

◆

=

@

@✏

qk +

˙Ak✏

1 +

˙B✏

!

(2.11.15)

=

˙Ak

⇣

1 +

˙B✏⌘

�⇣

qk +

˙Ak✏⌘

˙B⇣

1 +

˙B✏⌘

2

, (2.11.16)

y evaluando en ✏ = 0,

@

@✏

✓

dQk

dT

◆�

✏=0

=

˙Ak � qk ˙B. (2.11.17)

Ahora bien, para probar el teorema se tomará la ecuación (2.11.4) y serealizará la derivada con respecto a ✏,

⇢

@

@✏

L

✓

Q,dQ

dT, T

◆

˙T

��

✏=0

=

(

@

@✏

L

✓

Q,dQ

dT, T

◆�

˙T +

@ ˙T

@✏L

✓

Q,dQ

dT, T

◆

)

✏=0

=

˙F .

(2.11.18)Nótese que

@ ˙T

@✏=

˙B (2.11.19)

y que

@

@✏

L

✓

Q,dQ

dT, T

◆�

=

X

k

@L

@Qk

@Qk

@✏+

X

k

@L

@⇣

@Qk

@T

⌘

@

@✏

✓

@Qk

@T

◆

+

@L

@T

@T

@✏.

(2.11.20)

@

@✏

L

✓

Q,dQ

dT, T

◆�

=

X

k

@L

@QkAk +

X

k

@L

@⇣

@Qk

@T

⌘

@

@✏

✓

@Qk

@T

◆

+

@L

@TB.

(2.11.21)Al multiplicar por ˙T y evaluar en ✏ = 0, se tiene

⇢

@

@✏

L

✓

Q,dQ

dT, T

◆�

˙T

�

✏=0

=

X

k

@L

@qkAk +

X

k

@L

@qk

⇣

˙Ak � qk ˙B⌘

+

@L

@tB,

(2.11.22)y con ello, la ecuación (2.11.18) resulta ser

X

k

@L

@qkAk +

X

k

@L

@qk

⇣

˙Ak � qk ˙B⌘

+

@L

@tB +

˙BL =

˙F . (2.11.23)


Utilizando en el tercer término de la izquierda

@L

@t=

dL

dt�X

k

@L

@qkqk �

X

k

@L

@qkqk (2.11.24)

y en el primer término

@L

@qk=

d

dt

✓

@L

@qk

◆

, (2.11.25)

se obtiene

X

k

Akd

dt

✓

@L

@qk

◆

+

X

k

@L

@qk

⇣

˙Ak � qk ˙B⌘

+B

"

dL

dt�X

k

@L

@qkqk �

X

k

@L

@qkqk

#

+

˙BL =

˙F .

(2.11.26)Reuniendo algunos términos adecuadamente,

X

k

d

dt

✓

Ak@L

@qk

◆

�X

k

@L

@qkqk ˙B +

d (BL)

dt�X

k

@L

@qkqkB �

X

k

@L

@qkqkB =

˙F

(2.11.27)

X

k

d

dt

✓

Ak@L

@qk

◆

+

d (BL)

dt�X

k

@L

@qkqk ˙B�

X

k

d

dt

✓

@L

@qk

◆

qkB�X

k

@L

@qkqkB =

˙F

(2.11.28)

X

k

d

dt

✓

Ak@L

@qk

◆

+

d (BL)

dt� d

dt

X

k

@L

@qkqkB

!

=

˙F (2.11.29)

d

dt

"

X

k

Ak@L

@qk+BL�

X

k

@L

@qkqkB

#

=

dF

dt(2.11.30)

d

dt

"

X

k

Ak@L

@qk+BL�

X

k

@L

@qkqkB � F

#

= 0. (2.11.31)

Ahora bien, nótese que dentro del paréntesis se pueden agrupar algunos térmi-nos,

d

dt

"

X

k

@L

@qk(Ak � qkB) +BL� F

#

= 0 (2.11.32)

d

dt

"

X

k

@L

@qk

✓

@Qk

@✏

◆

✏=0

� qk

✓

@T

@✏

◆

✏=0

�

+ L

✓

@T

@✏

◆

✏=0

� F

#

= 0, (2.11.33)


lo que implica directamente que la cantidad entre paréntesis,

X

k

@L

@qk

✓

@Qk

@✏

◆

✏=0

� qk

✓

@T

@✏

◆

✏=0

�

+ L

✓

@T

@✏

◆

✏=0

� F = cte. (2.11.34)

es una integral primera (i.e. se conserva).

2.12. Principio de HamiltonHasta ahora, el sistema ha sido descrito mediante n coordenadas genera-

lizadas y el conjunto (q1

, ..., qk) que corresponde a un punto de el espacio deconfiguración (espacio cartesiano n�dimensional en donde los q definen los ejesde coordenadas) define el estado del sistema. Cuando avanza el tiempo, el esta-do del sistema puede cambiar, de tal forma que en el espacio de configuraciónse traza una curva que simboliza la evolución del sistema. De esta forma, aúncuando esta curva no tiene nada que ver con el movimiento o evolución física delsistema en el espacio tridimensional, el tiempo puede considerarse formalmentecomo un parámetro para esta curva.

Si todas las fuerzas (excepto tal vez las fuerzas de ligadura) que actúan sobreun sistema son derivables de un potencial escalar que depende de coordenadas,velocidades y tiempo, V = V (q, q, t), se dice que el sistema es monogénico. Siel potencial depende únicamente de las coordenadas, V = V (q), se dice que elsistema es monogénico y también conservativo.

El Principio de Hamilton para sistemas monogénicos dice queEl movimiento de un sistema en el espacio de configuración desde un tiempo

t1

hasta un tiempo t2

es tal que la línea integral (denominada acción o acciónintegral),

I =

ˆ t2

t1

Ldt, (2.12.1)

con L = T � V , tiene un valor estacionario para la trayectoria del movimiento.Así, este principio nos asegura que, de todas las posibles trayectorias que

puede seguir el sistema en el espacio de configuración entre los tiempos t1

y t2

,la que seguirá relamente es aquella para la cual la integral (2.12.1) es estaciona-ria. Con ello se quiere decir que la integral a lo largo de esta trayectoria tendráel mismo valor hasta el segundo orden infinitesimal con respecto a las trayecto-rias vecinas. Matemáticamente, este principio se puede resumir diciendo que elmovimiento del sistema en el espacio de configuración es tal que la variación dela acción es cero,

�I = �

ˆ t2

t1

L (q, q, t) dt = 0. (2.12.2)

Ahora bien, si las ligaduras del sistema son holónomas, el principio de Ha-milton es una condición necesaria y suficiente para las ecuaciones de Lagrange.


Para comprobarlo, se deducirán ahora las ecuaciones de Lagrange a partir de laecuación (2.12.2).

2.12.1. Ecuación de EulerSuponga inicialmente el problema unidimensional en el cual se tiene una

función f = f (y, y, x), con y =

dydx . Se considerará entonces la integral

I =

ˆ x2

x1

f (y, y, x) dx (2.12.3)

donde la variable x juega el papel de parámetro para las trayectorias de lafunción y (x), de las cuales se considerarán solamente aquellas cuyos puntosinicial y final son, respectivamente, y

1

= y (x1

) y y2

= y (x2

).Para encontrar la trayectoria estacionaria es necesario recordar que la condi-

ción exigida es que el valor de I no debe cambiar para trayectorias vecinas, lascuales podemos etiquetar mediante un parámetro infinitesimal ↵. De esta for-ma, las trayectorias vecinas se denotarán y (x,↵), siendo y (x, 0) la trayectoriabuscada. Una forma de escribir estas trayectorias es

y (x,↵) = y (x, 0) + ↵⌘ (x) , (2.12.4)

siempre y cuando la función ⌘ (x) sea cero en los extremos, es decir ⌘ (x1

) =

⌘ (x2

) = 0. Esto es necesario para que todas las trayectorias consideradas co-miencen y finalicen en los puntos exigidos. Además, se exigirá en lo que sigueque todas estas funciones se comporten adecuadamente (es decir que sean conti-nuas, no singulares y que posean al menos primera y segunda derivada continuaentre los puntos de interés).

Así, la integral estudiada se puede escribir como

I (↵) =

ˆ x2

x1

ˆ x2

x1

f (y (x,↵) , y (x,↵) , x) dx (2.12.5)

y la condición de tener un valor estacionario se convierte, en términos del pará-metro ↵, en

✓

dI

d↵

◆

↵=0

= 0. (2.12.6)

Se tiene entonces,

df

d↵=

@f

@y

@y

@↵+

@f

@y

@y

@↵, (2.12.7)

por lo que

dI

d↵=

ˆ x2

x1

✓

@f

@y

@y

@↵+

@f

@y

@y

@↵

◆

dx. (2.12.8)

La segunda integral resulta ser


ˆ x2

x1

@f

@y

@y

@↵dx =

ˆ x2

x1

@f

@y

@

@↵

✓

@y

@x

◆

dx =

ˆ x2

x1

@f

@y

@2y

@x@↵dx. (2.12.9)

Integrando por partes esta última expresión se tieneˆ x2

x1

@f

@y

@y

@↵dx =

@f

@y

@y

@↵

�

�

�

�

x2

x1

�ˆ x2

x1

d

dx

✓

@f

@y

◆

@y

@↵dx. (2.12.10)

Ya que se exigió que todas las curvas deben pasar por los puntos y1

y y2

, entoncesla derivada parcial de y con respecto a ↵ evaluadas en x

1

y en x2

debe ser cero.Con ello

ˆ x2

x1

@f

@y

@y

@↵dx = �

ˆ x2

x1

d

dx

✓

@f

@y

◆

@y

@↵dx, (2.12.11)

y la variación de la acción es

dI

d↵=

ˆ x2

x1

@f

@y

@y

@↵� d

dx

✓

@f

@y

◆

@y

@↵

�

dx (2.12.12)

dI

d↵=

ˆ x2

x1

@f

@y� d

dx

✓

@f

@y

◆�

@y

@↵dx. (2.12.13)

De esta forma, la condición de tener un valor estacionario se escribe

✓

dI

d↵

◆

↵=0

=

ˆ x2

x1

@f

@y� d

dx

✓

@f

@y

◆�✓

@y

@↵

◆

↵=0

dx = 0. (2.12.14)

Utilizando la ecuación (2.13.1), se tiene✓

@y

@↵

◆

↵=0

= ⌘ (x) , (2.12.15)

con lo que✓

dI

d↵

◆

↵=0

=

ˆ x2

x1

@f

@y� d

dx

✓

@f

@y

◆�

⌘ (x) dx = 0. (2.12.16)

La función ⌘ (x) es completamente arbitraria (excepto por la condición decontinuidad y valor en los extremos, lo cual no afecta la integral), con lo que seconcluye que para que esta integral valga cero, la función en paréntesis debe sernula en el intervalo (x

1

, x2

), i.e.

@f

@y� d

dx

✓

@f

@y

◆

= 0. (2.12.17)

Es decir que exigir que el valor de la integral sea estacionario equivale a decirque la función f satisface la ecuación de Euler (2.12.17).


Ahora bien, la cantidad✓

@y

@↵

◆

↵=0

d↵ = �y (2.12.18)

representa el cambio infinitesimal entre una trayectoria vecina y la trayecto-ria que sigue el sistema, por lo que se puede interpretar como el desplazamientovirtual descrito antes. Con esto en mente, se puede escribir la variación infinte-simal de la integral con respecto a la trayectoria correcta como

�I =

✓

dI

d↵

◆

↵=0

�↵, (2.12.19)

y la condición de una acción estacionaria como

�I =

ˆ x2

x1

@f

@y� d

dx

✓

@f

@y

◆�

�ydx = 0. (2.12.20)

EjemploGeodésica sobre una superficie esférica. IConsidere la línea integral (longitud de linea) entre dos puntos a y b

descrita por

I =

ˆ b

a

ds,

con ds el elemento diferencial de longitud, que en la superficie de una esférade radio r será

ds2 = r2�

d✓2 + sin

2 ✓d'2

�

ds = rq

d✓2 + sin

2 ✓d'2

ds = r

s

✓

d✓

d'

◆

2

+ sin

2 ✓d'.

Con ello la longitud de línea será

I = r

ˆ b

a

s

✓

d✓

d'

◆

2

+ sin

2 ✓d'.

Si se define la función

f⇣

✓, ˙✓⌘

=

s

✓

d✓

d'

◆

2

+ sin

2 ✓ =

q

˙✓2 + sin

2 ✓


con ˙✓ = d✓d' , la longitud de línea es

I = r

ˆ b

a

f⇣

✓, ˙✓⌘

d'.

Una geodésica es aquella curva que tiene la longitud más corta entre dospuntos. En términos matemáticos la geodésica esta caracterizada por que lavariación de la integral de linea a lo largo de ella tiene un valor estacionario,i.e.

�I = 0.

Como se demostró arriba, esta condición equivale, en términos de la funciónf , a la ecuación de Euler,

d

d'

✓

@f

@ ˙✓

◆

� @f

@✓= 0.

Se tiene entonces,

@f

@✓=

sin ✓ cos ✓p

˙✓2 + sin

2 ✓

@f

@ ˙✓=

˙✓p

˙✓2 + sin

2 ✓,

y por ello la ecuación de la geodésica es

d

d'

˙✓p

˙✓2 + sin

2 ✓,

!

� sin ✓ cos ✓p

˙✓2 + sin

2 ✓= 0.

2.12.2. Segunda Forma de la Ecuación de EulerYa que f = f (y, y, x) se tiene

df

dx=

@f

@yy +

@f

@yy +

@f

@x. (2.12.21)

Por otro lado, se tiene

d

dx

✓

@f

@yy

◆

=

d

dx

✓

@f

@y

◆

y +@f

@yy (2.12.22)

@f

@yy =

d

dx

✓

@f

@yy

◆

� d

dx

✓

@f

@y

◆

y (2.12.23)


con lo que

df

dx=

@f

@yy +

d

dx

✓

@f

@yy

◆

� d

dx

✓

@f

@y

◆

y +@f

@x. (2.12.24)

Por la ecuación de Euler,

d

dx

✓

@f

@y

◆

=

@f

@y, (2.12.25)

se obtiene

df

dx=

@f

@yy +

d

dx

✓

@f

@yy

◆

� @f

@yy +

@f

@x(2.12.26)

df

dx=

d

dx

✓

@f

@yy

◆

+

@f

@x, (2.12.27)

es decir

d

dx

✓

@f

@yy � f

◆

= �@f@x

. (2.12.28)

A este resultado se le conoce como el teorema de la energía, o segunda forma dela ecuación de Euler, ya que si f = f (y, y), entonces

d

dx

✓

@f

@yy � f

◆

= 0, (2.12.29)

es decir que la cantidad

@f

@yy � f = cte. (2.12.30)

se conserva. Nótese que esta corresponde tiene la misma forma que la energíageneralizada definida antes.

EjemploGeodésica sobre una superficie esférica. IICon la función definida en el ejemplo anterior,

f⇣

✓, ˙✓⌘

=

s

✓

d✓

d'

◆

2

+ sin

2 ✓ =

q

˙✓2 + sin

2 ✓

con ˙✓ = d✓d' , y ya que f no depende de ', el teorema de la energía asegura

que existe una cantidad conservada,

@f

@ ˙✓˙✓ � f = cte = �a.


Ya que

@f

@ ˙✓=

˙✓p

˙✓2 + sin

2 ✓,

se tiene

˙✓2p

˙✓2 + sin

2 ✓� f = �a

˙✓2p

˙✓2 + sin

2 ✓�q

˙✓2 + sin

2 ✓ = �a

˙✓2 � ˙✓2 � sin

2 ✓p

˙✓2 + sin

2 ✓= �a

sin

2 ✓p

˙✓2 + sin

2 ✓= a

sin

4 ✓ = a2⇣

˙✓2 + sin

2 ✓⌘

.

Despejando ˙✓,

a ˙✓ =p

sin

4 ✓ � a2 sin2 ✓

ad✓

d'= sin ✓

p

sin

2 ✓ � a2.

Con lo que se obtiene la primera integral

d' = ad✓

sin ✓p

sin

2 ✓ � a2

' = a

ˆd✓

sin ✓p

sin

2 ✓ � a2.

Para realizar la integral se tiene

' = a

ˆd✓

sin

2 ✓q

1� a2

sin

2 ✓

' = a

ˆcsc

2 ✓d✓p1� a2 csc2 ✓

y con ello se obtiene

' = sin

�1

✓

cot ✓

�

◆

+ ↵


con ↵ una constante de integración y

�2

=

1� a2

a2.

Así la ecuación de la geodésica es

cot ✓ = � sin ('� ↵) .

Para interpretar geométricamente esta ecuación, se multiplicará porr sin ✓ a ambos lados,

r cos ✓ = �r sin ✓ sin ('� ↵)

r cos ✓ = �r sin ✓ [sin' cos↵� sin↵ cos']

r cos ✓ = �r sin ✓ sin' cos↵� �r sin ✓ cos' sin↵.

Nótese que las coordenadas cartesianas corresponden a

x = r sin ✓ cos'

y = r sin ✓ sin'

z = r cos ✓,

y por ello la ecuación de la geodésica se puede escribir como

z = �y cos↵� �x sin↵

o, definiendo A = �� sin↵ y B = � cos↵,

z = By +Ax

Ax+By � z = 0.

Esta corresponde a la ecuación de un plano que pasa por el centro dela esféra (punto x = y = z = 0) en el espacio cartesiano, y visto en lasuperficie de la esféra (interseción con el plano), permite concluir que lasgeodésicas son los ciruclos máximos.

2.12.3. Ecuación de Euler-LagrangeLa generalización de los anteriores resultados al caso de mas dimensiones es

directo, y lleva a las ecuaciones de Lagrange (tamabién conocidas como ecuacio-nes de Euler-Lagrange) que ya se presentaron. Para comprobarlo, suponga que


se tiene un sistema con n grados de libertad y un lagrangiano de la forma

L = L (q1

, ..., qn, q1, ..., qn, t) , (2.12.31)

que permite definir la acción

I =

ˆ t2

t1

L (q, q, t) dt. (2.12.32)

De nuevo el problema de la variación de esta integral se puede considerarintroduciendo un parámetro ↵ que identifique las curvas que puede seguir elsistema en el espacio de configuración. Así, esta vez se tienen n funciones de laforma

q1

(t,↵) = q1

(t, 0) + ↵⌘1

(t) (2.12.33)...

...... (2.12.34)

qn (t,↵) = qn (t, 0) + ↵⌘n (t) (2.12.35)

donde las funciones ⌘k deben satisfacer

⌘k (t1) = ⌘k (t2) = 0 para k = 1, 2, ..., n, (2.12.36)

para que todas las trayectorias pasen por los puntos inicial y final.Los despazamientos virtuales se definen esta vez como

�qk =

✓

@qk@↵

◆

↵=0

�↵ = ⌘k�↵, (2.12.37)

y con ello la variación de la integral resulta ser

�I =

✓

@I

@↵

◆

↵=0

�↵. (2.12.38)

Con un procedimiento exacatmente igual al descrito antes, la condición de unaacción estacionaria, i.e.

�I = �

ˆ t2

t1

L (q, q, t) dt = 0, (2.12.39)

conduce a la ecuaciónˆ t2

t1

nX

k=1

@L

@qk� d

dt

✓

@L

@qk

◆�

�qkdt = 0 (2.12.40)

y por lo tanto esta condición implica directamente la ecuaciones de Euler-Lagrange,

@L

@qk� d

dt

✓

@L

@qk

◆

= 0. (2.12.41)


EjemploCaida LibreEspacio de Configuración: R3

Ligaduras

(

z = 0

x = 0


Coordenadas Generalizadas: q = yLa energía cinética de la partícula es

T =

1

2

my2

y su potencial es

V = mg (y � yref ) . (2.12.42)

De esta forma el lagrangiano es

L = T � V =

1

2

my2 �mg (y � yref ) ,

y por ello la acción entre dos instantes de tiempo, t1

y t2

, toma la forma

I =

ˆ t2

t1

Ldt =

ˆ t2

t1

1

2

my2 �mg (y � yref )

�

dt.

La condición de un valor estacionario para esta acción se escribe mate-máticamente como

�I = �

ˆ t2

t1

1

2

my2 �mg (y � yref )

�

dt = 0

ˆ t2

t1

[my�y �mg�y] dt = 0

ˆ t2

t1

my�

✓

dy

dt

◆

�mg�y

�

dt = 0

ˆ t2

t1

myd

dt(�y)�mg�y

�

dt = 0.

Ahora bien, la primera integral se puede realizar por partes, obteniendo

my�y|t2t1 �ˆ t2

t1

my�ydt�ˆ t2

t1

mg�ydt = 0.

Ya que las variaciones en los extremos son nulas, el primer término desapa-rece,


�mˆ t2

t1

(y + g) �ydt = 0,

con lo que se tiene finalmente

y = �g.

2.12.4. Transformaciones de CalibraciónSi se realiza sobre el lagrangiano la transformación de calibración

L0= L+

dF

dt, (2.12.43)

con F = F (q, t), la variación de la acción resulta ser

�

ˆ t2

t1

L0dt = �

ˆ t2

t1

Ldt+ �

ˆ t2

t1

dF

dtdt (2.12.44)

�

ˆ t2

t1

L0dt = �

ˆ t2

t1

Ldt+ �

ˆ t2

t1

dF (2.12.45)

�

ˆ t2

t1

L0dt = �

ˆ t2

t1

Ldt+ �Fkt2t1 . (2.12.46)

Ahora bien, ya que la función escalar F depende únicamente de las coordenadasy del tiempo, su variación en los extremos debe ser nula. Por esta razón, elprincipio de Hamilton se ve inalterado bajo transformaciones de calibración,

�

ˆ t2

t1

L0dt = �

ˆ t2

t1

Ldt = 0. (2.12.47)

2.13. Extensión del Principio de Hamilton paraSistemas no-Holónomos

El principio de Hamilton se enunció únicamente para sistemas holónomos,aún cuando esta condición se utiliza solamente al final de la deducción cuandose consideran las variaciones de qk como independientes. Cuando se consideransistemas no-holónomos las ligaduras pueden hacer que no todas las coordenadasgeneralizadas sean independientes.

En esta sección se considerarán m ligaduras que puedan escribirse en laforma

h↵ (q1, ..., qn, q1, ..., qn) = 0, (2.13.1)


con ↵ = 1, 2, ...,m. En este caso el sistema se denomina semi-holónomo. Paraeliminar los grados de libertad extras se utiliza el método de los multiplicadoresde Lagrange indeterminados, el cual se describe a continuación.

Si la ecuación (2.13.1) es válida, también se cumple

mX

↵=1

�↵h↵ = 0 (2.13.2)

donde los �↵ son funciones indeterminadas que pueden depender de las coor-denadas generalizadas y del tiempo. Además, se asumirá que el principio deHamilton es valido para los sistemas semi-holónomos, i.e.

�

ˆ t2

t1

Ldt = 0. (2.13.3)

Sin embargo, al seguir exactamente el mismo procedimiento descrito antespara deducir las ecuaciones de Euler-Lagrange, se llegará a la ecuación

ˆ t2

t1

nX

k=1

@L

@qk� d

dt

✓

@L

@qk

◆�

�qkdt = 0, (2.13.4)

pero esta vez los �qk no son todos independientes, por lo que no es posibleasegurar que el término entre paréntesis sea nulo. Así, en lugar de la ecuación(2.13.3), se tomará la expresión

�

ˆ t2

t1

L+

mX

↵=1

�↵h↵

!

dt = 0. (2.13.5)

El procedimiento para la variación del primer término dentro de la integrales exactamente igual al descrito antes, mientras que para el segundo términodebe tenerse encuenta que se considerarán como variables independientes los ndesplazamientos �qk y los m desplazamientos ��↵. De esta forma se tiene paraeste término

�

ˆ t2

t1

mX

↵=1

�↵h↵

!

dt =

ˆ t2

t1

mX

↵=1

� (�↵h↵) dt (2.13.6)

�

ˆ t2

t1

mX

↵=1

�↵h↵

!

dt =

ˆ t2

t1

mX

↵=1

[h↵��↵ + �↵�h↵] dt. (2.13.7)

Ya que las ligaduras dependen de las coordenadas y de las velocidades,

�

ˆ t2

t1

mX

↵=1

�↵h↵

!

dt =

ˆ t2

t1

mX

↵=1

"

h↵��↵ + �↵X

k

✓

@h↵@qk

�qk +

@h↵@qk

�qk

◆

#

dt

(2.13.8)


�

ˆt2

t1

mX

↵=1

�↵

h↵

!dt =

ˆt2

t1

mX

↵=1

"h↵

��↵

+

X

k

✓�↵

@h↵

@qk

�qk

+ �↵

@h↵

@qk

�

✓dq

k

dt

◆◆#dt

(2.13.9)

�

ˆt2

t1

mX

↵=1

�↵

h↵

!dt =

ˆt2

t1

mX

↵=1

h↵

��↵

dt+

ˆt2

t1

mX

↵=1

X

k

✓�↵

@h↵

@qk

�qk

+ �↵

@h↵

@qk

ddt

(�qk

)

◆dt.

(2.13.10)La integración del último término se puede realizar por partes,

ˆ t2

t1

mX

↵=1

X

k

�↵@h↵@qk

d

dt(�qk) dt =

mX

↵=1

X

k

�↵@h↵@qk

�qk

�

�

�

�

�

t2

t1

�ˆ t2

t1

mX

↵=1

X

k

d

dt

✓

�↵@h↵@qk

◆

�qkdt,

(2.13.11)pero ya que las variaciones en los extremos son nulas, el primer término desapa-rece,

ˆt2

t1

mX

↵=1

X

k

�↵

@h↵

@qk

ddt

(�qk

) dt = �ˆ

t2

t1

mX

↵=1

X

k

ddt

✓�↵

@h↵

@qk

◆�q

k

dt (2.13.12)

ˆt2

t1

mX

↵=1

X

k

�↵

@h↵

@qk

ddt

(�qk

) dt = �ˆ

t2

t1

mX

↵=1

X

k

d�

↵

dt@h

↵

@qk

+ �↵

ddt

✓@h

↵

@qk

◆��q

k

dt.

(2.13.13)De esta forma, la ecuación (2.13.10) resulta ser

�

ˆt2

t1

mX

↵=1

�↵

h↵

!dt =

ˆt2

t1

mX

↵=1

h↵

��↵

dt

+

ˆt2

t1

mX

↵=1

X

k

�↵

@h↵

@qk

�d�↵

dt

@h↵

@qk

� �↵

d

dt

✓@h

↵

@qk

◆��q

k

dt,

�

ˆ t2

t1

mX

↵=1

�↵h↵

!

dt =

ˆ t2

t1

mX

↵=1

h↵��↵dt+

ˆ t2

t1

X

k

Qk�qkdt, (2.13.14)

donde se ha definido

Qk =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@qk� d

dt

✓

@h↵@qk

◆◆

� d�↵dt

@h↵@qk

�

(2.13.15)

Reemplazando este resultado en la ecuación (2.13.5) y teniendo en cuenta(2.13.4) la variación de la acción completa es

�

ˆt2

t1

L+

mX

↵=1

�↵

h↵

!dt =

ˆx2

x1

nX

k=1

@L@q

k

� ddt

✓@L@q

k

◆+Q

k

��q

k

dt+

ˆt2

t1

mX

↵=1

h↵

��↵

dt = 0.


Ya que los se asume que tanto los �qk como los ��↵ son independientes seobtienen las ecuaciones

h↵ = 0, (2.13.16)

que corresponde a las ecuaciones de ligadura (2.13.1) y

@L

@qk� d

dt

✓

@L

@qk

◆

+Qk = 0 (2.13.17)

que se puede escribir como

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= Qk. (2.13.18)

Aún cuando las ecuaciones de ligadura de la forma (2.13.1) no son las más ge-nerales posibles, el método de multiplicadores de Lagrange puede ser extendidotambién a ligaduras holonómicas con dependecia temporal, i.e. de la forma

h↵ (q1, ..., qn, t) = 0. (2.13.19)

Por último, cabe aclarar que este método es eficaz cuando es inconvenientereducir las coordenadas generalizadas a un conjunto totalmente independienteo cuando se quieren encontrar las fuerzas de ligadura.

EjemploParticula en una barra rotante

Partícula en una barra rotante.


Ligaduras

(

z = 0

sin ✓ = sin!t = ypx2

+y2



= r


Aún cuando el problema tiene solamente un grado de libertad, se traba-jará con dos coordenadas generalizadas (i.e. en R2 ) con el fin de encontrarla fuerza de ligadura, esto es, la fuerza que la barra le ejerce a la partícula.Por esta razón, se escogerán las coordenadas generalizadas


(

q1

= r

q2

= ✓junto con la ligadura: h

1

= ✓ � !t = 0 y se utilizará el método demultiplicadores de Lagrange.


x = r cos ✓

y = r sin ✓.

De esta forma, las velocidades son(

x = r cos ✓ � r ˙✓ sin ✓

y = r sin ✓ + r ˙✓ cos ✓.


