N M E R O C O M P L E J O

Introduccin

En el conjunto de los Reales quedan sin solucin entre otras:

i) las races de ndice par de los nmeros negativos, pues no existe ningn real, cuyas

potencias de exponente par sean negativas. Por ejemplo 3

33

?2xx

ii) las potencias de exponente irracional de los nmeros negativos. Por ejemplo: 2 los logaritmos de los nmeros negativos. Por ejemplo 4ln

Por tal motivo Hamilton y Karl Gauss desarrollan en forma lgica el concepto de nmero complejo

en el siglo XIX

Un poco de Historia (Pg. 206)

Definicin

Llamamos conjunto de los nmeros complejos y lo denotamos con la letra C al conjunto de los pares de nmeros reales ,a b en el cual definimos las siguientes operaciones:

Adicin:. , , ,a b c d a c b d

Multiplicacin: , , ,a b c d ac bd ad bc

Ejemplo:

Sean los complejos 1,2 y 2,3

1,2 + 2,3 = 21,32 = 3,1 1,2 2,3 = 1,83.12.2,2.13.2

Notacin cartesiana de un complejo

baz , con a y Rb

a se le llama parte real del complejo o componente real del mismo

b se le llama parte o componente imaginaria del complejo

http://books.google.com.uy/books?id=IG3_b5Xm8PMC&pg=PA209&lpg=PA209&dq=hamilton%2B+complejos&source=bl&ots=UkoKm-DKAb&sig=uT2vpG1kzJTTGsT0BWfF02I2cZE&hl=es&ei=gS3vSpWoKceztge86YysCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CBAQ6AEwAw#v=onepage&q=&f=false

Igualdad

Dos complejos son iguales cuando sus respectivas componentes son iguales:

Si baz , y dcw , decimos que

db

ca

wz y

Representacin geomtrica

Cada punto del plano puede determinarse por 2 nmeros reales en cualquier sistema de ejes

cartesianos. Por ejemplo si tomamos dos ejes cartesianos perpendiculares:

Podemos hacer corresponder a cada complejo

baz , el punto P de coordenadas ba,

P se llama afijo del complejo z

Existe una correspondencia biunvoca entre el

conjunto de puntos del plano y el conjunto de los

nmeros complejos. A cada complejo le

corresponde un punto del plano, su afijo, y cada

punto del plano es afijo de un complejo.

El complejo )0,0( se llama complejo nulo

Inverso de un complejo en forma cartesiana

Sea baz , con a y b no simultneamente nulos, llamamos inverso de z y representamos 1z , al

nmero complejo tal que 0,1. 1 zz

Verifique que

2222

1 ,ba

b

ba

az .

Ejemplo:

Si 4,3z entonces

25

4,

25

31z

a

b P

x

y

0

Divisin en forma cartesiana

Sean baz , y dcw , con c y d no simultneamente nulos. Dividir z entre w, es multiplicar z por el inverso de w

bazww

z,1

2222,

dc

d

dc

c

2222,

dc

adbc

dc

bdac.

O sea

dc

ba

,

,

2222,

dc

adbc

dc

bdac Verifquelo

Ejemplo:

2,1z y 4,3w

25

10,

25

5

w

z

Notacin polar de un complejo

El afijo P tambin queda determinado por su distancia al origen: ),( POdr y el ngulo que

forman las semirrectas Ox y OP , tomando como sentido positivo el antihorario queda determinado salvo mltiplos enteros de 2 . Podramos entonces determinar el complejo baz , por el par ,r

r se llama mdulo del complejo z, zr (longitud del segmento OP)

se llama argumento del complejo z. Puede variar entre 0 y 2

Suele adoptarse, cuando el ngulo est entre y 2 (P est en el 3 y 4 cuadrante) el ngulo en el

sentido antihorario entre 0 y -.

Llamaremos valor principal del argumento al que cumpla

Notacin polar

r

a

b P

x

y

r

0

Ejemplo:

45

Grafquelo

Igualdad en forma polar:

Zkk

wr

wr

con 2

y

Relacin entre a, b, r y

i) Pasaje de notacin polar a cartesiana

Conociendo r y hallar a y b

En el tringulo OPA

r

bsin sin.rb

r

acos cos.ra

Ejemplos:

Si queremos escribir en forma cartesiana:

1) 6

2 z hallamos 12

12

6sin.2 b y 3

2

32

6cos.2 a de donde

3,1z 2)

23 z 31.3

2sin.3 b 00.3

2cos.3 a 3,0z

ii) Pasaje de notacin cartesiana a polar

Conociendo a y b hallar r y

Aplicando Pitgoras al tringulo OPA

22 bar a

btan si 0a de donde

a

ba tan

Si 0a 2

segn que b sea positivo o negativo

A

P

x

y

0

r

a

b

Ejemplos:

Queremos escribir en forma polar:

1) 1,3z

Hallamos 213 r y 3

3

3

1tan

de donde

6

5 entonces

6

52

z

2) 3,0 z 33 2 r 2

23

z

Interpretacin geomtrica de la adicin:

Otra forma de interpretar el complejo z es asociarlo al vector OP con P (a, b).

