NotasMetMat1

7/25/2019 NotasMetMat1

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0.1 La proyección estereográ…ca y el punto al in…nito.

En una varible real existen dos únicas maneras de considerar el punto al in…nito,sólo "moviéndonos" a la derecha o izquierda de la recta real, de esta forma,moviéndonos a la derecha obtenemos +1 y a la izquierda 1.

En el plano complejo existen una in…nidad de formas para aproximarse alin…nito. Bastará con situarnos en un punto arbitrario y moverse en cualquierdirección. Podemos movernos a lo largo del eje real positivo y así, aproximarnosal in…nito mediante números complejos con parte real positiva y parte imaginariacero, también podemos hacerlo mediante el eje imaginario y aproximarnos alin…nito mediante numeros imaginarios puros. Se puede intentar generalizar elconcepto de in…nito usando la noción de variable real, pero …nalmente esta formano resulta del todo útil.

Ahora introduciremos el in…nito complejo o el punto al in…nito como ellimite que va "in…nitamente lejos a lo largo de cualquier dirección en el planocomplejo". Así el plano complejo unión el punto al in…nito 1 formarán el planocomplejo extendido.

Una forma de visualizar el punto al in…nito es utilizando la siguiente función:

Tomemos una esfera de radio uno sobre el plano complejo, de tal forma queel polo sur de la esfera se situe en el origen. Ahora para cada punto z = x + iy

del plano complejo, consideremos l la recta que pasa através del polo norte yel punto z . La proyección estereográ…ca es la función que mapea al punto z conel punto de intersección de la recta con la esfera (ver Fig. 1). Así cada puntoz = x + iy del plano complejo es mapeado a un único punto P = (a;b;c) sobrela esfera. No es di…cil comprobar que

a = 4xjzj2+4

, b = 4yjzj2+4

, c = 2jzj2

jzj2+4

Obs: El origen es mapeado al polo sur y el punto al in…nito, jzj = 1, esmapeado al polo norte.

En la proyección estereográ…ca los círculos en el plano complejo son mapea-dos en círculos en la esfera unitaria (ver Fig. 2) y las líneas en el plano complejoson mapeadas en círculos en la esfera unitaria (ver Fig. 3).

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Figure 1: Fig. 1

Fig. 2 Fig. 3

0.2 Funciones Trigonométricas.

0.2.1 La función exponencial.

Para cada z 2 C, consideremos la función exponencial ez y usando la fórmulade Euler podemos escribirla en términos de su parte real e imaginaria, esto es

si z = x + iy,

ez = ex+iy = exeiy = ex (cos y + iseny) = ex cos y + iexseny

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De lo anterior se puede ver que

ez+i2 = ex+i(y+2) = exeiy+i2 = exeiyei2 == ex (cos y + iseny)(cos2 + isen2)

= ex (cos y + iseny) = ez

Análogamente tenemos queez+i = ez

Luego la función exponencial es 2i periódica y i impar.

También el módulo de ez resulta ser función de su parte real x, esto es

jezj =ex+iy = jexj = ex

y el arg de ez

es función de su parte imaginaria y .

arg(ez) = arg (x + iy) = fy + 2n : n 2 Zg

Ejemplo: La función w = ez mapea al conjunto

fz 2 C : 1 < Re z < 1; 0 < y < g

en el semiplano superior complejo (primer y segundo cuadrantes).Consideremos una recta de la forma z = x + ik, con 1 < x < 1, bajo la

función tenemos que

w = f (z) = ex+ik = eikex, 1 < x < 1

que es un rayo con punto inicial el origen en dirección de eik

, de esta forma puedeobservarse que z = x es mapeado a la parte positiva del eje real, z = x + i esmapeoado a la parte negativa del eje real y …nalmente que z = x+ik es mapeadoal rayo con ángulo k en el semiplano superior. Luego podemos deducir que labanda es mapeada al semiplano superior complejo. (ver Fig. 4)

Fig:4 La función ez mapea rectas horizontales en rayos.

Consideremos el mismo problema pero con el enfoque siguiente:

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Consideremos las rectas z = k + iy con 0 < y < . Bajo el mapeo tenemosque

f (z) = w = ek+iy = ekeiy

que representa el semicírculo sperior de radio ek. Note que el

limk!1

ek = 0

y el radio del semicírculo tiende a cero, también

limk!1

ek = 1

luego el radio del semicírculo tiende a in…nito. Así nuevamente podemos deducirque la banda es mapeada al semiplano superior complejo. (ver Fig. 5)

Fig:5 La función ez mapea rectas verticales en arcos.