T =

1

2

m�

x2

+ y2�

=

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

.

El potencial será

V = mgy = mgr sin ✓


L =

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

�mgr sin ✓.

En este caso los términos Qk son

Qr =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@r� d

dt

✓

@h↵@r

◆◆

� d�↵dt

@h↵@r

�

Q✓ =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@✓� d

dt

✓

@h↵

@ ˙✓

◆◆

� d�↵dt

@h↵

@ ˙✓

�

,

pero ya que solo existe una ligadura y esta no depende de las velocidades,

Qr = �1

✓

@h1

@r

◆

= 0

Q✓ = �1

✓

@h1

@✓

◆

= �1

.


De esta forma, la ecuación de Euler-Lagrange con fuerzas de ligadurapara r contiene las derivadas

@L

@r= mr ˙✓2 �mg sin ✓

@L

@r= mr

d

dt

✓

@L

@r

◆

= mr,

mientras que la ecuación para ✓ incluye

@L

@✓= �mgr cos ✓

@L

@ ˙✓= mr2 ˙✓

d

dt

✓

@L

@ ˙✓

◆

= mr2¨✓ + 2mrr ˙✓.

De esta forma, las ecuaciones de Euler-Lagrange con fuerzas de ligadurason

mr �mr ˙✓2 +mg sin ✓ = Qr = 0

mr2¨✓ + 2mrr ˙✓ +mgr cos ✓ = Q✓ = �1

.

Ahora bien, la ligadura para la coordenada angular permite escribir✓ = !t, y por ello

˙✓ = !¨✓ = 0,

con lo cual, las ecuaciones de Euler-Lagrange son

mr �mr!2

+mg sin!t = 0

2mrr! +mgr cos!t = �1

.

Así, el multiplicador de Lagrange �1

es

�1

= r (2mr! +mg cos!t) ,


el cual se interpreta como una fuerza generalizada, que en este caso parti-cular toma la forma de un torque o momento y por ello el término entreparéntesis debe corresponder a la fuerza de ligadura (�

1

= ~r ⇥ ~f). Así, seobtiene finalmente,

~f = (2mr! +mg cos!t) ˆ✓.

EjemploPartícula sobre una superfície esférica

Partícula deslizando sobre una superficie esférica.


Ligaduras

(

z = 0

r � RGrados de Libertad: n = 3N � = 3� 2 = 1


= rAún cuando el problema tiene solamente un grado de libertad, se traba-

jará con dos coordenadas generalizadas (i.e. en R2 ) con el fin de encontrarla fuerza de ligadura, esto es, la fuerza que la superficie esférica ejerce sobrela partícula. Por esta razón, se escogerán las coordenadas generalizadas


(

q1

= r

q2


1

= r � R � 0 y se utilizará el método demultiplicadores de Lagrange.


x = r sin ✓

y = r cos ✓.

De esta forma, las velocidades son


(

x = r sin ✓ + r ˙✓ cos ✓

y = r cos ✓ � r ˙✓ sin ✓.


T =

1

2

m�

x2

+ y2�

=

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

.

El potencial será

V = mgy = mgr cos ✓


L =

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

�mgr cos ✓.


Qr =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@r� d

dt

✓

@h↵@r

◆◆

� d�↵dt

@h↵@r

�

Q✓ =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@✓� d

dt

✓

@h↵

@ ˙✓

◆◆

� d�↵dt

@h↵

@ ˙✓

�

,


Qr = �1

✓

@h1

@r

◆

= �1

Q✓ = �1

✓

@h1

@✓

◆

= 0.

De esta forma, la ecuación de Euler-Lagrange con fuerzas de ligadurapara r contiene las derivadas

@L

@r= mr ˙✓2 �mg cos ✓

@L

@r= mr

d

dt

✓

@L

@r

◆

= mr,


@L

@✓= mgr sin ✓


@L

@ ˙✓= mr2 ˙✓

d

dt

✓

@L

@ ˙✓

◆

= mr2¨✓ + 2mrr ˙✓.


mr �mr ˙✓2 +mg cos ✓ = Qr = �1

mr2¨✓ + 2mrr ˙✓ �mgr sin ✓ = Q✓ = 0.

Ahora bien, la ligadura para la coordenada radial permite escribir r = Rdurante el intervalo de tiempo que la partícula se encuentra en contacto conla superficie esférica (i.e. hasta justo antes de separarse de la superficie) , ypor ello

r = 0

r = 0,

con lo cual, las ecuaciones de Euler-Lagrange son

�mR ˙✓2 +mg cos ✓ = �1

R¨✓ � g sin ✓ = 0.

El multiplicador de Lagrange �1

corresponde en este caso a la fuerzade contacto entre la superficie y la partícula (fuerza normal) y en este casoresulta ser

�1

= mg cos ✓ �mR ˙✓2.

Para encontrar el punto de la trayectoria donde la partícula se despegade la superficie esférica se debe imponer la condición Qr = �

1

= 0, quecorresponde a

�1

= mg cos ✓c �mR ˙✓2�

�

�

✓=✓c

= 0,

donde ✓c corresponde al angulo para el cual la partícula se separa de lasuperficie.

Por otro lado, el lagrangiano es independiente del timepo y por ello laenergía generalizada se conserva. En este caso esto es


h =

X

k

pk qk � L

h = mr2 +mr2 ˙✓2 � 1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

+mgr cos ✓

h =

1

2

m⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

+mgr cos ✓ = E

que corresponde a la energía mecánica total del sistema. Aplicando la liga-dura r = R se tiene

E =

1

2

mR2

˙✓2 +mgR cos ✓.

Si el movimiento de la partícula comienza en t = 0 a partir del reposo,˙✓ = 0, y desde una coordenada angular incial ✓

0

, el valor de la energíamecanica total resulta ser

E = mgR cos ✓0

.


E =

1

2

mR2

˙✓2 +mgR cos ✓ = mgR cos ✓0

mR ˙✓2 = 2mg (cos ✓0

� cos ✓) .

De esta forma, la condición de despegue para la partícula se puede escribircomo

�1

= mg cos ✓c �mR ˙✓2�

�

�

✓=✓c

= 0

mgcos✓c � 2mg (cos ✓0

� cos ✓c) = 0

3 cos ✓c � 2 cos ✓0

= 0

cos ✓c =2

3

cos ✓0

.

Nótese que si la partícula comienza su movimiento desde el angulo inicial✓0

= 0

o, el angulo al cual se despega la partícula será ✓c ' 48

o,2

EjemploEscalera que desliza en una superficie sin fricción


Escalera deslizando en una superificie sin fricción.

Espacio de Configuración: R6 (cuerpo rígido)Grados de Libertad: n = 6� 5 = 1


= ✓

Para encontrar la energía cinética de la escalera, se considerará un cortede la escalera con espesor ds y ubicado a una distancia s del extremo inferior,como se muestra en la figura. Las coordenadas (x, y) de este fragmento sepueden expresar en términos de la coordenada angular ✓ y la posición delextremo inferior de la escalera X mediante la transformación

(

x = X � s cos ✓

y = ssin✓.

La velocidad se escribirá entonces(

x =

˙X + s ˙✓ sin ✓

y = s ˙✓ cos ✓.

Ya que la masa del fragmento de escalera es dm, la contribución a laenergía cinética es

dT =

1

2

dm⇥

x2

+ y2⇤

=

1

2

dmh

˙X2

+ s2 ˙✓2 + 2s ˙X ˙✓ sin ✓i

.

Para obtener la energía cinética total se debe integrar sobre todos los frag-mentos. Para ello se realiza el cambio de variable dm =

ML ds donde M

es la amsa total de la escalera, L es la longitud total y se asume que ladistribución de masa es uniforme. Así, se tiene

T =

M

2L

ˆ L

0

h

˙X2

+ s2 ˙✓2 + 2s ˙X ˙✓ sin ✓i

ds

T =

M

2L

˙X2L+

L3

3

˙✓2 + L2

˙X ˙✓ sin ✓

�

.


La energía potencial también se puede mediante integración. Para ello,nótese que la contribución a la energía potencial debido al fragmento con-siderado es

dV = dmgy = dmgs sin ✓.

Realizando la integración correspondiente se tiene

V =

Mg

Lsin ✓

ˆ L

0

sds

V =

MgL

2

sin ✓.

De esta forma, el lagrangiano del sistema resulta ser

L =

1

2

M

˙X2

+

L2

3

˙✓2 + L ˙X ˙✓ sin ✓

�

� MgL

2

sin ✓.

Aún cuando el problema tiene solamente un grado de libertad, se traba-jará con dos coordenadas generalizadas (i.e. en R2 ) con el fin de encontrar lafuerza de ligadura, esto es, la fuerza que la superficie vertical (pared) ejercesobre la escalera. Por esta razón, se escogerán las coordenadas generalizadas


(

q1

= X

q2


1

= X � L cos ✓ � 0 y se utilizará el método demultiplicadores de Lagrange.


QX =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@X� d

dt

✓

@h↵

@ ˙X

◆◆

� d�↵dt

@h↵

@ ˙X

�

Q✓ =

mX

↵=1

�↵

✓

@h↵@✓� d

dt

✓

@h↵

@ ˙✓

◆◆

� d�↵dt

@h↵

@ ˙✓

�

,


QX = �1

✓

@h1

@X

◆

= �1

Q✓ = �1

✓

@h1

@✓

◆

= �1

L sin ✓.

De esta forma, la ecuación de Euler-Lagrange con fuerzas de ligadurapara X contiene las derivadas


@L

@X= 0

@L

@ ˙X= M ˙X +

1

2

ML ˙✓ sin ✓

d

dt

✓

@L

@ ˙X

◆

= M ¨X +

1

2

ML¨✓ sin ✓ +1

2

ML ˙✓2 cos ✓,


@L

@✓=

1

2

ML ˙X ˙✓ cos ✓ � 1

2

MgL cos ✓

@L

@ ˙✓=

1

3

ML2

˙✓ +1

2

ML ˙X sin ✓

d

dt

✓

@L

@ ˙✓

◆

=

d

dt

✓

1

3

ML2

˙✓ +1

2

ML ˙X sin ✓

◆


M ¨X +

1

2

ML¨✓ sin ✓ +1

2

ML ˙✓2 cos ✓ = �1

d

dt

✓

1

3

ML2

˙✓ +1

2

ML ˙X sin ✓

◆

� 1

2

ML ˙X ˙✓ cos ✓ +1

2

MgL cos ✓ = �1

L sin ✓.

Ahora bien, la ligadura para la coordenada horizontal se puede tomarcomo X = L cos ✓ durante el intervalo de tiempo que la escalera se encuentraen contacto con la superficie vertical (i.e. hasta justo antes de separarse dela pared) , y por ello

˙X = �L ˙✓ sin ✓¨X = �L¨✓ sin ✓ � L ˙✓2 cos ✓

con lo cual, las ecuaciones de Euler-Lagrange serán

�1

2

ML¨✓ sin ✓ � 1

2

ML ˙✓2 cos ✓ = �1


d

dt

✓

1

3

ML2

˙✓ � 1

2

ML2

˙✓ sin2 ✓

◆

= �1

L sin ✓

�1

2

ML2

˙✓2 sin ✓ cos ✓ � 1

2

MgL cos ✓.

El multiplicador de Lagrange �1

corresponde en este caso a la fuerza decontacto entre la superficie vertical y la escalera (fuerza normal) y en estecaso resulta ser

QX = �1

= �1

2

ML¨✓ sin ✓ � 1

2

ML ˙✓2 cos ✓.

Para encontrar el punto de la trayectoria donde la escalera se despegade la superficie vertical se debe imponer la condición QX = �

1

= 0, quecorresponde a

� ¨✓�

�

�

✓=✓c

sin ✓c � ˙✓2�

�

�

✓=✓c

cos ✓c = 0,

donde ✓c corresponde al angulo para el cual la escalera se separa de lapared. Para lograr despejar éste angulo se debe notar que el lagrangiano esindependiente del tiempo y por ello la energía generalizada se conserva. Eneste caso se tiene

h =

X

k

pk qk � L

h = M ˙X2

+

1

2

ML ˙X ˙✓ sin ✓ +1

3

ML2

˙✓2 +1

2

ML ˙X ˙✓ sin ✓

�1

2

M

˙X2

+

L2

3

˙✓2 + L ˙X ˙✓ sin ✓

�

+

MgL

2

sin ✓

h =

1

2

M

˙X2

+

L2

3

˙✓2 + L ˙X ˙✓ sin ✓

�

+

MgL

2

sin ✓ = E

que corresponde a la energía mecánica total del sistema. Aplicando la liga-dura X = L cos ✓ se tiene

E =

1

2

ML2

3

˙✓2 +MgL

2

sin ✓.

Si el movimiento de la partícula comienza en t = 0 a partir del reposo,˙✓ = 0, y desde una coordenada angular incial ✓

0

, el valor de la energíamecanica total resulta ser

E =

MgL

2

sin ✓0

.



E =

1

2

ML2

3

˙✓2 +MgL

2

sin ✓ =MgL

2

sin ✓0

˙✓2 =

3g

L(sin ✓

0

� sin ✓) .

De esta relación tambien se obtiene,

2

˙✓¨✓ = �3g

Lcos ✓ ˙✓

es decir

¨✓ = � 3g

2Lcos ✓.

De esta forma, la condición de despegue para la partícula se puede es-cribir como

3g

2Lcos ✓c sin ✓c �

3g

L(sin ✓

0

� sin ✓c)

�

cos ✓c = 0

1

2

sin ✓c � sin ✓0

+ sin ✓c = 0

3

2

sin ✓c = sin ✓0

sin ✓c =2

3

sin ✓0

Que corresponde al angulo en el que la escalera se despega de la pared.Si se esta buscano la altura hc del punto superior de la escalera en la cualocurre el despegue, se multiplica esta relación por la longitud L, obteniendo

L sin ✓c =2

3

L sin ✓0

hc =2

3

h0

donde h0

es la altura inicial.

Capítulo 3

Problema de la FuerzaCentral

Se consideraran dos partículas de masas m1

y m2

, ubicadas en las posicionesdadas por los vectores ~r

1

y ~r2

, respectivamente. Se define el vector ~r que vadesde una de las partículas hasta la otra mediante la relación

~r = ~r2

� ~r1

, (3.0.1)

y con ello la fuerza a las que están sujetas las partículas se representa por unaenergía potencial que puede tomar la forma general U = U

⇣

~r, ˙~r, ...⌘

. De estaforma, el lagrangiano del sistema es

L =

1

2

m1

v21

+

1

2

m2

v22

� U⇣

~r, ˙~r, ...⌘

. (3.0.2)

La ubicación del centro de masa del sistema está dada por el vector

Figura 3.0.1: Dos partículas y ubicación del centro de masa.

91

CAPÍTULO 3. PROBLEMA DE LA FUERZA CENTRAL 92

~R =

m1

~r1

+m2

~r2

m1

+m2

, (3.0.3)

y por ello la posición de las dos partículas se puede escribir como(

~r1

=

~R� m2m1+m2

~r

~r2

=

~R+

m1m1+m2

~r.(3.0.4)

Este par de ecuaciones puede interpretarse como una transformación de coor-denadas de la forma ~ri = ~ri (q1, q2, ...qn, t), donde las coordenadas generalizadascorresponden a ~r y ~R. A partir de ellas, las velocidades resultan ser

(

˙~r1

=

˙~R� m2m1+m2

˙~r

˙~r2

=

˙~R+

m1m1+m2

˙~r,(3.0.5)

y con esto, el lagrangiano puede re-escribirse en la forma

L =

1

2

m1

✓

˙~R� m2

m1

+m2

˙~r

◆

2

+

1

2

m2

✓

˙~R+

m1

m1

+m2

˙~r

◆

2

� U⇣

~r, ˙~r, ...⌘

(3.0.6)

L =

1

2

m1

˙~R2 �

2m2

m1 +m2

˙~r · ˙~R+

✓m2

m1 +m2

◆2˙~r2!

+

1

2

m2

˙~R2

+

2m1

m1 +m2

˙~r · ˙~R+

✓m1

m1 +m2

◆2˙~r2!

� U (3.0.7)

L =

1

2

(m1

+m2

)

˙~R2

+

1

2

✓

m1

m2

m1

+m2

◆

˙~r2 � U⇣

~r, ˙~r, ...⌘

. (3.0.8)

Como puede observarse, el lagrangiano puede descomponerse en un lagran-giano del centro de masa y un lagrangiano que depende de la posición relativaentre las partículas, i.e.

L = LCM + Lrel. (3.0.9)

Ahora bien, ya que ~R es cíclico, se tiene

@L

@˙~R= (m

1

+m2

)

˙~R = cte., (3.0.10)

es decir que se puede escribir

˙~R =

~A (3.0.11)

con ~A un vector constante, y por ello

~R =

~At+ ~B, (3.0.12)


con ~B otro vector constante. Esta última ecuación representa el movimiento delcentro de masa del sistema y ya que el término correspondiente al centro demasa en el lagrangiano es constante es posible tomar únicamente los términosque dependen de la posición relativa,

L =

1

2

✓

m1

m2

m1

+m2

◆

˙~r2 � U⇣

~r, ˙~r, ...⌘

. (3.0.13)

Si se define la masa reducida del sistema mediante

µ =

m1

m2

m1

+m2

, (3.0.14)

el lagrangiano se convierte en

L =

1

2

µ ˙~r2 � U⇣

~r, ˙~r, ...⌘

, (3.0.15)

el cual puede interpretarse como el lagrangiano de una partícula de masa µmoviendose con respecto a un centro fijo de fuerzas bajo un potencial U .

3.1. Cantidades ConservadasSi se supone que la fuerza central proviene de un potencial que depende

únicamente de la distancia entre las partículas, i.e.

U = V (r) , (3.1.1)se tiene

~F (r) = �dV

drr. (3.1.2)

Esto implica que el torque sobre el sistema es

~N = ~r ⇥ ~F = 0 (3.1.3)y ya que el torque y el momento angular se relacionan mediante

~N =

d~l

dt, (3.1.4)

podemos concluir que el momento angular del sistema es constante. Ahora bien,de la definición de ~l se tiene

~l = ~r ⇥m~v, (3.1.5)por lo tanto

~r ·~l = ~r · (~r ⇥m~v) = 0. (3.1.6)

Esto quiere decir que los vectores ~r y ~l son siempre perpendiculares, y ya queel momento angular es constante, podemos concluir que el movimiento estarestringido a un plano.


3.1.1. Lagrangiano en el Plano del MovimientoSi se restringe el análisis al plano en el cual se lleva a cabo el movimiento

del sistema, la velocidad ˙~r se puede calcular de la forma usual,

˙~r =

d

dt(rr) = rr + r

dr

dt,

y recordando que

dr

dt=

˙✓ˆ✓, (3.1.7)

se tiene

˙~r = rr + r ˙✓ˆ✓.

De esta forma,

˙~r2 =

˙~r · ˙~r = r2 + r2 ˙✓2. (3.1.8)

Así, el lagrangiano del sistema se escribirá

L =

1

2

µ⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

� V (r) . (3.1.9)

3.1.2. Momento Angular y Ley de la AreasNótese que en el lagrangiano (3.1.9) la coordenada ✓ es cíclica, lo que implica

que

p✓ =@L

@ ˙✓= µr2 ˙✓ = cte. (3.1.10)

Al comparar con la ecuación (3.1.5) se nota inmediatamente que esta canti-dad corresponde a la magnitud del momento angular,

l = µr2 ˙✓, (3.1.11)


l = 2µ

r2 ˙✓

2

!

. (3.1.12)

Ahora bien, cuando el radio vector se desplaza en un d✓, barre un area dadapor

dA =

1

2

r (rd✓) , (3.1.13)

por lo que el término entre paréntesis en la ecuación (3.1.12) se puede interpretarcomo el area barrida por el radio vector en un cierto intervalo de tiempo, comose observa en la Figura. Ya que l es constante, se puede afirmar que


Figura 3.1.1: Area barrida por el radio vector.

dA

dt=

r2 ˙✓

2

=

l

2µ= cte., (3.1.14)

lo que se conoce como Ley de las Areas de Kepler.

3.1.3. Energía y CuadraturasEl lagrangiano (3.1.9) es independiente del tiempo, es decir que la energía

generalizada se conserva,

h =

X

k

@L

@qkqk � L = cte., (3.1.15)

y en este caso esta corresponde a la energía mecánica total,

h =

1

2

µ⇣

r2 + r2 ˙✓2⌘

+ V (r) = E. (3.1.16)

Utilizando la definición del momento angular se tiene

E =

1

2

µr2 +1

2

l2

µr2+ V (r) . (3.1.17)

Despejando r,

r2 =

2

µ

E � 1

2

l2

µr2� V (r)

�

(3.1.18)

dr

dt=

s

2

µ

E � 1

2

l2

µr2� V (r)

�

. (3.1.19)

con lo que se obtiene la integral primeraˆ r

r0

drr

2

µ

h

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

= t, (3.1.20)


que permite encontrar la función r = r (r0

, E, l, t). Una vez se tenga esta función,la definición del momento angular permite escribir

˙✓ =l

µ [r (t)]2, (3.1.21)


✓ � ✓0

=

ˆl

µ [r (t)]2dt, (3.1.22)

que permite encontrar la función ✓ = ✓ (✓0

, E, l, t). Nótese que las condicionesiniciales del problema son (E, l, r

0

, ✓0

) o equivalentemente⇣

r0

, ˙✓0

, r0

, ✓0

⌘

.

3.2. Trayectorias

3.2.1. Potencial EfectivoLa ecuación (3.1.17) para la energía mecánica total puede escribirse como

E =

1

2

µr2 + Veff (r) , (3.2.1)

donde se ha definido el potencial efectivo

Veff (r) =1

2

l2

µr2+ V (r) . (3.2.2)

De esta forma, la velocidad r está dada por

r2 =

2

µ[E � Veff (r)] (3.2.3)

y a partir de esta expresión se puede extraer mucha información acerca delmovimiento del sistema, como por ejemplo las clases de trayectorias permitidaspara un potencial dado.

EjemploPotencial �k

rSi el potencial tiene la forma particular

V (r) = �k

r,

el potencial efectivo resulta ser

Veff (r) =1

2

l2

µr2� k

r.


Potencial Efectivo para V = � k

r

.

En la Figura se observa la grafica de este potencial efectivo y se puedenotar que para el movimiento del sistema existen 4 casos de interés quedependen del valor de la energía mecánica total.

Caso 1: E = E1

> 0

La trayectoria del sistema es abierta, ya que la coordenada radial tomavalores r � r

1

, donde r1

corresponde al punto de retorno (denominadoapside).

Caso 2: E = E2

= 0

La trayectoria del sistema es de nuevo abierta, ya que la coordenadaradial toma valores r � r

2

, donde r2

corresponde al punto de retorno. Ladiferencia con el caso 1 radica en que en este caso ˙✓ = 0 cuando r !1.

Caso 3: E = E3

< 0

La trayectoria del sistema es acotada, ya que la coordenada radial tomavalores r

4

� r � r3

, donde r3

y r4

son los puntos de retorno. Nóteseque el hecho de tener una trayectoria acotada NO significa que esta seanecesariamente cerrada!

Caso 4: E = E4

= (Veff )minLa trayectoria del sistema es acotada y la coordenada radial toma un

único valor r = r0

, es decir que la trayectoria es un círculo. Además, en estatrayectoria el valor del potencial efectivo toma un valor extremo (en estecaso un mínimo), i.e.

⇣

dVeff

dr

⌘

r=r0= 0. La estabilidad de esta trayectoria

depende de la forma exacta del potencial (específicamente de su segundaderivada). En el caso del potencial V = �k

r , la orbita circular es estable yaque corresponde a un mínimo del potencial efectivo,

⇣

d2Veff

dr2

⌘

r=r0> 0.

3.2.2. Ecuación de Lagrange RadialA partir del lagrangiano (3.1.9) se tiene


@L

@r= µr ˙✓2 � dV

dr(3.2.4)

@L

@r= µr (3.2.5)

d

dt

✓

@L

@r

◆

= µr. (3.2.6)

Por lo tanto, la ecuación de Lagrange para la coordenada r resulta ser

µr = µr ˙✓2 � dV

dr. (3.2.7)

Utilizando la definición del momento angular,

µr =

l2

µr3� dV

dr(3.2.8)

µr =

d

dr

✓

� l2

2µr2

◆

� dV

dr, (3.2.9)

con lo que se obtiene la ecuación de movimiento

µr = � d

dr

✓

l2

2µr2+ V

◆

, (3.2.10)

o en términos del potencial efectivo,

µr = �dVeff

dr. (3.2.11)

EjemploTrayectorias Vecinas a la Trayectoria Circular (Caso Estable)Para considerar trayectorias cercanas a la trayectoria circular se puede

tomar la variable radial como el radio constante del circulo r0

mas unapequeña contribución x, i.e.

r = r0

+ x.

Con ello se tiene

r = x (3.2.12)r = x. (3.2.13)

Eel potencial efectivo se puede expandir en serie alrededor del radio delcirculo,


Veff (r) = Veff (r0)+

✓

dVeff

dr

◆

r=r0

(r � r0

)+

1

2

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

(r � r0

)

2

+...

y ya que el potencial efectivo tiene un mínimo para la orbita circular,⇣

dVeff

dr

⌘

r=r0= 0,

Veff (r) = Veff (r0) +1

2

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

(r � r0

)

2

+ ...

La ecuación de Lagrange radial es entonces

µr = � d

dr

"

Veff (r0) +1

2

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

(r � r0

)

2

+ ...

#

µr = �✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

(r � r0

) ,

o en términos de x,

µx = �✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

x

µx+

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

x = 0.

Si⇣

d2Veff

dr2

⌘

r=r0> 0, esta ecuación se puede ver como un oscilador armónico

cuya frecuencia es

!2

=

1

µ

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

,

con lo que se comprueba que la trayectoria circular es estable bajo pequeñasperturbaciones.

3.2.3. Simetria de la TrayectoriaA partir de las ecuaciones (3.2.18) y (3.1.22) se puede obtener la ecuación

de la trayectoria, i.e. r = r (✓). Para ello nótese que en forma diferencial se tiene

drr

2

µ

h

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

= dt (3.2.14)

y


d✓ =l

µ [r (t)]2dt. (3.2.15)

Por ello,

µr2

ld✓ =

drr

2

µ

h

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

(3.2.16)

✓ � ✓0

=

ˆldr

r2r

2µh

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

. (3.2.17)

Si se mide el ángulo ✓ con respecto a la posición del ápside (punto de retorno),i.e. se toma ✓

0

= 0 en el ápside, la ecuación será

✓ =

ˆldr

r2r

2µh

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

. (3.2.18)

Ahora bien, a partir de la ecuación (3.2.3) se observa que el radical deldenominador del integrando corresponde a la velocidad, y esta cambia de signocuando se pasa por un ápside,

✓ =

ˆldr

µr2r. (3.2.19)

De igual forma, si realiza el cambio ✓ ! �✓, entonces la velocidad se inviertetambién, i.e. r ! �r. Esto muestra que la trayectoria es simétrica con respectoa los ápsides.

3.2.4. Trayectorias AcotadasEn el caso de trayectorias acotadas, la coordenada radial r toma valores entre

dos extremos rmin y rmax. A partir de la ecuación (3.2.18) se puede encontrarel desplazamiento angular durante el paso por los dos ápsides,

�✓ =

ˆ rmax

rmin

ldr

r2r

2µh

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

. (3.2.20)

Recuerde que una trayectoria acotada NO es sinónimo de una trayectoriacerrada. Específicamente, para que una trayectoria sea cerrada, debe satisfacerse

�✓ =p

q2⇡ (3.2.21)

con p y q numeros enteros.


3.2.4.1. Teorema de Bertrand (Orbitas Cerradas)

Como se mostró antes, una orbita circular es aquella en la cual el potencialefectivo posee un extremo (máximo o mínimo), y la energía mecánica total co-rresponde exactamente a este valor extremo. De la forma del potencial efectivo,se tiene que la condición de extremo es

✓

dVeff

dr

◆

r=r0

=

✓

� l2

µr3+

dV (r)

dr

◆

r=r0

= 0. (3.2.22)

Nótese que el segundo término en el paréntesis corresponde a la fuerza, (3.1.2)y por ello la condición para una trayectoria circular es

F (r0

) = � l2

µr30

, (3.2.23)

es decir que la fuerza debe ser atractiva. Además, la energía mecánica totaldebe ser

E = V (r0

) +

l2

2µr20

, (3.2.24)

lo cual, debido a la ecuación (3.2.3), quiere decir que para la orbita circularr = 0.

