N M E R O C O M P L E J O
Introduccin
En el conjunto de los Reales quedan sin solucin entre otras:
i) las races de ndice par de los nmeros negativos, pues no existe ningn real, cuyas
potencias de exponente par sean negativas. Por ejemplo 3
33
?2xx
ii) las potencias de exponente irracional de los nmeros negativos. Por ejemplo: 2 los logaritmos de los nmeros negativos. Por ejemplo 4ln
Por tal motivo Hamilton y Karl Gauss desarrollan en forma lgica el concepto de nmero complejo
en el siglo XIX
Un poco de Historia (Pg. 206)
Definicin
Llamamos conjunto de los nmeros complejos y lo denotamos con la letra C al conjunto de los pares de nmeros reales ,a b en el cual definimos las siguientes operaciones:
Adicin:. , , ,a b c d a c b d
Multiplicacin: , , ,a b c d ac bd ad bc
Ejemplo:
Sean los complejos 1,2 y 2,3
1,2 + 2,3 = 21,32 = 3,1 1,2 2,3 = 1,83.12.2,2.13.2
Notacin cartesiana de un complejo
baz , con a y Rb
a se le llama parte real del complejo o componente real del mismo
b se le llama parte o componente imaginaria del complejo
http://books.google.com.uy/books?id=IG3_b5Xm8PMC&pg=PA209&lpg=PA209&dq=hamilton%2B+complejos&source=bl&ots=UkoKm-DKAb&sig=uT2vpG1kzJTTGsT0BWfF02I2cZE&hl=es&ei=gS3vSpWoKceztge86YysCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CBAQ6AEwAw#v=onepage&q=&f=false
Igualdad
Dos complejos son iguales cuando sus respectivas componentes son iguales:
Si baz , y dcw , decimos que
db
ca
wz y
Representacin geomtrica
Cada punto del plano puede determinarse por 2 nmeros reales en cualquier sistema de ejes
cartesianos. Por ejemplo si tomamos dos ejes cartesianos perpendiculares:
Podemos hacer corresponder a cada complejo
baz , el punto P de coordenadas ba,
P se llama afijo del complejo z
Existe una correspondencia biunvoca entre el
conjunto de puntos del plano y el conjunto de los
nmeros complejos. A cada complejo le
corresponde un punto del plano, su afijo, y cada
punto del plano es afijo de un complejo.
El complejo )0,0( se llama complejo nulo
Inverso de un complejo en forma cartesiana
Sea baz , con a y b no simultneamente nulos, llamamos inverso de z y representamos 1z , al
nmero complejo tal que 0,1. 1 zz
Verifique que
2222
1 ,ba
b
ba
az .
Ejemplo:
Si 4,3z entonces
25
4,
25
31z
a
b P
x
y
0
Divisin en forma cartesiana
Sean baz , y dcw , con c y d no simultneamente nulos. Dividir z entre w, es multiplicar z por el inverso de w
bazww
z,1
2222,
dc
d
dc
c
2222,
dc
adbc
dc
bdac.
O sea
dc
ba
,
,
2222,
dc
adbc
dc
bdac Verifquelo
Ejemplo:
2,1z y 4,3w
25
10,
25
5
w
z
Notacin polar de un complejo
El afijo P tambin queda determinado por su distancia al origen: ),( POdr y el ngulo que
forman las semirrectas Ox y OP , tomando como sentido positivo el antihorario queda determinado salvo mltiplos enteros de 2 . Podramos entonces determinar el complejo baz , por el par ,r
r se llama mdulo del complejo z, zr (longitud del segmento OP)
se llama argumento del complejo z. Puede variar entre 0 y 2
Suele adoptarse, cuando el ngulo est entre y 2 (P est en el 3 y 4 cuadrante) el ngulo en el
sentido antihorario entre 0 y -.
Llamaremos valor principal del argumento al que cumpla
Notacin polar
r
a
b P
x
y
r
0
Ejemplo:
45
Grafquelo
Igualdad en forma polar:
Zkk
wr
wr
con 2
y
Relacin entre a, b, r y
i) Pasaje de notacin polar a cartesiana
Conociendo r y hallar a y b
En el tringulo OPA
r
bsin sin.rb
r
acos cos.ra
Ejemplos:
Si queremos escribir en forma cartesiana:
1) 6
2 z hallamos 12
12
6sin.2 b y 3
2
32
6cos.2 a de donde
3,1z 2)
23 z 31.3
2sin.3 b 00.3
2cos.3 a 3,0z
ii) Pasaje de notacin cartesiana a polar
Conociendo a y b hallar r y
Aplicando Pitgoras al tringulo OPA
22 bar a
btan si 0a de donde
a
ba tan
Si 0a 2
segn que b sea positivo o negativo
A
P
x
y
0
r
a
b
Ejemplos:
Queremos escribir en forma polar:
1) 1,3z
Hallamos 213 r y 3
3
3
1tan
de donde
6
5 entonces
6
52
z
2) 3,0 z 33 2 r 2
23
z
Interpretacin geomtrica de la adicin:
Otra forma de interpretar el complejo z es asociarlo al vector OP con P (a, b).