0.2.2 Funciones seno y coseno.

Usando la función exponencial podemos de…nir las funciones seno y coseno com-plejas.

eiz + eiz

2 =

cos(z) + isen (z) + [cos (z) + isen (z)]

2

= cos(z) + isen (z) + cos (z) isen (z)

2= cos z

de la misma forma se tiene

eiz eiz

2i =

cos(z) + isenz [cos(z) + isen (z)]

2i

= cos(z) + isen(z) cos(z) + isen(z)

2i

= 2isen(z)

2i = senz

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Podemos separar el seno y coseno en sus partes real e imaginarias

cos z = cos x cosh y isenxsenhysenz = senx cosh y + i cos x sinh y

Ahora estamos en posibilidad de de…nir las funciones hiperbólicas y sorpre-dentemente quedan en términos de seno y coseno. Resumimos todo en el cuadrode resumen siguiente.

ez = ex (cos y + iseny)

cos z = eiz+eiz

2 senz = eizeiz

2icos z = cos x cosh y isenxsenhy senz = senx cosh y i cos x

cosh z = ez+ez

2 senhz = ezez

2cosh z = cosh x cos y isenhxseny senhz = senhx cos y i cosh

sen(iz) = isenh(z) senh(iz) = isenz

cos(iz) = cosh (z) cosh(iz) = cos z

log z = ln jzj + i arg(z) = ln jzj + iArg(z) + i2n;n 2 Z

0.2.3 Funciones Trigonométricas Inversas.

La función logaritmo se de…ne como la inversa de la función exponencial f (z) =ez. Como la función exponencial no es uno a uno (muchos puntos distintos sonmapeados a uno solo, recordar que es 2i periódica), su inversa resulta ser unafunción multivaluada,de aquí que

e

log z

= z, pero log(e

z

) 6= z.La función elogz es univaluada pero log(ez) es multivaluada y el logaritmo deun número es un conjunto de puntos que di…eren entre si por múltiplos enterosde 2i.

Por ejemplo para cada n 2 Z

ei2n = 1

y de aquí quelog(1) = fi2n : n 2 Zg :

Observación:La función logaritmo tiene una cantidad in…nita de ramas y el valor de la

función en cada rama di…ere por multiplos enteros de 2i.La función logaritmo satisface

a) limz!0

jlog zj = 1

b) limz!1

jlog zj = 1

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Notación: De ahora en adelante ln(x) denotará la función logaritmo de vari-able real, de…nida para todo x 0 y la función log(z) denotará la función

logaritmo de variable compleja, de…nida para cada número complejo diferentede cero.

Sean z = rei y w = u + iv, la expresión w = log z, signi…ca que ew = z

entonces

eu+iv = eueiv = rei implica que

eu = r y v = + 2n,

En la primer igualdad podemos tomar logaritmo natural a ambos lados yobtenemos:

ln eu = ln r

pero ln eu

= u ln e = u, así u = ln r

sustituyendo en la expresión

log z = w

= u + iv

= ln jzj + i arg(z)

considerando que el argumento de z no es único tenemos que:

log z = ln jzj + i (Arg(z) + 2n) , con n 2 Z

Veri…cando

elog z = elnjzj+i arg(z) = elnjzjei arg(z) = eln relnjzj+i(+2n)

= rei = z

Por otra parte notemos que log(ez) 6= z, puesto

log(ez) = ln jzj + i arg(ez) = ln(ex) + i arg

ex+iy

= x + i(y + 2n) = z + i2n 6= z

La parte real del logaritmo es la función univaluada ln r y la parte imaginariaes la función multivaluada arg(z).

De…nimos la rama principal del logaritmo Logz como la rama que satisfaceque < Im(Logz) . Así Logz = ln jzj + iArg(z)

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0.2.4 Potencias

Sean a, b números complejos con a 6= 0, de…nimos ab

comoab = eb loga

Note que el hecho de que logaritmo sea una función multivaluada puedehacer que ab lo sea también. Consideremos los casos siguientes.

a) Sea m 2 Z

am = em loga = em(Loga+i2n) = emLogaei2mn

= emLoga

Así am es univaluada si m 2 Z.

b) Sea m = p

q 2 Q

ap

q = ep

q loga = ep

q (Loga+i2n) = ep

qLogaei2np

q

y esta expresión tiene q distintos valores siempre que n m = kq para algúnk 2 Z.

c) Sea b 2 I

ab = eb loga = eb(Loga+i2n) = ebLogaei2bn

Observemos que ei2bn y ei2bm son iguales si y sólo si i2bn y i2bm di…erenpor un entero múltiplo de 2i lo que signi…ca que bn y bm di…eren por unentero, esto es ei2bn tiene un valor distinto para cada entero diferente, con loque podemos concluir qe ab tiene un número in…nito de valores.

Ejemplo: Consideremos 1

1 = e log(1) = e(ln(1)+i2n) = ei2n

Así podemos concluir que 1 tiene una cantidad in…nita de valores, todos loscuales se encuentran en el círculo unitario jzj = 1.

Cuadro de Resumen 2

Identidades Logarítmicas

ab = eb loga

elog z = eLogz = z

log(ab) = log a + log b

log

1a

= log a

loga

b

= log a log b

log(z 1

n ) = 1

n log z, para cada n 2 Z

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Desigualdades Logaritmicas

Log(uv) 6= Log(u) + Log(v)

log za 6= a log z

Logza 6= aLogz

log ez 6= z

Ahora consideremos la función seno inverso.

Sea

w = sen1z

z = senw

z = eiw eiw2i

2iz = eiw eiw

2izeiw = e2iw 1

0 = 2izeiw e2iw 1

que es una ecuación de segundo grado en la variable eiw, usando la fórmulageneral desegundo grado tenemos:

eiw = iz p

1 z2

ahora tomando logaritmo a ambos lados

iw = log

iz p

1 z2

w = log

iz p

1 z2

Finalmentesen1z = log

iz

p 1 z2

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