UNIDAD VIIINMEROS COMPLEJOS8.1. RESEA HISTRICAHABILIDADES Y ACTITUDESReconoce aportes de cientficos acerca de la evolucin de los Nmeros ComplejosACTIVIDAD EVALUATIVALos estudiantes realizaran debates y reflexiones acercad e los aportes tericos y prcticos de la evolucin de los Nmeros Complejos a nivel mundial.NUMEROS COMPLEJOSPrimeras referencias: SI-SXII La primera referencia escrita de la raz cuadrada de un nmero negativo la encontramos en la obra Stereometra de Hern de Alejandra (Grecia aprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operacin aunque es tomada como , no sabindose si este error es debido al propio Hern o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta cuestin se data en el ao 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284) Aritmtica. En su intento de clculo de los lados de un tringulo rectngulo de permetro 12 y rea 7, Diophantus planteo resolver la ecuacin 336 + 24 = 172x, ecuacin de races complejas como puede ser comprobado fcilmente. Son los matemticos hindes los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del ao 850, comenta en su tratado de los nmeros negativos que como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raz cuadrada. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma: El cuadrado de un nmero, positivo o negativo, es positivo; la raz cuadrada de un nmero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raz cuadrada de un nmero negativo ya que un nmero negativo no es un cuadrado. Primeros estudios: SXVI

J. Cardan (1501 - 1576)En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matemtico, fsico y filsofo italiano, publica Ars Magna (El Gran Arte) en el cual describe un mtodo para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se converta as en el mayor tratado de algebra desde los Babilnicos, 3000 aos antes, que dedujeron cmo resolver la ecuacin cuadrtica. Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que esta cuestin es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma. Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como soluciones 5 + y 5 . Por multiplicacion probaba Cardan que el producto era 40. Esta es la primera constancia escrita de la raz de un nmero negativo y de su manejo algebraico. Cardan tambin tropieza con estas races en las soluciones que presenta de la ecuacin cubica = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por:

Para la ecuacin = 15x + 4 esta frmula da como solucin x = 3 2 + , la cual Cardan dio por valida. Como esta ecuacin tiene las races 4, 2+ y 2, interesaba la relacion con las propuestas por la formula de Cardan. Fue el ingeniero hidraulico Rafael Bombelli (Italia, 1526 - 1572), unos treinta anos despues de la publicacion de la obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento que el mismo catlogo de un tanto salvaje. Planteo que como 2 + y 2solo se diferencian en un signo, lo mismo deba suceder con sus races cubicas. As escriba

Donde por clculo directo obtena que a =2y b = 1, luego

As Bombelli daba sentido a las expresiones sin sentido de Cardan. Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli desarroll un clculo de operaciones con nmeros complejos que se ajusta a los que conocemos en la actualidad.Comentar en este punto que comnmente se dice que fue la ecuacin cuadrtica la que forz la definicin de los nmeros complejos. Con lo expuesto anteriormente debemos asignar a la ecuacin de orden tres tal papel.A pesar de lo aportado por Bombelli, su trabajo sobre esta materia (L Algebra) fue ampliamente ignorado y considerado como misterioso e incierto. Simn Stevin apunt en 1585 lo siguiente en esta direccin:Tiene toda la legitimidad el que uno se ejercite en otras tareas y no pierda el tiempo en inexactitudes.Dos siglos y medio cubrieron las dudas sobre el significado y la autenticidad de los nmeros complejos. No obstante, fueron estudiados por un gran nmero de matemticos.

Consolidacin del rea: SXVII-SXVII-SXIXA principios de 1620, Albert Girard sugiere que las ecuaciones de grado n tienen n races. Esta premonicin del teorema fundamental del algebra estaba en este caso planteada de forma vaga y sin rigor.Ren Descartes (Francia, 1596-1650), que bautiz con el nombre de imaginarios a los nuevos nmeros, apunt tambin que toda ecuacin deba tener tantas races como indica su grado, aunque nmeros no reales podan ser alguna de ellas.