Entonces

Multiplicacin en forma polar

wrwr Demostracin:

wr sin,cossin,cos wwrr sinsincossin,sinsincoscos wrwrwrwr sinsincossin,sinsincoscos wrwr wrwrwr sin,cos

b+b`

a+a` a`

b`

` w

z+w

a

b z

x

y

0

P

Divisin en forma polar

w

r

w

r

Demostracin:

twtwrt

w

r..

Aplicando igualdad

tw

rtwr

Por lo tanto

w

r

w

r

Inverso en forma polar

De igual forma haciendo 01 tr se obtiene que

110 rzzconrz

Ejemplos:

Sean 4

6

z y 6

3

w

12

518

63.

46

wz

122.

63

46

w

z

46

11 z

Complejos reales y complejos imaginarios

Podemos establecer una correspondencia biunvoca entre los reales y los complejos con 2

componente nula:

O sea al complejo )0,(a se le hace corresponder el nmero real a y anotamos: ).0,(aa Se le

llama complejo real.

A los nmeros complejos de la forma ),0( b son llamados imaginarios puros.

Caso particular:

Notaremos el nmero complejo )1,0( con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria: ).1,0(i

Aplicando la definicin de producto se comprueba que 12 i :

2 2(0,1) (0,1)(0,1) 0(0) 1(1),0(1) 1(0) ( 1,0) 1i

Por ejemplo si queremos resolver 012 x :

12 x sustituyendo 22 ix de donde ix

Notacin binmica de un nmero complejo

Si hacemos el producto de un complejo real por la unidad imaginaria: (b, 0).(0, 1)=(0, b)

Obtenemos que: b.i = (0, b)

Sea entonces ),( baz un nmero complejo. Podemos escribirlo en la forma:

biababaz ),0()0,(),(

En este caso bia se llama forma binmica o binomia del nmero complejo (a, b)

Y anotamos

biaba ,

Suma y multiplicacin de nmeros complejos en la forma binmica

idbcadicbiadcba )(),(),( .

ibcadbdacbdbciadiacbdibciadiacdicbiadcba )(),)(,( 2

O sea idbcadcba )(),(),(

Observar que da igual que en forma cartesiana pero es ms fcil de trabajar en forma binmica

Ejemplo:

Sean iz 32 y iw 5

Entonces

wz i32 ii 435

wz i32 iiiii 13133215105 2

Observar que multiplicar por i tiene el mismo efecto que una rotacin de ngulo recto

aaiaiaiaaiaia 432 ,,,,

Divisin en forma binmica

22 dc

ibcadbdac

dicdic

dicbia

dic

bia

w

z

O sea

22 dc

ibcadbdac

dic

bia

Ejemplo:

Sea iz 23 y iw 4 Calculamos

iii

ii

i

i

w

z

17

5

17

14

44

423

4

23

Potenciacin

Sea Cz

Definicin:

01

1

1

0

zz

z

nzzz

z

n

n

nn N

Potenciacin en forma polar

nrr nn Zn

Demostracin:

1) 0n lo demostraremos por induccin completa

rrrn 11 11 se cumple

H) hn hrr hh

T) 1hn 111 hrr hh

a

ai

-a

-ai

Dem: Hpor

1

rrr hh 11

prodpor

hrhrrrhr hhh

2) 0n nrnrrrr nn

n

nnh

1

0

1

inv

1

Ejemplo:

Si 4

6

z

Entonces 2

362

z

Potenciacin en forma trigonomtrica (DE MOIVRE)

ninrir nn sincossincos

Ejemplo:

812sin2cos32

sin2

cos3 44

ii

Conjugado de un nmero complejo

Si biaz llamaremos conjugado del nmero z, al nmero biaz , es decir, al nmero

complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo:

Si iz 32 , entonces iz 32

Propiedades

Si ),( baz

azz 2 y 22. bazz

wzwz

zwwz

a

b z

x

y

0

-b zz

w

z

w

z 0w

kzzk Rk

nn zz Nn

Notacin trigonomtrica de un complejo

Hemos visto distintas notaciones de un complejo biarbaz ,

Y las relaciones r

bsin sin.rb

r

acos cos.ra

Reemplazando a y b en la forma binmica irrz sincos de donde

sincos irz

Ejemplo:

3sin

3cos4

34

iz

Producto y cociente en forma trigonomtrica

sincos,sincos.sincos iwriwir

sincos

sincos

sincosi

w

r

iw

ir

Potenciacin en forma trigonomtrica

ninrir nn sincossincos

Radicacin

Definicin:

zwwz nn

Raz cuadrada en forma binmica

biaiyxyixbia 2

biayxyix 22 2

biaxyiyx 222

24224222222 2 ayyxxayxayx 22242 byxbxy

222

24224

4

2

byx

ayyxx sumando resulta

224224 2 bayyxx

22222 bayx 2222 bayx

De donde ryx 22

Como ayx 22

ayx

ryx

22

22

rax 22

2

arx

ayx

ryx

22

22

ary 22

2

ary

22

ararbia

Aclaracin Las soluciones son 2. Se han introducido 2 en las elevaciones al cuadrado.