Ahora bien, la estabilidad de la orbita circular depende de la naturaleza delpotencial V (r). Si el extremo del potencial efectivo es un mínimo, la orbitacircular es estable (ver ejemplo anterior), mientras que si este extremo corres-ponde a un máximo, la orbita circular será inestable. Como es conocido estaspropiedades de estabilidad dependen de la segunda derivada del potencial efec-tivo (concavidad). Por esta razón, se puede asegurar en general que una orbitacircular es estable si

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

=

✓

3l2

µr4+

d2V (r)

dr2

◆

r=r0

> 0, (3.2.25)

o en términos de la fuerza,

3l2

µr40

� dF (r)

dr

�

�

�

�

r=r0

> 0 (3.2.26)

dF (r)

dr

�

�

�

�

r=r0

<3l2

µr40

. (3.2.27)

Utilizando (3.2.23),

dF (r)

dr

�

�

�

�

r=r0

< �3F (r0

)

r0

(3.2.28)

d lnF

d ln r

�

�

�

�

r=r0

> �3, (3.2.29)


donde se cambia el signo de desigualdad debido a que se asume que F (r0)r0

esnegativo debido a (3.2.23). Ahora bien , si se asume que la fuerza central secomporta como una ley de potencias (por lo menos en la vecindad de la orbitacircular),

F (r) = �krn, (3.2.30)

con k una constante positiva, la condición de estabilidad resulta ser

�knrn�1

�

�

r=r0< �3(�krn

0

)

r0

(3.2.31)

�knrn�1

0

< 3krn�1

0

, (3.2.32)

es decir

n > �3. (3.2.33)

Como se dedujo en el ejemplo de la orbita circular estable, cuando se consi-deran pequeñas desviaciones de la orbita circular, la particula ejecuta un movi-miento armónico simple con respecto a la traycetoria circular con una frecuenciadada por

!2

=

1

µ

✓

d2Veff

dr2

◆

r=r0

=

1

µ

✓

3l2

µr4+

d2V (r)

dr2

◆

r=r0

, (3.2.34)

que en términos de la fuerza central es

!2

=

3l2

µ2r40

� 1

µ

dF (r)

dr

�

�

�

�

r=r0

(3.2.35)

!2

= �3F (r0

)

µr0

� 1

µ

dF (r)

dr

�

�

�

�

r=r0

(3.2.36)

!2

= �F (r0

)

µr0

"

3 +

d lnF (r)

d ln r

�

�

�

�

r=r0

#

. (3.2.37)

Para que la orbita sea cerrada la frecuencia de oscilación debe ser un númeroracional veces una cantidad fija, tal como en la ecuación (3.2.21). Comparandocon esta ecuación, el término entre paréntesis debe corresponder a un númeroracional, i.e.

3 +

d lnF (r)

d ln r

�

�

�

�

r=r0

= �2 (3.2.38)

con �2

=

qp con q y p enteros. Esta relación debe ser válida tamnbién para

pequeñas desviaciones del valor para la orbita circular (es decir para trayectoriasvecinas), con lo que se puede escribir en esta vecindad como


d lnF (r)

d ln r= �2 � 3. (3.2.39)

Esta relación puede integrarse para obtener la ley de potencias para la fuerzacentral,

F (r) = � k

r3��2 . (3.2.40)

De esta forma, cualquier fuerza que se exprese en esta forma, con � racionaly n = �2� 3 > �3 , es decir �2 > 0, puede dar lugar a orbitas cerradas. Uno delos ejemplos conocidos que satisface estas condiciones es la ley del inverso delcuadrado (�2

= 1).Ahora bien, en esta deducción y enparticular en la derivación de la frecuen-

cia !, se consideraron únicamente perturbaciones de la orbita circualr en unaexpansión hasta primer orden. En 1873, J. Bertrand realizó un análisis consi-derando ordenes superiores en la expansión en serie con lo que obtuvo que losúnicos potenciales que producen orbitas cerradas en general son los correspon-dientes a �2

= 1 (ley de inverso del cuadrado) y �2

= 4 (ley de Hooke). A esteresultado se le conoce como Teorema de Bertrand.

Para finalizar, vale la pena comentar que las observaciones astronómicasmuestran una infinidad de ejemplos de orbitas cerradas y ya que una fuerza deltipo ley de Kooke no es posible a distancias astronómicas (recuerde que estafuerza crece infinitamente para grandes distancias), se puede concluir que lafuerza gravitacional debe poseer la forma de una ley de inverso del cuadrado.Algo similar se puede decir de la interacción electrostática.

3.2.5. Ecuación Diferencial de la TrayectoriaLa ecuación de Lagrange para la coordenada radial es (3.2.7),

µr =

l2

µr3� dV

dr. (3.2.41)

Utilizando la regla de la cadena

dr

dt=

dr

d✓

d✓

dt=

dr

d✓˙✓ =

dr

d✓

l

µr2(3.2.42)

y por ello

d2r

dt2=

d

dt

✓

dr

dt

◆

=

d

d✓

✓

dr

dt

◆

d✓

dt=

d

d✓

✓

dr

dt

◆

˙✓ =d

d✓

✓

dr

dt

◆

l

µr2(3.2.43)

d2r

dt2=

d

d✓

✓

dr

d✓

l

µr2

◆

l

µr2. (3.2.44)

De esta forma, la ecuaión de la trayectoria es


d

d✓

✓

dr

d✓

l

µr2

◆

l

r2=

l2

µr3� dV

dr. (3.2.45)

Si se realiza el cambio de variable

r =

1

u(3.2.46)

se tienedr

du= � 1

u2

(3.2.47)

y además

dr

d✓=

dr

du

du

d✓= � 1

u2

du

d✓. (3.2.48)

Por otro lado,

dV

dr=

du

dr

dV

du= �u2

dV

du. (3.2.49)

Con esto, la ecuación de la trayectoria se convierte en

d

d✓

✓

� 1

u2

du

d✓

l

µu2

◆

lu2

=

l2u3

µ+ u2

dV

du(3.2.50)

� d

d✓

✓

du

d✓

◆

l2u2

µ=

l2u3

µ+ u2

dV

du(3.2.51)

�d2u

d✓2= u+

µ

l2dV

du(3.2.52)

d2u

d✓2+ u = � µ

l2dV

du. (3.2.53)

Esta ecuación describe la trayectoria en forma diferencial y corresponde a unoscilador armónico forzado.

3.3. Problema de KeplerA partir de este momento se restringirá el estudio al potencial

V = �k

r, (3.3.1)

es decir a una fuerza de ley de inverso del cuadrado,

F = � k

r2, (3.3.2)

con k > 0. Al escoger esta forma particular de potencial, la integral para ✓(3.1.14) puede realizarse,


✓ � ✓0

=

ˆldr

r2r

2µh

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

. (3.3.3)

Para ello, se utiliza el cambio de variable

u =

1

r(3.3.4)

dru = � 1

r2dr, (3.3.5)

con lo que se obtiene

✓ � ✓0

= �ˆ

ldur

2µh

E � 1

2

l2u2

µ + kui

(3.3.6)

✓ � ✓0

= �ˆ

ldup

2µE � l2u2

+ 2µku(3.3.7)

✓ � ✓0

= �ˆ

duq

2µEl2 +

2µkl2 u� u2

. (3.3.8)

Esta integral tiene la forma estandardˆ

dup

↵+ �u+ �u2

=

1p�� cos

�1

✓

�� + 2�upq

◆

, (3.3.9)

donde q = �2 � 4↵�. Para la trayectoria estudiada se tiene

↵ =

2µE

l2(3.3.10)

� =

2µk

l2(3.3.11)

� = �1 (3.3.12)

y

q =

✓

2µk

l2

◆

2

+ 4

✓

2µE

l2

◆

=

✓

2µk

l2

◆

2

✓

1 +

2El2

µk2

◆

. (3.3.13)

De esta forma, la trayectoria esta dada por

✓ � ✓0

= � cos

�1

0

@�2µkl2 � 2u

⇣

2µkl2

⌘

q

1 +

2El2

µk2

1

A (3.3.14)


✓ � ✓0

= � cos

�1

0

@

l2uµk � 1

q

1 +

2El2

µk2

1

A . (3.3.15)

Despejando r de esta ecuación se obtiene

cos (✓ � ✓0

) =

l2uµk � 1

q

1 +

2El2

µk2

(3.3.16)

1 +

s

1 +

2El2

µk2cos (✓ � ✓

0

) =

l2u

µk(3.3.17)

u =

1

r=

µk

l2

"

1 +

s

1 +

2El2

µk2cos (✓ � ✓

0

)

#

. (3.3.18)

Esta ecuación se puede escribir en la forma estandard de una cónica,

r =

C

1 + ✏ cos (✓ � ✓0

)

(3.3.19)

donde

C =

l2

µk(3.3.20)

y

✏ =

s

1 +

2El2

µk2(3.3.21)

se conoce como la excentricidad. La naturaleza de la orbita depende de estacantidad de acuerdo con

Si ✏ > 1, (E > 0), la orbita es una hiperbola.Si ✏ = 1, (E = 0), la orbita es una parabola.Si ✏ < 1, (E < 0), la orbita es una elipse.Si ✏ = 0,

⇣

E = Emin =

µk2

2l2

⌘

, la orbita es un círculo.

3.3.1. Periodo de la Órbita ElípticaDe la definición del momento angular, y específicamente de la ecuación

(3.2.17), se tiene

dA

dt=

r2 ˙✓

2

=

l

2µ(3.3.22)

2dA =

l

µdt. (3.3.23)


Integrando sobre una revolución completa a lo largo de una elipse con semiejesmayor y menor dados por a y b, se tiene

2

ˆ ⇡ab

0

dA =

ˆ ⌧

0

l

µdt, (3.3.24)

donde ⇡ab es el area de la elipse (barrida por el radio vector en una revolución)y ⌧ es el periodo del movimiento. Realizando las integrales se obtiene

2⇡ab =l

µ⌧, (3.3.25)

es decir que el periodo del movimiento elíptico esta dado por

⌧ =

2⇡µab

l. (3.3.26)

3.3.2. EnergíaLa energía mecánica total encontrada a partir de la primera cuadratura está

dada por (3.1.17),

E =

1

2

µr2 +1

2

l2

µr2+ V (r) . (3.3.27)

Para el problema de Kepler se utiliza el potencial (3.3.1) para obtener

E =

1

2

µr2 +1

2

l2

µr2� k

r. (3.3.28)

Ya que los ápsides son puntos de retorno, en ellos se tiene r = 0, y con ello laenergía satisface la ecuación

E =

1

2

l2

µr2� k

r(3.3.29)

Er2 + kr � 1

2

l2

µ= 0, (3.3.30)

que tiene la forma general de la cuadrática

ax2

+ bx+ c = 0. (3.3.31)

Las raices x1,2 de esta ecuación se encuentran mediante

x1,2 =

�b±pb2 � 4ac

2a, (3.3.32)

y por ello satisfacen

x1

+ x2

= � b

a. (3.3.33)


Figura 3.3.1: Orbita elíptica.

De esta forma, la ecuación (3.3.26) permite encontrar la posición de losápsides, los cuales satisfacen

r1

+ r2

= � k

E. (3.3.34)

Ahora bien, de la Figigura 13 se observa que los ápsides deben ubicarse en losextremos del semieje mayor y por ello se debe satisfacer

r1

+ r2

= 2a = � k

E. (3.3.35)

De esta ecuación se puede despejar la energía mecánica en términos delsemieje mayor de la elípse,

E = � k

2a. (3.3.36)

Recuerde que el valor negativo de la energía significa que la partícula se encuen-tra ligada.

3.3.3. Tercera Ley de KeplerDesde el punto de vista geométrico, la excentricidad de la elípse viene dada

en términos de sus semieje mayor y menor mediante

b = ap

1� ✏2. (3.3.37)

Utilizando esta relación en la ecuación para el periodo (3.3.26) se tiene

⌧ =

2⇡µa2p1� ✏2

l. (3.3.38)

Utilizando la ecuación (3.3.21) para la excentricidad de las trayectorias en tér-minos de la energía,


✏ =

s

1 +

2El2

µk2, (3.3.39)

el periodo resulta ser

⌧ =

2⇡µa2q

� 2El2

µk2

l. (3.3.40)

Elevando al cuadrado esta expresión y utilizando (3.3.19) se tiene

⌧2 =

4⇡2µ2a4⇣

� 2El2

µk2

⌘

l2(3.3.41)

⌧2 =

4⇡2µ2a4⇣

2kl2

2aµk2

⌘

l2(3.3.42)

⌧2 =

4⇡2µ

ka3. (3.3.43)

Este resultado establece que el cuadrado del periodo de una orbita elípticaes proporcional al cubo del radio mayor de la orbita. En el caso del problemagravitacional, en el cual

k = Gm1

m2

(3.3.44)

yµ =

m1

m2

m1

+m2

, (3.3.45)

se tiene

⌧2 =

4⇡2a3

G (m1

+m2

)

. (3.3.46)

Cuando se considera un objeto central muy masivo (por ejemplo el sol) conmasa m

1

y una particula de masa m2

moviendose alrededor de este (por ejemploun planeta), con m

1

� m2

, se puede aproximar

⌧2 ⇡ 4⇡2a3

Gm1

(3.3.47)

⌧ ⇡ 2⇡a3/2pGm

1

. (3.3.48)

A esta relación se le conoce como tercera ley de Kepler y establece que laconstante de proporcionalidad entre ⌧ y a3/2 es la misma para todos los planetas


3.3.4. Ecuación de KeplerLa integral primera (3.1.20) permite encontrar, en principio, lafunción r (t),

ˆ r

r0

drr

2

µ

h

E � 1

2

l2

µr2 � V (r)i

= t. (3.3.49)

Para el caso específico del problema de Kepler, esta ecuación resulta serˆ r

r0

drr

2

µ

h

� k2a �

1

2

l2

µr2 +

kr

i

= t. (3.3.50)

De la definición de la excentricidad, (3.3.21), se tiene

✏ =

s

1 +

2El2

µk2, (3.3.51)

que para el problema de Kepler es

✏2 = 1� l2

µka, (3.3.52)

y por ello, el momento angular se puede escribir como

l2 = µka�

1� ✏2�

. (3.3.53)

Reemplazando este resultado en la integral (3.3.50), se obtieneˆ r

r0

drr

2

µ

h

� k2a �

1

2

ka(1�✏2)r2 +

kr

i

= t (3.3.54)

ˆ r

r0

r

µ

2k

drq

� 1

2a �a(1�✏2)

2r2 +

1

r

= t (3.3.55)

ˆ r

r0

r

µ

2k

rdrq

� 1

2ar2

+ r � a(1�✏2)2

= t. (3.3.56)

Para resolver esta integral, se introducirá la nueva variable definida por

r = a (1� ✏ cos ) , (3.3.57)

de donde

dr = a✏ sin d . (3.3.58)


La variable angular se denomina anomalía exentrica y toma valores en elintervalo 0 a 2⇡ cuando el angulo ✓ (denominado anomalía verdadera) completauna revolución.

Los límites de la integración se encuentran teneindo en cuenta que la ecuaciónde la trayectoria (3.3.19),

r =

l2

µk

1 + ✏ cos (✓ � ✓0

)

, (3.3.59)

se puede escribir también como

r =

a�

1� ✏2�

1 + ✏ cos (✓ � ✓0

)

. (3.3.60)

El radio mínimo en esta trayectoria se obtiene cuando cos (✓ � ✓0

) = 1,

r0

= rmin =

a�

1� ✏2�

1 + ✏= a (1� ✏) . (3.3.61)

Si se compara esta relación con (3.3.57), se observa de inmediato que el radiomínimo (perihelio) se obtiene cuando cos = 1, es decir = 0. Con esto enmente, la integral resulta ser

ˆ

0

r

µ

2k

a (1� ✏ cos ) a✏ sin d q

� 1

2aa2

(1� ✏ cos )2 + a (1� ✏ cos )� a(1�✏2)2

= t (3.3.62)

ˆ

0

r

µ

2k

a2✏ (1� ✏ cos ) sin d q

�a2

(1� ✏ cos )2 + a (1� ✏ cos )� a(1�✏2)2

= t. (3.3.63)

Nótese que el radical en el denominador se puede expandir como

r

�a

2

(1 + ✏2 cos2 � 2✏ cos ) + a (1� ✏ cos )� a (1� ✏2)2

=

r

�a+ a� a

2

✏2 cos2 + a✏ cos � a✏ cos +

a✏2

2

=

r

�a

2

✏2 cos2 +

a✏2

2

=

r

a

2

✏2 (1� cos

2 )

=

r

a

2

✏ sin . (3.3.64)

Así, la integral se convierte en


ˆ

0

r

µ

2k

a2 (1� ✏ cos ) d p

a2

= t (3.3.65)

r

µa3

k

ˆ

0

(1� ✏ cos ) d = t (3.3.66)

r

µa3

k( � ✏ sin ) = t. (3.3.67)

Ya que el periodo del movimiento está dado por

⌧ = 2⇡

r

µ

ka3, (3.3.68)

se puede definir la frecuencia angular como

! =

2⇡

⌧=

s

k

µa3, (3.3.69)

y con ello,

� ✏ sin = !t. (3.3.70)

Esta última relación se conoce como Ecuación de Kepler. En ella, la cantidad!t toma valores en el rango de 0 a 2⇡ a lo largo de una revolución completa,al igual que . Por esta razón se le denomina anomalía media. Ahora bien, larelación entre la anomalía excéntrica y la anomalía verdadera se puede obtenera partir de la2 ecuaciones (3.3.57) y (3.3.60), que permiten escribir

r =

a�

1� ✏2�

1 + ✏ cos (✓ � ✓0

)

= a (1� ✏ cos ) , (3.3.71)

de donde

a�

1� ✏2�

a (1� ✏ cos ) � 1 = ✏ cos (✓ � ✓0

) (3.3.72)

cos � ✏1� ✏ cos = cos (✓ � ✓

0

) . (3.3.73)

Si a esta relación se le suma uno y se le resta uno a cada lado se obtiene lasecuaciones

(

1� cos �✏1�✏ cos = 1� cos (✓ � ✓

0

)

1 +

cos �✏1�✏ cos = 1 + cos (✓ � ✓

0

)

(3.3.74)

(

(1+✏)(1�cos )1�✏ cos = 1� cos (✓ � ✓

0

)

(1�✏)(1+cos )1�✏ cos = 1 + cos (✓ � ✓

0

) .(3.3.75)


Dividiendo una de estas en la otra se tiene

(1 + ✏) (1� cos )

(1� ✏) (1 + cos )=

1� cos (✓ � ✓0

)

1 + cos (✓ � ✓0

)

. (3.3.76)

Ahora bien, recordado las identidades trigonométricas para suma de angulos,esta expresión se puede reescribir como

✓

1 + ✏

1� ✏

◆

2 sin

2

⇣

2

⌘

2 cos

2

⇣

2

⌘

=

2 sin

2

�

✓�✓02

�

2 cos

2

�

✓�✓02

� (3.3.77)

✓

1 + ✏

1� ✏

◆

tan

2

✓

2

◆

= tan

2

✓

✓ � ✓0

2

◆

. (3.3.78)

Es decir que la relación entre las anomalias esr

1 + ✏

1� ✏ tan✓

2

◆

= tan

✓

✓ � ✓0

2

◆

. (3.3.79)

3.4. Dispersión por Campos CentralesAún cuando el interés por la fuerza central se centró en este capítulo en el

estudio del movimiento planetario, este trataimento puede ser aplicado tambiéna otros tipos de fuerzas centrales, como por ejemplo el campo electrostático. Enestos casos, es interesante analizar el fonómeno de dispersión de partículas porun centro de fuerza.

Para ello se considerará un haz uniforme de particulas puntuales, todas deigual masa. La intensidad o densidad de flujo del haz, I, se define como elnúmero de partículas que cruzan una unidad de area perpendicular al haz porunidad de tiempo. La dirección de incidencia corresponde a la recta que pasapor el centro de fuerzas y que es paralela al vector velocidad de las particulasincidentes.

Si se supone que el campo central tiende a cero para grandes distancias, elhaz se mueve en linea recta hasta el momento en el quepasa cerca al centro defuerzas. Allí, la interacción con cada partícula hace que se cambie su direcciónde forma atractiva o repulsiva, desviando la dirección de la trayectoria en línearecta. Luego, al alejarse, la fuerza vuelve a ser cero y la trayectoria es de nuevouna linea recta con una dirección final que difiere de la dirección de incidencia.Se define el ángulo de dispersión � como el ángulo agudo entre las direccionesde incidencia y final.

Finalmente, se define el parámetro de impacto b, como la distancia entre elvector de velocidad de las particulas incidentes y la recta que define la direcciónde incidencia. Ya que el efecto de dispersión depende del acercamiento al centrode fuerzas, se puede decir que la dispersión producida en el haz es inversamenteproporcional al parametro de impacto, dispersion ⇠ 1

b .


Figura 3.4.1: Dispersión por un campo central

3.4.1. Sección Eficaz Diferencial de DispersiónLa sección eficaz diferencial de dispersión � (⌦) se define como

� (⌦) d⌦ =

número de partículas dispersadas en un ángulo sólido d⌦ por unidad de tiempointensidad del haz incidente

,

donde d⌦ es un elemento de ángulo sólido. Si se recuerda que el ángulo sólidobarrido por un elemento de area dA a una distancia R se escribe

d⌦ =

dA

R2

, (3.4.1)

es fácil comprobar a partir de la Figura 3.4.1, que el ángulo solido que barre elanillo de espesor d� ubicado a un ángulo � y a una distancia R del centro defuerzas, resulta ser

d⌦ =

2⇡R sin� (Rd�)

R2

(3.4.2)

d⌦ = 2⇡ sin�d�. (3.4.3)

Ahora bien, el número de partículas incidentes que pasan por el anillo deradio b espesor db que se muestra en la Figura 3.4.2 es

# de particulas = I2⇡b |db| = I� (⌦) |d⌦| , (3.4.4)

donde la última igualdad se consigue utilizando la definición de la sección eficazdiferencial de dispersión y los valores absolutos se utilizan porque el número departículas siempre debe ser una cantidad positiva. De esta manera, se tiene

2⇡b |db| = � (⌦) |d⌦| (3.4.5)

2⇡b |db| = � (⌦) 2⇡ sin� |d�| , (3.4.6)


Figura 3.4.2: Seccion Eficaz de Dispersión

es decir

� (⌦) =b

sin�

�

�

�

�

db

d�

�

�

�

�

. (3.4.7)

Para calcular esta cantidad es necesario conocer la función b = b (�) y paraello se necesita la ecuación de la trayectoria para las partículas. A partir de laFigura 3.4.3se observa que el angulo de dispersión se puede escribir como

� = ⇡ � 2 , (3.4.8)

donde es el ángulo entre la dirección de incidenciay la dirección del punto demáximo acercamiento (periapsis). Este ángulo puede encontrarse encontrandola ecuación (3.2.17)

✓ � ✓0

=

ˆldr

r2q

2m⇥

E � 1

2

l2

mr2 � V (r)⇤

. (3.4.9)

Aqui, el momento angular de un partícula que incide con parámetro de im-pacto b y velocidad v

0

se puede escribir como

l = mbv0

= bp2mE, (3.4.10)

donde la última igualdad se consigue ya que en la región asintótica el campocentral es nulo y la energía es únicamente cinética. De esta manera, se tiene

✓ � ✓0

=

ˆbp2mEdr

r2q

2m⇥

E � 1

2

b22Er2 � V (r)

⇤

. (3.4.11)

El ángulo se obtendrá como la diferencia de la dirección asintótica dellegada y la dirección del punto de mayor acercamiento (r = rmin), i.e.

= ✓ (t = +1)� ✓ (t = 0) , (3.4.12)

o en términsos de la integral como


Figura 3.4.3: Simetría de la trayectoria de las particulas dispersadas

=

ˆ 1

rmin

bpEdr

r2q

E � b2Er2 � V (r)

, (3.4.13)


=

ˆ 1

rmin

bdr

r2r

h

1� b2

r2 �V (r)E

i

. (3.4.14)

Así, el ángullo de dispersión se puede escribir como

� = ⇡ � 2

ˆ 1

rmin

bdr

r2r

h

1� b2

r2 �V (r)E

i

. (3.4.15)

Al realizar el cambio de variable usual,

r =

1

u,

se tiene

� = ⇡ � 2

ˆ umax

0

bdu

r2r

h

1� b2u2 � V (u)E

i

. (3.4.16)

Nótese que esta ecuación permite, en principio, encontrar una relación entreel ángulo de dispersión y el parámetro de impacto, � = � (b, E) la cual puedeinvertirse para encontrar la relación buscada, es decir b = b (�, E).

3.4.2. Dispersión de RutherfordUno de los problemas de dispersión más impoirtante es el producido sobre

cargas eléctricas debido a un campo de Coulomb. La fuerza central entre unapartícula con carga Ze y otra con carga �Z 0e tiene la forma


F (r) =ZZ 0e2

r2, (3.4.17)

es decir, es una ley de inverso de cuadrado. Como se mostró antes, para unapartícula con energia E > 0, la excentricidad es ✏ > 1, es decir que la trayectoriaque sigue es una hipérbola. A partir de la ecuación (3.3.18),

1

r=

mk

l2

"

1 +

r

1 +

2El2

mk2cos (✓ � ✓

0

)

#

, (3.4.18)

y el momento angular en términos del parámetro de impacto, se tiene

1

r=

k

2b2E

"

1 +

r

1 +

4E2b2

k2cos (✓ � ✓

0

)

#

, (3.4.19)

donde k = ZZ 0e2. El valor mínimo del radio, r = rmin, se obtiene para✓ = ✓

0

, y si se evalua esta expresión para un tiempo muy grande, t ! 1, elradio vector tiende a infinito y la expresión toma la forma

1

r (t =1)

=

k

2b2E

"

1 +

r

1 +

4E2b2

k2cos (✓ (t =1)� ✓

0

)

#

= 0 (3.4.20)

Recordando la definición del ángulo = ✓ (t =1)� ✓0

, se obtiene

1

r (t =1)

=

k

2b2E

"

1 +

r

1 +

4E2b2

k2cos

#

= 0. (3.4.21)

De esta forma, se debe cumplir

cos = � 1

q

1 +

4E2b2

k2

, (3.4.22)

y recordando que � = ⇡ � 2 ,

cos

✓

⇡ � �2

◆

= � 1

q

1 +

4E2b2

k2

(3.4.23)

sin

⇣�

2

⌘

= � 1

q

1 +

4E2b2

k2

, (3.4.24)

es decir

sin

2

⇣�

2

⌘

=

1

1 +

4E2b2

k2

. (3.4.25)

Al despejar el término que incluye el parámetro impacto,


4E2b2

k2=

1

sin

2

�

�2

� � 1. (3.4.26)

Expresando apropiadamente el uno del último término en el lado derecho,se puede escribir

4E2b2

k2=

1

sin

2

�

�2

� �sin

2

�

�2

�

sin

2

�

�2

�

=

cos

2

�

�2

�

sin

2

�

�2

� , (3.4.27)

es decir que

4E2b2

k2= cot

2

⇣�

2

⌘

, (3.4.28)

de donde se puede despejar el parámetro de impacto en función del angulo dedispersión,

b (�) =k

2Ecot

⇣�

2

⌘

. (3.4.29)

Esta función permite encontrar inmediatamente la sección eficaz diferencialde dispersión,

� (⌦) =b

sin�

�

�

�

�

db

d�

�

�

�

�

(3.4.30)

� (⌦) =k2

4E2

cot

�

�2

�

sin�

�

�

�

�

d

d�

⇣

cot

⇣�

2

⌘⌘

�

�

�

�

(3.4.31)

� (⌦) =k2

4E2

cot

�

�2

�

sin�

1

2

csc

2

⇣�

2

⌘

(3.4.32)

� (⌦) =k2

8E2

cos

�

�2

�

sin� sin

3

�

�2

� , (3.4.33)

y ya que sin� = 2 sin

�

�2

�

cos

�

�2

�

, finalmente

� (⌦) =1

4

✓

k

2E

◆

2

1

sin

4

�

�2

� . (3.4.34)

A partir de esta cantidad, es posible calcular la sección eficaz total de dis-persión, �T , mediante

�T =

ˆ4⇡

� (⌦) d⌦ = 2⇡

ˆ ⇡

0

� (�) sin�d�. (3.4.35)

Para la dispersión de Rutherford, esta integral diverge. Para comprender estecomportamiento, basta con notar que de la definición de la sección eficaz totalserá el número de partículas dispersadas en todas las direcciones por unidad detiempo para un haz con intensidad unitaria. Ya que el campo de Coulomb se


extiende en todo el espacio, incluso las partículas con un parámetro de impactogrande sufriran dispersión (aunque sea muy pequeña) y todas estas contribucio-nes entran dentro del calculo de �T .

Este mismo comportamiento ocurre para todos los campos que se extiendenpor todo el espacio. En realidad, para que �T no presente un comportamientodivergente, la única posibilidad es que exista un corte (cut-off ), es decir que elcampo sea nulo para regiones mayores a una cierta distancia, r > r⇤.