Entonces
Multiplicacin en forma polar
wrwr Demostracin:
wr sin,cossin,cos wwrr sinsincossin,sinsincoscos wrwrwrwr sinsincossin,sinsincoscos wrwr wrwrwr sin,cos
b+b`
a+a` a`
b`
` w
z+w
a
b z
x
y
0
P
Divisin en forma polar
w
r
w
r
Demostracin:
twtwrt
w
r..
Aplicando igualdad
tw
rtwr
Por lo tanto
w
r
w
r
Inverso en forma polar
De igual forma haciendo 01 tr se obtiene que
110 rzzconrz
Ejemplos:
Sean 4
6
z y 6
3
w
12
518
63.
46
wz
122.
63
46
w
z
46
11 z
Complejos reales y complejos imaginarios
Podemos establecer una correspondencia biunvoca entre los reales y los complejos con 2
componente nula:
O sea al complejo )0,(a se le hace corresponder el nmero real a y anotamos: ).0,(aa Se le
llama complejo real.
A los nmeros complejos de la forma ),0( b son llamados imaginarios puros.
Caso particular:
Notaremos el nmero complejo )1,0( con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria: ).1,0(i
Aplicando la definicin de producto se comprueba que 12 i :
2 2(0,1) (0,1)(0,1) 0(0) 1(1),0(1) 1(0) ( 1,0) 1i
Por ejemplo si queremos resolver 012 x :
12 x sustituyendo 22 ix de donde ix
Notacin binmica de un nmero complejo
Si hacemos el producto de un complejo real por la unidad imaginaria: (b, 0).(0, 1)=(0, b)
Obtenemos que: b.i = (0, b)
Sea entonces ),( baz un nmero complejo. Podemos escribirlo en la forma:
biababaz ),0()0,(),(
En este caso bia se llama forma binmica o binomia del nmero complejo (a, b)
Y anotamos
biaba ,
Suma y multiplicacin de nmeros complejos en la forma binmica
idbcadicbiadcba )(),(),( .
ibcadbdacbdbciadiacbdibciadiacdicbiadcba )(),)(,( 2
O sea idbcadcba )(),(),(
Observar que da igual que en forma cartesiana pero es ms fcil de trabajar en forma binmica
Ejemplo:
Sean iz 32 y iw 5
Entonces
wz i32 ii 435
wz i32 iiiii 13133215105 2
Observar que multiplicar por i tiene el mismo efecto que una rotacin de ngulo recto
aaiaiaiaaiaia 432 ,,,,
Divisin en forma binmica
22 dc
ibcadbdac
dicdic
dicbia
dic
bia
w
z
O sea
22 dc
ibcadbdac
dic
bia
Ejemplo:
Sea iz 23 y iw 4 Calculamos
iii
ii
i
i
w
z
17
5
17
14
44
423
4
23
Potenciacin
Sea Cz
Definicin:
01
1
1
0
zz
z
nzzz
z
n
n
nn N
Potenciacin en forma polar
nrr nn Zn
Demostracin:
1) 0n lo demostraremos por induccin completa
rrrn 11 11 se cumple
H) hn hrr hh
T) 1hn 111 hrr hh
a
ai
-a
-ai
Dem: Hpor
1
rrr hh 11
prodpor
hrhrrrhr hhh
2) 0n nrnrrrr nn
n
nnh
1
0
1
inv
1
Ejemplo:
Si 4
6
z
Entonces 2
362
z
Potenciacin en forma trigonomtrica (DE MOIVRE)
ninrir nn sincossincos
Ejemplo:
812sin2cos32
sin2
cos3 44
ii
Conjugado de un nmero complejo
Si biaz llamaremos conjugado del nmero z, al nmero biaz , es decir, al nmero
complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo:
Si iz 32 , entonces iz 32
Propiedades
Si ),( baz
azz 2 y 22. bazz
wzwz
zwwz
a
b z
x
y
0
-b zz
w
z
w
z 0w
kzzk Rk
nn zz Nn
Notacin trigonomtrica de un complejo
Hemos visto distintas notaciones de un complejo biarbaz ,
Y las relaciones r
bsin sin.rb
r
acos cos.ra
Reemplazando a y b en la forma binmica irrz sincos de donde
sincos irz
Ejemplo:
3sin
3cos4
34
iz
Producto y cociente en forma trigonomtrica
sincos,sincos.sincos iwriwir
sincos
sincos
sincosi
w
r
iw
ir
Potenciacin en forma trigonomtrica
ninrir nn sincossincos
Radicacin
Definicin:
zwwz nn
Raz cuadrada en forma binmica
biaiyxyixbia 2
biayxyix 22 2
biaxyiyx 222
24224222222 2 ayyxxayxayx 22242 byxbxy
222
24224
4
2
byx
ayyxx sumando resulta
224224 2 bayyxx
22222 bayx 2222 bayx
De donde ryx 22
Como ayx 22
ayx
ryx
22
22
rax 22
2
arx
ayx
ryx
22
22
ary 22
2
ary
22
ararbia
Aclaracin Las soluciones son 2. Se han introducido 2 en las elevaciones al cuadrado.