La siguiente referencia destacable data de 1673 con una carta de Christian Huygens (Holanda, 1629-1695) a Gottfried von Leibniz (Alemania, 1646-1716). En ella expresa la impresin del primero sobre la identidad 1 + + 1 + = , que le haba mencionado Leibniz en una carta anterior. Huygens se expresa en los siguientes trminos:Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, no obstante, cuando son sumadas da una cantidad real, me es sorprendente y totalmente nuevo. Uno nunca creera que esto es cierto y debe haber algo escondido en ello que es incomprensible para m.Los nmeros complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan Bernoulli (Suiza, 1667-1748) usaron nmeros imaginarios en la resolucin de integrales. Por ejemplo.

Este tipo de razonamientos generaron la polmica sobre la existencia del logaritmo de nmeros negativos y complejos. Un acalorado debate tuvieron Bernoulli y Leibniz donde este ultimo postulo que log i = 0 argumentando que como 2 log (1) = log (1)2 = log 1 = 0 entonces 2 log i = log i 2 = log (1) = 0. Bernoulli propona por contra, log i = i/2. La controversia fue resuelta por Leonard Euler (Suiza 1707-1783) con su identidad ei = 1.Los nmeros complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean DAlembert en hidrodinmica y por Euler, DAlembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas errneas del teorema fundamental del algebra. Euler fue el primero en usar la notacin i = , haciendo ademas un uso fundamental de los numeros complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonomtricas por la expresin eix = cos x + isen x. Euler se expresaba en los siguientes trminos:Como todos los nmeros imaginables son mayores, menores o iguales a cero, entonces es claro que la raz cuadrada de un nmero negativo no puede ser uno de estos nmeros, [...] y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales nmeros, que por su naturaleza son imposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o nmeros falsos, porque solo existen en la imaginacin.Incluso en gran Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1856), en cuya tesis doctoral (1797) se daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del algebra, apunt a finales de 1825 que la verdad metafsica de es elusiva.

Esto ilustra en parte que la satisfaccin lgica sobre los nmeros complejos entraba a finales del siglo XVIII ms en el terreno de la filosofa que en el de las matemticas. Todo lo bueno que tuvo la Era de la Razn para todas las reas, fue en parte perturbador para esta materia. Pedaggicamente tambin se planteaban dudas. La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba que lgica regia sobre las operaciones con nmeros complejos que permitiese su enseanza. As surgan preguntas como i 2=2 i?, es = para cualquier a y b negativos?, no obtenan respuestas satisfactorias.En el siglo XIX ya proponen algunos matemticos, de Cambridge principalmente, que deba haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para muchos.La representacin geomtrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand. No obstante seria la referencia de Gauss de 1831 la que tendra el impacto suficiente.En 1833, William Rowan Hamilton (Inglaterra 1805-1865) da la primera definicin algebraica rigurosa de los complejos como pares de nmeros reales.

El 1847 es Agoustin-Louis Cauchy (Francia, 1789-1857) quien da una definicin abstracta de los nmeros complejos como clases de congruencias de polinomios reales, basndose en las clases de congruencias de enteros dada por Gauss.Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los nmeros complejos ya han desaparecido, aunque haya textos del siglo XX que a un huan de utilizarlos.La presencia de los nmeros complejos en diversas reas de las matemticas en este siglo puede ser clasificada de manera muy genrica de la siguiente forma:a) ALGEBRA. La solucin de ecuaciones algebraicas motivo la introduccin de los nmeros complejos. Estos complejos constituyen por su parte un cuerpo cerrado donde muchos problemas de algebra lineal y otras reas del algebra abstracta encontraron solucin. b) ANALISIS. El siglo XIX fue testigo del desarrollo de una poderossima y bellsima rama de las matemticas, la teora de funciones complejas. Uno de los elementos ms sorprendentes es que la condicin de diferenciable implica la de infinitamente diferenciable, hecho sin anlogo en las funciones reales. c) GEOMETRIA. Los nmeros complejos introdujeron generalidad y propiedades de simetra en varias ramas de la geometra, tanto en la Euclides como la no euclidea. d) TEORIA DE NUMEROS. Ciertas ecuaciones diofanticas pueden ser resueltas con el uso de complejos.Hadamard deca que el camino ms corto entre dos verdades en el campo real pasa a travs del campo complejo. Un ejemplo de este autor es altamente ilustrativo: el producto de la suma de cuadrados es de nuevo suma de cuadrados, y lo probaba de la siguiente forma:

8.2. REPRESENTACIONESHABILIDADES Y ACTITUDESRepresentan Nmeros Complejos en todas sus formas matemticas.ACTIVIDAD EVALUATIVALos estudiantes resuelven problemas con Nmeros Complejos representados en todas sus formas.DEFINNICION DE NUMEROS REALESUn nmero complejo, es una entidad matemtica que viene dada por un par de nmeros reales, el primeroxse denomina la parte real y al segundoyla parte imaginaria. Los nmeros complejos se representa por un par de nmeros entre parntesis(x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual dex+yi,ise denomina la unidad imaginaria, la raz cuadrada de menos uno. La claseComplejoconstar de dos miembros dato, la parte realreal, y la parte imaginariaimag, ambos del tipo predefinidodouble.Es una expresin matemtica de la formaa+bi,en dondeaybson nmeros reales eies:. Estos nmeros se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemticas. En fsica e ingeniera los nmeros complejos se utilizan para describir circuitos elctricos y ondas electromagnticas.REPRESENTACIN DE NMEROS COMPLEJOS EN EL PLANOAhora que sabemos trabajar con los nmeros complejos y las operaciones bsicas de suma, resta, multiplicacin y divisin, vamos a introducirnos en la representacin de dichos nmeros en el plano complejo. Para los nmeros reales, dibujbamos una recta y los bamos colocando ordenadamente, es decir:

Para representar grficamente un nmero complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. ste est formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del nmero complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula.EjemploVeamos un ejemplo del plano

Complejo:Un nmero complejozen forma binmica se representar entonces en un plano complejo como el anterior de la siguiente forma:Tenemos el complejoz=a+bidonde: aes cualquier nmero real, y se le llama parte real dez. bes cualquier nmero real, y se le llama la parte imaginaria dez.As, para representar unz=a+bise dibuja en el plano el vector asociado azque es el vector con origen(0,0)y extremo el punto(a, b).Es decir, se toma la parte real del complejo y se dibuja en el eje real. Se toma la parte imaginaria y se dibuja en el eje imaginario. Se trazan paralelas a los ejes que pasen por cada uno de los puntos marcados y la interseccin de dichas paralelas es el nmero que queramos representar.

UNIDAD IMAGINARIALa unidad de los nmeros imaginarios, al igual que es tratado con los nmeros reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser -1 o raz cuadrada de uno negativo. Est denominacin naci en el siglo XVIII debido a que Leonard Euler quera nombrar a los nmeros imaginarios de manera desdeosa dndole una denominacin que se entiende como un objeto inexistente.FORMA RECTANGULARUn nmero complejo se constituye por una parte real y una imaginaria, representadas en forma rectangular por:

Ecuacin 2.1Dondeies la parte imaginaria yxes la parte real yyes un nmero real. Para no generar confusin con el manejo de la corriente elctrica con la parte imaginaria (i), se trabaja de la siguiente forma:

Ecuacin 2.2FORMA POLARUn nmero complejo se representa tambin a travs de su magnitud y ngulo formado con el eje real

Ecuacin 2.3

Ecuacin 2.4La determinacin del ngulo se fundamenta de acuerdo al cuadrante donde se ubique el nmero complejo, es decir

Dado a la ubicacin del nmero complejo, el ngulo correspondiente es:

Entre tanto, la relacin entre ambas formas cumple:

Ecuacin 2.5Entonces, la relacin es:

Ecuacin 2.6

FORMA EXPONENCIALUn nmero complejo se puede expresar de forma exponencial teniendo en cuenta las series de Taylor la cual expone que es posible representar cualquier funcin por la suma de varios valores. As, la funcin de Euler se desglosada en las series de Taylor:

Ecuacin 2.7

Desarrollando la serie de Taylor para la funcin coseno y seno, se observa que ambas funciones contienen una parte de la funcin de Euler.