Capítulo 4

Cinemática del Cuerpo Rígido

4.1. Grados de LibertadUn cuerpo rígido es un conjunto de N partículas , por lo que posee, en princi-

pio, 3N grados de libertad. Sin embargo, las distancias mutuas entre partículasson constantes, lo cual se puede escribir como el conjunto de ligaduras

rij = cij = cte. (4.1.1)

Para ubicar la posición de un punto en un cuerpo rígido, no es necesarioespecificar sus distancias a todos los demás puntos. Para ello solamente hacefalta especificar la posición con respecto a tres puntos no colineares. Dee staforma, una vez que se determina la posición de tres partículas dentro del cuerporígido, todas las demás partículas quedan ubicadas utilizando las ligaduras.

EjemploUna partícula puntual posee tres grados de libertad. Si se consideran

dos partículas puntuales unidas con una barra rigida sin masa existe unaligadura, r

12

= c12

y por ello el número de grados de libertad se reduce an = 3N � = 6� 1 = 5.

Si se consideran tres partículas unidas con dos barras rígidas que puedenrotar independiente y libremente como se muestra en la Figura, existen dosligaduras: r

12

= c12

y r13

= c13

. Así, el número de grados de libertad sereduce a n = 3N � = 9� 2 = 7.

Finalmente, si las tres partículas se unen con tres barras rígidas existentres ligaduras r

12

= c12

, r13

= c13

y r23

= c23

. Por esta razón, el número degrados de libertad es de n = 3N � = 9� 3 = 6.

Como se muestra en el ejemplo, para ubicar tres partículas unidas con barrasrígidas se tienen 6 grados de libertad, al igual que para determinar la ubicaciónde cualquier cuerpo rígido.

120

CAPÍTULO 4. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO 121

Figura 4.1.1: Ubicacion y orientación del Cuerpo Rígidos

Ahora bien, las coordenadas generalizadas que dan cuenta de estos 6 gradosde libertad se pueden tomar como las tres coordenadas cartesianas que ubicanun punto dentro del objeto (este puede ser un punto fijo, si este existe, o en sudefecto el centro de masa del cuerpo rígido) y los tres ángulos que determinanla orientación del cuerpo rígido con respecto a la ubicación de este punto.

Denotaremos OXY Z el sistema de coordenadas con respecto al cual que-remos ubicar el cuerpo rígido, mientras que o0xyz corresponde a un sistemacentrado en un punto del cuerpo rígido (punto fijo o centro de masa) y quetiene sus ejes paralelos al sistema OXY Z. Finalmente, se denotará por o0x0y0z0

el sistema de coordenadas fijo al cuerpo y que dará cuenta de la orientación delmismo, como se observa en la Figura 4.1.1. Se definirán los vectores unitariosî, ˆj, ˆk en dirección de los ejes X,Y, Z, los cuales satisfacen

î ·î =

ˆj · ˆj = ˆk · ˆk = 1 (4.1.2)î · ˆj =

ˆj · ˆk =

ˆk · ˆj = 0, (4.1.3)

y los vectores unitarios î0, ˆj0, ˆk0 en dirección de los ejes X 0, Y 0, Z 0, con un con-junto de relaciones similar.

Ahora bien, la orientación de cada un de los ejes primados con respecto a losno primados se puede dar en términos de los cosenos directores definidos porlas relaciones (ver Figura 4.1.2)

8

>

<

>

:

cos ✓11

=

î0 ·îcos ✓

12

=

î0 · ˆjcos ✓

13

=

î0 · ˆk(4.1.4)

8

>

<

>

:

cos ✓21

=

ˆj0 ·îcos ✓

22

=

ˆj0 · ˆjcos ✓

23

=

ˆj0 · ˆk(4.1.5)


Figura 4.1.2: Cosenos Directoress

8

>

<

>

:

cos ✓31

=

ˆk0 ·îcos ✓

32

=

ˆk0 · ˆjcos ✓

33

=

ˆk0 · ˆk.(4.1.6)

En esta definición de los angulos ✓ij el primer índice se refiere al sistemaprimado y el segundo índice al sistema no primado. Nótese que este conjunto denueve cosenos directores determina completamente la orientación del sistema deejes primados con respecto al sistema no primado, ya que los vectores unitariosprimados se pueden escribir en terminos de los no primados mediante

î0 = cos ✓11

î+ cos ✓12

ˆj + cos ✓13

ˆk (4.1.7)ˆj0 = cos ✓

21

î+ cos ✓22

ˆj + cos ✓23

ˆk (4.1.8)ˆk0 = cos ✓

31

î+ cos ✓32

ˆj + cos ✓33

ˆk. (4.1.9)

Ahora bien, a partir de este conjunto de ecuacioens y de las condiciones deortonormalidad de los vectores unitarios primados y no primados, es sencillomostrar que los cosenos directores satisfacen las relaciones

3

X

l=1

cos ✓lm cos ✓ln = 0 (4.1.10)

3

X

l=1

cos ✓lm cos ✓ln =

3

X

l=1

cos

2 ✓lm = 1. (4.1.11)

Estas dos relaciones se pueden reescribir en una sola ecuación como

3

X

l=1

cos ✓lm cos ✓ln = �mn, (4.1.12)

con �mn la función delta de kronecker.


Un vector cualquiera ~r se puede escribir en los dos sistemas de coordenadas,

~r = xî+ yˆj + zˆk = x0î0 + y0ˆj0 + z0ˆk0. (4.1.13)

Las componentes del vector en cada uno de los sistemas se relacionan entre ellasmediante los cosenos directores,

8

>

<

>

:

x0= ~r ·î0 = cos ✓

11

x+ cos ✓12

y + cos ✓13

z

y0 = ~r · ˆj0 = cos ✓21

x+ cos ✓22

y + cos ✓23

z

z0 = ~r · ˆk0 = cos ✓31

x+ cos ✓32

y + cos ✓33

z.

(4.1.14)

Es importante notar aqui que, debido a las relaciones (4.1.12), los cosenosdirectores no son todos independientes entre sí. Por esta razón, cuando se deseadeterminar la oreintaciónd e un cuerpo rígido no son necesarias nueve coorde-nadas generalizadas. En realidad, las ecuaciones (4.1.12) son 6 relaciones entrelos cosenos directores y por ello el número de grados de libertad necesarios paradescribir la orientación de un cuerpo rígido son solamente tres.

4.2. Transformaciones OrtogonalesLa transformación de coordenadas (4.1.14) se puede interpretar como una

transformación lineal definida en forma general por8

>

<

>

:

x01

= a11

x1

+ a12

x2

+ a13

x3

x02

= a21

x1

+ a22

x2

+ a23

x3

x03

= a31

x1

+ a32

x2

+ a33

x3

,

(4.2.1)

identificando los coeficientes

aij = cos ✓ij . (4.2.2)

Esta transformación lineal se puede escribir en forma corta como

x0i = aijxj , (4.2.3)

donde se utiliza la convención de suma de Einstein (esto es, siempre que existaun par de índices repetidos se asume una suma sobre todos los valores de eseíndice, en este caso i, j = 1, 2, 3).

Los coeficientes que representan esta transformación no son totalmente in-dependientes. Para encontrar las relaciones entre ellos, se puede considerar lamagnitud de un vector, la cual debe permanecer invariante. Esto es, en coorde-nadas cartesianas

3

X

i=1

x2

i =

3

X

i=1

x02i . (4.2.4)

Utilizando la transformación lineal en el lado derecho,


3

X

i=1

x2

i =

3

X

i=1

x0ix

0i (4.2.5)

3

X

i=1

x2

i =

3

X

i=1

3

X

j=1

aijxj

3

X

k=1

aikxk (4.2.6)

3

X

i=1

x2

i =

X

i,j,k

aijaikxjxk. (4.2.7)

Esta relación es válida solamente siX

i

aijaik = �jk, (4.2.8)

conocida como la condición de ortogonalidad.

4.2.1. Representación MatricialAhora bien, la transformación lineal se puede representar matemáticamente

en forma matricial como

x0= Ax, (4.2.9)

donde

A =

2

4

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

3

5 . (4.2.10)

Esta matriz puede interpretarse como un operador que actua sobre el sistemade coordenadas (punto de vista pasivo de la transformación) o como un operadorque actua sobre los vectores (punto de vista activo de la transformación). Porotro lado, la condición de ortogonalidad se representa matricialmente mediantela expresión

AA = AA = 1, (4.2.11)

donde A representa la matriz transpuesta de A y 1 es la matriz identidad.Si se considera el enfoque activo de la transformación y la matriz A se aplica

a un vector F, se obtendrá un nuevo vector G, como

G = AF. (4.2.12)

Además, si se utiliza ahora el enfoque pasivo y se considera la acción de unamatriz B sobre el sistema de coordenadas, las componentes del vector G seránahora

BG = BAF. (4.2.13)


Esta expresión se puede reescribir introduciendo una matriz identidad ade-cuadamente,

BG = BA1F = BAB�1BF =

�

BAB�1

�

BF = A0BF, (4.2.14)

donde en la última igualdad se ha considerado la ecuación (4.2.12) y A0 re-presenta el operador A en el nuevo sistema de coordenadas y que está dadopor

A0= BAB�1. (4.2.15)

A esta relación se le conoce como transformación de semejanza o de simila-ridad. Ahora bien, esta ecuación puede reescribirse como

A0B = BA. (4.2.16)

Al tomar el determinante de esta expresión,

det [A0B] = det [BA] , (4.2.17)

y debido a las propiedades de los determinantes,

det [A0] det [B] = det [B] det [A] (4.2.18)

det [A0] = det [A] , (4.2.19)

es decir que el determinante de una matriz es invariante bajo una transformaciónlineal.

Ahora bien, de la condición de ortogonalidad para la matriz A se tiene

det [A] det

h

Ai

= det [1] = 1, (4.2.20)

y ya que el determinante de la matriz transpuesta es igual al de la matriz original(el determinante no cambia si se intercambian filas y columnas), se tiene

(det [A])

2

= 1, (4.2.21)

lo que implica que el determinante de una matriz ortogonal solo puede tomardos valores,

det [A] = ±1. (4.2.22)

El signo menos no sirve para representar rotaciones, ya que una matriz coneste determinante, como por ejemplo

2

4

�1 0 0

0 �1 0

0 0 �1

3

5 (4.2.23)


produce una inversion en los ejes (la cual nunca se puede obtener para un cuerporigido ya que no existe forma de invertir ejes mediante rotaciones sin utilizar almenos una reflección). Por esta razón se considerarán solamente matrices condet [A] = +1, denominadas matrices ortogonales propias.

4.3. Angulos de EulerComo se analizó anteriormente, los nueve angulos ✓ij no son independientes

entre sí, y por esta razón no sirven como coordenadas generalizadas. Las seisrelaciones de ortogonalidad dan como resultado que solo se tienen tres gradosde libertad y por ello para determinar la orientación de un cuerpo rígido senecesitarán solamente 3 ángulos. Aún cuando la escogencia de los angulos escompletamente arbitaria, la elección más común corresponde a los denominadosAngulos de Euler.

Para obtener un sistema de coordenadas cartesiano a partir de otro se puederealizar mediante tres rotaciones sucesivas en un orden específico. La convenciónque se describirá aqui corresponde a la utilizada en la mecánica celeste. Pararepresentar las rotaciones alrededor de los diferentes ejes se utilizará la notaciónmatricial

R1

(') =

0

@

1 0 0

0 cos' sin'0 � sin' cos'

1

A rotación con respecto al primer eje de coordenadas

R2

(') =

0

@

cos' 0 � sin'0 1 0

sin' 0 cos'

1

A rotación con respecto al segundo eje de coordenadas

R3

(') =

0

@

cos' sin' 0

� sin' cos' 0

0 0 1

1

A rotación con respecto al tercer eje de coordenadas.

Partiendo del sistema xyz, se rota en un ángulo � en contra de las manecillasdel reloj y alrededor del eje z. Con ello se obtiene el sistema de ejes ⇠⌘⇣. Nóteseque esta rotación se puede representar matemáticamente como

0

@

⇠⌘⇣

1

A

= R3

(�)

0

@

xyz

1

A . (4.3.1)

Luego, se realiza una segunda rotación alrededor del eje ⇠ y en contra de lasmanecillas del reloj en un angulo ✓, para obtener el sistema ⇠0⌘0⇣ 0. Matemática-mente, esto corresponde a

0

@

⇠0

⌘0

⇣ 0

1

A

= R1

(✓)

0

@

⇠⌘⇣

1

A . (4.3.2)


Figura 4.3.1: Angulos de Eulers

Nótese que el eje ⇠0 se encuentra ubicado en la intersección de los planos xyy ⇠0⌘0 y se conoce como línea de los nodos.

Finalmente, la tercera rotación se realiza alrededor del eje ⇣ 0 en un ángulo en contra de las manecillas del reloj para producir el sistema x0y0z0,

0

@

x0

y0

z0

1

A

= R3

( )

0

@

⇠0

⌘0

⇣ 0

1

A . (4.3.3)

Los tres angulos de Euler, �✓ , mostrados en la Figura 4.3.1, permiten des-cribir completamente la orientación del sistema de cooredenadas x0y0z0 con res-pecto al sistema xyz, y por ello conforman un buen sistema de coordenadasgeneralizadas para describir la orientación de un cuerpo rígido.

Ahora bien, la transformación completa se puede representar matricialmentecomo

0

@

x0

y0

z0

1

A

= R3

( )R1

(✓)R3

(�)

0

@

xyz

1

A (4.3.4)

0

@

x0

y0

z0

1

A

= A

0

@

xyz

1

A , (4.3.5)

donde la matriz A resulta ser

A = R3

( )R1

(✓)R3

(�) (4.3.6)

A =

0

@

cos sin 0

� sin cos 0

0 0 1

1

A

0

@

1 0 0

0 cos ✓ sin ✓0 � sin ✓ cos ✓

1

A

0

@

cos� sin� 0

� sin� cos� 0

0 0 1

1

A


A =

0

@

cos sin 0

� sin cos 0

0 0 1

1

A

0

@

cos� sin� 0

� cos ✓ sin� cos ✓ cos� sin ✓sin ✓ sin� � sin ✓ cos� cos ✓

1

A (4.3.7)

A =

0

@

cos cos�� sin cos ✓ sin� cos sin�+ sin cos ✓ cos� sin sin ✓� sin cos�� cos cos ✓ sin� � sin sin�+ cos cos ✓ cos� cos sin ✓

sin ✓ sin� � sin ✓ cos� cos ✓

1

A .

(4.3.8)

4.4. Teorema de Euler para el Movimiento de unCuerpo Rigido

Como se observó, la orientación de un cuerpo rígido se puede expresar conayuda de los tres angulos de Euler y mediante la matriz de transformación A.Con esto en mente, es posible enunciar el teorema de Euler sobre el movimientode un cuerpo rígido, el cual se puede escribir como

“ El desplazamiento general de un cuerpo rígido con un punto fijo es unarotación alrededor de un eje”.

Este teorema quiere decir que para cualquier movimiento de un cuerpo rí-gido con un punto fijo se puede encontrar un eje que pase por ese punto fijo yorientado mediante un par de angulos ✓ y � de tal forma que la rotación en unangulo con respecto a este eje, reproduzca el movimiento del cuerpo rígido.

Ahora bien, si el punto fijo se toma como origen del sistema de ejes quedescribiran el movimiento, no existiran traslaciones sino únicamente rotacionesinvolucradas, y por ello la transformación general que describirá el movimientoestará representada por la matriz A definida arriba. Ahora bien, en toda trans-formación de este estilo, el eje de rotación es inalterado, y por esta razón, unvector en dirección de este eje no se ve afectado. Así, para probar el teorema deEuler debe mostrarse que existe un vector ~R que tenga las mismas componentesantes y después de la rotación. Esto es,

~R0= A~R =

~R. (4.4.1)

Esta ecuación es unc aso particular de la ecuación general de valores propiospara la matriz A,

~R0= A~R = �~R, (4.4.2)

donde � es, precisamente, uno de lo eigenvalores de la matriz A. De esta forma,para probar el teorema de Euler, lo que se debe comprobar es que uno de losvalores propios de A es � = +1. Ya que la matriz que representa una rotaciónno cambia la magnitud de los vectores, se tiene para todo valor propio

�

�

�

A~R�

�

�

2

=

�

�

�

�~R�

�

�

2

= |�|2�

�

�

~R�

�

�

2

=

�

�

�

~R�

�

�

2

, (4.4.3)


es decir que los tres eigenvalores deben satisfacer

|�1

|2 = |�2

|2 = |�3

|2 = 1. (4.4.4)

Se designarán las componente la matriz como

A =

2

4

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

3

5 (4.4.5)

y las componentes del vector como

~R =

0

@

x1

x2

x3

1

A . (4.4.6)

De esta forma la ecuación de eigenvalores será

(A� �1) ~R = 0 (4.4.7)

0

@

a11

� � a12

a13

a21

a22

� � a23

a31

a32

a33

� �

1

A

0

@

x1

x2

x3

1

A

= 0. (4.4.8)

Para que exista una solución no trivial debe cumplirse que su determinante nosea nulo,

det [A� �1] = 0, (4.4.9)

condición que se conoce como la ecuación característica o secular para la matrizy que debe complirse para cada uno de los valores propios.

Para comprobar el teorema de Euler solo es necesario notar que

(A� 1) Ã = 1� Ã, (4.4.10)

debido a que la matriz A debe ser ortogonal (lo que implica que AA = AA = 1). De esta forma, si se toma el determinante de esta expresión,

det [A� 1] deth

Ãi

= det

h

1� Ãi

, (4.4.11)

pero ya que A es ortogonal, deth

Ãi

= det [A] = 1, se tiene

det [A� 1] = det [1�A] . (4.4.12)

De las propiedades de los determinantes se sabe que para toda matriz detamaño n⇥ n se satisface

det [�B] = (�1)n det [B] . (4.4.13)

En nuestro casose tienen matrices de tamaño 3⇥ 3 y por ello se puede escribir


det [A� 1] = det [1�A] = (�1)3 det [A� 1] (4.4.14)

det [A� 1] = 0. (4.4.15)

Comparando esta relacion con la ecuación secular se observa que uno de losvalores propios debe ser � = +1.

Ahora bien, si se denotan los valores propios como �k y sus correspondientesvectores propios por Rk = (x

1k, x2k, x3k), las ecuaciones de valores propios sepueden escribir de forma compacta como

3

X

j=1

aijxjk = �kxik. (4.4.16)

Si se define una matriz formada a partir de los vectores propios en la forma

X =

2

4

x11

x12

x13

x21

x22

x23

x31

x32

x33

3

5 , (4.4.17)

se puede reescribir la ecuación de valores propios como

3

X

j=1

aijxjk =

3

X

j=1

xij�jk�k (4.4.18)

donde el factor �jk�k define una matriz ⇤ cuyos elementos son los valores pro-pios,

⇤ =

2

4

�1

0 0

0 �2

0

0 0 �3

3

5 . (4.4.19)

En terminos matriciales, la ecuación será ahora

AX = ⇤X, (4.4.20)

o también

X�1AX = ⇤. (4.4.21)

Tomando el determinante de esta ecuación, se tiene

det

⇥

X�1AX⇤

= det

⇥

X�1

⇤

det [A] det [X] = det [⇤] (4.4.22)

det [X]

�1

det [A] det [X] = �1

�2

�3

(4.4.23)

det [A] = �1

�2

�3

. (4.4.24)


Como se mostró antes, si la matriz A es ortogonal se cumple det [A] = ±1, perosi se consideran únicamente las transformaciones propias (i.e. no inversiones deejes) debe tomarse solamente el signo positivo y por ello

�1

�2

�3

= 1. (4.4.25)

Ya que al menos uno de los eigenvalores (por ejemplo �1

) debe ser real eigual a �

1

= +1, esta ecuación resulta en

�2

�3

= 1. (4.4.26)

Así, se pueden analizar tres casos posibles para los dos valores propios res-tantes:

Caso 1. En el caso trivial, la matriz de transformación es la identidad, ypor ello

�1

= �2

= �3

= 1. (4.4.27)

Caso 2. �1

= +1 y los otros dos valores propios son negativos, �2

= �3

= �1.Caso 3. �

1

= +1 y los otros dos valores propios son complejos conjugadosmutuos, es decir �

2

=

¯�3

. Así, se tiene

�2

�3

=

¯�3

�3

=

¯�2

�2

= 1 (4.4.28)

|�3

|2 = |�2

|2 = 1. (4.4.29)

Así, se tiene, por ejemplo, �2

= ei', �3

= e�i'.

4.4.1. Transformación de SimilaridadSi la matriz B define un cambio de coordenadas de la forma

B : (x, y, z)! (X,Y, Z) , (4.4.30)

y la matriz A representa una rotación en el sistema (x, y, z) tal que

A : (x, y, z) ! (x, y, z)

~r ! ~r0 = A~r

entonces la transformación de similaridad de la matriz A da lugar a unamatriz que representa rotaciones en el sistema (X,Y, Z),

BAB�1

: (X,Y, Z) ! (X,Y, Z)

~s ! ~s0 =�

BAB�1

�

~s


4.5. Tensor de InerciaEl Tensor de Inercia I relaciona los vectores momento angular ~L y velocidad

angular ~!,

~L = I~!. (4.5.1)

Si se considera un cambio de coordenadas representado por la matriz A setiene que

~L0= A~L = A (I~!) = AIA�1A~! = AIA�1~!0 (4.5.2)

~L0= I0~!0, (4.5.3)

donde se ha definidoI0 = AIA�1. (4.5.4)

El caracter tensorial de I se puede observar al considerar esta relación de simi-laridad en componentes. Nótese que si las componentes de la matriz de trans-formación se denotan por aij , entonces las componentes de la inversa serán aji(ya que para una matriz ortogonal A�1

=

˜A). De esta forma se tiene

I 0ij =X

k,l

aikIklajl. (4.5.5)

4.6. Rotaciones InfinitesimalesAún cuando las rotaciones finitas no pueden representarse por vectores (ya

que no cunmplen con la conmutatividad de la adición), si se puede asociar un“vector” a las rotaciones infinitesimales. Para comprender esto, considerese unvector ~r al cual se aplica una rotacióninfinitesimal. Cada una de las coordenadasdel vector cambiará en una cantidad muy pequeña para dar lugar a un nuevovector ~r0 cuyas componentes serán

x01

= x1

+ ✏11

x1

+ ✏12

x2

+ ✏13

x3

(4.6.1)x02

= x2

+ ✏21

x1

+ ✏22

x2

+ ✏23

x3

(4.6.2)x03

= x3

+ ✏31

x1

+ ✏32

x2

+ ✏33

x3

, (4.6.3)

donde las cantidades ✏ij son infinitesimales. Este conjunto de expresiones sepuede escribir en forma resumida como

x0i = xi +

3

X

j=1

✏ijxj (4.6.4)

o también


x0i =

3

X

j=1

(�ij + ✏ij)xj . (4.6.5)

En notación matricial se puede escribir

~r0 = (1+ ✏)~r (4.6.6)

donde la matriz de transformación (1+ ✏) es la matriz identidad afectada porun operador infinitesimal. Ahora bien, la aplicación consecutiva de dos trans-formaciones infinitesimales resulta en el operador

(1+ ✏1) (1+ ✏2) = 1+ ✏1 + ✏2 + ✏1✏2 = 1+ ✏1 + ✏2 +O�

✏2�

. (4.6.7)

Si se desprecian ordenes superiores al primero en el operador infinitesimal, setiene

(1+ ✏1) (1+ ✏2) = 1+ ✏1 + ✏2 = (1+ ✏2) (1+ ✏1) , (4.6.8)

es decir que los operadores de transformación infinitesimales conmutan a primerorden en ✏.

Ahora bien, la inversa de la matriz de transformación infinitesimal A =

(1+ ✏) está dada por

A�1

= (1� ✏) , (4.6.9)

ya que a primer orden se tiene

A�1A = AA�1

= (1+ ✏) (1� ✏) = 1+ ✏� ✏ = 1. (4.6.10)

Si se considera una rotación finita alrededor del eje z, ésta se representa porla matriz

R3

(✓) =

0

@

cos✓ sin ✓ 0

� sin ✓ cos ✓ 0

0 0 1

1

A . (4.6.11)

Si la rotación es en un ángulo infinitesimal d✓, se pueden realizar las aproxima-ciones

sin d✓ ' d✓ (4.6.12)cos d✓ ' 1, (4.6.13)

y por ello la matriz de transformación será

1+ ✏ =

0

@

1 d✓ 0

�d✓ 1 0

0 0 1

1

A . (4.6.14)


Así, la matriz infinitesimal se puede escribir como

✏ =

0

@

0 d✓ 0

�d✓ 0 0

0 0 0

1

A

= d✓

0

@

0 1 0

�1 0 0

0 0 0

1

A . (4.6.15)

Es claro que la matriz ✏ es antisimétrica, es decir que es igual al negativo desu transpuesta,

✏ = �✏. (4.6.16)

Si ahora se consideran rotaciones infinitesimales alrededor de los tres ejes, esfácil mostrar que la matriz ✏ que representa la transformación se puede escribiren la forma general

✏ =

0

@

0 d⌦3

�d⌦2

�d⌦3

0 d⌦1

d⌦2

�d⌦1

0

1

A , (4.6.17)

donde d⌦1

.d⌦2

y d⌦3

son los tres parámetros que determinan la rotación(angulos de rotación alrededor de cada uno de los ejes).

4.6.1. El pseudovector d~⌦

El cambio de un vector bajo una transformación infinitesimal está dado por

d~r = ~r0 � ~r, (4.6.18)

y debido a (4.6.6),

d~r = ✏~r. (4.6.19)

Expandiendo esta expresión en términos de las componentes del vector y de lamatriz infinitesimal se tiene

dx1

= x2

d⌦3

� x3

d⌦2

(4.6.20)dx

2

= x3

d⌦1

� x1

d⌦3

(4.6.21)dx

3

= x1

d⌦2

� x2

d⌦1

. (4.6.22)

Nótese que el lado derecho de esta expresión puede escribirse en la forma delproducto vectorial

d~r = ~r ⇥ d~⌦ (4.6.23)

donde se ha definido

d~⌦ =

0

@

d⌦1

d⌦2

d⌦3

1

A . (4.6.24)


Aún cuando la notación parece indicar que d~⌦ es un vector debe comprobarsecomo transforma este objeto matemático bajo una transformación ortogonalpara poder asegurarlo. Para ello, nótese que si d~⌦ fuese un vector y se le aplicauna matriz ortogonal B a d~⌦ deberían obtenerse las componentes

d⌦0i =

3

X

j=1

bijd⌦j . (4.6.25)

Ahora bien, bajo la transformación B, el vector d~r transforma de acuerdo con

d~r0 = Bd~r (4.6.26)

y debido a (4.6.19),

d~r0 = B✏~r = B✏B�1B~r = ✏0B~r = ✏0~r0, (4.6.27)

donde ✏0 = B✏B�1 es la matriz infinitesimal afectada por la transformación desimilitud. Las componentes de esta nueva matriz están dadas por

✏0jk =

3

X

m,n=1

bjm✏mnbkn. (4.6.28)

Ya que la propiedad de antisimetria se conserva bajo una transformación or-togonal, se puede asegurar que ✏0 es antisimétrico y por ello esta última ecuaciónpuede escribirse en forma similar a (4.6.23), i.e.

d~r0 = ~r0 ⇥ d~⌦0. (4.6.29)

Las cantidades d⌦i están relacionadas con las componentes ✏ij de la matriz✏ mediante

d⌦i =1

2

3

X

j,k=1

�ijk✏jk (4.6.30)

donde �ijk es la densidad de Levi-Civita definida por

�ijk =

8

>

<

>

:

+1 si ijkes una permutación par de 123

�1 si ijkes una permutación impar de 123

0 en otro caso.(4.6.31)

EjemploConsiderese la componente d⌦

1

. De acuerdo con (4.6.30) esta debe co-rresponder a

d⌦1

=

1

2

3

X

j,k=1

�1jk✏jk.


Esto es

d⌦1

=

1

2

(�123

✏23

+ �132

✏32

)

d⌦1

=

1

2

(✏23

� ✏32

) .

Ya que la matriz ✏ es antisimétrica, se tiene ✏23

= �✏32

, y por ello

d⌦1

= ✏23

.

La densidad de Levi-Civita permite escribir también la relación inversa

✏mn =

3

X

l=1

�lmnd⌦l. (4.6.32)

EjemploConsiderese la componente ✏

23

. De acuerdo con (4.6.32) esta debe ser

✏23

=

3

X

l=1

�l23d⌦l.

Esto es

✏23

= �123

d⌦1

✏23

= d⌦1

.

De la misma forma, en el nuevo sistema de coordenadas se debe tener

d⌦0i =

1

2

3

X

j,k=1

�ijk✏0jk (4.6.33)

y reemplazando✏0jk de la ecuación (4.6.28),

d⌦0i =

1

2

3

X

j,k=1

�ijk

3

X

m,n=1

bjm✏mnbkn (4.6.34)

d⌦0i =

1

2

3

X

j,k,m,n=1

�ijkbjmbkn✏mn. (4.6.35)

Utilizando (4.6.32), se tiene


d⌦0i =

1

2

3

X

j,k,m,n=1

�ijkbjmbkn

3

X

l=1

�lmnd⌦l (4.6.36)

d⌦0i =

1

2

3

X

j,k,l,m,n=1

�ijk�lmnbjmbknd⌦l. (4.6.37)

El determinante de la matriz B se puede escribir como

det [B] =

3

X

l,m,n=1

�lmnbilbjmbkn (4.6.38)

si ijk corresponden a una permutación par de 123 (nótese que si los índicesijk corresponden a una permutación impar de 123 el resultado será � det [B]).