El signo de cada radical debe tomarse de modo que se cumpla la igualdad

xyb 2

Si yxb e0 deben ser del mismo signo

Si yxb e0 deben ser de distinto signo

Ejemplo:

i) ii

22

35

2

3543

ii) ii 232

513

2

513125

Radicacin en forma polar

n

k

nrr nn

2 10, nkZk

Hay que probar que

r

n

k

nr

nn 2

En efecto krn

k

nnr

n

k

nr

nnn

n 222

Pero r kr 2 pues los argumentos difieren en 2k

Observaciones:

Como n r existe y es nica entre los reales positivos o 0, habr tantas races ensimas

distintas del complejo como argumentos distintos puedan tomarse. Sabemos que argumentos

que difieran en mltiplos enteros de 2 no pueden en realidad considerarse diferentes, pues conducen a un mismo complejo.

En la frmula que nos da el argumento de la raz ensima tomemos k = 0, k = 1,.. k = n-1

Obtenemos n argumentos

Los afijos de dichos complejos se hayan situados en una circunferencia de centro en el origen

y radio n r , y forman un polgono regular de n lados

Ejemplo:

3

2

1232

43244 633

ki

Dndole valores a k = 0,1, 2 obtenemos las 3 races:

12

3332y

4

332,

1232 666

Trazamos una circunferencia de radio igual al mdulo: 6 32 y luego ubicamos los afijos P, Q y R

de la circunferencia que forman ngulos con el eje ox 12

33y

4

3,

12

. Los unimos y en este

caso se formar un tringulo equiltero.

0

P

R

Q

Notacin exponencial de un nmero complejo

Frmula de Euler: sincos iei

Para llegar a ella suponemos que se siguen cumpliendo, como en los nmeros reales, los conceptos

de funcin, derivadas, series (que veremos ms adelante), etc.

Suponemos vlido el desarrollo en serie de potencias de la funcin

0!

n

nx

n

xe Rx . Note

que se trata del desarrollo de Mac Laurin de la exponencial (a menos del resto).

(Ver: Taylor primer ao)

Supondremos que tambin es vlido para z complejo.

O sea

!!3!2!1

132

n

zzzze

nz

Si tomamos iz , nos queda:

!!3!2!11

32

n

iiiie

ni

!!3!2!1

13

32

2

niii

ie

nni

!!3!2!1

132

nii

ie

nni

Agrupando tendremos:

!5!3!1!4!21

5342 iei

Estos son los desarrollos de cos y sin respectivamente. As que sincos iei .

Sea sincos irz un nmero complejo donde r es su mdulo y su argumento. Entonces mediante el empleo de la frmula de Euler se obtiene:

ireirz sincos .

Esta expresin es la llamada forma exponencial del nmero complejo.

Taylor/Taylor%20final.pdf

Observacin: la forma exponencial es equivalente a la trigonomtrica pues dependen de los mismos elementos:

mdulo y argumento del nmero complejo z. Esta forma nos facilita los clculos en la

multiplicacin, divisin y potenciacin.

Multiplicacin y divisin de nmeros complejos en su forma exponencial

Sean irez y isew . Entonces:

wz. ire ise iesr ..

i

i

i

es

r

sr

re

w

z

Ejemplo:

Sea 410

i

ez y 45

i

ew entonces iewzi

5050. 2

y 22 0 iew

z.

Polinomios de variable compleja

Teorema

Un polinomio de variable compleja y de coeficientes reales, si tiene una raz compleja necesariamente tiene su conjugada.

H) Sea 011

1/: axaxaxaxpCCpn

nn

n

, Cz y 0zp T) 0zp

00 011

1

azazazazpzpn

nn

n

0011

1

azazazan

nn

n

0011

1

azazazan

nn

n

0011

1

azazazan

nn

n

0011

1

azazazan

nn

n

Por lo tanto 0zp

Por lo que concluimos los polinomios de coeficientes reales presentan sus races complejas de a

pares. O sea si una funcin polinmica p de coeficientes reales acepta raz 1-2i tiene tambin la raz

1+2i.

Y entonces los polinomios de coeficientes reales y grado impar aceptan al menos una raz real.

Ejemplo:

Halla las races de 105313115 234 xxxxxp sabiendo que tiene la raz 2+i

Como tiene raz 2+i tiene su conjugada 2-i. Utilizando el esquema de Ruffini tenemos que:

5 -11 -13 53 -10

2+i 10+5i -7+9i -49-2i 10

5 -1+5i -20+9i 4-2i 0

2-i 10-5i 18-9i -4+2i

5 9 -2 0

Las otras dos races las obtenemos resolviendo:

0295 2 xx que tiene por races 5

1 y -2

Ejercicios de Nmero Complejo

Prxima seccin Matrices

Ejercicios.pdf../2matrices/matrices.pdf