Ecuacin 2.8

Ecuacin 2.9

Ahora, calculando la funcin en el plano complejo se obtiene:

Ecuacin 2.10LA FORMA TRIGONOMTRICA DE UN NMERO COMPLEJOLa forma trigonomtrica es una variante de la forma polar, tambin utiliza el mdulo y el argumento. Es muy til para pasar de la forma polar a la forma binmica:

Dado un nmero complejo en forma polar,, para pasarlo a forma binmica,, hay que hallar las componentesy. Se utiliza la definicin de seno y coseno.

FRMULA DE EULERLaFrmula o relacin de Euler, atribuida almatemticoLeonhard Euler, establece queeix= cos x + isin x.Para todonmero realx. Aqu,ees labase del logaritmo neperiano,i(tambin denotadaj) es launidad imaginaria, ysinycosson el seno y el coseno, lasfunciones trigonomtricas.La frmula puede interpretarse geomtricamente como una circunferencia de radio unidad en elplano complejo, dibujada por la funcineixal variarxsobre losnmeros reales. As,xes elngulode una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La frmula solo es vlida si tambin el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.La demostracin est basada en la desarroll enserie de Taylorde laexponencialez(dondezes un nmero complejo), y el desarrollo de sinxy cosx.La frmula de Euler fue demostrada por primera vez porRoger Cotesen1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretacin geomtrica sealada anteriormente: la visin de los nmeros complejos como puntos en el plano surgi unos 50 aos ms tarde (ver Caspar Wessel, y d'Argaud).La frmula proporciona una potente conexin entre elanlisis matemticoy latrigonometra. Se utiliza para representar los nmeros complejos encoordenadas polaresy permite definir ellogaritmopara nmeros complejos.

De las reglas de la exponenciacinea + b= eaebY

(Vlidas para todo par de nmeros complejosy), se pueden derivar variasidentidades trigonomtricas, as como lafrmula de Moivre.La frmula de Euler tambin permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la funcin exponencial:

Estas frmulas sirven as mismo para definir las funciones trigonomtricas para argumentos complejos. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las frmulas

Para el seno y el coseno.En lasecuaciones diferenciales, la funcineixes utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una funcin real en la que aparezcan senos o cosenos. Laidentidad de Euleres una consecuencia inmediata de la frmula de EulerEningeniera elctricay otras disciplinas, las seales que varan peridicamente suelen describirse como una combinacin de funciones seno y coseno, y estas son expresadas ms convenientemente como la parte real de una funcin exponencial con exponente imaginario, utilizando la frmula de Euler.Demostracin de la frmula de Euler utilizando el desarrollo enserie de Taylor:La funcinex(conxreal) puede escribirse como:

Y paraxcomplejo sedefinemediante dicha serie. Si multiplicamos porial exponente:

Reagrupando:

Para simplificar tendremos en cuenta que:

Y generalizando para todon:

As,

Reordenando trminos y separando la suma en dos partes (lo que es posible por serabsolutamente convergente):

Si tomamos el desarrollo en serie de Taylor de cos(x) y sin(x):

OPPor lo tanto:

Web grafa.http://rotrujil.webs.ull.es/webamvi/historia.pdfi. kleiner, thinking the unthinkable: the story of complex numbers (with a moral), the mathematics teacher, 81:7 (1988), 583-592. d. e. smith, history of mathematics (vol i-ii). dover. 1958. new york.http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursojava/numerico/complejo/complejo.htmhttp://www.geocities.ws/pnavar2/alterna/complejo/complejo.htmlhttp://www.sangakoo.com/es/temas/representacion-de-numeros-complejos-en-el-planohttp://numerosirracionales.com/numeros-imaginarioshttp://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/grupos/gispud/ac/cap_2/22_numero_complejo.htmlhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/numeros_complejos_sgb/complejos2_sg.htmhttp://enciclopedia.us.es/index.php/f%c3%b3rmula_de_euler