ISMAEL ABDERRAHAMAN PALMADANIEL CASTRO LARSSONELISA PREZ GARCA*

1. Por qu no son suficientes los nmeros reales ?*

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II-Definicin y representacin grfica de un nmero complejo*

Un nmero complejo z es un par ordenado de nmeros reales x e y, escrito como:

z = (x,y)(Notacin en componentes o coordenadas cartesianas). x se llama la parte real de z: Re(z) := xy se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=yDos nmeros complejos son iguales si y slo si sus partes reales e imaginarias son iguales:(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2 El conjunto de nmeros complejos, se denota por C:*

(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

Si y 0, entonces z es un nmero imaginarioSi x = 0 (z = i y), entonces z se dice que es un imaginario puro. Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un nmero real.Los nmeros complejos x + i y e x yi, se llaman opuestosLos complejos z = x +i y y z = x iy se llaman conjugadosz = x + i yUn nmero complejo z = (x,y) se escribe comnmente como notacin algebraica o binmica:*

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El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)Eje realEje imaginarioz = (x,y)Z*

Ejemplo:Dibujar el nmero complejo z = -3-2i en el plano complejo*

III- Forma binmica de un complejo.OperacionesyPropiedadesLa suma, resta y multiplicacin de nmeros complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los nmeros reales y teniendo en cuentas que i2 = - 1*

Suma y producto de nmeros complejosSumaProducto*

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conjugadoEl conjugado de un nmero complejo z = x + i yse define como: Grficamente el conjugado es una reflexin respecto al eje real.La partes imaginarias son opuestas*

conjugadoEs sencillo demostrar que:*

opuestoEl opuesto de un nmero complejoz = x + i y se define como: Grficamente el opuestoes una reflexin respecto al punto (0,0)*

La resta y la divisin se definen como operacionesinversas de la suma y la multiplicacin respectivamenteRestaDivisin(operacin inversa a la suma)(operacin inversa al producto)Qu es z ? Es un nmero complejo tal que: z z2 = z1, siempre que z20.

Qu es z ? z + z2 = z1*

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Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7Im(z1) = 3,Im(z2) = 2z1+z2 = 11 + 5i,z1-z2 = 25+iz1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15iEjemplos:Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i*

(1)(2)Ejemplos:Divisin: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2iHallar el inverso de i:*

Suma y resta de nmeros complejos en el plano complejoEn la suma (y la resta) los nmeros complejos se comportan como vectores*

Potencias de iPor ejemplo:*

(1)(2)Ejemplos:De modo que podemos sustituir siempre: Esto nos permite una manera prctica de operar. Por ejemplo:*

Ley de clausura:z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.Ley asociativa:(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)Ley distributiva:z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3Propiedades algebraicasLa suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.Ley conmutativa:z1 + z2 = z2 + z1z1 z2 = z2 z1*

0+z = z+0 = z(Neutro para la suma)z +(-z) = (-z)+z = 0(Opuesto para la suma)z 1 = 1 z = z(Identidad para el producto)z z-1 = z-1 z = 1(Inverso para el producto)

{C,+,} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los nmeros complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2(Para todo z distinto de 0)*

IV- FORMA POLAR Y TRIGONOMTRICA DE UN COMPLEJO*

Forma Polar de un nmero complejo*

Forma trigonomtrica de un nmero complejo*

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A partir de las coordenadas polares (r,) tenemos:Forma polar y trigonomtricaUtilizamos el argumento principalForma polarForma trigonomtrica*

argumento:Ejemplo:Escribir el siguiente nmero complejo z1=1+i, en forma polar y trigonomtrica:mdulo:*

V- Operaciones en forma polar *

Multiplicacin*

Producto de nmeros complejos en el plano complejo*

Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados*

Divisin*

Divisin de nmeros complejos en el plano complejo*

Potencias*

VI- FRMULA DE MOIVREAbraham de Moivre (1667 - 1754)*

Frmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:*

El teorema de Moivre es una mquina de generar identidades trigonomtricas. Por ejemplo:Igualando las partes reales e imaginarias:*

VII RADICACIN DE COMPLEJOS.REPRESENTACIN GRFICA*

Potencias igualesDistintos nmeros complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia Esto nos lleva al clculo de races*

Racesse llama la raz ensima de z a cualquier nmero w que cumple: wn = z, y se escribe comoMdulo de wngulo de wPartimos de un nmero complejo z*

Sean w= R(cos+ i sin)z = r(cos + i sin)Por el teorema de Moivre:

wn = Rn[cos(n ) + i sin(n )]= r(cos + i sin)

Igualando los mdulos y los ngulos obtenemosRacesLa frmula para el clculo de las races se basa en el teorema de Moivre*

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VIII VISIN GEOMTRICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS*

Raz cuarta Primer ngulongulo a aadir*

Ejemplo: races de la unidadUn nmero complejo tiene tantas races como su ndiceSus afijos son los vrtices de un polgono regular*

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BIBLIOGRAFIA Y ENLACES UTILIZADOShttp://www.dmae.upm.eshttp://www.dmae.upm.es/bartolo.htmlhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Los_numeros_complejos/complejos2.htmwww.educared.netwww.ginerdelosrios.org/pizarradigitalhttp://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.htmlhttp://www.disa.bi.ehu.es/ (n complejos-archivo ppt)

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Sabes .?1. Hay algn nmero real para la raz cuadrada de un nmero negativo?2. cmo se dividen nmeros complejos en forma binmica?3. A que se llama afijo en la representacin grfica del nmero complejo a + bi ?4. La suma de dos nmeros complejos conjugados, es un nmero real?5. Cmo se describe un nmero complejo en forma polar?6. Para qu sirve la forma trigonomtrica?7. cmo se dividen dos nmeros complejos en forma polar?8. En qu nos basamos para operar con races en nmeros complejos?9. Cuantas races tiene un nmero complejo?10. Cmo se determinan los vrtices de un polgono regular?

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Soluciones1.No, se inventaron los nmeros complejos para dar solucin a este problema considerando el imaginario i=-12. Multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador.3. Al punto (a,b), mediante un vector de origen (0,0)4.Si5.Mediante el Mdulo y el argumento6. Para pasar los nmeros complejos de forma polar a forma binmica.7. Dividiendo sus mdulos y restando sus argumentos.8. En el Teorema de Moivre9. Cualquier nmero complejo tiene tantas races como su ndice, excepto el 0.10. Mediante los afijos de las races n-simas de un nmero complejo. El polgono regular tendr tantos vrtices como el de la raz del complejo, para n>2.

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*Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806**************