El signo de cada radical debe tomarse de modo que se cumpla la igualdad
xyb 2
Si yxb e0 deben ser del mismo signo
Si yxb e0 deben ser de distinto signo
Ejemplo:
i) ii
22
35
2
3543
ii) ii 232
513
2
513125
Radicacin en forma polar
n
k
nrr nn
2 10, nkZk
Hay que probar que
r
n
k
nr
nn 2
En efecto krn
k
nnr
n
k
nr
nnn
n 222
Pero r kr 2 pues los argumentos difieren en 2k
Observaciones:
Como n r existe y es nica entre los reales positivos o 0, habr tantas races ensimas
distintas del complejo como argumentos distintos puedan tomarse. Sabemos que argumentos
que difieran en mltiplos enteros de 2 no pueden en realidad considerarse diferentes, pues conducen a un mismo complejo.
En la frmula que nos da el argumento de la raz ensima tomemos k = 0, k = 1,.. k = n-1
Obtenemos n argumentos
Los afijos de dichos complejos se hayan situados en una circunferencia de centro en el origen
y radio n r , y forman un polgono regular de n lados
Ejemplo:
3
2
1232
43244 633
ki
Dndole valores a k = 0,1, 2 obtenemos las 3 races:
12
3332y
4
332,
1232 666
Trazamos una circunferencia de radio igual al mdulo: 6 32 y luego ubicamos los afijos P, Q y R
de la circunferencia que forman ngulos con el eje ox 12
33y
4
3,
12
. Los unimos y en este
caso se formar un tringulo equiltero.
0
P
R
Q
Notacin exponencial de un nmero complejo
Frmula de Euler: sincos iei
Para llegar a ella suponemos que se siguen cumpliendo, como en los nmeros reales, los conceptos
de funcin, derivadas, series (que veremos ms adelante), etc.
Suponemos vlido el desarrollo en serie de potencias de la funcin
0!
n
nx
n
xe Rx . Note
que se trata del desarrollo de Mac Laurin de la exponencial (a menos del resto).
(Ver: Taylor primer ao)
Supondremos que tambin es vlido para z complejo.
O sea
!!3!2!1
132
n
zzzze
nz
Si tomamos iz , nos queda:
!!3!2!11
32
n
iiiie
ni
!!3!2!1
13
32
2
niii
ie
nni
!!3!2!1
132
nii
ie
nni
Agrupando tendremos:
!5!3!1!4!21
5342 iei
Estos son los desarrollos de cos y sin respectivamente. As que sincos iei .
Sea sincos irz un nmero complejo donde r es su mdulo y su argumento. Entonces mediante el empleo de la frmula de Euler se obtiene:
ireirz sincos .
Esta expresin es la llamada forma exponencial del nmero complejo.
Taylor/Taylor%20final.pdf
Observacin: la forma exponencial es equivalente a la trigonomtrica pues dependen de los mismos elementos:
mdulo y argumento del nmero complejo z. Esta forma nos facilita los clculos en la
multiplicacin, divisin y potenciacin.
Multiplicacin y divisin de nmeros complejos en su forma exponencial
Sean irez y isew . Entonces:
wz. ire ise iesr ..
i
i
i
es
r
sr
re
w
z
Ejemplo:
Sea 410
i
ez y 45
i
ew entonces iewzi
5050. 2
y 22 0 iew
z.
Polinomios de variable compleja
Teorema
Un polinomio de variable compleja y de coeficientes reales, si tiene una raz compleja necesariamente tiene su conjugada.
H) Sea 011
1/: axaxaxaxpCCpn
nn
n
, Cz y 0zp T) 0zp
00 011
1
azazazazpzpn
nn
n
0011
1
azazazan
nn
n
0011
1
azazazan
nn
n
0011
1
azazazan
nn
n
0011
1
azazazan
nn
n
Por lo tanto 0zp
Por lo que concluimos los polinomios de coeficientes reales presentan sus races complejas de a
pares. O sea si una funcin polinmica p de coeficientes reales acepta raz 1-2i tiene tambin la raz
1+2i.
Y entonces los polinomios de coeficientes reales y grado impar aceptan al menos una raz real.
Ejemplo:
Halla las races de 105313115 234 xxxxxp sabiendo que tiene la raz 2+i
Como tiene raz 2+i tiene su conjugada 2-i. Utilizando el esquema de Ruffini tenemos que:
5 -11 -13 53 -10
2+i 10+5i -7+9i -49-2i 10
5 -1+5i -20+9i 4-2i 0
2-i 10-5i 18-9i -4+2i
5 9 -2 0
Las otras dos races las obtenemos resolviendo:
0295 2 xx que tiene por races 5
1 y -2
Ejercicios de Nmero Complejo
Prxima seccin Matrices
Ejercicios.pdf../2matrices/matrices.pdf