EjemploSi los indices i, j, k son 1, 2, 3 respectivamente, la ecuación (4.6.38) es

det [B] =

3

X

l,m,n=1

�lmnb1lb2mb3n

det [B] = �123

b11

b22

b33

+ �132

b11

b23

b32

+ �213

b12

b21

b33

+�231

b12

b23

b31

+ �321

b13

b22

b31

+ �312

b13

b21

b32

det [B] = b11

b22

b33

� b11

b23

b32

� b12

b21

b33

+ b12

b23

b31

� b13

b22

b31

+ b13

b21

b32

det [B] = b11

(b22

b33

� b23

b32

)� b12

(b21

b33

� b23

b31

) + b13

(b21

b32

� b22

b31

) ,

que coincide con el cálculo usual del determinante de B.

De esta forma, al tener en cuenta tanto las permutaciones pares como imparesde los indices ijk se puede escribir

det [B] =

1

2

3

X

j,k,l,m,n=1

�ijk�lmnbilbjmbkn (4.6.39)

para cada uno de los valores de i, y donde se ha introducido el factor 1

2

paraevitar la doble contribución en la suma. Esta expresión se puede reescribir como

det [B] =

1

2

3

X

l=1

bil

3

X

j,k,m,n=1

�ijk�lmnbjmbkn. (4.6.40)

Ya que la matriz B es ortogonal (i.e.P

3

l=1

b2il = 1), se tiene


3

X

l=1

b2il det [B] =

1

2

3

X

l=1

bil

3

X

j,k,m,n=1

�ijk�lmnbjmbkn (4.6.41)

3

X

l=1

bil (bil det [B]) =

3

X

l=1

bil1

2

0

@

3

X

j,k,m,n=1

�ijk�lmnbjmbkn

1

A . (4.6.42)

Identificando cada término a lado y lado de la ecuación se obtiene

bil det [B] =

1

2

3

X

j,k,m,n=1

�ijk�lmnbjmbkn, (4.6.43)

y al reemplazar este resultado en la ecuación (4.6.25)

d⌦0i =

3

X

l=1

bil det [B] d⌦l, (4.6.44)

es decir

d⌦0i = det [B]

3

X

l=1

bild⌦l. (4.6.45)

Si se compara esta ecuación con la relación que debería satisfacer d~⌦ para trans-formar como vector, (4.6.25), se observa como en esta expresión aparece el factorextra det [B]. Con ello podemos concluir que si la transformación ortogonal espropia (i.e. det [B] = +1), se tiene que d~⌦ transforma como un vector, pero sise consideran las transformaciones ortogonales impropias (i.e. det [B] = �1), setiene que d~⌦ transforma con un signo menos adicional.

Las cantidades que transforman bajo transformaciones ortogonales en estamanera se conocen como vectores axiales o Pseudovectores. Es posible demostrarque el producto cruz entre dos vectores ~A y ~B da como resultado un pseudovec-tor, ~C =

~A⇥ ~B, ya que sus componentes pueden escribirse como

Ci = AjBk �AkBj (4.6.46)

con ijk en orden cíclico. Se nota entonces que bajo una inversión de ejes, lascomponentes de ~A y ~B cambian de signo mientras que las componentes de ~Cno cambian.

Por otro lado, el producto interno de un vector y un pseudovector se llamapseudoescalar, ya que es una cantidad que cambia de signo bajo una transfor-mación impropia.


4.7. Razón de Cambio de un VectorSuponga un vector ~G medido con respecto a los ejes del cuerpo (x0, y0, z0).

su cambio en un intervalo de tiempo dt difiere del correspondiente cambio delmismo vector definido con respecto a los ejes del espacio (x, y, z) únicamentepor el efecto de la rotación del sistema del cuerpo con respecto al sistema delespacio. Esto es

⇣

d ~G⌘

c=

⇣

d ~G⌘

e+

⇣

d ~G⌘

rotacion. (4.7.1)

En la sección anterior se mostró que el cambio de un vector bajo una rotacióninfinitesimal es

⇣

d ~G⌘

rotacion=

~G⇥ d~⌦. (4.7.2)

Por lo tanto,⇣

d ~G⌘

c=

⇣

d ~G⌘

e+

~G⇥ d~⌦, (4.7.3)

o equivalentemente⇣

d ~G⌘

e=

⇣

d ~G⌘

c+ d~⌦⇥ ~G. (4.7.4)

Si se divide entre el intervalo de tiempo en el que se produce el cambio,

d ~G

dt

!

e

=

d ~G

dt

!

c

+ ~! ⇥ ~G, (4.7.5)

donde se ha definido la velocidad angular de la rotación del sistema del cuerpocomo ~! =

d~⌦dt . Ahora bien, ya que en esta deducción no se ha tenido en cuenta

ninguna restricción para el vector ~G, esta relación se puede escribir en forma deoperadores,

✓

d

dt

◆

e

=

✓

d

dt

◆

c

+ ~! ⇥ . (4.7.6)

4.8. Velocidad Angular en términos de los angu-los de Euler

La velocidad angular del sistema del cuerpo con respecto al sistema delespacio, ~!, puede ser expresada en términos de tres rotaciones infinitesimalesen los angulos de Euler, ˙�, ˙✓ y ˙ . De la Figura 4.8.1 se observa que ˙� = !�esta ubicada sobre el eje z, la velocidad ˙✓ = !✓ está ubicada sobre la línea delos nodos y ˙ = ! está ubicada sobre el eje z0.

Para conseguir las componentes del vector ~! en el sistema del cuerpo (x0, y0, z0)se utilizarán las matrices de rotación


Figura 4.8.1: Angulos de Euler

R3

(�) =

0

@

cos� sin� 0

� sin� cos� 0

0 0 1

1

A

R1

(✓) =

0

@

1 0 0

0 cos ✓ sin ✓0 � sin ✓ cos ✓

1

A

R3

( ) =

0

@

cos sin 0

� sin cos 0

0 0 1

1

A .

Ahora bien, ya que !� está ubicada sobre el eje z, deben aplicarse las tresmatrices de transformación para llevarla al sistema del cuerpo,

!0� = R

3

( )R1

(✓)R3

(�)!� (4.8.1)

0

@

!�x0

!�y0

!�z0

1

A

= R3

( )R1

(✓)R3

(�)

0

@

0

0

˙�

1

A (4.8.2)

0

@

!�x0

!�y0

!�z0

1

A

=

0

@

˙� sin ✓ sin ˙� sin ✓ cos

˙� cos

1

A . (4.8.3)

Por otro lado, ya que !✓ está sobre la linea de los nodos, solo debe aplicarseuna de las matrices de transformación para llevarla al sistema del cuerpo,

!0✓ = R

3

( )!✓ (4.8.4)

0

@

!✓x0

!✓y0

!✓z0

1

A

= R3

( )

0

@

˙✓0

0

1

A (4.8.5)


0

@

!✓x0

!✓y0

!✓z0

1

A

=

0

@

˙✓ cos � ˙✓ sin

0

1

A . (4.8.6)

Por último, ! está ubicada sobre el eje z0, es decir que ya se encuentradefinida en el sistema del cuerpo,

0

@

! x0

! y0

! z0

1

A

=

0

@

0

0

˙

1

A . (4.8.7)

De esta forma, la velocidad angular completa en el sistema del cuerpo resultaser

0

@

!x0

!y0

!z0

1

A

=

0

@

!�x0

!�y0

!�z0

1

A

+

0

@

!✓x0

!✓y0

!✓z0

1

A

+

0

@

! x0

! y0

! z0

1

A . (4.8.8)

Esto da como resultado las componentes8

>

<

>

:

!x0=

˙� sin ✓ sin +

˙✓ cos

!y0=

˙� sin ✓ cos � ˙✓ sin

!z0=

˙� cos ✓ + ˙ .

(4.8.9)

4.8.1. Fuerza de CoriolisSi se considera una partícula con vector posición ~r medida con respecto al

espacio, al aplicar el operador para la razón de cambio (4.7.6) se obtiene✓

d~r

dt

◆

e

=

✓

d~r

dt

◆

c

+ ~! ⇥ ~r (4.8.10)

~ve = ~vc + ~! ⇥ ~r, (4.8.11)

donde~ve es la velocidad de la partícula medida en el sistema del espacio y ~vc essu velocidad medida en el sistema del cuerpo. Al aplicar de nuevo el operadorpara la razón de cambio se tiene

✓

d~vedt

◆

e

=

✓

d~vedt

◆

c

+ ~! ⇥ ~ve. (4.8.12)

El lado izquierdo se identifica con la aceleración de la partícula medida en elsistema del espacio y por ello

~ae =

✓

d

dt[~vc + ~! ⇥ ~r]

◆

c

+ ~! ⇥ [~vc + ~! ⇥ ~r] (4.8.13)

~ae =

✓

d~vcdt

◆

c

+

✓

d

dt[~! ⇥ ~r]

◆

c

+ ~! ⇥ ~vc + ~! ⇥ (~! ⇥ ~r) . (4.8.14)


El primer término de la derecha corresponde a la aceleración de la partículamedida en el sistema del cuerpo, ~ac =

�

d~vc

dt

�

c,

~ae = ~ac + ~! ⇥ ~vc + ~! ⇥ ~vc + ~! ⇥ (~! ⇥ ~r) (4.8.15)

~ae = ~ac + 2~! ⇥ ~vc + ~! ⇥ (~! ⇥ ~r) . (4.8.16)

Si se mutiplica esta relación por la masa de la partícula, se obtiene una expresiónpara la fuerza medida en el sistema del cuerpo,

~F = m~ac = m~ae � 2m~! ⇥ ~vc �m~! ⇥ (~! ⇥ ~r) . (4.8.17)

Es fácil observar que el primer término , m~ae, es la fuerza medida en el siste-ma del espacio. Por otro lado, el tercer término, �m~!⇥(~! ⇥ ~r), es perpendiculara ~! y apunta hacia afuera. Además su magnitud es m!2r sin ✓, con ✓ el ánguloentre la velocidad angular y el vector posición. Por estas razones concluimos queeste término corresponde a la fuerza centrifuga. Nótese que cuando la partículaestá en reposo con respecto al sistema rotante, este término no desaparece.

Finalmente, el segundo término, �2m~! ⇥ ~vc, depende del movimiento de lapartícula con respecto al sistema del cuerpo y se conoce como fuerza de Coriolis.

4.9. Velocidad angular y origen del sistema decoordenadas

En esta sección se mostrará que la velocidad angular ~! del sistema de coor-denadas fijo al cuerpo es independiente de la ubicación de su origen. Para ellose consideraran dos origenes O

1

y O2

y se definirá ~R1

como el vector de posiciónde O

1

con respecto al sistema del espacio mientras que ~R2

es el vector posiciónde O

2

como se observa en la Figura 4.9.1. El vector ~R corresponde al vector deposición del origen O

2

con respecto a O1

. De esta forma se tiene

~R =

~R2

� ~R1

. (4.9.1)

Primero se realizará un análisis con respecto a O1

. Al aplicar el operadorpara la razón de cambio (4.7.6) del vector ~R

2

se tiene

d~R2

dt

!

e

=

d~R1

dt

!

e

+

d~R

dt

!

e

(4.9.2)

d~R2

dt

!

e

=

d~R1

dt

!

e

+

d~R

dt

!

c

+ ~!1

⇥ ~R, (4.9.3)

pero la razón de cambio de ~R vista desde el sistema del cuerpo es cero y porello el segundo término de la derecha desaparece,


Figura 4.9.1: Relación entre la velocidad angular y el origen del sistema decoordenadass

d~R2

dt

!

e

=

d~R1

dt

!

e

+ ~!1

⇥ ~R. (4.9.4)

Por otro lado, al analizar con respecto a O2

la razón de cambio del vector~R1

es

d~R1

dt

!

e

=

d~R2

dt

!

e

�

d~R

dt

!

e

(4.9.5)

d~R1

dt

!

e

=

d~R2

dt

!

e

�

d~R

dt

!

c

� ~!2

⇥ ~R (4.9.6)

y de nuevo la razón de cambio de ~R con respecto al sistema del cuerpo es nula,

d~R1

dt

!

e

=

d~R2

dt

!

e

� ~!2

⇥ ~R. (4.9.7)

De esta forma, a partir de las ecuaciones (4.9.4) y (4.9.7) se tiene

d~R2

dt

!

e

�

d~R1

dt

!

e

= ~!2

⇥ ~R = ~!1

⇥ ~R (4.9.8)

de donde

(~!2

� ~!1

)⇥ ~R = 0 (4.9.9)

y por esta razón concluimos que la velocidad angular es independiente de laelección de sistema de coordenadas, como se queria demostrar,

~!2

= ~!1

. (4.9.10)

Capítulo 5

Dinámica del Cuerpo Rígido

5.1. Momento Angular del Cuerpo RígidoComo es conocido, el momento angular de una partícula puntual con masa

mi está dado por

~li = mi (~ri ⇥ ~vi) , (5.1.1)

con ~ri y ~vi los vectores posición y velocidad de la partícula con respecto alsistema del espacio, respectivamente. Si se considera que el cuerpo rígido estaformado por N�partículas, el momento angular total se puede escribir como lasuma de los momentos angulares de cada una de las partículas,

~l =NX

i=1

~li =NX

i=1

mi (~ri ⇥ ~vi) . (5.1.2)

Deibido al operador para la razón de cambio de un vector (4.7.6) se tiene✓

d~ridt

◆

e

=

✓

d~ridt

◆

c

+ ~! ⇥ ~ri, (5.1.3)

pero ya que el cuerpo es rígido, las particulas que lo componen no cambian suposición relativa entre ellas ni con respecto al punto elegido como origen delsistema de coordenadas del cuerpo, i.e.

�

d~ri

dt

�

c= 0, y por ello

✓

d~ridt

◆

e

= ~vi = ~! ⇥ ~ri. (5.1.4)

De esta forma el momento angular del cuerpo rígido es

~l =NX

i=1

mi (~ri ⇥ (~! ⇥ ~ri)) . (5.1.5)

144

CAPÍTULO 5. DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO 145

5.2. El tensor de InerciaUtilizando la identidad vectorial ~A⇥

⇣

~B ⇥ ~C⌘

=

⇣

~A · ~C⌘

~B�⇣

~A · ~B⌘

~C, setiene

~l =NX

i=1

mi

�

~!r2i � ~ri (~! · ~ri)�

, (5.2.1)

donde r2i = ~ri · ~ri. Si se consideran las componentes ~ri = (xi, yi, zi) y ~! =

(!x,!y,!z), se puede escribir

~l =NX

i=1

mi

⇥

~!r2i � ~ri (xi!x + yi!y + zi!z)⇤

. (5.2.2)

La componente x de esta ecuación resulta ser

lx =

NX

i=1

mi

⇥

!xr2

i � xi (xi!x + yi!y + zi!z)⇤

(5.2.3)

lx =

NX

i=1

mi

⇥�

r2i � x2

i

�

!x � xiyi!y � xizi!z

⇤

. (5.2.4)

Con un análisis similar a este, se obtienen las componentes y y z del momentoangular, con lo que se obtiene el conjunto de ecuaciones

lx =

NX

i=1

mi

⇥�

r2i � x2

i

�

!x � xiyi!y � xizi!z

⇤

(5.2.5)

ly =

NX

i=1

mi

⇥

�xiyi!x +

�

r2i � y2i�

!y � yizi!z

⇤

(5.2.6)

lz =

NX

i=1

mi

⇥

�xizi!x � yizi!y +�

r2i � z2i�

!z

⇤

. (5.2.7)

Este conjunto de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como0

@

lxlylz

1

A

=

0

@

Ixx Ixy IxzIyx Iyy IyzIzx Izy Izz

1

A

0

@

!x

!y

!z

1

A (5.2.8)

donde los elementos de la matriz resultan ser los momentos de inercia con res-pecto al origen O


Ixx =

NX

i=1

mi

�

r2i � x2

i

�

(5.2.9)

Iyy =

NX

i=1

mi

�

r2i � y2i�

(5.2.10)

Izz =

NX

i=1

mi

�

r2i � z2i�

(5.2.11)

y los productos de inercia con respecto a O,

Ixy = Iyx = �NX

i=1

mixiyi (5.2.12)

Ixz = Izx = �NX

i=1

mixizi (5.2.13)

Iyz = Izy = �NX

i=1

miyizi. (5.2.14)

La matriz que aparece en la ecuación (5.2.8) se conoce como Matriz de Iner-cia, I, y de sus componentes se puede comprobar que es real y simétrica. Deesta forma se tiene

~l = I~! (5.2.15)

y las componentes de I se pueden escribir en forma general como

Ixj

xk

=

NX

i=1

mi

⇥

r2i �jk � (xj)i (xk)i

⇤

(5.2.16)

donde j, k = 1, 2, 3 . Si el cuerpo rígido se considera como un objeto continuo yno discreto, esta definición de la matriz de inercia se cambia por

Ixj

xk

=

ˆV

⇢ (~r)⇥

r2�jk � xjxk

⇤

dV, (5.2.17)

donde V representa el volumen del cuerpo y

⇢ (~r) = lım

�V!0

�m

�V(5.2.18)

es la densidad de masa en el cuerpo.


5.3. Energía Cinética de RotaciónPara un cuerpo rígido compuesto por N�partículas se define la energía ci-

nética como

T =

1

2

NX

i=1

miv2

i =

1

2

NX

i=1

mi~vi · ~vi (5.3.1)

con ~vi la velocidad medida con respecto al sistema del espacio. Debido aloperador para la razón de cambio de un vector se tiene

✓

d~ridt

◆

e

= ~vi =

✓

d~ridt

◆

c

+ ~! ⇥ ~ri, (5.3.2)

y ya que la ubicación de cada partícula no cambia con respecto al sistemadel cuerpo,

~vi = ~! ⇥ ~ri. (5.3.3)

De esta forma,

T =

1

2

NX

i=1

mi~vi · (~! ⇥ ~ri) , (5.3.4)

y al utilizar la identidad vectorial ~A ·⇣

~B ⇥ ~C⌘

=

~B ·⇣

~C ⇥ ~A⌘

T =

1

2

NX

i=1

mi~! · (~ri ⇥ vi) (5.3.5)

T =

1

2

~! ·NX

i=1

mi (~ri ⇥ vi) (5.3.6)

T =

1

2

~! ·~l. (5.3.7)

5.4. DiadasUna diada es un tensor de segundo orden, escrito en una forma especial,

junto con una notación y operaciones especiales análogos a los existentes enalgebra matricial. Si se tienen los vectores tridimensionales

~A = Axˆi+Ay

ˆj +Azˆk (5.4.1)

~B = Bxˆi+By

ˆj +Bzˆk, (5.4.2)

se puede formar a partir de ellos la diada !AB con componentes


~A ~B =

!AB = AxBx

îî+AxByîˆj +AxBz

îˆk (5.4.3)+AyBx

ˆjî+AyByˆjˆj +AyBz

ˆjˆk (5.4.4)+AzBx

ˆkî+AzByˆkˆj +AzBz

ˆkˆk. (5.4.5)

De forma estricta se suele denominar diádica al polinomio de diadas y por ello !AB sería una diádica, donde cada uno de los términos corresponde a una diada.Sin embargo, en estas notas utilizaremos indistintamente los dos términos. Enrepresentación matricial se puede escribir

!AB =

0

@

AxBx AxBy AxBz

AyBx AyBy AyBz

AzBx AzBy AzBz

1

A . (5.4.6)

Se define la diada unidad como

!1 =

îî+ ˆjˆj + ˆkˆk =

0

@

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A . (5.4.7)

5.4.1. Operaciones BásicasUna diada puede combinarse con un vector mediante el producto punto,

definido por⇣ !AB

⌘

· ~C =

⇣

~A ~B⌘

· ~C =

~A⇣

~B · ~C⌘

. (5.4.8)

También es posible realizar el producto punto en la forma

~C ·⇣ !AB

⌘

=

~C ·⇣

~A ~B⌘

=

⇣

~C · ~A⌘

~B. (5.4.9)

En los dos casos el resultado del producto punto entre una diada y un vectores un vector, pero debe notarse que en general

~C ·⇣ !AB

⌘

6=⇣ !AB

⌘

· ~C. (5.4.10)

El producot de la diada unidad por cualquier vector da como resultado elmismo vector,

~C · !1 =

!1 · ~C =

~C. (5.4.11)

También es posible realizar el doble producto punto entre dos diadas paraobtener como resultado un escalar definido por

⇣ !AB

⌘

:

⇣ !CD

⌘

=

⇣

~A ~B⌘

:

⇣

~C ~D⌘

=

~C ·⇣ !AB

⌘

· ~D =

⇣

~C · ~A⌘⇣

~B · ~D⌘

. (5.4.12)


5.5. La diada de InerciaA partir de la ecuación (5.2.1) el momento anguklar de un cuerpo rígido se

puede escribir como

~l =NX

i=1

mi

�

~!r2i � ~ri (~! · ~ri)�

. (5.5.1)

Utilizando la noción de diada unidad, el primer término de la derecha se puedeescribir

~!r2i = r2i !1 · ~!. (5.5.2)

Por otro lado, el segundo término de la derecha resulta ser

~ri (~! · ~ri) = ~ri (~ri · ~!) = (~ri~ri) · ~!, (5.5.3)donde (~ri~ri) es una diada. Así, el momento angular es

~l =NX

i=1

mi

h

r2i !1 · ~! � (~ri~ri) · ~!

i

(5.5.4)

~l =NX

i=1

mi

h

r2i !1 � (~ri~ri)

i

· ~! (5.5.5)

~l = !I · ~!, (5.5.6)

donde se ha definido la diada de inercia,

!I =

NX

i=1

mi

h

r2i !1 � (~ri~ri)

i

. (5.5.7)

EjemploPara comprobar que la representación matricial de la diada de inercia

coincide con la representación matricial del tensor de inercia solo bastacalcular sus componentes explícitamente. Nótese que

!I =

NX

i=1

mi

h

r2i !1 � (~ri~ri)

i

=

NX

i=1

mi

h

r2i

⇣

îî+ ˆjˆj + ˆkˆk⌘

�⇣


⌘⇣


⌘i

Por ejemplo, la componente îî de la diada !I es

NX

i=1

mi

⇥

r2i � x2

i

⇤

îî


que coincide exactamente con la componente Ixx del tensor de inercia.

Con esta forma de escribir el momento angular, la energía cinética del cuerporígido (5.3.7) será

T =

1

2

~! ·~l = 1

2

~! · !I · ~! =

1

2

!I : (~!~!) . (5.5.8)

5.6. Momentos de InerciaEn la representación matricial, la diada (o tensor) de inercia I se puede

diagonalizar mediante una transformación de semejanza,

I0 = R�1IR, (5.6.1)

donde R es la matriz de valores propios. Si se denotan por e1

, e2

, e3

los vectoresde la base en la que el tensor de inercia es diagonal, el momento angular sepuede escribir

0

@

l1

l2

l3

1

A

=

0

@

I1

0 0

0 I2

0

0 0 I3

1

A

0

@

!1

!2

!3

1

A , (5.6.2)

o también

~l = I1

!1

e1

+ I2

!2

e2

+ I3

!3

e3

. (5.6.3)

Los vectores e1

, e2

, e3

definen los ejes principales del cuerpo rígido y los valoresI1

, I2

, I3

se denominan momentos de inercia principales.En esta misma base, la energía cinética será

T =

1

2

I1

!2

1

+

1

2

I2

!2

2

+

1

2

I3

!2

3

. (5.6.4)

Ahora bien, si la dirección del eje instantáneo de rotación del cuerpo rígidoestá definido por el vector unitario n, la velocidad angular será ~! = !n y laenergía cinética se convierte en

T =

1

2

~! · !I · ~! =

1

2

!2n · !I · n =

1

2

!2I (5.6.5)

donde se ha definido el momento de inercia con respecto al eje instantáneode rotación

I = n · !I · n =

NX

i=1

mi

h

r2i � (~ri · n)2i

. (5.6.6)

Para comprobar que esta definición coincide con el momento de inercia tra-bajado en la mecánica newtoniana, nótese de la Figura 5.6.1 que para cada una


Figura 5.6.1: Momento de Inercia

de las partículas, el factorh

r2i � (~ri · n)2i

corresponde a la distancia existenteentre la partícula y el eje de rotación al cuadrado. De la misma forma, de laFigura 5.6.1 se observa que esta distancia se puede escribir como la norma deun producto vectorial en la forma

h

r2i � (~ri · n)2i

= (~ri ⇥ n)2 . (5.6.7)

De esta forma, el momento de inercia se puede escribir en la forma usual

I = n · !I · n =

NX

i=1

mi (~ri ⇥ n)2 . (5.6.8)

5.6.1. Teorema de los Ejes ParalelosPara mostrar que el teorema de ejes paralelos surge naturalmente de la de-

finición de la diada de inercia, considere el cuerpo rigido mostrado en la Figura5.6.2, donde se han dibujado dos ejes paralelos. El eje A pasa por el punto O,mientras que el eje B pasa por el centro de masa y es paralelo al eje A. Seconsiderará una partícula de masa mi ubicada con el vector ~ri utilizando comoorigen el punto O y con el vector ~r0i con respecto al centro de masa. Además elvector ~R define la posición del centro de masa con respecto a O. Así, se observaque

~ri = ~r0i + ~R. (5.6.9)

A partir de la ecuación (5.6.8) se tiene que el momento de inercia con respectoal eje A es


Figura 5.6.2: Teorema de los Ejes Paralelos

IA =

NX

i=1

mi (~ri ⇥ n)2 , (5.6.10)

o utilizando (5.6.9),

IA =

NX

i=1

mi

h⇣

~r0i + ~R⌘

⇥ ni

2

(5.6.11)

IA =

NX

i=1

mi

h

~r0i ⇥ n+

~R⇥ ni

2

(5.6.12)

IA =

NX

i=1

mi

(~r0i ⇥ n)2

+

⇣

~R⇥ n⌘

2

+ 2 (~r0i ⇥ n) ·⇣

~R⇥ n⌘

�

(5.6.13)

IA =

NX

i=1

mi (~r0i ⇥ n)

2

+

NX

i=1

mi

⇣

~R⇥ n⌘

2

+2

NX

i=1

mi (~r0i ⇥ n) ·

⇣

~R⇥ n⌘

(5.6.14)

IA =

NX

i=1

mi (~r0i ⇥ n)

2

+M⇣

~R⇥ n⌘

2

+ 2

NX

i=1

mi~r0i ⇥ n

!

·⇣

~R⇥ n⌘

, (5.6.15)

donde se M =

PNi=1

mi es la masa total del cuerpo rígido. Nótese que debido ala definición del centro de masa el tercer término del lado derecho desaparece,


Figura 5.6.3: Teorema de la Diada de Inercia

PNi=1

mi~r0i = 0, y por otro lado el término ~R⇥ n = D equivale a la distancia Dentre los ejes A y B. Finalmente, el primer término del lado derecho correspondea la definición del momento de inercia con respecto al eje B. De esta forma setiene

IA = ICM +MD2. (5.6.16)

5.6.2. Teorema de la Diada de InerciaAhora consideraremos dos ejes A y B que no son necesariamente paralelos.

El eje A pasa por un punto O y el eje B pasa por el centro de masa. De acuerdocon la geometría de la Figura 5.6.3 se observa que la relación (5.6.9) aún semantiene, i.e.

~ri = ~r0i + ~R. (5.6.17)

De la definición de la diada de inercia (5.7.3) se tiene que con respecto al ejeA,

!I A =

NX

i=1

mi

h

r2i !1 � (~ri~ri)

i

(5.6.18)

!I A =

NX

i=1

mi

⇣

~r0i + ~R⌘

2 !1 �

⇣

~r0i + ~R⌘⇣

~r0i + ~R⌘

�

(5.6.19)

!I A =

NX

i=1

mi

h⇣

r02i +R2

+ 2~r0i · ~R⌘ !

1 �⇣

~r0i~r0i +

~R~R+ ~r0i ~R+

~R~r0i

⌘i

(5.6.20)


!I A =

NX

i=1

mi

h

r02i !1 � ~r0i~r0i

i

+

NX

i=1

mi

h

R2

!1 � ~R~R

i

+

NX

i=1

mi

h

2~r0i · ~R !1 � ~r0i ~R� ~R~r0i

i

. (5.6.21)

Nótese que debido a la definición del centro de masa,PN

i=1

mi~r0i = 0, y por elloel último término del lado derecho desaparece.

!I A =

NX

i=1

mi

h

r02i !1 � ~r0i~r0i

i

+

NX

i=1

mi

h

R2

!1 � ~R~R

i

.

En esta ecuación, el primer término del lado derecho corresponde a la diada deinercia con respecto al eje B que pasa por el centro de masa y por ello se tienefinalmente

!I A =

!I CM +M

h

R2

!1 � ~R~R

i

.

5.7. Transformación del Tensor de Inercia a losEjes Principales

En la representación matricial del tensor de inercia, llevar este a un sistemade ejes principales se reduce a solucionar la ecuación característica para la matrizI, que está dada por

I~r = �~r, (5.7.1)

donde � y ~r son los valores y vectores propios de la matriz I respectivamente.Multiplicando a la izquierda por el complejo conjugado ~r⇤,

~r⇤I~r = �~r⇤~r. (5.7.2)

Para escribir esta relación en forma matricial se designarán con Iik las com-ponentes del tensor de inercia y con Xkj la k�ésima componente del j�ésimovector propio. Así el lado izquierdo de esta ecuación será ~r⇤I~r =

P

ik X⇤ilIikXkj .

Además, si se designa con Ij el j�ésimo valor propio, el conjunto de las tresecuaciones de valores propios se puede escribir en la forma

X

ik

X⇤ilIikXkj = Ij~r

⇤l · ~rj . (5.7.3)

Tomando el conjugado complejo de esta relación se tiene


X

ik

XilI⇤ikX

⇤kj = I⇤j ~rl · ~r⇤j (5.7.4)

o reorganizando terminos en el lado izquierdo,X

ik

X⇤kjI

⇤ikXil = I⇤j ~rl · ~r⇤j . (5.7.5)

Ya que el tensor de inercia es hermiteano, Iik = I⇤ki (ya que este tensores simetrico y sus componentes tienen valores reales), esta ecuación se puedeescribir

X

ik

X⇤kjIkiXil = I⇤j ~rl · ~r⇤j . (5.7.6)

Realizando el intercambio de indices mudos (i$ k) en esta expresión seobtiene

X

ik

X⇤ijIikXkl = I⇤j ~rl · ~r⇤j (5.7.7)

y realizando el intercambio (j $ l) se tiene finalmenteX

ik

X⇤ilIikXkj = I⇤l ~rj · ~r⇤l . (5.7.8)

Nótese que el lado izquierdo de esta ecuación es exactamente igual al ladoizquierdo de la ecuación (5.7.3). De esta forma restando estas dos ecuacionesresulta

X

ik

X⇤ilIikXkj �

X

ik

X⇤ilIikXkj = 0 = Ij~r

⇤l · ~rj .� I⇤l ~rj · ~r⇤l (5.7.9)

(Ij � I⇤l )~rj · ~r⇤l = 0. (5.7.10)

Para analizar este resultado nótese inicialmente que si l = j se tiene ~rj ·~r⇤l =

~rj · ~r⇤j = |rj |2 > 0 y por ello la ecuación (5.7.10) nos asegura que

Ij = I⇤j , (5.7.11)

es decir que los valores propios del tensor de inercia son reales.Ahora bien, ya que los valores propios son reales y el tensor de inercia tiene

componentes reales, los cosenos directores de los vectores propios también debenser reales (para comprobarlo nótese la ecuación de valores propios y tómesesu complejo conjugado). Con este resultado, y considerando el caso l 6= j, laecuación (5.7.10) indica que

(Ij � Il)~rj · ~rl = 0. (5.7.12)

Si todos los valores propios son diferentes, Ij 6= Il, se puede concluir que~rj · ~rl = 0, es decir que todos los vectores propios son ortogonales entre sí.


Por otro lado, si dos de los valores propios son iguales, Ij = Il, los corres-pondientes vectores propios NO son necesariamente ortogonales. Sin embargo,ya que cualquier combinación lineal de estos dos vectores propios también es unvector propio. Es decir que todos los vectores de este plano son vectores propiosy el tercer vector propio es perpendicular a este plano. De esta forma, paradiagonalizar el tensor de inercia siempre se pueden tomar tres vectores propiosortogonales entre sí.

Finalmente, si los tres valores propios son iguales, se concluye que todas lasdirecciones del espacio son vectores propios y por ello el tensor de inercia ya esdiagonal.

Para cualquier punto en un cuerpo rígido es posible encontrar un conjunto deejes cartesianos en donde el tensor de inercia es diagonal. Los ejes en los cau-les sucede esto se conocen como Ejes Principales y los correspondientes valorespropios se denominan Momentos de Inercia Principales. En la práctica, paraencontrar los valores propios se soluciona la ecuación secular

�

�

�

�

�

�

Ixx � I Ixy IxzIyx Iyy � I IyzIzx Izy Izz � I

�

�

�

�

�

�

= 0. (5.7.13)

5.8. Ecuaciones de Euler para el Cuerpo RígidoEl lagrangiano para un cuerpo rígido sometido únicamente a fuerzas conser-

vativas se puede escribir como

L = T � V =

1

2

�

I1

!2

1

+ I2

!2

2

+ I3

!2

3

�

� V (✓,�, ) , (5.8.1)

donde los momentos de inercia estan referidos a los ejes principales del cuerpoy el potencial esta escrito en términos de los angulos de Euler ✓, � y . Las ve-locidades angulares !

1

, !2

y !3

pueden expresarse en términos de estos angulosmediante la transformación dada en (4.8.9),

8

>

<

>

:

!x0= !

1

=

˙� sin ✓ sin +

˙✓ cos

!y0= !

2

=

˙� sin ✓ cos � ˙✓ sin

!z0= !

3

=

˙� cos ✓ + ˙ ,

(5.8.2)

con lo que el lagrangiano se convierte en función exclusiva de estas variables ysus derivadas, L = L

⇣

✓,�, , ˙✓, ˙�, ˙ ⌘

. Ahora bien, como se estudio en capitulosanteriores, cuando las coordenadas generalizadas son angulos, las correspon-dientes fuerzas generalizadas se pueden interpretar como torques. En este casolas fuerzas correspondientes a las coordenadas generalizadas ✓, � y son lascomponentes del torque total, pero estas no se orientan en dirección de los ejesprincipales sino que van a lo largo de la línea de los nodos (✓), el eje z del sistemadel espacio (�) y a lo largo del eje principal 3 o z0 del sistema del cuerpo ( ).


Resumiendo, la única fuerza generalizada que va sobre un eje principal es lacorrespondiente a la coordenada . Por esta razón comenzaremos el análisis delas ecuaciones de Euler-Lagrange por esta componente. Así, esta ecuación es

d

dt

✓

@T

@ ˙

◆

� @T

@ = N

3

(5.8.3)

con N3

el torque a lo largo del tercer eje principal. A partir del lagrangianomostrado se tiene

@T

@ ˙ =

@

@ ˙

✓

1

2

I3

!2

3

◆

= I3

!3

@!3

@ ˙ = I

3

!3

(5.8.4)

d

dt

✓

@T

@ ˙

◆

=

d

dt(I

3

!3

) = I3

!3

(5.8.5)

y además

@T

@ = I

1

!1

@!1

@ + I

2

!2

@!2

@ @T

@ = I

1

!1

⇣

˙� sin ✓ cos � ˙✓ sin ⌘

+ I2

!2

⇣

� ˙� sin ✓ sin � ˙✓ cos ⌘

@T

@ = I

1

!1

!2

� I2

!2

!1

@T

@ = (I

1

� I2

)!1

!2

. (5.8.6)

De esta forma, la ecuación de Euler-Lagrange de primera especie para lacoordenada resulta ser

I3

!3

� (I1

� I2

)!1

!2

= N3

. (5.8.7)

Mediante la permutación cíclica de los índices 1, 2, 3 se obtienen las ecuacio-nes de Euler para los tres ejes principales,

8

>

<

>

:

I1

!1

� (I2

� I3

)!2

!3

= N1

I2

!2

� (I3

� I1

)!3

!1

= N2

I3

!3

� (I1

� I2

)!1

!2

= N3

.

(5.8.8)

EjemploPara una derivación alternativa de las ecuaciones de Euler-Lagrange

para el cuerpo rígido se puede considerar la ecuación

d~l

dt

!

e

=

~N


que es válida el sistema de coordenadas del espacio (sistema inercial). Trans-formando el lado izquierdo al sistema de coordenadas del cuerpo (ejes prin-cipales) se tiene

d~l

dt

!

e

=

d~l

dt

!

c

+ ~! ⇥~l = ~N.

Considerando únicamente la componente 1 de esta ecuación se obtiene

dl1

dt+

⇣

~! ⇥~l⌘

1

= N1

dl1

dt+ (!

2

l3

� !3

l2

) = N1

.

Ahora bien, para los ejes principales se tiene

l1

= I1

!1

l2

= I2

!2

l3

= I3

!3

,

y por ello

d (I1

!1

)

dt+ !

2

I3

!3

� !3

I2

!2

= N1

I1

!1

+ !2

!3

(I3

� I2

) = N1

.

De forma similar se obtienen las ecuaciones para los ejes principales 2 y3.

5.9. Cuerpo Rígido Libre SimétricoUn cuerpo rígido libre es aquel sobre el cual no actuan fuerzas externas, i.e.

~N = 0. Las ecuaciones de Euler-Lagrange en este caso toman la forma8

>

<

>

:

I1

!1

= (I2

� I3

)!2

!3

I2

!2

= (I3

� I1

)!3

!1

I3

!3

= (I1

� I2

)!1

!2

.

(5.9.1)

Ahora bien, si se considera un cuerpo rígido simétrico de tal manera queI1

= I2

estas ecuaciones se reducen a


8

>

<

>

:

I1

!1

= (I1

� I3

)!2

!3

I1

!2

= (I3

� I1

)!3

!1

I3

!3

= 0.

(5.9.2)

La tercera de estas ecuaciones permite concluir de inmediato que !3

= cte.Por lo tanto el sistema se reduce al par de ecuaciones

(

I1

!1

= (I1

� I3

)!2

!3

I1

!2

= (I3

� I1

)!3

!1

.(5.9.3)

Para solucionar este sistema se diferenciara la primera ecuación para obtener

I1

!1

= (I1

� I3

) !2

!3

(5.9.4)

!2

=

I1

(I1

� I3

)!3

!1

(5.9.5)

y al reemplazar en la segunda ecuación del sistema

I1

!2

=

I21

(I1

� I3

)!3

!1

= (I3

� I1

)!3

!1

(5.9.6)

!1

+

(I3

� I1

)

2 !2

3

I21

!1

= 0. (5.9.7)

Como es conocido, la solución típica para esta ecuación diferencial de osci-lador armónico simple es

!1

= A cos⌦t (5.9.8)

donde A es una constante y ⌦ =

(I3�I1)!3

I1. Reemplazando en cualquiera de las

ecuaciones del sistema se obtiene la solución para !2

,

!2

= A sin⌦t. (5.9.9)

Nótese que las soluciones para !1

y !2

permiten concluir que el vector

~!12

= !1

e1

+ !2

e2

(5.9.10)

tiene magnitud constante

|~!12

| = A

y rota con velocidad angular constante ⌦ alrededor del eje e3

del cuerpo.El vector completo ~! también posee una magnitud constante ! =

p

A2

+ !2

3

yposee un movimiento de precesión alrededor del eje e

3

con velocidad angular

~⌦ =

(I3

� I1

)!3

I1

e3

. (5.9.11)


Figura 5.9.1: Vector !

Si se nombra ↵ el angulo entre el vector ~! y ~⌦, i.e. con el eje e

3

, este puedeobtenerse mediante la relación

tan↵ =

A

!3

. (5.9.12)

De esta forma, a la constante A se le denomina amplitud de precesión. Nóteseque la magnitud de la velocidad angular de precesión al igual que su direccióndependen de la diferencia entre los momentos de inercia I e I

3

.

EjemploSi se considera a la Tierra como un cuerpo rígido simétrico libre (esfe-

roide achatado sin torques externos) es de esperar que su eje de rotacióntenga un movimiento de precesión. Numéricamente se tiene que para nues-tro planeta

I3

� I1

I1

' 0,00327

y por ello la velocidad angular de precesión es

⌦ ' !3

306

.

Ya que para el caso terrestre la componente !3

es prácticamente iguala la magnitud de la velocidad angular de rotación de la Tierra (! =

1 rev/dia), se puede concluir que el periodo del movimiento de presecióndebe ser de 306 días, i.e. cerca de 10 meses.


Cuidadosas observaciones del movimiento de nuestro planeta han mos-trado que este movimiento de precesión enr ealidad existe y que su ampli-tud es del orden de algunas decenas desegundo de latitud (esto correspondeaproximadamente a A ' 10 m.). Sin embargo, superpuesto con esta prece-sión se encuentran otros efectos que desvían el movimiento del eje haciendoque la Tierra “cabecee” . En el siguiente capítulo se discutirá más al respecto.

A partir de la forma del tensor de inercia se puede encontrar una relacioninteresante entre los vectores ~!, ~l y ~⌦. En el sistema de ejes principales se tienenlas componentes

!I = I

1

e1

e1

+ I1

e2

e2

+ I3

e3

e3

(5.9.13)

o arreglando algunos términos,

!I = I

1

(e1

e1

+ e2

e2

+ e3

e3

) + (I3

� I1

) e3

e3

(5.9.14)

!I = I

1

!1 + (I

3

� I1

) e3

e3

(5.9.15)

Reemplazando esta expresión en el momento angular,

~l = !I · ~!, (5.9.16)

se tiene

~l =h

I1

!1 + (I

3

� I1

) e3

e3

i

· ~! (5.9.17)

~l = I1

~! + (I3

� I1

) e3

e3

· ~! (5.9.18)

~l = I1

~! + (I3

� I1

)!3

e3

. (5.9.19)

Utilizando la ecuación (5.9.11),

~l = I1

~! + I1

~⌦ (5.9.20)

~l = I1

⇣

~! +

~⌦

⌘

, (5.9.21)

es decir que los vectores ~!, ~l y ~⌦ pertenecen al mismo plano.Si se denomina � el angulo entre el vector ~! y el momento angular ~l, este se

puede calcular mediante el producto interno

~! ·~l = !l cos�, (5.9.22)

ya que es decir


Figura 5.9.2: Vectores ~!, ~⌦ y ~l

cos� =

~! ·~l!l

=

~! · !I · ~!!l

=

2T

!l= cte. (5.9.23)

Es decir que el vector ~! traza un cono en el espacio alrededor de ~l y con unangulo �.

Con esta información, es posible graficar estos tres vectores. El caso en elque ⌦ =

(I3�I1)!3

I1> 0 y !

3

> 0 se observa en la Figura 5.9.2. Nótese que eneste caso se debe tener ↵ > � para que las relaciones tengan sentido.

Por otro lado, si ⌦ =

(I3�I1)!3

I1< 0 la disposición de los vectores es la

ilustrada en la Figura 5.9.3.

5.10. Construcción de Poinsot

5.10.1. Elipsoide de InerciaEl momento de inercia con respecto al eje instantáneo de rotación n está

definido por

I = n · !I · n (5.10.1)

y si este eje se escribe en términos de sus cosenos directores ↵, � y � como

n = ↵ˆi+ �ˆj + �ˆk, (5.10.2)

el momento de inercia será

I = Ixx↵2

+ Iyy�2

+ Izz�2

+ 2Ixy↵� + 2Iyz�� + 2Ixz↵� (5.10.3)


Figura 5.9.3: Vectores ~!, ~⌦ y ~l

o también

1 = Ixx↵2

I+ Iyy

�2

I+ Izz

�2

I+ 2Ixy

↵�

I+ 2Iyz

��

I+ 2Ixz

↵�

I. (5.10.4)

Definiendo el vector

~⇢ = (⇢x, ⇢y, ⇢z) =

✓

↵pI,�pI,�pI

◆

=

npI

(5.10.5)

esta ecuación se reescribe como

1 = Ixx⇢2

x + Iyy⇢2

y + Izz⇢2

z + 2Ixy⇢x⇢y + 2Iyz⇢y⇢z + 2Ixz⇢x⇢z. (5.10.6)

Considerando las cantidades ⇢x, ⇢y y ⇢z como variables, esta ecuación re-presenta una superficie en el espacio. Específicamente, esta corresponde a unelipsoide denominado elipsoide de inercia. Desde este punto de vista geomé-trico es conocido que siempre es posible encontrar un sistema de coordenadas(⇢

1

, ⇢2

, ⇢3

), que lleven la ecuación a su forma canónica,

1 = I1

⇢21

+ I2

⇢2

2

+ I3

⇢3

2. (5.10.7)

En este caso los ejes principales del elipsoide de inercia están ubicados a lo largode los ejes de coordenadas. De igual forma, los momentos de inercia principalesIxx, Iyy e Izz determinan la longitud de estos ejes principales. Además, si dos delas raices de la ecuación secular (5.7.13) son iguales, el elipsoide posee dos ejesprincipales iguales (i.e. se tiene un elipsoide de revolución). Si las tres raices dela ecuación secular son iguales, el elipsoide se degenera en una esfera.


5.10.2. Movimiento del ElipsoideDefiniremos ahora la función

F (~⇢) = ~⇢ · !I · ~⇢. (5.10.8)

Las superficies de nivel de F , i.e. aquellas para las cuales F (~⇢) = cte, sonelipsoides. En particular, la superficie F (~⇢) = 1 es la que se identifica con elelipsoide de inercia.

Ya que en general el vector n varía en el tiempo, el vector ~⇢ también cambiay lo hace de tal forma que su extremo siempre define un punto sobre el elipsoide.La normal al elipsoide de inercia en el punto extremo de ~⇢ viene dada por

rF (~⇢) =

✓

@F

⇢x,@F

⇢y,@F

⇢z

◆

. (5.10.9)

Si se trabaja en el sistema de ejes principales (⇢1

, ⇢2

, ⇢3

) la función F seescribe

F (~⇢) = I1

⇢21

+ I2

⇢2

2

+ I3

⇢3

2, (5.10.10)

y por lo tanto

rF (~⇢) = 2 (I1

⇢1

, I2

⇢2

, I3

⇢3

) . (5.10.11)

Ahora bien, debido a la definición del vector ~⇢ se tiene

~⇢ = (⇢1

, ⇢2

, ⇢3

) =

npI=

~!

!pI=

1

!pI(!

1

,!2

,!3

) (5.10.12)

y con ello el vector normal al elipsoide es

rF (~⇢) =2

!pI(I

1

!1

, I2

!2

, I3

!3

) . (5.10.13)

En el sistema de ejes principales se cumple8

>

<

>

:

l1

= I1

!1

l2

= I2

!2

l3

= I3

!3

,

(5.10.14)

y por ello

rF (~⇢) =2

!pI(l1

, l2

, l3

) (5.10.15)

rF (~⇢) =2

~l

!pI. (5.10.16)

Luego, el vector ~⇢ y por consiguiente ~! se mueven de tal manera que la normalal elipsoide de inercia está siempre en la dirección del momentum angular ~l.


Figura 5.10.1: Elipsoide de Inercia

En el caso partícular en el que la fuerza externa total sobre el cuerpo rígidoes cero, el vector ~l está fijo en el espacio, por lo que el elipsoide de inercia debemoverse para preservar la conexión entre ~! y ~l. La distancia entre el elipsoide yel plano tangente al elipsoide y perpendicular al vector momento angular vienedada por la proyección de ~⇢ en ~l,

D =

~⇢ ·~ll

=

~! ·~l!lpI

(5.10.17)

D =

I~! · ~!!lpI

=

I!2

lpI!2

(5.10.18)

D =

2T

lpI!2

=

2T

lp2T

(5.10.19)

D =

~⇢ ·~ll

=

p2T

l. (5.10.20)

Ya que la energía cinética T y el momento angular l son constantes, ladistancia del origen del elipsoideal plano tangente es constante. Además, ya quela normal al plano está siempre en la dirección de ~l(que también es fija), el planopermanece fijo y por ello se denomina plano invariante (ver Figura 5.10.1).

El movimiento sin fuerzas externas se puede ver entonces como si el elipsoidede inercia rodara sin deslizar sobre el plano invariante y con su origen a unaaltura constante sobre el plano. El rodamiento ocurre sin deslizar porque elpunto de contacto instantáneo definido por ~⇢ está sobre el eje instantáneo derotación, el cual sta momentáneamente en reposo.

La curva trazada por el punto de contacto del elipsoide sobre el plano se llamaherpolodia y la correspondiente curva sobre el elipsoide se denomina polodia.


Figura 5.10.2: Movimiento del Elipsoide de Inercia

Capítulo 6

Aplicaciones

6.1. Trompo Simétrico Pesado con un Punto FijoLa energía cinética asociada con el trompo simétrico que se observa en la

Figura 6.1.1 es

T =

1

2

I1

�

!2

x0 + !2

y0�

+

1

2

I3

!2

z0 . (6.1.1)

Reemplazando las componentes de la velocidad angular mediante la ecuación(5.8.2) se tiene

T =

1

2

I1

⇣

˙� sin ✓ sin +

˙✓ cos ⌘

2

+

⇣

˙� sin ✓ cos � ˙✓ sin ⌘

2

�

+

1

2

I3

⇣

˙� cos ✓ + ˙ ⌘

2

(6.1.2)

T =

1

2

I1

⇣

˙�2 sin2 ✓ + ˙✓2⌘

+

1

2

I3

⇣

˙� cos ✓ + ˙ ⌘

2

. (6.1.3)

La energía potencial es

V = Mgh cos ✓ (6.1.4)

por lo que el lagrangiano viene dado por

L = T � V =

1

2

I1

⇣

˙�2 sin2 ✓ + ˙✓2⌘

+

1

2

I3

⇣

˙� cos ✓ + ˙ ⌘

2

�Mgh cos ✓. (6.1.5)

Se observa claramente que � y son coordenadas cíclicas y por ello los mo-mentum generalizados correspondientes se conservan. Esto se puede comprobartambién al notar que el torque hecho por el peso (única fuerza externa) estádirigido a lo largo de la línea de los nodos y por ello no existe ningúna compo-nente sobre el eje z ni sobre la vertical (estos son tres ejes perpendiculares). Poresta razón el momentum relacionado con estas componentes debe conservarse.

167

CAPÍTULO 6. APLICACIONES 168

Figura 6.1.1: Trompo Simétrico con un punto fijo

De esta forma se tienen las primeras integrales de movimiento

P =

@L

@ ˙ = I

3

⇣

˙ +

˙� cos ✓⌘

= I3

!3

(6.1.6)

P� =

@L

@ ˙�=

�

I1

sin

2 ✓ + I3

cos

2 ✓�

˙�+ I3

˙ cos ✓. (6.1.7)

Por otro lado, el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo y ya quela energía cinética posee únicamente términos cuadráticos, concluimos que laenergía generalizada que se conserva corresponde a la energía mecánica total,

E = T + V =

1

2

I1

⇣

˙�2 sin2 ✓ + ˙✓2⌘

+

1

2

I3

⇣

˙� cos ✓ + ˙ ⌘

2

+Mgh cos ✓. (6.1.8)

Ya que se tienen tres coordenadas generalizadas (✓,�, ) y tres integralesprimeras, el problema es soluble analíticamente. De la ecuación (6.1.6) se tiene

I3

˙ = P � I3

˙� cos ✓ (6.1.9)

y reemplazando en (6.1.7),

P� =

�

I1

sin

2 ✓ + I3

cos

2 ✓�

˙�+

⇣

P � I3

˙� cos ✓⌘

cos ✓ (6.1.10)

P� = I1

˙� sin2 ✓ + I3

˙� cos2 ✓ + P cos ✓ � I3

˙� cos2 ✓ (6.1.11)

P� = I1

˙� sin2 ✓ + P cos ✓ (6.1.12)


˙� =

P� � P cos ✓

I1

sin

2 ✓. (6.1.13)

De esta forma la ecuación de energía (6.1.8) se puede escribir como

E =

1

2

(P� � P cos ✓)2

I1

sin

2 ✓+

1

2

I1

˙✓2 +1

2

I3

!2

3

+Mgh cos ✓. (6.1.14)

Ya que el término 1

2

I3

!2

3

es constante, podemos definir la constante E0=

E � 1

2

I3

!2

3

y con ello

E0=

1

2

(P� � P cos ✓)2

I1

sin

2 ✓+

1

2

I1

˙✓2 +Mgh cos ✓. (6.1.15)

Definiendo ahora la energía potencial efectiva

Ueff (✓) =1

2

(P� � P cos ✓)2

I1

sin

2 ✓+Mgh cos ✓ (6.1.16)

se obtiene nla ecuaciónd iferencial para la coordenada ✓,

E0=

1

2

I1

˙✓2 + Ueff (✓) (6.1.17)

que se puede integrar para obtener ✓ = ✓ (t),ˆ ✓

✓0

d✓p

E0 � Ueff (✓)=

r

2

I1

(t� t0

) . (6.1.18)

Una vez se conoce la función ✓ = ✓ (t) esta puede reemplazarse en la ecuación(6.1.13) que al integrarse permite obtener � = � (t),

� (t) =

ˆP� � P cos ✓ (t)

I1

sin

2 ✓ (t)dt. (6.1.19)

Finalmente, conociendo esta función se puede obtener = (t) al integrarla ecuación (6.1.6),

(t) =

ˆ t

t0

P � I3

˙� cos ✓

I3

dt. (6.1.20)

6.1.1. Análisis de la Energía Potencial EfectivaAnalizando el comportamiento de la energía potencial efectiva es posible

obtener información acerca del sistema físico estudiado. Para comenzar, se bus-cara la existencia de máximos o mínimos. Para ello se deriva una vez la ecuación(6.1.16),


Figura 6.1.2: Energia Potencial Efectiva para el Trompo Simétrico con un puntofijo

dUeff

d✓=

1

2

2 (P� � P cos ✓)P I1 sin3 ✓ � 2 (P� � P cos ✓)2 I

1

sin ✓ cos ✓

I21

sin

4 ✓�Mgh sin ✓

(6.1.21)

dUeff

d✓=

(P� � P cos ✓)⇥

P sin

2 ✓ � (P� � P cos ✓) cos ✓⇤

I1

sin

3 ✓�Mgh sin ✓

(6.1.22)

dUeff

d✓=

(P� � P cos ✓) (P � P� cos ✓)

I1

sin

3 ✓�Mgh sin ✓. (6.1.23)

Nótese que para ✓ ! 0 se tiene dUeff

d✓ ! �1, mientras que para ✓ ! ⇡ setiene dU

eff

d✓ ! +1. Por lo tanto debe existir un valor ✓0

para el cual la primeraderivada del potencial efectivo es cero,

dUeff

d✓

�

�

�

�

✓=✓0

= 0, (6.1.24)

es decir, la energía potencial efectiva posee un mínimo en ✓0

. El comportamientodela función Ueff (✓) puede verse en la Figura 6.1.2.

6.1.1.1. Caso Particular (!3

= 0)

En el caso particular en el que !3

= 0 (i.e. el trompo no gira sobre su eje desimetría), el potencial efectivo toma la forma


Ueff =

1

2

P 2

�

I1

sin

2 ✓+Mgh cos ✓, (6.1.25)

y el sistema físico se comporta como un péndulo esférica.

6.1.1.2. Caso Particular (!3

6= 0)

Cuando el trompo gira sobre su eje de simetría (!3

6= 0), la energía totalE0 no puede tomar valores menores que el potencial efectivo Ueff ya que lacantidad

˙✓2 =

2 (E0 � Ueff )

I1

(6.1.26)

debe ser mayor que cero.

A) Subcaso E0= Ueff (✓0)

Si la energía total es tal que E0= Ueff (✓0), se tiene

˙✓2 = 0 (6.1.27)

y por ello el valor de la coordenada ✓ esta restringido a tomar un único valor,✓ = ✓

0

= cte. La ecuación (6.1.13) se convierte entonces en

˙� =

P� � P cos ✓0

I1

sin

2 ✓0

= cte. (6.1.28)

Esto muestra que el eje de simetría del trompo tiene un movimiento de pre-cesión uniforme. Para profundizar un poco en este movimiento de precesión seconsiderará la condición del mínimo para el potencial efectivo,

dUeff

d✓

�

�

�

�

✓=✓0

= 0 (6.1.29)

(P� � P cos ✓0

)

⇥

P sin

2 ✓0

� (P� � P cos ✓0

) cos ✓0

⇤

I1

sin

3 ✓0

�Mgh sin ✓0

= 0

(6.1.30)

(P� � P cos ✓0

)P I1

sin ✓0

� (P� � P cos ✓0

)

2

cos ✓0

I1

sin

3 ✓0

�Mgh sin ✓0

= 0 (6.1.31)

˙�P sin ✓0

� ˙�2I1

sin ✓0

cos ✓0

�Mgh sin ✓0

= 0 (6.1.32)

˙�2 � P I1

cos ✓0

˙�+

Mgh

I1

cos ✓0

= 0. (6.1.33)


La solución de esta ecuación cuadrática para la velocidad angular de precesiónes

˙� =

P 2I

1

cos ✓0

"

1±s

1� 4MghI1

cos ✓0

P 2

#

. (6.1.34)

a. Trompo por encima del punto de apoyo. Cuando el trompo seencuentra por encima de su punto de apoyo, i.e. para ✓

0

< ⇡2

, se tiene cos ✓0

> 0

y por lo tanto existe un valor crítico para la precesión uniforme dado por

1� 4MghI1

cos ✓0

P 2

= 0 (6.1.35)

P 2

= 4MghI1

cos ✓0

(6.1.36)

I23

!2

3min = 4MghI1

cos ✓0

(6.1.37)

!3min =

s

4MghI1

cos ✓0

I23

. (6.1.38)

De esta forma se tiene que para !3

< !3min no existe precesión uniforme,

mientras que para !3

> !3min existen dos valores para la velocidad angular

de precesión. Para estimar estos dos valores, nótese quecuando !3

� !3min el

término 4MghI1 cos ✓0I23!

23

es pequeño. De esta forma, la ecuación para las raices de˙� se puede aproximar a

˙� ' I3

!3

2I1

cos ✓0

1±✓

1� 2MghI1

cos ✓0

I23

!2

3

◆�

(6.1.39)

es decir

˙� ' I3

!3

2I1

cos ✓0

1±✓

1� 1

2

!2

3min

!2

3

◆�

. (6.1.40)

Así, las primera velocidad angular de precesión será

˙�1

=

I3

!3

2I1

cos ✓0

1 +

✓

1� 1

2

!2

3min

!2

3

◆�

(6.1.41)

˙�1

=

I3

!3

2I1

cos ✓0

2� 1

2

!2

3min

!2

3

�

(6.1.42)

˙�1

⇡ I3

!3

I1

cos ✓0

(6.1.43)

donde se ha despreciado el segundo término en el lado derecho debido a que!3

� !3min. Esta velocidad es grande (movimiento rápido).

La segunda velocidad de precesión posible es


˙�2

=

I3

!3

2I1

cos ✓0

1�✓

1� 1

2

!2

3min

!2

3

◆�

(6.1.44)

˙�2

=

I3

!3

2I1

cos ✓0

✓

1

2

!2

3min

!2

3

◆

(6.1.45)

˙�2

=

I3

!3

2I1

cos ✓0

✓

2MghI1

cos ✓0

I23

!2

3

◆

(6.1.46)

˙�2

=

Mgh

I3

!3

(6.1.47)

y ya que !3

es grande, esta es una velocidad de precesión pequeña (movimien-to lento). En la práctica esta velocidad pequeña es la que usualmente se observa.

b. Trompo por debajo del punto de apoyo. Cuando el trompo se en-cuentra por debajo de su punto de apoyo, i.e. para ✓

0

> ⇡2

, se tiene cos ✓0

< 0 ypor lo tanto siempre existen dos valores para la velocidad angular de precesión,

˙� =

I3

2I1

cos ✓0

"

!3

±

s

!2

3

� 4MghI1

cos ✓0

I23

#

. (6.1.48)

como caso particular, cuando el trompo no gira sobre su eje de simetría(pendulo esférico), !

3

= 0, las velociades de precesión serán

˙� = ± I3

2I1

cos ✓0

s

�4MghI1

cos ✓0

I23

(6.1.49)

o mejor

˙� = ± I3

2I1

cos ✓0

s

�

�

�

�

4MghI1

cos ✓0

I23

�

�

�

�

. (6.1.50)

B) Subcaso E0 > Ueff (✓0)

Cuando la energía total es tal que E0 > Ueff (✓0), la coordenada angular ✓puede tomar valores entre los dos puntos dados por la intersección de las curvascomo se muestra en la Figura 6.1.3, i.e. ✓

1

✓ ✓2

.En este caso la ecuación para el angulo � será

˙� =

P� � P cos ✓

I1

sin

2 ✓, (6.1.51)

pero ya que ✓ no toma un valor fijo, concluimos que la precesión no es unifor-me.En este caso, además del movimiento de precesión se sobrepone una nutación(oscilación del eje en la dirección ✓). Los angulos ✓

1

y ✓2

entre los cuales socilael eje deben satisfacer la ecuación


Figura 6.1.3: Energia Potencial Efectiva para el Trompo Simétrico con E0 >Ueff (✓0)

E0= Ueff =

1

2

(P� � P cos ✓)2

I1

sin

2 ✓+Mgh cos ✓ (6.1.52)

o reescribiendo esta ecuación

2I1

E0sin

2 ✓ = (P� � P cos ✓)2 + 2I1

Mgh sin2 ✓ cos ✓ (6.1.53)

2I1

E0�2I1

E0cos

2 ✓ = (P� � P cos ✓)2+2I1

Mgh cos ✓�2I1

Mgh cos3 ✓ (6.1.54)

2I1

Mgh cos3 ✓��

2I1

E0+ P 2

�

cos

2 ✓+2 (P�P � I1

Mgh) cos ✓+2I1

E0�P 2

� = 0.(6.1.55)

Esta es una ecuación cubica para cos ✓ y por ello existen, en general, tres raices.Dos de ellas estan en el intervalo [�1,+1]. La tercera raiz es mayor que 1 y porello no representa ningún ángulo físico.

Con el fin de analizar algunas de las características de este tipo de movi-miento, suponga que las condiciones físicas iniciales son tales que |P�| < |P |.En este caso definimos1

cos ✓r =

P�P

. (6.1.56)

1Si las condiciones inicales son tales que��P�

�� >��P

�� se define cos ✓r

=

P

P

�


De esta forma, la primera derivada del potencial efectivo (6.1.23) se puede re-escribir como

dUeff

d✓=

(P� � P cos ✓) (P � P� cos ✓)

I1

sin

3 ✓�Mgh sin ✓ (6.1.57)

dUeff

d✓=

P 2

⇣

P�

P

� cos ✓⌘⇣

1� P�

P

cos ✓⌘

I1

sin

3 ✓�Mgh sin ✓ (6.1.58)

dUeff

d✓=

P 2

(cos ✓r � cos ✓) (1� cos ✓r cos ✓)

I1

sin

3 ✓�Mgh sin ✓. (6.1.59)

Nótese que para ✓ = ✓r se tiene

dUeff

d✓

�

�

�

�

✓=✓r

= �Mgh sin ✓r < 0, (6.1.60)

y por lo tanto se debe tener ✓r < ✓0

(pendiente negativa en la Figura 6.1.3).De forma similar, la ecuación para la velocidad angular de precesión (6.1.51) sepuede reescribir como

˙� =

P ⇣

P�

P

� cos ✓⌘

I1

sin

2 ✓(6.1.61)

˙� =

P (cos ✓r � cos ✓)

I1

sin

2 ✓. (6.1.62)

De acuerdo con los valores de las condiciones iniciales, son posibles varioscasos particulares,

a. Si ✓r < ✓1

.En este caso ✓ > ✓r ya que ✓

1

✓ ✓2

. Por lo tanto cos ✓r > cos ✓ y debidoa la ecuación (6.1.62) la velocidad angular de precesión ˙� siempre debe tener elmismo signo que P = I

3

!3

. La Figura 6.1.4 nos muestra el movimiento del ejede simetría del trompo en esta clase de movimiento.

b. Si ✓1

< ✓r < ✓2

.En este caso el movimiento tiene dos partes. Cuando ✓ < ✓r se tiene cos ✓ >

cos ✓r y por ello ˙� tiene el signo contrario de P . Por otro lado, cuando ✓ > ✓rse tiene cos ✓r > cos ✓ y por ello ˙� tiene el mismo signo de P . De esta forma,la precesión cambia de signo y por ello el movimiento del eje de siemtría deltrompo es el que se muestra en la Figura 6.1.5.


Figura 6.1.4: Movimiento del eje de simetria del trompo cuando ✓r < ✓1

Figura 6.1.5: Movimiento del eje de simetria del trompo cuando ✓1

< ✓r < ✓2


Caso ParticularUn caso muy particular del movimiento del trompo es aquel en el que

las condiciones iniciales son tales que en t = 0

✓ = ✓1

˙✓ = 0

˙� = 0

˙ = !3

,

es decir que inicialmente se sostiene el trompo moviendose únicamente con lavelocidad angular ˙ = !

3

y formando un angulo ✓1

para luego ser liberado.De aqui se tiene (6.1.6-6.1.7)

P = I3

˙ + I3

˙� cos ✓ = I3

!3

P� =

�

I1

sin

2 ✓ + I3

cos

2 ✓�

˙�+ I3

˙ cos ✓ = I3

!3

cos ✓1

y la energía es

E0=

1

2

(P� � P cos ✓)2

I1

sin

2 ✓+

1

2

I1

˙✓2 +Mgh cos ✓

E0=

1

2

(I3

!3

cos ✓1

� I3

!3

cos ✓1

)

2

I1

sin

2 ✓1

+Mgh cos ✓1

E0= Mgh cos ✓

1

.

Además, se tiene

cos ✓r =

P�P

=

I3

!3

cos ✓1

I3

!3

cos ✓r = cos ✓1

,

es decir

✓r = ✓1

.

Esto implica que la velocidad angular de precesión es cero cuando ✓ = ✓1

y por ello el movimiento del eje de simetría del trompo es el que se muestraen la siguiente Figura.


Movimiento del eje de simetria del trompo en el caso particulardescrito

6.2. Cilindro en un Plano InclinadoSe cosiderará ahora un cilindro de radio R que rueda sin deslizar sobre la

superficie de un plano inclinado con un angulo ↵ como se muestra en la Figura6.2.1. Se encontrará la aceleración del sistema y las fuerzas de ligadura.

Ya que el cilindro es un cuerpo rígido, posee 6 grados de libertad, pero setienen 5 ligaduras en el sistema.

1. zCM = 0

2. El eje de rotación tiene una dirección fija. Vectorialmente se puede escribir˙~ = ~!. Esta condición implica dos ligaduras: ✓ = cte. y � = cte.

3. El movimiento se da sobre el plano inclinado. Esta ligadura se puedeescribir

tan↵ =

y � Rcos↵

x(6.2.1)

o mejor

x tan↵ = y � R

cos↵. (6.2.2)

4. El cilindro rueda sin deslizar. Esta ecuación de ligadura se puede escribircomo

D � (x cos↵+ y sin↵) = R . (6.2.3)


Figura 6.2.1: Cilindro rodando en un plano inclincado

Para describir el sistema es conveneinte realizar un cambio de las coordena-das cartesianas (x, y) a las coordenadas (⌘, ⇠) que se muestran en la Figura6.2.2. Esta transformación está dada por la rotación

(

x = ⇠ cos↵� ⌘ sin↵y = ⇠ sin↵+ ⌘ cos↵

(6.2.4)

o por la transformación inversa(

⇠ = x cos↵+ y sin↵

⌘ = �x sin↵+ y cos↵.(6.2.5)

De esta forma, el numero de grados de libertad del sistema es de n = 6�5 =

1. Sin embargo, ya que se quieren encontrar las fuerzas de ligadura, debe utili-zarse el método de multiplicadores de lagrange con un espacio de configuraciónde 3 dimensiones. Así, se tomarán las coordenadas generalizadas (⇠, ⌘, ) y lasligaduras que permiten aplicar el metodo de multiplicadores serán

3. Movimiento sobre el plano inclinado:

h1

= ⌘ �R = 0 (6.2.6)

4. El cilindro rueda sin deslizar:

h2

= �D + ⇠ +R = 0. (6.2.7)

La energía cinética del cilindro está dada por las contribuciones del movi-miento del centro de masa y de la rotación,


Figura 6.2.2: Cilindro rodando en un plano inclincado

T =

1

2

M⇣

˙⇠2 + ⌘2⌘

+

1

2

I ˙ 2, (6.2.8)

con M la masa del cilindro e I su momento de inercia con respecto al eje desimetría. El potencial del cilindro es

V = Mgy = Mg (⇠ sin↵+ ⌘ cos↵) (6.2.9)y con ello el lagrangiano será

L =

1

2

M⇣

˙⇠2 + ⌘2⌘

+

1

2

I ˙ 2 �Mg (⇠ sin↵+ ⌘ cos↵) . (6.2.10)

Para aplicar el metodo de multiplicadores se necesitan las derivadas

Q1⇠ =

@h1@⇠ = 0 Q

2⇠ =@h2@⇠ = 1

Q1⌘ =

@h1@⌘ = 1 Q

2⌘ =

@h2@⌘ = 0

Q1 =

@h1@ = 0 Q

2 =

@h2@ = R

(6.2.11)

y con ello las ecuaciones de Lagrange se pueden escribir8

>

<

>

:

M ¨⇠ +Mg sin↵ = Q1⇠�1 +Q

2⇠�2M ⌘ +Mg cos↵ = Q

1⌘�1 +Q2⌘�2

I ¨ = Q1 �1 +Q

2 �2

(6.2.12)

y que se reducen a8

>

<

>

:

M ¨⇠ +Mg sin↵ = �2

M ⌘ +Mg cos↵ = �1

I ¨ = R�2

.

(6.2.13)


Combiando la primera y la tercera ecuación se obtiene

M ¨⇠ +Mg sin↵ =

I ¨

R, (6.2.14)

per además, la ecuación de ligadura para el movimiento de rodar sin deslizar h2

permite escribir

¨⇠ = �R ¨ (6.2.15)

y por ello

M ¨⇠ +Mg sin↵ = � I ¨⇠

R2

(6.2.16)

✓

M +

I

R2

◆

¨⇠ = �Mg sin↵ (6.2.17)

Es decir que la aceleración lineal del centro de masa es

¨⇠ = � g sin↵

1 +

IMR2

. (6.2.18)

La aceleración angular del cilindro es

¨ =

g sin↵

R�

1 +

IMR2

� . (6.2.19)

Para encontrar las fuerzas de ligadura se encuentran los multiplicadores �1

y �2

. De la segunda ecuación de Lagrange se tiene

�1

= M ⌘ +Mg cos↵ (6.2.20)

pero debido a la ecuación de ligadura h1

se sabe que ⌘ = 0 y por ello

�1

= Mg cos↵. (6.2.21)

Por otro lado, de la primera ecuación de Lagrange

�2

= M ¨⇠ +Mg sin↵ (6.2.22)

�2

= �Mg sin↵

1 +

IMR2

+Mg sin↵ (6.2.23)

�2

= Mg sin↵

1� 1

1 +

IMR2

!

(6.2.24)

�2

= Mg sin↵

IMR2

1 +

IMR2

!

(6.2.25)


�2

=

Mg sin↵

1 +

MR2

I

. (6.2.26)

Con ello, las fuerzas de ligadura resultan ser

~Q1

= Mg cos↵⌘ (6.2.27)

que corresponde a la normal del cilindro y

~Q2

=

Mg sin↵

1 +

MR2

I

⇣

ˆ⇠ +R ˆ ⌘

(6.2.28)

donde la componente Q2⇠ =

Mg sin↵

1+

MR

2I

se identifica con la fuerza de fricción

mientras que la componente Q2 =

MgR sin↵

1+

MR

2I

se identifica con el torque hechopor la fricción.

Caso ParticularSi el cilindro es macizo, el momento de inercia es I =

1

2

MR2 y por ellola aceleración lineal resulta ser

¨⇠ = �2g sin↵

3

mientras que la aceleración angular es

¨ =

2g sin↵

3R.

La fuerza normal es

~N =

~Q1

= Mg cos↵⌘

y la fuerza de fricción es

~f = Q2⇠ˆ⇠ =

Mg sin↵

3

ˆ⇠.

Nótese que si en este caso se supone que la fuerzade fricción es propor-cional a la normal,

f = µN,

el coeficiente de fricción µ será

µ =

f

N=

1

3

tan↵.


Figura 6.3.1: Lámina con un punto fijo deslizando

6.3. Lamina con un punto fijo deslizando en unplano horizontal

Se considerará ahora una lámina plana cuadrada de lado a con un punto fijo(en x = y = z = 0) que desliza sin fricción para caer sobre un plano horizontal.El sistema de coordeanas (x, y, z) está fijo en el espacio mientras que el sistema(x0, y0, z0) se mueve con la lámina. Uitlizando los ángulos ✓ y � que se muestranen la Figura 6.3.1, el movimiento de la lámina se puede describir en términosde la velocidad angular

~! = !�ˆk + !✓î0=

˙�ˆk +

˙✓î0. (6.3.1)

Para escribir esta velocidad con componentes únicamente en el sistema pri-mado se utiliza la transformación

ˆk = cos ✓ˆj0 � sin ✓ˆk0, (6.3.2)

con lo que se tiene

~! =

˙✓î0 + ˙� cos ✓ˆj0 � ˙� sin ✓ˆk0. (6.3.3)

Ahora bien, para calcular las componentes del tensor de inercia procederemosmediante integración, ver ecuación (5.2.17). Si denotamos por � la densidadsuperficial de masa para la lámina y asumimos que esta es constante, � =

Ma2 ,

se tiene

Ix0x0=

ˆ a

0

ˆ a

0

�y02dy0dx0=

1

3

Ma2 = Iy0y0 (6.3.4)


Iz0z0=

ˆ a

0

ˆ a

0

��

x02+ y02

�

dx0dy0 =1

3

Ma2 +1

3

Ma2 =

2

3

Ma2 (6.3.5)

Ix0y0= Iy0x0

= �ˆ a

0

ˆ a

0

�xydx0dy0 = �1

4

Ma2 (6.3.6)

Ix0z0= Iz0x0

= Iy0z0= Iz0y0

= 0. (6.3.7)

Así, la energía cinética puede calcularse a partir de

T =

1

2

~! · !I · ~! (6.3.8)

T =

1

2

⇣

˙✓, ˙� cos ✓, ˙� sin ✓⌘

0

@

1

3

Ma2 � 1

4

Ma2 0

� 1

4

Ma2 1

3

Ma2 0

0 0

2

3

Ma2

1

A

0

@

˙✓˙� cos ✓˙� sin ✓

1

A

(6.3.9)que resulta ser

T =

1

6

Ma2 ˙✓2 +1

3

Ma2 ˙�2 sin2 ✓ +1

6

Ma2 ˙�2 cos2 ✓ � 1

4

Ma2 ˙✓ ˙� cos ✓. (6.3.10)

El potencial es

V = Mgz = Mga

2

cos ✓ (6.3.11)


L =

1

6

Ma2 ˙✓2 +1

3

Ma2 ˙�2 sin2 ✓ +1

6

Ma2 ˙�2 cos2 ✓ � 1

4

Ma2 ˙✓ ˙� cos ✓ �Mga

2

cos ✓.

(6.3.12)Se observa que L no depende explícitamente del tiempo y ya que la energíacinética es cuadrática en las velocidades, la energía generalizada se conserva ycorresponde a la energía mecáncia total,

E =

1

6

Ma2 ˙✓2 +1

3

Ma2 ˙�2 sin2 ✓ +1

6

Ma2 ˙�2 cos2 ✓ � 1

4

Ma2 ˙✓ ˙� cos ✓ +Mga

2

cos ✓.

(6.3.13)Si las condiciones iniciales son tales que en t = 0,

✓ = 0

˙✓ = 0

� = 0

˙� = 0,


la energía mecáncia total será

E =

1

2

Mga. (6.3.14)

Reemplazando esta constante en la ecuación de energía obtenemos

1

2

Mga =

1

6

Ma2 ˙✓2+1

3

Ma2 ˙�2 sin2 ✓+1

6

Ma2 ˙�2 cos2 ✓�1

4

Ma2 ˙✓ ˙� cos ✓+Mga

2

cos ✓

(6.3.15)

˙✓2 + ˙�2�

1 + sin

2 ✓�

� 3

2

˙✓ ˙� cos ✓ =3g

a(1� cos ✓) . (6.3.16)

Se observa también que la coordenada � es cíclica en el lagrangiano y porello se conserva su momentum conjugado,

P� =

@L

@ ˙�=

2

3

Ma2 ˙� sin2 ✓ +1

3

Ma2 ˙� cos2 ✓ � 1

4

Ma2 ˙✓ cos ✓ = cte. (6.3.17)

Este momentum, que corresponde en realidad a la componente lz del mo-mento angular, se conserva debido a que el peso genera un torque que va a lolargo del eje x0. Al aplicar las mismas condiciones iniciales que se consideraronpara la energía, el momentum resulta ser

P� = lz = 0., (6.3.18)

esto es

2

3

Ma2 ˙� sin2 ✓ +1

3

Ma2 ˙� cos2 ✓ � 1

4

Ma2 ˙✓ cos ✓ = 0 (6.3.19)

1

3

Ma2 ˙��

1 + sin

2 ✓�

� 1

4

Ma2 ˙✓ cos ✓ = 0 (6.3.20)

1

3

˙��

1 + sin

2 ✓�

=

1

4

˙✓ cos ✓ (6.3.21)

˙� =

3

4

˙✓ cos ✓�

1 + sin

2 ✓� . (6.3.22)

Reemplaznado este resultado en la ecuación de la energía (6.3.16), se tiene

˙✓2 +9

16

˙✓2 cos2 ✓�

1 + sin

2 ✓� � 9

8

˙✓2 cos2 ✓�

1 + sin

2 ✓�

=

3g

a(1� cos ✓) (6.3.23)

˙✓2"

1� 9

16

cos

2 ✓�

1 + sin

2 ✓�

#

=

3g

a(1� cos ✓) (6.3.24)


˙✓2 =

3g

a

1� cos ✓h

1� 9

16

cos

2 ✓(1+sin

2 ✓)

i . (6.3.25)

Definiendo la función

f (✓) =

v

u

u

t

3g (1� cos ✓)

ah

1� 9

16

cos

2 ✓(1+sin

2 ✓)

i , (6.3.26)

se tiene

˙✓ = f (✓) (6.3.27)

que permite encontrar ✓ = ✓ (t) mediante integración,ˆ ✓

0

d✓

f (✓)= t. (6.3.28)

Con esta función es posible encontrar � = � (t) utilizando (6.3.22),

˙� =

3

4

˙✓ (t) cos ✓ (t)�

1 + sin

2 ✓ (t)� (6.3.29)

� (t) =3

4

ˆ t

0

˙✓ (t) cos ✓ (t)

1 + sin

2 ✓ (t)dt. (6.3.30)

De esta forma, el problema queda resuelto analíticamente.

6.4. Precesión de Partículas Cargadas en un cam-po Magnético.

El momento magnético de una partícula cargada se define como

~Mi =1

2

qi (~ri ⇥ ~vi) , (6.4.1)

donde qi es la carga de la partícula y ~ri y ~vi son el vector posición y velocidad dela partícula referidos a un sistema de coordenadas inercial. Para una distribucióndiscreta de partículas, esta relación se generaliza a

~M =

NX

i=1

~Mi =1

2

NX

i=1

qi (~ri ⇥ ~vi) , (6.4.2)

mientras que para distribuciones continuas se tiene

~M =

ˆd ~M =

1

2

ˆdq (~r ⇥ ~v) = 1

2

ˆ⇢e (~r) (~r ⇥ ~v) d⌦ (6.4.3)

con ⇢e (~r) la densidad de carga eléctrica y d⌦ el elemento de volumen.


Por otro lado, el momento angular de una distribución discreta de particulasesta definido por

~l =NX

i=1

~li =NX

i=1

mi (~ri ⇥ ~vi) , (6.4.4)

con mi la masa de la i�ésima partícula. De nuevo, la generalización al casocontinuo será

~l =

ˆd~l =

ˆdm (~r ⇥ ~v) =

ˆ⇢m (~r) (~r ⇥ ~v) d⌦ (6.4.5)

con ⇢m(~r) la densidad de masa. Si la razón carga-masa�

qm

�

de todas las partí-culas es la misma, se puede asegurar que el momento magnético es proporcionalal momento angular,

~M / ~l (6.4.6)

o mejor

~M = �~l (6.4.7)

donde � =

q2m es conocido como el radio giromagnético. Como es conocido,

cuando un campo magnético actua sobre un momento magnético no produceuna fuerza neta (recordar la fuerza sobre una espira de corriente o un motoreléctrico), pero si produce un torque que está dado por

~N =

~M ⇥ ~B. (6.4.8)

En el sistema de referencia del espacio se puede hacer

~N =

d~l

dt

�

�

�

�

�

esp

= �~l ⇥ ~B = �� ~B ⇥~l. (6.4.9)

Esta ecuación muestra que el torque es perpendicular tanto al campo magnéticocomo al momento angular y por ello se puede concluir que ~l es un vector demagnitud constante que rota en el espacio alrededor de la dirección de ~B convelocidad angular

~! = �� ~B. (6.4.10)

Si el campo magnético es uniforme, produce una rotación (precesión) uniformedel momento angular ~l con frecuencia

! = ��B = � qB

2m, (6.4.11)

conocida como frecuencia de Larmor. Cabe notar que en el caso específico deelectrones, la carga eléctrica es q = �e y la frecuencia de Larmor es ! =

eB2m .

Capítulo 7

Formulación Hamiltoniana

Un sistema de n grados de libertad tiene n ecuaciones de Lagrange,

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= 0 (7.0.1)

que son ecuacioens diferenciales de sgundo orden para las coordenadas genera-lizadas. Esto quiere decir que consittuye un sistema de orden 2n, el cual estátotalmente especificado si se conocen las condiciones iniciales qk (0) y qk (0).

La formulación hamiltoniana de la mecánica clásica se base en un cambio debase para este sistema de ecuaciones que pasa del conjunto de variables generali-zado (q, q, t) al sistema (q, p, t) con p el momento canónicamente conjugado a lavariable q. Para estudiar esta formulación es necesario profundizar incialmenteen las transformaciones de Legendre ya que el cambio de base que se utilizaráes un caso particular de estas.

7.1. Transformaciones de LegendreDada una función de dos variables f (x, y) su diferencial está dado por

df = udx+ vdy (7.1.1)

con

u =

@f

@x

v =

@f

@y.

Ahora se realizará el cambio de la base (x, y) a la base (u, y). Para elloconsidérese la función

g = f � ux

188

CAPÍTULO 7. FORMULACIÓN HAMILTONIANA 189

cuyo diferencial será

dg = df � udx� xdu. (7.1.2)

Reemplazando el diferencial de f en esta expresión se tiene

dg = udx+ vdy � udx� xdu (7.1.3)

dg = vdy � xdu (7.1.4)

de donde se concluye queesta corresponde a la función buscada, g = g (u, y),si

v =

@g

@y(7.1.5)

�x =

@g

@u. (7.1.6)

7.1.1. Transformación de Legendre TotalSi se considera ahora una función de n variables F = F (x

1

, x2

, ..., xn), sedefinirán las nuevas variables

yi =@f

@xi(7.1.7)

con i = 1, 2, ..., n. Si la matriz de segundas derivadas parciales J tiene undeterminante diferente de cero, i.e.

det [J ] = det

@2F

@xi@xj

�

6= 0, (7.1.8)

entonces se garantiza la independencia de las variables xi y yj . Es decir, se puedeafirmar que xi = xi (y1,y2, ..., yn).

Una transformación total de Legendre se define con la función

G (y1

, y2

, ..., yn) =nX

i=1

xiyi � F (y1

, y2

, ..., yn) . (7.1.9)

Nótese que el diferencial de esta función es

dG =

nX

i=1

@G

@yidyi =

nX

i=1

(xidyi + yidxi)� dF (7.1.10)

y utilizando el diferencial de la función F ,

dF =

nX

i=1

@F

@xidxi =

nX

i=1

yidxi, (7.1.11)


se obtiene

dG =

nX

i=1

@G

@yidyi =

nX

i=1

xidyi (7.1.12)

que muestra la correcta dependencia de la función G si

xi =@G

@yi. (7.1.13)

7.1.2. Transformación de Legendre ParcialSe considerará ahora la función de n+m variables F = F (x

1

, x2

, ..., xn, z1, z2, ..., zm).Se definen como variables activas aquellas que se cambiarán con la transforma-ción de Legendre, en este caso las xi; y se denominan variables pasivas aquellasque no se cambiarán, en este caso las zj .

Para realizar la transformación se definen las nuevas variables

yi =@f

@xi(7.1.14)

con i = 1, 2, ..., n. De nuevo si la matriz de segundas derivadas parciales J tieneun determinante diferente de cero, i.e.

det [J ] = det

@2F

@xi@xj

�

6= 0, (7.1.15)

entonces se garantiza la independencia de las variables xi y yj y se podrá escribirxi = xi (y1,y2, ..., yn).

Una transformación parcial de Legendre se define con la función

G (y1

, y2

, ..., yn, z1, z2, ..., zm) =

nX

i=1

xiyi � F (y1

, y2

, ..., yn, z1, z2, ..., zm) .

(7.1.16)El diferencial de esta función es

dG =

nX

i=1

@G

@yidyi +

mX

j=1

@G

@zjdzj =

nX

i=1

(xidyi + yidxi)� dF. (7.1.17)

Al utilizar el diferencial de la función F ,

dF =

nX

i=1

@F

@xidxi +

mX

j=1

@F

@zjdzj =

nX

i=1

yidxi +

mX

j=1

@F

@zjdzj , (7.1.18)

se obtiene


dG =

nX

i=1

@G

@yidyi +

mX

j=1

@G

@zjdzj =

nX

i=1

xidyi �mX

j=1

@F

@zjdzj . (7.1.19)

Esta vez la dependencia de la función G es correcta si

xi =@G

@yi(7.1.20)

y

@F

@zj= � @G

@zj. (7.1.21)

7.2. El HamiltonianoLa función Hamiltoniana o Hamiltoniano se define como una transformación

parcial de Legendre del Lagrangiano. Ya que en general L = L (qi, qi, t) sedefinen las variables

pi =@L

@qi(7.2.1)

conocidas como momentum canónicamente conjugado a la variable qi. Se toma-rán como variables pasivas los qi y t, mientras que las variables activas serán losqi. Se define entonces el Hamiltoniano mediante

H (qi, pi, t) =nX

i=1

qipi � L (qi, qi, t) . (7.2.2)

Nótese que esta función es exactamente igual a la definición de la energíageneralizada dada en (2.10.13). Para comprobar la correcta dependencia delHamiltoniano, se toma su diferencial

dH =

nX

i=1

@H

@qidqi +

nX

i=1

@H

@pidpi +

@H

dtdt =

nX

i=1

(qidpi + pidqi)� dL. (7.2.3)

Utilizando el diferencial del lagrangiano,

dL =

nX

i=1

@L

@qidqi +

nX

i=1

@L

@qidqi +

@L

@tdt (7.2.4)

dL =

nX

i=1

@L

@qidqi +

nX

i=1

pidqi +@L

@tdt, (7.2.5)

se tiene


dH =

nX

i=1

@H

@qidqi+

nX

i=1

@H

@pidpi+

@H

dtdt =

nX

i=1

qidpi�nX

i=1

@L

@qidqi�

@L

@tdt, (7.2.6)

de donde se tienen las condiciones

@H

@t= �@L

@t(7.2.7)

@H

@pi= qi (7.2.8)

@H

@qi= � @L

@qi. (7.2.9)

Ahora bien, utilizando las ecuaciones de Lagrange se puede asegurar que

@L

@qi=

d

dt

✓

@L

@qi

◆

=

dpidt

= pi. (7.2.10)

Por esta razón, la ultima de las relaciones con el hamiltoniano se puede escribir

@H

@qi= �pi. (7.2.11)

El conjunto de ecuaciones(

@H@t = �@L@t@H@q

i

= � @L@q

i

(7.2.12)

representan los teoremas de conservación, mientras que(

qi =

@H@p

i

pi = �@H@qi

(7.2.13)

se denominan Ecuaciones Canónicas de Hamilton. Estas conforman un sistemade 2n ecuaciones de primer orden que reemplazan las ecuaciones de Lagrange.

Ejemplo.Péndulo esférico


Pendulo Esférico.

La energía cinética para el pendulo esférico mostrado en la Figura encoordenadas esféricas, toma la forma

T =

1

2

M⇣

r2 + r2 ˙✓2 + r2 ˙�2 sin2 ✓⌘

sujeto a la condición de una cuerda que tiene longitud constante, r = L,con lo que se tiene

T =

1

2

M⇣

L2

˙✓2 + L2

˙�2 sin2 ✓⌘

.

El potencial viene dado por

V = �mgz = �mgL cos ✓,

con lo que el lagrangiano es

L⇣

✓,�, ˙✓, ˙�⌘

=

1

2

M⇣

L2

˙✓2 + L2

˙�2 sin2 ✓⌘

+mgL cos ✓.

Los momentum canónicamente conjugados a las variables ✓ y � son

p✓ =

@L

@ ˙✓= ML2

˙✓

p� =

@L

@ ˙�= ML2

˙� sin2 ✓.

La matriz de transformación J (segundas derivadas) se puede obtenerfácilmente al notar que

✓

p✓p�

◆

=

✓

mL2

sin

2 ✓ 0

0 mL2

◆✓

˙✓˙�

◆

,


de donde

J =

✓

mL2

sin

2 ✓ 0

0 mL2

◆

.

El determinante de esta matriz no es nulo,

det [J ] = m2L4

sin

2 6= 0.

Definimos el Hamiltoniano del sistema mediante la transformación deLegendre

H = p✓ ˙✓ + p� ˙�� L (✓,�, p✓, p�) ,

donde la dependencia de L se debe cambiar mediante la sustitución

˙✓ =

p✓ML2

˙� =

p�ML2

sin

2 ✓.

De esta forma el Hamiltoniano será

H = p✓⇣ p✓ML2

⌘

+p�

✓

p�ML2

sin

2 ✓

◆

�1

2

M

"

L2

⇣ p✓ML2

⌘

2

+ L2

✓

p�ML2

sin

2 ✓

◆

2

sin

2 ✓

#

�mgL cos ✓

H =

p2✓ML2

++

p2�ML2

sin

2 ✓� 1

2ML2

"

p2✓ +p2�

sin

2 ✓

#

�mgL cos ✓

H =

1

2ML2

"

p2✓ +p2�

sin

2 ✓

#

�mgL cos ✓.

Integrales Primeras

Las Leyes de conservación aplicables a este Hamiltoniano correspondena

1. El Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, i.e.

@H

@t= 0,

por lo que el Hamiltoniano debe ser constante y en este caso, correspondea la energía mecánica total,

E =

1

2ML2

"

p2✓ +p2�

sin

2 ✓

#

�mgL cos ✓. (7.2.14)


2. El Hamiltoniano no depende explícitamente de la variable �, por lotanto su momento conjugado se conserva,

p� = 0

es decir

p� = cte.

Ecuaciónes de HamiltonLas ecuacioens de Hamilton

(

qi =

@H@p

i

pi = �@H@qi

corresponden a las cuatro ecuaciones diferenciales8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

˙✓ =

@H@p✓

=

p✓

ML2

˙� =

@H@p�

=

p�

ML2sin

2 ✓

p✓ = �@H@✓ =

p2�

cos ✓

ML2sin

3 ✓�mgL sin ✓.

p� = �@H@� = 0.

Un resultado interesante se obtiene al tomar la derivada total del Hamilto-niano con respecto al tiempo,

dH

dt=

nX

i=1

@H

@qi

dqidt

+

nX

i=1

@H

@pi

dpidt

+

@H

@t(7.2.15)

dH

dt=

nX

i=1

@H

@qiqi +

nX

i=1

@H

@pipi +

@H

@t(7.2.16)

y utilizando las ecuaciones de Hamilton,

dH

dt= �

nX

i=1

piqi +nX

i=1

qipi +@H

@t(7.2.17)

dH

dt=

@H

@t, (7.2.18)

es decir que el Hamiltoniano se conserva si no depende explícitamente del tiem-po.


7.3. Derivación de las Ecuaciones de Hamilton apartir de un Principio Variacional

El principio variacional de Hamilton dice que a partir de la acción

I =

ˆLdt (7.3.1)

y mediante la condición

�I = �

ˆ t2

t1

Ldt = 0 (7.3.2)

se obtienen las ecuaciones de Lagrange. Ahora bien, ya que el Hamiltoniano estadefinido como

H =

X

i

piqi � L, (7.3.3)

puede invertirse esta relación para obtener

L =

X

i

piqi �H (qi, pi, t) . (7.3.4)

De esta forma, el principio variacional toma la forma

�

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H

#

dt = 0 (7.3.5)

el cual se conoce como principio modificado de Hamilton. Las ecuaciones deEuler a las que lleva este principio serán:

1. Para qk,

d

dt

"

@

@qk

X

i

piqi �H

!#

� @

@qk

X

i

piqi �H

!

= 0. (7.3.6)

Ya que H = H (qi, pi, t) se tiene

dpkdt

+

@H

@qk= 0 (7.3.7)

pk = �@H@qk

. (7.3.8)

2. Para pk,

d

dt

"

@

@pk

X

i

piqi �H

!#

� @

@pk

X

i

piqi �H

!

= 0 (7.3.9)


0� @

@pk

X

i

piqi �H

!

= 0 (7.3.10)

qk �@H

@pk= 0 (7.3.11)

qk =

@H

@pk. (7.3.12)

7.3.1. Transformaciones de CalibraciónAhora se mostrará que las trasnformaciones de calibración para H no afectan

el principio modificado de Hamilton. Este tipo de transformación se escribe

H (qi, pi, t)! H 0(qi, pi, t) = H (qi, pi, t) +

dF (qi, pi, t)

dt. (7.3.13)

El principio variacional para el nuevo Hamiltoniano es

�

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H 0

#

dt = �

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H � dF

dt

#

dt (7.3.14)

�

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H 0

#

dt = �

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H

#

dt� �ˆ t2

t1

dF

dt

�

dt (7.3.15)

pero debido al principio variacional para el Hamiltoniano original el primertérmino de la derecha es cero,

�

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H 0

#

dt = ��ˆ t2

t1

dF

dt

�

dt (7.3.16)

�

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H 0

#

dt = ��ˆ t2

t1

dF = �� {F [q (t2

) , p (t2

) , t2

]� F [q (t1

) , p (t1

) , t1

]}

(7.3.17)y ya que no existen variaciones en los extremos,

�

ˆ t2

t1

"

X

i

piqi �H 0

#

dt = 0, (7.3.18)

es decir que el principio modeificado de Hamilton no se ve afectado por trans-formaciones de calibración.


Figura 7.4.1: Diagrama de Fase

7.4. Espacio de FaseEl Espacio de Fase se define como un espacio 2n dimensional donde cada

punto corresponde a una configuración posible del sistema físico. Se utiliza co-mo coordenadas el conjunto {q

1

, q2

, ..., qn, p1, p2, ..., pn}. Además se construyeel campo vectorial denominado Velocidad de Fase definido en cada punto delespacio de fase como

~Vf = {q1

, q2

, ..., qn, p1, p2, ..., pn} . (7.4.1)

A su vez, este campo vectorial define en el espacio de fase las de nominadascurvas de fase y el conjunto de todas estas se conoce como flujo de fase. Unavisión gráfica de estas definiciones se puede observar en la Figura 7.4.1.

Ahora bien, a partir de las ecuaciones canónicas de Hamilton, la velocidadde fase se puede escribir como

~Vf =

⇢

@H

@p1

,@H

@p2

, ...,@H

@pn,�@H

@q1

,�@H@q

2

, ...,� @H@qn

�

. (7.4.2)

Recordando la noción de gradiente, para el Hamiltoniano se tiene

~rH =

⇢

@H

@q1

,@H

@q2

, ...,@H

@qn,@H

@p1

,@H

@p2

, ...,@H

@pn

�

(7.4.3)

y así es fácil mostrar que ~rH es perpendicular a ~Vf . Para sistemas conservativosel Hamiltoniano es constante y por ello la condición H = cte. define hipersu-perficies en el espacio de fase y es posible concluir que el vector ~Vf es tangentea esta hipersuperficie.


Ejemplo.Particula en Caida LibreEl Hamiltoniano de una partícula en caida libre es

H =

p2

2m+mgq,

de donde se observa que las hipersuperficies H = cte. son parábolas en elespacio de fase.

El vector tangente a estas parábolas es

~Vf =

✓

@H

@p,�@H

@q

◆

=

⇣ p

m,�mg

⌘

.

Si las condiciones inciales del sistema son tales que(

p = 0

q = q1

el Hamiltoniano se puede calcular como

H = mgq1

=

p2

2m+mgq,

es decir

q = q1

� p2

2m2g.

Esta ecuación representa una familia de parábolas como se mues-tra en la Figura. Nótese que si ~Vf = 0 para un cierto ~r

0

=

(q01

, q02

, ..., q0n, p01, p02, ..., p0n), entonces ~r

0

es un punto fijo.

Diagrama de Fase para una partícula en caida libre.


Ejemplo.Sistemas Conservativos Lineales

I. Potencial Lineal: V (q) = aq con a > 0.El potencial tiene la forma lineal mostrada en la siguiente Figura y el

Hamiltoniano está dado por

H =

p2

2m+ aq.

Potencial Lineal.

Las hipersuperficies de energía constanteson parabolas, como se muestraen la FIGURA XXX. No existen puntos fijos

Diagrama de Fase para una partícula en un potencial lineal.

II. Oscilador Lineal: V (q) = 1

2

aq2 con a > 0.El Hamiltoniano es

H =

p2

2m+

1

2

aq2.

El punto q = 0, p = 0 es un punto fijo estable (elíptico).


Diagrama de Fase para una partícula en un oscilador lineal.

III. Fuerza Repulsiva: V (q) = � 1

2

aq2 con a > 0.El Hamiltoniano es

H =

p2

2m+

1

2

aq2.

El punto q = 0, p = 0 es un punto fijo inestable (hiperbólico). Lastrayectorias que pasan por este punto se denominan separatrices.

Diagrama de Fase para una partícula en un potencial repulsivo.

7.5. Principio de la Mínima AcciónLa Acción de un sistema se define como

A =

ˆ t2

t1

X

i

piqidt. (7.5.1)

El principio de mínima acción establece que en un sistema en el que elHamiltoniano H se conserve, se satisface


�A = �

ˆ t2

t1

X

i

piqidt = 0, (7.5.2)

donde � representa un nuevo tipo de variación de la trayectoria. Para com-prender a que se hace referencia es conveniente recordar que la variación �,introducida en capitulos anteriores, hace referencia a desplazamientos virtuales,en los cuales el tiempo permanece fijo y las coordenadas varian sujetas a las liga-duras. En estas variaciones el sistema puede moverse en formas que no ocurrendurante la evolución del sistema físico (e.g. si las ligaduras son no-holónomas).En general, en estas variaciones el Hamiltoniano no es conservado.

Ahora bien, la variación � permitirá incluir variaciones en el tiempo y eldesplazamiento debe ser consistente con la trayectoria del movimiento físico,es decir que si el Hamiltoniano se conserva en el sistema físico, también debeconservarse en la trayectoria de la variación. Esta construcción implica que eltiempo a lo largo de las trayectorias variadas no es necesariamente igual ya queéste puede variar de tal manera que H permanezca constante. De esta forma lavariación � incluye variaciones de t incluso en los puntos extremos (aún cuandolas variaciones de los qi sean cero en estos puntos).

La trayectoria variada en el espacio de configuración puede ser igual paralas variaciónes � y �; pero en � el sistema viaja con una velocidad tal que elintervalo de tiempo recorrido sea igual para la trayectoria original y la variada,mientras que en � el sistema viaja a traves de ella con diferente velocidad detal forma que H permanezca constante.

Si qi = qi (t) entonces

�qi = �qi + qi�t. (7.5.3)

Por lo tanto, para cualquier función f = f (qi, t) se tiene

�f =

X

i

@f

@qi�qi +

@f

@t�t (7.5.4)

�f =

X

i

@f

@qi�qi +

X

i

@f

@qiqi�t+

@f

@t�t (7.5.5)

�f =

X

i

@f

@qi�qi +

X

i

@f

@qiqi +

@f

@t

!

�t (7.5.6)

�f = �f +

˙f�t. (7.5.7)

Ahora bien, la acción se puede escribir como

A =

ˆ t2

t1

X

i

piqidt =

ˆ t2

t1

[L+H] dt. (7.5.8)

Si H se conserva, la segunda integral se puede realizar para obtener


A =

ˆ t2

t1

X

i

piqidt =

ˆ t2

t1

Ldt+H (t2

� t1

) . (7.5.9)

Realizando la variación � a esta ecuación se tiene

�A = �

ˆ t2

t1

Ldt+H (�t2

��t1

) (7.5.10)

�A = �

ˆ t2

t1

Ldt+ H�t|t2t1 . (7.5.11)

La integral del lado derecho es

�

ˆ t2

t1

Ldt = �I (qi, t2)��I (qi,t1) (7.5.12)

por lo que al aplicar (7.5.7),

�

ˆ t2

t1

Ldt = �I (t2

) +

˙I (t2

)�t2

� �I (t1

)� ˙I (t1

)�t1

(7.5.13)

�

ˆ t2

t1

Ldt = �I (t2

)� �I (t1

) +

˙I (t2

)�t2

� ˙I (t1

)�t1

(7.5.14)

�

ˆ t2

t1

Ldt = �

ˆ t2

t1

Ldt+ L�t|t2t1 . (7.5.15)

El primer término del lado derecho resulta ser

�

ˆ t2

t1

Ldt =

ˆ t2

t1

�Ldt =

ˆ t2

t1

X

i

✓

@L

@qi�qi +

@L

@qi�qi

◆

dt (7.5.16)

y por las ecuaciones de Lagrange,

�

ˆ t2

t1

Ldt =

ˆ t2

t1

X

i

d

dt

✓

@L

@qi

◆

�qi +@L

@qi�qi

�

dt (7.5.17)

�

ˆ t2

t1

Ldt =

ˆ t2

t1

X

i

d

dt

✓

@L

@qi�qi

◆�

dt. (7.5.18)

Utilizando la relación (7.5.3),

�

ˆ t2

t1

Ldt =X

i

ˆ t2

t1

d

dt

✓

@L

@qi�qi �

@L

@qiqi�t

◆�

dt (7.5.19)

�

ˆ t2

t1

Ldt =X

i

✓

@L

@qi�qi �

@L

@qiqi�t

◆

�

�

�

�

�

t2

t1

. (7.5.20)


En los extremos, los �qi son cero y por ello

�

ˆ t2

t1

Ldt = �X

i

@L

@qiqi�t

�

�

�

�

�

t2

t1

. (7.5.21)

Utilizando la definición del momentum canónicamente conjugado,

�

ˆ t2

t1

Ldt = �X

i

piqi�t

�

�

�

�

�

t2

t1

. (7.5.22)

De esta forma, la ecuación (7.5.15) será

�A = �X

i

piqi�t

�

�

�

�

�

t2

t1

+ L�t|t2t1 + H�t|t2t1 (7.5.23)

�A = �"

�X

i

piqi + L+H

#

�t

�

�

�

�

�

t2

t1

. (7.5.24)

Por la definición del Hamiltoniano, se obtiene finalmente la condición buscada

�A = 0. (7.5.25)

7.6. Coordenadas Cíclicas y Método de RouthUna coordenada se denomina cíclica si no aparece explícitamente en el La-

grangiano, i.e. @L@q

k

= 0. El momento canónicamente conjugado a esta coorde-nada, pk =

@L@q

k

, es constante y por ello, las ecuaciones de Hamilton implicanque

pk = �@H@qk

= 0, (7.6.1)

es decir que qk tampoco aparece en el Hamiltoniano.Cuando la coordenada qk es cíclica, la dependencia de la función lagrangiana

se puede especificar mediante

L = L [q1

, q2

, ..., qk�1

, qk+1

, ..., qn, q1, q2, ..., qk, ..., qn, t] (7.6.2)

y ya que el momento conjugado es constante, podemos hacer pk = ↵ con lo quela dependencia de la función Hamiltoniana es

H = H [q1

, q2

, ..., qk�1

, qk+1

, ..., qn, p1, p2, ...,↵, ..., pn, t] . (7.6.3)

Esto muestra que aún cuando L tiene n grados de libertad, H tiene solamenten � 1 grados de libertad. El comportamiento de la coordenada cíclica en eltiempo está dado por la ecuación de Hamilton


qk =

@H

@↵. (7.6.4)

7.6.1. Método de RouthEste procedimiento consiste en transformar de la base (q, q) a la base (q, p)

únicmaente las coordenadas cíclicas. Si se tiene un sistema de n grados de li-bertad con m coordenadas cíclicas q

1

, q2

, ..., qm, se define el Routhiano como latransformada parcial de Legendre

R (q1

, q2

, ..., qn, p1, p2, ..., pm, qm+1

, ..., qn, t) =mX

j=1

pj qj�L (q1

, q2

, ..., qn, q1, ..., qn, t) .

(7.6.5)Así, se tiene

dR =

nX

i=1

@R

@qidqi +

mX

j=1

@R

@pjdpj +

nX

k=m+1

@R

@qkdqk +

@R

@tdt, (7.6.6)

pero de la definición del Routhiano también se tiene

dR =

mX

j=1

(qjdpj + pjdqj)� dL (7.6.7)

y reemplazando el diferencial del lagrangiano,

dR =

mX

j=1

(qjdpj + pjdqj)�nX

i=1

@L

@qidqi �

nX

i=1

@L

@qidqi �

@L

@tdt (7.6.8)

dR =

mX

j=1

qjdpj �nX

i=1

@L

@qidqi +

mX

j=1

✓

pj �@L

@qj

◆

dqj �nX

k=m+1

@L

@qkdqk �

@L

@tdt.

(7.6.9)Por la definición del momento conjugado,

dR =

mX

j=1

qjdpj �nX

k=1

@L

@qidqi �

nX

k=m+1

@L

@qkdqk �

@L

@tdt. (7.6.10)

Comparando esta ecuación con (7.6.6) se obtienen el conjunto de ecuaciones,

@L

@qi= �@R

@qipara (i = 1, ..., n) , (7.6.11)

qj =@R

@pjpara (j = 1, ...,m) , (7.6.12)


@L

@qk= � @R

@qkpara (k = m+ 1, ..., n) (7.6.13)

y

@L

@t= �@R

@t. (7.6.14)

Ya que los momentum conjugados a las coordenadas cíclicas son constantes,estos se pueden escribir como pj = ↵j y con ello la segunda de estas ecuacioneses

qj =@R

@↵jpara (j = 1, ...,m) . (7.6.15)

De las ecuaciones de Lagrange para las coordenadas cíclicas,

d

dt

✓

@L

@qj

◆

� @L

@qj= 0 (7.6.16)

dpjdt�✓

� @R@qj

◆

= 0, (7.6.17)

es decir

pj = �@R

@qjpara (j = 1, ...,m) . (7.6.18)

Estas relaciones permiten escribir las ecuaciones de Lagrange para las coor-denadas no-cíclicas en terminos del Routhiano. Para ello nótese que

d

dt

✓

@L

@qk

◆

� @L

@qk= 0 (7.6.19)

d

dt

✓

� @R@qk

◆

�✓

� @R@qk

◆

= 0 (7.6.20)

d

dt

✓

@R

@qk

◆

�✓

@R

@qk

◆

= 0 para (k = m+ 1, ..., n) . (7.6.21)

7.6.1.1. Ecuaciones de Routh

Resumiendo, las ecuaciones de Routh para las coordenadas cíclicas son

qj =@R

@↵jpara (j = 1, ...,m) , (7.6.22)

mientras que las ecuaciones para las coordenadas no-cíclicas se tiene

d

dt

✓

@R

@qk

◆

�✓

@R

@qk

◆

= 0 para (k = m+ 1, ..., n) . (7.6.23)


7.6.1.2. Teoremas de Conservación

Los teoremas de conservación se representan por el par de ecuaciones(

@L@q

i

= � @R@q

i

para (i = 1, ..., n)@L@t = �@R@t .

(7.6.24)

7.7. Ecuaciones de Hamilton en Forma MatricialPara un sistema de un grado de libertad (n = 1) las ecuaciones de Hamilton

(

q =

@H@p

p = �@H@q(7.7.1)

se pueden escribir en forma matricial en la forma✓

qp

◆

=

✓

0 1

�1 0

◆

@H@p

�@H@q

!

. (7.7.2)

Definiendo

⌘ =

✓

qp

◆

(7.7.3)

⌘ =

✓

qp

◆

(7.7.4)

E =

✓

0 1

�1 0

◆

(7.7.5)

@H

@⌘=

@H@p

�@H@q

!

, (7.7.6)

Las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir

⌘ = E@H

@⌘. (7.7.7)

Para un sistema de n grados de libertad la definición de los elementos ma-triciales será

⌘ =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

q1

...qnp1

...pn

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(7.7.8)


⌘ =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

@

q1

...qnp1

...pn

1

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(7.7.9)

E =

✓

0 1n

�1n 0

◆

(7.7.10)

@H

@⌘=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

@H@q1...@H@q

n

@H@p1

...@H@p

n

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(7.7.11)

donde 1n es la matriz identidad en n dimensiones. Las ecuaciones de Hamil-ton siguen siendo

⌘ = E@H

@⌘. (7.7.12)

7.8. Corchetes de PoissonPara las funciones

u = u (q, p, t) (7.8.1)v = v (q, p, t) (7.8.2)w = w (q, p, t) (7.8.3)

se define el corchete de Poisson como

[u, v]q,p =

X

i

✓

@u

@qi

@v

@pi� @u

@pi

@v

@qi

◆

. (7.8.4)

De esta definición es inmediato comprobar que se satisfacen las propiedades

1. [u, u]q,p = 0

2. Antisimetría: [u, v]q,p = � [v, u]q,p

3. Linealidad: [↵u+ �v, w]q,p = ↵ [u,w]q,p + � [v, w]q,p


4. [uv,w]q,p = u [v, w]q,p + [u,w]q,p v

5. Identidad de Jacobi: [u, [v, w]]q,p + [v, [w, u]]q,p + [w, [u, v]]q,p = 0.

Esta definición muestra que los corchetes de Poisson forman un Algebra de Lie.

7.8.1. Corchetes Fundamentalesa) Si u = qj y v = qk se tiene[qj , qk]q,p = 0

b) Si u = pj y v = pk se tiene[pj , pk]q,p = 0

c) Si u = qj y v = pk se tiene[qj , pk]q,p = �jk.

7.9. Ecuaciones de Hamilton y Corchetes de Pois-son

Las ecuaciones de Hamilton se pueden reescribir utilizando los corchetes dePoisson. Para ello nótese que

[qj , H]q,p =

X

i

✓

@qj@qi

@H

@pi� @qj@pi

@H

@qi

◆

=

X

i

�ij@H

@pi=

@H

@pj(7.9.1)

[pj , H]q,p =

X

i

✓

@pj@qi

@H

@pi� @pj@pi

@H

@qi

◆

= �X

i

�ij@H

@qi=

@H

@qj. (7.9.2)

Además, para cualquier función F = F (q, p, t) se tiene

dF

dt=

X

i

✓

@F

@qiqi +

@F

@pipi

◆

+

@F

@t(7.9.3)

dF

dt=

X

i

✓

@F

@qi

@H

@pi� @F

@pi

@H

@qi

◆

+

@F

@t(7.9.4)

dF

dt= [F,H]q,p +

@F

@t. (7.9.5)

Si F es una integral primera, i.e. dFdt = 0, esta relación será

dF

dt= [F,H]q,p +

@F

@t= 0 (7.9.6)


@F

@t= [H,F ]q,p (7.9.7)

y si además F no depende explícitamente del tiempo, F = F (q, p) esta relaciónse reduce a

[H,F ]q,p = 0. (7.9.8)

Ejemplo.Al aplicar la ecuación (7.9.5) al Hamiltonianao se obtiene de inmediato

dH

dt= [H,H]q,p +

@H

@t

dH

dt=

@H

@t

7.9.1. Teorema de PoissonEl teorema de Poisson asegura que el corchete de dos primeras integrales es

también una primera integral. Para mostrarlo, sean u = u (q, p) y v = v (q, p)dos primeras integrales, es decir

du

dt=

dv

dt= 0 (7.9.9)

o equivalentemente

[u,H]q,p = [v,H]q,p = 0. (7.9.10)

Aplicando la identidad de Jacobi se tiene

[u, [v,H]]q,p + [v, [H,u]]q,p + [H, [u, v]]q,p = 0 (7.9.11)

[u, 0]q,p + [v, 0]q,p + [H, [u, v]]q,p = 0 (7.9.12)

[H, [u, v]]q,p = 0 (7.9.13)

es decir que [u, v]q,p es una integral primera.


7.9.2. Corchetes de Poisson en Forma MatricialEn el caso de un sistema de un grado de libertad (n = 1), la definición del

corchete de Poisson para dos funciones u = u (q, p, t) y v = v (q, p, t) permiteescribir

[u, v]q,p =

@u

@q

@v

@p� @u

@p

@v

@q, (7.9.14)

que se puede escribir en forma matricial,

[u, v]q,p =

⇣

@u@q

@u@p

⌘

✓

0 1

�1 0

◆

@v@q@v@p

!

. (7.9.15)

Si se definen los elementos matriciales

@u

@⌘=

@u@q@u@p

!

(7.9.16)

@v

@⌘=

@v@q@v@p

!

(7.9.17)

E =

✓

0 1

�1 0

◆

, (7.9.18)

el corchete de Poisson se escribe

[u, v]q,p =

g@u

@⌘E@v

@⌘. (7.9.19)

Nótese que la matriz E puede escribirse en términos de los corchetes funda-menteales,

E =

✓

0 1

�1 0

◆

=

✓

[q, q] [q, p][p, q] [p, p]

◆

(7.9.20)

o mejorE = [⌘, ⌘]⌘. (7.9.21)

7.10. Paréntesis de LagrangeEn una forma muy similar se definen los paréntesis de Lagrange para dos

funciones u = u (q, p, t) y v = v (q, p, t) como

{u, v}q,p =

X

i

✓

@qi@u

@pi@v� @qi@v

@pi@u

◆

, (7.10.1)

aunque estos paréntesis no satisfacen la identidad de Jacobi y por ello no formanun Algebra de Lie. En forma matricial, es posible escribir este paréntesis en elcaso de un grado de libertad como


{u, v}q,p =

g@⌘

@uE@⌘

@v. (7.10.2)

Capítulo 8

Transformaciones Canónicas

213

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